VBTL 3 D-5u - Leerwerkboek Getallen, Eerstegraadsfuncties en Analytische meetkunde - inkijk methode

LEERWERKBOEK

Getallen I Eerstegraadsfuncties

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

CARTOONS

Dave Vanroye

Hoe gebruik je VBTL ?

Dit boek bevat vier hoofdstukken vol getallen en analytische meetkunde. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

stelsel wordt ook een 2-stelsel genoemd. Een oplossing van een stelsel is een koppel dat aan beide vergelijkingen voldoet. Je kunt een stelsel oplossen met de substitutiemethode. Los in een van de vergelijkingen één onbekende op in functie van de andere. Vervang die onbekende in de andere vergelijking. Los de vergelijking met één onbekende op en vervang de gevonden waarde in de andere vergelijking.

Druk in beide vergelijkingen dezelfde onbekende uit in functie van de andere.

2 Stel beide uitdrukkingen aan elkaar gelijk en los de verkregen vergelijking op.

3 Vervang die gevonden waarde in (een van) de originele vergelijkingen en los op. Je vindt de waarde voor de andere onbekende.

Je kunt een stelsel oplossen met de combinatiemethode. Vervang in het stelsel een van de vergelijkingen (of beide) door een gelijkwaardige vergelijking zodat een van de twee onbekenden tegengestelde coëfficiënten heeft. Bereken nu of Vul dit in de tweede vergelijking in en bereken zo of Je kunt een oplossing van een stelsel grafisch voorstellen. Je kunt het aantal oplossingen van een stelsel bepalen. Een stelsel met twee eerstegraadsvergelijkingen in twee onbekenden heeft – ofwel juist één oplossing – ofwel geen oplossing (vals stelsel) –Je kunt een stelsel van drie eerstegraadsvergelijkingen in twee onbekenden oplossen. Je kunt vraagstukken oplossen die leiden tot een stelsel met twee eerstegraadsvergelijkingen in Kies de onbekenden. Stel die onbekenden voor door letters …). Zet het vraagstuk om in twee vergelijkingen. Je krijgt nu een stelsel. Los het stelsel op.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt. Wiskunde kent veel links met andere vakken We tonen zo’n link in een paarsgekleurd kadertje.

7 Omvormen van formules Zowel in wiskunde als in andere wetenschappen komen regelmatig formules voor.

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur. Een sterretje duidt op een extra uitdaging. De wiskunderugzak staat bij oefeningen waarbij je verder moet denken dan de net geziene leerstof. Achteraan in het boek vind je de oplossingen

3

1 2 *

Als ICT een ideaal hulpmiddel is, zie je dit icoontje. Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.

Vaardigheden

Na elk hoofdstuk wordt een wiskundige vaardigheid in de kijker gezet.

Wat moet je kennen en kunnen ?

Na de vaardigheden zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen na het geziene hoofdstuk. Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets. Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen.

Herhalingsoefeningen

Wanneer je wiskunde studeert, maak je uiteraard heel wat oefeningen opnieuw en maak je oefeningen die je in de klas niet maakte. Elk hoofdstuk sluit af met drie pagina’s herhalingsoefeningen Een ideale test voor jezelf om te zien of je de leerstof beheerst.

3 Eerstegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden

Vaardigheden

Klik op en klik nadien op Een Excel-scherm opent zich. Typ bovenaan in de cel A1

Neen, hoor, wiskunde is geen saaie bedoening van cijfers en lijnen. Het is een exacte wetenschap die je elke dag nodig hebt. De diameter van ons heelal druk je bv. uit in miljarden lichtjaren ; die eenheid meet de afstand die het licht aflegt in één jaar. Dat licht gaat ontzettend snel : bijna 300 000 kilometer per seconde. Als je de omtrek van de aarde kent, komt dat neer op bijna acht rondjes rond de aarde in één seconde. Hoe oud het heelal precies is, dat kun je dan weer uitdrukken in miljarden jaren. Voor het aantal dimensies heb je voldoende met het eenvoudige, natuurlijke getal 4. De auteurs van dit boek hebben hun best gedaan om wiskunde voor te stellen als een boeiende en levendige materie. Veel plezier ermee!

Inhoud

Getallen I Eerstegraadsfuncties Analytische meetkunde

Reële getallen 1

Leven zonder getallen ? Dat zou onmogelijk zijn. Probeer dit groepswerk even uit.

Knutsel een nieuwsbulletin in elkaar. Schrijf het volledig uit, inclusief politiek nieuws, sportuitslagen, wedstrijdverslagen en een weerbericht.

Er is wel een beperking : je mag geen gebruik maken van getallen. Je zult je dus moeten behelpen met bizarre omschrijvingen.

Uitgeschreven en voorgelezen ?

Dan is het tijd om onze getallenverzameling q uit te breiden …

Reële getallen

1.1 Rationale getallen

1 Soorten getallen

Natuurlijke getallen

natuurlijke getallen

Een natuurlijk getal is het resultaat van een telling van een eindig aantal dingen.

Welke natuurlijke getallen herken je in dit krantenartikel ?

Voorstelling :

N is de verzameling van de natuurlijke getallen

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 …}

Gehele getallen

plaatsen. Ze bevinden zich in een baan rond de aarde op een hoogte tot 550 km. De eerste licentie die Elon te pakken kreeg laat 2 000 000 gebruikers toe op het netwerk.

FRANCE

Bij het aftrekken van natuurlijke getallen krijg je als resultaat niet altijd een natuurlijk getal. Daarom werden gehele getallen ingevoerd.

Voorbeelden :

5 – 7 = –2 4 – 12 = –8

12 – 6 = 6 8 – 0 = 8

Eind vorig jaar werd dit weer voorspeld in Frankrijk.

Hoeveel gehele getallen staan er in deze weersvoorspelling ? geheel getal

Een geheel getal is het verschil van twee natuurlijke getallen.

Voorstelling :

Z is de verzameling van de gehele getallen

Z = { 0, 1, –1, 2, –2, 3, –3 …}

Merk op dat alle natuurlijke getallen ook gehele getallen zijn.

notatie : N ⊂ Z

lees: N is een deelverzameling van Z

Rationale getallen

Bij het delen van twee gehele getallen is het resultaat niet altijd een geheel getal. Daarom hebben we rationale getallen ingevoerd.

Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen waarvan het tweede niet nul is.

Voorstelling :

Q is de verzameling van de rationale getallen.

Merk op dat alle gehele getallen ook rationale getallen zijn. notatie : N ⊂ Z ⊂ Q

Maar :

• Heeft x 2 = 7oplossingenin Q ?

In wat volgt zullen we zien dat het antwoord op al die vragen ‘neen’ is. We kunnen de getallen handig voorstellen in een schema.

2 Wiskundige taalvaardigheid

Wanneer je vlug een chatbericht stuurt naar een vriend of vriendin gebruik je vaak speciale tekens of symbolen om bepaalde gevoelens of acties weer te geven.

Je vriend of vriendin weet wat je met die symbolen bedoelt. Elk teken heeft zijn specifieke betekenis.

Ook in wiskunde gebruiken we heel wat symbolen om bepaalde omschrijvingen korter en correcter uit te drukken. Het is belangrijk dat je die wiskundige vaktaal beheerst en leert gebruiken. Hier volgen enkele symbolen. Sommige ken je al van vroeger, andere zijn nieuw en zullen we vanaf nu ook gebruiken.

Symbolen om mee te rekenen

+ optelling

– aftrekking

⋅ vermenigvuldiging

: deling

Getallenverzamelingen

N is de verzameling van de natuurlijke getallen

Probeer volgende uitdrukking in woorden te zeggen, zonder de symbolen +, –, ⋅ en : te vernoemen.

2 – 3 ⋅ [ 4 – ( 5 – 2) : ( 3 + 2)]

Je merkt al snel dat symbolen nuttig, efficiënt en noodzakelijk zijn om vlot en doeltreffend wiskunde te beoefenen.

