Pienter 4 D - Deel 1 - Leerwerkboek by VAN IN

Pi enter LEERJAAR 4 Pienter 4 D deel 1

©VANIN

Veerle Descheemaeker Dirk ThierryTaeckeVan den Ouwelant Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Philippe De Crock Etienne MartineEddyChristopheGoemaereGrysonMagitsVerrelst Leerjaar 4 Pienter 4 D deel 1 ©VANIN

©VANIN

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter? 4 Hoofdstuk 1 Gelijkvormigheid en de stelling van Thales 7 Hoofdstuk 2 Stelsels van vergelijkingen 69 Hoofdstuk 3 Goniometrie 123 Hoofdstuk 4 Tweedegraadsvergelijkingen 165 Hoofdstuk 5 Functies f (x) = c x 211 Hoofdstuk 6 Beschrijvende statistiek 243 ©VANIN

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.

Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.

©VANIN

Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of Jebesluiten.leertook eigenschappen bewijzen.

Op diddit vind je extra oefeningen. In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis. Wijst op uitleg over werken met de grafische rekenmachine.

Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen. Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen: REEKS A eenvoudige toepassingen REEKS B basisniveau REEKS C verdiepingsniveau Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.

ICT Duidt aan wanneer je bij het onlinelesmateriaal ICT-hulpmiddelen vindt om in te zetten, bv. Excel, GeoGebra of Python. Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.

Sommige onderdelen zijn aangeduid met een gekleurde band. Afhankelijk van je studierichting moet je die wel of niet kennen. Je leerkracht zal aangeven wat voor jou geldt.

R Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.

Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.

VERDIEPING BASIS+

Achteraan in het boek zitten twee bladen met een cartoon. Die kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor afgedrukte oefeningen van Pienter remediëren en voor extra leerstof. instructiefilmpje GeoGebra

XL Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.

©VANIN

Je leerkracht zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.

Verder kun je in een hoofdstuk twee soorten QR-codes tegenkomen. Scan de code om een instructiefilmpje van de leerstof te bekijken of om een toepassing in GeoGebra te zien.

Lesmateriaal Hier vind je het extra lesmateriaal bij Pienter, zoals remediëringsoefeningen en Excel-bestanden.

Oefeningen

• De leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.

Resultaten

Het onlineleerplatform bij Pienter

• Je kunt hier vrij oefenen. Opdrachten Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet. Evalueren Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.

Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en evaluaties? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten. E-book Het e-book is de digitale versie van het leerwerkschrift. Je kunt erin noteren, aantekeningen maken, zelf materiaal toevoegen ...

PIENTER EN DIDDIT

Meer info over diddit vind je op www.vanin.diddit.be/nl/leerling.

Materiaal Hier vind je het lesmateriaal en de online-oefeningen. Gebruik de filters bovenaan, de indeling aan de linkerkant of de zoekfunctie om snel je materiaal te vinden.

©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 7 HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1.1 Gelijkvormigheid 8 1.2 Gelijkvormige driehoeken 10 1.3 Toepassingen bij gelijkvormige driehoeken 33 1.4 De stelling van Thales 47 Studiewijzer 66 Pienter problemen oplossen 68 ©VANIN

8 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 1.1 Gelijkvormigheid Gelijkvormige figuren figuur 1 figuur 2 figuur 3 figuur 4 figuur 5 figuur 6

r zelfde vorm r zelfde vorm r zelfde vorm r zelfde vorm r zelfde vorm r vergroting r vergroting r vergroting r vergroting r vergroting r verkleining r verkleining r verkleining r verkleining r verkleining r congruent r congruent r congruent r congruent r congruent Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur een schaalmodel is van de andere. Schaal Madurodam is een miniatuurstad in Den Haag. Het Anne Frankhuis is nagebouwd op schaal 251 Dat betekent dat het gebouw een verkleining is van de werkelijkheid. Bij een verkleining is de schaal kleiner dan 1 GeoGebra

Wat stelt figuur 1 voor? Vergelijk de figuren. Vink de juiste beweringen aan. figuur 2 tenvanopzichtefiguur1 figuur 3 tenvanopzichtefiguur1 figuur 4 tenvanopzichtefiguur1 figuur 5 tenvanopzichtefiguur1 figuur 6 tenvanopzichtefiguur1

©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 9 AA’B B ’C C B’”C ”A ”B A”’ ’”C aO”’ Bij een spiegeling, verschuiving en draaiing is het beeld telkens een figuur met dezelfde vorm en dezelfde grootte op schaal 1 : 1 Je verkrijgt telkens een congruente figuur Een wetenschapper in een medisch labo kijkt door een microscoop. De beelden kun je meevolgen op de computer op schaal 40 : 1. Dat betekent dat de beelden een vergroting zijn van de werkelijkheid. Bij een vergroting is de schaal groter dan 1 Gelijkvormigheidsfactor De twee vierhoeken zijn gelijkvormig. Wat stel je vast? vierhoek SLIM vierhoek NAPK LI SMNA KP 34 mm 34 mm 22 mm 18 mm 27 mm 33 mm 51 mm 51 mm 57° 108°102°93° 57° 93° 102° 108° verhouding MSKN = 2233 = 23 = 1,5 NASL = 3451 = 23 = 1,5 APLI = 3451 = 23 = 1,5 KPMI = 2718 = 23 = 1,5 • In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige hoeken even groot • In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige zijden evenredig De verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden van twee gelijkvormige figuren is constant. Die constante noem je de gelijkvormigheidsfactor g De groene figuur is een vergroting van de paarse figuur. De gelijkvormigheidsfactor g is 23 of 1,5. De paarse figuur is een verkleining van de groene figuur. De gelijkvormigheidsfactor g is 23 ‘Gelijkvormigheidsfactor’ en ‘schaal’ hebben dezelfde betekenis. ©VANIN

10 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 1.2 Gelijkvormige driehoeken 1.2.1 Inleiding ABC D1 DEF D2 GH DI 3 JKL D4 • Welke driehoeken zijn gelijkvormig? • Welke hoeken zijn even groot? • Welke zijden zijn evenredig? = = • Bereken de gelijkvormigheidsfactor van de kleinste ten opzichte van de grootste driehoek. Definitie Gelijkvormige driehoeken Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden evenredig zijn. Notatie ABC A B C  ¤ ^ A = ^ A  A’ABB’ CC’ ^ B = ^ B  ^ C = ^ C  ==ABAB BCBC ACAC Opmerking Je noteert de overeenkomstige hoekpunten van gelijkvormige driehoeken in dezelfde volgorde. Kunstenaars gebruiken vaak gelijkvormige figuren. Zo herken je in het kunstwerkje dat hier is afgebeeld, heel wat gelijkvormige figuren. Peter Raedschelders is een kunstenaar die vaak gebruikmaakt van gelijkvormige figuren. GeoGebra ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 11 1.2.2 Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken Op onderzoek Een driehoek tekenen die gelijkvormig is aan een gegeven driehoek, kun je door gegevens te meten en af te passen. Onderzoek hoeveel gegevens je minimaal nodig hebt. Gegeven: driehoek PQR PQR Eén gegeven: PPRR = 23 Teken een driehoek P Q R  met zijde [P R ]. P’R’ Is de driehoek P Q R  altijd gelijkvormig met de driehoek PQR? Twee gegevens: PPRR = 23 en ^ P = ^ P  Teken een driehoek P Q R  met zijde [P R ] en hoek ^ P P’R’ Is de driehoek P Q R  altijd gelijkvormig met de driehoek PQR? Drie gegevens: PPQQ = PPRR = 23 en ^ P = ^ P  Teken een driehoek P Q R  met zijde [P Q ], [P R ] en hoek ^ P  P’R’ Q’ Is de driehoek P Q R  altijd gelijkvormig met de driehoek PQR? ©VANIN

12 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 Door middel van goedgekozen gegevens kun je twee gelijkvormige driehoeken tekenen. Dat is een gelijkvormigheidskenmerk van driehoeken. Zo zijn er drie gelijkvormigheidskenmerken bij driehoeken te onderscheiden. OverzichtGelijkvormigheidskenmerk instructiefilmpje Z Z H Z Z ACB’ B’C Gelijkvormigheidskenmerk Z Z H Z Z Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paren overeenkomstige zijden evenredig zijn en de ingesloten hoeken gelijk zijn. Voor ABC en ABC geldt: Z Z = Z Z =ABAB ACAC fi ABC ABC H ^ A = ^ A Gelijkvormigheidskenmerk instructiefilmpje Z Z Z Z Z Z AC BB’ Gelijkvormigheidskenmerk Z Z Z Z Z Z Twee driehoeken zijn gelijkvormig als drie paren overeenkomstige zijden evenredig zijn. Voor ABC en ABC geldt: Z Z = Z Z = Z Z == ABAC BC AB AC BC fl ABC ABC Gelijkvormigheidskenmerk instructiefilmpje HH AC BB’ Gelijkvormigheidskenmerk HH Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paren overeenkomstige hoeken gelijk zijn. Voor ABC en ABC geldt: H ^ A = ^ A fi ABC ABC H ^ C = ^ C ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 13 Gelijkvormigheidskenmerk HH bewijzen tekening gegeven AB CB’A’C’ ABC en ABC met ^ A =^ A en ^ B =^ B te bewijzen ABC ABC bewijs 1) Constructie: • Teken het punt D op AB zodat |BD | = |BA |. • Teken een evenwijdige met de zijde [AC] door het punt D • Het snijpunt van die evenwijdige met BC noem je E 2) Bewijs dat ABC @ DBE: kenmerk ABC DBE verklaring H ^ A = ^ D ^ A =^ A en DE // AC, overeenkomstige hoeken Z | AB | = | BD | constructie H ^ B = ^ B gegeven Volgens kenmerk HZH is ABC @ DBE 3) Bewijs dat ABC ABC : DBE is een schaalmodel van ABC met factor DBAB ﬂ ABC @ DBE ABC DBE ﬂ ABC ABC besluit ABC ABC ©VANIN

14 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 Oefeningen REEKS A 1 Volgens welk gelijkvormigheidskenmerk zijn de driehoeken gelijkvormig? a) ABC PBQ: P is het midden van [AB ] en Q is het midden van [BC ] d) RAT DAL: a ^ AD en b ^ AD APBQC r ZZ H ZZ r ZZ ZZ ZZ r HH ARTD aLb r ZZ H ZZ r ZZ ZZ ZZ r HH b) KAT PAD: a // KT e) VLO GUO: |VM | = |ML |, |LU | = |UO | en |VG | = |GO | a DT APK r ZZ H ZZ r ZZ ZZ ZZ r HH VMLGUO r ZZ H ZZ r ZZ ZZ ZZ r HH c) PQR AQB: b ^ a en c ^ a f) BMP DMG: B en P liggen op cirkel met middelpunt M D en G liggen op cirkel met middelpunt M bc PB RQAa r ZZ H ZZ r ZZ ZZ ZZ r HH MPDG B r ZZ H ZZ r ZZ ZZ ZZ r HH ©VANIN

©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 15 REEKS B 2 Zijn de driehoeken gelijkvormig? Verklaar je antwoord. a) TAK 3 cm 4 cm 2 cm 2 cm 4 cm6cm BMO r ja r nee b) T 3 cm 2 102°cm AR 4 cm 6 cm PT U 40° 38° r ja r nee

3 Congruent of gelijkvormig? Vul het passende congruentie- of gelijkvormigheidskenmerk in. Voor twee driehoeken geldt dat ... @ kenmerk a) twee paren overeenkomstige zijden evenredig zijn en de ingesloten hoeken gelijk zijn. r r b) drie paren overeenkomstige zijden gelijk zijn. r r c) twee paren overeenkomstige hoeken gelijk zijn. r r d) drie paren overeenkomstige zijden evenredige lengten hebben. r r e) twee paren overeenkomstige zijden en de ingesloten hoeken gelijk zijn. r r f) een paar overeenkomstige zijden en de twee paren aanliggende hoeken gelijk zijn. r r g) als de driehoeken rechthoekig zijn, een paar overeenkomstige rechthoekszijden en de schuine zijden gelijk zijn. r r 4 Waarom is het gelijkvormigheidskenmerk HH niet H Z Z H naar analogie met het congruentiekenmerk HZH?

16 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 1.2.3 Gelijkvormige driehoeken tekenen Aan de hand van de gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken kun je gelijkvormige driehoeken tekenen. Modeloefening 1 Teken ABC die gelijkvormig is met A’B’C’ zodat • ^ A =^ A • |AB | = 2 |AB | • |AC | = 2 |AC  | B’ AC’ ’ 1) ^ A =^ A 3) tekenen van de zijde [BC] A ABC 2) |AB | = 2 ? |AB | en |AC | = 2 ? |AC  | 4) eindresultaat ABCABC Modeloefening 2 Teken PQR die gelijkvormig is met P Q R  met gelijkvormigheidsfactor 43 P’Q’R’ GeoGebra ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 17 Oefeningen REEKS A 5 Teken DEF die gelijkvormig is met ABC. Gebruik daarvoor de gegevens van de tekening en de gegeven gelijkvormigheidsfactor. Vermeld het gelijkvormigheidskenmerk. a) g = 0,5 ABC 6 cm 5 cm4 cm gelijkvormigheidskenmerk: b) g = 2 B 4 cm3 cm C 40° A gelijkvormigheidskenmerk: c) g = 1,5 2 cm 4 cm ABC 3 cm gelijkvormigheidskenmerk: d) g = 0,75 4 cm CA B 6 cm 20° gelijkvormigheidskenmerk: ©VANIN

18 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 REEKS B 6 Teken DEF die gelijkvormig is met ABC. Gebruik de gegevens van de tekening. ABC 70° 50° • Volgens welk gelijkvormigheidskenmerk is DEF gelijkvormig met ABC? • Hoeveel verschillende driehoeken met deze gegevens kun je tekenen die gelijkvormig zijn met de gegeven ABC? 7 Teken DEF die gelijkvormig is met ABC. Vermeld het gebruikte gelijkvormigheidskenmerk. a) |AB | = 25 mm |BC | = 12 mm c) |AB | = 16 m |BC | = 12 m |AC | = 18 mm g = 2 |AC | = 20 m g = 4010 gelijkvormigheidskenmerk: gelijkvormigheidskenmerk: b) |AB | = 18 cm |BC | = 24 cm d) rechthoekige ABC met rechthoekszijden van 245 cm en 190 cm ^ B = 84º g = 61 g = 0,02 gelijkvormigheidskenmerk: gelijkvormigheidskenmerk: ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 19 8 De omtrek van een venster in de vorm van een gelijkzijdige driehoek is 3,60 m. Teken het venster op schaal 1 : 50. REEKS C De Bermudadriehoek is een denkbeeldige driehoek tussen Florida, de Bermuda-eilanden en Puerto Rico. Er wordt gezegd dat in dat gebied abnormaal veel scheeps- en vliegtuigrampen en verdwijningen gebeuren, al is dat niet wetenschappelijk aangetoond. Verklaringen van ooggetuigen spreken ook vaak over storingen in apparatuur, meestal van magnetische aard. Columbus zou al problemen hebben ondervonden in de driehoek, althans volgens de vele sensatieboeken over dat gebied. De meest plausibele verklaring zou kunnen zijn dat het gebied een van de meest bevaren en overvlogen gebieden van de wereld is, en dat ongelukken dus waarschijnlijker zijn door zowel de frequentie als de dichtheid van het verkeer. 9 Teken de Bermudadriehoek op de kaart met schaal 1 : 15 000 000. Bepaal ook de schaal van kaart 1. FLORIDABahama'sCUBA HAITIDOMINICAANSEREPUBLIEK Atlantische Oceaan Miami Santiago PUERTO RICO San Juan AB kaart 1 C FLORIDABahama'sCUBA HAITIDOMINICAANSEREPUBLIEK Atlantische Oceaan Miami Santiago PUERTO RICO San Juan kaart 2 schaal 1 : 15 000 000 ©VANIN

20 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 1.2.4 Bewijzen met gelijkvormigheidskenmerken Inleiding ABC • Teken in ABC een evenwijdige met de zijde [AC] die de zijde [AB] snijdt in D en de zijde [BC] snijdt in E • Meet alle hoeken en zijden van ABC en DBE Noteer de resultaten in de tabel. ABC DBE |AB | = ^ A = |DB | = ^ D = |BC | = ^ B = |BE | = ^ B = |AC | = ^ C = |DE | = ^ E = • Zijn ABC en DBE gelijkvormig? Verklaar je antwoord. Gelijkvormigheid van driehoeken bewijzen Meetresultaten volstaan niet om te besluiten dat twee driehoeken gelijkvormig zijn. Je bewijst de gelijkvormigheid van driehoeken aan de hand van wiskundige eigenschappen en de gelijkvormigheidskenmerken. tekening gegeven ABC DE ABC: DE // AC D is het snijpunt van AB en DE E is het snijpunt van BC en DE te bewijzen ABC DBE bewijs  en  gelijkvormigheidskenmerk: Volgensbesluitkenmerk is ABC DBE instructiefilmpje ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 21 Gelijkheid van hoeken bewijzen tekening AC DEHGFI / / / \\ \\ \\ / \\ B gegeven |AD | = |DE | = |EF | = |FB | en |AG | = |GH | = |HI | = |IC | te bewijzen ^ D =^ B bewijs  en  gelijkvormigheidskenmerk: Volgensbesluitkenmerk is   def.  ﬁ ^ D =^ B Evenredigheid van lengten bewijzen tekening gegeven aQT PRS PQ ^ QT en ST ^ QT R is het snijpunt van PS en QT te bewijzen=PQST RQRT bewijs  en  gelijkvormigheidskenmerk: Volgensbesluitkenmerk is   def.  ﬁ =PQST RQRT ©VANIN

22 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 Oefeningen REEKS A 10 Bewijs. tekening ACB ED //\\\ / gegeven |AC | = |BC | en |CE | = |CD | te bewijzen ABC DEC bewijs  en  gelijkvormigheidskenmerk: Volgensbesluitkenmerk is ABC DEC 11 Bewijs. tekening DM FGSc1 c2 cirkelsgegeven c 1 en c 2 met hetzelfde middelpunt M te bewijzen DMF GMS bewijs  en  gelijkvormigheidskenmerk: Volgensbesluitkenmerk is ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 23 REEKS B 12 Bewijs. tekening BAS TM gegeven BAS: TM // BS te bewijzen=ABAS AMAT Volgensbesluitbewijskenmerk is   def.  ﬁ 13 Bewijs. tekening TUF KL gegeven TL en UK zijn hoogtelijnen in TUF te bewijzen ^ T =^ U Volgensbesluitbewijskenmerk is   def.  ﬁ ©VANIN

24 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 14 Bewijs. tekening MO KR PL parallellogramgegeven KROM: OP is een hoogtelijn op KR en KL is een hoogtellijn op OR te bewijzen | KR | ? | PR | = | RO | ? |RL | Volgensbesluitbewijskenmerk is   def.  ﬁ 15 Bewijs. tekening gegeven BK OE SL parallellogram BOEK: L ligt op OE S is het snijpunt van OK en BL te bewijzen=OSKS BSLS Volgensbesluitbewijskenmerk is   def.  ﬁ ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 25 16 Twee loodlijnen, elk op een van de benen van een hoek, vormen dezelfde hoek met de deellijn van de hoek. Bewijs. tekening tegegevenbewijzen Volgensbesluitbewijskenmerk is   def.  ﬁ 17 In een scherphoekige ABC snijden de hoogtelijnen uit B en C elkaar. Bewijs dat de kleinste hoek die ze met elkaar vormen, gelijk is aan de hoek ^ A. tekening tegegevenbewijzen Volgensbesluitbewijskenmerk is   def.  ﬁ ©VANIN

26 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 1.2.5 Rekenen in gelijkvormige driehoeken Aan de hand van gelijkvormige driehoeken kun je onbekende zijden in driehoeken berekenen. Werkwijze • Bepaal twee driehoeken die gelijkvormig zijn. • Indien nodig bewijs je de gelijkvormigheid van de driehoeken. • Stel een evenredigheid op met de onbekende en bekende zijden van de gelijkvormige driehoeken. • Bereken de onbekende uit de evenredigheid. Modeloefening 1 ABCPQR 15 cm 21 cm 12 cm 10 cm x cm y cm • ABC PQR • Bereken x en y x 21 = 1015 ¤ x = 101521 = 14 = ¤ y = Modeloefening 2 Een lantaarnpaal van 4 m heeft een schaduw van 6 m. Op hetzelfde ogenblik heeft een windmolen een schaduw van 42 m. Bereken de hoogte van de windmolen. • bewijs:  en  gelijkvormigheidskenmerk: Volgens kenmerk is   • berekening: • antwoord: instructiefilmpje ©VANIN

©VANIN

20 Noah wil een driehoekige tafel namaken met dezelfde vorm als de tafel op de foto. Bereken de lengte van de rechthoekszijden van het tafelblad van de tafel, als de schuine zijde 120 cm moet zijn. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 27 Oefeningen REEKS A 18 Gegeven: ABC ~ DEF Bereken het gevraagde maatgetal van de lengte van de zijde. ABCDEF b) | AB | = 8, | AC | = 4, | DE | = 12 | DF | = ? a) | AB | = 5, | BC | = 7, | DE | = 10 | EF | = ? c) | AB | = 15, | BC | = 12, | DE | = 24 | EF | = ? REEKS B 19 In Tokio staat een wolkenkrabber met een gevel in de vorm van een rechthoekige driehoek. Het gebouw is 124 m hoog en 85 m breed. Bereken de hoogte van het gebouw in miniatuur, als de breedte in miniatuurbouw 17 cm is. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.

a) Bereken de schuine zijde van een dergelijke tekendriehoek waarvan de korte rechthoekszijde 180 mm is. Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.

28 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 21 Gegeven: ABC ~ DEF Bereken de ontbrekende maatgetallen van de lengten van de zijden op 0,01 nauwkeurig. BACDEF a) | AB | = | AC | = 7,79 | BC | = b) | AB | = | AC | = 78,05 | BC | = 35,16 | DE | = 14,24 | DF | = 35,08 | EF | = 28,47 | DE | = 18,11 | DF | = 12,24 | EF | = 22 Tekendriehoeken zoals op de foto bestaan er in verschillende afmetingen. Al die tekendriehoeken zijn gelijkvormige rechthoekige driehoeken. 244 mm210 mm 124 mm

b) Bereken de lange rechthoekszijde van een tekendriehoek waarvan de korte rechthoekszijde 100 mm is. Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.

©VANIN

c) Bereken de omtrek van een tekendriehoek die de leerkracht gebruikt om op het bord te tekenen. De schuine zijde van die tekendriehoek is 564 mm. Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.

25 Louis is 1,68 m groot en heeft een schaduw van 2,40 m.

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 29 23

De langste zijde van het driehoekige bovenvlak van de kaars meet nu 54 mm.

Bereken de afmetingen x en y van de overblijvende zijden van het bovenvlak. Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig. 82 mm 38 mm48 mm 54 mm xy 24 Een doorsnede van een balk levert ABC op. Op de balk is al een zijde van DEF van een gelijkvormige doorsnede aangeduid.

Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.

• bewijs: • berekening: ©VANIN

Greta volgt een cursus om kaarsen te gieten. Ze maakt een kaars in de vorm van een piramide met een driehoekig grondvlak. De kaars brandt erg gelijkmatig en na een aantal uur branden is het bovenvlak van de kaars een driehoek die gelijkvormig is met het grondvlak.

Op hetzelfde tijdstip heeft een boom een schaduw van 6,80 m. Bereken de hoogte van de boom op 0,01 m nauwkeurig.

AEB DC Gegeven: |AB | = 18,4 cm | DE | = 6,8 cm | AC | = 16,6 cm | BC | = 14,4 cm a) Vervolledig de doorsnede DEF die gelijkvormig is met ABC op de tekening. b) Bereken de lengten van de zijden [DF ] en [EF ]. Bepaal de lengten op 0,1 cm nauwkeurig.

30 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 26 Bereken aan de hand van gelijkvormige driehoeken de ontbrekende lengte x op 0,01 nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken. Gegeven: BC ^ AC en BC ^ BD, AB // DE ABD C E129 5 x • bewijs: • berekening: 27 Bereken aan de hand van gelijkvormige driehoeken de ontbrekende lengte x op 0,01 nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken. AC DB E 36 24 42 43 x • bewijs: • berekening: ©VANIN

• bewijs: • berekening: ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 31 28 Bereken aan de hand van gelijkvormige driehoeken de ontbrekende lengte x. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken. 1814 12 xO G MKPc1 c2 De cirkels c1 en c2 hebben hetzelfde middelpunt O De straal van c1 is 12 en wordt met 18 vergroot om c2 te tekenen.

• bewijs: • berekening: 29 Langs een kanaal staan de bomen 5 m van elkaar. Ze staan op 1 m van de oever. Jana stapt 1 m af vanaf een boom en gaat dan 1,7 m achteruit om een boom aan de ene kant van het kanaal op één lijn te zien met een boom aan de andere kant van het kanaal. Bereken de breedte van het kanaal op 0,1 m nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.

• bewijs: • berekening:

©VANIN

30 Als je een weg 1,250 km volgt, ben je ondertussen 40 m gestegen. Hoeveel meter moet je op die weg afleggen om 15 m te stijgen? Bereken op 0,01 m nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.

• bewijs: • berekening: REEKS C 31 Loodrecht op de oevers wordt over een 11 m breed kanaal een touw gespannen. Aan het touw is een boei bevestigd. Als Dieter zich aan de ene kant van het kanaal langs de oever 7 m van het touw verwijdert en Ruben verwijdert zich in tegengestelde zin aan de overkant van het kanaal 3 m van het touw, dan ziet Dieter zowel Ruben als de boei op één lijn. Hoe ver is de boei verwijderd van beide oevers? Bepaal je antwoord op 0,1 m nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.

32 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 33 1.3 Toepassingen bij gelijkvormige driehoeken 1.3.1 Middenparallel van een driehoek Definitie Om een dakconstructie te verstevigen, bevestigt men een houten tussenbalk [RS ]. Meet [AR], [RB], [AS] en [SC]. | AR | = mm | RB | = mm | AS | = mm | SC | = mm Dat tussenschot [RS] verbindt de middens van de zijden [AB] en [AC] van ABC [RS] noem je een middenparallel van ABC Definitie Middenparallel van een driehoek Een middenparallel van een driehoek is een lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek met elkaar verbindt. ABC RS Eigenschap 1) Meet op de afgebeelde dakconstructie de zijde [BC ] en de middenparallel [RS ]. | BC | = mm | RS | = mm Wat stel je vast? 2) Wat is de onderlinge ligging van de rechten BC en RS? Eigenschap Een middenparallel van een driehoek is evenwijdig met een zijde van de driehoek en half zo lang als die zijde. Die eigenschap kun je bewijzen met gelijkvormige driehoeken. instructiefilmpjeinstructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

34 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 Bewijs tekening gegeven ABC RS ABC met middenparallel [RS] te bewijzen 2)1) bewijs ﬂ 1) 2) besluit 1) 2) ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 35 Oefeningen REEKS A 32 Teken van ABC alle middenparallellen. Duid de even lange lijnstukken aan met hetzelfde merkteken. a) ABC b) AC B 33 [PQ], [QR] en [PR] zijn middenparallellen in ABC Bereken de gevraagde lengten. a) |AB | = 9, |BC | = 6 en |PQ | = 4 b) |AP | = 12, |BC | = 12 en |PQ | = 10 ABC PQ RAB RPCQ • |PR | = • |AR | = • |QR | = • |PR | = • |AC | = • |QR | = 34 Om een schommel te verstevigen, verbind je de middens van de opstaande palen. Teken dat tussenstuk op het zijaanzicht van de schommel. Bereken de lengte van dat tussenstuk, als de palen op de grond 2,4 m uit elkaar staan. zijaanzicht: lengte tussenstuk: ©VANIN

REEKS B De Poolse wiskundige Waclaw Sierpinski (1882-1969) tekende in 1916 de naar hem genoemde Sierpinski-driehoek. Begin met een driehoek en neem van elke zijde het midden. Die punten verbind je, zodat je een nieuwe driehoek krijgt. Die nieuwe driehoek snijd je weg uit de eerste grote driehoek. In de zo ontstane drie driehoeken pas je die werkwijze opnieuw toe. Op die manier worden er achtereenvolgens 3, 9, 27, 81, 243, 729 ... driehoeken gecreëerd. 36 Teken een Sierpinski-driehoek op basis van de gegeven driehoek. Eindig bij 27 congruente driehoeken.

36 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213

a) Hoe ver staan de twee ladderdelen uit elkaar op de grond, als het tussenstuk 80 cm lang is?

b) Hoe lang is het tussenstuk, als de ladderdelen op de grond 1,28 m uit elkaar staan?

