CQFD 2e - Livre-cahier - Extrait by VAN IN

Françoise VAN DIEREN - Giuseppe BIANCHI

CQFD2 MANUEL A4+4e_CQFD 22/03/2018 14:21 Page1

Le manuel CQFD 2e contient la matière vue en classe de 2re année. Avec CQFD, acquérir les compétences en maths se fait via des activités et des résolutions de problèmes, simples, rapides et pratiques. Chaque chapitre est structuré selon le même schéma :

u Rassembler ses acquis permet de réinstaller les prérequis nécessaires, raviver, partir de ce qui est là, diagnostiquer les lacunes et les combler.

LIVRE-CAHIER

u L’exploration propose, sous la guidance de l’enseignant, des activités pour mener rapidement aux notions nouvelles et concepts qu’il faut apprendre. u La synthèse consiste à articuler les références pratiques et théoriques. u Les exercices sont diversifiés et permettent à l'élève de s'entraîner, de transférer ce qui a été appris et de préparer une évaluation avec des extraits, notamment, des CE1D des années précédentes.

CQFD 2e, c'est également : CQFD 2e CORRIGÉ ET NOTES MÉTHODOLOGIQUES Le corrigé contient les notes méthodologiques et les solutions des explorations et des exercices du livre-cahier de 2e année.

De Boeck

ISBN : 978-2-8041-9519-9 572663

vanin.be

CQFD MATHS 2e

u Une mise en page structurée et en couleurs u La construction des savoirs se fait de manière guidée u Des savoirs et savoir-faire mis en lien avec le quotidien des élèves u De nombreux exercices, soit à compléter dans l’ouvrage, soit sous forme de Fiches d’exercices (dans un cahier séparé)

u L’introduction situe les apprentissages dans la réalité quotidienne ou culturelle et indique à l’élève ce qu’il faut apprendre.

Conception graphique : Primo&Primo

UNE COLLECTION DE MATHÉMATIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT GÉNÉRAL, DE LA 1re À LA 6e, SOUS LA DIRECTION DE FRANÇOISE VAN DIEREN

Couverture : Primo & Primo Mise en pages : Softwin Crédits : © Jeff Dahl (p. 85) ; © Mappy/Tele Atlas (p. 55 b et 185) ; © www.atomium.be – SABAM 2012 – Simon Schmitt/www.globalview.be (p. 55) @Fotolia : Driving South (p. 3), Cyril Comtat (p. 4), celeste clochard (p. 5), TEA (p. 6), dutourdumonde (p. 11 ht), Ponchy (p. 11 m), Zauberhut (p. 12 ht), sever180 (p. 12 m), WavebreakmediaMicro (p. 19), Henrik Larsson (p. 24 m g), Anterovium (p. 24 m d), DURIS Guillaume (p. 24 bas et p. 83), Leigh Prather (p. 38), olive14 (p. 39), djtaylor (p. 42), Michael Gray (p. 44) ), alain zanello (p. 56), Robert Mizerek (p. 65), Philippe GIRAUD (p. 82), Kirill Perepjolkin (p. 89 ht), SL-66 (p. 91), SYLVIE. PERUZZI (p. 101), javarman (p. 102), kalou1927 (p. 109), lassedesignen (p. 110), NICOLAS LARENTO (p. 140), Springfield Gallery (p. 141), lou65310 (p. 144), herbac (p. 145), hassan bensliman (p. 147), schulzie (p. 148), Ralf Gosch (p. 149), foolish (p. 157 ht), Kybele (p. 157 b), Claude Nissens (p. 165 ht), Matevz Likar (p. 183), Alex Petelin (p. 184), tomsturm (p. 188), Thierry Hoarau (p. 196), Pixelmania (p. 197 ht), philippe simier (p. 197 b), scotthphillips (p. 201), Comugnero Silvana (p. 207), Lom (p. 208), diego cervo (p. 209), Alistair Cotton (p. 214), Alexandr Vasilyev (p. 218 ht), lamax (p. 218 m), Jeanne Hatch (p. 231 et 232), seawhisper (p. SY57 et SY58), vom (p. 237 b), Eduardo Rivero (p. 238).

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2016, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 2e édition – 2e réimpression 2018 ISBN 978-2-8041-9519-9 D/2016/0074/048 Art. 572663/03

Avant-propos

Lorsqu’on arrive au bout d’une démonstration, on écrit : CQFD (« Ce Qu’il Fallait Démontrer ») ! Faire des mathématiques, c’est s’appuyer sur des arguments pour Démontrer, mais dans la collection CQFD , c’est aussi

Découvrir, Discuter, Décrire, Définir, Développer, Dessiner…

En première année du secondaire, la formation au raisonnement mathématique s’appuie sur un enchainement logique des contenus et sur l’élaboration réfléchie d’énoncés de référence.

C’est pourquoi nous avons veillé à ce que le sens des apprentissages, leur progression, la façon dont ils s’articulent, soient perceptibles par les élèves. Chaque chapitre est un parcours, rythmé et balisé comme suit.

Un texte introductif situe brièvement les nouvelles notions dans le paysage des connaissances familières de l’élève, dans les contextes où ils servent, dans l’histoire des mathématiques. Chaque introduction est illustrée par un logo : une spirale qui articule « ce qui est déjà là » à « ce que l’on va apprendre », montre comment les notions s’enchainent, se déploient. Rassembler les acquis permet de réinstaller les prérequis nécessaires, raviver, partir de ce qui est là, diagnostiquer les lacunes et les combler. Des explorations organisent le travail autour de questions qui donnent du sens, installent des images mentales et conduisent à la synthèse.

Une synthèse, sous la forme de questions-réponses, structure, précise et complète ce qui a été appris.

