TENTOONSTELLING KUNST EN WISKUNDE IN VIRTUEEL MUSÉE TESSERACT - DEEL 1

ARS ET MATHESIS

TENTOONSTELLING KUNST EN WISKUNDE IN VIRTUEEL MUSÉE TESSERACT

DEEL 1

OP 20 NOVEMBER IS HET VIRTUELE MUSEUM TESSERACT VAN DE STICHTING ARS ET MATHESIS OFFICIEEL GEOPEND MET EEN TENTOONSTELLING KUNST EN WISKUNDE . HET MUSEUM IS CONTINU 24/7 OPEN. JE HOEFT ER ZELFS NIET DE DEUR VOOR UIT. RUSTIG THUIS IN JE STOEL KUN JE ALLE TENTOONGESTELDE WISKUNSTIGE WERKEN EN OBJECTEN AAN JE VOORBIJ LATEN GAAN. DE TOEGANG IS GRATIS. GA NAAR HTTPS://WWW.ARSETMATHESIS.NL/VIRTUEELMUSEUM-TESSERACT/ OP DE ARS ET MATHESIS-WEBSITE OF SCAN DE QR-CODE HIERBOVEN. OPEN DAAR DE HANDLEIDING MET KORTE UITLEG OVER HOE JE DOOR HET MUSEUM “WANDELT”. IN DIE HANDLEIDING VIND JE OOK TWEE LINKS NAAR DE BEIDE DELEN VAN HET MUSEUM.

KLAAS LAKEMAN, ARS ET MATHESIS

Figuur 1

Aan de wanden hangt veel 2D-werk, maar er zijn ook 3D-objecten die van alle kanten, van onder en boven en soms van binnen kunnen worden bekeken. Hier en daar is extra informatie over het getoonde werk te krijgen door op een blauwe info-button te klikken. Het museum bestaat uit twee delen. Dat was uiteindelijk nodig om binnen de grenzen van de mogelijkheden van het gebruikte systeem te blijven. Het bestuur van Ars et Mathesis sluit een toekomstige uitbreiding met een derde deel niet uit. Naast Nederlandse kunstenaars nemen twee Belgische kunstenaars een prominente plaats in het museum in: Peter Raedschelders en Jos de Mey. Het werk van Raedschelders hangt in deel 1 van het museum in een van de galerijen bezijden de zogenaamde Main Hall. Dat van Jos de Mey in een van de zalen van deel 2. Via de index (zie de handleiding) kun je rechtstreeks bij het werk van Peter Raedschelders dan wel Jos De Mey komen.

VREDE IN TESSERACT De Belgische kunstenaar Peter Raedschelders (1957) heeft een ingenieursachtergrond. Als autodidact heeft hij zich laten inspireren door de alom bekende grafische werken van M.C. Escher (1896-1972). Daarbij bedient

Figuur 2

hij zich zowel van de tekenpen als van de computer. Raedschelders is voor Ars et Mathesis geen onbekende. In het verleden was hij een trouw bezoeker van de Ars et Mathesis-dagen waar hij zijn nieuwste prenten toonde en te koop aanbood. Zo kwam ik destijds onder andere in het bezit van de prenten van figuur 1 tot en met 4. De invloeden van Escher zijn daarin onmiskenbaar. Raedschelders werd vooral gefascineerd door de regelmatige vlakverdelingen die in het werk van Escher ook veelvuldig voorkomen. Zo maakte hij prenten als in de figuren 3 en 4. Net als de vlinders in de tentoongestelde inkttekening van figuur 3 en de schildpadden van figuur 4 gebruikt Raedschelders - enkele uitzonderingen daargelaten - in zijn vlakvullingen doorgaans dierenmotieven. Naast de vlinders van figuur 3 zijn daar diverse voorbeelden van te bewonderen in de tentoonstelling Kunst en Wiskunde. Toch werden het niet alleen maar regelmatige en periodieke vlakverdelingen met steeds maar andere dierenmotieven. Raedschelders wist er soms een geheel eigen dimensie aan toe te voegen zoals in de tentoongestelde computerprent Vrede of Paece (figuur 5), een vlakverdeling met semi magische eigenschappen zoals Raedschelders dat zelf aanduidt.

Figuur 3 Vlinders

Figuur 4 Schildpadden

Ook zogenaamde a-periodieke vlakvullingen hebben Raedschelders' aandacht. Hij heeft zelfs een tegelpatroon proberen te vinden bestaande uit één tegel waarmee het hele vlak a-periodiek kon worden opgevuld. Dus zonder ook maar enige regelmaat en symmetrie. Daarover een andere keer mogelijk meer.

