МАТЕМАТИКА
УЏБЕНИКСАЗБИРКОМЗАДАТАКА ЗАШЕСТИРАЗРЕДОСНОВНЕШКОЛЕ
РЕЦЕНЗЕНТИ
УРЕДНИК
ОДГОВ
37.016:51(075.2)
ДУГОШИЈА, Ђорђе, 1947Математика : уџбеник са збирком задатака : за шести разред
основне школе / Ђорђе Дугошија, Милољуб Албијанић, Марко
Шегрт. - 1. изд. - Београд : Завод за уџбенике, 2020 (Београд : Планета принт). - 208 стр. : илустр. ; 27 cm
Тираж 3.000.
ISBN 978-86-17-20287-1
1. Албијанић, Милољуб, 1967- аутор 2. Шегрт, Марко, 1948аутор
COBISS.SR-ID 283841036
Министар просвете Републике Србије, решењем 650-02-00408/2019-07 од 30. 12. 2019. године, одобрио је овај уџбеник за
и употребу у 6. разреду основне школе.
издавача.
1.1.Скупцелихбројева Z.Супротнибројеви.Приказивањенабројевнојправој..8
1.2.Супротнибројеви.Апсолутнавредност................................13
1.3.Упоређивањецелихбројева.........................................17
1.4.Сабирањецелихбројева............................................20
1.5.Одузимањецелихбројева...........................................24
1.6.Законисабирања..................................................28
1.7.Множењецелихбројева.............................................32 1.8.Дељењецелихбројева..............................................38
2.ТРОУГАО–ПРВИДЕО 49
2.1.Tроугаo.Врстетроугловапремастраницама...........................50
2.2.Угловитроугла.....................................................53
2.3.Односизмеђустраницаиугловатроугла.Неједнакосттроугла............58
2.4.Конструкцијенекихуглова...........................................63
3.РAЦИОНАЛНИБРОЈЕВИ–ПРВИДЕО
3.1.Скупрационалнихбројева Q.Супротанброј.Приказивањерaционалнихбројеванабројевнојправој.Апсолутнавредност...........................72
3.2.Проширивањеиупоређивањерационалнихбројева.....................76
3.3.Сабирањеиодузимањерaционалнихбројева..........................79
3.4.Множењеидељењерaционалнихбројева.............................85
3.5.Изразисрационалнимбројевима.....................................90
3.6.Линеарнеједначине................................................93
3.7.Линеарненеједначине..............................................97
4.ТРОУГАО–ДРУГИДЕО
4.1.Основнеконструкцијетроуглова.....................................107
4.2.Подударност.Ставовиподударноститроуглова........................114
4.3.Описанаиуписанакружницатроугла.................................125
5.РAЦИОНАЛНИБРОЈЕВИ–ДРУГИДЕО
6.ЧЕТВОРОУГАО 165
6.1.Четвороугао.Угловичетвороугла.Збиругловачетвороугла..............166
6.2.Паралелограмињеговеособине....................................169
6.3.Ромб.Правоугаоник.Квадрат.......................................172
6.4.Конструкцијапаралелограма........................................176
6.5.Вектори.Сабирањеиодузимањевектора.Множењевекторабројем......179
6.6.Трапез.Особинетрапеза.Средњалинијатроуглаитрапеза.............184
6.7.Конструкцијатрапеза..............................................187
6.8.Делтоид.........................................................188
7.1.Површина.Површинаправоугаоникаипаралелограма.................198
7.2.Површинатроугла.................................................199
7.3.Површинатрапеза................................................202
7.4.Површиначетвороугла.............................................203
ЦЕЛИ
Скупцелихбројева Z.Супротнибројеви.Приказивање
набројевнојправој
Супротнибројеви.Апсолутнавредност
Упоређивањецелихбројева
Сабирањецелихбројева
Одузимањецелихбројева
Законисабирања
Множењецелихбројева
Дељењецелихбројева
Скупцелихбројевачиненула,природнибројевиинегативницелибројеви:
За природнебројевекажемоидасу позитивницелибројеви ипопотребиимпридружујемознак + (плус).Пишемо N = Z+
Позитивнецелебројевеинулузовемои ненегативни целибројеви.