Des exercices mobilisent et développent diverses compétences. Ils sont classés en trois catégories. – Utiliser et s’entrainer, pour maitriser le langage et les notions, acquérir une habileté procédurale réfléchie.

iti

– Transférer ce qui a été appris pour affronter des questions qui requièrent de faire des liens, de prendre des initiatives. – Préparer une évaluation en répondant à des questions qui mobilisent l’ensemble des matières du chapitre avec, notamment, des extraits des CE1D d’années précédentes.

Les explorations, les synthèses et les exercices se prêtent à diverses méthodes d’enseignement. Selon les matières, les goûts et les difficultés des élèves, chaque enseignant peut aménager des temps : – de travail collectif qu’il anime, – de préparations et d’exercices individuels, en classe ou à domicile, – de travaux de remédiation ou d’approfondissement. La présentation de CQFD2 sous forme de livre-cahier permet à de jeunes élèves d’inscrire leur travail dans un contexte déjà structuré. Chaque page présente une unité de contenu et parfois de contexte, évitant ainsi le morcellement et la dispersion. Si ce livre-cahier se prête à une certaine individualisation, la vie de la classe doit cependant être rythmée par des temps de travail collectif au cours desquels le professeur explique, sollicite la réflexion des élèves, favorise la communication. Nous souhaitons aux élèves de trouver, tout au long de l’année, un réel plaisir : celui de se « voir » penser, découvrir. Que dans le travail personnel, la richesse des échanges avec le professeur et les autres élèves, chacun acquière une confiance renouvelée dans son propre raisonnement ! Françoise Van Dieren

Avant-propos

III

Comment s’y prendre ?

L’ouvrage est structuré en 11 chapitres qui organisent chacun, une même succession d’activités. Dans ce chapitre, on approfondit et prolonge ce que l’on a appris en première à propos des multiples et des diviseurs.

Tu apprendras ainsi à déterminer les diviseurs et les multiples communs à plusieurs nombres, tu découvriras des méthodes pour déterminer rapidement leur plus grand diviseur commun et leur plus petit multiple commun. L’une de ces méthodes a été découverte par le célèbre mathé-

Lis attentivement l’introduction pour situer ce que l’on va apprendre.

très utile pour calculer le PGCD de grands nombres. Tu la découvriras dans les exercices. En avançant dans la connaissance de l’arithmétique, tu développeras tes capacités de raisonnement pour découvrir et justifier une propriété.

Tu te serviras de ces notions et de ces méthodes pour simplifier et additionner des fractions dans le chapitre suivant.

Décomposition en facteurs premiers

Rassembler les acquis

PGCD 1 Identifie l’isométrie qui envoie l’angle α sur l’angle β.

Indique sur le dessin ce qui caractérise chaque isométrie. Triangles isocèles

PPCM

Propriétés

Ravive ce que tu as appris car ce sont en 1re année Algorithme d’Euclide des prérequis nécessaires à l’étude du chapitre.

iti

α β

β ........................

........................

Parallélogrammes

Explorer et découvrir

Nombre d’oiseaux dans un même jardin Trente personnes, membres du même club, ont recensé le nombre d’oiseaux observés dans leur jardin durant une même journée.

α α

Leurs observations sont présentées sous la forme d’un diagramme en bâtons qu’elles ont communiqué à Natura 2000. Effectif

........................

6 5 4 3

β β

Nombre d’oiseaux observés

α α

1 0

EnLosanges classe, avec le professeur et les autres élèves, tu découvres les nouvelles notions.

Comment s’y prendre ?

........................

Synthèse

Étudie les questions de la synthèse pour pouvoir te débrouiller seul dans d’autres situations.

11 Comment construire un cercle de centre donné, tangent à une droite donnée ?

le point de contact est le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur d, A et B

hormis B, tous les points de d sont extérieurs au cercle car leur distance au centre est plus grande que le rayon, d

d B

S’exercer

Utiliser et s’entraîner

1 Quelle est l’amplitude de la rotation qu’effectue le coq du clocher nord à sud-ouest, sud-est à nord-est, est à sud-ouest, N

Avec ces exercices, tu ﬁxes l’essentiel et tu acquiers des outils pour devenir habile et précis.

Transférer

S’exercer

Cite quatre changements de direction du vent qui correspondent à une rotation de 225°.

iti

23 Détermine, sans calculatrice, le plus petit nombre naturel…

Transfère les acquis pour résoudre des problèmes qui mobilisent les concepts dans des situations variées.

Ces exercices te permettent de revoir les notions, les procédures et les méthodes de résolution qui ont été travaillées au cours du chapitre.

S’exercer Préparer une évaluation 21 (CE1D 2014) Construis un triangle isocèle BAL dont le sommet A est un point du cercle

et tel que AB = AL .

Laisse tes constructions.

Comment s’y prendre ?

Sommaire

Plus Grand Commun Diviseur, Plus Petit Commun Multiple

Opérations sur les puissances

Angles

Construire une formule

Opérations dans l’ensemble des rationnels

Calcul algébrique

Traitement de données

Construire, dénombrer, exploiter les isométries d’une figure

153

Distance et cercle

181

11.

Sommaire

Équations

10.

iti

Proportionnalité en géométrie

1 17 39 63 79 105 139

203 225

Angles

En première année, tu as appris à utiliser un rapporteur, à reconnaître des angles adjacents, opposés par le sommet, complémentaires et supplémentaires. Dans ce chapitre, tu apprendras à reconnaître des angles superposables dans de nouvelles configurations et à calculer leur mesure en combinant plusieurs propriétés des figures. B

Angles isométriques F

Angles formés par des parallèles

Angles du triangle

Angles des quadrilatères

Angles des polygones

Tu as sans doute déjà manipulé une boussole. T’en es-tu servi pour t’orienter dans la nature ? As-tu utilisé le viseur pour repérer une direction lue sur une carte ?

iti

En tous cas, tu auras constaté que le cadran de la boussole est un cercle complet gradué de 0° à 360°. Aller vers l’Est, c’est suivre la direction 90° ; vers le Sud, c’est 180° ; et vers l’Ouest, c’est 270°.