35 Bij een openstaande ladder verbindt een tussenstuk de middens van de twee ladderdelen met elkaar.

©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 37 1.3.2 Metrische betrekkingen in rechthoekige driehoeken Middelevenredige Wat is bijzonder bij de volgende evenredigheden? 42 = 84 93 = 279 51 = 255 4411 = 17446 ba = bc Definitie Middelevenredigheid x is een middelevenredige van de getallen a en b ¤ = ¤ = Loodrechte of orthogonale projectie Bij projectie in het vlak worden punten op een rechte geprojecteerd. Bij loodrechte of orthogonale projectie worden de punten loodrecht op de projectieas (a) geprojecteerd. A A’BCDEFGHIJ B’KLMaC’D’E’F’ projectieas Notatie: pa (A) = A Lees: het beeld van het punt A door de loodrechte projectie op de projectieas a is het punt A’ Vul in. • pa ([BC ]) = • pa (DEF) = Voer de loodrechte projecties uit en vul in. • pa (G) = • pa ([HI ]) = • pa ([JK ]) = • pa ([LM ) = instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

38 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 Op onderzoek Naast de stelling van Pythagoras gelden in een rechthoekige driehoek nog andere stellingen. Je gaat op zoek naar de ‘metrische betrekkingen’ of ‘projectiestellingen’ In  ABC, rechthoekig in B, is [BD ] de hoogtelijn op de schuine zijde. CBA D 2 ABC D 1 BA CD 3 In de tabel vind je de lengten uitgedrukt in mm. figuur | AB | | BC | | AC | | AD | | CD | | BD | 1 36 62 72 18 54 31 2 24 53 58 9 49 21 3 37 31 48 28 20 24 Voer de gevraagde berekeningen uit met de gegeven lengten. figuur | BD |2 | AB |2 | BC |2 | AD | ? | CD | | AC | ? | AD | | AC | ? | CD | 321 Wat stel je vast? 5 12 6 4 3 Projectie in de ruimte Bij projectie in de ruimte worden punten loodrecht op een vlak geprojecteerd. Door de driedimensionale voorstelling van het huis te projecteren op de vlakken van een kubus, verkrijg je de verschillende aanzichten van de ruimtefiguur. vlak 1: vooraanzicht vlak 4: rechterzijaanzicht vlak 2: linkerzijaanzicht vlak 5: bovenaanzicht vlak 3: achteraanzicht vlak 6: onderaanzicht GeoGebra ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 39 Eigenschap 1 Eigenschap In een rechthoekige driehoek is de hoogtelijn op de schuine zijde een middelevenredige van de lijnstukken waarin ze de schuine zijde verdeelt. Bewijs de eigenschap aan de hand van gelijkvormige driehoeken. tekening gegeven ABC D ABC (^ B = 90º) BD ^ AC [BD] hoogtelijn op AC te bewijzen= ¤ = bewijs  en  gelijkvormigheidskenmerk: (*) Volgens(*) kenmerk is   def.  ﬁ besluit= ¤ = Andere formulering van de eigenschap: In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogtelijn op de schuine zijde gelijk aan het product van de lijnstukken waarin de hoogtelijn de schuine zijde verdeelt. instructiefilmpje ©VANIN

40 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 Eigenschap 2 Eigenschap In een rechthoekige driehoek is elke rechthoekszijde een middelevenredige van de schuine zijde en de loodrechte projectie op de schuine zijde. Bewijs de eigenschap voor een van de rechthoekszijden aan de hand van gelijkvormige driehoeken. Het bewijs voor de andere rechthoekszijde verloopt op een analoge manier. tekening gegeven ABC D ABC (^ B = 90º) pAC ([AB ]) = [AD ] te bewijzen= ¤ = ? bewijs  en  gelijkvormigheidskenmerk: Volgens kenmerk is   . def.  ﬁ besluit= ¤ = Andere formulering van de eigenschap: In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een rechthoekszijde gelijk aan het product van de schuine zijde en de loodrechte projectie van die rechthoekszijde op de schuine zijde. instructiefilmpje ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 41 Oefeningen REEKS A 37 Vink de gelijkheden aan die een middelevenredigheid weergeven. a) 43 = 129 r d) 4 ? 4 = 2 ? 8 r g) vp = qp r b) 21 = 42 r e) 644 = 42 r h) CDAB = BDAC r c) 186 = 62 r f) 102 = 4 ? 25 r i) |CD | ? |EF | = |PQ | 2 r 38 Voer de loodrechte projecties uit en vul in. Aa CB FD RE TS a) pa(A) = A c) pa(C ) = e) pa([EF ]) = b) pa(B) = d) pa(D) = f) pa(RST) = 39 Projecteer van de rechthoekige driehoeken de rechthoekszijden op de schuine zijde en geef de notatie voor die projecties. a) ABC b) P QR ©VANIN

42 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 40 Pas de gevraagde eigenschappen toe. a) FRI S b) KML A

41 Bereken de gevraagde lengte. a) | BD | b) | BC | ABC D9 16 CBA D 10 40 ©VANIN

In een rechthoekige driehoek is de hoogtelijn op de schuine zijde een middelevenredige van de lijnstukken waarin ze de schuine zijde verdeelt. In een rechthoekige driehoek is elke rechthoekszijde een middelevenredige van de schuine zijde en de loodrechte projectie op de schuine zijde.

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 43 42 Duid de figuren aan waarin beide uitdrukkingen van toepassing zijn. | QR | 2 = | PQ | ? | QS | en | RS | 2 = | QS | ? | PS | a) QPR S b) PRQ S c) S PR Q d) SQP R r r r r REEKS B 43 Bereken de gevraagde lengte op 0,01 nauwkeurig. a) | AN | KA T8,45 6,05xN c) | ZN | ZI GN 5,18 9,20 x b) | CD | C BA D 3,92 4,66 x d) | AC | CBA D 12,14 16,23 x ©VANIN

44 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 44 Een architect krijgt de opdracht een dakconstructie te tekenen voor een huis met een gevel van 6 m. Bereken de hoogte van het dak en de lengten van de dakhellingen op 0,01 m nauwkeurig. 4 m 6 m xy h 45 Bereken de ontbrekende lengten op 0,01 nauwkeurig. ABC D a) | AB | = | AC | = 4,25 | CD | = 3,05 b) | AB | = | AC | = | CD | = 4,18 | BC | = | AD | = | BD | = | BC | = 6,04 | AD | = | BD | = ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 45 46 Bereken de ontbrekende lengten op 0,01 nauwkeurig. ABC D a) | AB | = 10,37 | AC | = 16,83 | CD | = c) | AB | = | AC | = | CD | = | BC | = | AD | = | BD | = | BC | = | AD | = 24,36 | BD | = 18,21 b) | AB | = | AC | = 18,16 | CD | = d) | AB | = | AC | = | CD | = 9,26 | BC | = 7,13 | AD | = | BD | = | BC | = | AD | = | BD | = 14,19 ©VANIN

46 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 REEKS C 47 Bereken de oppervlakte van GOK aan de hand van de gegevens op de tekening. Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig. OG KL4,54 2,12 48 Bereken x. CBA D 18 x 4x 49 Een piramidevormige kaars heeft een vierkant grondvlak met een zijde van 8 cm. De afstand van de top tot het midden van een zijde van het grondvlak is 10 cm.

Je boort een gaatje loodrecht in een zijvlak van de piramide.

©VANIN

a) Op welke afstand van de top van de piramide moet je het gaatje boren als je in het midden van het grondvlak wilt uitkomen? Rond af op 0,1 cm.

b) Bereken de minimumlengte van de boor die je daarvoor moet gebruiken. Rond af op 0,01 cm.

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 47 1.4 De stelling van Thales 1.4.1

Als je veronderstelt dat de zonnestralen evenwijdig op de frisbee invallen, kun je dat een evenwijdige of parallelle projectie noemen.

ABCEDF B’C’E’D’F’GI aA’HJK b Notatie: pab (A) = A Lees: Het beeld van het punt A door de evenwijdige projectie volgens de projectierichting b op de projectieas a is het punt A Vul in. Voer de evenwijdige projecties uit en vul in. • pab ([ BC ]) = • pab (G) = • pab (DEF) = • pab ([ HI ]) = • pab ([ JK ]) = instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

Evenwijdige projectie Inleiding In de zomer is spelen met de frisbee op het strand een populaire activiteit. De zon zorgt voor een schaduw van de frisbee op het zand. De frisbee wordt als het ware op het zand geprojecteerd.

Evenwijdige projectie in het vlak Bij evenwijdige of parallelle projectie worden de punten geprojecteerd op de projectieas (a) evenwijdig met een gegeven rechte (b). Die rechte geeft de projectierichting aan.

Het is onmogelijk om de bolvormige aarde perfect weer te geven op een kaart in een atlas. Bij de projectie van een bol op een vlak treden altijd vervormingen op. De eerste poging kwam van onze landgenoot Mercator (16e eeuw). Zijn projectie noem je conform of hoekgetrouw. De oppervlakten zijn echter niet betrouwbaar. Hoe dichter je bij de polen komt, hoe groter de vervormingen. Na Mercator zijn er nog verschillende methodes ontwikkeld, maar ze hebben allemaal hun nadelen. Afhankelijk van het doel van de kaart is de ene of de andere projectie meer of minder geschikt.

Evenwijdige projectie van evenwijdige lijnstukken Bij evenwijdige lijnstukken die niet evenwijdig zijn met de projectierichting, zijn de verhoudingen van de lengten van de lijnstukken en hun respectievelijke evenwijdige projecties gelijk.

©VANIN

48 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 Eigenschap AbBEFGCHDa • Voer de volgende projecties uit: pab ([ AB ]) = [ AB ] pab ([ CD ]) = [ C D ] pab ([ EF ]) = [ EF  ] pab ([GH]) = [ GH  ] • Bereken de gevraagde verhoudingen. Bepaal je antwoord op 0,001 nauwkeurig. AABB = = EEFF = = CCDD = = GGHH = = • Wat stel je vast? Eigenschap

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 49 Oefeningen REEKS A 50 Voer de evenwijdige projecties uit en vul in. abABC DEFG RH a) pab (A) = A c) pab (C ) = e) pab ([ DE ]) = b) pab (B) = d) pab (R) = f) pab (FGH ) = REEKS B 51 Teken ABC als p x y (A) = p x y (C ) = P p x y (B) = Q p y x (A) = p y x (B) = R p y x (C ) = S xQPRS y ©VANIN

50 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 52 [ DE ], [ EF ] en [ DF ] zijn middenparallellen in ABC. Vul in. ADBEFC a) pAFAD (B) = d) pADFC ([DE ]) = g) pBCAF ( ) = E b) pABAC (D) = e) pACEF (DBE) = h) pACBD ( ) = [ AF ] c) pBCAD ([DF ]) = f) pDBAC (DEF ) = i) pBC (FEC ) = [ EC ] 53 Teken een parallellogram ABCD dat als beeld [ XY ] heeft door de evenwijdige projectie op de rechte m volgens AX AB mXY ©VANIN

55 Wat is vergankelijker dan een schaduw? Thales mat de schaduw van de piramide van Cheops ... en werd onsterfelijk. De vader van Thales was een koopman en soms mocht zijn zoontje mee op reis, bijvoorbeeld naar Egypte. Thales bewonderde daar de piramide van Cheops en een van de priesters vroeg hem: ‘Weet je hoe hoog die piramide is?’

‘Ik denk het wel’, zei Thales. Hij ging op de grond liggen en maakte twee streepjes in het zand, een aan zijn hoofd en een aan zijn voet. Daarna stond hij op en verbond beide streepjes door een rechte lijn. ‘Ik zal nu gaan staan aan het uiteinde van deze lijn, die net zo lang is als ik groot ben. Dan zal ik wachten tot mijn schaduw even lang is. Op datzelfde ogenblik zal de schaduw van de piramide even lang zijn als de piramide groot is.’

hbts ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 51 54 Een boom heeft een schaduw van 21 m, terwijl een jongen van 1,62 m op hetzelfde moment een schaduw heeft van 2,10 m. Bereken de hoogte van de boom op 0,01 m nauwkeurig.

Wat was de hoogte die Thales op die manier mat, als je weet dat de basis van de piramide 231,92 m en de lengte van de schaduw van de piramide vanaf de voet van de piramide 31,5 m is?

Wat stel je vast?

Thales van Milete werd omstreeks 624 voor Christus geboren.

Zijn ouders behoorden in Milete tot de welgestelde en geziene burgerij, waarschijnlijk rijke kooplieden. Alles wat van Thales bekend is, komt uit ‘tweede hand’, dus afkomstig van mensen die over hem schreven. Thales wordt gezien als de eerste Griekse filosoof, natuurwetenschapper en wiskundige. Een van de grootste verdiensten van Thales was dat hij als eerste niet alleen praktische problemen probeerde op te lossen, maar juist algemene achterliggende principes probeerde te ontdekken.

• Thales kon de afstand van een schip tot de kust berekenen.

• Thales voorspelde de zonsverduistering van 585 v.Chr.

• Thales kon de hoogte van de piramides bepalen door de lengte van hun schaduw te meten op het moment dat de zon zo staat dat iemands schaduw gelijk is aan zijn lengte.

Thales’ belangrijkste werk

52 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 1.4.2 De stelling van Thales Op onderzoek De rechten a en b worden gesneden door de evenwijdigen c, d en e Bereken de verhoudingen van de gevraagde lijnstukken. abA 20 mm10 mm18 30mmmm 15 mm 27 mm c d eBCDEFG ABAE = BCEF = CDFG = AGAD = ACAF = BDEG =

instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 53 De stelling van Thales formuleren Stelling Evenwijdige rechten snijden van twee rechten evenredige lijnstukken af. A B CDE F In symbolen: DEAB = BCEF De stelling van Thales bewijzen tekening gegeven cCab d eABDEF a en b gesneden door een aantal evenwijdigen (c // d // e): a snijdt de rechten c, d en e in respectievelijk A, B en C; b snijdt de rechten c, d en e in respectievelijk D, E en F te bewijzen DEAB = BCEF bewijs 1) Constructie: • tAD → ([ AB ]) = [ DG ] • t BE → ([ BC ]) = [ EH ] 2) Bewijs dat DEG EFH:  en  gelijkvormigheidskenmerk: Volgens kenmerk is DEG EFH def.  ﬁ = 3) Bewijs de evenredigheid: = ﬁ = (Een verschuiving behoudt de lengte.) besluit= ©VANIN

54 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 De stelling van Thales in een driehoek Teken een rechte a evenwijdig met de zijde [ AC ] van ABC Bereken de verhoudingen. A 28 mm 8 mm 42 mm 12 mmDCaBE Verhoudingen: • ADCE = • BDBE = Wat stel je vast? Besluit Een rechte evenwijdig met een zijde van een driehoek verdeelt de andere twee zijden in evenredige lijnstukken. ABC DE In symbolen: BDBE = ADCE Rekenen met de stelling van Thales Bepaal de onbekende lengte op 0,01 mm nauwkeurig. cba d eACBDEF 52 mm x mm 44 mm 70 mm De omgekeerde stelling van Thales Stelling Rechten die van twee rechten evenredige lijnstukken afsnijden, zijn evenwijdig. ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 55 Oefeningen REEKS A 56 Geef zes symbolische notaties van de stelling van Thales, toegepast op de tekening. c // d // e c deO P Q RSTU a) = b) = c) = d) = e) = f) = 57 Vul de gegeven evenredigheden in. JB // KC // LH // MI ABDCFE JGHI KL M a) FGJK = KL e) JM = GHKL i) GA = AHAD m) HI = BCFG b) AHAD = HI f) BCJK = LM j) GHCD = FG n) JL = KMGI c) KL = LMDE g) JL = KMCE k) BE = AGAC o) AEAI = GH d) HI = FGJK h) KMCE = DE l) GHKL = JM p) JMBE = KL ©VANIN

56 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 REEKS B 58 Bereken de onbekende lengte x op 0,01 nauwkeurig, als je weet dat a // b // c. a) d) a b c 21 14 27 xabc x 10,15912,50 b) e) a b c 2 x 1,508 a b c 18,20 18 x 15,10 c) f) abc 45 x 63 51 a b c 34x 7 9,40 ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 57 59 Ga aan de hand van de gegeven lengten na welke rechten evenwijdig zijn. acbde 28 34 20 30 24 36 26 39 60 De rechte a is evenwijdig met een zijde van PQR. Bereken de lengte x op 0,1 nauwkeurig. a) b) aPQR x 5 8 12 PQR xa 3 5 7 61 Bereken de onbekende lengten x en y op 0,01 nauwkeurig, als je weet dat a b c d. a) b) a b c def9714 yx 11 eabcd fxy 12, 4 8,2 6, 1 4, 8 ©VANIN

58 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 62 In welke van de volgende situaties is de rechte p evenwijdig met een zijde van DAK ? Bepaal je antwoord aan de hand van de gegeven lengten op de tekening. a) b) c) DAKp 4 33 2 DAKp 9,6 6,4 4,2 2,8 DA pK6,8 5,1 5,6 4,4 r r r 63 BC EF AD Bereken de lengte van de zijde [ CD ] van het trapezium op 0,01 nauwkeurig. a) 21 28 17 AD BC EF b) 38 54 27BADC EF 64 DE AC Bereken de lengte van de zijde [ AB ] van ABC op 0,01 nauwkeurig. a) 27 58 63 AC B DE b) 18 45 24 AC DBE ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 59 65 De horizontale planken bij het onderstaande poortje zijn evenwijdig. Bereken de ontbrekende lengte x op 0,01 cm nauwkeurig. 28 cm 44 cm 22 cm x cm 66 De horizontale planken bij de onderstaande schildersezel zijn evenwijdig. Bereken de ontbrekende lengte x op 0,01 cm nauwkeurig. x cm 4064cmcm56 cm 67 De omheiningspalen van de afsluiting zijn evenwijdig. Bereken de ontbrekende afstanden x en y op de balken tussen de omheiningspalen op 0,01 cm nauwkeurig. 68 Bereken de onbekende x, als je weet dat a b c a b c 124x – 4 2 x + 3 ©VANIN

60 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 REEKS C 69 In PQR is ST // PR. T verdeelt [QR ] in twee stukken die zich verhouden als 32 . Bereken de lengte van de zijde [PQ ] aan de hand van de gegevens op de tekening. 28 PQR ST 34 70 Een piramide wordt gesneden door evenwijdige vlakken. Bereken de gevraagde lengten a, b, c en d op de ribben op 0,01 nauwkeurig. 18 20 ca 26 d 24 b 8 71 Gegeven: | OE | = 4,44, | OF | = 4,95, | EC | = 5,55 en | DB | = 5,71. Bereken de lengten | OD | en | AC | op 0,01 nauwkeurig. OEF CD AB ©VANIN

e 20 30 10 40 23 32 dabc f ©VANIN

ab cd Noteer de evenredigheid van lengten bij de afbeelding van de streepjescode.

Later werd de code uitgebreid met een impliciet gecodeerd regiocijfer, zodat de oude UPC-code kon wordenDebehouden.streepjescode

Norman Woodland kan als grondlegger van de streepjescode worden beschouwd. Hij zag het belang in van eenvoudige coderingen om gegevens automatisch te verwerken. In 1973 stelde hij de twaalfcijferige Universal Product Code (UPC) samen.

Naast een Amerikaanse is er ook een Europese en een Japanse standaard.

Bijgevolg speelt de leesrichting door de laserlijnen geen rol.

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 61

Oorspronkelijk werd de UPC-code ontworpen en toegepast in de Verenigde Staten en Canada.

wordt gelezen met laserlijnen en de kassa geeft ogenblikkelijk de prijs. De bundel evenwijdige strepen bepaalt evenredige lengten op de snijlijnen.

= Bereken de onbekende lengten bij het onderstaande fragment uit de streepjescode. Bepaal je antwoorden op 0,001 nauwkeurig.

62 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 1.4.3 Een lijnstuk verdelen in een aantal gelijke delen Modeloefening Verdeel het lijnstuk [ AB ] in vijf gelijke delen. AB Stap 1: Teken door het grenspunt A een rechte a Stap 2: Pas op de rechte a vanaf het punt A vijf even lange lijnstukken af: | AC | = | CD | = | DE | = | EF | = | FG |. Stap 3: Verbind G met het grenspunt B van het oorspronkelijke lijnstuk. Stap 4: Teken evenwijdigen met BG door de punten F, E, D en C. Al die evenwijdigen snijden het lijnstuk [ AB ], dat daardoor in vijf gelijke delen wordt verdeeld. Verklaring van de constructie tekening AB CDEFG HIJK 1)verklaringStellingvan Thales CH // DI // EJ // FK // GB ﬂ = = = = 2) Gelijke breuken | AC | = | CD | = | DE | = | EF | = | FG | ﬂ = = = = besluit= = = = instructiefilmpje ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 63 Oefeningen REEKS A 73 Verdeel het lijnstuk [ AB ] in zeven gelijke delen. Maak daarbij gebruik van de gegeven getallenas. AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 74 Verdeel het lijnstuk [ AB ] telkens in het gegeven aantal gelijke delen. a) 5 delen c) 6 delen ABAB b) 3 delen d) 7 delen A BAB ©VANIN

a) Verdeel de paal van het verkeerslicht in vijf gelijke delen die afwisselend geel en zwart gekleurd moeten worden.

64 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 REEKS B

76 Verdeel met passer en liniaal het zwembad in zes gelijke banen.

75 Verdeel met passer en liniaal de lijnstukken in het gegeven aantal gelijke delen.

b) Verdeel de stam van de boom, zodat hij in drie gelijke delen gezaagd kan worden.

77 Teken met passer en liniaal de maatstrepen, zodat de notenbalk in zeven gelijke maten verdeeld wordt.

©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 65 78 Plaats door middel van evenwijdige rechten de getallen 2 tot en met 5 op de onderste getallenas. Verklaar je werkwijze aan de hand van de stelling van Thales. 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Verklaring: 79 Wat is de abscis van de punten A en B? 0–1 BA 1 R ab(A) = ab(B) = ©VANIN

Gelijkvormigheidskenmerk ZZ ZZ

1.2 Gelijkvormige

Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur een schaalmodel is van de andere. De verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden van twee gelijkvormige figuren is de gelijkvormigheidsfactor.

KENNEN  +  + Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden evenredig zijn. ABC ABC ¤ ^ A = ^ A ^ B = ^ B  ^ C = ^ C  AABB = BBCC = AACC Gelijkvormigheidskenmerk ZZ

66 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 STUDIEWIJZER Gelijkvormigheid en de stelling van Thales 1.1 Gelijkvormigheid voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  +

KUNNEN  + 

Gelijkvormige driehoeken tekenen aan de hand van de gelijkvormigheidskenmerken. De gelijkvormigheid van driehoeken bewijzen aan de hand van de gelijkvormigheidskenmerken. De gelijkheid van hoeken en de evenredigheid van zijden bewijzen aan de hand van de gelijkvormigheidskenmerken. De lengte van lijnstukken berekenen aan de hand van gelijkvormige driehoeken.

+  +

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als drie paren overeenkomstige zijden evenredig zijn.

Bij een vergroting is de gelijkvormigheidsfactor groter dan 1. Bij congruente figuren is de gelijkvormigheidsfactor gelijk aan 1.

‘Gelijkvormigheidsfactor’ en ‘schaal’ hebben dezelfde betekenis. KUNNEN 

Gelijkvormigheidskenmerk HH

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paren overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paren overeenkomstige zijden evenredig zijn en de ingesloten hoeken gelijk zijn.

Bij een verkleining is de gelijkvormigheidsfactor kleiner dan 1.

of afmetingen

Uit tekeningen de gelijkvormigheidsfactor bij gelijkvormige figuren bepalen. driehoeken H ZZ

Gelijkvormigheidskenmerken bewijzen.

©VANIN

x is een middelevenredige van de getallen a en b ¤ ax = bx ¤ x 2 = a b

In een rechthoekige driehoek is elke rechthoekszijde een middelevenredige van de schuine zijde en de loodrechte projectie op de schuine zijde. In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een rechthoekszijde gelijk aan het product van de schuine zijde en de loodrechte projectie van die rechthoekszijde op de schuine zijde. KUNNEN  +  +

Een loodrechte projectie uitvoeren. De lengte van lijnstukken berekenen aan de hand van de eigenschap van de middenparallel van een driehoek. De lengte van lijnstukken berekenen aan de hand van metrische betrekkingen in rechthoekige driehoeken. De metrische eigenschappen bewijzen. 1.4 De stelling van Thales KENNEN  +  +

©VANIN

Bij evenwijdige lijnstukken die niet evenwijdig zijn met de projectierichting, zijn de verhoudingen van de lengten van de lijnstukken en hun respectievelijke evenwijdige projecties gelijk. Evenwijdige rechten snijden van twee rechten evenredige lijnstukken af. KUNNEN  +  + Een evenwijdige projectie uitvoeren. De stelling van Thales bewijzen. De lengte van lijnstukken berekenen aan de hand van de stelling van Thales. Door constructie een lijnstuk verdelen in een aantal gelijke delen. De constructie om een lijnstuk in een aantal gelijke delen te verdelen, verklaren.

In een rechthoekige driehoek is de hoogtelijn op de schuine zijde een middelevenredige van de lijnstukken waarin ze de schuine zijde verdeelt.

In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogtelijn op de schuine zijde gelijk aan het product van de lijnstukken waarin de hoogtelijn de schuine zijde verdeelt.

Een middenparallel van een driehoek is een lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek met elkaar verbindt.

Een middenparallel van een driehoek is evenwijdig met een zijde van de driehoek en half zo lang als die zijde.

4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 67 1.3 Toepassingen bij gelijkvormige driehoeken voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  +

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 F) 6 G) 7 Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2021 2. Een robot vertrekt vanuit de getoonde positie en beweegt langs de lijnen.Er zijn drie symbolen op de lijnen ( , en ) die de richting bepalen diede robot moet nemen bij het volgende kruispunt. De robot mag de rode vlag niet raken.

68 4 D I HOOFDSTUK 1 I GELIJKVORMIGHEID EN DE STELLING VAN THALES 1 1086432579111213 Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? ❑ concreet materiaal ❑ schets ❑ schema/tabel ❑ vereenvoudig ❑ gok verstandig ❑ filter ❑ patroon ❑ kennis ❑ logisch nadenken ❑

• Ga bij het volgende kruispunt rechtdoor.

©VANIN

Helaas weet je niet welk symbool wat betekent.Voor alle duidelijkheid: de betekenis van het symbool blijfthetzelfde, ongeacht de richting waarin de robot beweegt.De pijl op de afbeelding laat zien hoe de robot zou draaien vanuitbeide richtingen als het driehoeksymbool ‘linksaf bij het volgendekruispunt’ betekent.Help de robot om de eindmeet te bereiken door de juiste betekenis te kiezen voor elk symbool.

A rechtsaf rechtdoor linksafB linksaf rechtdoor rechtsafC rechtsaf linksaf rechtdoorD rechtdoor rechtsaf linksafE linksaf rechtsaf rechtdoorF rechtdoor linksaf rechtsaf Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2021

1. De boswachters moeten nagaan welke dieren over de paden in het bos lopen. Ze bekijken daarom de paden vanaf hoge uitkijktorens. Een boswachter kan alleen de paden zien die direct met zijn toren zijn verbonden. Hoeveel torens moet je minstens gebruiken om alle paden in het bos te kunnen zien, als in elke toren één boswachter zit?

Elk symbool heeft een andere betekenis:• Sla linksaf bij het volgende kruispunt.• Sla rechtsaf bij het volgende kruispunt.

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 69 HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 2.1 Algemene vergelijking van een rechte 70 2.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen 77 2.3 Een 2 x 2-stelsel grafisch oplossen 80 2.4 Een 2 x 2-stelsel algebraïsch oplossen 89 Studiewijzer 120 Pienter problemen oplossen 122 ©VANIN

Algemeen De grafiek van een functie met vergelijking y = ax (a Œ R0) is een rechte door de oorsprong.

• stijgende rechten hebben een positieve richtingscoëfficiënt;

©VANIN

• Bepaal de coördinaat van het snijpunt van elke rechte met de x-as en de y-as. snijpunt x-as: ( , ) snijpunt y-as: ( , ) snijpunt x-as: ( , ) snijpunt y-as: ( , )

• Bepaal de richtingscoëfficiënt van elke rechte. rc r = rc s = Definitie Richtingscoëfficiënt De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt. In de vergelijking y = ax van de rechte r is a de richtingscoëfficiënt. Besluit De richtingscoëfficiënt van een rechte bepaalt de helling van de grafiek:

70 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 2.1 Algemene vergelijking van een rechte 2.1.1 Rechten door de oorsprong Teken de rechten r en s in het assenstelsel. r ´ y = 3x s ´ y = – 2x yx yx 1–1–2–3–4–5 2 345 yx–3–2–1123

Je noemt die vergelijking ook de vergelijking van de rechte.

• dalende rechten hebben een negatieve richtingscoëfficiënt.

Opmerking • Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking y = r en als richtingscoëfficiënt 0.

• Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking x = s en heeft geen richtingscoëfficiënt.

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 71 2.1.2 Rechten die de beide assen snijden buiten de oorsprong Teken de rechten k en l in het assenstelsel. k ´ y = 2x – 2 l ´ y = 4x + 2 yx yx 1–1–2–3–4–5 2 345 yx–3–2–1123 • Bepaal de richtingscoëfficiënt van elke rechte. rc k = rc l =

• Bepaal de coördinaat van het snijpunt van elke rechte met de x-as en de y-as. snijpunt x-as: ( , ) snijpunt y-as: ( , ) snijpunt x-as: ( , ) snijpunt y-as: ( , ) Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a, b Œ R0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.