N0 is de verzameling van de natuurlijke getallen zonder 0

Z is de verzameling van de gehele getallen

Z0 is de verzameling van de gehele getallen zonder 0

Z+ is de verzameling van de positieve gehele getallen

Z– is de verzameling van de negatieve gehele getallen

Z+ 0 is de verzameling van de positieve gehele getallen zonder nul

Z –0 is de verzameling van de negatieve gehele getallen zonder nul

Q is de verzameling van de rationale getallen

Q+ is de verzameling van de positieve rationale getallen

Q– is de verzameling van de negatieve rationale getallen

Q+ 0 is de verzameling van de positieve rationale getallen zonder nul

N = {0, 1, 2, 3, 4 …}

N0 = {1, 2, 3, 4 …}

Z = { … – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4 …}

Z0 = { … – 4, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, 4 …}

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4 …} = N

Z–= { … – 4, – 3, – 2, – 1, 0}

Z+ 0 = {1, 2, 3, 4 …} = N0

Z –0 = { … – 4, – 3, – 2, – 1}

Q –0 is de verzameling van de negatieve rationale getallen zonder nul

Bewerkingstekens

De symbolen voor de bewerkingen lijken misschien evident en ken je van de lagere school. Toch zijn die symbolen nog niet zo heel oud. De symbolen + en – werden voor het eerst gebruikt door de Duitse wiskundeleerkracht Johann Widmann in 1481. Voordien werden er geen bewerkingstekens gebruikt of noteerde men p voor plus en m voor min. De Engelsman Thomas Harriot werkte voor het eerst met een puntje als maalteken en Gottfried Leibniz gebruikte in 1684 voor het eerst het : teken.

Andere symbolen

is een deelverzameling van is geen deelverzameling van

⟹

hieruit volgt als ... dan ... is equivalent met ... als en slechts als ...

∪

∩ \

Kwantoren

unie doorsnede verschil

een vierhoek is een vierkant ⟹ een vierhoek is een rechthoek

3 is een deler van 6 ⟺ 6 is een veelvoud van 3 x + 2 = 5

Z– ∪ Z+ = Z

5N ∩ 2N = 10N del 18 \ del 12 = { 9, 18}

Om uitdrukkingen korter en makkelijker te noteren, worden kwantoren gebruikt :

∀ betekent : ‘voor alle’ (we noemen ∀ de ‘universele kwantor’)

∃ betekent : ‘er bestaat minstens één’ (we noemen ∃ de ‘existentiële kwantor’)

∃ ! betekent : ‘er bestaat juist één’ (we noemen ∃ ! de ‘uniciteitskwantor’)

: lees je als : ‘geldt’ of ‘waarvoor geldt’

Voorbeeld 1 :

De optelling in z is commutatief.

In wiskundige vaktaal schrijf je dit korter in symbolen: ∀ a, b ∈ z : a + b = b + a

Voorbeeld 2 :

Kies willekeurig een geheel getal. Wanneer je bij dat getal het tegengestelde optelt, krijg je nul.

Je kunt steeds precies één tegengestelde vinden.

Voor elk geheel getal (noem dit a) bestaat er juist één tegengesteld geheel getal (– a) waarbij geldt dat als je de som van die beide neemt je nul uitkomt. En omgekeerd

In wiskundige symbolen schrijven we dit kortweg als : ∀ a ∈ z , ∃ !

3 Bewerkingen met rationale getallen

Optellen en aftrekken

Som of verschil van twee breuken

Werkwijze : om de som te maken van twee breuken :

1 vereenvoudig – indien mogelijk – elke breuk ;

2 maak de breuken gelijknamig ;

3 bereken de som of het verschil van de tellers en behoud de noemer ;

4 vereenvoudig – indien mogelijk – het resultaat.

Vermenigvuldigen

Product van twee breuken

Werkwijze : om het product te maken van twee breuken :

1 bepaal het teken ;

2 noteer een grote breukstreep;

3 vermenigvuldig de tellers met elkaar zonder dat product uit te werken ;

4 vermenigvuldig de noemers met elkaar zonder dat product uit te werken ;

5 vereenvoudig ;

6 vermenigvuldig de resterende tellers met elkaar en de resterende noemers met elkaar.

Delen

Quotiënt van twee breuken

Werkwijze : om het quotiënt te berekenen van twee breuken (de tweede breuk mag niet 0 zijn) vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.

Volg dan de werkwijze van de vermenigvuldiging.

Machten

Macht van een breuk a b n = a n b n in woorden : om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je de teller en de noemer tot die macht.

Ken je nog de volgorde van de bewerkingen ? Staan er in je opgave meerdere bewerkingen, dan werk je die als volgt uit.

1 Als er haakjes in de opgave staan, werk je die eerst uit.

2 Daarna bereken je alle machtsverheffingen en worteltrekkingen.

3 Dan bereken je de vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts.

4 Ten slotte reken je de optellingen en aftrekkingen uit, ook van links naar rechts.

Volgorde van de bewerkingen

1 haakjes

2 machtsverheffingen en worteltrekkingen

3 vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts

4 optellingen en aftrekkingen van links naar rechts

Als er binnen de haakjes meerdere bewerkingen voorkomen, dan pas je daar opnieuw de volgorde van de bewerkingen toe. Voorbeelden :

4 Werken met machten

We herhalen de definities voor machten met een gehele exponent : macht met een negatieve exponent

Merk op dat de nulde macht van een (van nul verschillend) rationaal getal steeds 1 is :

Ken je ook nog de rekenregels voor bewerkingen met machten ?

eigenschappen machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigen ∀a

behoud het grondtal en tel de exponenten bij elkaar op machten met hetzelfde grondtal delen

∀a ∈ Q0 , ∀n , p ∈ Z : a n : a p = a n p → behoud het grondtal en trek de exponenten van elkaar af een macht tot een macht verheffen

∀a ∈ Q0 , ∀n , p ∈ Z : (a n ) p = a n p → behoud het grondtal en vermenigvuldig de exponenten

een product tot een macht verheffen

∀a , b ∈ Q0 , ∀n ∈ Z : (a · b )n = a n · b n → verhef elke factor tot de macht

een quotiënt tot een macht verheffen

∀a , b ∈ Q0 , ∀n ∈ Z : (a : b )n = a n : b n a b n = a n b n → verhef teller en noemer tot de macht

→ verhef deeltal en deler tot de macht

5 Breuken en decimale vormen

Elk rationaal getal kun je noteren in breukvorm of in decimale vorm. De decimale vorm van een rationaal getal is steeds begrensd of onbegrensd

Voorbeelden :

6 Van breuk naar decimale vorm

Om te begrijpen dat een rationaal getal in zijn decimale vorm steeds een periode heeft, volstaat het om de staartdeling uit te voeren tot je een rest verkrijgt die je voordien al eens gevonden had.

571428 571428 ...

De resten die je krijgt, zijn :

Ook ICT kan hier nuttig zijn.

Deel 4 door 7 en je krijgt :

Je mag dus noteren dat

–

Deel – 91 door 27 en je krijgt :

Maar

Deel 17 door 9 en je krijgt : In werkelijkheid is 17 : 9 = 1,88…

Deel 14 door 19 en je krijgt :

0.571428571

de periode is af te lezen : 571428

– 3.37037037

de periode is af te lezen : 370

1.888888889

de periode is 8

0.736842105

Hier is de periode helemaal niet meer af te lezen. Met wiskundesoftware vind je

7 Verband tussen decimale vorm, breuk en procent

a Begrensde decimale vormen

Om een begrensde decimale vorm in breukvorm te noteren :

– Schrijf als teller het getal zonder komma ; – Schrijf als noemer een macht van 10 met als exponent het aantal cijfers na de komma ;

Vereenvoudig indien mogelijk het resultaat.

Om een breuk als een procent te noteren : – Zet het decimale getal om naar een breuk met noemer 100 ; – De teller van de breuk is het getal in procent.

Om een decimale vorm als een procent te noteren : – Vermenigvuldig het decimale getal met 100.

b Onbegrensde repeterende decimale vormen

Geef het getal in met zoveel herhalingen van de periode dat minstens één lijn op het scherm vol staat.

Geef nu MATH 1 : in (zo wordt de decimale vorm in een breukvorm omgezet). Bij de bovenste lijn behoud je de instelling MATH.

