Issuu

VECTOR FEBRUARI 2022 - nummer 13

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

3 DE AARDE ALS EEN BOL WOL TENTOONSTELLING KUNST EN WISKUNDE IN VIRTUEEL MUSÉE TESSERACT 28 DE RIJKDOM VAN MEETKUNDE

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade en Pythagoras

2 INHOUD

3 DE AARDE ALS

EEN BOL WOL ONEINDIGE SOMMEN 6 EN ONEIGENLIJKE INTEGRALEN

VECTOR

12 TENTOONSTELLING

KUNST EN WISKUNDE IN VIRTUEEL MUSÉE TESSERACT - DEEL 1 BOEKBESPREKINGEN 18 22

DE RIJKDOM 28 VAN MEETKUNDE 32 TENTOONSTELLING

KUNST EN WISKUNDE IN VIRTUEEL MUSÉE TESSERACT DEEL 2 FLORENCE 36 NIGHTINGALE, ADOLPHE QUETELET EN HET BEGIN VAN DE MEDISCHE STATISTIEK

DE LEVENSVERWACHTINGSFUNCTIE VAN CARDANO

VECTOR 5e jaargang - nummer 13 REDACTIE Tom Harteel, Nicolas Ruys, Anke Oderij, Ellemijn Van Puymbroeck die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be. COVERFOTO © Adobestock VECTOR Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België. VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

3 PYTHAGORAS

DE AARDE ALS EEN BOL WOL DE AARDE IS GROOT. MAAR HOE GROOT? HET IS LASTIG EEN VOORSTELLING VAN TE MAKEN. WAT ALS WE DE AARDE VOORSTELLEN ALS EEN BOL WOL? OF EEN PANNENKOEK? HET BLAD ZO ZIT DAT KREEG EEN VRAAG VAN DE ACHTJARIGE MERLE DIE WILDE WETEN HOE LANG DE AARDE ZOU ZIJN ALS HIJ 1 MM DUN WAS. DAT KUN JE INTERPRETEREN ALS: ALS DE AARDE EEN BAL KAUWGUM IS EN JE REKT DIE UIT TOT EEN SLIERT VAN 1 MM DUN, HOE LANG IS DIE SLIERT DAN? IETS MINDER PLAKKERIG: DE AARDE IS EEN BOL WOL EN DE DRAAD IS 1 MM DUN; HOE LANG IS DIE DRAAD? DOOR KLAAS PIETER HART

HET VOLUME Voor het antwoord hebben we het volume van de aarde nodig. Dat berekenen we met behulp van de formule . De straal halen we uit de omtrek: de kilometer is namelijk zó afgesproken dat de omtrek van de aardbol of gelijk is aan 40.000 km. We zien dat ofwel . Dat laatste

schrijven we natuurlijk als . Het volume van de aarde wordt dan . Dat is afgerond nullen dus).

(ongeveer een 1 met dertig

DE DRAAD Nu gaan we de bol wol uitrollen (of het kauwgum uitrekken). De draad is rond, in feite een cilinder met een diameter van 1 mm, de oppervlakte van een plak uit die . We moeten het volume van de cilinder is dus aarde door die oppervlakte delen om de lengte van de draad te krijgen; dat betekent dus het volume met vermenigvuldigen, en dat geeft . En dat is, afgerond, . Hoe groot is dat? Heel erg groot. Een lichtjaar is een ; daar maken afstand van van. Dat betekent dat onze we voor het gemak maar lichtjaren lang is. Dat wollen draad ongeveer kun je ook uitdrukken als 140 miljard lichtjaren; dat is drie keer zo groot als de straal van het huidige waarneembare universum (45 miljard lichtjaren). Al die (radio)telescopen waar astronomen de ruimte mee onderzoeken zouden het grootste gedeelte van onze draad niet eens opmerken. PANNENKOEK Er is een aardige variant op de vraag: wat als we de Aarde vullen met beslag en daar een pannenkoek van 1 mm dik van maken? Wat is de oppervlakte, O, van die pannenkoek? Omdat we het volume door 1 mm delen houden we hetzelfde getal, maar nu in mm2:

Hoeveel is dat in vierkante (kilo)meters? Wel, 1 m = 1000 mm, dus 1 m2 = 1.000.000 mm2 = 106 mm2. en het aantal vierkante kiloDus meters krijgen we door nog zes nullen weg te halen: . Als we een mooie ronde pannenkoek willen maken moeten we daarvan de straal r even bepalen via of . ,dat is afgerond ; in woorDus den: zeshonderd miljoen kilometer. Hoe groot is dat? Als we de zon in het midden van de pannenkoek leggen kunnen we de baan van Mars nog in stroop op de pannenkoek tekenen; daar ligt nog vrij veel pannenkoek buiten want de (gemiddelde) afstand van de zon tot Mars is ongeveer 250 miljoen kilometer. De baan van Jupiter is te groot: gemiddeld 750 miljoen kilometer. OPGAVE Bepaal wat er gebeurt als je de draad een diameter van 1 cm geeft en de pannenkoek 1 cm dik maakt. Idem voor 10 cm of een meter. Zie je het verband tussen de dikte en de resulterende lengten en oppervlakten?

OEFENING 1 De kasteelheer van Quadronië bezit een kasteel en wil het vergroten door aan één zijkant een donjon bij te bouwen. Daardoor is de omtrek van het kasteel met 10 % toegenomen. Zowel het kasteel als de donjon hebben een vierkant grondplan, zoals in de ﬁguur. Met hoeveel procent is de grondoppervlakte van het kasteel toegenomen? A

OEFENING 2

OEFENING 3

In een doos zitten 340 gekleurde snoeptomaatjes die rood, geel of oranje zijn. De verhouding van het aantal rode tot het aantal gele tomaatjes is 1 : 2 en de verhouding van het aantal gele tot het aantal oranje tomaatjes is 3 : 4. Hoeveel gele tomaatjes zitten in de doos?

Als aan

dan is x gelijk

100

110

120

130

140

6 UITWISKELING

ONEINDIGE SOMMEN EN ONEIGENLIJKE INTEGRALEN IN DE DERDE GRAAD KOMEN ER VERSCHILLENDE CONTEXTEN AAN BOD WAARBIJ HET BEGRIP ONEINDIG TEGENINTUÏTIEVE REACTIES UITLOKT. DAARBIJ MOET BIJZONDERE ZORG BESTEED WORDEN AAN EEN GOEDE INTERPRETATIE VAN HET BEGRIP ONEINDIG. L U C VA N D E N B R O E C K , A N N E S C H AT T E M A N ,

ONEINDIGE SOMMEN De oude Grieken hadden het er moeilijk mee te aanvaarden dat een oneindige som van positieve getallen eindig kon zijn. Dit is onder andere de kern van de paradoxen van Zeno.

R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

… een eindige Dat de rij som heeft, kun je ook makkelijk op een meetkundige manier inzien door tegels en delen van tegels samen te leggen. Als je alle oppervlakten van de tegels in figuur 1 bij elkaar telt, kun je de oppervlakte van twee tegels zo dicht benaderen

In het vijfde jaar maken de leerlingen kennis met de som van rekenkundige en meetkundige rijen. De somformule voor n opeenvolgende termen van een meetkundig rij

toont aan dat de meetkundige reeks (of de rij van de partieelsommen) convergeert, dit wil zeggen dat een eindig getal is, als en slechts als de reden q tot het interval ]-1, 1[ behoort. Op deze manier wordt de klassieke overtuiging dat ‘de som van oneindig veel positieve getallen oneindig is’ duidelijk tegengesproken.

Figuur 1 Totale oppervlakte is twee tegels

als je wilt en zal de oppervlakte van twee tegels niet overschreden worden (zie figuur 1). Een andere rij waarvan de oneindige som soms tot misverstanden leidt, is de harmonische rij. Nicolas Oresme (1323-1382) toonde al in

de veertiende eeuw aan dat de bijbehorende reeks (of de rij van de partieelsommen) divergeert. Dit wil zeggen dat de oneindige som van de termen van de harmonische rij oneindig is. Ook van dit bewijs kunnen we een meetkundige visualisatie geven, zie figuur 2. Deze twee reeksen, de convergerende meetkundige reeks en de divergerende harmonische reeks, zouden tot de standaardkennis van heel wat leerlingen moeten behoren. We hoeven in deze gevallen zelfs geen zware wiskunde in te zetten om de convergentie en divergentie aan te tonen. Voor heel wat andere reeksen is het minder evident te kunnen voorspellen of er convergentie of divergentie is. Laten we de proef op de som nemen. Wat denk je zelf van de volgende reeksen? Welke uitdunning van de harmonische reeks convergeert? Welke divergeert?

1. 2. 3. 4. Neem even de tijd om hierover na te denken, beste lezer. De eerste reeks bevat de omgekeerden van de driehoeksgetallen, de tweede reeks bestaat uit de omgekeerden van de kwadraten, reeks drie heeft de faculteiten van natuurlijke getallen in de noemers en reeks vier de priemgetallen. Zonder in te gaan op bewijzen, geven we hieronder een kort antwoord op deze vraag. Wil je meer weten over uitdunningen van harmonische reeksen dan verwijzen we naar Kindt (2008). De reeks van de reciproken (omgekeerden) van de driehoeksgetallen is genoeg uitgedund om te convergeren. Ook de reeks van de reciproken van de kwadraten

convergeert. Het is makkelijk aan te tonen dat deze reeks convergeert (de rij van de kwadraten wordt immers gemajoreerd door de rij van de driehoeksgetallen) maar het is veel moeilijker om aan te tonen naar welk getal ze convergeert. Het was Euler die als eerste aantoonde dat deze oneindige som gelijk is aan . In Uitwiskeling 30/4 gaven we hier een bewijs van, in de bespreking van Aigner & Ziegler (2013). De reeks met de reciproken van de faculteiten is ook voldoende uitgedund. . Maar de Ze convergeert naar reeks met de omgekeerden van de priemgetallen is niet voldoende uitgedund. Je zou in dit opzicht kunnen zeggen dat er meer priemgetallen zijn in de hoge regionen dan kwadraten, driehoeksgetallen of faculteiten. De vierde reeks divergeert dus. Als je van de priemgetallen alleen de priemtweelingen overhoudt dan is de reeks opnieuw voldoende uitgedund om te convergeren. Deze zeer merkwaardige vondst werd pas in 1919 bewezen (door de Noorse wiskundige Viggo Brun). De reeks convergeert naar de constante 1,902160583104… die sinds de ontdekking de naam van de constante van Brun draagt. De moeilijke voorspelbaarheid van de convergentie van sommen zet zich door naar continue sommen of integralen.