©VANIN

72 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 2.1.3 Vergelijking van de vorm ux + vy + w = 0 De grafiek van een eerstegraadsfunctie is een rechte met als vergelijking y = ax + b met a Œ R 0, b Œ R Horizontale rechten hebben een vergelijking van de vorm y = r, verticale rechten van de vorm x = s met r, s Œ R Toon aan dat elke rechte een vergelijking heeft van de vorm ux + vy + w = 0, waarbij u, v, w Œ R en u en v niet tegelijk 0 zijn. een rechte die de oorsprong bevat en niet evenwijdig is met de x-as of y-as r ´ y = 2x r ´ y = ax 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123 r 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123r Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking: u = v = w = u = v = w = een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong s ´ y = – 2x + 1 s ´ y = ax + b 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123 s 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123 s Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking: u = v = w = u = v = w = instructiefilmpje GeoGebra ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 73 een rechte evenwijdig met de x-as t ´ y = 2 t ´ y = r 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123 t 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123 t Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking: u = v = w = u = v = w = een rechte evenwijdig met de y-as z ´ x = 3 z ´ x = s 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123 z 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123 z Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking: u = v = w = u = v = w = Besluit Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0. Dat noem je de algemene vergelijking van de rechte. ©VANIN

74 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 2.1.4 De vergelijking ux + vy + w = 0 omvormen ux + vy + w = 0 ¤ vy = ux – w v ≠ 0 v = 0 vy = ux – w ¤ y = uv x – wv ux – w = 0 ¤ x = wu Voorbeeld 1 u ≠ 0 Voorbeeld 1 w ≠ 0 d ´ 2x − y + 4 = 0 2x − y + 4 = 0 y = 2x – 4 y = 2x + 4 Teken d in het assenstelsel. yx 1 1–1–2–3–4–5 2345–4–3–2–1234 yx k ´ 3x − 6 = 0 3x − 6 = 0 3x = x = Teken k in het assenstelsel. yx 1 1–1–2–3–4–5 2345–4–3–2–1234 yx Voorbeeld 2 u = 0 Voorbeeld 2 w = 0 e ´ 2y + 6 = 0 2y + 6 = 0 2y = y = Teken e in het assenstelsel. yx 1 1–1–2–3–4–5 2345–4–3–2–1234 yx m ´ 5x = 0 5x = 0 x = Teken m in het assenstelsel. yx 1 1–1–2–3–4–5 2345–4–3–2–1234 yx Algemeen • Als u ≠ 0, dan is dat de vergelijking van een schuine rechte. • Als u = 0 , dan is dat de vergelijking van een horizontale rechte (evenwijdig met de x-as). Algemeen • Als w ≠ 0, dan is dat de vergelijking van een verticale rechte (evenwijdig met de y-as). • Als w = 0, dan is dat de vergelijking van de y-as. Als in de vergelijking y = uv x – wv • u en v hetzelfde teken hebben, dan is de rechte dalend; • u en v een verschillend teken hebben, dan is de rechte stijgend. ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 75 Oefeningen REEKS A 1 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = ax, y = r of x = s. a) −2x + y = 0 d) 3x + 6 = 0 b) x + 7y = 0 e) 4x + 16y = 0 c) 8y + 9 = 0 f) −5y + 10 = 0 REEKS B 2 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = ax, y = r of x = s. a) 4x + 8y + 12 = 0 e) 8x − 13y + 7 = 0 b) −2x + 8y – 3 = 0 f) −2y − 6 = 0 c) −5x − 11y − 4 = 0 g) 3x + 10y + 20 = 0 d) −7x − 14 = 0 h) −9x − 18y + 27 = 0 ©VANIN

76 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 3 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = ax, y = r of x = s Bepaal, indien mogelijk, de richtingscoëfficiënt van de rechte. Bepaal de coördinaat van de snijpunten met x-as en y-as. Vink aan of de rechte stijgend (s), dalend (d), horizontaal (h) of verticaal (v) is. a) −3x + 6y − 5 = 0 e) 5x − 7y + 2 = 0 rc = rc = snijpunt met x-as: snijpunt met x-as: snijpunt met y-as: snijpunt met y-as: r s r d r h r v r s r d r h r v b) 6x + 12y = 0 f) −2y − 5 = 0 rc = rc = snijpunt met x-as: snijpunt met x-as: snijpunt met y-as: snijpunt met y-as: r s r d r h r v r s r d r h r v c) −2x + 9 = 0 g) 6x + 7y + 14 = 0 rc = rc = snijpunt met x-as: snijpunt met x-as: snijpunt met y-as: snijpunt met y-as: r s r d r h r v r s r d r h r v d) −4x − 9y − 1 = 0 h) 4x − 6y + 24 = 0 rc = rc = snijpunt met x-as: snijpunt met x-as: snijpunt met y-as: snijpunt met y-as: r s r d r h r v r s r d r h r v ©VANIN

Onder hoeveel deelnemers werd de winst verdeeld en hoe groot was die? Keuze van de onbekenden: • x is het aantal deelnemers. • y is de grootte van de speelpot. Opstellen van de vergelijkingen: • voor de eerste verdeelsleutel: y = 950 000x + 150 000

2.2.1

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 77

Als iedere deelnemer 950 000 euro krijgt, dan is er 150 000 euro over voor het goede doel.

©VANIN

Als iedere deelnemer 960 000 euro krijgt, dan is er 20 000 euro over voor het goede doel.

Voorbeeld 1 Enkele vrienden kochten samen het winnende lot van Big Bang! Ze zijn het erover eens een deel van hun winst te schenken aan het goede doel.

2.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen

• c en e noem je de constanten. Een koppel getallen dat aan beide vergelijkingen tegelijkertijd voldoet, noem je een oplossing van het stelsel. Het zoeken naar alle oplossingen noem je het oplossen van het stelsel. instructiefilmpje

• voor de tweede verdeelsleutel: y = 960 000x + 20 000 Zoeken naar het aantal deelnemers en de grootte van de winst houdt in dat aan beide vergelijkingen tegelijkertijd voldaan moet zijn. Zo bekom je een stelsel (S) van twee vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden x en y, kortweg een 2 x 2-stelsel Je noteert S y = 950 000 x + 150 000 y = 960 000 x + 20 000 2.2.2 Voorbeeld 2 Je betaalt 465 euro met briefjes van 5 euro en van 20 euro. Hoeveel briefjes van elk zijn er, als er in totaal 33 briefjes zijn? Keuze onbekenden: x is y is Opstellen van het stelsel: S 2.2.3 Standaardvorm en benamingen 2 × 2-stelsels kun je herleiden tot de vorm S ax + by = c dx + fy = e Je noemt dat de standaardvorm van een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden. Benamingen

• x en y noem je de onbekenden. • a, b, d en f noem je de coëfficiënten.

• keuze van de onbekenden: x is y is • opstellen van het stelsel: ©VANIN

Voor een zitplaats betaal je 25 euro en voor een staanplaats 16 euro. De totale opbrengst bedraagt 237 890 euro.

Hoeveel toeschouwers hebben betaald voor een zitplaats en hoeveel voor een staanplaats?

• keuze van de onbekenden: x is y is • opstellen van het stelsel: 5 12 500 betalende toeschouwers wonen een voetbalwedstrijd bij.

78 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213

• keuze van de onbekenden: x is y is • opstellen van het stelsel: REEKS B

Oefeningen REEKS A 4 In het voorjaar kocht Wim 24 geraniums en 18 petunia’s. Zijn vrouw Lotte kocht die dag in dezelfde winkel nog eens 6 geraniums en 2 petunia’s. Wim noch zijn vrouw herinnert zich de kostprijs per stuk van elke bloemsoort. Wel weten ze nog het totaalbedrag van hun aankoop.

Wim betaalde 53,40 euro en Lotte 9,60 euro. Hoeveel kostte elke bloemsoort?

6 In een kaaswinkel kosten 200 gram parmezaan en 300 gram Brugge Oud samen 11,75 euro.

Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot het oplossen van het vraagstuk.

Bestel je van elke kaassoort 500 gram, dan betaal je 24,50 euro. Hoeveel kost elke kaassoort per kilogram?

Hoeveel loten van elk type moet men per uur produceren om de machines optimaal te benutten? Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot het oplossen van het vraagstuk.

Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot het oplossen van het vraagstuk.

• keuze van de onbekenden: x is y is • opstellen van het stelsel: 8 Een frisdrankproducent wil een drankje op de markt brengen dat bestaat uit 3,1 gram suikers en 46,9 gram vocht. Van zijn productleverancier kan hij twee mengsels krijgen:

Wat is de hoeveelheid van elk mengsel, op 0,01 gram nauwkeurig, die hij moet gebruiken voor zijn drankje? Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot het oplossen van het vraagstuk.

• keuze van de onbekenden: x is y is • opstellen van het stelsel:

©VANIN

Hoeveel gram moet hij van elke snoepsoort gebruiken per zakje?

• Mengsel B bevat 3 % suikers en 97 % vocht.

• Mengsel A bevat 10 % suikers en 90 % vocht.

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 79 7 Een snoephandelaar wil een mengeling van winegums en zuurtjes verpakken in zakjes van 340 g en ze verkopen voor de prijs van 2,50 euro. De winegums kosten 10 euro per kilogram en de zuurtjes 7 euro per kg.

• keuze van de onbekenden: x is y is • opstellen van het stelsel: REEKS C 9 Een klein metaalbedrijf heeft 6 machines voor het modelleren en 14 machines voor het bedraden van bouten. Er worden 2 types bouten geproduceerd. Om een lot (1 000 stuks) van het kleinste type te produceren, moet men 3 minuten modelleren en 8 minuten bedraden. Voor het grootste type zijn voor beide bewerkingen 8 minuten nodig.

80 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 2.3 Een 2 x 2-stelsel grafisch oplossen 2.3.1 Voorbeeld Los het stelsel op: S 5x – 6y = 2 3x + 8y = 7 Je zoekt alle koppels (x, y) die tegelijkertijd aan beide vergelijkingen voldoen. 1, 21 is een oplossing van het stelsel, want (−2, −2) is geen oplossing van het stelsel, want Grafische interpretatie Elk van de vergelijkingen uit het 2 × 2-stelsel kun je opvatten als de vergelijking van een rechte. Teken beide rechten. a ´ 5x − 6y = 2 of y = 65 x − 31 –2–11 y –332 1–1–2 5432 x x – 2 4 y – 2 3 b ´ 3x + 8y = 7 of y = 83 x + 87 x – 3 5 y 2 – 1 Het punt met coördinaat 1, 21 is het enige snijpunt van a ´ 5x − 6y = 2 en b ´ 3x + 8y = 7. Het stelsel heeft dus één oplossing, die je aan de hand van de oplossingenverzameling als volgt kunt noteren: V = 1, 21 {} GeoGebra ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 81 REKENMACHINE S 5x – 6y = 2 3x + 8y = 7 Met de grafische rekenmachine kun je het snijpunt van twee rechten laten berekenen. Eerst moet je beide vergelijkingen van het stelsel onder de vorm y = f (x) brengen. S y = 5x – 2 6 y = –3x + 7 8actie knoppen scherm Voer de vergelijkingen in de vergelijkingseditor in. staty=plot A-localphaf1k statploy=t f1 1 L1 Y 5 L5 U ] W 2 L2 Z linkX,T,θ,n 6 L6 V entrenterysolve A-localphak statploty= f1 1 L1 Y (–) ans ? 3 L3 θ linkX,T,θ,n 8 v P 7 u Omemy= “ entersolve Kies elkaarzodatvensterinstellingenjezietdatderechtensnijden. tabletblwindowsetf2graphf5 Laat de coördinaat van het snijpunt berekenen. 2nd calctracef4 5 L5 U entrenterysolve entrenterysolve entrenterysolve ﬁ V = 1, 21 {} Een 2 x 2-stelsel oplossen met GeoGebraICT ©VANIN

82 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 2.3.2 Aantal oplossingen van een stelsel Voorbeeld 1 S x – y = –3 2x + y = –6 Je bepaalt twee punten op de rechte –8–6–4–28642 y –2–4–6–8–10–12 24 68 1012 x a ´ x − y = −3 of y = x + 3 yx Je bepaalt twee punten op de rechte b ´ 2x + y = −6 of y = −2x − 6 yx Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b? Hoeveel oplossingen heeft het stelsel? Dit is een bepaald stelsel V = controle: Voorbeeld 2 S x – y = 4 x – y = 0 Je bepaalt twee punten op de rechte –8–6–4–28642 y –2–4–6–8–10–12 24 68 1012 x a ´ x y = 4 of y = yx Je bepaalt twee punten op de rechte b ´ x y = 0 of y = yx Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b? Hoeveel oplossingen heeft het stelsel? Dit is een strijdig stelsel. V = instructiefilmpje ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 83 Voorbeeld 3 S 2x – y = 4 4x – 2y = 8 Je bepaalt twee punten op de rechte –8–6–4–28642 y –2–4–6–8–10–12 24 68 1012 x a ´ 2x y = 4 of y = yx Je bepaalt twee punten op de rechte b ´ 4x 2y = 8 of y = yx Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b? Hoeveel oplossingen heeft het stelsel? Dit is een onbepaald stelsel V = Besluit snijdende rechten evenwijdige rechten disjuncte rechten samenvallende rechten myxnyxyx y = ax + b bepaald stelsel aantal oplossingen: strijdig stelsel aantal oplossingen: onbepaald stelsel aantal oplossingen: V = {(m, n)} V = ∆ V = {(x, y) | y = ax + b} ©VANIN

84 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 2.3.3 Nadelen van de grafische oplossingsmethode Voorbeeld 1 Het stelsel S 9x – 14y = –1 6x + 7y = 4 heeft als oplossing 31 , 27 = (0,33... ; 0,285 714 285 714 ...). Het snijpunt is onmogelijk exact op een figuur af te lezen. –2–11 y –332 1–1–2 32 4 x Voorbeeld 2 Het stelsel S 38x – 5y = –1 000 6x – y = –2 200 heeft als oplossing (1 250, 9 700) Het is niet altijd eenvoudig om een geschikt grafisch venster te vinden. 4 000 400600200–200 004100210001 004–800300020001000500060007000800090001000011000120001300014000yx ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 85 Oefeningen REEKS A 10 Los grafisch op: S y = 2 x – 4 y = x a ´ y = 2x − 4 yx b ´ y = x yx –8–6–4–28642 y –2–4–6–8–10–12 24 68 1012 x V = controle: 11 Los grafisch op: S y = 3 x – 3 y = –3 x + 9 a ´ y = 3x − 3 yx b ´ y = 3x + 9 yx –8–6–4–28642 y –2–4–6–8–10–12 24 68 1012 x V = controle: ©VANIN

86 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 REEKS B 12 Los grafisch op: S 2 x + y = 4 x + y =0 a ´ yx b ´ yx –8–6–4–28642 y –2–4–6–8–10–12 24 68 1012 x V = controle: 13 Los grafisch op: S 2 x = 4 – y 4 x – 6 = –2y a ´ yx b ´ yx –8–6–4–28642 y –2–4–6–8–10–12 24 68 1012 x V = controle: ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 87 14 Los grafisch op: S 0, 25 x + 1, 5y = 2 2 x + 6y =1 a ´ yx b ´ yx –8–6–4–28642 y –2–4–6–8–10–12 24 68 1012 x V = controle: 15 Los grafisch op: S –3 x + 6y = –9 2 x – 4y = 6 a ´ yx b ´ yx –8–6–4–28642 y –2–4–6–8–10–12 24 68 1012 x V = controle: ©VANIN

88 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 16 Los op met ICT. a) S 2x + y = 4 x + 2y = 1 c) S x – y = 0 2x – 5y + 250 = 0 V = V = b) S 7x + 9y = 5 7x – 18y = –1 d) S 21x – 16y = 240 –10x + 9y = –77 V = V = REEKS C 17 Los de vraagstukken grafisch op met ICT. a) In een kaaswinkel kosten 200 g parmezaan en 300 g Brugge Oud samen 11,75 euro. Bestel je van elke kaassoort 500 gram, dan betaal je 24,50 euro. Hoeveel kost elke kaassoort per kilogram? (zie oefening 6) b) Een frisdrankproducent wil een drankje op de markt brengen dat bestaat uit 3,1 gram suikers en 46,9 gram vocht. Van zijn productleverancier kan hij twee mengsels krijgen: • Mengsel A bevat 10 % suikers en 90 % vocht. • Mengsel B bevat 3 % suikers en 97 % vocht. Wat is de hoeveelheid van elk mengsel, op 0,01 gram nauwkeurig, die hij moet gebruiken voor zijn drankje? (zie oefening 8) ©VANIN

t ´ x = 3. r en s

is aan 1 of −1. instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

kunt plaatsen. Dat is

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 89 2.4 Een 2 x 2-stelsel algebraïsch oplossen 2.4.1 De gelijkstellingsmethode Voorbeeld Los op: S x – y = –3 2x + y = –6 • Je plaatst dezelfde onbekende in beide vergelijkingen apart. –5–4–3–2–1–4–3–2–11234 12 3 yx2x + y = 6 x – y = –3 rs y = x + 3 y = –2x – 6 • Je stelt die waarden aan elkaar gelijk, zodat er een vergelijking in één onbekende ontstaat. Je noteert als tweede vergelijking de vergelijking waarin een onbekende werd afgezonderd. y = = –2x – 6 x + 3 x + 3 Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ´ y = x + 3 en s ´ y = – 2x – 6. • Je lost de vergelijking in één onbekende op. y = x + 3 x + 2x = –6 – 3 y = x + 3 3x = –9 y = x + 3 x = –3 –5–4–3–2–1–4–3–2–11234 12 3 yx y = x + 3x = –3 rt

als r en t •

als je in de

in. y = + 3 x = –3–3 •

af. x = –3 y = 0

s door de

x of

vervang je

is V = {( 3, 0)}

Door de gelijkstellingsmethode gebruiken, de rechte rechte hebben hetzelfde snijpunt Je vult de gevonden waarde de andere vergelijking Je leest de oplossing van het stelsel De oplossingsverzameling van het stelsel De gelijkstellingsmethode vooral aangewezen twee vergelijkingen dezelfde onbekende een eenvoudige manier apart het geval als de coëfficiënt van y gelijk

90 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 Oefeningen REEKS A 18 Los op met de gelijkstellingsmethode. a) S 4x – y = 7 y = 3x – 8 b) S 3x – y = 4 y = 4x – 6 V = V = controle: controle: ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 91 REEKS B 19 Los op met de gelijkstellingsmethode. a) S x – 3y = 4 x + 2y = 6 b) S x = 2y – 4 5y = x + 3 V = V = controle: controle: ©VANIN

92 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 20 Bepaal de coördinaat van het snijpunt van de rechten en controleer grafisch. a) S y = –3x + 6 y = 25 x – 45 b) S y = 3,5x + 4,5 y = 2x – 1,5 snijpunt: snijpunt: ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 93 2.4.2 De substitutiemethode Voorbeeld Los op: S x – 3y = –2 3x + 2y = 5 • Je plaatst een onbekende in een van de vergelijkingen apart. –3–2–1–4–3–2–11234 1234 5 yx x – 3y = –2 3x + 2y = 5 rsx = 3y – 2 3x + 2y = 5 • Je vervangt (substitueert) die onbekende in de andere vergelijking, zodat er een vergelijking in één onbekende ontstaat. Je noteert als tweede vergelijking de vergelijking waarin een onbekende werd afgezonderd. x = 3 () + 2y = 5 3y – 2 3y – 2 Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ´ x – 3y = – 2 en s ´ 3x + 2y = 5. • Je lost de vergelijking in één onbekende op. x = 3y – 2 9y – 6 + 2y = 5 x = 3y – 2 11y = 11 x = 3y – 2 y = 1 –3–2–1–4–3–2–11234 1234 5 yx x – 3y = –2 y = 1 rt Door de substitutiemethode te gebruiken, vervang je de rechte s door de rechte t ´ y = 1. r en s hebben hetzelfde snijpunt als r en t • Je substitueert de gevonden waarde voor de onbekende in de andere vergelijking. x = 3y – 2 y = 1 x = 3 – 2 y = 1 1 x = 1 y = 1 De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(1, 1)} De substitutiemethode is vooral aangewezen als je in een van de vergelijkingen een onbekende op een eenvoudige manier apart kunt plaatsen. Opmerking De gelijkstellingsmethode is een bijzonder geval van de substitutiemethode. instructiefilmpje ©VANIN

94 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 Oefeningen REEKS A 21 Los op met de substitutiemethode. a) S x = 2x + 3y = 11 3 + y b) S 3x – 2y = 4 y = 5 – 2x V = V = controle: controle: ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 95 REEKS B 22 Los op met de substitutiemethode. a) S x – 3y – 3 = 0 –2x + y = 4 b) S 2x – 7y = 5 x – 4y = –1 V = V = controle: controle: ©VANIN

96 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 23 Los op met de substitutiemethode. a) S –4x – 3y = 4 4x + 2y = 6 b) S 31 x – 41 y = 1 –4x + y = 4 V = V = controle: controle: ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 97 24 Los op met de substitutiemethode. a) S 2x + y = 3 8x + 4y = 9 b) S –3x – 9y = –6 x + 3y = 2 V = V = REEKS C 25 Gebruik een stelsel om de onderlinge ligging van de rechten r en s te bepalen. a) r ´ 2x + y = 3 s ´ 6x + 3y = 12 b) r ´ x – 4y = 6 s ´ 3x – 12y = 18 ©VANIN

98 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 2.4.3 De combinatiemethode Voorbeeld Los op: S 3x – 2y = 7(V 1 ) 2x + 3y = –4 (V 2 ) • Met de combinatie 3 V1 + 2 V2 zorg je ervoor dat de coëfficiënt van y gelijk aan 0 wordt. 3x – 2y = 7 3 2x + 3y = –4 2 9x – 6y = 21 4x + 6y = –8 13x + 0y = 13 13x = 13 x = 1 + –3–4–2–1 –1–2–3–41234 1234 yx 3x – 2y = 7 2x + 3y = –4 rs Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ´ 3x – 2y = 7 en s ´ 2x + 3y = – 4. • Met de combinatie 2 V1 – 3 V2 zorg je ervoor dat de coëfficiënt van x gelijk aan 0 wordt. 3x – 2y = 7 2 2x + 3y = –4 (–3) + 6x – 4y = 14 0x – 13y = 26 –13y = 26 y = –2 –6x – 9y = 12 –3–4–2–1 –1–2–3–41234 1234 yx 3x – 2y = 7 2x + 3y = – 4 tu rs x = 1 y = –2 Het snijpunt van de rechten r en s is gelijk aan het snijpunt van de rechte t ´ x = 1 en de rechte u ´ y = – 2. De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(1, – 2)} De combinatiemethode is (vooral) aangewezen als je de andere methoden (gelijkstellingsmethode en substitutiemethode) niet of moeilijk kunt gebruiken. Opmerking Nadat je één onbekende hebt bepaald, kun je die gebruiken om met behulp van de substitutiemethode de tweede onbekende te vinden. x = 1 2x + 3y = –4 x = 1 y = 63 x = 1 2 1 + 3y = –4 x = 1 y = –2 x = 1 3y = –4 – 2 instructiefilmpje ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 99 Oefeningen REEKS A 26 Los op met de combinatiemethode. a) S –4x – 5y = –4 2x + 3y = 2 b) S –2x + 7y = 5 10x + 6y = 16 V = V = controle: controle: ©VANIN

100 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 REEKS B 27 Los op met de combinatiemethode. a) S 2x + 3y = 7 5x + 7y = 8 b) S 4x + 7y = –8 –3x – 5y = 3 V = V = controle: controle: ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 101 28 Los op met de combinatiemethode. a) S –2,7x + 4,5y = 35,1 8,1x – 9y = –78,3 b) S 51 x + 41 y = 43 41 x + 5y = 6 V = V = controle: controle: ©VANIN

102 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 29 Los op met de combinatiemethode. a) S –3x + 4y = –7 9x – 12y = 21 b) S 3x – 8y = 3 –6x + 16y = –12 V = V = REEKS C 30 Gebruik een stelsel om de onderlinge ligging van de rechten r en s te bepalen. a) r ´ 2x + 3y = 1 s ´ 83 x + 4y = 2 b) r ´ – 5x + 11y = – 5 s ´ 3x – 8y = 3 ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 103 2.4.4 Gemengde oefeningen Modeloefening 1 Los op: S x – 3y = 19 x + 2y = –14 De coëfficiënt van x is in beide vergelijkingen 1 of – 1. Je kunt de gelijkstellingsmethode gebruiken. V = Modeloefening 2 Los op: S 2x + 5y = 2 3x – 4y = –3 De coëfficiënten van x en y zijn niet gelijk aan 1 of – 1. Je gebruikt het best de combinatiemethode. V = Modeloefening 3 Los op: S 6x – y = –10 4x + 3y = 41 De coëfficiënt van y in de eerste vergelijking is – 1. Je kunt de substitutiemethode gebruiken. V = ©VANIN

104 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 Oefeningen REEKS A 31 Los op met een methode naar keuze. a) S 3x – y = 1 5x + 2y = 9 b) S 5x + 2y = 3 2x – 4y = 6 V = V = controle: controle: ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 105 32 Los op met een methode naar keuze. a) S 6x + 5y = 1 7x + 6y = 2 b) S 3x – y = 6 2x – y = –5 V = V = controle: controle: ©VANIN

106 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 33 Los op met een methode naar keuze. a) S 4x – 7y = 8 3x – 5y = 4 b) S 5x – 3y = 1 3x + 2y = –7 V = V = controle: controle: ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 107 REEKS B 34 Los op met een methode naar keuze. a) S 2x + 5y = 1 5x – 4y = 0 b) S 4x – 8y = 9 –2x + 4y = –5 V = V = controle: controle: ©VANIN

108 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 35 Los op met een methode naar keuze. a) S 8x – 16y = –24 –2x + 4y = 6 b) S 2x – 2y = 6 3x + 4y = –5 V = V = controle: controle: ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 109 36 Los op met een methode naar keuze. a) S x –y 2 = –4 x 2 – y = 2 b) S 3x – y = 1 x – 23 y = 27 V = V = controle: controle: ©VANIN

110 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 37 Los op met een methode naar keuze. a) S x – 2y = 5 –4x + 8y = –20 b) S x + 8y = 10 3x – 24y = –40 V = V = controle: controle: ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 111 2.4.5 Vraagstukken met twee vergelijkingen in twee onbekenden Modeloefening 1 Een verkoper wil een mengsel van twee koffies op de markt brengen. De koffie van merk A kost 7 euro per kg. De koffie van merk B kost 12 euro per kg. De kostprijs van het mengsel moet 9 euro per kg bedragen.

x is y is S Antwoord: Modeloefening 2 Vier broodjes met kaas en vijf broodjes met zalm kosten samen 37 euro. Koop je drie broodjes met kaas en zeven broodjes met zalm, dan betaal je 42,05 euro. Hoeveel betaal je voor tien broodjes met kaas en vijftien met zalm?

Hoeveel kg koffie van elke soort moet de verkoper gebruiken om 250 kg te verkrijgen?

x is y is S Antwoord: instructiefilmpje ©VANIN

controle:antwoord:

39 Je betaalt 465 euro met briefjes van 5 euro en van 20 euro. Hoeveel briefjes zijn er van elk, als er in totaal 33 briefjes zijn? (zie 2.2.2)

©VANIN

Onder hoeveel deelnemers werd de winst verdeeld en hoe groot was die? (zie 2.2.1)

Als iedere deelnemer 960 000 euro krijgt, dan is er 20 000 euro over voor het goede doel.

112 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213

Als iedere deelnemer 950 000 euro krijgt, dan is er 150 000 euro over voor het goede doel.

controle:antwoord:

Oefeningen REEKS A 38 Enkele vrienden kochten samen het winnende lot van Big Bang! Ze zijn het erover eens dat ze een deel van hun winst zullen schenken aan het goede doel.

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 113 REEKS B 40 In het voorjaar kocht Wim 24 geraniums en 18 petunia’s. Zijn vrouw Lotte kocht die dag in dezelfde winkel nog eens 6 geraniums en 2 petunia’s. Wim noch zijn vrouw herinnert zich de kostprijs per stuk van elke bloemsoort. Wel weten ze nog het totaalbedrag van hun aankoop. Wim betaalde 53,40 euro en Lotte 9,60 euro. Hoeveel kostte elke bloemsoort? (zie oefening 4) controle:antwoord: 41 12 500 betalende toeschouwers wonen een voetbalwedstrijd bij. Voor een zitplaats betaal je 25 euro en voor een staanplaats 16 euro. De totale opbrengst bedraagt 237 890 euro. Hoeveel toeschouwers hebben betaald voor een zitplaats en hoeveel voor een staanplaats? (zie oefening 5) controle:antwoord: ©VANIN

42 Xavi zit op een terrasje en bekijkt wat de mensen aan de omringende tafels bestellen. Aan de ene tafel bestellen ze vier cola’s en drie glazen wijn. Ze betalen 24,95 euro.

controle:antwoord:

Aan een andere tafel bestellen ze drie cola’s en twee glazen wijn. Zij betalen 17,40 euro.

controle:antwoord:

43 Joris wil tuinverlichting installeren. De tuinarchitect doet twee voorstellen:

©VANIN

114 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213

• Drie verlichtingspaaltjes langs de oprit en twee verstralers aan de kant van de garage kosten samen 350 euro.