Met elk geheel getal of decimaal getal corresponderen twee repeterende decimale vormen : één met periode 0 en één met periode 9. Zo is 5 = 5,00… maar is ook 5 = 4,99…

Raar maar waar ! 4,99… = ?

Toepassing : WISKUNDE & ECONOMIE

a Thomas verdient 2201,78 euro per maand. Hij krijgt een loonsverhoging van 4,5%. Wat is zijn nieuwe maandsalaris ?

Oplossing : 2201,78 ⋅ 1,045 = 2300,86

b Een boek wordt verkocht met 15% korting en kost nu 21,25 euro. Hoeveel kostte dat boek oorspronkelijk ?

Oplossing :

x : prijs van het boek vóór de korting

85

100 x = 21,25

x = 21,25 100 85

x = 25

Antwoord : Het nieuwe maandsalaris van Thomas bedraagt 2300,86 euro.

8 Samenvatting

• Je kent de betekenissen van de symbolen

getallenverzamelingen voorstellen als N, Z en Q

Antwoord : Het boek kostte 25 euro vóór de korting.

• Je kunt rationale getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Je kunt een rationaal getal tot een macht verheffen en je kent de volgorde van de bewerkingen.

• Je kent de rekenregels voor bewerkingen met machten. machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigen

∀a ∈ Q0 , ∀n , p ∈ Z : a n · a p = a n +p → behoud het grondtal en tel de exponenten bij elkaar op machten met hetzelfde grondtal delen

∀a ∈ Q0 , ∀n , p ∈ Z : a n : a p = a n p

→ behoud het grondtal en trek de exponenten van elkaar af een macht tot een macht verheffen

∀a ∈ Q0 , ∀n , p ∈ Z : (a n )p = a n p

→ behoud het grondtal en vermenigvuldig de exponenten een product tot een macht verheffen

∀a , b ∈ Q0 , ∀n ∈ Z : (a · b )n = a n · b n

→ verhef elke factor tot die macht een quotiënt tot een macht verheffen

∀a , b ∈ Q0 , ∀n ∈ Z : (a : b )n = a n : b n a b n = a n b n

→ verhef deeltal en deler tot die macht

→ verhef teller en noemer tot die macht

• Je weet wat een begrensde en een onbegrensde decimale vorm is, wat een periode is en wat bedoeld wordt met een zuiver repeterende en een gemengd repeterende decimale vorm.

• Je kent het verband tussen decimale vorm, breuk en procent. Je kunt een van deze drie vormen omzetten in een andere.

9 Oefeningen

Zijn

a3iseennatuurlijkgetal.

b 2 3 isgeengeheelgetal.

c 1 4 iseenrationaalgetal.

d0,25iseenrationaalgetal.

e 7 8 iseenpositievebreuk.

f 1iseennegatiefgeheelgetal.

gAllenatuurlijkegetallenzijnookgehelegetallen.

hNatuurlijkeveelvoudenvan3dieookeenveelvoud zijnvan2,zijndenatuurlijkeveelvoudenvan6.

naar machten met hetzelfde grondtal en rangschik van klein naar groot.

Wat is het 500e cijfer na de komma bij de decimale schrijfwijze van 29 13 ?

a2,111... + 4,222... =

b8,333... + 2,777... =

c4,555... + 6,666... =

d4,111... 5,222...

WISKUNDE & POLITIEK

In de gemeente Votegem waren de verkiezingsuitslagen in 2012 en 2018 de volgende :

In 2012 werden er in de gemeente Votegem 12 814 stembrieven geldig ingevuld. In 2018 waren dat er 13 014.

a Bereken het aantal personen dat in 2012 koos voor partij C.

b Bereken hoeveel personen er meer op partij A stemden in 2018.

c Bereken hoeveel stemmen partij B in 2012 te kort had om samen met partij A een meerderheid van 51% te vormen.

d Welke combinaties zijn er mogelijk in 2018 om een meerderheid te hebben ?

WISKUNDE & ECONOMIE 15

A

In de supermarkt kost een fles champagne 25,20 euro. Je ziet deze aanbieding staan : 2 + 1 gratis.

Hoeveel % korting

krijg je als je 3 flessen champagne koopt ?

Hoeveel kost 1 fles champagne als je 3 flessen koopt ?

Tijdens de coronapandemie werden op een bepaalde dag volgende cijfers (weekgemiddelden) genoteerd : – aantal besmettingen van 890 naar 1840 ;

aantal ziekenhuisopnamen van 100 naar 120 ;

aantal overlijdens van 16 naar 29.

Bepaal telkens het percentage waarmee de gemiddelden stegen.

B

Koppelverkoop : twee hemden van elk 25 euro geven je recht op een derde (van dezelfde prijs) met 50% korting. Hoeveel procent korting krijg je als je drie hemden koopt?

C

D

Als op een bepaalde dag het aantal besmettingen toeneemt met 1000%, hoeveel personen zijn er dan besmet als er een dag eerder 25 waren besmet ?

Pepijn koopt op een dag het aandeel Funnymats op de beurs voor 40 euro. Het aandeel stijgt twee dagen na elkaar met 8%.

Dan verkoopt hij het aandeel. Hoeveel % winst of verlies heeft Pepijn gemaakt ?

Bij een nieuwbouw betaal je 21% btw. Als je huis ouder is dan 10 jaar, betaal je 6% btw. Stel dat je bij een nieuwbouw een vloer van 100 m2 laat betegelen voor 35 euro per m2. De aannemer vraagt 45 euro per uur en zal 20 uur werk hebben. Hoeveel moet je dan betalen ? Je buurman legt een vloer met dezelfde oppervlakte, prijs, loonkost en termijn, maar zijn huis is 15 jaar oud. Welk prijsverschil is er tussen de prijskaartjes van de buren ?

Tijdens de koopjesperiode koopt Marie een pull van 34 euro met een korting van 15%. Haar zus Lena koopt een week later dezelfde pull maar krijgt nog eens 10% boven op de vorige korting. Welk percentage korting heeft Lena gekregen t.o.v. de oorspronkelijke prijs ? E

Als een bedrijf zijn omzet verdubbelt, met welk percentage stijgt dan de omzet ?

In Vlaanderen kostte een woonhuis in 2020 gemiddeld 306 629 euro.

In vergelijking met 2019 ging het om een prijsstijging van 6,7%. Wat was de gemiddelde prijs van een woonhuis in 2019 ?

In de soldenperiode wordt een artikel met 20% korting aangeboden. Met hoeveel procent moet de winkelier de prijs van het artikel daarna weer verhogen om de oorspronkelijke prijs terug te bekomen ?

Bij een indexering worden de wedden, lonen en vervangingsinkomens automatisch aangepast. Zijn volgende uitdrukkingen juist ? Verduidelijk met een voorbeeld.

– Als de indexverhoging 2% bedraagt, dan heeft iedereen evenveel opslag.

Iemand die het dubbele van een ander verdient, zal na de indexaanpassing nog steeds het dubbele hebben.

Op het examen wiskunde heeft 60% van de leerlingen 60% of meer behaald en heeft 80% van de leerlingen 80% of minder. Hoeveel procent van de leerlingen heeft een percentage in het interval [ 60, 80] behaald ?

JWO 2020 tweede ronde, vraag 7 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

De kasteelheer van Quadronië bezit een kasteel en wil het vergroten door aan één zijkant een donjon bij te bouwen. Daardoor is de omtrek van het kasteel met 10% toegenomen. Zowel het kasteel als de donjon heeft een vierkant grondplan, zoals in de figuur. Met hoeveel procent is de grondoppervlakte van het kasteel toegenomen ?

JWO 2021 eerste ronde, vraag 16 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Waaraanis 10(28 ) 10(35 ) 10(72 ) 10(62 ) gelijk?

VWO 2021 eerste ronde, vraag 13 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

1.2 Reële getallen

1 De getallenas

We kunnen rationale getallen voorstellen op de getallenas

Voorbeeld 1 : plaats 8 3 op de getallenas.

Voorbeeld 2 : plaats – 0,2727... op de getallenas.

– We zoeken tussen welke twee gehele getallen – 0,2727... gelegen is.