Figuur 2 Totale oppervlakte is oneindig groot

DE TROMPET VAN TORRICELLI Mocht je op het einde van het zesde jaar nog een keer terug willen komen op het begrip oneindig en op de schijnbare paradoxen die dit begrip met zich meebrengt, dan moet je het zeker hebben over verschijnselen zoals de trompet van Torricelli, zie ook Uitwiskeling 7/1, 4-15.

Figuur 3 Dikke en slanke staarten

ONEIGENLIJKE INTEGRALEN Het is bekend dat integralen van functies over een oneindig domein soms een eindige waarde hebben. Dit houdt verband met wat we ontdekten over oneindige sommen. De convergentie van oneigenlijke integralen is geen verplichte leerstof. Als je de grafiek van een functie met de x-as als horizontale asymptoot bekijkt, kun je je intuïtie laten oordelen over de convergentie van de oneigenlijke integraal. Grafieken met een ‘zware staart’ hebben een divergerende oneigenlijke integraal, functies met een ‘lichte staart’ hebben een convergerende integraal. De begrippen ‘zware staart’ en ‘lichte staart’ worden ook gebruikt in de statistiek. In figuur 3 zien we de grafieken van (zware staart) en de functie (lichte staart). van de functie Bij de eerste functie zal de integraal divergeren. over het interval Bij de tweede functie convergeert de integraal naar 1. Dit is volstrekt in

de lijn van de sommen van de rijen: divergeert, de rij de rij convergeert. Het is een leuke oefening om het gebied tussen de zware en de lichte staarten af te tasten. Wat denk je bijvoorbeeld van de functies en , zie figuur 4. Gebruik voor deze oefening bij voorkeur een integratie over het . Stemt je berekening interval overeen met je intuïtie?

Figuur 4 Opnieuw zware en lichte staarten

Als je aan de leerlingen vraagt of het mogelijk is met een vlies met een eindige oppervlakte een oneindige inhoud af te bakenen dan antwoorden ze vast negatief. Ze denken dan misschien aan het bolvormige zeepvlies, dat er om bekend staat met een vaste oppervlakte een maximaal volume aan lucht te omspannen. En dat is een goede redenering. De bol is het lichaam met de grootste inhoud voor een vaste oppervlakte of anders uitgedrukt met de kleinste oppervlakte voor een vaste inhoud. Als je de leerlingen vervolgens vraagt of er lichamen bestaan met

een eindige inhoud en een oneindige oppervlakte, blijft het meestal stil in de klas. Best te begrijpen: deze lichamen liggen niet zomaar voor het rapen. De meest bekende voorbeelden van deze lichamen vind je bij de fractalen. Hieronder zie je bijvoorbeeld de planeet van Koch (zie Sweeny, 2008), een lichaam dat bestaat uit een tetraëder waarop 4 kleinere tetraëders gekleefd zijn, waarop telkens weer 3 kleinere tetraëders gekleefd zijn enz. De figuur is zodanig opgebouwd dat ze zelfgelijkvormig is. Dit betekent dat, wanneer je een klein pinakeltje van deze constructie afbreekt en wanneer je dit vergroot, je in essentie het oorspronkelijke lichaam terug krijgt.

De fractaal die je in figuur 5 ‘ziet’ heeft een eindige inhoud en een oneindige oppervlakte. Het werkwoord ‘zien’ is hier misschien wat kort door de bocht. De afbeelding toont slechts tetraëders van acht verschillende formaten. De echte planeet van Koch heeft oneindig veel verschillende afmetingen van tetraëders. Je kunt je de volledige fractaal wel inbeelden maar je kunt hem niet afbeelden. Een even gek object als de planeet van Koch is de trompet van Torricelli (1608-1647), genoemd naar de uitvinder van de barometer, Evangelista Torricelli. Een andere naam voor deze trompet is de hoorn van Gabriël. De aartsengel Gabriël blies hierop op de Dag des Oordeels en maakte hiermee een symbolische link van het eindige naar het oneindige, van het aardse naar het goddelijke. De moderne leerling zal het object van figuur 6 eerder een ‘vuvuzela’ noemen. De trompet van Torricelli ontstaat door de grafiek van de functie te laten wentelen om de

Figuur 5 De planeet van Koch

Op het internet vind je talrijke grafische ontwerpen van driedimensionale zelfgelijkvormige lichamen. We noemen zelfgelijkvormige objecten fractalen. Figuur 6 Opnieuw zware en lichte staarten

x-as voor . Op het eerste gezicht lijkt de oneindig lange bazuin, die zo ontstaat, niet veel gemeen te hebben met de planeet van Koch. Maar als je dieper doordenkt, zie je toch een gelijkenis: de trompet van Torricelli is een fractaal. Geen gekartelde, zoals je ze meestal aantreft, maar een gladde. Als je een deel van de trompet bekijkt, bijvoorbeeld het gedeelte waarvoor dan kan dit uiteinde affien afgebeeld worden op de hele trompet. Verrassend wordt het echter wanneer je de oppervlakte en de inhoud van deze bazuin berekent. De inhoud is vrij eenvoudig:

Als we als lengte-eenheid de dm nemen, betekent dit dat je de hele trompet kunt vullen met iets meer dan 3 liter vloeistof. De vloeistof zit dan zo diep in de trompet als je je maar kunt inbeelden.

Voor de berekening van de oppervlakte is wat meer vastberadenheid nodig. De integraal die je hiervoor moet berekenen is:

van de trompet te berekenen. Goed geraden: het resultaat is oneindig. Ben je niet zo’n fan van zware integraalberekeningen dan bestaat er een geraffineerde sluipweg:

Deze integraal is niet geschikt om manueel berekend te worden. Je kunt je leerlingen wel laten berekenen dat:

Met deze primitieve functie kunnen ze aan de slag om de oppervlakte

waarbij deze laatste integraal naar oneindig gaat omwille van een functie met een te zware staart. De oppervlakteintegraal is bijgevolg ook gelijk aan oneindig.

Deze berekeningen vragen om een luchtige ontknoping in de klas. Je vertelt de leerlingen dat, als je deze trompet aan de binnenkant en aan de buitenkant zou willen schilderen, je oneindig veel potten verf nodig hebt. Een dure aangelegenheid dus. Daarna vertel je hen dat je een listige manier ontdekt hebt om de trompet toch te kunnen schilderen met een eindig aantal potten verf, binnen een eindig aantal werkuren met een eindig aantal klusjesmannen. Meer nog, je zal zelfs maar zes literpotten verf nodig hebben plus een klein likje. De werkwijze klinkt misschien een beetje surrealistisch maar dat stoort de wiskundige niet. Om de verf aan te brengen ga je niet te werk met een schilderskwast maar je giet liter verf in de trechter. Zoals we berekend hebben, zit de trechter dan precies vol. Daarna giet je de trechter weer leeg. Een dunne film verf zal op de binnenwand van de trompet blijven kleven. Zo is de binnenkant al geschilderd. Omdat de binnen- en buitenwand van de trompet dezelfde oppervlakte hebben, zal je met liter verf de trompet langs binnen en buiten kunnen schilderen. Deze paradox zal wel wat discussie in de klas losmaken. Dat deed ze zelfs op de redactievergadering van Uitwiskeling. Een deel van de leerlingen zal ervan overtuigd zijn dat de integraalberekeningen fouten bevatten. Een ander deel zal bezwaren hebben tegen het schilderen van bijvoorbeeld het klaslokaal door ramen en deuren te sluiten en daarna het lokaal vol verf te gieten.

Sommige leerlingen zullen hier opmerken dat je bij het schilderen rekening moet houden met de fysische structuur van de verf, die bestaat uit verfmoleculen. Je zult liter verf dus nooit in de trompet kunnen gieten want vanaf een zekere is de trompet dunner dan de diameter van een verfmolecule en zal de verf dus ‘blijven steken’. In ieder geval kun je de binnenwand van de trompet niet met een verflaag met een vaste dikte beschilderen...

OEFENING 4 Een stout hondje grijpt het einde van een rol wc-papier en loopt met een constante snelheid daarmee weg. Welke functie beschrijft de dikte y van de rol in functie van het afgerolde stuk x?

Met deze redeneeroefening kun je de kritische ingesteldheid van zesdejaarsleerlingen bij de overstap van SO naar HO mooi testen. BRONNEN Aigner, M., Ziegler, G. (2013). Raisonnements divins. Springer-Verlag. Kindt M. (2008). Wat 40 keer te bewijzen is. Freudenthal Instituut, Utrecht, 79-81 Sweeney J. (2008). 3D Koch Snowflake. Geraadpleegd 01.09.2021. https://www.cati.com/ blog/2008/10/3d-koch-snowflake/

E Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 31/1 als onderdeel van een uitgebreid artikel over het begrip oneindig. Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

©V 􀀁 laamse Wiskunde Olympiade vzw - Eerste Ronde JWO 2021, vraag 10

Deze laatste groep heeft het bij het rechte eind. Het schilderen door het vullen met verf lukt wel met een klaslokaal maar niet met de trompet. We nemen immers stilzwijgend aan dat ‘schilderen’ betekent ‘bedekken met een verflaag met een vast dikte’. Als je een oneindige oppervlakte bedekt met een verflaag met een vaste dikte dan is de verfinhoud oneindig.