Dans ce chapitre, grâce à tes connaissances à propos des angles, tu découvriras comment navigateurs, explorateurs, aviateurs… utilisent une carte pour déterminer un cap, c’est-à-dire la direction à prendre.

Introduction

Rassembler les acquis 1 Identifie l’isométrie qui envoie l’angle α sur l’angle β. Indique sur le dessin ce qui caractérise chaque isométrie. Triangles isocèles

α β

........................

Parallélogrammes

........................

iti

........................

Losanges

α α α

β β β

........................

3. Angles

........................

2 Tu as besoin d’une règle et d’un rapporteur pour répondre à ces questions.

a) Un hélicoptère décolle de Paros (le point P sur la carte). Quelles sont les îles qu’il survolera si son cap est : 298° ?

iti

118° ?

207° ?

b) Un navire fait la navette entre Ios et Santorin. Quel est son cap aller ?

Quel est son cap retour ?

3 (CE1D 2014) Coche les bonnes réponses. Si on additionne les amplitudes de deux angles aigus, on obtient toujours l’amplitude d’un angle obtus.

Vrai

Faux

Si on additionne l’amplitude d’un angle aigu à celle d’un angle obtus, on obtient toujours l’amplitude d’un angle plat.

Vrai

Faux

Rassembler les acquis

Explorer et découvrir 1

Marche à la boussole Oscar et Anna font de la marche d’orientation. Ils sont munis d’un podomètre (appareil qui mesure les distances) et d’une boussole. Le point de départ est D et le point d’arrivée est A. Tu devras utiliser les renseignements de la figure pour déterminer les caps suivis. Indication Ecris les résultats intermédiaires sur la figure de droite. Parcours d’Oscar

2 Calcul de D

Nord N 1 A 125°

5 km D

139°

2 Calcul de B

125°

B 139° 3 km

Quelle est l’isométrie qui envoie  1 sur B 1 ? D

Nord

Complète

Partant de D, Oscar suit un cap de ..................................................................... Après 5 km, il arrive en B et prend un cap de .................................... . Il arrive en A après 3 km dans cette direction.

iti

Parcours d’Anna

Calculs

N 100° 1 2 5 D

100°

5 km

1 2 3 B 5 4 52°

52° 3

A A

Complète Partant de D, Anna suit un cap de ...................................................................... Après 5 km, elle arrive en B et prend un cap de ……….. Elle arrive en A après 3 km dans cette direction.

3. Angles

Angles formés par deux droites et une sécante a) Cite toutes les paires d’angles superposables par translation. s

b) Cite toutes les paires d’angles superposables par symétrie centrale.

e // f

A 4

1 3

e B 1 2 f

4 3 1 2 4 3 C

c) Les angles de cette figure qui portent le même numéro sont appelés angles correspondants.

À quelle condition les angles correspondants ont-ils même amplitude ?

 et B  sont appelés angles alternes-externes parce qu’ils sont situés de part et d’autre de d) Les angles A 1 3 la sécante s et qu’ils sont extérieurs aux droites d et e.

Quelles sont les autres paires d’angles alternes-externes de la figure ?

iti

Quand des angles alternes-externes ont-ils même amplitude ?

e) Cite trois paires d’angles de la figure que l’on nomme alternes-internes.

Quand des angles alternes-internes ont-ils même amplitude ?

Explorer et découvrir

Un critère de parallélisme Écris les résultats intermédiaires sur les figures. a) Ces navires naviguent-ils dans la même direction ?

b) Les routes a et b ont-elles la même direction ? Nord

Nord

b 125° A

54°

36°

c) a et b sont-elles parallèles ? ..................................

144°

d) a et b sont-elles parallèles ? ..................................

1 A 4

135° 2

B 4

1 2

154°

43°

4 3

28°

iti

e) Deux paires de droites de cette figure ont l’air f) D’après les informations de la figure, quelles sont les droites parallèles ? parallèles entre elles. Le sont-elles vraiment ?

Ed A

103°

1 2 4 3

105°

1 2

3. Angles

94°

4 3

1 2 3 4 3

77°

....................................................................................

93°

88°

....................................................................................

Somme des angles intérieurs du triangle Lorsqu’on reporte les trois angles d’un triangle de façon à les rendre adjacents, leurs côtés extérieurs s’alignent et ils forment un angle plat.

Cette expérience conduit à imaginer que, dans tous les triangles, la somme des angles intérieurs vaut 180°. L’exercice suivant explique pourquoi. Dans ces figures, la droite d est parallèle à un côté du triangle.

Dans chaque figure, colorie d’une même couleur (rouge ou bleu) tous les angles dont on sait, sans devoir les mesurer, qu’ils ont même amplitude.

iti

Quelles sont toutes les propriétés que tu as utilisées pour colorier les angles ?

Que vaut la somme des angles intérieurs de chacun de ces triangles ? Quelle est l’amplitude des angles d’un triangle équilatéral ?

Explorer et découvrir

Angle extérieur d’un triangle a) Calcule la mesure des angles colorés. Ecris cette mesure sur la figure, ainsi que le résultat des calculs intermédiaires. 30°

80°

93°

17°

85°

70°

30°

25°

b) Un angle extérieur est formé par le prolongement d’un côté du triangle et par un côté de ce triangle. Peut-on calculer directement (sans calcul intermédiaire) l’amplitude d’un angle extérieur si on connaît les amplitudes des angles intérieurs non adjacents ?

