DE RIJKDOM VAN MEETKUNDE

UITWISKELING

MICHEL ROELENS, REDACTIE UITWISKELING

Op de website Math with Bad Drawings vond ik volgend probleem.

WHAT IS THE AREA OF THE SQUARE?

Figuur 1

Deze opgave sprak mij meteen aan. Net als ik tekent de auteur Ben Orlin graag meetkundige figuren (deels) met de losse hand. Ik loste de opgave op met de stelling van Pythagoras en zocht niet verder. Maar toen ik deze opgave aan mijn studenten van de educatieve bacheloropleiding gaf, kwamen er, naast blanco’s en foutieve oplossingen, nog een drietal andere oplossingsmethodes uit de bus. MET DE STELLING VAN PYTHAGORAS Noem r de straal van de cirkel en z de zijde van het vierkant (zie figuur 2). We gebruiken eerst het gegeven van die 1 samen met het raken in E aan de linkerkant:

Nu moeten we nog uitdrukken dat de hoekpunten B en C van het vierkant op de cirkel liggen. Door de symmetrie volstaat het om dit voor C te doen. De stelling van Pythagoras in driehoek MCH geeft:

We gebruiken (1) om (2) om te vormen tot een vergelijking in één onbekende z, en we lossen deze vergelijking op: Omdat de zijde van dit vierkant niet nul kan zijn, vinden we dat de gevraagde oppervlakte van het vierkant gelijk is aan .

Bij deze oplossing hebben we dus gesteund op de stelling van Pythagoras.

Figuur 2. Met de stelling van Pythagoras

STELLING VAN PYTHAGORAS In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.

MET OMTREKSHOEKEN Een andere werkwijze gaat met omtrekshoeken. In figuur 3 staan de omtrekshoeken en op dezelfde boog . Dus zijn en gelijk. Bijgevolg zijn de rechthoekige driehoeken BEH en GCH gelijkvormig (hh). Dit geeft de volgende evenredigheid:

Dit geeft opnieuw, omdat , de oplossing . Bij deze oplossing hebben we gesteund op omtrekshoeken.

Figuur 3. Met omtrekshoeken OMTREKSHOEKEN OP EENZELFDE BOOG Omtrekshoeken op eenzelfde boog in een cirkel zijn gelijk. En ook: ze zijn gelijk aan de helft van de middelpuntshoek op die boog.

MET DE STELLING VAN PTOLEMAIOS IN EEN KOORDENVIERHOEK Omdat de punten B, E, C en G op de cirkel liggen, vormen ze een koordenvierhoek. We kunnen de stelling van Ptolemaios gebruiken. Vooraf bepalen we met de stelling van Pythagoras . De stelling van Ptolemaios geeft:

Omdat , geeft dit:

Je vindt weer (gelukkig maar) dezelfde oplossing. Bij deze oplossing gebruikten we de stelling van Ptolemaios.

MET EEN MIDDELEVENREDIGE Misschien wel de kortste oplossing van allemaal is die met een middelevenredigheid. De driehoek ECG is rechthoekig in C, want de hoek is een omtrekshoek op een halve cirkel. De hoogte op de schuine zijde is bijgevolg de middelevenredige van de twee stukken van de schuine zijde, en . Dus:

wat opnieuw dezelfde oplossing oplevert.

Figuur 4. Met de stelling van Ptolemaios

STELLING VAN PTOLEMAIOS In een koordenvierhoek is het product van de diagonalen gelijk aan de som van de producten van de overstaande zijden.

Figuur 5. Met een middelevenredige

Hier maakten we gebruik van twee eigenschappen: een omtrekshoek op een halve cirkel en een middelevenredigheid in een rechthoekige driehoek.

OMTREKSHOEK OP EEN HALVE CIRKEL Een omtrekshoek op een halve cirkel is recht.

Nederlanders en Duitsers noemen deze stelling de stelling van Thales. In België en Frankrijk gaat de stelling van Thales over het evenwijdig projecteren van evenwijdige lijnstukken.

MIDDELEVENREDIGHEDEN IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK In een rechthoekige driehoek is de hoogte op de schuine zijde de middelevenredige van de stukken waarin ze die schuine zijde verdeelt. En ook: in een rechthoekige driehoek is een rechthoekszijde de middelevenredige van haar projectie op de schuine zijde en de schuine zijde zelf. Hierbij is een lengte x de middelevenredige van twee lengtes y en z als y = x , of nog: als x 2 = y · z .

Voor wie een portie meetkundige achtergrond heeft, eigenschappen kent over omtrekshoeken, middelevenredigheden enz. en die kan gebruiken, geeft het oplossen van een dergelijke oefening veel voldoening. Op een of andere manier moeten de gegevens uitgedrukt worden en verschillende methodes zijn goed. Je kunt verschillende wegen naar eenzelfde oplossing vinden en vergelijken. Voor wie maar één van deze eigenschappen kent, bv. enkel de stelling van Pythagoras, is het een oplosbare oefening, maar een deel van de rijkdom gaat verloren.

Dit is een pleidooi om in onze wiskundelessen toch zo veel mogelijk aandacht te blijven hebben voor synthetische vlakke meetkunde, met een verscheidenheid aan eigenschappen. Zeker in wiskundige richtingen. Eigenschappen die leerlingen kunnen bewijzen en toepassen bij het oplossen van meetkundige problemen. Ze zien hierbij dat het in wiskunde niet altijd gaat om de enige juiste oplossing. Vaak zijn verschillende oplossingswijzen mogelijk, de ene nog mooier dan de andere.

Tot slot nog een paar andere leuke opgaven uit Math wit Bad Drawings. Vind je voor de hoek van ‘The Box of Tangents’ ook 135°? Vind je bij ‘The Trisected Corner’ ook dat één derde van de oppervlakte gekleurd is? En zie je telkens verschillende wegen naar de oplossing? Laat het ons gerust weten, want misschien denk jij aan een manier waar wij niet aan gedacht hebben.

Figuur 6. The Box of Tangents

Figuur 7. The Trisected Corner BRONNEN Orlin, B., Math with Bad Drawings. Lover of math. Bad at drawing. https://mathwithbaddrawings.com

Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 36/2. Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.