12 ARS ET MATHESIS

TENTOONSTELLING KUNST EN WISKUNDE IN VIRTUEEL MUSÉE TESSERACT DEEL 1 OP 20 NOVEMBER IS HET VIRTUELE MUSEUM TESSERACT VAN DE STICHTING ARS ET MATHESIS OFFICIEEL GEOPEND MET EEN TENTOONSTELLING KUNST EN WISKUNDE . HET MUSEUM IS CONTINU 24/7 OPEN. JE HOEFT ER ZELFS NIET DE DEUR VOOR UIT. RUSTIG THUIS IN JE STOEL KUN JE ALLE TENTOONGESTELDE WISKUNSTIGE WERKEN EN OBJECTEN AAN JE VOORBIJ LATEN GAAN. DE TOEGANG IS GRATIS. GA NAAR HTTPS://WWW.ARSETMATHESIS.NL/VIRTUEELMUSEUM-TESSERACT/ OP DE ARS ET MATHESIS-WEBSITE OF SCAN DE QR-CODE HIERBOVEN. OPEN DAAR DE HANDLEIDING MET KORTE UITLEG OVER HOE JE DOOR HET MUSEUM “WANDELT”. IN DIE HANDLEIDING VIND JE OOK TWEE LINKS NAAR DE BEIDE DELEN VAN HET MUSEUM. KLAAS LAKEMAN,

A R S E T M AT H E S I S

Figuur 1

Figuur 2

Aan de wanden hangt veel 2D-werk, maar er zijn ook 3D-objecten die van alle kanten, van onder en boven en soms van binnen kunnen worden bekeken. Hier en daar is extra informatie over het getoonde werk te krijgen door op een blauwe info-button te klikken. Het museum bestaat uit twee delen. Dat was uiteindelijk nodig om binnen de grenzen van de mogelijkheden van het gebruikte systeem te blijven. Het bestuur van Ars et Mathesis sluit een toekomstige uitbreiding met een derde deel niet uit. Naast Nederlandse kunstenaars nemen twee Belgische kunstenaars een prominente plaats in het museum in: Peter Raedschelders en Jos de Mey. Het werk van Raedschelders hangt in deel 1 van het museum in een van de galerijen bezijden de zogenaamde Main Hall. Dat van Jos de Mey in een van de zalen van deel 2. Via de index (zie de handleiding) kun je rechtstreeks bij het werk van Peter Raedschelders dan wel Jos De Mey komen.

hij zich zowel van de tekenpen als van de computer. Raedschelders is voor Ars et Mathesis geen onbekende. In het verleden was hij een trouw bezoeker van de Ars et Mathesis-dagen waar hij zijn nieuwste prenten toonde en te koop aanbood. Zo kwam ik destijds onder andere in het bezit van de prenten van figuur 1 tot en met 4. De invloeden van Escher zijn daarin onmiskenbaar. Raedschelders werd vooral gefascineerd door de regelmatige vlakverdelingen die in het werk van Escher ook veelvuldig voorkomen. Zo maakte hij prenten als in de figuren 3 en 4. Net als de vlinders in de tentoongestelde inkttekening van figuur 3 en de schildpadden van figuur 4 gebruikt Raedschelders - enkele uitzonderingen daargelaten - in zijn vlakvullingen doorgaans dierenmotieven. Naast de vlinders van figuur 3 zijn daar diverse voorbeelden van te bewonderen in de tentoonstelling Kunst en Wiskunde. Toch werden het niet alleen maar regelmatige en periodieke vlakverdelingen met steeds maar andere dierenmotieven. Raedschelders wist er soms een geheel eigen dimensie aan toe te voegen zoals in de tentoongestelde computerprent Vrede of Paece (figuur 5), een vlakverdeling met semi magische eigenschappen zoals Raedschelders dat zelf aanduidt.

VREDE IN TESSERACT De Belgische kunstenaar Peter Raedschelders (1957) heeft een ingenieursachtergrond. Als autodidact heeft hij zich laten inspireren door de alom bekende grafische werken van M.C. Escher (1896-1972). Daarbij bedient

Figuur 3 Vlinders

Figuur 5 Vrede

Figuur 4 Schildpadden

Ook zogenaamde a-periodieke vlakvullingen hebben Raedschelders' aandacht. Hij heeft zelfs een tegelpatroon proberen te vinden bestaande uit één tegel waarmee het hele vlak a-periodiek kon worden opgevuld. Dus zonder ook maar enige regelmaat en symmetrie. Daarover een andere keer mogelijk meer.

VREDESBESPREKING De prent Vrede (figuur 5) bestaat uit 64 vredesduiven die op allerlei wijzen keurig in elkaar passen. Door de aangebrachte kleuren wordt het geheel weliswaar fleuriger, maar maakt op het eerste gezicht ook een wat chaotische indruk. Maar niets is minder waar zoals wordt aangetoond. De duivenpatronen zijn verkregen door vervorming van de zijden van een vierkant (figuur 6). In principe is de vorm van die vervormingen voor alle vier zijden

hetzelfde, maar sommige vervormingen zijn gespiegeld en sommige hebben een andere richting. Ga maar na in figuur 7 waarin overeenkomstige vervormingen (in- en

uitstulpingen) met dezelfde kleur zijn aangegeven. Omdat de duiven op vierkanten zijn gebaseerd, zijn er zoals uit figuur 8 is af te leiden met spiegelingen en

Figuur 6

Figuur 7

Figuur 8

rotaties om 90° precies 8 oriëntaties mogelijk. Die 8 oriëntaties passen perfect in elkaar zodat daarmee het vlak keurig kan worden opgevuld. In Vrede is dat gedaan met 64 duiven, maar het hadden er veel meer kunnen zijn. Van elk van de acht oriëntaties komen in Vrede er steeds acht voor. Elke oriëntatie heeft een andere kleur. De vier oriëntaties die ontstaan door rotaties om 90° van de duif links in figuur 8 hebben de kleuren rood, geel, wit en zwart, die gebaseerd op de rechter duif zijn blauw, licht grijs, donker grijs en beige gekleurd. Ga maar na. Het raamwerk van Vrede is een vierkant 8 bij 8 rooster met in elke vierkante cel een duif. Afgaande op de kleuren lijkt die vlakvulling zomaar in elkaar gezet. Schijn bedriegt. Neem de bovenste rij duiven in figuur 5. Daarin komen alle acht kleuren en daarmee ook alle acht mogelijke oriëntaties precies één keer voor. Voor de andere 7 rijen geldt hetzelfde. Ook komen in alle acht kolommen alle kleuren precies één keer voor. LATIJNS VIERKANT Een Latijns vierkant van orde n is een vierkant met n rijen en n kolommen, gevuld met n verschillende symbolen, waarvan elk precies één keer per rij en ook één keer per kolom voorkomt. Doorgaans bestaan die symbolen uit de natuurlijkje getallen 1 tot en met n (figuur 9). Zo zijn de alom bekende Sudoku-puzzels bijzondere gevallen van Latijnse vierkanten van orde 9. De naam ‘Latijns vierkant’ komt van de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707-1783) die Latijnse symbolen gebruikte in zijn vierkanten. Vrede is dus niets anders

Figuur 9. Latijnse vierkanten van orde 8

dan een voorbeeld van een Latijns vierkant van orde 8. Er kan een een-op-eenrelatie worden gelegd tussen de cijfers 1 tot en met 8, de acht oriëntaties van de duiven en de acht genoemde kleuren. VERMOEDEN VAN GRÜNBAUM Er zijn ook Latijnse vierkanten van orde 8 waarin tevens op de beide diagonalen de cijfers 1 tot en met 8 slechts één keer voorkomen (figuur 10). Dat leidt natuurlijk tot de vraag: Is er een regelmatige vlakverdeling zoals in Vrede te vinden waarbij ook op de diagonalen de 8 verschillende oriëntaties slechts één keer voorkomen. Dit probleem is in zijn algemeenheid (dus ook voor andere ordes dan 8) bestudeerd door de van oorsprong Kroatische wiskundige Branko Grünbaum (1929-2018) van de University of Washington. Hij vermoedt dat dit onmogelijk is, maar bewezen is dat nog niet. UNIEKE PRENTEN Denk in de prent Vrede van figuur 5 nu eens alle kleuren weg. De vlakvulling zelf blijft dus ongemoeid. Houd alle acht kleuren wel bij de hand. Ga dan naar de duif in de linker bovenhoek. Deze kan op 8 mogelijke manieren worden gekleurd. Voor de duif rechts daarvan in de bovenste rij zijn er dan nog 7 kleuren over. Voor de duif daar weer rechts van zijn er nog 6 kleuren beschikbaar. Zo alle duiven op de bovenste rij aflopend kunnen die op 8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40 320 manieren worden gekleurd. Wiskundig komt dit neer op alle mogelijke permutaties van de cijfers 1 tot en met 8. Aangezien op

Figuur 10

Figuur 11. Latijns vredes vierkant

de bovenste rij alle 8 mogelijke oriëntaties van de duiven voorkomen, zijn er tevens 40 320 verschillende manieren om de hele prent van de acht beschikbare kleuren te voorzien. Immers bij een eenmaal gekozen permutatie van de bovenste rij liggen de kleuren in de rest van de prent ook vast want aan de structuur van de verdeling is niets veranderd. Met andere woorden er zijn dus 40 320 vredesprenten mogelijk. Eerder is al opgemerkt dat Vrede een computerprent is. Door het op een systematische manier aan te pakken kunnen al die prenten stuk voor stuk met de computer worden gegenereerd. Zo kunnen dan 40 320 mensen blij worden gemaakt met een heel unieke computerprent Vrede.

Figuur 12. Peter Raedschelders

Als er 40 320 mensen van een unieke vredesprent zijn voorzien hoeft dat nog niet het einde te betekenen. Wanneer dan een van de acht kleuren wordt vervangen door een andere kleur, kan het hele proces weer van voren af aan beginnen. Levert ook weer 40 320 unieke prenten, waarna er opnieuw een kleur kan worden vervangen, enzovoort. Het aantal unieke prenten lijkt zo haast onbeperkt.

BOEKBESPREKINGEN BEN ORLIN, WAT EEN HOND ONS OVER WISKUNDE KAN LEREN. EN 27 ANDERE WONDERLIJKE VERHALEN OVER LIMIETEN, DIFFERENTIALEN EN INTEGRALEN, LANNOO, TIELT, 2021

Ben Orlin, die we kennen van zijn blog mathwithbaddrawings.com, leverde recent een tweede boek af. Na Math with Bad Drawings (besproken in Vector 6) is er nu Wat een hond ons over wiskunde kan leren, de vertaling van het in 2019 verschenen Change is The Only Constant: The Wisdom of Calculus in a Madcap World. Wat je ook zou kunnen vertalen als: Alles is verandering. Het belang van calculus in een gestoorde wereld. Ik heb een uitgesproken mening over dit boek: het is een heerlijk boek! Vooral door de humor: er zijn weinig -- heel weinig zelfs -- boeken over wiskunde waarin humor een grote rol speelt, dit is er een van. Het boek is doorspekt met de typische humoristische Orlin-tekeningen die het boek letterlijk verluchten, zoals in ‘luchtiger maken’, de tekeningen die Orlin zelf ‘slechte’ tekeningen noemt, omdat hij niet beter kan, en die ervoor zorgen dat hij nu in de aankondiging van alweer een nieuw boek ‘bestselling author and worst-drawing artist Ben Orlin’ wordt genoemd. Maar het zijn niet alleen de tekeningen die het doen, ook zijn schrijfstijl maakt het boek en het lezen ervan licht.