.........................................................................................................................

iti

Si oui, comment ?

. A2 et D c) Calcule les amplitudes des angles 2

A 1 45° C

3. Angles

2 33° 27° B

Somme des angles intérieurs d’un quadrilatère La somme des angles intérieurs d’un quadrilatère est-elle toujours la même ?

Si un angle d’un trapèze rectangle vaut 120°, quelle est l’amplitude de chacun des autres angles ?

Si un angle d’un parallélogramme vaut 143°, quelle est l’amplitude de chacun des autres angles ?

Expérimente, explique.

Quelle est la propriété des angles consécutifs d’un parallélogramme ?

iti

Justifie.

Le pavage suivant est constitué de quadrilatères tous superposables. Quelle est l’amplitude de l’angle x ? 104°

61° 54°

Explorer et découvrir

Angles intérieurs d’un polygone

a) Quelle est la somme des amplitudes des angles d’un polygone b) Écris une formule qui permet de convexe quelconque ? calculer la somme (Sn) des amplitudes des angles d’un polygone convexe en fonction du nombre de côtés de ce polygone (n).

Angle intérieur d’un polygone régulier

iti

Expérimente, explique.

a) Comment peux-tu déterminer l’amplitude de l’angle intérieur b) Écris une formule qui permet de (formé par deux côtés consécutifs) d’un octogone régulier sans calculer l’amplitude de l’angle inle mesurer ? térieur An d’un polygone régulier en fonction du nombre de côtés de ce polygone (n).

3. Angles

Synthèse 1

Qu’est-ce qu’un cap ?

Le mot cap est utilisé en aviation, en navigation, en cartographie… pour désigner l’angle formé par la route et la direction Nord. Son amplitude est comprise entre 0° et 360°. Exemples N

B 131°

290°

B 60°

B Le cap de B vers A est 060°.

Le cap de A vers B est 290°.

Le cap de B vers A est 131°.

Comment désigner les angles ?

A. ANGLES FORMÉS PAR DEUX DROITES

Deux droites qui se coupent forment quatre paires d’angles adjacents supplémentaires et deux paires d’angles opposés par le sommet isométriques. B. ANGLES FORMÉS PAR DEUX PARALLÈLES COUPÉES PAR UNE SÉCANTE Les angles de sommets A et B qui occupent des positions analogues (ils portent les mêmes numéros) sont appelés angles correspondants.

iti

Les angles situés de part et d’autre de la sécante et compris entre les droites d et e sont appelés angles alternes-internes.

Les angles situés de part et d’autre de la sécante et extérieurs aux deux droites sont appelés angles alternes-externes.

A 4

B 1 2 4 3

A1 et A3 sont opposés par le sommet. 2

Exemples

s d

A2 et A4 sont opposés par le sommet. A1 et B1 sont correspondants.

A3 et B3 sont correspondants. e

A4 et B2 sont alternes-internes. A3 et B1 sont alternes-internes. A1 et B3 sont alternes-externes. A2 et B4 sont alternes-externes.

Synthèse

SY9

Quand les angles formés par deux droites et une sécante ont-ils même amplitude ? 3.1 Parallèles coupées par une sécante Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants ont même amplitude. De même pour les angles alternes-internes et les angles alternes-externes.

Justification Comme les droites d et e sont parallèles : Par la translation t

A4 e

Angle

Image

s on iti Ed 3. Angles

Par la symétrie centrale de centre M

B1 2 3 4

SY10

A 1

Image

Angle

La translation et la symétrie centrale conservent les angles, ces paires d’angles ont donc même amplitude. Ce sont des paires d’angles correspondants, alternes-internes ou alternes-externes.

Comment prouver que deux droites sont parallèles ?

3.2 Critère de parallélisme Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants de même amplitude, alors ces droites sont parallèles. De même, si les angles alternes-internes ou les angles alternes-externes ont même amplitude, alors ces droites sont parallèles.

Exemple Les droites d et e sont-elles parallèles ? Étapes et calculs

A 130° 1 2 4 3

B1 2 4 3

d // e

A2 est le supplément de A1.

A2 = B4 angles alternes externes

(d // e, sécante s)

50°

A2 = 180° − A1 = 180° − 130° = 50°

Justifications

Que vaut la somme des angles intérieurs d’un triangle ?

3.3 Somme des angles intérieurs d’un triangle

Dans tout triangle, la somme des amplitudes des angles intérieurs est 180°.

Justification

iti

Par le sommet A du triangle ABC, menons la parallèle au côté [BC].

Étapes et calculs

Justifications

A1 + A2 + A3 = 180°

A1, A2, A3 sont adjacents et leurs côtés extérieurs sont alignés.

A1 = C

angles alternes-internes

A3 = B

(d // BC, sécante AC).

Donc

angles alternes-internes

C + A2 + B = 180°

(d // BC, sécante AB).

Les deux énoncés ci-après découlent directement de l’énoncé 3.1.

3.4 Angles du triangle équilatéral Chaque angle d’un triangle équilatéral vaut 60°.

3.5 Angles aigus du triangle rectangle Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires.

Synthèse

SY11

Que vaut l’angle extérieur d’un triangle ?

3.6 Angle extérieur d’un triangle Un angle extérieur est formé par un côté et le prolongement du côté adjacent. Dans un triangle, un angle extérieur vaut la somme des angles intérieurs non adjacents.

A 2

C Justification Dans le triangle ABC, on sait que

car A1 et A2 sont adjacents et leurs côtés extérieurs sont alignés.

