TENTOONSTELLING KUNST EN WISKUNDE IN VIRTUEEL MUSÉE TESSERACT - DEEL 2

from Vector 13 - februari 2022

TENTOONSTELLING KUNST EN WISKUNDE IN VIRTUEEL MUSÉE TESSERACT - DEEL 1

ARS ET MATHESIS

TENTOONSTELLING KUNST EN WISKUNDE IN MUSÉE TESSERACT

DEEL 2

IN DEEL 2 VAN MUSÉE TESSERACT HANGT WERK VAN DE BELGISCHE SCHILDER JOS DE MEY (1928-2007). GA NAAR HTTPS://WWW. ARSETMATHESIS. NL/VIRTUEELMUSEUM-TESSERACT/ OF SCAN DE QR-CODE EN KIES VOOR DEEL 2. HET GETOONDE WERK VAN DE MEY IS OP TE DELEN IN TWEE CATEGORIEËN: PYTHAGORASBOMEN EN ONMOGELIJKE FIGUREN. EEN GOED VOORBEELD VAN DE LAATSTE CATEGORIE IS HET SCHILDERIJ UIT- EN INZICHTRAAM DAT HIJ IN 1994 MAAKTE VOOR ARS ET MATHESIS VRIENDEN (FIGUUR 1). DIT WERK, DAT OVERIGENS NIET IN DE TENTOONSTELLING IS OPGENOMEN, BEVAT OOK AFBEELDINGEN VAN DE ONMOGELIJKE DRIEBALK VAN PENROSE EN HET ONMOGELIJKE KRATJE VAN M.C. ESCHER.

KLAAS LAKEMAN, ARS ET MATHESIS

Figuur 1. Uit- en inzichtraam van Jos De Mey PYTHAGORASBOOM Het idee voor zijn Pythagorasbomen ontleende De Mey aan de prent Boom van Pythagoras (figuur 2) die de Nederlandse ingenieur Albert Ernst Bosman (1891-1961) tijdens de Tweede Wereldoorlog in 1943 maakte. Naast allerlei andere bijzondere meetkundige onderwerpen heeft Bosman de boom in 1957 beschreven in zijn boek Het wondere onderzoekingsveld der vlakke meetkunde. De opbouw van de boom is als volgt. Neem een vierkant en plaats daar een gelijkbenige rechthoekige driehoek op (figuur 3A). De schuine zijde van de driehoek is even groot als een zijde van het vierkant. Op de beide rechthoekszijden van de driehoek komen vervolgens vierkanten met zijden gelijk aan die rechthoekszijden. Op die vierkanten komen weer gelijkbenige rechthoekige driehoeken (figuur 3B). Dat proces wordt steeds maar herhaald.

Je kunt ook zeggen dat het ‘groene huisje´ van figuur 3A de basis vormt. Dat huisje wordt verkleind op de beide dakranden van het groene huis gezet. Ook dat wordt steeds maar herhaald: verkleinen en op de beide dakranden van voorgaande huisjes plaatsen. Bij elke stap wordt het aantal toe te voegen huisjes verdubbeld. Zo is figuur 3A op te vatten als een boom van orde 0, de meeste elementaire boom. Figuur 3B is dan een boom van orde 1. En zo toont figuur 4 een incomplete boom van orde 3 (eigenlijk een tak daarvan).

Figuur 2. Boom van Pythagoras van Albert Ernst Bosman Figuur 3. Boom van Pythagoras van Albert Ernst Bosman

Figuur 4.

ONEINDIGE OPPERVLAKTE Gemakkelijk is in te zien dat de oppervlakte van de lichtgroene rechthoekige driehoek in figuur 3A een vierde deel is van die van het donkergroene vierkant. Toepassing van de stelling van Pythagoras op de lichtgroene driehoek in figuur 3B maakt dat de oppervlakte van de twee donkerrode vierkanten even groot is als de oppervlakte van het donkergroene vierkant. Immers de som van de kwadraten van de rechthoekszijden is gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. Ook is eenvoudig in te zien dat de oppervlakte van de twee lichtrode driehoeken gelijk is aan die van de lichtgroene driehoek. Alles bij elkaar hebben de twee rode huisjes in figuur 3B samen een oppervlakte gelijk aan de oppervlakte van het groene huis. Zo gaat dat steeds maar door. Bij elke uitbreiding naar een volgende, hogere orde wordt de oppervlakte vergroot met de oppervlakte van de elementaire boom. Bij elk van die stappen wordt immers de oppervlakte van de toe te voegen huisjes steeds de helft van de voorgaande huisjes, maar het aantal toe te voegen huisjes wordt ook verdubbeld. Dus komt er bij elke stap steeds de oppervlakte van de basisboom bij. Zo wordt de totale oppervlakte van een boom van orde n dus (n+1) × (oppervlakte basisboom), waarbij n = 0, 1, 2, 3 …. Aangezien de boom ontstaat door een eindeloze herhaling zal de oppervlakte van de totale boom ook oneindig zijn. Toch is de omvang van de prent eindig. Dat komt doordat na een aantal herhalingen delen van de boom over elkaar heen krullen. Zo zullen er bij eindeloze herhaling oneindig veel (oneindig dunne) lagen over elkaar heen vallen.

BOMEN VAN JOS DE MEY Geïnspireerd door de prent van de Boom van Pythagoras (figuur 2) maakte Jos de Mey in de periode 1975-1978 ruim tweehonderd schetsen. Een aantal daarvan werkte hij uit tot schilderijen en zeefdrukken (figuren 5 en 6). In zijn variaties speelde hij meestal met de vorm van de elementaire of basisboom van figuur 3A en werkte dat uit tot een boom van beperkte orde, zo’n 3 tot 4. Een heel enkele keer gebruikte hij slechts de contouren van zo’n boom. Al zijn bomen voorzag hij dikwijls van een uitgebreide speelse toelichting of omschrijving, zoals bij de figuren 5 en 6, slechts een enkele keer van een korte titel (figuren 7 en 8). Alle hier afgebeelde bomen zijn niet in het museum opgenomen.

Figuur 5. Project voor een kunstmetselwerkboom op te richten in de voortuin van een riante voorstads-tuinwijk-villa. Uitvoering in ‘handvorm’ baksteen gevoegd met naturel zand en echte kalkmortel.