Waar gaat het over? Het is een boek over calculus, de wiskunde van afgeleiden en integralen. Ik doceer zelf een calculusvak, en je zou het boek van Orlin de cursus bij dit vak kunnen noemen, omdat dezelfde onderwerpen behandeld worden, en in feite ook een beetje op dezelfde manier. Maar mijn lessen zijn veel saaier. Orlin schetst bij elk begrip dat hij aanbrengt heel veel achtergrond, en daaruit blijkt dat hij heel erg belezen is, want hij haalt die achtergrond op allerlei plaatsen waar ik als wiskundige nooit aan zou denken, vaak uit de literatuur. Dat maakt het boek voor mij ook zo boeiend. De boodschap die Orlin brengt is dat verandering de basis is van alles, en verandering wordt gemeten met behulp van een afgeleide. Hij noemt dit in de inleiding Het eerste gereedschap van de calculus. Daarover gaat deel 1 van het boek, met als titel Momenten. Deel 2 Eeuwigheden gaat over het tweede gereedschap, de integraal. En dan begint het. Het feit dat de tijd oneindig opdeelbaar is in ogenblikken die elk nul seconden duren, gebruikt Orlin om het begrip afgeleide in een punt in te voeren. Het kader hierbij: het verhaal Het geheime wonder, een vertelling van de Argentijnse auteur Jorge Luis Borges die gebaseerd is op de beroemde paradox van de pijl van de Griekse filosoof Zeno van Elea. Het volgende hoofdstuk gaat over een eerste toepassing van de afgeleide. Orlin verplaatst ons naar

de tijd van Newton en laat ons zien hoe Newton kon berekenen hoeveel tijd de maan nodig heeft om een volledige omwenteling omheen de aarde te maken, door zich voor te stellen dat er niet zoveel verschil is tussen de maan en een appel: als je een appel met voldoende kracht wegwerpt, dan zal die ook in een baan rond de aarde komen. Dan volgen hoofdstukken over de betekenis van de eerste en de tweede afgeleide, over het bepalen van een maximum of minimum met de afgeleide, over het feit dat een functie die een afgeleide heeft in elk punt bij voldoende inzoomen plaatselijk bijna volledig recht blijkt te zijn. Er is een hoofdstuk dat gaat over een van de verhalen van Sherlock Holmes waarin het begrip raaklijn een belangrijke rol speelt. En ook exponentiële groei en de logistische differentiaalvergelijking die vandaag zo actueel is komen aan bod. Functies die geen afgeleiden hebben worden gekaderd, eerst aan de hand van een trapvormige diagonaal van een rechthoek waarvan de treden kleiner en kleiner worden, en dan via Brownse beweging… En zo gaat het voort. En wat heeft de hond in de titel van het boek ermee te maken, vraag je je misschien af. Wel, in 2003 verscheen een artikel (in een wiskundetijdschrift) dat als titel had: Kennen honden calculus? Elvis, de hond van auteur Tim Pennings, gaf namelijk de indruk van wel. Stel je voor: je loopt

met je hond op het strand, aan de waterlijn en je gooit een tennisbal in het water. Je hond gaat er achteraan (zie cover van het boek). De hond zwemt minder snel dan hij loopt. Hoe geraakt je hond het snelst bij de bal? Welja, hij loopt best eerst een tijdje evenwijdig met de waterlijn om dan het water in te duiken. Er is zelfs een optimaal moment te bepalen voor deze duik, en dat kan gevonden worden met behulp van een afgeleide. Experimenten uitgevoerd door Tim Jennings leken erop te wijzen dat zijn hond dat optimale punt intuïtief aanvoelde, en dus misschien wel kon afleiden. Jarenlang gaf Tim lezingen samen met zijn hond Elvis. Hij eindige altijd op dezelfde manier, door aan Elvis te vragen: wat is de afgeleide van x3? Orlin brengt het verhaal van de calculus met veel woorden en tekeningen, en met weinig formules. Dat maakt het boek geschikt voor een groot publiek, waartoe zeker kunnen behoren: wiskundigen, leerlingen die al wat weten over wiskunde meer bepaald over afgeleiden, maar ook wiskundeleken met een interesse voor wiskunde. Alweer een absolute aanrader! Orlins volgende boek: Math Games with Bad Drawings: 75 1/4 Simple, Challenging, Go-Anywhere Games—And Why They Matter, verschijnt in 2022. PAU L L E V R I E

ANN DOOMS, WISKUNDE. EEN WANDELING IN DE WONDERE WERELD VAN DE MATHEMATICA. BORGERHOFF EN LAMBERIGTS, GENT, 2021. IN DE REEKS NERDLAND.

Professor Ann Dooms is wiskundige, ze is hoofd van de onderzoeksgroep Digital Mathematics van de VUB. Ze was erbij toen op 14 maart 2021 het Platform Wiskunde Vlaanderen, dat o.a. als bedoeling heeft om het aantal studenten in de wiskundeopleidingen van de universiteiten te doen toenemen, opgericht werd. Een eerste stap om meer wiskundestudenten aan te trekken is duidelijk genoeg: de wiskunde moet aantrekkelijker gemaakt worden, een niet-evidente zaak. Boeken zoals dit kunnen hierbij helpen. Maar steeds moeten bij het schrijven van een boek over wiskunde keuzes gemaakt worden. We kijken even naar het resultaat. Zoals de ondertitel al zegt: het gaat hier over een wandeling in de wondere wereld van de wiskunde. Ann Dooms snijdt een aantal onderwerpen aan die erg belangrijk zijn in de wiskunde, en schuwt daarbij het ‘wonderlijke’ niet. We denken hierbij aan het devies van Simon Stevin: Wonder en is gheen wonder waarmee hij bedoelde dat iets wat wonderbaarlijk lijkt, het vaak niet meer is als je begrijpt hoe het precies in elkaar steekt. Als ik mezelf afvraag waarom ik wiskunde ben gaan studeren, dan is een van de redenen dat ik in een boek een aantal wonderlijke zaken uit de wiskunde was tegengekomen, en dat ik daar het fijne van wilde weten. Enkele ervan komen we ook tegen in dit boek.

Het boek is opgebouwd uit 6 grote delen. Deel 1, van buffet tot bewijs, gaat over de grondslagen van de wiskunde. We beginnen bij het ontstaan van de getallen, en via de evolutie van wiskundige bewijzen (de stelling van Pythagoras) en bewijsvormen (inductie) komen we uit in de twintigste eeuw, toen het allemaal wat misging met de paradox van Russell en de onvolledigheidsstellingen van Gödel. Deel 2, van tellen op de vingers tot meten met een koord, doet wat de titel belooft: van tellen via rijen en reeksen komen we uit bij enkele belangrijke wiskundige constanten, meer bepaald π, e, en de gulden snede. Een dimensie meer en we zitten bij de vlakke meetkunde van Euclides en de vertaling ervan door Descartes. Deel 3, van driehoeken tot relaties, start met de beroemde om dan vergelijking via de laatste stelling van Fermat uit te komen bij Galois en Abel en het oplossen van vergelijkingen. Hierbij komen complexe getallen en groepentheorie om de hoek kijken, en we eindigen uiteindelijk bij een aantal onderwerpen waar het woord ‘wonderlijk’ bij past, bijv. behangpatronen (met natuurlijk M.C. Escher), bolpakkingen, zelfcorrigerende codes, het PageRank-algoritme van Google en de Ramseytheorie. In deel 4, van sterrenhemel tot klei, komen we via fractalen (!) terecht bij afgeleiden en integralen, belangrijke begrippen maar niet zo erg leuk. Dat zijn wavelets, niet-Euclidische meetkunde, Möbiusband en fles van

Klein (en topologie) daarentegen wel. Deel 5, van rekenfout naar voorspellingen, gaat over het rekenen in kansrekening en statistiek, en over Artificiële Intelligentie. Het laatste deel tenslotte, deel 6, van abstractie tot innovatie, geeft een overzicht van de belangrijkste open problemen in de wiskunde en de te winnen prijzen, met de bijhorende boodschap: er is nog werk aan de winkel. Het boek is vlot geschreven, mooi uitgegeven, met erg leuke titels, en goed geïllustreerd met vaak eenvoudige figuren. Zo nu en dan duikt het hoofd van Lieven Scheire op, maar dat was te verwachten in een boek van deze reeks. Weinig formules, en als er dan toch zijn, staan ze in een kadertje zodat de lezer weet wat te verwachten. Ook de anekdotische verhalen over een aantal van de figurerende wiskundigen helpen om van het boek aangenaam leesvoer te maken. Bepaalde passages vond ik moeilijk om te volgen, en moest ik enkele keren herlezen voor ik begreep waarover ze gingen. In dat kader verbaast het me dat er geen enkele referentie terug te vinden is in het boek, wat ik een gemiste kans vind in een tijd waarin het aantal populariserende wiskundeboeken de pan uit rijst. Een aanrader, zeker ook voor leerkrachten die wiskunde onderwijzen zonder een wiskundevooropleiding te hebben gehad. PAU L L E V R I E

22 PYTHAGORAS

DE LEVENSVERWACHTINGSFUNCTIE VAN CARDANO JAAP KLOUWEN

INLEIDING In de levensverzekeringswiskunde, ook wel actuariaat genoemd, zijn de zogeheten ‘AG-tafels’ in gebruik. Ze zijn nodig bij het berekenen van ‘koopsommen’ (eenmalige betalingen) en premies van levensverzekeringen zoals kapitaalverzekeringen (uitkeringen ‘bij leven’), overlijdensverzekeringen en pensioenberekeningen. Het ‘AG’ is het Actuarieel Genootschap, dat deze tabellen eens in de vijf jaar maakt met behulp van sterftegegevens van het CBS, het Centraal Bureau voor de Statistiek. De basis van de AG-tafels zijn de ‘kansen’ op overleving van jaar tot jaar. De overlevingsfunctie is gedefinieerd speelt hierin een grote rol. De functie als het aantal levende personen van x jaar oud, met een (fictieve) startwaarde van 0-jarigen. Zo stelt de overlevingskans voor van een bijvoorbeeld 30-jarige man of vrouw om 65 te worden. (Er zijn in de levensverzekeringswereld twee soorten -tabellen: voor mannen en voor vrouwen.) In de loop der tijd zijn gebruikt, onder diverse modellen voor de functie andere door Graunt (1661), de Moivre (1725), Gompertz (1825) en Makeham (1860). De AG-tafels zijn gebaseerd op de overlevingsfunctie van Makeham, met enkele aanpassingen. Het vakgebied van de levensverzekeringswiskunde is overigens deels te danken aan raadpensionaris Johan de Wit, die in 1671 liet zien hoe je de koopsom van bijvoorbeeld een ‘lijfrente’ (letterlijk: ‘rente’ d.w.z. uitkeringen op eigen ‘lijf’, dus bij leven) of overlijdensverzekering kon berekenen met behulp van sterfte- en overlevingskansen uit het recente verleden. Velen beschouwen de Engelsman Haunt als de eerste die een (empirische) overlevingsfunctie voorstelde. In