B + C = 180° − A2

car la somme des angles intérieurs d’un triangle vaut 180°.

A1 = 180° − A2

On conclut que A1 = B + C.

Que vaut la somme des angles intérieurs d’un polygone de n côtés?

On recherche cette somme en décomposant le polygone en triangles.

iti

On trace toutes les diagonales issues d’un même sommet.

Un pentagone comprend 3 triangles dont les angles recouvrent exactement ceux du pentagone. La somme des angles du pentagone vaut donc 3 × 180° = 540°. Un hexagone comporte 4 triangles. La somme de ses angles est 4 × 180° = 720°. Un heptagone comporte 5 triangles. La somme de ses angles est 5 × 180° = 900°. Un polygone de n côtés comporte n – 2 triangles. D’où la formule

Sn = (n – 2) ∙ 180°, dans laquelle Sn représente la somme des angles intérieurs et n le nombre de côtés.

SY12

3. Angles

Qu’est-ce qu’un polygone régulier ?

Un polygone convexe est régulier si ses côtés ont la même longueur et si ses angles intérieurs ont tous la même amplitude. Ces deux conditions doivent être réunies. P3 est un polygone régulier. P1 n’est pas un polygone régulier.

P2 n’est pas un polygone régulier.

Que vaut l’amplitude d’un angle intérieur d’un polygone convexe régulier ?

Comme tous les angles d’un polygone convexe régulier ont même amplitude, il suffit de diviser la somme des angles intérieurs par le nombre de côtés. On a donc la formule :

( n − 2) ⋅ 180°,

An =

Exemples

dans laquelle An représente l’amplitude d’un angle intérieur et n le nombre de côtés.

iti

Polygone

Pentagone régulier

Octogone régulier

Amplitude de l’angle intérieur A5 =

3 × 180° = 108° 5

A8 =

6 × 180° = 135° 8

Synthèse

SY13

Comment justiﬁer le calcul de l’amplitude d’un angle ?

Exemple Sachant que le polygone FGHIJ est un pentagone régulier et que les triangles construits autour de ses côtés sont des triangles isocèles dont les côtés sont des prolongements des côtés du pentagone, calcule les angles FJI, BFG et FBG. B

A F G

J I

D Etapes et calculs

Justifications

FJI = 3 × 180° 5 = 108°

Application de la formule An =

BFG = 180° − 108° = 72°

L’angle BFG est le supplément de JFG et donc de FJI.

3. Angles

N .

on iti Ed SY14

La somme des angles d’un triangle vaut 180° et le triangle FBG est isocèle.

FBG = 180° − 144° = 36°

( n − 2) ⋅ 180°

S’exercer Utiliser et s’entraîner 1 a) Au départ de D, le cap vers B est 60°.

Au départ de B, le cap vers A est 150°. Calcule l’amplitude de DBA.

150°

60° D

b) Au départ de D, le cap vers B est 57°. L’amplitude de DBA est 130°.

Calcule le cap de B vers A.

B 130°

57°

c) Au départ de D, quel est le cap vers B ?

ouest

iti

Au départ de B, quel est le cap vers A ?

d) Au départ de D, le cap vers A est de 240°.

A 68°

47°

Au départ de A, quel est le cap vers D ?

240°

S’exercer

2 Colorie d’une même couleur tous les angles qui ont même amplitude. a // b

a // b a

AE // BD

3 a) Quelles sont toutes les paires d’angles alternes-internes ?

b) Quels sont les angles qui ont même amplitude que l’angle C2 ? Justification

iti

Angles

c) Quelles sont toutes les paires d’angles supplémentaires ?

Paire d’angles

3. Angles

Justification

1 2

4 Détermine l’amplitude de chaque angle marqué en rouge. Indique les résultats intermédiaires sur les figures.

E A

52°

F 41°

35°

AF // DC C

33°

25° AE // DC

AB // DC AD // BC

B 64°

123°

AB // ED

iti

23°

74°

35°

43°

C 142°

AB // DC

E AB // ED

61°

36° C

S’exercer

5 Détermine les angles du parallélogramme EACD. B

62° 76°

6 a) Calcule l’amplitude de X.

AX // DY et le triangle ABX est isocèle en A. A

50°

b) Calcule l’amplitude de Y.

58°

(CE1D 2011) Les droites BA et CD sont parallèles.

iti

a) Détermine l’amplitude de l’angle E du triangle CDE. B

2 1

E 57°

b) Justifie que l’amplitude de l’angle B1 est égale à l’amplitude de l’angle D1. A c) Détermine l’amplitude de l’angle B2.

Justifie.

3. Angles

8 La droite CE est la bissectrice de l’angle ACD, les côtés de même mesure sont indiqués.

Calcule les mesures des angles

DCA C

G 70° DCE

33°

CDE

(CE1D 2013) Le triangle ABD est rectangle en B. Les droites CF et BA sont parallèles.

Détermine, sans mesurer, l’amplitude de l’angle FAG.

30°

iti

Écris tout ton raisonnement et tous tes calculs.

10 Sachant que AB // CD, que AD // BC et que l’angle A2 vaut le double de C3, il est possible de déterminer l’amplitude de D2. Comment est-ce possible ?

A 1 4

2 3

D 1

4 2

1 2

C 1

4 33

S’exercer

11 Les droites AB et CD sont-elles parallèles ? Justifie.

23°

45° C

99°

B 36°

12 Le point C est le centre du cercle passant par D, E et F.

En tenant compte des informations portées sur la figure, calcule les amplitudes des angles CFE, CEF, FDE et DEF.

E F 59°

DEF

FDE

iti

CEF

CFE

Soit un polygone dont la somme des angles intérieurs vaut 1 260°. Combien de côtés un tel polygone possède-t-il ?