1 <

0,2727… < 0

– We verdelen verder tussen deze twee punten, maar noteren eerst het getal in breukvorm. 0,2727... = 27 99 = 3 11

Uit deze twee voorbeelden kunnen we besluiten dat elk rationaal getal door juist één punt van de getallenas voorgesteld kan worden. Zou het omgekeerde ook waar zijn ? Zou elk punt van de getallenas juist één rationaal getal voorstellen ?

2 Reële getallen

De verzameling van de rationale getallen is ook de verzameling van de repeterende decimale vormen. Er bestaan ook niet-repeterende decimale vormen.

Aangezien die decimale vormen geen periode hebben, kunnen we ze ook niet omzetten in een breukvorm. We noemen deze getallen irrationale getallen

irrationaal getal

Een irrationaal getal is een getal met een onbegrensde, niet-repeterende decimale vorm.

De rationale en irrationale getallen vormen samen de reële getallen

We noteren de verzameling van de reële getallen als R

We noteren de verzameling van de irrationale getallen als R \ Q ( lees : ‘R verschil Q’). Hierin zitten de getallen die wel tot R behoren, maar niet tot Q.

3 Reële getallen op de getallenas

Hoe plaatsen we een reëel getal op de getallenas ?

→ Als de getallen rationaal zijn, kunnen we de gekende manier toepassen.

→ Als de getallen irrationaal zijn, moeten we even onze verbeelding laten werken.

Het getal dat met het punt op de rechte overeenkomt, noemen we ook de abscis van dat punt.

Voorbeeld 1 : a = 2,347...

Het getal a bevat geen periode en is dus irrationaal. Het ligt zeker tussen de getallen 2,347 en 2,348. Stel dat het volgende cijfer een 2 is, dan moet het getal tussen 2,3472 en 2,3473 liggen. Zo kunnen we steeds verder gaan.

2,34721…

Voorbeeld 2 : a = p = 3,1415926535897932384...

Stel dat we een ronde tafel hebben met straal 0,5 m. De omtrek van de tafel is dan :

p = 2pr = 2 · p · 0,5 = p

De omtrek van de cirkel is dan p meter.

Onderstaande cirkel heeft een straal van 0,5.

Als we hem ‘verder rollen’ over de as volgens de aangegeven richting, dan zal na één volledige omwenteling het punt A terechtkomen in het punt B. De abscis van dat punt is p.

Notatie : abs ( B) = p

1 m

Besluit : Elk punt op de reële getallenas bepaalt juist één reëel getal en elk reëel getal bepaalt juist één punt op de getallenas.

4

Benaderen,

afronden en schatten

• Als we de p-toets indrukken, verkrijgen we het irrationale getal 3,14159265… op ons scherm. Dat getal kunnen we ook afronden naar 3,14. Als je afrondt, laat je cijfers weg. Je leerde de afrondingsregels in de eerste graad. Bij afronden krijg je vooraf het aantal cijfers waarop je moet afronden. Het getal pi afgerond op twee cijfers na de komma is dus 3,14.

Je kunt ook het getal p benaderen met de breuk 22 . Je komt dan door een berekening in de buurt van het juiste getal.

WISKUNDE & FYSICA

• De valversnelling op aarde bedraagt 9,8175 m/s

Dat betekent dat bij een vrije val de snelheid per seconde met 9,8175 m/s toeneemt.

Die waarde wordt in de fysica ook afgerond naar 9,81 m/s2

Je kunt ze ook benaderen als 10 m/s2

Je leert in de fysica meer over de erg interessante gravitatiewet van Newton.

• Wil je je gewicht (grootte van de kracht waarmee de aarde je aantrekt) berekenen, dan kan dat met de formule

G = m ⋅ g met m : de massa g : de gravitatieconstante

Stel dat je een massa van 65 kg hebt, dan is je gewicht

G = m ⋅ g wordt :

G = 65 kg 9,81 N/kg = 637,65 N

Dat kun je afronden tot 638 N.

Als we de gravitatieconstante g benaderen als 10 N/kg, dan wordt je gewicht : 65kg 10 N kg = 650N.

• Het kan ook nuttig zijn om een resultaat vooraf te

– Je kunt schatten hoeveel leerlingen er naar deze school gaan. Het exacte cijfer kun je verkrijgen door bijvoorbeeld de som te maken van de aantallen leerlingen die in elke klas zitten.

Als je gaat winkelen, schat je aan de hand van je boodschappenlijstje eerst hoeveel geld je nodig hebt om de rekening te betalen.

Je kunt schatten waaraan de vierkantswortel van 500 gelijk is. Je kunt die precies berekenen met je rekentoestel.

– Schatten is erg nuttig bij het oplossen van vraagstukken. Schat vooraf het antwoord en controleer nadien je bekomen resultaat. Ook de gebruikte eenheidsmaat is hier belangrijk.

• Afronden met ICT :

G = m · g

5

Begrensde

deelverzamelingen van r

Op de reële getallenas rechts staan alle getallen aangeduid die groter dan of gelijk zijn aan – 3 en kleiner dan of gelijk zijn aan 2.

We kunnen dit noteren met de symbolen die je kent vanuit de eerste graad.

We noemen dit ook wel de notatie met ongelijkheden : – 3 ⩽ x ⩽ 2.

Een deel van de getallenas noemen we in wiskunde een interval

Om een deel van de getallenas aan te duiden, voeren we een nieuwe notatie in : de intervalnotatie.

– 3 is de ondergrens van het interval en hoort erbij.

2 is de bovengrens van het interval en hoort erbij.

Het al dan niet erbij horen van de grens kun je ook mooi aflezen uit de notatie van ongelijkheden.

⩽ : de grens hoort erbij.

< : de grens hoort er niet bij.

Als een grens er niet bij hoort, dan gebruik je het omgekeerde haakje.

Voorbeeld : – 3 ⩽ x < 2 → x ∈ [ – 3, 2[

6 Onbegrensde intervallen in r

De verzameling R bevat een oneindig aantal elementen en bevat geen grootste of kleinste getal. Je kunt dus geen kleinste of grootste grens van R beschouwen. De grootste grens die niet te bereiken is, noteren we als +∞ (lees : ‘plus oneindig’). De kleinste grens die evenmin te bereiken is, noteren we als –∞ (lees : ‘min oneindig’).

VOORBEELD ALGEMEEN

7 Bijzondere deelverzameling in r

leeswijze : alle reële getallen die groter dan of gelijk zijn aan nul korte leeswijze : de positieve reële getallen

leeswijze : alle reële getallen die groter zijn dan nul

: de strikt positieve reële getallen

leeswijze : alle reële getallen die kleiner dan of gelijk zijn aan nul korte leeswijze : de negatieve reële getallen

leeswijze : alle reële getallen die kleiner zijn dan nul korte leeswijze : de strikt negatieve reële getallen in symbolen : R–0 = ]– ∞, 0[ notatie met ongelijkheid : x < 0

Irrationale getallen

Voor de Grieken, die dachten dat iedere lengte- of oppervlakteverhouding rationaal was, was de confrontatie met het irrationale een grote schok.

Het was Hippasus, een jonge wiskundige uit de school van Pythagoras, die aantoonde dat de diagonaal van een vierkant met rationale zijden geen rationaal getal was.

Zijn ontdekking stimuleerde echter niet het zoeken naar een uitgebreider getalsysteem, maar was eerder een groot struikelblok voor de ontwikkeling van het getalbegrip.

Pas vele eeuwen later deden de irrationale getallen hun intrede in het wiskundig denken.

8 Doorsnede, unie en verschil van intervallen

Doorsnede van intervallen

[ 2, 8] ∩ [ 3, 9] Hiermee zoeken we de reële getallen die tot het eerste interval en tot het tweede interval behoren.

Grafisch kunnen we het resultaat als volgt vinden :

8]

9]

9]

We bepalen de gemeenschappelijke reële getallen.

2, 8] ∩ [ 3, 9] = [ 3, 8]

Unie (vereniging) van intervallen

] – 4, 0] ∪ ]– 2, 4] Hiermee zoeken we de reële getallen die tot het eerste interval of tot het tweede interval behoren.

Grafisch kunnen we het resultaat als volgt vinden :

Verschil van intervallen ]

4, 0] \ [

2, 5]

INCLUSIEVE ‘OF’ IN DE WISKUNDE

voorbeeld :

het blokje is rood of dik.