Italië was het echter Geronimo Cardano, die een eeuw eerder (in 1560) indirect een overlevingsfunctie opstelde. We zullen in dit artikel laten zien dat Cardano inderdaad al veel erder een -functie suggereerde. (HISTORISCHE) OVERLEVINGSFUNCTIES Een overlevingsfunctie is een formule, al dan niet gebaseerd op theoretische argumenten, die overleving/ sterfte van een bevolking kwantitatief vastlegt. John Graunt publiceerde in 1661 de volgende overlevingscijfers (bekend als de ‘London life table’): Age

26 36 46 56 66 76

Survivors

100 64 40 25 16

10 6

Dit is de eerste (proefondervindelijke) overlevingsfunctie . In later jaren zocht men naar een formule, die zo goed mogelijk bij de praktijk paste. Abraham de Moivre stelde in 1725 een eenvoudige, dalende lineaire functie voor, met startwaarde 86:

Later volgde de overlevingsfunctie van Benjamin Gompertz:

Hierin zijn k, g en c drie nog te bepalen parameters. Let op: het gaat hier over de macht (x) van een macht (c) van een grondtal g. Verder geldt: k > 0, 0 < g < 1 en c > 1.

In de huidige praktijk van levensverzekeringen wordt gebruikgemaakt van de formule van William Makeham:

Deze overlevingsfunctie kent vier parameters: k, s, g en c. Ze zijn onder andere gebaseerd op de eerder genoemde sterftegegevens van het CBS, de steeds nog stijgende overlevingskansen van Nederlanders en een techniek die de losse data ‘wiskundig gladstrijkt’. (We gaan op de technische achtergrond van deze formule in dit artikel verder niet in.) In onderstaande figuur zijn de grafieken weergeven van de overlevingsfuncties van Graunt, Gompertz (met k = 100,1; g = 0,999 en c = 1,1) en Makeham. = 100 gekozen voor de Voor de overzichtelijkheid is modellen van Gompertz en Makeham (in de praktijk worden daar andere startwaarden voor gekozen).

torstitel in de medicijnen. Cardano is het meest bekend om zijn methode ter oplossing van derdegraadsvergelijkingen (met Tartaglia). Ook hield hij zich al bezig met het imaginaire getal i, de wortel uit –1. Verder is bekend dat hij zeer goklustig was en een regelmatig cafébezoeker. In 1566 publiceerde hij Liber de Ludo Alea (‘The Book on Games of Chance’). In dit boek suggereert hij een model voor de ‘gemiddelde resterende levensduur’. We zullen dit model de ‘levensverwachtingsfunctie van Cardano’ noemen. CARDANO’S LEVENSVERWACHTINGSFUNCTIE Cardano stelde om te beginnen vast dat hij niemand ouder dan 85 kende. Verder nam hij aan dat elk jaar de resterende levensduur (’levenskracht’ noemde hij dit) met een vaste factor 39/40 afneemt. (Helaas geeft Cardano geen verklaring van de waarde van de factor 39/40.) Uiteraard wordt de levenskracht elk jaar verminderd met 1. We krijgen zo het volgende model:

de (resterende) levensverwachting op Hierin stelt leeftijd x voor. Voor de oplossing van deze differentievergelijking (iteratieve vergelijking), de levensverwachtingsfunctie moeten we eerst ‘lineariseren’. Stel daartoe model te schrijven als:

Opdracht 1 Bereken de coördinaten van het buigpunt van , de overlevingsfunctie van Gompertz. Check deze coordinaten in de grafiek. GERONIMO CARDANO Geronimo Cardano, ook bekend als Gerolamo Cardano (1501-1576) was, zoals zoveel van zijn tijdgenoten, een veelzijdig wetenschapper: natuurkundige, astroloog, wiskundige en filosoof. In 1526 behaalde hij een doc-

. Dan is het oorspronkelijke

Opdracht 2 Los deze iteratieve vergelijking op en vind daarmee . Tip: probeer . Lees dan verder. De oplossing is:

Dit is een dalende exponentiële functie met de hoopgevende eigenschap dat de ‘levenskracht’ van een = 304 jaar. Een aantal volgende 0-jarige gelijk is aan = 295, = 287, = 279. (afgeronde) waarden zijn:

De ‘levenskracht’ neemt in deze jaren volgens Cardano dus met 8 à 9 per jaar af. Zie onderstaande grafiek. -functie niet erg realistisch, zoals we Helaas is deze straks zullen zien.

Opdracht 3 Bewijs (2) en (3) uit eigenschap (1). In woorden: twee opeenvolgende (resterende) levensduren mogen niet niet meer dan 1 verschillen. Aan deze -functie van Cardano niet, eigenschap voldoet de want in de ‘beginjaren’ verschillen ze 8 à 9 jaar. Opdracht 4 met Ga na dat bijvoorbeeld als variant op de levensverwachtingsfunctie van Cardano wel aan (2) en (3) voldoet. Natuurlijk kunnen we ook voor de andere -functies de vinden. Redelijk bijbehorende overlevingsfuncties eenvoudig kan worden aangetoond dat de lineaire -functie van de Moivre ook weer lineair is:

RELATIE TUSSEN EN De levensverwachtingsfunctie van Cardano is niet rechtstreeks te vergelijken met een overlevingsfunctie. Dat komt omdat de volgende relatie bestaat tussen : en

staat voor de hoogste leeftijd in een (Het symbool -tabel, in Nederland nu rond de 115 jaar.) Elke term stelt hierin een levensjaar (‘1’) voor en de bijbehorende kans daarop ten opzichte van levensjaar x. Uit boven-staande relatie volgt echter ook:

En daarmee tevens − omdat de eenjarige overlevingskleiner is dan 1: kans

-funties van Tot slot staan in onderstaande figuur de Cardano, de Moivre, Gompertz en Makeham bij elkaar afgebeeld.

ANTWOORDEN Opdracht 1 We moeten voor een buigpunt tweemaal differentiëren, op 0 stellen en een tekenwisseling laten zien. Als

dan is de eerste afgeleide, gebruikmakend van het en feit dat de afgeleide van gelijk is aan toepassing van de kettingregel met daarin weer een kettingregel:

Dan is de tweede afgeleide, met de somregel:

Opdracht 2 De algemene oplossing hiervan is:

Opdracht 3 Uitschrijven van

in termen van

en daarin ‘1’

volgt vrijwel direct vergelijking (2) en noterend als daarmee ook (3). Opdracht 4 De oplossing van deze iteratievergelijking is . Redelijk eenvoudig is in te zien dat voor alle .

Deze dubbele afgeleide op 0 stellen levert, na factorisatie:

Hieruit volgt

en dus, na enig omschrijven,

Met g = 0,999 en c = 1,1 en k = 100,1 volgen hieruit de coordinaten van het buigpunt (72,47; 36,28).

Gegeven is een rij symbolen . We maken een door tweede rij door in de eerste elke en elke door te vervangen. Daarna maken we van de tweede rij een derde rij door dezelfde regels nog eens toe te passen. Welke rij symbolen hebben we uiteindelijk? A

Aangezien k > 0, 0 < g < 1 en c > 1 zijn de eerst vijf factoren in deze vergelijking ongelijk aan 0 en resulteert dus:

OEFENING 5

©V 􀀁 laamse Wiskunde Olympiade vzw - Kangoeroe Koala 2021, vraag 7

Met deze 5 puzzelstukken kan je een rechthoek maken. Wat is de uitkomst van de oefening die dan verschijnt?

OEFENING 7 In een kookboek staat een recept om 100 pannenkoeken te maken. Wim heeft maar 5 eieren, 500 g bloem, 1 l melk en 200 g boter. Hoeveel pannenkoeken kan Wim ten hoogste maken?

Ingrediënten voor 100 pannenkoeken 25 eieren 4 l melk 5 kg bloem 1 kg boter

©V 􀀁 laamse Wiskunde Olympiade vzw - Kangoeroe Wallabie 2021, vraag 14

OEFENING 6

Een rechthoekige tablet chocolade bestaat uit even grote vierkanten. Mila breekt 2 volledige repen van de tablet, door 1 keer te breken. Ze eet de 12 afgebroken vierkanten op. Daarna breekt Louis van de rest van deze tablet 1 volledige reep af. Hij eet de 9 afgebroken vierkanten op. Hoeveel chocolade vierkanten blijven er over?

OEFENING 8

OEFENING 9 Benthe legt 5 vierkanten zoals in de ﬁguur. Het kleinste vierkant heeft oppervlakte 1. Hoe groot is de aangeduide lengte?

3,5

4,3

4,5

OEFENING 10 Het vierkant hieronder is verdeeld in 36 congruente vierkantjes. Welk deel van dat vierkant is rood gekleurd?

Leerlingen die door omstandigheden niet op school konden deelnemen aan de wiskunde olympiade, deden dat online met usolvit (www.usolvit.be).

Met jouw leerkracht account voor usolv-it kun je kiezen uit reeds meer dan 19000 oefeningen. Usolv-it Leerkracht is er ook voor je collega’s Biologie, Chemie, Economie, Fysica en Geografie.

28 UITWISKELING

DE RIJKDOM VAN MEETKUNDE MICHEL ROELENS,

R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

Op de website Math with Bad Drawings vond ik volgend probleem. WHAT IS THE AREA OF THE SQUARE?

MET DE STELLING VAN PYTHAGORAS Noem r de straal van de cirkel en z de zijde van het vierkant (zie figuur 2). We gebruiken eerst het gegeven van die 1 samen met het raken in E aan de linkerkant:

Nu moeten we nog uitdrukken dat de hoekpunten B en C van het vierkant op de cirkel liggen. Door de symmetrie volstaat het om dit voor C te doen. De stelling van Pythagoras in driehoek MCH geeft:

Omdat de zijde van dit vierkant niet nul kan zijn, vinden we dat de gevraagde oppervlakte van het . vierkant gelijk is aan

Figuur 1

Deze opgave sprak mij meteen aan. Net als ik tekent de auteur Ben Orlin graag meetkundige figuren (deels) met de losse hand. Ik loste de opgave op met de stelling van Pythagoras en zocht niet verder. Maar toen ik deze opgave aan mijn studenten van de educatieve bacheloropleiding gaf, kwamen er, naast blanco’s en foutieve oplossingen, nog een drietal andere oplossingsmethodes uit de bus.