• Plaats je vier verlichtingspaaltjes, dan volstaat één verstraler, maar dan loopt de prijs op tot 403,75 euro. Bepaal de prijs van elk type verlichtingstoestel.

Wat is de prijs van een cola en van een glas wijn?

Hoeveel gram moet hij van elke snoepsoort gebruiken per zakje? (zie oefening 7)

45 Louis is een liefhebber van vleesetende planten. Dergelijke planten maken gebruik van vallen om aan voedsel te komen. Voor drie planten met een kleefval en vijf met een bekerval is de normale kostprijs 98,60 euro. De winkelier was echter verstrooid en verwisselde de prijzen van de planten. Daardoor kreeg Louis een voordeel van 14 euro.

©VANIN

controle:antwoord:

Hoeveel kost een plant met een kleefval en een plant met een bekerval?

44 Een snoephandelaar wil een mengeling van winegums en zuurtjes verpakken in zakjes van 340 g en ze verkopen voor de prijs van 2,50 euro. De winegums kosten 10 euro per kilogram en de zuurtjes 7 euro per kg.

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 115

controle:antwoord:

controle:antwoord: ©VANIN

46 Elise doet mee aan de WK-pronostiek voetbal en moet de eindscore van de wedstrijden voorspellen. Een juiste voorspelling levert 10 punten op. Een foute voorspelling levert 2 minpunten op. Ze zou normaal gezien 88 punten gescoord hebben, maar het telsysteem slaat tilt en rekent maar 5 punten voor een juiste voorspelling. Daardoor behaalt Elise een teleurstellende score van 2. Hoeveel eindscores heeft Elise juist voorspeld?

47 De klemspanning van een batterij is het spanningsverschil U tussen de twee polen van de batterij. Voor de klemspanning U geldt: U = Ub – Ri  I. Daarbij is Ub de bronspanning in volt, Ri de inwendige weerstand in ohm en I de stroomsterkte in ampère. Bij een stroomsterkte van 1,5 ampère is de klemspanning 10 volt. Bij een stroomsterkte van 3 ampère is de klemspanning 8 volt. Bereken de bronspanning en de inwendige weerstand van die batterij.

116 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213

Los de vraagstukken op met ICT.

c) Drie jaar geleden was Soufian drie keer zo oud als Yassine. Volgend jaar zal Soufian dubbel zo oud zijn als Yassine. Hoe oud zijn ze nu?

b) Arthur en Fenne kopen een Nintendo Switch en betalen er samen 330 euro voor. Arthur kan hem kopen als Fenne 53 van haar spaargeld bijlegt, en Fenne kan hem kopen als Arthur 94 van zijn spaargeld bijlegt. Hoeveel spaargeld heeft elk? Keuze

Antwoord:Stelsel:onbekenden:

a) Enkele leerkrachten Nederlands maakten tijdens de grote vakantie een eigen cursus. Voor het derde jaar bestaat de cursus uit 140 pagina’s en voor het vierde jaar uit 165 pagina’s. In totaal moeten er 62 075 kopieën gemaakt worden. In de tweede graad zitten 410 leerlingen. Hoeveel leerlingen zitten er in het derde jaar en hoeveel in het vierde jaar?

d) Zoek een natuurlijk getal van twee cijfers, als je weet dat de som van de cijfers gelijk is aan 11. Het cijfer van de tientallen is 3 eenheden groter dan het cijfer van de eenheden.

Antwoord:Stelsel:onbekenden:

Keuze

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 117 48

Antwoord:Stelsel:onbekenden:

©VANIN

Hoeveel bedragen die kosten? controle: 50 Een klein metaalbedrijf heeft 6 machines om bouten te modelleren, en 14 machines om bouten te bedraden. Er worden 2 types bouten geproduceerd. Om een lot (1 000 stuks) van het kleinste type te produceren, moet men 3 minuten modelleren en 8 minuten bedraden. Voor het grootste type zijn voor beide bewerkingen 8 minuten nodig.

Na hoeveel kilometer is de totale kostprijs voor beide wagens gelijk?

118 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213

REEKS C 49 Een elektrische auto wordt aangedreven door een batterij en een elektromotor. Hybrideauto’s hebben een verbrandingsmotor, op benzine of diesel, en een elektromotor. Noa wil een nieuwe auto kopen en twijfelt tussen een elektrische wagen van 48 000 euro en een hybride van 39 000 euro. De gemiddelde verbruiksprijs per km is 0,06 euro voor de elektrische versie en 0,11 euro voor de hybride.

Hoeveel loten van elk type moet men per uur produceren om de machines optimaal te benutten? (zie oefening 9) controle:

©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 119 51 Bepaal de coördinaten van de hoekpunten van driehoek ABC, waarvan de zijden gelegen zijn op de rechten: a ´ −x + 5y = 24 b ´ 3x + 4y = 4 c ´ 4x − y = 18 1 yxCAB bac 1–1 –1 • • • ©VANIN

©VANIN

120 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213

2.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen KENNEN –  + –  + ax + by = c dx + fy = e{ is de standaardvorm van een 2 x 2-stelsel • x en y noem je de onbekenden.

Als in de vergelijking ux + vy + w = 0 • u ≠ 0 en v ≠ 0, dan is het de vergelijking van een schuine rechte; ■ als u en v hetzelfde teken hebben, dan is de rechte dalend; ■ als u en v een verschillend teken hebben, dan is de rechte stijgend;

• a, b, d en f noem je de coëfficiënten.

• oneindig veel oplossingen: onbepaald stelsel (samenvallende rechten). KUNNEN –  + –  + Een stelsel herleiden naar zijn standaardvorm. Een 2 x 2-stelsel grafisch oplossen. Een 2 x 2-stelsel grafisch oplossen met ICT.

De vergelijkingen van een stelsel zijn de vergelijkingen van rechten.

STUDIEWIJZER Stelsels van vergelijkingen

• v = 0 en u ≠ 0, dan is het de vergelijking van een verticale rechte; • v = 0 en w = 0, dan is het de vergelijking van de y-as;

2.1 Algemene vergelijking van een rechte voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN –  + –  + Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0. Dat noem je de algemene vergelijking van de rechte.

• c en e noem je de constanten. KUNNEN –  + –  + De onbekenden van een vraagstuk onderscheiden en de vergelijkingen van een stelsel opstellen uit de context.

• geen oplossing: strijdig stelsel (disjuncte rechten);

• u = 0 en v ≠ 0, dan is het de vergelijking van een horizontale rechte;

Om een stelsel grafisch op te lossen, bepaal je de eventuele snijpunten van die rechten. Een 2 x 2-stelsel heeft

• u = 0 en w = 0, dan is het de vergelijking van de x-as. KUNNEN –  + –  +

Een vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s omvormen tot de vorm ux + vy + w = 0 en omgekeerd.

2.3 Een 2 x 2-stelsel grafisch oplossen KENNEN –  + –  +

• juist één oplossing: bepaald stelsel (snijdende rechten);

4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 121 2.4 Een 2 x 2-stelsel algebraïsch oplossen voor leerlingde voor leerkrachtde KUNNEN –  + –  + Een stelsel oplossen met de gelijkstellingsmethode. Een stelsel oplossen met de substitutiemethode. Een stelsel oplossen met de combinatiemethode.

Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een 2 x 2-stelsel.

Aandacht besteden aan de meest efficiënte methode om een stelsel algebraïsch op te lossen.

©VANIN

122 4 D I HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 1 2 108643579111213 Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? ❑ concreet materiaal ❑ schets ❑ schema/tabel ❑ vereenvoudig ❑ gok verstandig ❑ filter ❑ patroon ❑ kennis ❑ logisch nadenken ❑

©VANIN

2. Een rechthoek is verdeeld in negen kleinere rechthoeken.In sommige van die rechthoeken staat hun respectievelijke omtrek. Wat is de omtrek van de grote rechthoek? www.hln.be

1. Een ingeschreven vierkant 1 5 verdeelt een groter vierkant met zijde 5 in een geel vierkant en vier congruente driehoeken waarbinnen telkens een rood vierkant met zijde 1 is getekend. Wat is de oppervlakte van het gele vierkant?

6 12 4 6 8 Bron:

4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 123 HOOFDSTUK 3 I GONIOMETRIE 3.1 Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek 124 3.2 Georiënteerde hoeken 129 3.3 De goniometrische cirkel 131 3.4 Goniometrische getallen van een hoek 136 3.5 Goniometrische getallen van verwante hoeken 149 Studiewijzer 162 Pienter problemen oplossen 164 BASIS+ ©VANIN

De verhoudingen van de zijden in een rechthoekige driehoek zijn afhankelijk van de scherpe hoek.

van

Bij het oplossen van rechthoekige driehoeken gebruik je de volgende formules. ba

a +

AB Cc

a 2 + b 2 = c 2 sin a = ca cos a = bc tan a = ba sin b = bc cos b = ca tan b = ba ©VANIN

α β som van de scherpe hoeken b 90º stelling Pythagoras

BASIS+ 124 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 3.1 Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek Definitie Sinus Cosinus Tangens De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde schuinezijde De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de aanliverhoudingggenderechthoekszijdeschuinezijde

Je noemt die verhoudingen goniometrische getallen van de scherpe hoek.

De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaanderechthoekszijdeaanliggenderechthoekszijde

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 125 REKENMACHINE met de grafische rekenmachine kun je de verhoudingsgetallen sinus, cosinus en tangens van een gegeven scherpe hoek berekenen. actie knoppen scherm Selecteer de zestigdelige graad als hoekeenheid. quitmode 2 entrenterysolve Bereken de sinus van 36º. sin sin 1 E 3 L3 θ 6 L6 V ) } L entrenterysolve Bereken de cosinus van 25º 52 14 cocoss1 F 2 L2 Z 5 L5 U 2nd angleapps B 1 L1 Y 5 L5 U 2 L2 Z 2nd angleapps B 2 L2 Z 1 L1 Y 4 L4 Τ a-lockalpha memo+ “ ) } L entrenterysolve REKENMACHINE een hoek berekenen uit een goniometrisch getal. actie knoppen scherm Bereken de hoek waarvan sinuswaardede 0,8 is. Het resultaat is de decimale vorm van de hoekgrootte. 2nd sinsin1 E catalog0 [ i : 8 v P ) } L enter entry solve Zet de decimale vorm van de hoekgrootte om naar graden, minuten en seconden. 2nd angleapps B 3 enter entry solve2 Op dezelfde manier kun je een hoek berekenen uit een cosinus of uit een tangens. Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek met GeoGebra en PythonICT ©VANIN

BASIS+ 126 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 REEKSOefeningenA 1 De volgende dakconstructie is gegeven. ABC HKJ 1 2 1 234 Vul aan tot een ware uitspraak. a) sin ^ A = | AK | c) sin ^ A = | AC | e) cos = | KJ | | BK | g) ^ C = | BC | | AC | b) tan ^ B1 = | AK | d) ^ B2 = | JK | | BJ | f) cos ^ C = | KC | h) tan = | HB | | HK | 2 Bereken op 0,000 01 nauwkeurig. a) sin 69º 11 12 = c) tan 16º 17 18 = b) cos 12º 7 = d) cos 84º 56 = 3 Bereken op 1  nauwkeurig. a) sin a = 0,4 fi a = c) cos a = 0,83 fi a = b) tan a = 0,35 fi a = d) tan a = 1,3 fi a = ©VANIN

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 127 REEKS B 4 Bereken het gevraagde in de rechthoekige driehoek. Rond, indien nodig, de hoeken af op 1  en de zijden op 0,01. a) N EI 34° 72 x d) MO T 56° 12 x b) RST α 14 7 e) 15 9 DxE F c) f) 248 6 βCD ABxBDA C 260° ©VANIN

7 Tijdens de voetbaltraining neemt de Britse sterspeler Canshotwell een ongelofelijke strafschop. De bal vertrekt van de penaltystip op 11 m van het midden van het doel en belandt keihard in de rechterbovenhoek. De bal raakt nog net de binnenkant van de paal. Het doel is 2,44 m hoog en 7,32 m breed. In totaal legde de bal 11,8 m af tot hij de paal raakte. Bereken de hoek waaronder de bal vertrok. 11 E F7,32 2,44 B

©VANIN

6 In de chemieles breng je een vloeistof over met een pipet in een erlenmeyer. De lengte van de pipet is 35 cm. De erlenmeyer heeft een hoogte van 15 cm. De hoogte | CE | = 39,8 cm.

Om de vloeistof te laten uitlopen, houd je de pipet schuin, maar onder welke hoekgrootte met het horizontale oppervlak?

AC BD E

5 De structuur van een watermolecule is een gelijkbenige driehoek met het zuurstofatoom als tophoek en twee waterstofatomen. Tussen elk waterstofatoom en zuurstofatoom bestaat een covalente binding. De sinus van een basishoek is 0,612 217 28. Bereken de grootte van een basishoek en van de tophoek. Rond af op 1 nauwkeurig.

ADC

BASIS+ 128 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 129

De kleine wijzer beweegt dan over een hoek van 30º.

3.2

• is de hoek georiënteerd in wijzerzin, dan noem je de hoek negatief. Hieronder zie je twee voorstellingen van dezelfde georiënteerde hoek, want het begin- en eindbeen zijn hetzelfde. positieve oriëntatie negatieve oriëntatie A eindbeenbeginbeen A eindbeenbeginbeen Georiënteerde hoeken duid je meestal aan met kleine Griekse letters: a, b, g, d, e Het Griekse alfabet vind je bij het onlinelesmateriaal op diddit.

Een ezelsbruggetje: in het voorjaar zet je de klok vooruit en in het najaar zet je de klok achteruit. in beide gevallen meet de hoek tussen de begin- en eindpositie van de kleine wijzer 30º.

Zo wordt de overgang van zomer- naar wintertijd gekenmerkt door een georiënteerde hoek van 30º en de overgang van winter- naar zomertijd door een georiënteerde hoek van –30º.

AOB

Om de twee situaties te onderscheiden, oriënteer je de hoek. De oriëntatie gebeurt met de zin van de wijzers mee of tegen de zin van de wijzers in. Vermits je in de natuur meestal te maken hebt met de tegenwijzerzin (bijvoorbeeld bij de beweging van de planeten), kies je die zin als positief.

Definitie Georiënteerde hoek Een georiënteerde hoek is een hoek waarbij een pijl het beginbeen en het eindbeen van de hoek aanduidt. notatie: A ^ OB Je spreekt over de georiënteerde hoek A ^ OB met de halfrechte [OA als beginbeen en de halfrechte [OB als eindbeen.

©VANIN

• Bij de omschakeling van zomertijd naar wintertijd, in het najaar, van zomer- naar wintertijd moet je de klok een uur terugdraaien. De kleine wijzer beweegt dan over een hoek van 30º.

• is de hoek georiënteerd in tegenwijzerzin, dan noem je de hoek positief.

Georiënteerde hoeken Inleiding • Bij de omschakeling van wintertijd naar zomertijd, in het voorjaar, van winter- naar zomertijd moet je de klok een uur vooruitdraaien.

Geef zelf twee voorbeelden van situaties waarin de oriëntatie van een hoek noodzakelijk is.

BASIS+ 130 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 REEKSOefeningenA 8 Zijn de hoeken positief of negatief georiënteerd? γ β α ϕ ε δ η λ hoek oriëntatie jhabgdel 9 Josse staat voor een deur. Zijn de hoeken om de deur te openen, positief of negatief georiënteerd? a) b) r negatief r positief r negatief r positief 10 Zie jij de danseres volgens een hoek draaien die positief of negatief georiënteerd is? danseres r positief r negatief ©VANIN

–1

©VANIN

Definitie Goniometrische cirkel De goniometrische cirkel is de cirkel met middelpunt O en straal 1. Het assenstelsel verdeelt het vlak in vier kwadranten Oyx –1 1 1 IIIII IVI–1 Je nummert ze met romeinse cijfers, zoals op de figuur hiernaast. De assen zelf behoren niet tot een kwadrant. elke georiënteerde hoek kun je voorstellen yA α Ox –1 1 1 –1 IIIII IVI op de goniometrische cirkel:

• Het beginbeen valt samen met de positieve x-as.

• Het snijpunt A van het eindbeen van de georiënteerde hoek en de goniometrische cirkel noem je het beeldpunt van de hoek a noteer de naam van het juiste begrip in het kadertje. 1–11 III IVIII Ox y

• Het hoekpunt is altijd het middelpunt van de cirkel.

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 131 3.3 De goniometrische cirkel 3.3.1 Begrippen instructiefilmpje GeoGebra Je voorziet het vlak p van een loodrecht assenstelsel met gelijke eenheden: een orthonormaal assenstelsel. De punten E x en E y duiden de eenheid op de assen aan. Oyx –1 1 1 EyEx –1 Je noemt ze eenheidspunten in een orthonormaal assenstelsel kan de eenheid willekeurig gekozen worden. een straal gelijk aan 1 betekent dus niet dat die 1 cm lang moet zijn.

BASIS+ 132 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 3.3.2 De zestigdelige graad Om de hoekgrootte van de georiënteerde hoek a 30 45 60 150135 120 27090180 3600E Ox E yA a yxte bepalen, plaats je de getallen 0 en 360 bij E x Verder verdeel je de cirkel in 360 gelijke delen: graden (º). met het beeldpunt A van de hoek a komt juist één getal van het interval [0, 360[ overeen. Dat getal noem je het maatgetal van a Het maatgetal van a is gelijk aan 22. Je noteert: a = 22º. roteer je de halfrechte [OA verder in tegenwijzerzin, 30 45 60 150135 120 27090180 3600E Ox E yA a yx –360° –338° –270° –180° –90° 720° 450° 540° 630° 382° dan kun je de hoekgrootte 382º (22º + 360º), 742º (22º + 2 360º) … toekennen aan a Als je in wijzerzin roteert, dan komt met A ook een hoekgrootte –338º (22º – 360º), –698º (22º – 2  360º) … overeen. De georiënteerde hoek a heeft oneindig veel hoekgroottes die 360º van elkaar verschillen bij een of meerdere omwentelingen. elke georiënteerde hoek heeft juist één beeldpunt op de goniometrische cirkel. met elk punt op de goniometrische cirkel komt juist één georiënteerde hoek overeen. Algemeen Bij elk punt van de goniometrische cirkel kun je oneindig veel hoekgroottes plaatsen. Als a een van die hoekgroottes is, dan zijn de andere van de vorm a + k  360º (k Œ Z). Voorbeelden –1 1–11 b III IVIII BOx y –1 1–11 g III IVIII COx y • b = • Het beeldpunt van b is • Het beeldpunt van b ligt in kwadrant • g = • Het beeldpunt van g is • Het beeldpunt van g ligt in kwadrant ©VANIN

• aantal afgelegde rondes:

• draaihoek: De verkregen hoek heeft hetzelfde beeldpunt op de goniometrische cirkel als de nulhoek. maar 2 160º gelijkstellen aan 0º zou betekenen dat Joran niet bewogen heeft.

©VANIN

Daarom maak je een onderscheid tussen twee soorten hoeken. georiënteerde hoeken omwentelingshoeken een georiënteerde hoek wordt volledig bepaald door zijn beeldpunt op de goniometrische cirkel. een omwentelingshoek wordt volledig bepaald door zijn maatgetal. De georiënteerde hoeken a = –500º en b = –140º zijn gelijk, want ze hebben hetzelfde beeldpunt. De omwentelingshoeken a = –500º en b = –140º zijn verschillend, want hun maatgetal is niet gelijk.

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 133

in meetkundevraagstukken werk je met georiënteerde hoeken. er zijn twee mogelijkheden om te werken met een representant: • a Œ [0º, 360º[ • a Œ ]–180º, 180º[ Dat noem je de hoofdwaarde van de georiënteerde hoek. Om fysische verschijnselen met een periodiek karakter te beschrijven, werk je met omwentelingshoeken.

3.3.3 Georiënteerde hoeken en omwentelingshoeken

Voorbeeld Kim neemt plaats op dezelfde draaimolen. Het is druk en Kim maakt een ritje van 1 minuut en 35 seconden.

Voorbeeld Joran gaat naar de kermis en neemt plaats op de draaimolen. De carrousel draait één volledige ronde in twintig seconden. Over welke hoek heeft hij in totaal gedraaid in twee minuten?

Bepaal: • het aantal afgelegde rondes: • de draaihoek: • de representant van de draaihoek in [0º, 360º[: • de hoofdwaarde van de draaihoek:

BASIS+ 134 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 REEKSOefeningenA 11 Teken het beeldpunt A van de gevraagde hoek op de goniometrische cirkel. a) a = 120º c) g = –165º III IVIII 1–1 –11Ox y III IVIII 1–1 –11Ox y b) b = 225º d) d = –285º III IVIII 1–1 –11Ox y III IVIII 1–1 –11Ox y 12 In welk kwadrant ligt de gegeven hoek? a) 48º e) 220º Oyx –1 1IIIIVIII1–1 b) –48º f) –220º c) 170º g) 290º d) –170º h) –290º ©VANIN

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 135 REEKS B 13 Bepaal van de georiënteerde hoeken de representant in [0º, 360º[. a) 888º d) –3 600º 5 b) –69º e) 3 600º 5 c) –720º 5 f) 4 444º 44 44 14 Bepaal van de georiënteerde hoeken de hoofdwaarde en hun kwadrant. a) 245º f) –2 212º b) 523º 20 g) 2 140º 14 c) 930º h) –2 140º 6 15 d) –740º 20 i) 2 240º 23 56 e) 11 425º j) –4 420º 46 37 15 Bepaal de hoofdwaarde. Teken het beeldpunt A op de goniometrische cirkel. a) a = 435º c) g = 195º III IVIII 1–1 –11Ox y III IVIII 1–1 –11Ox y b) b = 300º d) d = –210º III IVIII 1–1 –11Ox y III IVIII 1–1 –11Ox y ©VANIN

BASIS+ 136 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 3.4 Goniometrische getallen van een hoek 3.4.1 Cosinus en sinus van een hoek Gegeven: een hoek a uit het eerste kwadrant met beeldpunt A yA Ax α Ox –1 1 1 –1 is het punt A x de loodrechte projectie van A op x, dan geldt in de rechthoekige driehoek OAA x cos a = = = cos a is de van A Definitie Cosinus De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel. Duid op elke goniometrische cirkel de cosinus van de gegeven hoek aan. Vul het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken of een minteken. a = 0º a Œ i a = 90º a Œ ii Oyx –1 1 1 –1 A = 0°a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a a = 180º a Œ iii a = 270º a Œ iV Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Besluit a 0º i 90º ii 180º iii 270º iV cos a Gevolg Voor een willekeurige hoek a geldt –1 £ cos a £ 1 instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 137 is het punt A y de loodrechte projectie van A op y, Ay y α Ox –1 1 1 –1 A Ax dan geldt in de rechthoekige driehoek OAA x sin a = = = sin a is de van A Definitie Sinus De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel. Duid op elke goniometrische cirkel de sinus van de gegeven hoek aan. Vul het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken of een minteken. a = 0º a Œ i a = 90º a Œ ii Oyx –1 1 1 –1 A = 0°a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a a = 180º a Œ iii a = 270º a Œ iV Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Besluit a 0º i 90º ii 180º iii 270º iV sin a Gevolg Voor een willekeurige hoek a geldt –1 £ sin a £ 1 Algemeenbesluit De coördinaat van het beeldpunt A is (cos a , sin a). Ay sin cos Ox –1 1 1 –1 a a a instructiefilmpje ©VANIN

BASIS+ 138 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 3.4.2 Grondformule tekening Ayx αOA Ay x gegeven een hoek a met beeldpunt A op de goniometrische cirkel te bewijzen cos2 a + sin2 a = 1 Stel:bewijs px (A) = Ax en py (A) = Ay in de rechthoekige driehoek OAAx geldt de stelling van Pythagoras: | OAx |2 + | AAx |2 = | OA |2 | AAx | = | OAy | | OAx |2 + | OAy |2 = | OA |2 definitie sinus en cosinus en straal goniometrische cirkel | cos a |2 + | sin a |2 = 12 een kwadraat is altijd positief (cos a)2 + (sin a)2 = 12 notatie cos 2 a + sin 2 a = 1 cosbesluit2 a + sin 2 a = 1 Die formule noem je de grondformule van de goniometrie. Gevolgen Formules cos 2 a = 1 – sin 2 a sin 2 a = 1 – cos 2 a GeoGebra ©VANIN

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 139 Goniometrische getallen berekenen vanuit het gegeven goniometrisch getal en het gegeven kwadrant Voorbeeld 1 Gegeven: sin a = 41 en a ligt in het tweede kwadrant. Bereken cos a cos 2 a = 1 – sin 2 a = 1 – 41 2 = 1 – 161 = 1616 – 161 = 1615 2 cos a = 1615 (a Œ ii) 2 = 415 Voorbeeld 2 Gegeven: cos a = 55 en a ligt in het derde kwadrant. Bereken sin a sin 2 a = 1 – cos 2 a = 1 – –55 2 = 1 – 255 = 1 – 51 = 45 sin a = 45 (a Œ iii) = 25 55 = 255 ©VANIN

BASIS+ 140 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 3.4.3 Tangens van een hoek Definitie Tangens tan a = sin a cos a als cos a ≠ 0 Gevolgen van de definitie • Voor welke hoeken is de tangens niet gedefinieerd? • De waarde van de tangens kan elk reëel getal zijn. Meetkundige betekenis van de tangens Je bepaalt de vergelijking van de rechte OA door O(0, 0) en A(cos a, sin a): yAT t E Ex y α Ox –1 1 1 –1 TyOA ´ y – y 1 = y 2 – y 1 x 2 – x 1 (x – x 1 ) ¤ y – 0 = sin a – 0 cos a – 0 (x – 0) ¤ y = sin a cos a x Je vult de coördinaat van het punt T (1, y) in: y = sin a cos a 1 = sin a cos a = tan a Besluit De tangens van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het snijpunt van de raaklijn in het punt E x (1, 0) aan de goniometrische cirkel en het eindbeen van de hoek. Duid op elke goniometrische cirkel de tangens van de gegeven hoek aan. Vul het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken of een minteken. a = 0º a Œ i a = 90º a Œ ii Oyx –1 1 1 –1 tA= 0°a Oyx –1 1 1 –1 t A a Oyx –1 1 1 –1 At a Oyx –1 1 1 –1 At a a = 180º a Œ iii a = 270º a Œ iV Oyx –1 1 1 –1At a Oyx –1 1 1 –1 At a Oyx –1 1 1 –1 Ata Oyx –1 1 1 –1 t a A Besluit a 0º i 90º ii 180º iii 270º iV tan a instructiefilmpje ©VANIN

Vul

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 141 3.4.4 Cotangens van een hoek Definitie Cotangens cot a = cos a sin a als sin a ≠ 0 Gevolg cot a = 1 tan a als tan a ≠ 0 • Voor welke hoeken is de cotangens niet gedefinieerd? • De waarde van de cotangens kan elk reëel getal zijn. Meetkundige betekenis van de cotangens Je bepaalt de vergelijking van de rechte OA door O(0, 0) en A(cos a, sin a): yATt α Ox –1 1 1 –1 Tx OA ´ y – y 1 = y 2 – y 1 x 2 – x 1 (x – x 1 ) ¤ y – 0 = sin a – 0 cos a – 0 (x – 0) ¤ y = sin a cos a x Je vult de coördinaat van het punt T (x, 1) in: 1 = sin a cos a x ¤ cos a sin a = x ¤ cot a = x Besluit De cotangens van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het snijpunt van de raaklijn in het punt E y (0, 1) aan de goniometrische cirkel en het eindbeen van de hoek.

a = 0º a Œ i a = 90º a Œ ii Oyx –1 1 1 –1 t A = 0°a Oyx –1 1 1 –1 At a Oyx –1 1 1 –1 At a Oyx –1 1 1 –1 At a a = 180º a Œ iii a = 270º a Œ iV Oyx –1 1 1 –1At a Oyx –1 1 1 –1 At a Oyx –1 1 1 –1 Ata Oyx –1 1 1 –1 t a A Besluit a 0º i 90º ii 180º iii 270º iV cot a instructiefilmpje ©VANIN

Duid op elke goniometrische cirkel de cotangens van de gegeven hoek aan. het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken een minteken.

Voorbeeld 1 Bereken de hellingshoek a van de rechte met vergelijking y = 2x + 3.

• Teken de rechte a met vergelijking y = 2x Wat is de richtingscoëfficiënt van de rechte a?

Voorbeeld 2 Bepaal de vergelijking van de rechte r die door A (3, –1) gaat en een hoek a van 135º maakt met de x-as.