→ blokje kan rood zijn en niet dik

→ blokje kan dik zijn en niet rood

→ blokje kan rood en dik zijn

Hiermee zoeken we de reële getallen die enkel tot het eerste interval en niet tot het tweede interval behoren.

Grafisch kunnen we het resultaat als volgt vinden :

9 Samenvatting

• Je weet wat een irrationaal getal is.

Een irrationaal getal is een getal met een onbegrensde, niet-repeterende decimale vorm.

• Je weet dat elk punt op de reële getallenas juist één reëel getal bepaalt en elk reëel getal juist één punt op de getallenas bepaalt.

Het getal dat met het punt op de rechte overeenkomt, noemen we de abscis van dat punt.

• Je kunt resultaten van berekeningen (of getallen) afronden en benaderen.

• Je weet wat een reëel getal is en je kunt de voornaamste deelverzamelingen van R omschrijven en grafisch voorstellen.

Een reëel getal is een rationaal of een irrationaal getal.

• Je weet dat de verzameling van irrationale getallen voorgesteld wordt als R \ Q.

• Je kent de notatie en de grafische voorstelling van een gesloten, een open en een halfopen (of halfgesloten) interval en je kunt die omschrijven.

• Je kent de betekenis van doorsnede ∩, unie ∪ en verschil \ van intervallen en kunt dit ook grafisch weergeven.

10 Oefeningen

Zet onderstaande getallen in het juiste gebied.

Construeer nauwkeurig volgende getallen op de getallenas.

Waar of vals ?

a Een getal kan zowel rationaal als irrationaal zijn.

b Elk rationaal getal is ook een reëel getal.

c 2,99... is een natuurlijk getal.

d 4,023... is een irrationaal getal.

e 13,04 is een irrationaal getal.

f 13 is een rationaal getal.

g 3,75 ∈ Q

WAAR VALS

Rond volgende getallen af tot op 3 cijfers na de komma. Benader de getallen ook als een breuk met een noemer kleiner dan 10.

b 4 33

c √10

d 1 + √5 2 (guldensnede)

Steven rondt een getal x af tot op 0,1 nauwkeurig en hij krijgt x ≈ 2,6. Welke van de volgende getallen kan x zijn? Markeer die getallen.

Schat volgende getallen en bereken daarna met ICT.

Bepaal tot op 10–5 nauwkeurig.

aDeomtrekvaneencirkelmetstraal14cm.

dDeoppervlaktevaneencirkelmetstraal √3dm.

bDeoppervlaktevaneenrechthoek metlengte π cmenbreedte π 2 cm.

eDeinhoudvaneenbolmetstraal (π 1) cm.

fDeinhoudvaneenkegelmethoogte √7cmen

cDeomtrekvaneenvierkantmetzijde π 6 m. alsgrondvlakeencirkelmetstraal √2cm.

Bepaal de oppervlakte van het gekleurde deel als z = 10 cm. Werk op 1 mm2 nauwkeurig.

Tuinaannemer Mats wil een oprit van 5 m breed aanvullen met grond. Schat hoeveel kubieke meter grond hij daarvoor nodig heeft. Controleer je schatting met berekeningen.

Op een spaarboekje krijg je 0,11% intrest. Als je een bedrag van 1000 euro op je spaarboekje plaatst, hoe lang moet je dat bedrag laten staan om een (enkelvoudige) intrest van 10 euro te hebben ? Ga je schatting na met behulp van berekeningen.

Bepaal het volume en de oppervlakte van de grootst mogelijke bol die je uit een kubus met een zijde van 10 cm kunt halen.

Over een balk wordt een cilinder geschoven. Bepaal het volume van de cilinder waar de balk precies in past.

WISKUNDE & WETENSCHAPPEN

Herinner je je nog de wetenschappelijke schrijfwijze van een getal ? Dat is een getal geschreven als een product van twee factoren :

• de eerste factor is een decimaal getal met één beduidend cijfer (dat is een cijfer verschillend van nul) voor de komma ;

• de tweede factor is een macht van 10.

Zet de getallen die in het groen staan om in de wetenschappelijke schrijfwijze.

a Vrouwen hebben gemiddeld 4,8 miljard rode bloedcellen.

b De massa van een zoutkorreltje is ongeveer 0,00005 gram.

c De verste planeet in ons zonnestelsel is Neptunus. Ze ligt (gemiddeld) op 4 500 000 000 km van de zon.

d Bepaalde virussen zijn erg klein : 0,00000002 meter om precies te zijn.

e Een lichtjaar is de afstand die het licht aflegt in één jaar. Dat is ongeveer 9 467 000 000 000 000 meter.

f De diameter van het zichtbare deel van het heelal is 47 miljard lichtjaar.

WISKUNDE & CHEMIE

Voor bepaalde aantallen hebben we een mooie benaming. Eén dozijn komt bijvoorbeeld overeen met 12. Zo wordt in de chemie een mol gebruikt. Dat komt overeen met 6,02 10 Dat getal noemen we ook het getal van Avogadro (genoemd naar de Italiaanse natuur- en scheikundige Amedeo Avogadro). Zo’n groot getal is erg handig om met kleine dingen te rekenen, zoals atomen en moleculen. De watermolecule H2O bestaat uit twee waterstofatomen en één zuurstofatoom. Hoeveel waterstofatomen zijn er in 1 mol watermoleculen ?

Noteer het antwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze.

Werk uit. Gebruik de rekenregels van machten en zet je antwoord steeds om in de wetenschappelijke schrijfwijze.

Noteer als een interval en stel voor op een getallenas.

a x > 3

b x ⩽ √2

c 1 4 ⩽ x ⩽ √5 2

d 4 > x > 6

e 4 < x ⩽ 2

f x isgroterdan π, maarkleinerdan2π

g x iseenpositiefreëel getalkleinerdan √2 1

h x iseennegatiefreëel getalgroterdan 2

Noteer als een ongelijkheid en stel voor op een getallenas.

a [ 3,7]

b ] 3,7]

c √2, √7

d ]π 1, π + 1[

e ] 2, +∞[

f 0, √7 + 1

g ]π 1,2π 1[

h ]−∞,0]

Los grafisch op en noteer je resultaat in intervalvorm. a [

Op de reële getallenas staan de getallen a , a 2 en a 3 aangeduid.

Welk van de volgende getallen is een mogelijke waarde voor a ? a a 3 a

Welke van de volgende uitspraken is waar ?

1.3 Vierkantswortel en derdemachtswortel

in r

1 Vierkantswortel van een reëel getal

In R bestaan er precies twee getallen waarvan het kwadraat gelijk is aan 25, namelijk – 5 en 5. We noemen 5 de positieve vierkantswortel uit 25. 5

25 We

5 de negatieve vierkantswortel uit 25.

vierkantswortel

in woorden :

b is een vierkantswortel van a als en slechts als het kwadraat van b gelijk is aan a

Opmerkingen :

We kunnen enkel uit positieve reële getallen een vierkantswortel trekken.

Nul heeft juist één vierkantswortel, namelijk 0.

Lengten van lijnstukken kunnen rationaal zijn, maar ook irrationaal.

De vierkantswortel uit een negatief getal bestaat dus niet, √ 16 / ∈ R . Er bestaat namelijk geen enkel reëel getal waarvan het kwadraat –16 is. De definitie kunnen we beperken tot : vierkantswortel

2 Het irrationale getal √2

Is √2 een rationaal getal ?

Als we van dit getal de eerste 100 cijfers na de komma opzoeken, krijgen we :

6616704325 4376505460…

eigenschap

√2isgeenrationaalgetal.

Dat √2geenrationaalgetalis,wilzeggendat,alswe √2inzijndecimalevormzoudenschrijven,weindievorm geen periodeterugvinden,metanderewoorden √2is niet inbreukvormteschrijven.

Webewijzenditvanuithetongerijmde.

Steldat √2welalseenonvereenvoudigbarebreukgeschrevenkanworden.