We gebruiken (1) om (2) om te vormen tot een vergelijking in één onbekende z, en we lossen deze vergelijking op: Figuur 2. Met de stelling van Pythagoras

Bij deze oplossing hebben we dus gesteund op de stelling van Pythagoras.

STELLING VAN PYTHAGORAS In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.

MET OMTREKSHOEKEN Een andere werkwijze gaat met omtrekshoeken. In figuur 3 staan de omtrekshoeken en op dezelfde boog . en gelijk. Bijgevolg Dus zijn zijn de rechthoekige driehoeken BEH en GCH gelijkvormig (hh). Dit geeft de volgende evenredigheid:

Dit geeft opnieuw, omdat . oplossing

Bij deze oplossing hebben we gesteund op omtrekshoeken.

OMTREKSHOEKEN OP EENZELFDE BOOG Omtrekshoeken op eenzelfde boog in een cirkel zijn gelijk. En ook: ze zijn gelijk aan de helft van de middelpuntshoek op die boog. Figuur 4. Met de stelling van Ptolemaios

MET DE STELLING VAN PTOLEMAIOS IN EEN KOORDENVIERHOEK Omdat de punten B, E, C en G op de cirkel liggen, vormen ze een koordenvierhoek. We kunnen de stelling van Ptolemaios gebruiken. Vooraf met de stelling van bepalen we . De stelling van Pythagoras Ptolemaios geeft:

, de Omdat

, geeft dit:

Bij deze oplossing gebruikten we de stelling van Ptolemaios. STELLING VAN PTOLEMAIOS In een koordenvierhoek is het product van de diagonalen gelijk aan de som van de producten van de overstaande zijden.

MET EEN MIDDELEVENREDIGE Misschien wel de kortste oplossing van allemaal is die met een middelevenredigheid. De driehoek ECG is rechthoekig in C, want de is een omtrekshoek op een hoek op de halve cirkel. De hoogte schuine zijde is bijgevolg de middelevenredige van de twee stukken van de schuine zijde, en . Dus:

Je vindt weer (gelukkig maar) dezelfde oplossing.

Figuur 3. Met omtrekshoeken

wat opnieuw dezelfde oplossing oplevert.

Hierbij is een lengte x de middelevenredige van twee lengtes y en z als y = x , of nog: als x 2 = y · z .

Figuur 5. Met een middelevenredige

Hier maakten we gebruik van twee eigenschappen: een omtrekshoek op een halve cirkel en een middelevenredigheid in een rechthoekige driehoek. OMTREKSHOEK OP EEN HALVE CIRKEL Een omtrekshoek op een halve cirkel is recht.

Voor wie een portie meetkundige achtergrond heeft, eigenschappen kent over omtrekshoeken, middelevenredigheden enz. en die kan gebruiken, geeft het oplossen van een dergelijke oefening veel voldoening. Op een of andere manier moeten de gegevens uitgedrukt worden en verschillende methodes zijn goed. Je kunt verschillende wegen naar eenzelfde oplossing vinden en vergelijken. Voor wie maar één van deze eigenschappen kent, bv. enkel de stelling van Pythagoras, is het een oplosbare oefening, maar een deel van de rijkdom gaat verloren. Dit is een pleidooi om in onze wiskundelessen toch zo veel mogelijk aandacht te blijven hebben voor

Nederlanders en Duitsers noemen deze stelling de stelling van Thales. In België en Frankrijk gaat de stelling van Thales over het evenwijdig projecteren van evenwijdige lijnstukken.

MIDDELEVENREDIGHEDEN IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK In een rechthoekige driehoek is de hoogte op de schuine zijde de middelevenredige van de stukken waarin ze die schuine zijde verdeelt. En ook: in een rechthoekige driehoek is een rechthoekszijde de middelevenredige van haar projectie op de schuine zijde en de schuine zijde zelf.

Figuur 6. The Box of Tangents

synthetische vlakke meetkunde, met een verscheidenheid aan eigenschappen. Zeker in wiskundige richtingen. Eigenschappen die leerlingen kunnen bewijzen en toepassen bij het oplossen van meetkundige problemen. Ze zien hierbij dat het in wiskunde niet altijd gaat om de enige juiste oplossing. Vaak zijn verschillende oplossingswijzen mogelijk, de ene nog mooier dan de andere. Tot slot nog een paar andere leuke opgaven uit Math wit Bad Drawings. Vind je voor de hoek van ‘The Box of Tangents’ ook 135°? Vind je bij ‘The Trisected Corner’ ook dat één derde van de oppervlakte gekleurd is? En zie je telkens verschillende wegen naar de oplossing? Laat het ons gerust weten, want misschien denk jij aan een manier waar wij niet aan gedacht hebben.

BRONNEN Orlin, B., Math with Bad Drawings. Lover of math. Bad at drawing. https://mathwithbaddrawings.com Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 36/2. Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

Figuur 7. The Trisected Corner

32 ARS ET MATHESIS

TENTOONSTELLING KUNST EN WISKUNDE IN MUSÉE TESSERACT DEEL 2 IN DEEL 2 VAN MUSÉE TESSERACT HANGT WERK VAN DE BELGISCHE SCHILDER JOS DE MEY (1928-2007). GA NAAR HTTPS://WWW. ARSETMATHESIS. NL/VIRTUEELMUSEUM-TESSERACT/ OF SCAN DE QR-CODE EN KIES VOOR DEEL 2. HET GETOONDE WERK VAN DE MEY IS OP TE DELEN IN TWEE CATEGORIEËN: PYTHAGORASBOMEN EN ONMOGELIJKE FIGUREN. EEN GOED VOORBEELD VAN DE LAATSTE CATEGORIE IS HET SCHILDERIJ UIT- EN INZICHTRAAM DAT HIJ IN 1994 MAAKTE VOOR ARS ET MATHESIS VRIENDEN (FIGUUR 1). DIT WERK, DAT OVERIGENS NIET IN DE TENTOONSTELLING IS OPGENOMEN, BEVAT OOK AFBEELDINGEN VAN DE ONMOGELIJKE DRIEBALK VAN PENROSE EN HET ONMOGELIJKE KRATJE VAN M.C. ESCHER. KLAAS LAKEMAN,

A R S E T M AT H E S I S

PYTHAGORASBOOM Het idee voor zijn Pythagorasbomen ontleende De Mey aan de prent Boom van Pythagoras (figuur 2) die de Nederlandse ingenieur Albert Ernst Bosman (1891-1961) tijdens de Tweede Wereldoorlog in 1943 maakte. Naast allerlei andere bijzondere meetkundige onderwerpen heeft Bosman de boom in 1957 beschreven in zijn boek Het wondere onderzoekingsveld der vlakke meetkunde. De opbouw van de boom is als volgt. Neem een vierkant en plaats daar een gelijkbenige rechthoekige driehoek op (figuur 3A). De schuine zijde van de driehoek is even groot als een zijde van het vierkant. Op de beide rechthoekszijden van de driehoek komen vervolgens vierkanten met zijden gelijk aan die rechthoekszijden. Op die vierkanten komen weer gelijkbenige rechthoekige driehoeken (figuur 3B). Dat proces wordt steeds maar herhaald.

Figuur 1. Uit- en inzichtraam van Jos De Mey

Figuur 2. Boom van Pythagoras van Albert Ernst Bosman

Je kunt ook zeggen dat het ‘groene huisje´ van figuur 3A de basis vormt. Dat huisje wordt verkleind op de beide dakranden van het groene huis gezet. Ook dat wordt steeds maar herhaald: verkleinen en op de beide dakranden van voorgaande huisjes plaatsen. Bij elke stap wordt het aantal toe te voegen huisjes verdubbeld. Zo is figuur 3A op te vatten als een boom van orde 0, de meeste elementaire boom. Figuur 3B is dan een boom van orde 1. En zo toont figuur 4 een incomplete boom van orde 3 (eigenlijk een tak daarvan).

Figuur 3. Boom van Pythagoras van Albert Ernst Bosman

Zo wordt de totale oppervlakte van een boom van orde n dus (n+1) × (oppervlakte basisboom), waarbij n = 0, 1, 2, 3 …. Aangezien de boom ontstaat door een eindeloze herhaling zal de oppervlakte van de totale boom ook oneindig zijn. Toch is de omvang van de prent eindig. Dat komt doordat na een aantal herhalingen delen van de boom over elkaar heen krullen. Zo zullen er bij eindeloze herhaling oneindig veel (oneindig dunne) lagen over elkaar heen vallen.

Figuur 4.

ONEINDIGE OPPERVLAKTE Gemakkelijk is in te zien dat de oppervlakte van de lichtgroene rechthoekige driehoek in figuur 3A een vierde deel is van die van het donkergroene vierkant. Toepassing van de stelling van Pythagoras op de lichtgroene driehoek in figuur 3B maakt dat de oppervlakte van de twee donkerrode vierkanten even groot is als de oppervlakte van het donkergroene vierkant. Immers de som van de kwadraten van de rechthoekszijden is gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. Ook is eenvoudig in te zien dat de oppervlakte van de twee lichtrode driehoeken gelijk is aan die van de lichtgroene driehoek. Alles bij elkaar hebben de twee rode huisjes in figuur 3B samen een oppervlakte gelijk aan de oppervlakte van het groene huis. Zo gaat dat steeds maar door. Bij elke uitbreiding naar een volgende, hogere orde wordt de oppervlakte vergroot met de oppervlakte van de elementaire boom. Bij elk van die stappen wordt immers de oppervlakte van de toe te voegen huisjes steeds de helft van de voorgaande huisjes, maar het aantal toe te voegen huisjes wordt ook verdubbeld. Dus komt er bij elke stap steeds de oppervlakte van de basisboom bij.