–13210 ctx

• Teken de rechte b met vergelijking y = 2x + 3. Wat is de richtingscoëfficiënt van de rechte b?

BASIS+ 142 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 3.4.5 Verband tussen hellingshoek en richtingscoëfficiënt Definitie Hellingshoek De hellingshoek a van een rechte is de georiënteerde hoek tussen die rechte en de x-as.

©VANIN

• Teken de hellingshoek a van de rechte a • Lees de coördinaat af van het snijpunt van de rechten a en t: Wat is de tangens van de hoek a?

• Teken de hellingshoek a van de rechte b Besluit: rc a rc b tan a 1–1 y eigenschap In een orthonormaal assenstelsel is de tangens van de hellingshoek van een rechte gelijk aan de richtingscoëfficiënt van die rechte.

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 143 REEKSOefeningenA 16 Teken het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel. Schat de goniometrische getallen op 0,1 nauwkeurig. a) a = 45º met beeldpunt A yx1 1–1 O –1 cos a ª sin a ª tan a ª b) b = –90º met beeldpunt B cos b ª sin b ª tan b ª c) g = 120º met beeldpunt C cos g ª sin g ª tan g ª d) d = –130º met beeldpunt D 1 1 Oyx–1 –1 cos d ª sin d ª tan d ª e) e = –210º met beeldpunt E cos e ª sin e ª tan e ª f) j = 315º met beeldpunt F cos j ª sin j ª tan j ª ©VANIN

BASIS+ 144 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 REEKS B 17 Teken op de goniometrische cirkel de beeldpunten A 1 en A 2 van de hoek a, zoals in voorbeeldoefening a. a) sin a = 43 e) sin a = 25 1 1 Oyx –1 –1 AA1 2 1 1 Oyx –1 –1 b) cos a = 21 f) cos a = 0,6 1 1 Oyx –1 –1 1 1 Oyx –1 –1 c) tan a = 1,5 g) tan a = –0,8 1 1 Oyx –1 –1 1 1 Oyx –1 –1 d) cot a = 53 h) cot a = 0,8 1 1 Oyx –1 –1 1 1 Oyx –1 –1 ©VANIN

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 145 18 Bereken, zonder rekenmachine, de sinus of de cosinus en de tangens voor de hoek in het gegeven kwadrant. a) cos a = 31 en a Œ iV c) sin a = 0,25 en a Œ i b) sin a = 22 en a Œ iV d) cos a = 23 en a Œ iV 19 Bepaal het teken van de goniometrische getallen. a cos a sin a tan a cot a a) 100o b) –50o c) 250o d) 50o e) –220o ©VANIN

BASIS+ 146 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 20 Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de coördinaatgetallen van de hoekpunten van de regelmatige negenhoek ingeschreven in de goniometrische cirkel. yxDCBA OE co (A) co (B) co (C) co (D) co (E) ===== 21 Bereken de hellingshoek van de rechten met de onderstaande vergelijking. Bepaal je antwoord op 1 nauwkeurig. richtingscoëfficiënt hellingshoek a) y = 2x – 3 b) y = 3x + 4 c) y = –x + 6 d) y = 5 – 4x e) y = –3 x f) y = 53 x + 2 22 Langs de weg zie je een verkeersbord staan dat aangeeft dat de weg 10 % stijgt. Wat is de hellingshoek die het wegdek maakt met de horizontale? Bepaal je antwoord op 1  nauwkeurig. ©VANIN

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 147 23 In een mijn zitten na het instorten van de verticale schacht een aantal mijnwerkers 150 m onder de grond vast. Om ze te bevrijden, moeten de reddingswerkers een nieuwe schacht boren. Onder welke hoek moet de nieuwe schacht gegraven worden, als ze op 500 m van de oude verticale schacht de graafwerken beginnen? Bepaal je antwoord 1 nauwkeurig. REEKS C 24 Bepaal zonder rekenmachine of de uitdrukkingen juist of fout zijn. a) sin 60º < cos 60º c) sin (–20º) < cos (–20º) 1–1 –11Ox y 1–1 –11Ox y r juist r fout r juist r fout b) tan 20º > tan 140º d) tan 45º = 1 1–1 –11Ox y 1–1 –11Ox y r juist r fout r juist r fout 500 150 ©VANIN

BASIS+ 148 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213

25 Bepaal de vergelijking van de rechte. Rond de richtingscoëfficiënt af op 0,1.

b) Van een rechte b zijn de hellingshoek a = 56º 18 36 en een punt P (0, 8) gegeven. e) Van een rechte e zijn de hellingshoek a = 83º 39 35 en een punt P (3, –1) gegeven.

a) Van een rechte r zijn de hellingshoek a = 45º en een punt P (3, 1) gegeven. d) Van een rechte d zijn de hellingshoek a = –63º 26 6 en een punt P (1, 2) gegeven.

©VANIN

c) Van een rechte c zijn de hellingshoek a = –11º 18 36 en een punt P (3, 0) gegeven. f) Van een rechte f zijn de hellingshoek a = 71º 33 54 en een punt P (2, 5) gegeven.

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 149 3.5 Goniometrische getallen van verwante hoeken 3.5.1 Inleiding Teken de beeldpunten van de hoeken en geef de hoekgrootte. 1 1 Oyx beeldpunt hoek a) a1 in i met sin a1 = 0,50 A 1 b) a2 in ii met sin a2 = 0,50 A 2 c) b1 in i met cos b1 = 0,50 B 1 d) b2 in iV met cos b2 = 0,50 B 2 verband tussen de hoeken benaming b1 en b2 a1 en a2 a1 en b1 3.5.2 Gelijke hoeken Definitie Gelijke hoeken Twee georiënteerde hoeken zijn gelijk als hun maatgetallen, op een veelvoud van 360 na, aan elkaar gelijk zijn. In symbolen a = b ¤ b = a + k  360º met k Œ Z Gelijke hoeken hebben hetzelfde beeldpunt op de goniometrische cirkel. Besluit cos (a + k 360º) = cos a sin (a + k 360º) = sin a tan (a + k 360º) = tan a cot (a + k 360º) = cot a GeoGebra ©VANIN

BASIS+ 150 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 3.5.3 Tegengestelde hoeken Definitie Tegengestelde hoeken Twee georiënteerde hoeken zijn tegengesteld als hun som de nulhoek is. In symbolen a en b zijn tegengesteld ¤ a + b = 0º + k 360º = k 360º of ook b is het tegengestelde van a ¤ b = –a + k 360º Voorbeelden (geef telkens drie verschillende hoekgroottes) –30º is een tegengestelde van 45º is een tegengestelde van noem A en A de beeldpunten van de tegengestelde hoeken a en –a 1–1 –11Oyx a A A a Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A? Besluit De beeldpunten van tegengestelde hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de x-as. Goniometrische getallen van tegengestelde hoeken 1–1 –11 Oyx a a A AA y AyAx=Ax 1–1 –11 Oyx a a A SAT T S ttT TxSy xS y Besluit cos (–a) = cos a sin (–a) = –sin a tan (–a) = –tan a cot (–a) = –cot a instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 151 3.5.4 Supplementaire hoeken Definitie Supplementaire hoeken Twee georiënteerde hoeken zijn supplementair als hun som de gestrekte hoek is. In symbolen a en b zijn supplementair ¤ a + b = 180º + k 360º of ook b is het supplement van a ¤ b = 180º – a + k 360º Voorbeelden (geef telkens drie verschillende hoekgroottes) 30º is een supplement van 135º is een supplement van noem A en A de beeldpunten van de supplementaire hoeken a en 180º – a 1–1 –11Oyx a AA a180° –Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A? Besluit De beeldpunten van supplementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de y-as. Goniometrische getallen van supplementaire hoeken 1–1 –11Oyx a a180° –AA Ay=AyA Ax x 1–1 –11 Oyx a SAAT T S a180° –ttT Sx xS y T y Besluit cos (180º – a) = –cos a sin (180º – a) = sin a tan (180º – a) = –tan a cot (180º – a) = –cot a instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

BASIS+ 152 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 3.5.5 Antisupplementaire hoeken Definitie Antisupplementaire hoeken Twee georiënteerde hoeken zijn antisupplementair als hun verschil de gestrekte hoek is. In symbolen a en b zijn antisupplementair ¤ b – a = 180º + k 360º of ook b is het antisupplement van a ¤ b = 180º + a + k 360º Voorbeelden (geef telkens drie verschillende hoekgroottes) 30º is een antisupplement van –45º is een antisupplement van noem A en A de beeldpunten van de antisupplementaire hoeken a en 180º + a 1–1 –11Oyx a A A a180° + Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A? Besluit De beeldpunten van antisupplementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de oorsprong. Goniometrische getallen van antisupplementaire hoeken 1–1 –11Oyx a a180° + AA A yAyA Ax x 1–1 –11Oyx a AT=Sa180° + ttT=S ATx=S Tx y =S y Besluit cos (180º + a) = –cos a sin (180º + a) = –sin a tan (180º + a) = tan a cot (180º + a) = cot a instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 153 3.5.6 Complementaire hoeken Definitie Complementaire hoeken Twee georiënteerde hoeken zijn complementair als hun som de rechte hoek is. In symbolen a en b zijn complementair ¤ a + b = 90º + k 360º of ook b is het complement van a ¤ b = 90º – a + k 360º noem A en A de beeldpunten van de complementaire hoeken a en 90º – a. 1–1 –11 yx O A a A a90° –Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A? Besluit De beeldpunten van complementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant. Goniometrische getallen van complementaire hoeken 1–1 –11Oyx a AA a90° –AxA Ax y A y 1–1 –11Oyx a AA ST ttS a90° –T T SxTx y S y Besluit cos (90º – a) = sin a sin (90º – a) = cos a tan (90º – a) = cot a cot (90º – a) = tan a instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

BASIS+ 154 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 3.5.7 Anticomplementaire hoeken Definitie Anticomplementaire hoeken Twee georiënteerde hoeken zijn anticomplementair als hun verschil de rechte hoek is. In symbolen a en b zijn anticomplementair ¤ b – a = 90º + k 360º of ook b is het anticomplement van a ¤ b = 90º + a + k 360º noem A en A de beeldpunten van de anticomplementaire hoeken a en 90º + a. 1–1 –11 yx O A a AA a90° +Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A? Besluit De beeldpunten van anticomplementaire hoeken vind je door ze te spiegelen ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant en ze daarna te spiegelen ten opzichte van de y-as. Goniometrische getallen van anticomplementaire hoeken 1–1 –11Oyx a AA a90° + A AxAyA Ax y 1–1 –11Oyx a AAAT ST ttS a90° + T Sx xTy S y Besluit cos (90º + a) = –sin a sin (90º + a) = cos a tan (90º + a) = –cot a cot (90º + a) = –tan a instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 155 Samenvatting Gelijke hoeken cos (a + k 360º) = cos a sin (a + k 360º) = sin a tan (a + k  360º) = tan a cot (a + k  360º) = cot a Tegengestelde hoeken 1–1 –11 Oyx a A A a–De beeldpunten van tegengestelde hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de x-as. cos (–a) = cos a sin ( a) = sin a tan ( a) = tan a cot ( a) = cot a Supplementaire hoeken 1–1 –11 Oyx a AA a180° –De beeldpunten van supplementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de y-as. cos (180º – a) = – cos a sin (180º – a) = sin a tan (180º – a) = tan a cot (180º – a) = cot a ©VANIN

BASIS+ 156 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 Antisupplementaire hoeken 1–1 –11Oyx a A A a180° + De beeldpunten van antisupplementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de oorsprong. cos (180º + a) = – cos a sin (180º + a) = sin a tan (180º + a) = tan a cot (180º + a) = cot a Complementaire hoeken 1–1 –11 yx O a A A a90° –

De beeldpunten van complementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant. cos (90º – a) = sin a sin (90º – a) = cos a tan (90º – a) = cot a cot (90º – a tan A AA De beeldpunten van anticomplementaire hoeken vind je door ze te spiegelen ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant en ze daarna te spiegelen ten opzichte van de y-as. cos (90º + a) = – sin a sin (90º + a) = cos a tan (90º + a) = cot a cot (90º + a tan

) =

a ©VANIN

a Anticomplementaire hoeken 1–1 –11 yx O a

) =

a90° +

Vind je één oplossing, dan is de tegengestelde hoek ook een oplossing. Je vindt alle oplossingen door een willekeurig veelvoud van 360º op te tellen. tegengestelde van 104º 28 is –104º dus a 104º k 360º (k –104º k 360º (k sin a = Supplementaire0,4 hoeken hebben dezelfde sinus.

Œ Z) of a =

28 39 +

Œ Z) 1–1 –11 yx O •

Vind je één oplossing, dan is de supplementaire hoek ook een oplossing. Je vindt alle oplossingen door een willekeurig veelvoud van 360º op te tellen. een supplement van 23º 34 41 is 180º – 23º 41 = 156º 25 19 dus a = 23º 34 41 + k  360º (k Œ Z) of a = 156º 25 19 + k 360º (k Œ Z) 1–1 –11 yx O • tan a = Antisupplementaire4 hoeken hebben dezelfde tangens. Vind je één oplossing, dan is de antisupplementaire hoek ook een oplossing. Je vindt alle oplossingen door een willekeurig veelvoud van 360º op te tellen. 1–1 1 –1 yx Oteen antisupplement van 75º 57 50 is 180º + 75º 57 50 = 255º 57 50 hoofdwaarde: –104º 2 10 dus a = 75º 57 50 + k 360º (k Œ Z) of a = –104º 2



34

10 + k  360º (k Œ Z) • cot a = 2 Je vormt de opgave met de cotangens om naar een opgave met de tangens. De verdere werkwijze is hetzelfde als bij het vorige voorbeeld. Als cot a = 2, dan is tan a = 21 een antisupplement van 26º 33 54 is 180º + 26º 33 54 = 206º 33 54 hoofdwaarde: –153º 26 6 dus a = 26º 33 54 + k 360º (k Œ Z) of a = –153º 26 6 + k  360º (k Œ Z) 1–1 –11 yx Ot GeoGebra ©VANIN

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 157 3.5.8 Alle hoeken vanuit een goniometrisch getal berekenen Voorbeelden • cos a = Tegengestelde–0,25 hoeken hebben dezelfde cosinus.

 39

28 39

28 39 +

een

26 Geef van elke hoek de hoofdwaarde van de hoek die de gevraagde verwantschap oplevert. hoek tegengesteld supplementair supplementairanti- complementair complementairantia) 25º b) –75º c) –110º d) 240º e) 305º f) –355º 27 Wat is de verwantschap tussen de gegeven hoeken? a) 25º en –295º zijn g) –25º en 65º zijn b) –25º en –205º zijn h) 35º en 685º zijn c) 105º en 75º zijn i) 50º en 490º zijn d) 30º en –690º zijn j) 470º en 380º zijn e) 30º en –150º zijn k) 256º en –284º zijn f) –330º en 420º zijn l) 170º en 190º zijn Transformaties en coördinaten yx E Ex yA(x, y) B(x, –y) C(–x, y) D(–x, –y) F(y, x)G(–y, x) O

• Bij een spiegeling ten opzichte van de oorsprong veranderen beide coördinaatgetallen van teken.

©VANIN

BASIS+ 158 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 REEKSOefeningenA

• Bij een spiegeling ten opzichte van de x-as blijft het eerste coördinaatgetal gelijk en verandert het tweede coördinaatgetal van teken.

• Bij een spiegeling ten opzichte van de y-as verandert het eerste coördinaatgetal van teken en blijft het tweede coördinaatgetal gelijk.

• Bij een spiegeling ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant worden de coördinaatgetallen van plaats verwisseld.

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 159 REEKS B 28 Bepaal de hoek a op 1 nauwkeurig. Geef alle oplossingen. a) sin a = 43 yx 1–1 –110 b) cos a = 21 yx 1–1 –110 c) sin a = 22 yx 1–1 –110 d) tan a = 2 yx 1–1 –110 e) cot a = 31 yx 1–1 –110 ©VANIN

BASIS+ 160 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 29 Bepaal de hoek a op 1 nauwkeurig. Geef alle oplossingen. a) cos a = –0,8 yx 1–1 –110 b) sin a = 0,3 yx 1–1 –110 c) cos a = 23 yx 1–1 –110 d) tan a = 3 yx 1–1 –110 e) tan a = –1 – 3 yx 1–1 –110 ©VANIN

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 161 30 Gegeven: ABCD is een parallellogram en CE ^ AB. Vul aan, zodat je volgens de figuur een ware uitspraak verkrijgt. AEB DC 1 a) cos ^ B = ^ C 1 b) cos ^ B = ^ A c) cos ^ B = ^ D d) –tan ^ A = ^ D e) sin ^ A = ^ B f) –cos ^ C 1 = ^ B REEKS C 31 Bepaal de georiënteerde hoek die de laserstraal met de x-as maakt. 987654321 1O 3456789 102–3–4–5–6 –1–2 AyBx F E laserstraal AE: laserstraal BF: Het woord ‘laser’ komt van het engelse Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, wat je letterlijk kunt vertalen als ‘lichtversterking door gestimuleerde uitzending van straling’. een laser is dus een lichtbron, maar anders dan bij andere lichtbronnen zendt een laser zijn licht niet uit in verschillende richtingen. een laser kan een smalle coherente bundel licht voortbrengen. ©VANIN

De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel. De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel.

Voor een willekeurige hoek a definieer je: cot a = cos a sin a als sin a ≠ 0

3.1 Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN –  + –  + De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde schuine zijde . De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding aanliggende rechthoekszijde schuine zijde De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde

BASIS+ 162 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 STUDIEWIJZER Goniometrie

3.3 De goniometrische cirkel KENNEN  +  + De goniometrische cirkel is de cirkel met middelpunt O en straal 1. KUNNEN  +  + een georiënteerde hoek voorstellen door zijn beeldpunt op de goniometrische cirkel. De hoofdwaarde van een hoek bepalen.

Gevolg: cot a = 1 tan a als tan a ≠ 0. De cotangens van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het snijpunt van de raaklijn in het punt Ey (0, 1) aan de goniometrische cirkel en het eindbeen van de hoek.

3.4 Goniometrische getallen van een hoek KENNEN  +  +

©VANIN

3.2 Georiënteerde hoeken KENNEN  +  + een georiënteerde hoek is een hoek waarbij een pijl het beginbeen en het eindbeen van de hoek aanduidt.

Grondformule:cos2 a + sin 2 a = 1 Afgeleide formules: cos 2 a = 1 – sin 2 a sin 2 a = 1 – cos 2 a Voor een willekeurige hoek a definieer je: tan a = sin a cos a als cos a ≠ 0 De tangens van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het snijpunt van de raaklijn in het punt Ex (1, 0) aan de goniometrische cirkel en het eindbeen van de hoek.

KUNNEN  +  +

met de rekenmachine de goniometrische getallen van een hoek kunnen berekenen. een hoek tekenen aan de hand van een goniometrisch getal.

3.5 Goniometrische getallen van verwante hoeken KENNEN  +  +

De hellingshoek a van een rechte is de georiënteerde hoek tussen die rechte en de x-as. in een orthonormaal assenstelsel is de tangens van de hellingshoek van een rechte gelijk aan de richtingscoëfficiënt van die rechte.

BASIS+ 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 163 voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  +

©VANIN

De goniometrische getallen schatten bij een getekende hoek. Uit een goniometrisch getal van een hoek de andere goniometrische getallen afleiden. De hellingshoek van een rechte bepalen.

Twee georiënteerde hoeken zijn gelijk als hun maatgetallen, op een veelvoud van 360 na, aan elkaar gelijk zijn. Gelijke hoeken hebben gelijke goniometrische getallen. Twee georiënteerde hoeken zijn tegengesteld als hun som de nulhoek is. cos (–a) = cos a sin (–a) = –sin a tan (–a) = –tan a cot (–a) = –cot a Twee georiënteerde hoeken zijn supplementair als hun som de gestrekte hoek is. cos (180o – a) = –cos a sin (180o – a) = sin a tan (180o – a) = –tan a cot (180o – a) = –cot a Twee georiënteerde hoeken zijn antisupplementair als hun verschil de gestrekte hoek is. cos (180o + a) = –cos a sin (180o + a) = –sin a tan (180o + a) = tan a cot (180o + a) = cot a Twee georiënteerde hoeken zijn complementair als hun som de rechte hoek is. cos (90o – a) = sin a sin (90o – a) = cos a tan (90o – a) = cot a cot (90o – a) = tan a Twee georiënteerde hoeken zijn anticomplementair als hun verschil de rechte hoek is. cos (90o + a) = –sin a sin (90o + a) = cos a tan (90o + a) = –cot a cot (90o + a) = –tan a KUNNEN  +  + een verwantschap tussen twee hoeken herkennen. De relaties tussen de goniometrische getallen van een hoek onderling en tussen die van verwante hoeken gebruiken. met de rekenmachine hoeken terugzoeken waarvan een goniometrisch getal gegeven is.

BASIS+ 164 4 D I HOOFDSTUK 3 I G O ni O me T r ie 21 3 10864579111213 Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? ❑ concreet materiaal ❑ schets ❑ schema/tabel ❑ vereenvoudig ❑ gok verstandig ❑ filter ❑ patroon ❑ kennis ❑ logisch nadenken ❑

1. De directrice vindt glas recycleren belangrijk in haar school. Het glas is ofwel wit, ofwel gekleurd. Ze krijgt drie verschillende glastransformatoren. Twee van de glastransformatoren kunnen elk twee stuks recycleerbaar glas verwerken. De derde transformator kan één stuk recycleerbaar glas verwerken. Deze machine produceert enkel wit glas als er twee witte stukken glas in gelegd worden. elke andere combinatie levert gekleurd glas op. Deze machine produceert enkel gekleurd glas als er twee gekleurde stukken glas in gelegd worden. elke andere combinatie levert wit glas op. Deze machine transformeert gekleurd glas in wit glas en wit glas in gekleurd glas. De directrice bedacht het volgende systeem: X Y Z T Welk soort glas moet de directrice in de machine leggen op de punten X, Y, Z en T, zodat er enkel nog wit glas uitkomt? X Y Z T A wit wit gekleurd wit B gekleurd gekleurd gekleurd wit C wit gekleurd gekleurd wit D gekleurd gekleurd wit gekleurd

CaïroMoskou Kuala Lumpur Om haar CO2-uitstoot te verminderen en op die manier een steentje bij te dragen aan het klimaat, wil de maatschappij enkele van haar routes schrappen, maar op zo’n manier dat haar klanten nog altijd naar dezelfde steden kunnen vliegen. (Als ze bijvoorbeeld de route tussen San Francisco en Washington schrapt, kunnen klanten nog altijd van San Francisco naar Washington vliegen via new York.) Hoeveel routes kan de maatschappij schrappen? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2019

Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2019 2. een luchtvaartmaatschappij biedt vluchten aan tussen verschillende wereldsteden, zoals afgebeeld in dit schema. Washington, D.C. San Francisco New York Londen Parijs

©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 165 HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN 4.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende 166 4.2 Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen 169 4.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen 178 4.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking 193 4.5 Vraagstukken 198 Studiewijzer 208 Problemen uit JWO 210 ©VANIN

• Plaats alle termen met de onbekende in het ene lid en alle andere termen in het andere lid.

• Opstellen van de vergelijking:

• Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende, als die niet nul is.

• Keuze van de onbekende: Stel: de breedte is x. De lengte is dan

4.1.1 Inleiding

• Werk, indien nodig, eerst de haakjes uit.

• Werk beide leden uit.

©VANIN

• antwoord: • Controle: een aantal probleemstellingen kun je oplossen met behulp van een vergelijking van de eerste graad in één onbekende. Die techniek leerde je al in het tweede en derde jaar.

Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende Boer jelle bakent een rechthoekig stuk weiland af met een lint van 134 meter. Bereken de afmetingen van dat stuk weiland, als je weet dat de lengte 7 meter groter is dan de breedte.

166 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 4.1

Oplossing

werkwijze Om een vergelijking van de eerste graad in één onbekende op te lossen, ga je als volgt te werk:

• antwoord: • Controle:

De bovenstaande probleemstelling kun je niet oplossen met een vergelijking van de eerste graad in één onbekende. je stelt een vergelijking van de tweede graad in één onbekende op.

Voorbeeld van een rechthoekige driehoek is de ene rechthoekszijde dubbel zo lang als de andere. Bereken de lengte van de twee rechthoekszijden, als je weet dat de oppervlakte 144 cm2 bedraagt.

©VANIN

Oplossing • Keuze van de onbekende: Stel: de kortste rechthoekszijde is x. De langste rechthoekszijde is dan • Opstellen van de vergelijking: Slechts een van de verkregen oplossingen heeft betekenis, namelijk

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 167 4.1.2

168 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 4.1.3 Tweedegraadsvergelijkingen Definitie Tweedegraadsvergelijking Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, met a Œ R0 en b, c Œ R. andere benamingen zijn vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking. waarom mag a niet gelijk zijn aan 0? De coëfficiënten b en c mogen wel 0 zijn. in dat geval spreek je van een onvolledige tweedegraadsvergelijking Voorbeelden a) Plaats een vinkje bij de tweedegraadsvergelijkingen. b) noteer bij elke tweedegraadsvergelijking de coëfficiënten a, b en c c) Duid met een kruisje aan welke tweedegraadsvergelijkingen volledig of onvolledig zijn. a b c volledig onvolledig r 2x 2 – 3x + 1 = 0 r r r 4x – 6 = x + x 2 r r r (2x – 3) (x + 4) = 7x + 2x 2 r r r (3 – 3x)  (2 + x) = 7 – 3x r r r 2x  (x – 2) = x + 3x 2 r r ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 169 4.2 Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen 4.2.1 Vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0) Inleiding van een product naar een som van een som naar een product 2x (x + 1) = x 2 – 9x = x x (–x + 3) = –7x 2 + 2x = x 10x  (–10 + x) = 8x + x 2 = x  De distributieve eigenschap laat je toe om een gemeenschappelijke factor buiten de haakjes te plaatsen. Die methode kun je gebruiken om onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op te lossen. Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 2x 2 – 7x = 0 4 x 2 – 16 x = 0 x  (2x – 7) = 0 een product is nul als een van de factoren nul is. x = 0 of 2x – 7 = 0 x = 0 of 2x = 7 x = 0 of x = 27 V = 0, 27 {} let op! wat is er verkeerd aan de volgende methode? 2x 2 – 7x = 0 2x 2 = 7x 2x = 7 x = 27 V = 27 {} algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0) op te lossen, kun je de gemeenschappelijke factor x afzonderen en elk van de factoren gelijkstellen aan nul. ©VANIN

170 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 4.2.2 Vergelijkingen van de vorm ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0) Inleiding van een product naar een som van een som naar een product (x + 1)  (x – 1) = x 2 – 9 = (x – 6)  (x + 6) = 16 – x 2 = (–4 – x) (–x + 4) = –25 + x 2 = Het merkwaardig product (a + b)  (a – b) = a 2 – b 2 laat je toe om het verschil van twee kwadraten te schrijven als een product. Ook die methode kun je gebruiken om onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op te lossen. Voorbeeld 1 9x 2 – 16 = 0 methode 1 methode 2 (3x + 4) (3x – 4) = 0 3x + 4 = 0 of 3x – 4 = 0 3x = – 4 of 3x = 4 x = 43 of x = 43 V = 43 , 43 {} 9x 2 = 16 x 2 = 169 x = 169 of x = 169 x = 43 of x = 43 V = 43 , 43 {} Voorbeeld 2 3x 2 – 12 = 0 methode 1 methode 2 3 x + 12 () 3 x – 12 () = 0 3 x + 12 = 0 of 3 x – 12 = 0 3 x = –12 of 3 x = 12 x = 123 of x = 123 x = –2 of x = 2 V = {–2, 2} 3x 2 = 12 x 2 = 4 x = –4 of x = 4 x = –2 of x = 2 V = {–2, 2} ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 171 Voorbeeld 3 –2x 2 – 8 = 0 methode 1 methode 2 –2x 2 – 8 = 0 Het linkerlid is geen verschil van twee kwadraten en dus niet ontbindbaar volgens deze methode. V = ∆ –2x 2 = 8 x 2 = –4 Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen. V = ∆ algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0) op te lossen, kun je gebruikmaken van de volgende methodes: • de formule van het verschil van twee kwadraten: a 2 – b 2 = (a + b)  (a – b); • de definitie van een vierkantswortel. 4.2.3 Vergelijkingen van de vorm ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0) Voorbeeld –2x 2 = 0 x 2 = 0 x = 0 V = {0} algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0) op te lossen, kun je gebruikmaken van de definitie van een vierkantswortel. Er is telkens maar één oplossing: 0. een veelterm schrijven als het product van twee of meerdere factoren, noem je ontbinden in factoren De veelterm 3x 2 + 5x kun je ontbinden in twee factoren en noteren als 3x 2 + 5x = x  (3x + 5). je noemt die veelterm ontbindbaar instructiefilmpje ©VANIN

172 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 Oefeningen REEKS A 1 Los de onvolledige vergelijkingen op door een gemeenschappelijke factor af te zonderen. a) 15x 2 – 3x = 0 e) 4x – 12x 2 = 0 b) 5x 2 – 8x = 0 f) –12x 2 – 15x = 0 c) 3x 2 + 4x = 0 g) 81x 2 + 27x = 0 d) –10x 2 + 6x = 0 h) –25x 2 – 12x = 0 ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 173 2 Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op. verschil van twee kwadraten definitie vierkantswortel a) 4x 2 – 9 = 0 b) x 2 – 16 = 0 c) 36x 2 – 25 = 0 d) –1 + 49x 2 = 0 e) 4 + 81x 2 = 0 ©VANIN

174 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 REEKS B 3 Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op. a) 3x 2 – 9x = 0 g) –16x 2 = 4 b) 5x 2 – 20 = 0 h) 2x 2 = 9x c) 2x 2 + 16 = 0 i) –16x 2 = –9 d) 12x 2 + 4x = 0 j) –4 – 3x 2 = 0 e) –2x 2 + 5x = 0 k) 3x = –8x 2 f) –25x 2 + 9 = 0 l) –16x 2 = 4x ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 175 4 Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op. a) 2x 2 – 21 = 0 f) 27 x 2 = 4x b) 43 x 2 + 21 x = 0 g) 89 + 21 x 2 = 0 c) 65 x 2 + 23 x = 0 h) 45 x 2 = 71 x 2 d) 51 x 2 – 4 = 0 i) 83 x 2 = 163 e) 35 x 2 = 0 j) 115 x 2 = 31 x ©VANIN

©VANIN

176 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213

5 De lengte van een rechthoekig stuk land is driemaal de breedte. De oppervlakte is 1 875 m2 Bereken de afmetingen van dat stuk land.