3. Angles

Si ce polygone est régulier, que vaut l’angle formé par deux côtés consécutifs ?

Transférer

Un hélicoptère survolant Bruxelles donne sa position en indiquant son cap par rapport à l’Atomium (A) et par rapport au Palais de Justice (P). Le cap de l’Atomium est 045° et le Palais de Justice est à 099°.

iti

Situe la position de l’hélicoptère en trois étapes. Étape 1 : trace, à partir de l’Atomium, la ligne qui indique un cap de 045°. Étape 2 : trace, à partir du Palais de Justice, la ligne qui correspond au cap 099°. Étape 3 : prolonge ces lignes. Leur intersection donne la position de l’hélicoptère. S’exercer

15 Voici le schéma d’un élément d’une charpente d’église romane. a) Calcule l’angle d’inclinaison du toit sachant que l’amplitude de l’angle faîtier est 80°.

b) Écris une formule qui permet de calculer l’inclinaison (d’amplitude y) en fonction de l’angle faîtier (d’amplitude x).

80°

16 a) Dans un triangle isocèle ABC de sommet A, on b) ABC est un triangle isocèle tel que AB = BC et tel

sait que l’amplitude de l’angle A2 extérieur au triangle vaut 64°.

que ABC = 68°. Calcule ACB.

iti

Calcule les amplitudes des angles intérieurs de ce triangle.

3. Angles

c) DEF est un triangle rectangle tel que DFE = 68°. Calcule FDE.

17 a) D’après les indications portées sur la figure dessinée à main levée, le triangle PQR est-il un triangle rectangle?

b) On sait que DC ⊥ CB . Les points A, B, E paraissent alignés. Le sont-ils vraiment ?

Justifie.

28°

18 a) Calcule l’amplitude de l’angle intérieur d’un b) Que vaut la somme des amplitudes des angles extérieurs d’un triangle ?

iti

dodécagone régulier.

c) Que vaut la somme des amplitudes des angles d) Que vaut la somme des amplitudes des angles extérieurs d’un pentagone régulier ? extérieurs d’un hexagone ?

S’exercer

19 Le losange de cette figure est entouré de pentagones réguliers.

Détermine les amplitudes des angles de ce losange.

20 Ce décagone régulier est décomposé en cinq losanges rouges superpo-

– les amplitudes des angles d’un losange bleu ;

sables et cinq losanges bleus superposables. Calcule :

iti

– les amplitudes des angles d’un losange rouge.

21 ABCDE est un pentagone régulier. B

AC = AD, calcule chacun des angles numérotés.

2 E

3. Angles

1 D

22 Il est parfois possible de calculer une somme d’angles sans en connaître aucun ! Calcule la somme des amplitudes des angles numérotés de chaque figure. F C

5 4

A 1

T G 1

2 3 B

2 H

U 5

10 0

L 6

iti

5 I M

X 7 J

O 2

S’exercer

Préparer une évaluation 23 N

N 145° D

130°

100° B

70°

Au départ de D, le cap vers B est 130°.

Au départ de B, le cap vers A est 100° .

L’amplitude de DBA est 70°.

Calcule l’amplitude de DBA.

Calcule le cap au départ de B vers A.

Au départ de D, le cap vers B est 145°.

iti

24 Réponds par vrai ou faux. Justifie. Proposition

Un triangle isocèle qui a un angle de 45° est aussi un triangle rectangle. Un triangle peut avoir des angles qui mesurent respectivement 72°, 53° et 55°. Deux angles adjacents à un même côté d’un parallélogramme sont supplémentaires. Un triangle rectangle qui a un angle de 45° est aussi un triangle isocèle. Un triangle isocèle qui a un angle de 60° est aussi un triangle équilatéral.

3. Angles

V ou F

Justification

25 (CE1D 2011) BCDE est un carré et CAD un triangle équilatéral. (CE1D 2011)

Le point F est le milieu du côté [CD]. G

Sans mesurer, détermine l’amplitude de l’angle ACD.

F Justifie. E

Justifie pourquoi, dans le triangle ABC, les côtés [BC] et [CA] sont de même longueur.

Détermine l’amplitude de l’angle CAB. Écris tout ton raisonnement et tous tes calculs.

Détermine l’amplitude de l’angle BAF. Écris tout ton raisonnement et tous tes calculs.

26 (OMB 2012)

Dans le triangle ABC isocèle en C, la hauteur issue de B coupe [AC] en H. Si l’angle en C mesure 68°, que mesure l’angle ABH ? Encadre la réponse correcte. 33°

34°

35°

36°

37°

27 La somme des angles intérieurs d’un polygone vaut 1800°.

a) Combien de côtés un tel polygone possède-t-il ?

Écris ta démarche.

iti

Écris ta démarche.

b) Si ce polygone est un polygone régulier, que vaut l’angle formé par deux côtés consécutifs ?

Les droites AB et ED sont-elles parallèles ?

Justifie.

34°

90°

125°

S’exercer

29 (CE1D 2014) Attention : les amplitudes des angles des deux figures ci-dessous ne sont pas respectées. Calcule l’amplitude de l’angle demandé dans chacune des deux figures. IJHG est un parallélogramme.

54°

I ?

56°

30 (CE1D 2014)

Un hexagone régulier ABCDEF est inscrit dans un cercle de centre O. Détermine, sans mesurer, l’amplitude de l’angle CAE.

Écris ton raisonnement et tous tes calculs.

O D

F E

iti

31 (CE1D 2015)

CDE est un triangle équilatéral et ABCD est un carré. Détermine l’amplitude de l’angle AEB.

Écris tout ton raisonnement et tous tes calculs.