Ненегативнебројевеприказивалисмонабројевнојполуправојследећимпоступком.На полуправојчијијепочетактачка O изабралисмонекудругутачку I.Тачки O придружили смоброј0,атачки I број1.Дуж OI називасе јединичнадуж.Некаје
број.Наносећијединичнудужодтачке On-пута,долазимодотачке A
придружилиброј n
Такосмосвакомприродномбројуинулипридружилипоједнутачкуполуправе OI.
Термометарскаскаладајенамидејудасвакомцеломбројупридружимоодговарајућу тачкукојаприпадаправој OI.
Броју 1 придружимотачку M,такодајетачка O средиштедужи MI
кажеседасу симетричне уодносунатачку O),броју 2 придружимотачкусиметричну тачкикојајепридруженаброју2итд.Негативномцеломброју n придружимотачкусиметричнутачкикојаодговараприродномброју n уодносунатачку O.
Приметимодадоистетачкедолазимоакоодтачке O нанесемо
смеруод
ЦЕЛИ
Скупцелихбројева Z.Супротнибројеви.Приказивање
набројевнојправој
Супротнибројеви.Апсолутнавредност
Упоређивањецелихбројева
Сабирањецелихбројева
Одузимањецелихбројева
Законисабирања
Множењецелихбројева
Дељењецелихбројева
1.4.Сабирањецелихбројева
Пример
1
Претпоставимо дадугујемо3јабуке.
a)Акокупимопетјабукаивратимодуг,остаћенамдвејабуке.
Овоодговарасабирању:
( 3)+5=2
б)Дасмокупилисамодвејабукеивратилидеодуга,дуговалибисмоједнујабуку.
Дакле:
( 3)+2= 1.
в)Дасмопозајмилијош4јабуке,дугбинамсеувећаона7јабука.Дакле:
( 3)+( 4)= 7
Следећиовепримереускупу Z уводимосабирањеправилима.
Размотримопоновопример1.Акобисмосвојестањедугаприказалитачкомнакоординатнојправој,првомсабирањуодговараобипомакодтачкескоординатом 3 петјединичнихдужиупозитивномсмерудотачкескоординатом2(сл.1.15).
Удругомсабирањуодтачке 3 померилибисмоседвејединичне
Слика 1.16
Слика 1.17
Збирцелогброја a ипозитивногцелогброја b јебројједнаккоординатитачкедобијене
померањемодтачке A(a) за b јединичнихдужиупозитивномсмеру.
Збирцелогброја a инегативногцелогброја b јебројједнаккоординатитачкедобијене
померањемодтачке A(a) за |b| јединичнихдужиунегативномсмеру.
Збирцелогброја a инулејеброј a.
Пример 2
Израчунајкористећибројевнуправу:
а) ( 2)+3;б) 3+( 2);в) ( 2)+( 3);г) ( 5)+0.
Слика 1.18
а)Набројевнојправој OI одредимо A( 2).Одтачке A померимосетријединичне дужиупозитивномсмеру.Долазимодотачке I(+1).Дакле, ( 2)+3=1.
б)Одтачке B(3) нанесемодуждужине2унегативномсмеруидобијамотачку I(1). Дакле, 3+( 2)=1.
в)Одтачке A( 2) нанесемодуждужине3унегативномсмеруидолазимодотачкес координатом 5.Стогаје ( 2)+( 3)= 5.
г)Остајемоутачкичијајекоордината
Знакзбирајеистикаознаксабиркакојиимавећуапсолутнувредност.
Акосусабирциистогзнака,апсолутнавредностзбирајезбирапсолутнихвредности сабирака.
Акосусабирциразличитихзнакова,апсолутнавредностзбирајеразликавећеимање апсолутневредностисабирака.
Пример 3
Израчунајкористећинаведенаправила:
а) ( 7)+( 15);б) ( 7)+15;в) 5+( 7).
а)Сабирцисуистогзнака.Сабираксвећомапсолутномвредношћује ( 15),тејезнак збираминус.Апсолутнавредностзбираје |−7|+|−15| =22.Затоје ( 7)+( 15)= 22
б)Сабирцисуразличитихзнакова.Знакзбирајеплусјерје |15| > |− 7|.Апсолутна
|− 7|−|5|.
Збирјеједнак 2.Затоје 5+( 7)= 2.
Пример 4
Акојетемпературабила 1 степен,пајепораслаза3степена,новавредносттемпературеје 1+(+3)=2 степена.Дасетемператураснизилаза2степена,новатемпературабилаби 1+( 2)= 3 степена.