BOMEN VAN JOS DE MEY Geïnspireerd door de prent van de Boom van Pythagoras (figuur 2) maakte Jos de Mey in de periode 1975-1978 ruim tweehonderd schetsen. Een aantal daarvan werkte hij uit tot schilderijen en zeefdrukken (figuren 5 en 6). In zijn variaties speelde hij meestal met de vorm van de elementaire of basisboom van figuur 3A en werkte dat uit tot een boom van beperkte orde, zo’n 3 tot 4. Een heel enkele keer gebruikte hij slechts de contouren van zo’n boom. Al zijn bomen voorzag hij dikwijls van een uitgebreide speelse toelichting of omschrijving, zoals bij de figuren 5 en 6, slechts een enkele keer van een korte titel (figuren 7 en 8). Alle hier afgebeelde bomen zijn niet in het museum opgenomen.

Figuur 5. Project voor een kunstmetselwerkboom op te richten in de voortuin van een riante voorstads-tuinwijk-villa. Uitvoering in ‘handvorm’ baksteen gevoegd met naturel zand en echte kalkmortel.

Figuur 6. Ordelijk gebouwde met gecontroleerd woekerende grassoorten begroeide boomburcht.

Figuur 7. Tulbandboom (schets)

Figuur 8. Marmerboomgatenmuur (schets)

36 WISKUNDE EN ONDERWIJS

FLORENCE NIGHTINGALE, ADOLPHE QUETELET EN HET BEGIN VAN DE MEDISCHE STATISTIEK WISKUNDE EN ONDERWIJS EN OOK DE ZEBRA-BOEKJES HEBBEN NAAR AANLEIDING VAN DE CORONACRISIS VEEL AANDACHT BESTEED AAN DE WISKUNDE WAARMEE EPIDEMIEËN KUNNEN WORDEN BESCHREVEN. DE MEDISCHE STATISTIEK IS INTUSSEN VER GEVORDERD EN KAN VOORSPELLINGEN DOEN MET RELATIEF FIJNMAZIGE DATA. IN DEZE BIJDRAGE SCHETSEN WE HET BEGIN VAN DE MEDISCHE STATISTIEK EN DE MAATSCHAPPELIJKE IMPACT ERVAN. BIJ DAT BEGIN ZIJN EEN LANDGENOOT, ADOLPHE QUETELET, EN EEN VERPLEEGSTER, FLORENCE NIGHTINGALE, BETROKKEN. NIGHTINGALE DIE, ALS VOLLEERD STATISTICUS EN ADEPT VAN QUETELET, LESSEN TROK UIT DE AARD VAN DE VERZORGING VAN SOLDATEN TIJDENS DE KRIMOORLOG. BRANDEND ACTUEEL! AD MESKENS,

A R T I K E L U I T W I S K U N D E & O N D E RW I J S , H E T T I J D S C H R I F T VA N D E V L A A M S E V E R E N I G I N G W I S K U N D E L E R A A R S

STATISTIEK IN DE NEGENTIENDE EEUW Naar het einde van de achttiende eeuw groeide het inzicht dat de macht van staten niet alleen afhing van de grootte ervan, maar ook van het bevolkingsaantal en van de productiviteit van de bevolking. Dit besef leidde in alle landen tot een vak dat men in Duitsland “Statenkunde” of

“Statistik” noemde. Het is ook in dit licht dat we Bonapartes invoering van de burgerlijke stand kunnen zien: het op systematische wijze verzamelen van statistisch basismateriaal. De statistiek leidde ook tot de actuariële wetenschappen. Hoewel er reeds levensverzekeringen verkocht werden en er op kleine schaal pogingen

werden gedaan om die correct te prijzen, kwam het betrouwbare materiaal pas in het eerste kwart van de negentiende eeuw ter beschikking. Uiteraard ook als gevolg van het bestaan van de burgerlijke stand en zijn schat aan statistische gegevens. Eén van de pioniers van de negentiende-eeuwse statistiek en haar toepassingen was Adolphe Quetelet.

Figuur 1. Standbeeld van Quetelet in Brussel.

Figuur 2. Leeftijd waarop mannen en vrouwen huwen. Physique sociale, p.272.

Hommage à monsieur Quetelet Créateur de la Statistique Auteur de nous tous Sa petite ‘camarade’ Florence Nightingale Reconnaissante

hij samen met Dandelin een opera componeert, Jean Second. Deze werd in de Gentse opera tweemaal opgevoerd. Wiskundig culmineert hun samenwerking uiteraard in de “Belgische stelling” ([2]).

LAMBERT-ADOLPHE-JACQUES QUETELET Lambert-Adolphe-Jacques Quetelet, die als auteur als Adolphe Quetelet tekende, werd op 22 februari 1796 in Gent geboren als zoon van een Picardische vader en een Waalse moeder. Vanaf 1808 volgt hij lessen aan het door de Fransen opgerichte Gentse Lyceum ([1]). Al snel blijkt dat hij uitblinkt in wiskunde. Het is hier, aan het Gentse Lyceum, dat hij Germinal Dandelin (1794 - 1847) leert kennen. Na zijn afstuderen in 1813 en zonder financiële middelen om verder te studeren, gaat hij als leraar aan de slag in een Oudenaardse privé-school. In 1815 krijgt hij de kans om aan zijn oude school, die inmiddels tot Koninklijk College is herdoopt, les te geven. Het is in deze periode dat

Het is slechts een korte passage in het Koninklijk college want de oprichting door Willem I van een Rijksuniversiteit geeft Quetelets leven een andere wending. Hij wordt assistent aan de nieuwe universiteit en in 1819 dient hij zijn doctoraatsthesis in. Nog datzelfde jaar wordt hij wiskundeleraar aan het Atheneum van Brussel. Na 1830 was Quetelet betrokken bij nagenoeg alle wetenschappelijkinstitutionele ontwikkelingen in het jonge België. Zo lag hij mee aan de basis van de oprichting van de Koninklijke Sterrenwacht en het Koninklijk Meteorologisch Instituut. Quetelet had het idee dat de theorie van meetfouten ook op de mens kon worden toegepast. Zijn ideeën hierrond zette hij uiteen in

Figuur 3. De sterftecijfers op verschillende leeftijden gezien over een periode van een jaar. Physique sociale, p.334.

zijn in 1835 verschenen boek Sur L'homme et le développement de ses facultés ou Essai de Physique Sociale, gewoonlijk geciteerd als Physique Sociale. Zijn stelling is dat de menselijke eigenschappen een normaalverdeling volgen. Er bestaat dus ook iets als een “gemiddelde mens” (l’homme moyen). Sommige aspecten van de gemiddelde mens zijn universeel, maar andere hangen volgens Quetelet af van nationaliteit of ras. Zijn gegevens haalde Quetelet uit verschillende officiële statistieken. In het eerste deel van zijn boek behandelt hij o.a. geboorte- en sterftetabellen. In het tweede deel gaat hij o.a. dieper in op de evolutie van onder andere lengte en gewicht met de leeftijd. In het derde deel behandelt hij de “morele en intellectuele eigenschappen”. Over het algemeen waren de data hiervoor ontoereikend, behalve

voor strafrechtelijke veroordelingen. Hij trekt er de conclusie uit dat de incidentie van misdaden even voorspelbaar is als geboorte- en sterftecijfers. (zie figuur 2 en 3) Niet onbelangrijk in dit verhaal is dat hij privé-leraar was van Albert van Saksen-Coburg-Gotha, de latere prins-gemaal van koningin Victoria. Quetelets boek over waarschijnlijkheden (1845) is opgedragen aan Alberts vader. In dit boek verwees Quetelet onder meer naar de medische praktijk die volgens hem niet voldeed omdat er niet genoeg data werden bijgehouden. Met name hekelde hij het gebrek aan onderzoek in verband met de effectiviteit van geneesmiddelen. Een belangrijk inzicht van Quetelet was:

“Si je ne craignais d'être taxé d'exagération, je dirais qu'une bonne administration sauve peut-être plus de malades dans les hôpitaux, que la science des médecins les plus habiles. Pour juger de son influence sur la santé des hommes réunis dans de vastes établissements, qu'on examine ce qui se passe dans les prisons; on y verra la mortalité varier dans les limites les plus larges.” (Lettres (1845), p.349-50)

FLORENCE NIGHTINGALE Florence Nightingale werd op 12 mei 1820 geboren in Firenze. Haar voornaam verwijst naar die geboortestad. Ze was de dochter van grootgrondbezitters William en Frances Nightingale. Reeds tijdens haar jeugd was het duidelijk dat ze aanleg had voor vreemde talen en voor wiskunde. Voor de opvoeding van een jongedame in de eerste helft van de negentiende eeuw was wiskunde echter geen belangrijk onderwerp. De jonge Florence, die wist dat haar familie haar interesse zou afkeuren, studeerde dat dan maar op haar eentje door voor het ontbijt boeken over wiskunde en vooral statistiek te lezen. Naast haar studie over statistiek had ze ook boeken over hospitaaladministratie gelezen. Het maakte dat ze hierin reeds een expert was nog vóór ze aan haar verpleegstersopleiding begon. Het is ook in deze periode dat ze in contact is gekomen met Quetelets werk, niet met Physique sociale, maar waarschijnlijk met Du système social (1848).

Een beetje zoals in de romans van Jane Austen hoopte haar moeder dat haar dochter een goede partij zou vinden om te huwen. Dochterlief meende op zestienjarige leeftijd echter een goddelijke roeping te hebben en zette haar zinnen op verpleegster worden, wat niet in goede aarde viel bij haar ouders. Pas in 1851 kon ze zich inschrijven als studentverpleegster aan het hospitaal van het Duitse Kaiserswerth. Ze vervolledigde haar opleiding bij de Sœurs de la charité in Frankrijk. In 1854 werd ze diensthoofd in een hospitaal in het Londense Harley Street. DE KRIMOORLOG EN ZIJN GEVOLGEN De gevolgen van de gebeurtenissen van september 1854 zouden haar tot een beroemdheid maken. In september 1854 mengden Frankrijk en Groot-Brittannië zich in een Turks-Russisch conflict. Het was het begin van de Krimoorlog. De Lichte Brigade en the lady with the lamp werden wereldberoemd. Haar kennis van statistiek en van hospitaaladministratie, samen met een aantal ideeën van Quetelet, paste ze tijdens de Krimoorlog toe toen ze diensthoofd was in het Scutari-ziekenhuis aan de Bosporus. (figuur 5 en 6) De Krimoorlog was de eerste waar ook oorlogscorrespondenten