7 Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 243 m2 groter. Bereken de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

6 Een projectiel wordt vanaf de grond verticaal omhooggeschoten. De hoogte h (in m) die het bereikt na t seconden wordt gegeven door de formule h = 90t − 5t 2. Na hoeveel seconden zal het projectiel opnieuw op de grond vallen?

De getallen werden voorgesteld als 5 – x en 5 + x (twee getallen die even ver van 5 liggen), zodat geldt: (5 – x)  (5 + x) = 21. na uitwerking verkrijg je: 25 – x 2 = 21 of x 2 = 4. vermits de Babyloniërs nog geen negatieve getallen kenden, vonden ze: x = 2. De twee gevraagde getallen zijn dus 3 en 7. 8 Los op met de methode van de Babyloniërs.

b) Bereken twee getallen waarvan de som 100 en het product 2 331 is.

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 177

REEKS C De Babyloniërs hebben ongeveer 4 000 jaar geleden een methode ontwikkeld om twee getallen te bepalen waarvan de som en het product gegeven zijn. voorbeeld: van twee getallen is de som 10 en het product 21.

a) Bereken twee getallen waarvan de som 22 en het product 112 is.

©VANIN

178 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 4.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen 4.3.1 De methode van de kwadraatafsplitsing Inleiding werk uit. Schrijf als het kwadraat van een tweeterm. (x + 4) 2 = x 2 + 6x + 9 = = = (x – 6) 2 = 16 – 8x + x 2 = = = (5 + x) 2 = 4x 2 + 4x + 1 = = = Het merkwaardig product (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 laat je toe om sommige drietermen te schrijven als een kwadraat van een tweeterm Die methode kun je gebruiken om tweedegraadsvergelijkingen op te lossen. Voorbeeld 1 x 2 – 4x + 4 = 0 x 2 + 2  x  (–2) + (–2) 2 = 0 (x – 2) 2 = 0 je noteert het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm. x – 2 = 0 x = 2 V = {2} Voorbeeld 2 x 2 + 8x + 7 = 0 x 2 + 8x = –7 je verandert de constante term van lid. x 2 + 2  x  4 + 4 2 = –7 + 4 2 je vermeerdert beide leden met 4 2 (x + 4) 2 = 9 je noteert het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm. x + 4 = –3 of x + 4 = 3 x = –7 of x = –1 v = {–7, –1} ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 179 REEKSOefeningenB 9 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van kwadraatafsplitsing. a) x 2 + 10x + 25 = 0 e) x 2 + 6x + 8 = 0 b) x 2 – 6x + 9 = 0 f) x 2 – 2x – 35 = 0 c) 16x 2 + 8x + 1 = 0 g) 3x 2 + 24x – 27 = 0 d) 9x 2 – 6x + 1 = 0 h) 2x 2 – 20x + 68 = 0 ©VANIN

180 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 4.3.2 De formules opstellen ax 2 + bx + c = 0 met a Œ R0 en b, c Œ R je deelt beide leden door a x 2 + ba x + ac = 0 je verandert de constante term van lid. x 2 + ba x = ac je maakt het dubbel product zichtbaar. x 2 + 2 b 2a x = ac je vermeerdert beide leden met b 2a 2 x 2 + 2 b 2a x + b 2a 2 = ac + b 2a 2 je schrijft het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm. x + b 2a 2 = ac + b 2 4a 2 je werkt het rechterlid verder uit. x + b 2a 2 = b 2 – 4ac 4a 2 Stel: D = b 2 – 4ac. x + b 2a 2 = 4D a 2 Het linkerlid is een kwadraat en dus positief. Ook de noemer van het rechterlid is positief. Daarom is de teller van het rechterlid (b 2 – 4ac) bepalend voor het aantal oplossingen. je noemt D = b 2 – 4ac de discriminant van de vergelijking eerste geval: D > 0 tweede geval: D = 0 derde geval: D < 0 x + b 2a 2 = 4D a 2 x + b 2a = 4D a 2 of x + b 2a = 4D a 2 x + b 2a = 2D a of x + b 2a = 2D a x = b – D 2a of x = b + D 2a V = b – D 2a , b + D 2a x + b 2a 2 = 4D a 2 x + b 2a 2 = 40 a 2 x + b 2a 2 = 0 x + b 2a = 0 x = b 2a V = b 2a {} x + b 2a 2 = 4D a 2 De vergelijking heeft geen oplossingen, want het linkerlid is positief en het rechterlid is strikt negatief. V = ∆ instructiefilmpje ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 181 4.3.3 Overzicht Om de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen, bereken je eerst de discriminant D = b 2 – 4ac D > 0 D = 0 D < 0 tweeoplossingen:verschillende één oplossing (of twee samenvallende oplossingen): geen reële oplossingen x1 = b – D 2a en x2 = b + D 2a x1 = x2 = b 2a V = b – D 2a , b + D 2a V = b 2a {} V = ∆ als je in de eerste formules D vervangt door 0, dan verkrijg je twee keer hetzelfde resultaat. als D = 0, spreek je daarom van twee samenvallende oplossingen De oplossingen van een tweedegraadsvergelijking noem je wortels De formules die je in staat stellen om die wortels te berekenen, noem je wortelformules 4.3.4 Voorbeelden a) x 2 – 3x – 10 = 0 c) –6x 2 + 13x + 5 = 0 a = b = c = a = b = c = D = D = b) 16x 2 – 24x + 9 = 0 d) –3x 2 + 5x – 8 = 0 a = b = c = a = b = c = D = D = instructiefilmpje ©VANIN

182 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 4.3.5 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen met ICT analyseer de situatie door gebruik te maken van diagrammen. Stroomdiagram a,b,c OPLOSSINGGEEN EEN ==––b 2ax1 x= 2 = EEN D < 0 D = 0 D = b 2 – 4 xac 1 x2 –b– D 2 –ba + D 2 a Nassi-Shneiderman diagram TWEEDEGRAADSVERGELIJKING OPLOSSEN Voer de coë ciënten a, b en c in. Bereken de discriminant D = b 2 – 4ac Is D < 0?geenWAARoplossing NIET WAAR NIET WAAR Is D = 0? WAAR x1 x= 2 =–b– D 2 –ba + D 2 =a =––b 2 xa 1 x2 GEOGEBRA EN PYTHON ©VANIN

Om gegevens in te voeren, gebruik je hoofdzakelijk 1:input en 2:Prompt. resultaten tonen doe je hoofdzakelijk met 3:Disp en 6:Output.

• in- en uitvoercommando’s (i/O). actie knoppen scherm Kies het menu met commando’s voor programmabesturing. drawprgmC Kies het menu met commando’s voor in- of uitvoer. drawprgmC

©VANIN

Om een nieuw programma te maken, moet je de programma-editor openen en een programmanaam invoeren. actie knoppen scherm Open de programma-editor. voer de programmanaam in (maximaal 8 letters) en bevestig met een enter. (Opmerking: de rekenmachine staat al in alPHa-mode.) drawprgmC 2 entrenterysolve ruwweg kun je een programma onderverdelen in drie delen:

• invoer van de gegevens; • verwerking van de gegevens (formules);

Programmeeritems voor de grafische rekenmachine REKENMACHINE

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 183

• uitvoer van de resultaten. Daarvoor beschik je in de programma-editor over twee menu’s met commando’s: • programmabesturingscommando’s (OPDr);

184 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 in de wiskunde heb je vaak te maken met ‘als . . . dan . . .’-uitdrukkingen. in de programmeertaal beschik je daarvoor over de iF-THen elSe-combinatie. iF voorwaarde THen opdrachtopdracht elSe opdrachtopdracht enD Een programma (VKV) om ax 2 + bx + c = 0 op te lossen BPromptwisHomea,B,C2–4aC Æ D if D<0ThenDisp “geen reele OPl” ielsefD=0Then–B/(2a) Æ X Disp “OPl1=OPl2”,X t/n g t/n else(–B – (D)) / (2a) Æ X (–B + (D)) / (2a) Æ Y Disp “OPl 1”,X t/n g t/n Disp “OPl 2”,Y t/n g t/n end gebruik het programma om de tweedegraadsvergelijking 6x 2 + 7x – 3 = 0 op te lossen. actie knoppen scherm activeer het programma vKv drawprgmC (aantalkeren) entrentrenterysolveenterysolve ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 185 REEKSOefeningenA 10 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van de discriminant. a) x 2 + 2x – 3 = 0 f) x 2 + x + 6 = 0 b) x 2 + 3x – 10 = 0 g) x 2 – 4x – 5 = 0 c) x 2 – x + 2 = 0 h) x 2 + 28x + 196 = 0 d) x 2 – 10x + 25 = 0 i) x 2 – 12x + 40 = 0 e) x 2 + 3x – 2 = 0 j) x 2 + 16x – 64 = 0 ©VANIN

186 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 11 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van de discriminant. a) 2x 2 – 5x – 3 = 0 f) 14x 2 – 3x – 5 = 0 b) 25x 2 + 70x + 49 = 0 g) –3x 2 + 6x – 4 = 0 c) 3x 2 – 13x + 12 = 0 h) –64x 2 + 48x – 9 = 0 d) 5x 2 + 15x + 17 = 0 i) –12x 2 + 43x – 21 = 0 e) 6x 2 + x – 1 = 0 j) –9x 2 – 6x – 1 = 0 ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 187 REEKS B 12 Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) 2x 2 – x = 1 e) (3x + 5) 2 = 1 b) x 2 – 14x + 49 = 0 f) –6x 2 + 9x + 15 = 0 c) x 2 + 45 x – 23 = 0 g) –14x 2 + 8x = 0 d) x 2 + 65 x + 61 = 0 h) 12x 2 = 22x + 14 ©VANIN

188 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 13 Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) x 2 + x – 4 = 0 e) 12x  (x + 4) = 24x  (2 – x) – 5 b) –4x 2 + 11x – 1 = 0 f) 3x 2 – 4 3 x + 4 = 0 c) 28x = –49 – 4x 2 g) x 2 – 3x + 94 = 0 d) (4x – 1) 2 – 64 = 0 h) 83 x 2 – 45 x + 152 = 0 ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 189 14 Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) 3x + x  (x – 2) = 0 e) (–3x + 6) 2 – 16 = 0 b) –121x 2 + 4 = 0 f) 36x 2 – 96x + 64 = 0 c) x (11x – 3) = 5 g) x 2 – 1 = 0 d) 3x  (x – 1) = 4 – 3x h) –10x 2 + 15x – 10 = 0 ©VANIN

190 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 REEKS C 15 Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) x 2 – 51 312 x + 7 = 0 d) 2x 2 – (x + 2)  (x – 3) = 6 b) 21 – 31 x + 4 + x 2 = 0 e) 14 (x – 4) – (x + 2) = (x + 2) (x – 4) c) x – 31 x + 4 – 91 x = 0 f) (2x – 3) 2 + 17x (x – 1) = 9 ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 191 16 Bepaal de parameter m zodat aan de gegeven voorwaarde voldaan is. a) x 2 + 6x – m = 0 heeft geen oplossingen. e) 2x 2 + 3x – m – 3 = 0 heeft twee verschillende oplossingen. b) x 2 – 3x + 4m = 0 heeft twee verschillende oplossingen. f) –3mx 2 – 4x + 5 = 0 heeft geen oplossingen. c) x 2 + mx + 4 = 0 heeft één oplossing. g) 8mx 2 + 2mx – 2 = 0 heeft één oplossing. d) mx 2 – x + 3m = 0 heeft één oplossing. h) (m – 2)x 2 + (2m – 1)x + m + 2 = 0 heeft twee verschillende oplossingen. ©VANIN

192 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 17 Los op naar x (a en b zijn strikt positieve reële parameters). a) x 2 + 7ax + 12a 2 = 0 d) x 2 – 4bx + 4b 2 – 25 = 0 b) x 2 + ax + a 2 =0 e) x 2 – ax + a – 1 = 0 c) x 2 + bx – 43 b 2 = 0 f) 3x 2 – bx – 2b – 12 = 0 ©VANIN

VERDIEPING 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 193 4.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking 4.4.1 De formules opstellen De tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 heeft oplossingen als D ≥ 0. som product S = x 1 + x 2 = b – D 2a + b + D 2a = b – D – b + D 2a = –2b 2a = ba P = x 1 x 2 = b – D 2a b + D 2a = (–b) 2 – ( D ) 2 4a 2 = b 2 – D 4a 2 = b 2 – (b 2 – 4ac ) 4a 2 = b 2 – b 2 + 4ac 4a 2 = 4ac 4a 2 = ac Besluit Als de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 oplossingen x 1 en x 2 heeft, dan is S = x 1 + x 2 = b a en P = x 1 x 2 = c a 4.4.2 Voorbeelden Door gebruik te maken van S en P, is het mogelijk sommige eenvoudige tweedegraadsvergelijkingen ‘uit het hoofd’ op te lossen. a) x 2 – 3x + 2 = 0 c) x 2 + 4x – 21 = 0 S = – –31 = 3 fi x 1 = 1 en x 2 = 2 S = = fi x 1 = en x 2 = P = 21 = 2 P = = V = 1 , 2 {} V = b) x 2 + 9x – 20 = 0 d) 2x 2 – x – 3 = 0 S = = fi x 1 = en x 2 = S = = fi x 1 = en x 2 = P = = P = = V = V = Opmerkingen • als D < 0, dan kunnen de getallen S en P wel berekend worden, maar hebben ze geen reële betekenis. • De som- en productmethode is vooral handig als de coëfficiënt van x 2 gelijk is aan 1 of –1. • als je niet onmiddellijk de oplossingen vindt, gebruik je beter de wortelformules. instructiefilmpje ©VANIN

VERDIEPING 194 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 4.4.3 Het omgekeerde vraagstuk gegeven: de som S en het product P van de reële getallen x 1 en x 2 gevraagd: bepaal x 1 en x 2 Oplossing: x 1 + x 2 = S en x 1 x 2 = P fl fl je vervangt x 2 door S – x 1 x 2 = S – x 1 x 1 (S – x 1) = P fl de vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling x 1  S – x 12 = P fl eigenschap gelijkheden x 12 – S  x 1 + P = 0 x 1 is dus een oplossing van de tweedegraadsvergelijking x 2 – Sx + P = 0. analoog kun je aantonen dat ook x 2 een oplossing is van dezelfde vergelijking. Besluit Als S = x 1 + x 2 en P = x 1  x 2 gegeven zijn, dan zijn x 1 en x 2 de oplossingen van de tweedegraadsvergelijking x 2 − Sx + P = 0. Voorbeeld De som van twee getallen is 91 en hun product is – 272 . Bepaal die getallen. DeOplossing:getallen zijn de oplossingen van wegwerken van de noemers: D = x 1 = x 2 = De gevraagde getallen zijn en ©VANIN

VERDIEPING 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 195 REEKSOefeningenA 18 Los op met de som- en productmethode. a) x 2 – 8x + 7 = 0 g) x 2 – 4x – 96 = 0 b) x 2 – 12x + 20 = 0 h) x 2 + 13x + 36 = 0 c) x 2 + 2x – 15 = 0 i) x 2 + 14x + 40 = 0 d) x 2 + 3x – 28 = 0 j) x 2 – 17x + 18 = 0 e) x 2 – 3x – 18 = 0 k) x 2 + 9x + 70 = 0 f) x 2 + 4x – 12 = 0 l) x 2 – 2x + 35 = 0 ©VANIN

VERDIEPING 196 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 REEKS B 19 Bepaal twee getallen waarvan de som S en het product P gegeven zijn. a) S = –9 en P = 23 d) S = 121 en P = 121 De gevraagde getallen zijn De gevraagde getallen zijn en en b) S = 6 en P = 0 e) S = 361 en P = 725 De gevraagde getallen zijn De gevraagde getallen zijn en en c) S = –1 en P = –3 f) S = – 0,5 en P = – 0,84 De gevraagde getallen zijn De gevraagde getallen zijn en en ©VANIN

VERDIEPING 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 197 20 Van de tweedegraadsvergelijkingen is telkens één oplossing gegeven. Bereken de andere oplossing zonder gebruik te maken van de discriminant. a) x 2 – 41x – 510 = 0 x 1 = –10 c) 14x 2 + 3x – 2 = 0 x 1 = 27 b) 12x 2 + 11x – 5 = 0 x 1 = 31 d) 54x 2 + 3x – 15 = 0 x 1 = 21 21 Bepaal een tweedegraadsvergelijking met de gegeven oplossingen. Werk de noemers weg. a) 5 en – 4 c) 31 en 41 b) 21 en 43 d) 0 en –4 ©VANIN

198 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 4.5 Vraagstukken 4.5.1 Voorbeeld 1 Het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is gelijk aan 342. Bepaal die getallen. Stel: x is het kleinste getal. Het grootste getal is dan • Opstellen van de vergelijking: • Oplossen van de vergelijking: De enige aanvaardbare oplossing is Controle:antwoord: 4.5.2 Voorbeeld 2 een kader is 20 cm lang en 12 cm hoog. De foto is 84 cm 2 groot. 12 cm 20 cm Bereken de breedte van het frame, als je weet dat het overal even breed is. Stel: x is de breedte van het frame. De afmetingen van de foto: de lengte is en de hoogte is • Opstellen van de vergelijking: • Oplossen van de vergelijking: De enige aanvaardbare oplossing is Controle:antwoord: ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 199 4.5.3 Voorbeeld 3 a) verdeel het lijnstuk [AB ] in twee deellijnstukken [AC ] en [CB ], Ax 1 CB zodat het langste stuk zich verhoudt tot het kortste stuk zoals de volledige lengte van het lijnstuk zich verhoudt tot het langste stuk. Stel: Het kortste stuk = | CB | = 1; het langste stuk = | AC | = x

• Controle: b) Bereken een positief reëel getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat getal vermeerderd met 1 en het omgekeerde gelijk aan dat getal verminderd met 1. Stel: x is het gevraagde getal.

Het product van de uitersten is dan gelijk aan het product van de middelsten.

• Opstellen van de vergelijking: x 1 = x + 1 x een gelijkheid van twee verhoudingen noem je een evenredigheid.

je verkrijgt de volgende vergelijking:

• Controle:

• Opstellen van de vergelijkingen: vergelijking 1: vergelijking 2:

• Oplossen van de vergelijkingen: vergelijking 1: vergelijking 2: Beide vergelijkingen leveren dezelfde tweedegraadsvergelijking op, die je ook bij de verdeling van het lijnstuk verkreeg. Die vergelijking heeft als oplossingen: x 1 = x2 = De enige aanvaardbare oplossing is (op acht cijfers na de komma).

©VANIN

• Oplossen van de vergelijking: De enige aanvaardbare oplossing is (op acht cijfers na de komma).

• Het ‘geheim’ van de goede akoestiek in de griekse theaters is de gulden snede.

• de verhoudingen van de volumes in de opeenvolgende kamers van schelpen (zie figuur 3);

De verhouding tussen de hoger en lager gelegen tribunes is gelijk aan ϕ

• de hoeken die waarneembaar zijn bij de spiralen die worden gevormd door de pitten van een zonnebloem of bij madeliefjes, zijn gelijk aan 360º/ϕ of 360º – 360º/ϕ;

200 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213

1,618 1,6181 1,6181 1

• vele gotische kathedralen, met als beroemdste voorbeeld de kathedraal van laon in Frankrijk, vertonen, zowel in de torens als in de voorgevel, verhoudingen gelijk aan de gulden snede. ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ figuur 1

Het getal ϕ = 1 + 5 2 (‘phi’) noem je de gulden snede of goddelijke verhouding.

• in het Parthenon, de oude griekse tempel op de akropolis in athene, zijn bepaalde verhoudingen van afmetingen gelijk aan de gulden snede (zie figuur 1).

• de Mona lisa (zie figuur 2);

Die verhouding werd voor het eerst wiskundig bepaald door euclides, in de derde eeuw vóór Christus. Het getal duikt echter al veel vroeger op in de architectuur. in de klassieke architectuur, en ook later, werd die verhouding gezien als de meest esthetische. enkele beroemde voorbeelden: • De grote piramide van Cheops: de hellingshoek van de schuine vlakken is 51º 50 De cosinus van die hoek is het omgekeerde van ϕ (of dus ook ϕ – 1).

Ook in de kunst speelt de gulden snede een belangrijke rol. vooral in de renaissance werd de gulden snede gezien als een universeel schoonheidsideaal. De naam ‘goddelijke verhouding’ dateert dan ook uit die periode. voorbeelden van het gebruik van de gulden snede zijn onder andere te vinden in de volgende beroemde werken:

• de renaissancetuinen in Frankrijk; • de meeste beeldhouwwerken van rodin; • de vierkanten van Mondriaan. niet alleen in de wiskunde, de architectuur en de kunst speelt de gulden snede een belangrijke rol.

• de verhoudingen bij het menselijk lichaam (zie figuur 4). figuur 2 figuur 3 figuur 4

©VANIN

Ook de natuur zelf levert haar bijdrage:

d) van een natuurlijk getal is het kwadraat 552 meer dan het getal zelf. Bereken dat getal.

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 201 REEKSOefeningenA 22 Los de vraagstukken op.

Controle: Controle:

b) De som van een getal en zijn kwadraat is het vijfvoud van dat getal. Bereken dat getal.

©VANIN

Controle: Controle:

a) Het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 1 482. Bereken die getallen.

c) De som van de kwadraten van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 421. Bereken die getallen.

a) Hoeveel partijen moeten er worden gespeeld in een competitie met tien spelers? b) Hoeveel spelers hebben meegedaan aan een competitie waarin 496 partijen werden gespeeld?

202 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213

a) Hoeveel diagonalen heeft een zeshoek? b) een veelhoek heeft 77 diagonalen. Hoeveel zijden heeft die veelhoek?

Controle: ©VANIN

Controle: 24 Het aantal diagonalen van een veelhoek wordt bepaald door de formule N = k (k – 3) 2 . Daarbij is k het aantal zijden van de veelhoek en N het aantal diagonalen.

REEKS B 23 Het aantal judopartijen dat gespeeld wordt in een competitie met n spelers, is gelijk aan n (n – 1) 2 .

Controle: 27 Het verschil van twee natuurlijke getallen is 21. Hun product is 1 296. Bereken die getallen.

25 De ene rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek is 2 cm langer dan de andere. De schuine zijde is 10 cm. Bereken de rechthoekszijden.

Controle:

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 203

Controle:

©VANIN

26 Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 2 187 m 2 groter. Bereken de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

Controle:

Controle: b) Bereken de gemiddelde snelheid in dat tijdsinterval. rond af op 0,01 m/s.

204 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213

28 De afgelegde weg s (in m) van een bewegend voorwerp wordt gegeven door de formule s = v 0  t + 21  a  t 2. Daarbij is v0 de beginsnelheid in m/s en a de versnelling in m/s 2. Een voorwerp beweegt met een beginsnelheid van 10 m/s. De versnelling is 3 m/s 2.

a) na hoeveel tijd heeft het voorwerp 100 m afgelegd? rond af op 0,001 s.

©VANIN

Daarin is h de hoogte en r de straal van het grondvlak. Bereken de straal van het grondvlak als de hoogte 12 cm en de oppervlakte 680 cm2 is. Rond af op 1 mm nauwkeurig.

29 De oppervlakte van een cilinder wordt gegeven door de formule A = 2  r 2 + 2  r h

laag 3 laag 2 laag 1 Controle: ©VANIN

Controle: 31 Op een trouwfeest wordt een champagnetoren gestapeld. Nadat de gasten aangekomen zijn, wordt er van bovenaf champagne gegoten, totdat alle glazen gevuld zijn.

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 205 30 Een stuk land bestaat uit twee aaneengesloten vierkante stukken. De zijde van het grote vierkant is 2 meter langer dan het dubbel van de zijde van het kleine vierkant. De totale oppervlakte is 2 377 m 2. Bereken de zijden van de vierkanten.

Het aantal glazen per laag in die toren kun je berekenen met deze formule: aantal glazen per laag = 21 n 2 + 21 n (daarbij is n het nummer van de laag van bovenaf geteld). Bereken in welke laag 45 glazen staan.

Als ze vierkante lapjes had genomen met een zijde die 6 cm groter is, dan zou ze maar 140 lapjes nodig gehad hebben voor een even groot deken.

Hoe groot waren de lapjes en hoe groot is het lappendeken?

Een boekenwinkel bestelt een aantal boeken en betaalt daarvoor 930 euro.

Hoeveel boeken werden er besteld en wat was de oorspronkelijke prijs?

Controle: 33 De beroemde schrijver H. Gentemans heeft een nieuwe roman geschreven.

Controle: ©VANIN

Bij aankomst van de bestelling blijken er twee boeken meer te zijn dan er besteld waren. De totale prijs blijft hetzelfde, zodat de prijs per boek daalt met 0,50 euro.

206 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 REEKS C 32 Oma heeft een lappendeken gemaakt met 315 gelijke vierkante lapjes.

34 In een fabriek moeten 1 650 balpennen in dozen worden ingepakt. Als er in elke doos vijf balpennen meer konden, zouden er drie dozen minder nodig zijn. Bereken het aantal balpennen dat oorspronkelijk in één doos kon.

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 207

©VANIN

35 In een getal van twee cijfers is het cijfer van de eenheden vier meer dan het cijfer van de tientallen.

Controle:

Een tweede getal verkrijg je door in het eerste getal de cijfers van plaats te wisselen.

Het product van die twee getallen is gelijk aan 5 605. Bepaal die getallen.