Уопштено,акојенекавеличинабилаописанацелимбројем a,пасепроменилазацео број b,њенановавредностбиће a + b.Број b називасе променавеличине a.
Питања
Какосесабирајуцелибројеви?
Какавзнакимазбирдвацелаброја?
Коликуапсолутнувредностимазбирдвацелаброја?
Занимљивости
Геометријаједеоматематикеукојемсеизучавајугеометријскефигуреињиховиодноси.Самареч„геометрија”јегрчког пореклаиупреводузначи„мерењеземље”.Геометријајестара коликоиљудскацивилизација.OтомесведочеостацикултуреМаја,Вавилонаца,египатскепирамидеидр.Првасачуванакњигаогеометријииманазив„Елементи”.Написаојује античкиматематичарЕуклиднапреласкуизIVуIIIвекпре н.е.
Уњојсусабранаисистематизованасвазнањаизгеометриједотогадоба.Геометријазасновананањеговимпоставкама називасееуклидскагеометрија.
Ми сетомгеометријомибавимо.
ЈошодЕуклидапотичеидејадасегеометријаизучавапонекимправилима.Првосе уводеосновнигеометријскипојмови(објекти),aпрекоњихсложенији.Затимсеразматрају особинетихобјекатаивеземеђуњима.Тосунекадврлојаснеособинеиливезе,паихсамо исказујемо.Например, задверазличитетачкепостојиправакојаихсадржи.
Међутим,нијесвеувекочигледно.Постојеособинеилиодносимеђугеометријским објектимакоједетаљнијеразматрамоослањајућисенавећпознатечињеницеилогичкорасу-
2.1.Tроугаo.Врстетроугловапремастраницама
Упретходнимразредимаупозналисмонекегеометријскефигуре,њиховасвојстваи међусобнеодносе(сл.2.1).
Уовојтемидетаљнијећемоупознатиједнуоднајважнијихинајједноставнијихгеоме-
Троугаочијесусветристраницеједнакеназивасеједнакостраничнитроугао(сл.2.4в).
Питања
Штајетроугао?Којисуњеговиосновниелементи?
Штасувисинетроугла?
Штасутежишнедужитроугла?
Каквимогудабудутроугловипремастраницама?
1. Обележинауобичајенначинстраницеитеменатроугловаприказанихнаследећој слици.
2. Којареченицајетачна?
а)Троугаоприпадасвакомсвомуглу.б)Свакиугаотроуглаприпадатроуглу.
3. Коликозаједничкихтачакамогуиматитроугаоналинијаинекаправа?
4. Далипостојиправа p којанесадржиниједнотеметроугла ABC исечесамостраницу AB тогтроугла?
5. Пребројколикотроугловаиманасвакојслици.
2.6
2. а)
3. Ниједну,једну,двеилибесконачномного.
4. Не.Такваправасечејошилистраницу AC илистраницу BC.
5. 5;8;18.
Каквисуугловинаспрамнеједнакихстраницатроугла?Oтомеможеморећиследеће.
Наспрамвећестраницетроугланалазисевећиугао.
Некаје AC>AB.Тадаизмеђутачака
D таквадаје AD = AB. У ∆BDA је < ) ABD = < ) ADB.Угао < ) ADB јеспољашњиугао
троугла BCD,паје < ) ADB већиодугла γ.Какоје β>< ) ABD, биће β>γ.
Уочилисмодаизодносастраницатроугласледеодносиугловаистогтроугла.Сагледајмоиобрнуто,какоизодноса угловатроугласледеодносистраница.
Претпоставимодазатроугао ABC важидаје β = γ.Наслућујемоданаспрамнестранице b и c морајудабудуједнаке.Размотримозашто.Акостранице b и c небибилеједнаке, моглобидабуде b>c или b<c.Научилисмодабииз b>c следило β>γ,aиз b<c би следило β<γ.Обемогућностисенеслажуспретпоставкомдаје β = γ.Дакле,аконеможе дабуде b>c нити b<c мораважити b = c.Значи,тачнојеследећетврђење.
Наспрамједнакихугловатроугланалазесеједнакестранице.
Докажимодаважииследећетврђење.
Наспрамвећегуглатроугланалазисевећастраница.
Претпоставимодазатроугао
Скупрационалнихбројева Q.Супротанброј.
Приказивањерaционалнихбројеванабројевнојправој.