Figuur 5. Jerry Barrett, Nightingale receiving the Wounded at Scutari, voor 1906, National Portrait Gallery, London. Figuur 6. “Crimean War: Florence Nightingale with her lamp at a patient's bedside.” Chromolithograph, c. 1856. © Wellcome Collection

aanwezig waren. Een gevolg hiervan was dat Florence Nightingale als enige als nationale heldin uit deze voor de Britten desastreuze campagne kwam. Het verhaal van the lady with the lamp is niet verzonnen. Na haar administratie ging ze nog door de zalen om te inspecteren of haar disciplinaire, sanitaire en hygiënische regels werden nageleefd. De koosnaam werd haar door de gewonde soldaten toegedicht en later door journalisten overgenomen. De gegevens die ze verzamelde, bleken van onschatbare waarde te zijn. Sinds de Oudheid was voor een soldaat niet het slagveld de gevaarlijkste plaats, maar wel het lazaret. Een geïnfecteerde wonde was een paspoort voor de dood. Met haar statistische gegevens kon Florence Nightingale naderhand bewijzen dat hygiënische maatregelen een groot verschil konden maken. Nog tijdens de Krimoorlog werd ze ziek. Als gevolg hiervan zou ze haar hele leven chronisch ziek blijven. Dat verhinderde haar echter niet om mee te werken aan tal van rappporten en om boeken te schrijven. Die boeken zouden zeer invloedrijk blijken te zijn, niet in het minst omdat ze – geïnspireerd door statisticus en vriend William Farr (1807-1883) – gebruik maakte van grafische voorstellingen van statistische gegevens. Het waren met name de pooldiagrammen, die Coxcombs werden genoemd, die de statistieken in één oogoplag duidelijk maakten (figuur 7). Deze pooldiagrammen zijn geen

taartdiagrammen. Er zijn twaalf sectoren, één voor elke maand, en het is de oppervlakte die het gegeven weergeeft. Daarnaast gebruikt ze ook wat ze bat’s wings diagrams noemt (figuur 9). Bij deze diagrammen is het de lengte van de straal die het gegeven weergeeft. Over deze diagrammen zegt ze zelf dat de stralen met elkaar verbonden zijn en de resulterende veelhoek is gekleurd « to impress upon the eye more clearly the rise, decline and extent of the mortality » (in een brief aan haar zuster Parthenope).

Ze gebruikte diagrammen omdat "Diagrams are of great utility for understanding certain questions of vital statistics by conveying ideas on the subject through the eyes which cannot be so easily grasped when contained in figures" (in Mortality of the British Army). Toen ze een exemplaar van Observations on the Sanitary State of the Army in India aan koningin Victoria stuurde, merkte ze smalend op: "She may look at it because it has pictures". (zie figuur 8)

Haar conclusies in verband met bevolkingsdichtheid en het voorkomen van besmettelijke ziekten zijn ook nu actueel. Toen de Britse kwartiermeester-generaal met een plan kwam om een 850 man sterk bataljon te legeren, berekende Florence Nightingale hoeveel plaats elke tent innam (noem het maar de voorlopers van de Voronoi-diagrammen). Ze merkte hierbij op dat "it has been found that sickness and mortality bear a certain ratio to the density", waarbij de dichtstbevolkte steden het ongezondst waren. Ze vergeleek de bevolkingsdichtheid van de kampementen met die van Londen en kwam tot de onontkoombare conclusie dat ze geen gezonde omgeving waren (figuur 10). NIGHTINGALE EN QUETELET Quetelet en Nightingale ontmoetten elkaar voor het eerst in 1860 op het Internationaal Statistisch Congres in Londen. Een van de drie sprekers in de "Sanitary section" was Florence Nightingale. Zij pleitte hier voor een uniforme rapportering van medische statistieken van hospitalen, niet alleen op Britse, maar ook op Europese schaal. Op deze wijze konden hospitalen en dus ook dagelijkse praktijken met elkaar worden vergeleken.

Figuur 7. Pooldiagrammen of Coxcombs in ‘Mortality of the British army’. Het rechtse diagram toont de sterftecijfers in het leger van april 1854 tot maart 1855, voor de hygiënische maatregelen die Nightingale nam. Deze worden vergeleken met de sterftecijfers van Manchester “een van de ongezondste steden van Groot-Brittannië (de kleine sectoren, de kleine cirkel is de cirkel die de gemiddelde sterfte voorstelt). Links zien we het diagram met dezelfde gegevens tussen april 1855 en maart 1856, nadat Nightingales maatregelen werden toegepast. De mortaliteit in het ziekenhuis zou door haar toedoen gezakt zijn van 42,7% naar 2,2%! Merk nog op dat de cijfers in het diagram rechts beginnen te stijgen vanaf het moment dat het leger ten strijde trekt, vanaf juli 1854 tot oktober 1854 in Bulgarije en daarna op de Krim. In de periode voor de veldtocht (april tot en met juni 1854) is er geen sprake van oversterfte ten opzichte van Manchester. © Wellcome Collection.

Florence Nightingale stond erop Quetelet te ontmoeten. Van die ontmoeting is verder weinig bekend. Later pleitte ze er bij hem voor om zijn heruitgave van Physique sociale (1869) nogmaals uit te geven. Over Quetelets invloed was ze duidelijk in een brief aan haar vriend

en statisticus William Farr: "I have never read Quetelet’s Physique sociale (which I have done over and over again) without being astounded at the force of genius and accurate observation which has produced such a work." Na Quetelets dood in 1874 zamelde ze samen met Farr geld in om een gedenkteken voor hem op te richten.

Figuur 9. Bat’s wings diagrams in ‘Notes on matters affecting the health’ Deze diagrammen tonen dezelfde gegevens als de diagrammen in figuur 7. © Wellcome Collection

TOT SLOT Het voorbeeld van Quetelet en Nightingale toont aan dat heel wat menselijk leed kan worden voorkomen door maatregelen te nemen waarvan men op statistische basis kan aannemen dat ze een effect sorteren. Het zou mooi zijn dat we deze boodschap als wiskundeleraars kunnen uitdragen, eventueel met deze historische voorbeelden. Voor de geïnteresseerden: de werken van Florence Nightingale kan je vinden op https://wellcomelibrary.org/ "Nightingale + Notes on Matters" en "Nightingale + Mortality of the British Army" staan in de lijst van geraadpleegde werken. Beide boeken bevatten statistisch verwerkbare gegevens op het niveau middelbaar onderwijs.

Figuur 10. Vergelijking tussen de ‘bevolkingsdichtheid’ in een kampement en Londen in ‘Mortality of the British army’. © Wellcome Collection.

NOTEN [1] Niet te verwarren met het GO!Lyceum dat in 1907 werd gesticht. Deze school werd in 1808 bij keizerlijk decreet opgericht en in 1814 opgeheven. Ze werd in de Hollandse periode door het Koninklijk College vervangen, nog later werd ze respectievelijk Municipaal College, Stadsatheneum om ten slotte in 1850 Koninklijk Atheneum (Voskenslaan) te worden. [2] De sferen die een kegel inwendig raken en ook een snijvlak met de kegel raken doen dat in de brandpunten van de geproduceerde kegelsnede.

GERAADPLEEGDE WERKEN Noel-Ann Bradshaw, Florence Nightingale (1820-1910): a Pioneer of Data Visualisation in: J.L. Beery et al., Women in Mathematics, Springer International Publishing, Cham, 2017, 197-217. I. Bernard Cohen, Florence Nightingale, Scientific American 250(3) (1984), 128-137. Ivan De Winne, De Belgische stelling, Wiskunde en Onderwijs 176(2018), 5-9. Ivan De Winne, Covid-19 en epidemiemodellen, Wiskunde en Onderwijs 183(2020), 3-12. Marion Diamond, Mervin Stone, Nightingale on Quetelet, Journal of the Royal Statistical Society 144/1 (1981), 66-79. Marion Diamond, Mervin Stone, Nightingale on Quetelet II: The Marginalia, Journal of the Royal Statistical Society 144/2(1981), 176-213.

Gustav Jahoda, Quetelet and the emergence of the behavorial sciences, SpringerPlus (2015) 4:473 (Open Access). Suzanne Janssens, Het “Koninklijk Atheneum Voskenslaan” te Gent, via: ojs.ugent.be Don Klinkenberg en Swier Garst, Besmettelijke ziekten, Zebra 58, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2020. Ad Meskens, Covid 19 in de klas, Wiskunde en Onderwijs 182(2020), 3-8. Florence Nightingale, Notes on Matters affecting the Health, Efficiency, and Hospital Administration of the British Army: founded chiefly on the experience of the late war, Harrison & Sons, London, 1858. Florence Nightingale, Mortality of the British Army: at Home and Abroad, and during the Russian War, as compared with the Mortality of the Civil Population in England; illustrated by tables and diagrams, Harrison & Sons, London, 1858. Adolphe Quetelet, Sur l'homme et le développement de ses facultés ou Essai de Physique Sociale, Hauman, Bruxelles, 1835. Adolphe Quetelet, Lettres à S. A. R. le Duc régnant de Saxe-Cobourg et Gotha [= Ernest II August] sur la Théorie des Probabilités, appliquée aux sciences morales et politiques, Hayez, Bruxelles, 1846. Mervyn Stone, The Owl and the Nightingale: The Quetelet/Nightingale Nexus, CHANCE, 24/4 (2011), 30-34. Enya Vermeyen, Exponentiële functies en Covid-19, Wiskunde en Onderwijs 183 (2020), 13-17.

OVER DE AUTEUR Dr. Ad Meskens is lector wiskunde aan de lerarenopleiding van AP-Hogeschool. Hij is sinds jaren actief VVWL-lid. Zijn frequente publicaties over de geschiedenis van de wiskunde worden getypeerd door de heldere hertaling en duiding waarmee hij historische bronnen voor hedendaagse lezers ontsluit.

PLANETARIUM BRUSSEL WOENSDAG 16 MAART 2022

STATUTAIRE JAARVERGADERING VVWL VZW 14 --> 14.30 UUR

VIERING INTERNATIONALE DAG VAN DE WISKUNDE 15 --> 18.30 UUR

RAADPLEEG VOOR MEER INFO OVER HET PROGRAMMA ONZE WEBSITE WWW.VVWL.BE

VOLG ONZE DIGITALE INFOSESSIES Wiskunde

Nando Engels

Duits

Wiskunde

Wiskunde met pit

Frans

Methodes B-stroom

Geschiedenis

Exacte wetenschappen

Nederlands

850001133

Ontdekdes ho de met Keure van die r

a Surf na cundair. s s r ebina je in www.w .be en schrijf nze re ro diekeu webinars ove kt er ij voor de es. Je herbek mes! a method ook alle opn f a r e acht

www.webinarssecundair.diekeure.be

Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, T 050 47 12 62, so@diekeure.be, www.diekeure.be

ICT