Controle:

208 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 STUDIEWIJZER Tweedegraadsvergelijkingen 4.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN –  + –  + een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, met a Œ R 0 en b, c Œ R 4.2 Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen KENNEN  +  + • ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0) methode: een gemeenschappelijke factor afzonderen • ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0) methode 1: a 2 – b 2 = (a + b)  (a - b) methode 2: definitie vierkantswortel • ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0) er is één oplossing: 0. KUNNEN  +  + een onvolledige tweedegraadsvergelijking oplossen. 4.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen KENNEN  +  + D (discriminant) = b 2 – 4ac • D > 0: twee verschillende oplossingen x 1 = b – D 2a en x 2 = b + D 2a • D = 0: één oplossing (of twee samenvallende oplossingen) x 1 = x 2 = b 2a • D < 0: geen reële oplossingen KUNNEN  +  + een tweedegraadsvergelijking herkennen en oplossen • door kwadraatafsplitsing; • met de wortelformules; • door ontbinding in factoren. De best passende methode gebruiken. De wortelformules om een tweedegraadsvergelijking op te lossen, bewijzen. een tweedegraadsvergelijking oplossen met iCT. een tweedegraadsvergelijking vereenvoudigen en in de standaardvorm brengen, indien nodig. een tweedegraadsvergelijking met lettercoëfficiënten oplossen. Parameterwaarden berekenen zodat aan bepaalde voorwaarden voldaan is. ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 209 4.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  + als de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 oplossingen x 1 en x 2 heeft, dan is S = x 1 + x 2 = ba en P = x 1 x 2 = ac als S = x 1 + x 2 en P = x 1  x 2 gegeven zijn, dan zijn x 1 en x 2 de oplossingen van de tweedegraadsvergelijking x 2 – Sx + P = 0. KUNNEN  +  + een tweedegraadsvergelijking oplossen door de som en het product van de wortels te Tweegebruiken.getallen bepalen als de som en het product van die getallen gegeven zijn. een tweedegraadsvergelijking opstellen waarvan de oplossingen gegeven zijn. 4.5 Vraagstukken KUNNEN  +  + vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een tweedegraadsvergelijking. ©VANIN

3. amira is de code van oma’s huis vergeten. Ze weet nog dat de code uit vijf cijfers bestaat. Ze ziet dat op het klavier de toetsen 1 en 3 precies evenveel afgesleten zijn en dat de toets 7 nóg meer is afgesleten. De andere toetsen zijn blijkbaar nog nooit gebruikt. als amira het slim aanpakt, hoeveel codes moet ze dan hoogstens intikken om de deur te openen? a) r 20 B) r 30 C) r 40 D) r 60 e) r 120 JWO, editie 2020, eerste ronde

©VANIN

210 4 D I HOOFDSTUK 4 I Twee D egraa DS ve rgelij K in gen 321 4 1086579111213 Problemen uit JWO 1. Twee vierkanten liggen in een groot vierkant, zoals op de figuur. wat is de verhouding van de oppervlaktes van vierkant i en ii? I II a) r 67 B) r 87 C) r 98 D) r 109 e) r 1 JWO, editie 2022, eerste ronde 2. wat is de oppervlakte van het vierkant op de figuur? 4 1 1 a) r 5 B) r 6 C) r 7 D) r 8 e) r 9 JWO, editie 2012, tweede ronde

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 211 HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = c x 5.1 Basisbegrippen over functies 212 5.2 De functie f (x) = 1 x 219 5.3 De functie f (x) = c x 221 Studiewijzer 240 Problemen uit JWO 242 ©VANIN

212 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 5.1 Basisbegrippen over functies 5.1.1 Inleiding GeoGebra Een brandende kaars is 20 cm lang. De hoogte y van de kaars vermindert met 2 cm per uur. Na 1 uur is de hoogte Na 3 uur is de hoogte Na 7 uur is de hoogte De hoogte y (in cm) kun je uitdrukken in functie van de tijd x (in h): y Vul= de tabel in. Teken de punten in het assenstelsel en verbind ze. x (h) y (cm) 100123456789 20 y (cm) x (h) 10155 51015O Is het verband tussen y en x een functie? Verklaar je antwoord. Definitie Functie Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft. ©VANIN

• Als je de grafiek loodrecht projecteert op de x-as, kun je het domein van de functie aflezen. dom f = • Als je de grafiek loodrecht projecteert op de y-as, kun je het bereik van de functie aflezen. ber f = 5 51015O Definitie Domein Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen. In symbolen dom f = {x Œ R | f (x) Œ R} Definitie Bereik Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden. In symbolen ber f = {f (x) | x Œ dom f } Praktisch domein en bereik Als je rekening houdt met de context van de brandende kaars, kun je enkel argumenten kiezen die gelijk zijn aan of groter zijn dan en kleiner zijn dan of gelijk zijn aan . Het praktisch domein van f is Notatie: pdom f Je kunt binnen diezelfde context ook enkel functiewaarden bereiken die gelijk zijn aan of groter zijn dan en kleiner zijn dan of gelijk zijn aan Het praktisch bereik van f is Notatie: pber f

©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 213 5.1.2 Domein en bereik Gegeven: de grafiek van de functie f (x) = –2x + 20

201510

214 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 5.1.3 Nulwaarde van een functie Voor welke waarde van de tijd x is de hoogte van de kaars nul? Die waarde noem je de nulwaarde van de functie f Hoe lees je de nulwaarde van de functie f af op de grafiek? Definitie Nulwaarde Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0. Voorbeeld Bepaal de nulwaarde(n). f (x) = 20 – 2x f (x) = x 2 – 9 5.1.4 Differentiequotiënt • Bereken het differentiequotiënt in het interval [2, 4]. verandering op de y-as verandering op de x-as = = = • Bereken het differentiequotiënt in het interval [6, 10]. verandering op de y-as verandering op de x-as = = = + 2 – 4 + 4 – 8 yx 2–2 468 101214161820O 222018161412108642 ABCD In dit voorbeeld hoort bij een gelijke toename van het argument een gelijke verandering van het beeld. Bij eerstegraadsfuncties is het differentiequotiënt constant en gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de grafiek. Definitie Differentiequotiënt Het differentiequotiënt is de verandering van de y-waarde de verandering van de x-waarde . Notatie: differentiequotiënt = ∆y ∆ x (lees: ‘delta y gedeeld door delta x ’) ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 215 5.1.5 Tekenschema en verloop van een functie Gegeven: de grafiek van de functie f (x) = –2x + 20 yx5 5101520 201510 O • Voor welke waarden van x is f (x) > 0? Voor welke waarden van x is f (x) = 0? Voor welke waarden van x is f (x) < 0? Je kunt dat voorstellen in een tekenschema van f (x). tekenschema van f (x) tekenschema binnen de context van de kaars x f (x) x ∞ 0 10 + ∞ f (x) 20 0 • Nemen de functiewaarden toe of nemen ze af als het argument x toeneemt? De functie is stijgend / dalend. Je kunt het verloop van de functie f schematisch voorstellen in een tabel. verloop van f verloop binnen de context van de kaars xf x ∞ 0 10 + ∞ f 20 0 ©VANIN

216 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 Algemeen Tekenschema en verloop van een functie yx cd abe O • tekenschema x ∞ a c e + ∞ f (x) 0 + 0 0 • verloop x ∞ b d e + ∞ f f (b) f (d) f (e) max min max 5.1.6 Voorbeeld Teken de grafiek van f (x) = 3x – 2. Bepaal het domein, het bereik, de nulwaarde, het differentiequotiënt, het tekenschema en het verloop van de functie. x f (x) • dom f = ber f = • nulwaarde: • differentiequotiënt: • tekenschema x f (x) • verloop xf – 4– 3– 2–10–11234–2–3–4 1234 yx ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 217 Oefeningen REEKS A 1 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is. a) yx 6– 5– 4– 3– 2– 1–112323 123456O • tekenschema x f (x) • verloop xf b) yx 6– 5– 4– 3– 2– 1 323211 123456O • tekenschema x f (x) • verloop xf c) yx 6– 5– 4– 3– 2– 1 3243211 123456O • tekenschema x f (x) • verloop xf ©VANIN

218 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 REEKS B 2 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is. a) yx 11 43243211 23O • tekenschema x f (x) • verloop xf b) yx 1 11234234 12 3O • tekenschema x f (x) • verloop xf 3 Bepaal de nulwaarde(n). a) f (x) = 5 – 2x 3 c) f (x) = 3x 2 – 6 b) f (x) = (x + 2) 2 d) f (x) = 3x + 21 ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 219 5.2 De functie f ( x ) = 1 x 5.2.1 Kenmerken x f (x) 8 0,125 4 0,25 2 0,5 1 1 0,5 2 0,25 4 0 | 0,25 4 0,5 2 1 1 2 0,5 4 0,25 8 0,125 123456 1 123456 78 yx2– 17–6–5–4–3–8 65432 O Je noemt de grafiek een (orthogonale) hyperbool. GeoGebra Een hyperbool bestaat uit twee hyperbooltakken. • dom f = ber f = • nulwaarde: Heeft de grafiek een snijpunt met de x-as? • nulwaarde: Is er een nulwaarde voor de functie? • tekenschema: • verloop: x f (x) xf De functiewaarde van 0 bestaat niet. Je duidt dat aan met een verticale streep. • Desymmetrie:tweetakken van de grafiek liggen symmetrisch ten opzichte van De grafiek van f is een kromme. Het symmetriemiddelpunt is de ( , ). AsymptotenXL ©VANIN

220 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 5.2.2 Voorbeeld Oom Jan is overleden. Hij laat een erfenis na die gelijk verdeeld moet worden onder zijn vijf kinderen. Elk van zijn kinderen krijgt een vijfde van de erfenis. Verdeel je de erfenis onder x personen, dan kun je het deel y dat elke persoon krijgt, bepalen met de formule y = 1 x Waarom is het verband tussen y en x een functie? Je noteert: f (x) = 1 x . dom f = ber f = pdom f = pber f = Vul de tabel in en teken de grafiek. Rond, indien nodig, af op 0,001. x f (x) 10864321579 0,91 yx0,0,0,0,0,0,0,0,87654321 12 34 56 78 910O Waarom mag je de punten niet verbinden? ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 221 5.3 De functie f ( x ) = c x 5.3.1 Het omgekeerd evenredig verband Voorbeeld Een fietser rijdt met een constante snelheid van Antwerpen naar Blankenberge en moet daarvoor 120 km afleggen. De afstand s (in km) die de fietser aflegt in functie van de tijd t (in h), kun je uitdrukken met de formule s = v  t, waarbij v de gemiddelde snelheid voorstelt (in km/h). t (h) 1 2 3 4 5 6 12 v (km/h) v t Het product v t is constant. De grootheden v en t zijn omgekeerd evenredig Er geldt: v = Definitie Omgekeerd evenredig verband Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x y constant is. x  y = c ﬁ y = cx (met c Œ R0 ). Je noemt c de evenredigheidsconstante Formule Als twee grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y = c x (met c Œ R0). Grafiek van een omgekeerd evenredig verband 1O 23456789 101112 12010080604020 t (h) v (km/h) Teken de grafiek van het verband dat de snelheid v (in km/h) weergeeft in functie van de tijd t (in h). De grafiek is Besluit De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x (met c Œ R0) is een (deel van een) hyperbool. instructiefilmpje GeoGebra ©VANIN

©VANIN

b) Geef de formule van het verband: c) Volgens de wet spreek je van een verkeersdrempel vanaf 2 cm en mag die niet hoger zijn dan 12 cm. Bepaal daaruit het praktisch domein en bereik van de functie v pdom v = pber v = d) Hoe hoog (op 1 mm) moet een drempel zijn om de gemiddelde snelheid tot 50 km/h te beperken?

222 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 Oefeningen REEKS A 4 Stellen de tabellen omgekeerd evenredige verbanden voor? a) x 2 4 6 10 y 30 15 10 6 c) x 10 11 12 13 y 5 6 7 8 r ja r nee r ja r nee b) x 2 4 7 10 y 50 25 14 12 d) x 3 5 8 10 y 40 24 15 12 r ja r nee r ja r nee REEKS B 5 Hoe hoger een verkeersdrempel, hoe trager de auto’s erover rijden. In een stad zijn er verkeersdrempels met vier verschillende hoogten. De politie heeft de resultaten opgemeten voor het verband tussen de gemiddelde snelheid v (in km/h) van de voorbijrijdende auto’s en de hoogte h (in cm) van de drempel. h (cm) 4 5 6 8 v (km/h) 60 48 40 30 a) Toon aan dat het verband tussen v en h omgekeerd evenredig is.

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 223 6 Eén keer per jaar, op kerstavond, speelt Stijn mee met een loterij. Een pot van 2 000 000 euro wordt dan gelijk verdeeld onder de winnaars in rang 1. De tabel toont de winst y per persoon (in euro) in functie van het aantal winnaars x. a) Vul de tabel aan. b) Teken de grafiek. x y (euro) 1084215 123456789 1011 200 000 400 000 600 000 800 000 1 000 000 1 200 000 1 400 000 1 600 000 1 800 000 2 000 000 Ox y (euro) c) Mag je de punten van de grafiek verbinden? Verklaar. d) Zijn de grootheden y en x omgekeerd evenredig? Verklaar. e) Hoeveel bedraagt de winst per persoon als er zes winnaars zijn in rang 1? Rond af op 1 euro. 7 Om een nieuwe asfaltlaag in een drukke winkelstraat te leggen, hebben 35 arbeiders 8 dagen nodig. Hoeveel dagen hebben 20 arbeiders nodig? ©VANIN

Hangt een massa te ver van de kraan, dan bestaat de kans dat de kraan omvalt. De afstand van de plaats waaronder de katrol hangt, tot het steunpunt van de draaiarm noem je de armlengte. De grootste massa m max (in kg) die een kraan kan tillen, hangt af van de armlengte a (in m). 9 Een aannemer huurt voor enkele weken een hijskraan om een nieuwbouwproject te verwezenlijken.

x 2 4 8 12 24 y 24 16

REEKS C

is.

Voor die kraan geldt: m max = 120 000 a a) Zijn de grootheden m max en a omgekeerd evenredig? Verklaar. b) Mag een massa van 7 500 kg op een armlengte van 15 meter hangen?

c) Bereken bij deze kraan de maximale armlengte waarop een massa van 6 ton kan hangen.

a) Toon aan dat het verband tussen het aantal dagen y en het aantal koeien x omgekeerd evenredig

©VANIN

8 Boer Tom zet elke dag een aantal koeien uit op zijn weiland. Acht koeien kunnen grazen gedurende 24 dagen. Twaalf koeien kunnen grazen gedurende 16 dagen.

b) Geef de formule van het verband: c) Vul de tabel aan.

Een hijskraan is een werktuig waarmee je zware lasten kunt hijsen en horizontaal verplaatsen.

De last hangt aan een katrol die kan bewegen langs de arm van de kraan. De massa die een kraan kan tillen, hangt af van de plaats waar de katrol aan de arm van de kraan hangt.

d) In hoeveel dagen grazen zes koeien het weiland af?

224 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 225 5.3.2 Grafische betekenis van c in f (x) = c x Voorbeelden c > 1 0 < c < 1 x f (x) = 1 x g (x) = 4 x 4 0,25 1 2 0,5 2 0 | | 2 0,5 2 4 0,25 1  4 x f (x) = 1 x g (x) = 41x 4 0,25 0,062 5 2 0,5 0,125 0 | | 2 0,5 0,125 4 0,25 0,062 5 41 5– 4– 3– 2– 10 123455432112345 yx 4  4 5– 4– 3– 2– 10 123455432112345 yx 41 41 Om de grafiek van de functie g (x) = 4 x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met 4. Om de grafiek van de functie g (x) = 41x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met 41 Je zegt dat de grafiek van f (x) = 1 x verticaal is uitgerekt met factor 4. Je zegt dat de grafiek van f (x) = 1 x verticaal is samengedrukt met factor 4. GeoGebra ©VANIN

226 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 c < 0 x f (x) = 1 x g (x) = 1 x 4 0,25 0,25 2 0,5 0,5 0 | | 2 0,5 –0,5 4 0,25 –0,25  (– 1) x f (x) = 1 x g (x) = 5 x 4 0,25 1,25 2 0,5 2,5 0 | | 2 0,5 –2,5 4 0,25 –1,25  (– 5) 5– 4– 3– 2– 10 123455432112345 yx (–1)  (–1) 5– 4– 3– 2– 10 123455432112345 yx  (–5) (–5) Om de grafiek van de functie g (x) = 1 x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met –1. Om de grafiek van de functie g (x) = 5 x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met –5. De grafiek van f (x) = 1 x is gespiegeld ten opzichte van de x-as De grafiek van f (x) = 1 x is achtereenvolgens: • verticaal uitgerekt met factor 5; • gespiegeld ten opzichte van de x-as Algemeen De grafiek van de functie g (x) = c x , met c Œ R0, ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken. • Voor | c | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | c |. • Voor | c | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | c | Als c < 0, wordt de grafiek ook gespiegeld ten opzichte van de x-as. ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 227 Oefeningen REEKS A 10 Vervolledig de grafieken van de functie f (x) = c x . a) 6– 5– 4– 3– 2– 10 12345643211234 yx b) 6– 5– 4– 3– 2– 10 12345643211234 yx 11 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Maak een schets van de grafiek van g (x). a) g (x) = 3 x c) g (x) = 2 x verticale met factor verticale met factor 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx b) g (x) = 21x d) g (x) = 5 x verticale met factor verticale met factor 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx ©VANIN

228 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 12 Bepaal het functievoorschrift van elke functie f. a) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx c) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx b) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx d) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx REEKS B 13 Bepaal het functievoorschrift van de vorm f (x) = c x (met c Œ R0), als je weet dat: a) het punt A (2, 5) tot de grafiek van de functie behoort. c) het punt A (– 3, 7) tot de grafiek van de functie behoort. f (x) = f (x) = b) het punt A 2, 23 tot de grafiek van de functie behoort. d) het punt A 47 , 143 tot de grafiek van de functie behoort. f (x) = f (x) = ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 229 14 Bepaal het functievoorschrift, het domein, het bereik, het tekenschema en het verloop van elke functie f a) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx c) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx • f (x) = • f (x) = • dom f = ber f = • dom f = ber f = • tekenschema • tekenschema x f (x) x f (x) • verloop • verloop xf xf b) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx d) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx • f (x) = • f (x) = • dom f = ber f = • dom f = ber f = • tekenschema • tekenschema x f (x) x f (x) • verloop • verloop xf xf ©VANIN

230 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 15 Maak gebruik van de grafieken van de functies f en g om de vergelijkingen op te lossen. a) gegeven: 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 fyx g f (x) = 1 x en g (x) = x vergelijking:1 x = x b) gegeven: 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 fyx g f (x) = 1 x en g (x) = x 3 vergelijking:1 x = x 3 c) gegeven: 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 fyx g f (x) = 1 x en g (x) = 2x + 1 vergelijking:1 x = 2x + 1 d) gegeven: 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 fyx g f (x) = 1 x en g (x) = – 3x vergelijking:1 x = – 3x ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 231 REEKS C 16 Welke getallen zijn kleiner dan of gelijk aan hun omgekeerde? Bepaal grafisch. 6– 5– 4– 3– 2– 1 0 12543 54321 123456 yx 17 Los de ongelijkheden op met behulp van ICT, door de grafieken van de functies f en g te tekenen. a) 4 x < – x + 5 c) 2 x ≥ x – 3 f (x) = en g (x) = f (x) = en g (x) = V = V = b) 1 x > x d) 31x £ – x 3 f (x) = en g (x) = f (x) = en g (x) = V = V = Grafische betekenis van c in f (x) = c x : verdiepingsoefeningenXL ©VANIN

232 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 5.3.3 Differentiequotiënt in een interval van f (x) = c x Gegeven: de grafiek van de functie f (x ) = 1 x 8– 7– 6– 5– 4– 3– 2– 102112345 12345678 yx ABCD

In de linker hyperbooltak neemt de daling van de grafiek toe naarmate de waarde van x toeneemt. de rechter hyperbooltak neemt de daling van de grafiek af naarmate de waarde van x toeneemt. controleert dat door de richtingscoëfficiënten van de lijnstukken [AB], [BC] en [CD] te berekenen. Bereken de richtingscoëfficiënt van het lijnstuk [ AB ]. y ∆ • Bereken de richtingscoëfficiënt van het lijnstuk [ BC ]. • Bereken de richtingscoëfficiënt van het lijnstuk [ CD ]. De gevonden waarde is telkens de gemiddelde verandering van de y-waarden of functiewaarden in de intervallen [0,25; 0,5], [0,5; 2] en [2, 5]. Je noemt die waarde het differentiequotiënt Definitie Differentiequotiënt Het differentiequotiënt van een functie f in het interval [a, b] is f (b) – f (a) b a . f(b) f(a) ab yPQfx ∆x ∆y Het differentiequotiënt van een functie f in [a, b] bepaalt de gemiddelde verandering van f in het interval [a, b] en geeft dus de gemiddelde helling van de grafiek van f in [a, b]. f (b) – f (a) b – a = ∆y ∆x is de richtingscoëfficiënt van het lijnstuk door de punten P (a, f (a)) en Q (b, f (b)) van de grafiek van f GeoGebra

∆y ∆ x =

•

©VANIN

x =

∆

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 233 Oefeningen REEKS A 18 Vul de tabel aan. In welk interval is de gemiddelde verandering (toename/afname) het grootst? a) f (x) = 1 x d) f (x) = 2 x x 2 4 10 20 f (x) x 1 2 4 8 f (x) b) f (x) = 51x e) f (x) = 6 x x –10 5 2 1 f (x) x 8 6 4 2 f (x) c) f (x) = 3 x f) f (x) = 41x x 1 2 3 4 f (x) x 10 5 2 1 f (x) ©VANIN

Een kegel ontstaat door een rechte a te wentelen om een andere rechte b Als een vlak een (dubbele) kegel snijdt, dan is dat een kegelsnede. De ligging van het snijvlak ten opzichte van de kegel bepaalt het soort kegelsnede.

©VANIN

• Een parabool is de snijlijn van een vlak dat evenwijdig is met de rechte a

234 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 19 Lees het differentiequotiënt af tussen de aangeduide punten en vul aan. a) f (x) = 2 x 5– 4– 3– 2– 1043211234 1234 yx ABC • differentiequotiënt in het interval [1, 2] is • differentiequotiënt in het interval [2, 4] is • In de rechter hyperbooltak neemt de van de grafiek naarmate de waarde van x toeneemt. b) f (x) = 4 x 5– 4– 3– 2– 1043211234 1234 Ayx BC • differentiequotiënt in het interval [–4, –2] is • differentiequotiënt in het interval [–2, –1] is • In de linker hyperbooltak neemt de van de grafiek naarmate de waarde van x toeneemt.

• Een ellips is de snijlijn van een vlak dat de rechten a en b snijdt.

• Een hyperbool is de snijlijn van een vlak dat evenwijdig is met de rechte b

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 235 REEKS B 20 Bereken de gemiddelde helling van de grafiek tussen de aangeduide punten. a) f (x) = 3 x 6– 7– 5– 4– 3– 2– 103452112345 1 234567 fyx AB b) f (x) = 2 x 6– 7– 5– 4– 3– 2– 103452112345 1 234567 AyxfB c) f (x) = 21x 6– 7– 5– 4– 3– 2– 103452112345 1 234567 yxfAB ©VANIN

VERDIEPING 236 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 REEKS C 21 Bereken de gemiddelde helling van de grafiek tussen de aangeduide punten. a) f (x) = 1 x + 3 6– 5– 4– 3– 2– 102311234567 123456 7 fyx AB b) f (x) = 1 x – 2 + 2 4– 3– 2– 102311234567 1 2345678 9 fyx AB c) f (x) = 2 x – 1 5–4–6– 3– 2– 102345112345 123456 7 fyx AB ©VANIN

VERDIEPING 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 237 22 Een achtbaan is een constructie uit hout of staal waarover karretjes een parcours afleggen met hoge snelheid. Een karretje begint omhoog te rijden volgens de functie f en vervolgt daarna zijn weg volgens de functie g. Het voorschrift van g is g (x) = 17 x – 4, 4 + 2 , met x de horizontale verplaatsing (in m) en g (x) de verticale verplaatsing (in m). 1614121086420 2468 1012141618202224horizontaleverplaatsing (m) verticale verplaatsing (m) fgABC a) Bepaal het differentiequotiënt in het interval [ 8, 10 ]. Rond af op 0,01. b) Wat is de fysische betekenis van het differentiequotiënt in het interval [ 8, 10 ]? c) Bepaal het differentiequotiënt in het interval [ 10, 14 ]. d) Wat is de fysische betekenis van het differentiequotiënt in het interval [ 10, 14 ]? ©VANIN

238 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 5.3.4 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT Voorbeeld Een leerkracht fysica demonstreert haar leerlingen de wet van Boyle. Daarvoor vult ze een injectiespuit van 20 ml met een gas en koppelt ze die spuit aan een druksensor. Terwijl een leerling uit de klas de spuit elke keer een beetje meer indrukt en het volume V (in ml) dus verkleint, leest een andere leerling telkens de gemiddelde druk p (in kPa) af op de druksensor. Dat levert de volgende meetresultaten op: V (ml) 20 17,5 15 12,5 10 7,5 5 p (kPa) 97,65 111,60 130,20 156,24 195,30 260,40 390,60 Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk De punten liggen, bij benadering, op een hyperbooltak. Het verband tussen p en V is dus waarschijnlijk een omgekeerd evenredig verband. 2050100150200250300350400 46 8101214161820 V (ml) p (kPa) Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten. a) Bepaal via regressie het verband tussen de gemiddelde druk p (in kPa) en het volume V (in ml). b) Hoeveel bedraagt de druk als je het gas samendrukt tot een volume van 4 ml? c) Bij welk volume verkrijg je een gemiddelde druk van 140 kPa? Rond af op 0,1 ml. ©VANIN

a) Bepaal via regressie het verband tussen de minimumhoeveelheid te verkopen laptops q en de kostprijs p (in euro). b) Hoeveel laptops moet het bedrijf minstens verkopen om dezelfde omzet te behalen, als het de verkoopprijs vastlegt op 750 euro?

©VANIN

Oefeningen REEKS B 23 Een computerbedrijf beraadt zich over de kostprijs p (in euro) van een nieuwe laptop, die het binnen enkele weken op de markt wil brengen.

Om de vooropgestelde omzet te behalen, moet het bedrijf minstens q laptops verkopen. In de tabel staan enkele voorstellen, uitgewerkt door een van de directieleden. p (euro) 700 720 740 760 780 q 5 714 5 556 5 405 5 263 5 128

Een trendlijn tekenen met behulp van ICT: verdiepingsoefeningXL

24 Elektrische weerstand of resistantie is de elektrische eigenschap van materialen om de doorgang van elektrische stroom te bemoeilijken. Hoe hoger de weerstand R (in W), hoe lager de stroomsterkte I (in A) door een geleider bij een gelijke spanning U (in V). Hieronder staan enkele meetresultaten bij een welbepaalde geleider. R (W) I (A) 50 4,60 100 2,30 200 1,15 500 0,46 1 000 0,23

a) Bepaal via regressie het verband tussen de stroomsterkte I (in A) en de weerstand R (in W). b) Vanaf welke weerstand is de stroomsterkte minder dan 0,50 A?

c) Hoeveel zou de kostprijs van een laptop bedragen, als men zeker is van een minimale verkoop van 5 000 laptops? Rond af op 1 euro.

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 239

Het differentiequotiënt is de verandering van de y-waarde de verandering van de x-waarde = ∆y ∆ x KUNNEN –  + –  +

©VANIN

Het differentiequotiënt van een eerstegraadsfunctie in een welbepaald interval bepalen. 5.2 De functie f (x) = 1 x KUNNEN –  + –  + De grafiek van de functie f (x) = 1 x herkennen. De grafiek van de functie f (x) = 1 x schetsen, uitgaande van een tabel met coördinaten van een aantal punten. Met behulp van de grafiek van f (x) = 1 x onderzoek doen naar: • het domein en het bereik; • de eventuele nulwaarden; • het tekenschema; • het verloop; • symmetrie.

• Het praktisch domein van een functie is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat. Notatie: pdom f

• Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen. Notatie: dom f

• Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden. Notatie: ber f • Het praktisch bereik van een functie is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat.

Notatie: pber f Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0.

Het tekenschema en het verloop van een functie opstellen aan de hand van de grafiek.

240 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 STUDIEWIJZER Functies f ( x ) = c x 5.1 Basisbegrippen over functies voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  +

• de eventuele nulwaarden;

Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x y constant is. De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = cx is een (deel van een) hyperbool. De grafiek van de functie g (x) = cx , met c Œ R0, ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken.

Vraagstukken met gegeven omgekeerd evenredige verbanden oplossen. De grafiek van de functie f (x) = cx herkennen. De grafiek van de functie f (x) = cx tekenen met en zonder ICT. Met behulp van de grafiek van f (x) = cx onderzoek doen naar:

Omgekeerd evenredige verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen.

• het tekenschema; • het verloop;

• een spreidingsdiagram of puntenwolk opstellen en interpreteren;

4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 241 5.3 De functie f (x) = c x voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  +

• een trendlijn met bijbehorend voorschrift bepalen en interpreteren.

©VANIN

• Voor | c | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | c | Als c < 0, wordt de grafiek ook gespiegeld ten opzichte van de x-as. KUNNEN  +  +

• het domein en het bereik;

• het functievoorschrift;

• Voor | c | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | c |.

waarbij, met behulp van een differentiequotiënt, de gemiddelde verandering of de gemiddelde helling van een grafiek wordt berekend.

• Vraagstukkensymmetrie.oplossen

Het verband tussen twee numerieke grootheden in een dataset onderzoeken met ICT en daarbij:

A) r 144 B) r 169 C) r 196 D) r 200 E) r 225 JWO, editie 2020, tweede ronde

D) r De aliens van Mars die zeggen dat ze paarse tenen hebben. E) r De aliens van Venus die zeggen dat ze groene tenen hebben.

242 4 D I HOOFDSTUK 5 I FUNCTIES f (x) = cx 4321 5 108679111213 Problemen uit JWO 1. Op de figuur hieronder is van zes vierkanten de oppervlakte gegeven. Wat is de oppervlakte van het zevende vierkant? 1 16 81 4936 9 ?

C) r De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Venus komen.

2. Sommige aliens hebben groene tenen. De andere hebben paarse tenen. Aliens met groene tenen komen alleen op Mars voor. Welk van de volgende groepen bestaat zeker uit leugenaars?

B) r De aliens met groene tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

JWO, editie 2020, eerste ronde

3. Hoeveel kleuren heb je minimaal nodig om de onderstaande landkaart met zeventien landen in te kleuren? Daarbij mogen twee landen die aan elkaar grenzen, niet dezelfde kleur hebben.