Апсолутнавредност
Проширивањеиупоређивањерационалнихбројева
Сабирањеиодузимањерaционалнихбројева
Множењеидељењерaционалнихбројева
Изразисрационалнимбројевима
Линеарнеједначине
Линеарненеједначине
Приказивањерaционалнихбројеванабројевнојправој. Апсолутнавредност
Досадасмоупозналискупцелихбројева Z.Целебројевеможемосабирати,одузимати имножитиикаорезултатдобитицеоброј.Тоневажиувекизадељење.Нашциљјестогада проширимоскуп
Сличанпоступакпроширивањаупозналисмоупретходномразреду,кадасмоскуп ненегативнихцелихбројевапроширилиускуп разломака,тј.бројеваоблика
скупозначаваseса Q+.Њимасупротнирационалнибројевичинескуп негативнихрационалнихбројева,уознаци Q ,aскупрационалнихбројева
Пример 4
Далисуцелибројевирационални?
Какосесвакицеоброј z моженаписатиуоблику z 1, одговорјепотврдан.
Знамодасеразломцимогуприказатиудецималномзапису,којимсеозначаваколико уразломкуимацелихјединица,њиховихдесетих,стотих,хиљадитихитд.делова.Додецималногзаписаразломкадолазимодељењемњеговогбројиоцањеговимимениоцем.
Апсолутнувреднострационалногброја r,означенукао |r|,уводимонаистиначинкао
Задржанасусваодранијепознатасвојстваапсолутневредности.Посебноистичемода
Двојниразломаксеизрачунаватакоштосепроизвод„спољашњихбројева”(бројиоца
Акосудварационалнабројаистогзнака,њиховјепроизвод(иколичник)позитиван. Акосутибројевиразличитогзнака,њиховјепроизвод(иколичник)негативан.Важи иобратно. Довољнојеуверитиседаје
Пример 4
Помножи 3, 4 и1,1.
Знакпроизводаје јерсубројевиразличитогзнака,aпроизводапсолутнихвредности је 3, 4 · 1, 1=3, 74.Затојерезултатмножења 3, 74
Пример 5
Израчунај 3 5 · ( 0, 2).
Знакрезултатаје + јерсучиниоциистогзнака,aапсолутнавредностје:
4.1.Основнеконструкцијетроуглова
Цртањегеометријскефигуре,закојусузадатинекиелементи,коришћењемшестараи лењира,називасе конструкција.
Приконструкцијамаједозвољено:
а)помоћулењираконструисатиправукојајеодређенадвематачкама;
б)помоћушестараконструисатикружницупознатогцентраиполупречника.
Ранијесмонаучилидаконструишемосиметраледужииугловаинекеуглове.
Конструисањегеометријскефигуреуобичајеносеизводиунеколикокорака.
Анализа јетражењепутакакодоћидорешењаза„стварање“траженефигуренаоснову датихподатака.Радитогасескицирафигураинањојуочедатиелементи.Затимсеодреди редоследодређивањанепознатихделовафигуре.
Доказ
задатеелементе.
Дискусијаобухватаутврђивањепостојањарешењаибројарешењаузависностиодзадатихелемената.
Овакоракенећемоформалнонаводитиупримеримаизадацима.
Постојеконструктивнизадацизакојеједоказанодасенемогуизвестилењироми шестаромкоришћењемсамонаведенихправила.Такоје,например,немогућеурадити трисекцијудатогугла(деобунатриједнакаугла),каоиквадратурукруга(конструкцијуквадрата чијајеповршинаједнакаповршинадатогкруга).
Конструкцијатроуглајеосновнислучајзадаткаконструисања.
Занимљивости
ФридрихГаусјенемачкиматематичаркојиједоказаоданије могућеизвеститрисекцијууглапомоћулењираишестара. Својадрагоценаоткрићазабележиојеудневникуна19страна.Користиојетајнезнаковеисимболе,којејебилотешко одгонетнути.Например,једанзаписизгледаовако: EYPHKA!num = ∆ + ∆ + ∆.
ПрваречподсећанаАрхимедовусклик Eureka!Записозначавадајесвакиприроданбројзбирнајвишетритроугаонаброја.
(1777–1855)
Координатнисистем
Приказподатакаукоординатномсистемуизависност
величина
Размереипропорције
Проценти
Директнопропорционалневеличине
Обрнутопропорционалневеличине