3. Angles

B E

Table des matières

III

Avant-propos Comment s’y prendre ?

Introduction

Explorer et découvrir Synthèse

SY1

1.1 Définition du PGCD

SY1

Quelles sont les propriétés du PGCD de deux nombres ?

6. 7.

SY2 SY2 SY3

1.4. Règle de calcul du PGCD

SY3

Qu’est-ce que le PPCM de deux ou plusieurs nombres ?

SY3

1.5. Définition du PPCM

SY3

Quelles sont les propriétés du PPCM de deux nombres ?

SY3

1.6. Propriété du PPCM

SY3

iti

Comment utiliser la décomposition en facteurs premiers pour déterminer le PGCD ?

SY2

1.3 Nombres premiers entre eux

SY1

Qu’est-ce que le PGCD de deux ou plusieurs nombres ?

1.2 Propriété du PGCD 3.

Plus Grand Commun Diviseur, Plus Petit Commun Multiple

Sommaire

Comment utiliser la décomposition en facteurs premiers pour déterminer le PPCM de deux nombres ?

SY4

1.7 Règle de calcul du PPCM

SY4

Comment déterminer le PPCM de deux nombres quand on connaît leur PGCD ?

SY4

1.8 Relation entre PPCM, PGCD et produit de deux nombres Utiliser et s’entraîner

SY4 7

Transférer

Préparer une évaluation

Opérations sur les puissances

Introduction

Explorer et découvrir

Synthèse

SY5

Qu’est-ce qu’une puissance à exposant positif ?

SY5

2.1. Puissance à exposant positif, définition

SY5

Table des matières

243

Comment procéder pour effectuer les opérations sur les puissances ?

SY5

2.2. Règle de priorité

SY5

2.3. Produit de puissances d’une même base

SY5

2.4. Puissance d’une puissance

SY5

2.5. Puissance d’un produit

SY6

2.6. Quotient de puissances d’une même base

SY6

Quelle est la signification d’une puissance entière de 10 ?

SY6

2.7. Puissance entière de 10, définition

SY6

Comment écrire un nombre dans la notation scientifique ?

SY7

2.8. Notation scientifique

SY7

Comment introduire un nombre écrit en notation scientifique sur une calculatrice ?

SY7

Comment effectuer un produit qui contient des puissances de 10 et écrire le résultat en notation scientifique ? Utiliser et s’entraîner

SY8 25

Transférer

Angles

Préparer une évaluation

Introduction Explorer et découvrir Synthèse

39 39 42 SY9

Qu’est-ce qu’un cap ?

Comment désigner les angles ?

Quand les angles formés par deux droites et une sécante ont-ils même amplitude ?

SY10

3.1 Parallèles coupées par une sécante

SY10

Comment prouver que deux droites sont parallèles ?

SY11

3.2 Critère de parallélisme

SY11

Que vaut la somme des angles intérieurs d’un triangle ?

SY11

3.3 Somme des angles intérieurs d’un triangle

SY11

3.4 Angles du triangle équilatéral

SY11

3.5 Angles aigus du triangle rectangle

SY11

6. 7. 8. 9.

iti

SY9 SY9

Que vaut l’angle extérieur d’un triangle ?

SY12

3.6 Angle extérieur d’un triangle

SY12

Que vaut la somme des angles intérieurs d’un polygone de n côtés?

SY12

Qu’est-ce qu’un polygone régulier ?

SY13

Que vaut l’amplitude d’un angle intérieur d’un polygone convexe régulier ?

SY13

10. Comment justifier le calcul de l’amplitude d’un angle ? Utiliser et s’entraîner

244

SY14 49

Transférer

Préparer une évaluation

Construire une formule

Introduction

Explorer et découvrir

Synthèse

SY15

Comment écrire une formule ?

SY15

Table des matières

Utiliser et s’entraîner

1. 2.

Transférer

Préparer une évaluation

Opérations dans l’ensemble des rationnels

Introduction

Explorer et découvrir

Synthèse

SY17

Quelle est la relation entre dividende, diviseur, quotient et reste d’une division ?

SY17

5.1 Division euclidienne

SY17

Comment déterminer le signe d’un quotient, d’une fraction ?

SY17

5.2 Signe d’un quotient, d’une fraction 3.

Comment simplifier une fraction ? 5.3 Simplification d’une fraction Comment amplifier une fraction ?

SY17 SY18 SY18 SY18

5.4 Amplification d’une fraction

SY18

Comment passer de l’écriture fractionnaire à l’écriture décimale ?

SY18

Comment prendre l’opposé d’une fraction ?

SY19

Comment additionner ou soustraire des fractions ?

SY19

5.5 Addition de fractions

SY19

Comment multiplier une fraction par un entier ?

SY20

Comment diviser une fraction par un entier ?

SY20

5.6 Multiplication de fractions

10. Comment multiplier une fraction par une fraction ?

11. Comment élever une fraction à une puissance ? 5.7 Puissance d’une fraction

12. Quand deux nombres sont-ils inverses l’un de l’autre ? 5.8 Nombres inverses l’un de l’autre

iti

13. Comment diviser une fraction par une fraction ? 5.9 Division de rationnels

14. Comment conduire un calcul qui comporte plusieurs opérations ? Utiliser et s’entraîner

SY20 SY21 SY21 SY21 SY21 SY21 SY22 SY22 SY22 89

Transférer

101

Préparer une évaluation

103

Calcul algébrique

105

Introduction

105

Explorer et découvrir

108

Synthèse

SY23

Comment transformer l’écriture d’une expression qui contient des parenthèses précédées du signe « + » en une expression équivalente sans parenthèses ?

SY23

6.1 Ajouter une somme algébrique

SY23

Comment multiplier une somme algébrique par un nombre ?