√2 = p q met q = 0enggd (p , q )= 1

Webesluitenuit (2) en (3) datzowel p als q evengetallenzijn.Datbetekentdat p q vereenvoudigbaaris.Datis instrijdmetwatweveronderstelden.Dusis √2geenrationaalgetal.Wenoemen √2een irrationaalgetal

3 Voorstelling van √2 op de getallenas

Beschouw een vierkant met zijde 1. Volg mee hoe we de lengte van de diagonaal [ BD] bepalen. Hiervoor gebruiken we de oppervlakteformules voor het vierkant ABCD en de ruit ABCD. Beide oppervlaktes zijn natuurlijk gelijk aan 1.

A vierkantABCD = 1 = A ruitABCD = x 2 2

dus: x 2 = 2

of: x = √2

Is √2eenrationaalgetal?

Alswevanditgetaldeeerste100cijfersnadekommaopzoeken,krijgenwe:

Om op de getallenas √2 voor te stellen, gebruiken we een rechthoekige gelijkbenige driehoek met twee rechthoekszijden die gelijk zijn aan 1. De cirkelboog met A als middelpunt en straal | AD | snijdt de getallenas in punt C. Hier ligt √2 . Merk op dat √2 ‘onmeetbaar’ is en toch op de getallenas geplaatst kan worden.

√2 = 1,41421356241933916628197598871307959868348906509619318943242352661427981910045554 66167043254376505460...

Vierkantswortels

Vierkantswortels werden al heel lang geleden onder de ene of de andere vorm gebruikt. De Babylonische wiskunde kende benaderende waarden voor getallen die we nu schrijven als √2 en √3

Aan Aristoteles (384 – 322 v.Chr.) wordt toegeschreven dat hij als eerste aangetoond zou hebben dat √2 geen rationaal getal is. Euclides (365 – 300 v.Chr.) komt bij de behandeling van de stelling van Pythagoras en van de regelmatige veelhoeken en veelvlakken op een aantal irrationale uitdrukkingen terecht. Archimedes (287 – 212 v.Chr.) kon langs meetkundige weg vierkantswortels van niet-volkomen kwadraten benaderen.

De oorsprong van het woord wortel, dat zowel voor een met wortelteken geschreven getal als voor de oplossing van een algebraïsche vergelijking met één onbekende gebruikt wordt, dient gezocht te worden bij de Arabieren. Al-Chwarizmi (780 – 850) gebruikt hiervoor in 830 voor het eerst een woord dat wortel (van een plant) betekent.

Hij vermeldt ook de formules a√b = √a 2 b en √a √b = √a b

Ons wortelteken, een vervorming van de letter r (van radix), vinden we in 1525 bij Christoff Rudolff. Hij gebruikte de volgende symbolen : V voor 2 √2 , V V voor 3 √2 enz.

De schrijfwijze a n voor een macht werd door Descartes in 1637 systematisch gebruikt met natuurlijke getallen als exponenten. De negatieve gehele exponenten en rationale exponenten werden in 1656 ingevoerd door John Wallis via zijn belangrijke werk ‘Arithmetica Infinitorum’ en werden verder bestudeerd door Isaac Newton.

Aristoteles

4 Derdemachtswortel

van een reëel getal

We bepalen de zijde van de onderstaande kubussen :

V = 64 cm3

V = 64 cm3

V = 8 cm3

V = 8 cm

z = 4 cm z = 2 cm

derdemachtswortel in woorden : De derdemachtswortel van een reëel getal is het reëel getal waarvan de derde macht gelijk is aan dat gegeven getal. in symbolen :

Aangezien a = b 3 zowel positief als negatief kan zijn, heeft een negatief reëel getal ook een derdemachtswortel. Voorbeelden :

Merkopdat 3 √2, 3 √ 2en 3 √4 irrationalegetallenzijn.

5 Samenvatting

• Je kent de definitie van een vierkantswortel van een reëel getal.

• Je kent de betekenis van een positieve en negatieve vierkantswortel.

• Je kent de definitie van een derdemachtswortel van een reëel getal.

6 Oefeningen

uit het hoofd.

met ICT (tot 0,001 nauwkeurig).

uit het hoofd.

Bereken met behulp van ICT en rond (indien nodig) af op vijf decimalen.

Volume van ruimtefiguren.

a Bereken de zijde van een kubus met volume 1728 cm3

b Wat is de straal van een bol met een volume van 5 dm3

c Een balk heeft als afmetingen 6 cm, 3 cm en 12 cm. Welke zijde moet een kubus hebben, wil hij hetzelfde volume hebben als de balk ?

d Al deze groene knikkers hebben een volume van 1 cm3. Hoeveel knikkers kunnen in een kubusvormige doos van 1 dm3 als ze gestapeld worden zoals op de tekening ?

e Siebe heeft van de Sint 2500 kubusvormige houten speelblokken gekregen. Hoeveel blokken bevat de grootste volledig gevulde kubus die je met deze blokken kan maken door ze op elkaar te stapelen ?

f In de leraarskamer staat een kubusvormige diepvrieskast met een volume van 512 liter.

Een leerkracht wil er kubusvormige doosjes in plaatsen met een ribbe van 12 cm. Hoeveel van die doosjes kunnen in de diepvrieskast ?

De eerste sneeuw dit jaar was de aanleiding voor Koen en Wouter om een grote sneeuwman te maken. Verklaar telkens je antwoord en bereken op 1 mm nauwkeurig.

a Als een sneeuwbal een volume heeft van 1 m3, kunnen we dan met de bal door een tuinpoortje met een breedte van 1 m ?

b Het hoofd van de sneeuwman heeft een diameter van 35 cm. Koen wil op het hoofd van de sneeuwman een kubusvormige doos zetten met een volume van 50 dm3. Kan hij deze doos als hoed gebruiken of is ze te groot ?

! Als een ijsverkoper hem een ijsje verkoopt, dan heeft zijn ijsschepper de vorm van een halve bol met diameter 4 cm. Hoeveel bollen ijs kunnen er in Miels volledig

! Het zijn wel eigenaardige (wiskundige) beestjes : de molshopen die ze maken zijn halve bollen en hebben een volume van 3620 cm3. Bereken de diameter van een molshoop. Werk op 1 cm nauwkeurig.

1.4 Rekenen met reële getallen

1 Eigenschappen van de optelling in r

Intern

Omdat de som van twee reële getallen altijd een reëel getal is, zeggen we dat de optelling in R intern is.

Associatief

In de eerste graad zag je al dat de optelling in Q associatief was. Dat betekent dat bij de optelling van rationale getallen de plaats van de haakjes geen belang heeft, het resultaat blijft steeds hetzelfde. Die eigenschap blijft ook gelden bij reële getallen.

Neutraal element

Als je 0 bij een reëel getal optelt (en dat reëel getal optelt bij 0), is de som steeds dat reëel getal. We zeggen dat 0 het neutraal element is voor het optellen in R.

Symmetrisch element

Als je bij een reëel getal zijn tegengestelde optelt en dat tegengestelde optelt bij het getal, krijg je steeds het neutraal element 0. Dat tegengestelde getal van een reëel getal noemen we het symmetrisch element voor de optelling van dat getal.

Commutatief

In de eerste graad zag je al dat de optelling in Q commutatief was. Je mag bij de optelling van rationale getallen de termen van plaats verwisselen zonder dat het resultaat beïnvloed wordt. Die eigenschap blijft ook gelden bij reële getallen.

associatief in woorden : Het optellen in R is associatief.

neutraal element in woorden : Nul is het neutraal element voor het optellen in R in symbolen :

symmetrisch element in woorden :

Elk element in R heeft voor de optelling precies één symmetrisch element : zijn tegengestelde. in symbolen :

commutatief in woorden : Het optellen in R is commutatief.

in symbolen :

2 Eigenschappen van de vermenigvuldiging in r

Intern

Omdat het product van twee reële getallen altijd een reëel getal is, zeggen we dat de vermenigvuldiging in R intern is.

Associatief

In de eerste graad zag je al dat de vermenigvuldiging in Q associatief was. Bij de vermenigvuldiging van rationale getallen heeft de plaats van de haakjes geen belang, het resultaat is immers steeds hetzelfde. Je mag de haakjes dus verplaatsen, invoeren en weglaten. Die eigenschap blijft ook gelden bij reële getallen.