Figuur 5 Vrede

VREDESBESPREKING De prent Vrede (figuur 5) bestaat uit 64 vredesduiven die op allerlei wijzen keurig in elkaar passen. Door de aangebrachte kleuren wordt het geheel weliswaar fleuriger, maar maakt op het eerste gezicht ook een wat chaotische indruk. Maar niets is minder waar zoals wordt aangetoond. De duivenpatronen zijn verkregen door vervorming van de zijden van een vierkant (figuur 6). In principe is de vorm van die vervormingen voor alle vier zijden

hetzelfde, maar sommige vervormingen zijn gespiegeld en sommige hebben een andere richting. Ga maar na in figuur 7 waarin overeenkomstige vervormingen (in- en uitstulpingen) met dezelfde kleur zijn aangegeven. Omdat de duiven op vierkanten zijn gebaseerd, zijn er zoals uit figuur 8 is af te leiden met spiegelingen en

Figuur 6 Figuur 7

Figuur 8

rotaties om 90° precies 8 oriëntaties mogelijk. Die 8 oriëntaties passen perfect in elkaar zodat daarmee het vlak keurig kan worden opgevuld. In Vrede is dat gedaan met 64 duiven, maar het hadden er veel meer kunnen zijn. Van elk van de acht oriëntaties komen in Vrede er steeds acht voor. Elke oriëntatie heeft een andere kleur. De vier oriëntaties die ontstaan door rotaties om 90° van de duif links in figuur 8 hebben de kleuren rood, geel, wit en zwart, die gebaseerd op de rechter duif zijn blauw, licht grijs, donker grijs en beige gekleurd. Ga maar na. Het raamwerk van Vrede is een vierkant 8 bij 8 rooster met in elke vierkante cel een duif. Afgaande op de kleuren lijkt die vlakvulling zomaar in elkaar gezet. Schijn bedriegt. Neem de bovenste rij duiven in figuur 5. Daarin komen alle acht kleuren en daarmee ook alle acht mogelijke oriëntaties precies één keer voor. Voor de andere 7 rijen geldt hetzelfde. Ook komen in alle acht kolommen alle kleuren precies één keer voor.

LATIJNS VIERKANT Een Latijns vierkant van orde n is een vierkant met n rijen en n kolommen, gevuld met n verschillende symbolen, waarvan elk precies één keer per rij en ook één keer per kolom voorkomt. Doorgaans bestaan die symbolen uit de natuurlijkje getallen 1 tot en met n (figuur 9). Zo zijn de alom bekende Sudoku-puzzels bijzondere gevallen van Latijnse vierkanten van orde 9. De naam ‘Latijns vierkant’ komt van de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707-1783) die Latijnse symbolen gebruikte in zijn vierkanten. Vrede is dus niets anders dan een voorbeeld van een Latijns vierkant van orde 8. Er kan een een-op-eenrelatie worden gelegd tussen de cijfers 1 tot en met 8, de acht oriëntaties van de duiven en de acht genoemde kleuren.

VERMOEDEN VAN GRÜNBAUM Er zijn ook Latijnse vierkanten van orde 8 waarin tevens op de beide diagonalen de cijfers 1 tot en met 8 slechts één keer voorkomen (figuur 10). Dat leidt natuurlijk tot de vraag: Is er een regelmatige vlakverdeling zoals in Vrede te vinden waarbij ook op de diagonalen de 8 verschillende oriëntaties slechts één keer voorkomen. Dit probleem is in zijn algemeenheid (dus ook voor andere ordes dan 8) bestudeerd door de van oorsprong Kroatische wiskundige Branko Grünbaum (1929-2018) van de University of Washington. Hij vermoedt dat dit onmogelijk is, maar bewezen is dat nog niet.

UNIEKE PRENTEN Denk in de prent Vrede van figuur 5 nu eens alle kleuren weg. De vlakvulling zelf blijft dus ongemoeid. Houd alle acht kleuren wel bij de hand. Ga dan naar de duif in de linker bovenhoek. Deze kan op 8 mogelijke manieren worden gekleurd. Voor de duif rechts daarvan in de bovenste rij zijn er dan nog 7 kleuren over. Voor de duif daar weer rechts van zijn er nog 6 kleuren beschikbaar. Zo alle duiven op de bovenste rij aflopend kunnen die op 8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40 320 manieren worden gekleurd. Wiskundig komt dit neer op alle mogelijke permutaties van de cijfers 1 tot en met 8. Aangezien op

Figuur 9. Latijnse vierkanten van orde 8

Figuur 10

Figuur 11. Latijns vredes vierkant

de bovenste rij alle 8 mogelijke oriëntaties van de duiven voorkomen, zijn er tevens 40 320 verschillende manieren om de hele prent van de acht beschikbare kleuren te voorzien. Immers bij een eenmaal gekozen permutatie van de bovenste rij liggen de kleuren in de rest van de prent ook vast want aan de structuur van de verdeling is niets veranderd. Met andere woorden er zijn dus 40 320 vredesprenten mogelijk.

Eerder is al opgemerkt dat Vrede een computerprent is. Door het op een systematische manier aan te pakken kunnen al die prenten stuk voor stuk met de computer worden gegenereerd. Zo kunnen dan 40 320 mensen blij worden gemaakt met een heel unieke computerprent Vrede.

Figuur 12. Peter Raedschelders

Als er 40 320 mensen van een unieke vredesprent zijn voorzien hoeft dat nog niet het einde te betekenen. Wanneer dan een van de acht kleuren wordt vervangen door een andere kleur, kan het hele proces weer van voren af aan beginnen. Levert ook weer 40 320 unieke prenten, waarna er opnieuw een kleur kan worden vervangen, enzovoort. Het aantal unieke prenten lijkt zo haast onbeperkt.