SY23

6.2 Distributivité simple

SY23

Table des matières

245

Comment transformer l’écriture d’une expression qui contient des parenthèses précédées du signe « – » en une expression équivalente sans parenthèses ?

SY24

6.3 Soustraire une somme algébrique

SY24

Comment développer le produit de deux sommes algébriques ?

SY25

6.4 Double distributivité

SY25

Comment développer le carré d’une somme algébrique ?

SY26

6.5 Carré d’un binôme

SY26

Comment développer le produit de deux binômes conjugués ?

SY27

6.6 Produit de binômes conjugués

SY27

Comment utiliser le calcul algébrique pour démontrer une propriété arithmétique ? Utiliser et s’entraîner

SY28 117

4. 5.

Transférer Préparer une évaluation

Traitement de données

Introduction Explorer et découvrir

Synthèse

139 139 140 SY29

Comment réaliser un tableau des effectifs, un tableau de fréquences ?

SY29

Comment trouver le mode ?

SY29

Comment calculer une moyenne ?

Qu’est-ce que l’étendue ?

Comment calculer la vitesse moyenne ?

Comment calculer un débit ? Utiliser et s’entraîner

Transférer

Préparer une évaluation

Construire, dénombrer, exploiter les isométries d’une figure

iti

SY30 SY30 SY31 SY32 143 149 151

153 153

Explorer et découvrir

157

Introduction Synthèse

SY33

Comment caractériser une rotation ?

SY33

Quels sont les invariants d’une rotation ?

SY33

8.1 Invariants d’une rotation

SY33

Comment construire l’image d’un point par une rotation ?

SY34

8.2 Image d’un point par une rotation

SY34

Comment construire l’image d’une droite par une rotation ?

SY35

Comment dénombrer les isométries d’une figure ?

SY36

Comment relier les isométries du rectangle à ses propriétés ?

SY37

Quelles sont les propriétés qui permettent de déterminer la nature d’un quadrilatère convexe ?

SY37

Le parallélogramme

SY37

Le rectangle

SY38

Le losange

SY38

Le carré

SY38

1. 2. 3.

8. Quelles sont les isométries qui envoient une figure élémentaire sur elle-même ? 246

130 135

Table des matières

SY39

Une droite

SY39

Un segment

SY39

Un cercle

SY39

Deux droites parallèles

SY40

Deux droites sécantes Utiliser et s’entraîner

SY40 165

Transférer

173

Préparer une évaluation

177

Distance et cercle

181 181

Explorer et découvrir Synthèse Qu’est-ce qu’un lieu géométrique ?

Quel est lieu de points situés à une distance donnée d’un point donné ? 9.1 Le cercle et le disque comme lieux de points

Introduction

183 SY41 SY41 SY41 SY41

Comment déterminer un lieu soumis à deux ou plusieurs conditions ?

SY41

9.2 Lieux soumis à plusieurs conditions

SY41

Quel est lieu de points situés à égale distance de deux points donnés ?

SY42

9.3 La médiatrice d’un segment comme lieu de points

SY42

Comment tracer le cercle circonscrit à un triangle ?

SY43

9.4 Médiatrices du triangle

SY43

Cas du triangle rectangle

SY43 SY44

9.6 Positions relatives de deux cercles

SY44

Comment savoir si un triangle dont on donne les longueurs des trois côtés existe ?

SY45

9.7 Inégalité triangulaire

SY45

Qu’appelle-t-on distance d’un point à une droite, distance entre deux droites ?

SY46

9.8 Distance d’un point à une droite

SY46

9.9 Distance entre deux parallèles

SY46

Quel est lieu de points situés à égale distance de deux droites sécantes données ?

SY47

9.10 La bissectrice comme lieu de points

SY47

iti

9.5 Médiatrices du triangle rectangle

Quelles sont les positions relatives de deux cercles ?

10. Quelles sont les positions relatives d’une droite et d’un cercle ?

SY47

11. Comment construire un cercle de centre donné, tangent à une droite donnée ?

SY48

12. Comment construire le cercle inscrit à un triangle ?

SY48

9.11 Bissectrices d’un triangle Utiliser et s’entraîner

10.

SY48 191

Transférer

196

Préparer une évaluation

199

Équations

203

Introduction

203

Explorer et découvrir

205

Synthèse

SY49

Table des matières

247

Qu’est-ce qu’une équation ?

SY49

Comment résoudre une équation de la forme ax + b = c ?

SY49

10.1 Premier principe d’équivalence

SY49

10.2 Deuxième principe d’équivalence

SY49

Comment s’y prendre pour résoudre une équation dans laquelle l’inconnue figure dans les deux membres ?

SY50

Comment résoudre un problème par la méthode des équations ?

SY51

Comment s’y prendre quand il y a plusieurs fractions ? Utiliser et s’entraîner

SY52 209

11.

Transférer

218

Préparer une évaluation

222

Proportionnalité en géométrie Introduction Explorer et découvrir

Synthèse

225 227 SY53

Comment utiliser un réseau de parallèles pour partager un segment en parties égales ?

SY53

Comment utiliser le principe de proportionnalité pour calculer une longueur d’ombre ?

SY54

Comment déterminer et utiliser le coefficient de projection dans le contexte des ombres au soleil ?

SY54

Comment utiliser le produit en croix dans le contexte des ombres au soleil ?

SY56

Comment utiliser le principe de proportionnalité dans un contexte d’agrandissement ou de réduction ?

SY57

Qu’est-ce que le coefficient de forme d’un rectangle ? Utiliser et s’entraîner

SY58 233

iti

Préparer une évaluation

Transférer

248

225

Table des matières

237 241