Neutraal element

Als je 1 met een reëel getal vermenigvuldigt (en dat reëel getal vermenigvuldigt met 1), dan is het product steeds dat reëel getal. We zeggen dat 1 het neutraal element is voor de vermenigvuldiging in R

Symmetrisch element

Als je een reëel getal verschillend van nul vermenigvuldigt met zijn omgekeerde (en dat omgekeerde vermenigvuldigt met een reëel getal), krijg je steeds het neutraal element 1. Dat unieke omgekeerde getal van een reëel getal noemen we het symmetrisch element van het getal voor de vermenigvuldiging.

Commutatief

In de eerste graad zag je al dat de vermenigvuldiging in Q commutatief was. Je mag bij de vermenigvuldiging van rationale getallen de factoren van plaats verwisselen zonder dat het resultaat beïnvloed wordt. Die eigenschap blijft ook gelden bij reële getallen.

intern in woorden : Het vermenigvuldigen in R is intern.

associatief in woorden : Het vermenigvuldigen in R is associatief.

neutraal element

in woorden :

Eén is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in R in symbolen :

symmetrisch element in woorden :

Elk element in R0 heeft voor de vermenigvuldiging precies één symmetrisch element : zijn omgekeerde.

commutatief in woorden : De vermenigvuldiging in R is commutatief.

3 Distributiviteit

Ook deze eigenschap zag je al in de eerste graad bij rationale getallen en blijft ook gelden bij reële getallen.

distributief in woorden :

Het vermenigvuldigen is distributief t.o.v. het optellen in R. in

4 Rekenen in r

Verschil van twee reële getallen

Voorbeeld :

= 3,1415926... + ( 1,4142135...) = 1,72737...

Verschil van twee reële getallen in woorden :

Het verschil van twee reële getallen is gelijk aan de som van het eerste getal met het tegengestelde van het tweede getal.

in symbolen :

Quotiënt van twee reële getallen

= 1,4142135... 1,591549... = 2,25079...

Tegengestelde van een som

Voorbeeld :

3,14159... + ( 1,41421...)

4,55581...

Quotiënt van twee reële getallen in woorden :

Het quotiënt van twee reële getallen (waarvan het tweede niet nul is) is gelijk aan het product van het eerste getal met het omgekeerde van het tweede getal.

in symbolen :

a ∈ R , ∀ b ∈ R0 : a : b = a b –1

Tegengestelde van een som in woorden :

Het tegengestelde van de som van twee reële getallen is gelijk aan de som van de tegengestelden van die getallen.

in symbolen : ∀ a , b ∈ R : –( a + b ) = ( –a ) + ( –b )

Macht van een reëel getal

Tegengestelde van een product

Tegengestelde van een product

in woorden :

Om het tegengestelde van een product van twee of meer reële getallen te bepalen, moet je slechts één factor van teken veranderen.

Omgekeerde van een product

0,22507... ? = 0,31830... · 0,70710...

0,22507... ! = 0,22507...

Omgekeerde van een product in woorden : Het omgekeerde van een product van twee van nul verschillende reële getallen is gelijk aan het product van de omgekeerden van die getallen.

Rekenregels

Ook de rekenregels i.v.m. machten in Q blijven behouden in R

5 Eigenschappen van de vierkantswortel

Eigenschap 1 : Uit de definitie volgt onmiddellijk dat

√25 2 = 52 = 25

√49 2 = 72 = 49

in woorden : Het kwadraat van de positieve vierkantswortel van een positief reëel getal is steeds dat getal zelf. in symbolen :

in woorden : De positieve vierkantswortel uit een product van positieve reële getallen is gelijk aan het product van de positieve vierkantswortels van de factoren.

in woorden : De positieve vierkantswortel uit een quotiënt van positieve reële getallen waarvan de deler niet nul is, is gelijk aan het quotiënt van de positieve vierkantswortels uit deeltal en deler.

Gegeven : a ∈ R+ , b ∈ R+ 0

Te bewijzen : √ a b = √a √ b

Bewijs : 1 √a √ b ∈ R + want √a ∈ R + en √ b ∈ R + 0

√a √ b

2 = √a 2 √ b 2 = a b

Dusis: √ a b = √a √ b

Eigenschap 4 :

Voorbeelden : √46 = √4096 = 64 = 26 = √4 6 √92 = √81 = 9 = √9 2

in woorden :

rekenen in R eigenschap 1

De positieve vierkantswortel uit een n -de macht van een positief reëel getal is gelijk aan de n -de macht van de positieve vierkantswortel van het getal. in symbolen : ∀a ∈ R + , ∀n ∈ N : √a n = √a n

Gegeven : a ∈ R+ , n ∈ N

Te bewijzen : √a n = √a n

Bewijs : 1 √a n ∈ R + want √a ∈ R + 2 √a n isdevierkantsworteluit a n want √a n 2 = √a 2 n = a n

Opmerkingen :

• √9 + 16 ? = √9 + √16

√25 ? = 3 + 4 5 ! = 7

Met andere woorden de positieve vierkantswortel uit een som is niet gelijk aan de som van de positieve vierkantswortels.

• In de eigenschappen staat al ‘positieve vierkantswortel’. Gelden de eigenschappen ook voor negatieve vierkantswortels ? Onderzoek dit zelf.

• Even macht van een vierkantswortel :

• Oneven macht van een vierkantswortel :

6 Een vierkantswortel vereenvoudigen

Met het vereenvoudigen van een vierkantswortel bedoelen we dat we het grondtal zo eenvoudig mogelijk zullen schrijven.

Om dat te doen zullen we het grondtal ontbinden in priemfactoren. Nadien passen we de eigenschappen toe.

Omgekeerd kunnen we positieve factoren onder het wortelteken brengen door elke factor te schrijven als de vierkantswortel van zijn kwadraat.

7 Optellen en aftrekken van vierkantswortels

Vierkantswortels met hetzelfde grondtal noemen we gelijksoortige vierkantswortels.

√3en2√3zijngelijksoortigevierkantswortels.

3√2en5√3zijnnietgelijksoortigomdat2 = 3.

– Om gelijksoortige vierkantswortels op te tellen of af te trekken passen we de distributieve eigenschap toe.

Niet-gelijksoortige vierkantswortels kunnen we soms vereenvoudigen tot gelijksoortige vierkantswortels zodat we die vierkantswortels kunnen optellen en aftrekken.

8 Vierkantswortels

vermenigvuldigen

Om vierkantswortels te vermenigvuldigen passen we eerst de commutatieve en de associatieve eigenschappen van de vermenigvuldiging toe en daarna de rekenregels in R

9 Vierkantswortels tot een macht verheffen

Om een vierkantswortel tot een macht te verheffen, passen we eerst de rekenregel voor de macht van een product toe en daarna de rekenregel voor de macht van een vierkantswortel.

10 Vierkantswortels en merkwaardige producten

Het

11 Vierkantswortels delen en de noemer wortelvrij maken

Om vierkantswortels te delen, passen we de rekenregel toe van de vierkantswortel uit een quotiënt.

We kunnen die vierkantswortel uit de noemer wegwerken.

We vermenigvuldigen, na het vereenvoudigen van de breuk, de teller en de noemer met de irrationale factor van de noemer en werken uit.

12 Samenvatting

• Je kent de eigenschappen van het optellen in R.

1 Het optellen is intern in R.

2 Het optellen in R is associatief.

3 0 is het neutraal element voor het optellen

4 Elk reëel getal heeft een symmetrisch element voor het optellen in R, namelijk zijn tegengestelde.

• Je kent de eigenschappen van het vermenigvuldigen in R 1 Het vermenigvuldigen is intern in

3 1 is het neutraal element voor het vermenigvuldigen in R

4 Elk reëel getal verschillend van nul heeft een symmetrisch element voor het vermenigvuldigen in R0, namelijk zijn omgekeerde.

5 Het vermenigvuldigen in R is commutatief. ∀a , b ∈ R : a · b = b · a

• Je weet dat het vermenigvuldigen distributief is ten opzichte van het optellen in R

∀a , b , c ∈ R : a · ( b + c ) = a · b + a · c

∀a , b , c ∈ R : ( a + b ) · c = a · c + b · c

• Je kunt de hoofdbewerkingen in R uitvoeren en je kent de rekenregels in verband met :

het tegengestelde van een som ; ∀a , b ∈ R : –( a + b ) = ( –a ) + ( –b )

het omgekeerde van een product ; ∀a , b ∈ R0 : ( a · b )–1 = a –1 · b –1

– het tegengestelde van een product ∀a , b ∈ R : –( a · b ) = ( –a ) · b = a · ( –b )

• Je kent de definitie van een macht van een reëel getal .

∀a ∈ R , ∀n ∈ N0 : a n = a · a ... a (n factoren)

∀a ∈ R 0 : a 0 = 1

∀a ∈ R 0 , ∀n ∈ N : a n = 1 a n

• Je kent de rekenregels voor machten :

• Je kent de eigenschappen in verband met vierkantswortels .

1 Het kwadraat van de positieve vierkantswortel van een positief reëel getal is steeds dit getal zelf.

2 De positieve vierkantswortel uit een product van positieve reële getallen is gelijk aan het product van de positieve vierkantswortels van de factoren.

3 De positieve vierkantswortel uit een quotiënt van positieve getallen waarvan de deler niet nul is, is het quotiënt van de positieve vierkantswortels uit deeltal en deler.

4 De positieve vierkantswortel uit een n -de macht van een positief reëel getal is de n -de macht van de positieve vierkantswortel van het getal.

• Je kunt een vierkantswortel vereenvoudigen door het grondtal zo eenvoudig mogelijk te schrijven .

• Je kunt in een breuk de noemer wortelvrij maken.

Magische vierkanten

In het tweede jaar stelden we je kort een magisch vierkant (of tovervierkant) voor, weet je nog wat dat is ?

Het is een vierkant waarin de som van de getallen van elke horizontale rij, elke verticale rij en elke diagonale rij dezelfde is. Toen gaven we je het voorbeeld van een tekening van kunstenaar Albrecht Dürer, maar je vindt her en der nog andere voorbeelden terug. Op een van de gevels van de Sagrada Familia, de wereldberoemde basiliek in Barcelona, kun je er bv. ook een spotten. Daar zie je wel twee cijfers die dubbel voorkomen, zodat de som 33 is (het jaar waarin Jezus stierf).

Op het internet vind je trouwens nog een pak extra dubbele bodems die de maker erin stopte … Los jij deze magische vierkanten op?

13 Oefeningen

Noteer de eigenschap die je hier geïllustreerd ziet.

Duid aan welke eigenschappen gelden in de gegeven verzameling.

a Eigenschappen van de optelling.

INTERN ASSOCIATIEF

NEUTRAAL ELEMENT

SYMMETRISCH ELEMENT VOOR ELK ELEMENT

COMMUTATIEF

b Eigenschappen van de vermenigvuldiging.

INTERN ASSOCIATIEF

NEUTRAAL ELEMENT

SYMMETRISCH ELEMENT VOOR ELK ELEMENT

COMMUTATIEF

c Eigenschappen van de aftrekking.

INTERN ASSOCIATIEF

NEUTRAAL ELEMENT

SYMMETRISCH ELEMENT VOOR ELK ELEMENT

COMMUTATIEF

d Eigenschappen van de deling.

INTERN ASSOCIATIEF

NEUTRAAL ELEMENT

SYMMETRISCH ELEMENT VOOR ELK ELEMENT

COMMUTATIEF

Toon aan de hand van een voorbeeld aan dat volgende eigenschappen niet gelden.

a Het product van twee irrationale getallen c De aftrekking is associatief in Z is een irrationaal getal.

b 0 is het neutraal element voor de aftrekking in R. d Het delen is commutatief in R.

Werk uit en schrijf met positieve exponenten. Alle letters stellen van nul verschillende reële getallen voor.

Werk uit en schrijf met positieve exponenten. De letters a , b , c en d stellen van nul verschillende reële getallen voor.

Vereenvoudig volgende vierkantswortels.

Vereenvoudig volgende vierkantswortels. Alle letters stellen positieve reële getallen voor.

Noteer in elke bouwsteen de som van de twee onderliggende bouwstenen.

Werk uit ( a , b ∈ R+ 0)

a √a + √4a √36a

b √4a 3 + a √a 5 + a √25a √a 7

c √a 3 √4a 3 + a √25a √a 7

d 4√5a · 3√2a · 2√20a

e a 3 √a 3 a √a

f 2√8a a √a 5 6√6a

g a √a + b √ b √a √ b

h √a √a √ b + √ b √a + √ b

i √a : √9a 5

j √ 1 a : √a

k ab √4a 8 b 10 · 2 b √9a 9 b 12

l 3 4 √a √ 64 b 100 √ a 4 + √ b 25 √ a 16

m 2√a 3 + 3√ab √a 2 b √ab 2

n √a √ab √ b a √ab + √ b

Bereken door merkwaardige producten toe te passen.

Maak de noemers wortelvrij ( a , b ∈ R+ 0)

Breng de factoren die voor het wortelteken staan onder het wortelteken als je weet dat a ∈ R+ en

Vereenvoudig als je weet dat a ∈

+ en

Als je weet dat het grote vierkant een oppervlakte heeft van 20 cm2, bereken dan de oppervlakte en de omtrek van de kleine vierkanten.

Als a = √2,berekendanzonderICT: a + a 1 a .

In een doos liggen 20 sokken. Van die 20 zijn er 10 rode en 10 zwarte sokken.

a Hoeveel sokken moet Noa lukraak nemen om zeker te zijn dat ze één paar sokken heeft in dezelfde kleur ?

b Hoeveel sokken moet Noa lukraak nemen om zeker te zijn dat ze één paar zwarte sokken heeft ?

Als x = √10 √10 √10 √10 √10,danis

VWO 2018 tweede ronde, vraag 14 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

In een vierkant land met oppervlakte 10 000 km2 wil telecomoperator Telemus gsm-masten plaatsen met een bereik van 50 km. Hoeveel masten moeten ze minstens plaatsen om zeker het hele gebied te dekken ?

VWO 2019 eerste ronde, vraag 9 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

We noteren n ! voor het product van de natuurlijke getallen 1 tot en met n Zois5! = 1 ·

= 120.Waaraanis √10! 6! gelijk?

VWO 2020 eerste ronde, vraag 8 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Vaardigheden | Wiskundige woordenschat

HORIZONTAAL

3 ander woord voor volume

4 deel van een vermenigvuldiging

6 deel van een optelling

9 getal met een onbegrensde en niet-repeterende decimale schrijfwijze

13 wordt voorgesteld door A

15 a en a –1 zijn elkaars ...

17 deze getallen zitten in R

VERTICAAL

1 3 en –3 zijn elkaars ...

2 resultaat van een deling

5 elke breuk kun je noteren in deze vorm

7 deze getallen zitten in Q

8 145 is in 2,145145... de ...

10 wordt voorgesteld door p

11 wordt voorgesteld door ∩

12 interval waar de grenspunten niet bij horen

14 resultaat van een vermenigvuldiging

16 het kleine getal rechtsboven bij een macht

Reële getallen 1

Mats had op zijn rapport in het eerste trimester 72/120 voor wiskunde. In het tweede trimester daalt dat cijfer met 5%, maar in het derde trimester stijgt het opnieuw met 5%. Mats heeft dus opnieuw 72/120. Is deze redenering juist ? Toon je bewering aan met berekeningen.

Een fabrikant van speelgoedballen gebruikt telkens een verpakking die zo klein mogelijk is om de ruimte in zijn magazijn te beperken.

a Als je weet dat een bal, in stevig opgeblazen toestand, een volume heeft van 1768 cm3, hoe groot moet de totale oppervlakte van de doos dan minstens zijn opdat de bal erin zou passen ? Werk tot op 10–3 cm2 nauwkeurig.

b De dikte van het rubber van de bal is 1 mm. Hoeveel dm³ rubber moeten ze in de fabriek gebruiken om de bal te kunnen maken? Werk tot op 10–3 dm³ nauwkeurig.

Vereenvoudig volgende vierkantswortels.

Los grafisch op. Noteer je resultaat in intervalvorm.

Plaats 5 3 nauwkeurig op de getallenas. Laat je constructielijnen staan .