©VANIN

A) r 2 B) r 3 C) r 4 D) r 5 E) r meer dan 5 JWO, editie 2021, eerste ronde

A) r De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 243 HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK 6.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens 244 6.2 Gegroepeerde numerieke gegevens 255 6.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens 269 6.4 Spreidingsmaten 274 6.5 Symmetrische en scheve verdelingen 297 6.6 Tweedimensionale statistiek 305 Studiewijzer 316 Pienter problemen oplossen 320 ©VANIN

244 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 6.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens 6.1.1 Gegevens verzamelen in 2014-2015 werd, in opdracht van de FOD volksgezondheid, een Belgische nationale voedselpeiling gehouden. Het doel van die peiling was om de voedingsinname en -gewoontes van de Belgische bevolking te onderzoeken. 3 200 personen 1 600 mannen1 600 vrouwen 3-5 jaar6-9 jaar10-17 jaar18-39 jaar 40-64 jaar 500 kleuters 500 kinderen 1 adolescenten000 jongvolwassenen600 volwassene600n Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP) De populatie bij dat onderzoek was de volledige Belgische bevolking. Omdat het niet realistisch is om de volledige populatie te ondervragen, werd een steekproef getrokken. Daarvoor werden 3 200 personen geselecteerd en onderverdeeld in 64 groepen van 50 personen, verdeeld over alle provincies in België. Over welk soort steekproef gaat het hier? De ondervraagde personen (de respondenten) zijn de elementen van de steekproef. geslacht man vrouw vermageren 22 % 35 % gewichthoudenstabiel 44 % 46 % bijkomen 5 % 2 % geen zorgen 30 % 18 %

Het staafdiagram toont hoeveel procent van de ondervraagden minstens vijf dagen per week ontbijt. Welk soort gegevens zijn hier verwerkt? een andere vraag was hoeveel tijd men besteedt aan het ontbijt. Welk soort gegevens levert dat kenmerk op? 3–5 6–9 10–13 leeftijd14–17 18–34 35–50 51–64

ondervraagdenprocent1001020304050607080900

mannen vrouwen Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP) minstens vijf dagen ontbijt per week instructiefilmpje

©VANIN

Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP) een van de kenmerken die men onderzocht, was de houding ten opzichte van het persoonlijke lichaamsgewicht. Dat kenmerk leverde niet-geordende categorische gegevens op. Het resultaat van de enquête vind je in de frequentietabel hiernaast.

KWSMGZMi

De kwaliteit van de producten is beter. 38 % De producten zijn beter voor het milieu. 31 %

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 245 6.1.2

SM KW Mi GZ SM Mi KW SM GZ SM Mi GZ GZ Mi GZ KW KW SM KW GZ SM GZ GZ Mi GZ Mi KW SM GZ KW KW SM Mi GZ Mi GZ KW GZ GZ KW SM KW SM GZ SM KW GZ KW KW SM Mi GZ KW Mi reden ni fi

Wat valt er op als je de percentages bekijkt? Hoe komt dat? aan 60 mensen die in de supermarkt bioproducten kochten, werd gevraagd wat de belangrijkste reden was voor hun aankoop. GZ = de gezondheid; SM = de smaak; KW = de kwaliteit; Mi = het milieu. Stel een frequentietabel op. KW GZ SM Mi GZ KW

• Hoeveel mensen die bioproducten kopen, doen dat niet vanwege het milieu?

• Hoeveel procent van de klanten koopt bio vanwege de smaak of de kwaliteit?

©VANIN

Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP)

Categorische gegevens verwerken Een frequentietabel opstellen een van de onderwerpen van de voedselconsumptiepeiling was het onderzoek naar de reden waarom mensen biologische producten kopen. reden aankoop biologische producten

De producten zijn gezonder. 53 % De smaak van de producten is beter. 38 %

246 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 Grafische voorstellingen dotplot 2018161412108642personenaantal belangrijkste reden tot aankoop van bioproducten bij 60 mensen GZ = gezondheid; SM = smaak; KW = kwaliteit; MI = milieu GZ KW MISM staafdiagram personeaantaln 20181614121086420 belangrijkste reden tot aankoop van bioproducten bij 60 mensen GZ = gezondheid; SM = smaak; KW = kwaliteit; MI = milieu GZ KW MISM 19 17 13 11 cirkeldiagram belangrijkste reden tot aankoop van bioproducten bij 60 mensen GZ = gezondheid; SM = smaak; KW = kwaliteit; MI = milieu 31,67 % 21,67 % 28,3318,33% % MIKWSMGZ ICT ICT ICT ©VANIN

DUvLFrBr

a) Stel een frequentietabel op. regio n i f i

c) Teken met icT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.

•

d) Teken met icT een cirkeldiagram voor de relatieve frequentie.

g) Op 1 december 2021 werkten 28 836 mensen op de site. Hoeveel daarvan zouden, volgens de steekproef, uit de Duitstalige Gemeenschap komen?

e) Hoeveel van de 80 respondenten zijn afkomstig uit de vlaamse Gemeenschap of Brussel?

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 247 Oefeningen REEKS B 1 Op de site van Brussels Airport in Zaventem werken meer dan 20 000 mensen. Aan 80 van hen wordt gevraagd uit welk landsgedeelte ze afkomstig zijn. VL = Vlaamse Gemeenschap; FR = Franse Gemeenschap; DU = Duitstalige Gemeenschap; BR = Brussel. Fr vL vL Br Fr vL DU Fr vL Br vL Fr vL vL Fr Fr vL Br Br vL Br vL Fr Fr vL Br Fr vL vL vL Fr Fr vL Br vL Fr vL vL Br Fr vL vL Fr vL DU Br Fr Fr vL Br Br Fr vL Fr Fr vL Fr vL vL Fr vL Fr Fr vL Fr Br vL DU Fr vL DU Fr vL Br vL vL Fr Fr Br vL

b) Teken met icT een dotplot voor de absolute frequentie.

f) Hoeveel procent is niet afkomstig uit de Franse Gemeenschap?

h) Druk het verschil uit tussen het aantal werknemers uit de vlaamse Gemeenschap en het aantal werknemers uit de Franse Gemeenschap. in procentpunt: • in procent: ICT ©VANIN

248 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 6.1.3 Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken Een frequentietabel opstellen Groenten en fruit horen bij een gezonde levensstijl. • De aanbevolen consumptie van fruit bedraagt twee stukken per dag. • Slechts 9 % van de bevolking (3-64 jaar) voldoet aan de aanbeveling. • Twee op de drie (64 %) jonge kinderen (3-5 jaar) halen wel de richtlijn voor fruit. Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP) aan 48 leerlingen van een vierde jaar wordt gevraagd hoeveel stukken fruit ze gisteren hebben gegeten. Stel een frequentietabel op. 1 0 4 2 0 1 xi ni fi cni cfi 2 3 1 2 1 3 0 5 1 0 1 3 2 1 0 2 1 2 3 1 2 1 1 2 0 4 2 3 2 2 1 4 0 5 4 1 0 2 1 3 4 5 3 2 3 1 1 0 • Welk deel van de leerlingen at gisteren twee stukken fruit? • Hoeveel leerlingen aten gisteren drie of vier stukken fruit? • Geef de betekenis van de cumulatieve relatieve frequentie van het waarnemingsgetal 3. • Hoeveel procent van de ondervraagde leerlingen at gisteren minstens één stuk fruit? • is de steekproef die hier is uitgevoerd, een goede steekproef? Waarom (niet)? instructiefilmpje ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 249 Grafische voorstellingen dotplot en staafdiagram 2018161412108642leerlingenaantal 0 1 2 3 4 5 fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per dag leerlingenaantalrelatief 0 1 2 34 5 16,67 % 31,25 % 25,00 % 14,58 % 8,33 % 4,17 % fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per dag 0,00 % 5,00 % 10,00 % 15,00 % 20,00 % 25,00 % 30,00 % 35,00 % lijndiagram leerlingenaantal fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per 01234dag 5 1614121086420 cumulatief staaf- en lijndiagram leerlingenaantalcumulatief 80 41 2 3 5 fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per dag 50403020100 23 35 42 46 48 leerlingenaantalrelatiefcumulatief 04123 5 fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per dag 0,00 % 10,00 % 30,00 % 50,00 % 70,00 % 90,00 % 20,00 % 40,00 % 60,00 % 80,00 % 100,00 % ICT ICT ICT ©VANIN

250 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 Oefeningen REEKS B een vegetariër eet geen vlees en geen vis. iemand die wel vis eet, maar geen vlees, is een Veganistenpescotariërbannen alle dierlijke producten (dus ook melk, eieren, lederwaren …) uit hun leven. Mensen die, vanwege hun gezondheid of uit zorg voor het milieu, op sommige dagen geen vlees of vis eten, noem je flexitariërs 2 Aan 110 Vlaamse gezinnen wordt gevraagd hoeveel dagen van de week ze helemaal geen vlees of vis eten. 4 1 7 1 5 1 0 3 1 2 0 3 0 1 2 4 0 5 2 0 7 3 2 1 0 1 0 1 0 6 3 1 2 1 5 3 1 1 7 0 2 1 0 5 0 1 4 0 3 0 1 4 0 2 0 7 3 2 0 0 1 0 1 0 0 1 0 4 0 2 6 0 1 3 2 0 4 2 1 0 4 0 1 0 0 7 0 3 1 0 0 2 3 1 0 4 0 2 0 0 2 0 1 0 2 1 0 3 1 7 a) Stel een frequentietabel op. x i n i f i cn i cf i 01234567 b) Hoeveel procent van de gezinnen is vegetarisch? c) Geef de betekenis van de cumulatieve relatieve frequentie van 2. d) Hoeveel gezinnen eten meer dan de helft van de dagen geen vlees of vis? ICT ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 251 6.1.4 Centrummaten bij niet-gegroepeerde numerieke gegevens (rekenkundig) gemiddelde mediaan modus Het gemiddelde x van een rij getallen x 1, x 2, ..., x n is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen: x = x i i = 1 nn De mediaan Me van een gerangschikte rij met n getallen, is het getal met rangorde n + 1 2 De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie. je rondt het gemiddelde af op één cijfer meer na de komma dan de oorspronkelijke gegevens. Welke centrummaten worden gebruikt in deze vier voorbeelden? in vergelijking met 2010 is de consumptie van brood in 2020 afgenomen. De consumptie van fruit is gelijk gebleven. De helft van de tieners in Limburg leest minstens twee boeken per maand. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 6,5,5,4,4,3,3,2,2,050505050 19645,0 19803,7 20002,7 20192,4 vruchtbaarheidsgraad wereldwijd Bron: data.worldbank.org eenpersoonshuishoudens zijn het meest voorkomende huistype. 2019: vruchtbaarheidsgraad wereldwijd gehalveerd tot 2,4 (als het getal onder 2,1 zakt, begint de bevolking te krimpen) ©VANIN

252 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 Centrummaten uit een niet-gegroepeerde frequentietabel bepalen een leerkracht nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten. vul de frequentietabel aan. xi ni fi cni cfi 0 7 1 10 2 9 3 14 4 8 5 11 6 8 7 6 • Om het gemiddelde te berekenen, gebruik je de formule x = ni x i i = 1 k n Daarbij is k het aantal verschillende gegevens. x Schat= het totale aantal gemaakte fouten, als er 150 leerlingen het dictee maken. • De mediaan bepaal je met behulp van de cumulatieve frequentieverdeling. Geef de betekenis van de mediaan: • Wat is het meest voorkomende aantal fouten? • De leerkracht trekt één punt af per gemaakte fout. Bereken het klasgemiddelde op 10. • Welke centrummaat wordt beïnvloed, als een van de leerlingen die zeven fouten maakte, tien fouten had gemaakt? instructiefilmpje ©VANIN

a) Kinderen ontbijten vaker dan tieners. b) De helft van de mensen heeft minstens drie cOviD-19-zelftesten gedaan in 2021. c) nederlanders zijn groter dan Belgen.

©VANIN

4 Welke centrummaat werd gebruikt bij de onderstaande onderzoeksresultaten?

b) als de leerkracht na een toets zegt dat je bij de betere helft van de klas hoort, dan ligt je score boven het gemiddelde. r r

a) De mediaan is niet vatbaar voor uitschieters. r r

Juist of fout? Duid aan met een vinkje en verklaar je antwoord. juist fout

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 253 Oefeningen REEKS B 3

c) als je de punten van twee klassen van dezelfde richting voor een proefwerk wilt vergelijken, gebruik je de mediaan. r r

d) als je wilt aantonen dat een bepaald gegeven het meest voorkomt, gebruik je de modus. r r e) Het is mogelijk dat alle gegevens, op één na, kleiner zijn dan het gemiddelde. r r

254 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 5 In een bedrijf wordt op een dag bij alle bedienden geregistreerd hoeveel koppen koffie ze die dag hebben gedronken. xi ni fi cni cfi 0 5 1 6 2 7 3 14 4 11 5 8 6 4 7 2 8 0 9 581 a) vul de frequentietabel aan. b) De helft van de bedienden dronk minstens koppen. c) in een ander bedrijf werken 95 bedienden. Schat hoeveel koppen koffie men daar per dag moet voorzien. 6 Het cirkeldiagram toont de grootte van de huishoudens in Vlaanderen in 2021. Het aantal huishoudens met meer dan zes personen werd niet opgenomen in het onderzoek. aantal personen per huishouden in Vlaanderen12345631,9 % 34,3 % 14,1 % 13,24,5% % 2,0 % a) Bepaal de modus. b) Geef de betekenis van de modus. c) Hoe groot is het gemiddelde huishouden in vlaanderen? d) Bepaal de mediaan. e) Geef de betekenis van de mediaan. ICT ICT ©VANIN

Op het staafdiagram zie je dat er maar liefst 33 verschillende waarden zijn, elk met een absolute frequentie gelijk aan 1, 2 of 3.

• een klasse is een interval dat gesloten is in zijn ondergrens en open in zijn bovengrens.

massa (kg)

• De klassenbreedte is het verschil tussen de bovengrens en de ondergrens van de klasse. je kiest voor alle klassen een gelijke klassenbreedte. Bijvoorbeeld: de breedte van de klasse [45, 50[ is 50 – 45 = 5.

©VANIN

Bijvoorbeeld: de klasse [45, 50[. De grenzen van de klasse noem je de klassengrenzen

• Het klassenmidden mi is het gemiddelde van de klassengrenzen van de i-de klasse. Bijvoorbeeld: het midden van de klasse [45, 50[ is 45 + 50 2 = 47,5.

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 255 6.2 Gegroepeerde numerieke gegevens 6.2.1 Gegroepeerde frequentietabel Onderzoek naar de massa, in kilogram, van de zesdejaars in een school leverde de volgende resultaten op. 65 76 88 70 69 59 77 90 58 77 53 58 53 66 90 80 54 86 75 64 68 63 68 58 75 69 78 59 83 83 94 73 66 76 63 69 48 81 86 81 80 84 61 76 68 57 75 59 70 48 73 79 85 85 85 52 60 52 52 77 86 93 83 87 64 48 81 66 massa zesdejaars leerlingenaantal 4849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394 3012

• Het aantal klassen is minimaal 5 en maximaal 15.

• Het kleinste gegeven behoort tot de eerste klasse en het grootste gegeven tot de laatste klasse. instructiefilmpje

Daarom is het overzichtelijker om de gegevens in klassen te groeperen

256 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 massa (kg) mi ni fi cni cfi [45, 50[ 47,5 3 4,41 % 3 4,41 % [50, 55[ 52,5 6 8,82 % 9 13,24 % [55, 60[ 57,5 7 10,29 % 16 23,53 % [60, 65[ 62,5 6 8,82 % 22 32,35 % [65, 70[ 67,5 10 14,71 % 32 47,06 % [70, 75[ 72,5 4 5,88 % 36 52,94 % [75, 80[ 77,5 11 16,18 % 47 69,12 % [80, 85[ 82,5 9 13,24 % 56 82,35 % [85, 90[ 87,5 8 11,76 % 64 94,12 % [90, 95[ 92,5 4 5,88 % 68 100,00 % 68 100,00 % als je de resultaten onderbrengt in een gegroepeerde frequentietabel, zie je alleen nog dat er bijvoorbeeld zes gegevens tot de klasse [50, 55[ behoren. Wat die gegevens zijn, is niet meer zichtbaar. Dat houdt een verlies aan informatie in. • Hoeveel leerlingen wegen tussen 65 kg en 70 kg? • Geef de betekenis van de relatieve frequentie van de derde klasse. • Hoeveel procent van de leerlingen weegt tussen 70 kg en 80 kg? • Geef de betekenis van de cumulatieve absolute frequentie van de derde klasse. • Hoeveel procent van de leerlingen weegt minstens 85 kg? ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 257 6.2.2 Een gegroepeerde frequentietabel opstellen met ICT REKENMACHINE Bij continue gegevens kun je de absolute frequenties van de klassen bepalen door gebruik te maken van een statistische plot. actie knoppen scherm Maak een statistische plot van het type voor de lijst MaSSa: • Zet de plot aan, voer als Xlijst de lijst MaSSa in en stel Freq gelijk aan 1. 2nd staty=plot f1 1 L1 Y entrenterysolve 2nd liststat • Kies een grafisch venster: ■ Xmin = 40 (ondergrens eerste klasse) ■ Xmax = 100 (bovengrens laatste klasse) ■ Xschaal = (klassenbreedte)5 tblwindowsetf2 • Teken de statistische plot, lees de frequenties af en noteer ze om straks een frequentietabel op te stellen. caltablegraphf5tracecf4 voor een frequentietabel open je de lijsteneditor. actie knoppen scherm • voer in L1 de klassenmiddens in. • voer in L2 de bepaalde absolute frequenties in. • Bereken in L3 de relatieve frequentie (breng in het formulevak van de 3e kolom =afronden(L2 / som(L2)*100,2) in). liststat 1 L1 Y (totin kolomhoofd) 2nd liststat 5 L5 U • Bereken in L4 de cumulatieve absolute frequentie (breng in het formulevak van de 4e kolom =cumSom(L2) in). • Bereken in L5 de cumulatieve relatieve frequentie (breng in het formulevak van de 5e kolom =afronden(L4 / som(L2)*100,2) in). 2nd liststat 6 L6 V ©VANIN

EXCEL Om de klassenfrequenties te bepalen, gebruik je de functie DieinTervaL(gegevensmatrix;interval_verw).functieteltvaneengeselecteerdgebied (de gegevensmatrix) hoeveel elementen in een interval ]a, b] liggen, waarbij a en b twee opeenvolgende getallen zijn van de intervalverwijzing. Omdat je in de statistiek met intervallen van de vorm [a, b[ werkt, moet je een hulpkolom gebruiken: per klasse voer je de werkelijke klassenbovengrenzen in. Open het bestand ‘massa.xlsx’ en ga als volgt te werk.

GEOGEBRA ICT

• Geef de werkelijke klassenbovengrenzen (w.k.b.) in de G-kolom in.

258 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213

• Formule: =inTervaL(a1:j7;G12:G21).

• Het resultaat van de telling komt in de geselecteerde cellen.

• Druk Shift + Ctrl + Enter om de matrix te verwerken.

• Werk de frequentietabel verder af. ICT

©VANIN

• Selecteer in één keer alle cellen waarin het resultaat van de telling moet komen (dat noem je een matrix). je selecteert dus de cellen c12 tot en met c21.

L2 (of L3 ) in. 2nd

de staven. ■

■

0 %. • Kies

met

121084260

en kies voor

Teken

werk. •

• Xschaal = 5 (klassenbreedte) tblwindowsetf2 activeer een statistische plot het derde Xlijst: en naast Freq: staty=plot entrenterysolve het Excel Open het en ga als volgt te Selecteer de cellen met de absolute freqenties en voeg een staafdiagram Om de staven tegen elkaar te plaatsen: rechtermuisklik op een van Gegevensreeks opmaken. Breedte tussenruimte: voor een randkleur een ononderbroken streep. GeoGebra

■

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 259 6.2.3 Grafische voorstellingen Histogram De frequentie bij de gegroepeerde gegevens over de massa van de zesdejaars stel je voor door een histogram een histogram is een staafdiagram met aaneengesloten staven dat gebruikt wordt bij gegroepeerde gegevens.

Het histogram met de grafische rekenmachine actie knoppen scherm Kies vensterinstellingen aangepast aan de gegevens: • Xmin = 40 (ondergrens eerste klasse min klassenbreedte)

type. vul naast

Het histogram met

bestand ‘massa.frequentietabel.xlsx’

Op de horizontale as plaats je de klassen en op de verticale as de frequentie. massa zesdejaars leerlingenaantal massa (kg) [45, 50[[50, 55[[55, 60[[60, 65[[65, 70[[70, 75[[75, 80[[80, 85[[85, 90[[90, 95[

• Xmax = 100 (bovengrens laatste klasse plus klassenbreedte)

histogram. tablegraphf5 Het histogram met

in. •

260 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213

klasse

De frequentiepolygoon sluit aan op de horizontale as in de punten (a, 0) en (b, 0).

Op die manier ontstaat een veelhoek of polygoon. mi ni fi [95,100[97,500,0[80,85[82,5913,24%[60,65[62,568,82%[55,60[57,5710,2[40,45[42,500,00%[45,50[47,534,41%[50,55[52,568,82%9%[65,70[67,51014,71%[70,75[72,545,88%[75,80[77,51116,18%[85,90[87,5811,76%[90,95[92,545,88%0%

verbindt.

Daarbij is a het klassenmidden van de klasse die de eerste klasse van de steekproef voorafgaat, en b het klassenmidden van de klasse die op de laatste klasse van de steekproef volgt.

massamassazesdejaars(kg)leerlingenaantalprocentueel 0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 % 18,00 % 42,5 47,552,557,562,567,572,577,582,587,592,5 97,5 De frequentiepolygoon met de grafische rekenmachine actie knoppen scherm Open de lijsteneditor. liststat entrenterysolve voeg in de frequentielijst: • een klassenmidden toe vóór dat van de eerste klasse en een klassenmidden na dat van de laatste klasse; • de bijbehorende frequenties in L2 stel je 0 (L2(1)=0 via inS). 2nd insdel (dusINS) Kies vensterinstellingen aangepast aan de gegevens: • Xmin = 40 • Xmax = 100 • Xschaal = 5 tblwindowsetf2 activeer een statistische plot en kies voor het tweede type. vul naast Xlijst: L1 en naast Freq: L2 (of L3 ) in. 2nd staty=plot f1 entrenterysolve Teken de frequentiepolygoon. tablegraphf5 instructiefilmpje ©VANIN

Frequentiepolygoon een frequentiepolygoon is een type lijndiagram dat gebruikt wordt bij gegroepeerde gegevens dat de roosterpunten (mi , ni ) of (mi , fi )

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 261 REEKSOefeningenA 7 Aan 100 jongeren werd gevraagd hoeveel zakgeld ze per maand krijgen. zakgeld per maand jongerenaantal 05 10152025303540455055 60 12101416201842608 zakgeld (euro) a) Welke klasse telt het grootste aantal jongeren? b) Hoeveel jongeren krijgen tussen 30 en 40 euro zakgeld? c) Hoeveel procent van de jongeren krijgt minder dan 10 euro zakgeld? 8 Tijdens het medisch onderzoek meet de verpleegster de lichaamslengte. De frequentiepolygoon toont de lichaamslengte van een groep jongens. lengte (cm) jongensaantal 302520151005 145150155160165170175180185190195200lichaamslengtejongens a) Maak een frequentietabel. lengte (cm) ni cni b) Hoeveel jongens werden tijdens het onderzoek gemeten? c) Hoeveel jongens zijn kleiner dan 170 cm? d) Hoeveel procent van de jongens meet 190 cm of meer? ©VANIN

262 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 REEKS B 9 Aan de klanten van een broodjeszaak is gevraagd hoelang ze moesten aanschuiven vooraleer ze hun bestelling kregen. wachttijden in de broodjeszaak tijd (minuten) 0,00 % 5,00 % 10,00 % 15,00 % 20,00 % 25,00 % 30,00 % [0, 1[[1, 2[[2, 3[[3, 4[[4, 5[[5, 6[[6, 7[[7, 8[ 7,35 % 11,76 % 25,00 % 22,06 % 14,71 % 8,82 % 5,88 % 4,41 %wachtendenaantalrelatief a) vervolledig de frequentietabel. wachttijd (min) ni fi cni cfi [0, 1[ 7,35 % [1, 2[ 11,76 % [2, 3[ 25,00 % [3, 4[ 22,06 % [4, 5[ 14,71 % [5, 6[ 8,82 % [6, 7[ 5,88 % [7, 8[ 4,41 % 68 100,00 % b) Geef de betekenis van de cumulatieve absolute frequentie van de tweede klasse. c) Hoeveel mensen hebben tussen 2 en 4 minuten gewacht? d) Hoeveel procent van de mensen heeft minstens 5 minuten gewacht? e) een op de vier mensen wachtte tussen en minuten. ©VANIN

a) vervolledig de frequentietabel.

f) Teken met icT een histogram voor de absolute frequentie.

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 263 10 Gedurende een aantal dagen werd het aantal bezoekers van een website bijgehouden. bezoekersaantal mi ni fi cni cfi [0, 50[ 10 [50, 100[ 19 [100, 150[ 25 [150, 200[ 34 [200, 250[ 18 [250, 300[ 12 [300, 350[ 6

c) Gedurende hoeveel dagen telde men tussen 100 en 250 bezoekers?

ICT ©VANIN

b) Gedurende hoeveel dagen werd het bezoekersaantal bijgehouden?

g) Teken met icT een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie.

d) Hoeveel dagen werden er 200 of meer bezoekers geteld? e) Schat hoeveel dagen van een volledig jaar er minder dan 100 bezoekers zijn.

c) Hoeveel mensen tussen 40 en 60 jaar wonen de film bij?

e) Hoeveel bezoekers zijn minstens 30 jaar?

f) Bij een soortgelijke film zijn er 88 mensen aanwezig. Schat hoeveel daarvan minstens 50 jaar zijn.

a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 10. leeftijd mi ni fi cni cfi [10, 20[

ICT ©VANIN

b) Uit welke leeftijdsklasse komen de meeste filmbezoekers?

264 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 11 Aan de bezoekers van een film in een bioscoop wordt de leeftijd gevraagd. 17 25 34 44 42 38 18 16 41 55 57 38 38 18 19 42 24 21 45 48 65 41 38 18 19 27 24 17 62 43 46 39 54 41 44 62 24 19 32 24 37 35 41 54 52 40 34 22 38 24 22 28 29 45 51 40 33 30 21 20 61 32 44 66

i) Hoeveel procentpunt meer 20- tot 30-jarigen waren er dan 10- tot 20-jarigen?

d) Hoeveel procent van de bezoekers is jonger dan 40 jaar?

g) Teken met icT een histogram voor de absolute frequentie. h) Teken met icT een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie.

j) Hoeveel procent meer 20- tot 30-jarigen waren er dan 10- tot 20-jarigen? rond af op 0,1 %.

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 265 12 Op een examen wiskunde op 140 werden de volgende punten behaald. 121 94 120 96 100 97 88 69 85 53 107 112 93 99 111 90 98 104 72 96 64 80 107 85 107 101 99 80 110 76 88 72 107 64 75 43 85 69 91 113 88 107 93 80 72 91 53 75 97 91 75 53 111 86 99 80 96 88 91 64 69 a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 10. punten mi ni fi cni cfi b) Hoeveel leerlingen behaalden tussen 100 en 130? c) Hoeveel leerlingen slaagden? d) Teken met icT een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie. e) Schat hoeveel leerlingen er minder dan 105 op 140 behaalden. ICT ©VANIN

266 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 13 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa bepaald in gram. 73 100 131 95 99 95 112 101 124 114 118 108 56 125 82 93 143 100 113 72 86 128 118 102 94 106 132 92 111 117 69 108 104 111 100 102 96 89 77 108 144 117 93 107 105 46 141 65 100 106 81 81 138 99 56 94 77 105 117 133 98 101 125 133 103 137 71 119 92 77 102 105 109 128 31 96 100 117 119 53 107 130 78 107 141 110 79 98 99 139 116 129 94 98 97 116 a) Maak een frequentietabel. De benedengrens van de eerste klasse is 30 en de klassenbreedte is 15. massa (g) mi ni fi cni cfi b) Hoeveel aardappelen wegen tussen 75 en 120 g? c) Hoeveel procent van de aardappelen weegt minder dan 90 g? d) Hoeveel aardappelen wegen 120 g of meer? e) Teken met icT een histogram voor de absolute frequentie. f) Teken met icT een frequentiepolygoon voor de absolute frequentie. ICT ©VANIN

auto’s reden 30 tot 45 km/h?

een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie. g)

een histogram voor de absolute frequentie. h)

reed minder dan 50 km/h? e)

f) Teken met icT Teken met icT er

d) Hoeveel procent Hoeveel

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 267 14 In de tabel staan de snelheden (in km/h) die tijdens een snelheidscontrole in de bebouwde kom werden opgetekend. 48 52 50 49 45 62 38 42 41 52 51 49 50 64 72 55 50 46 58 38 42 28 54 48 47 45 50 40 41 48 47 46 52 58 50 44 57 51 72 53 49 48 46 44 42 50 48 48 47 35 36 42 48 54 52 48 55 55 50 56 41 47 29 45 34 64 75 34 42 46 48 48 47 50 40 57 54 63 55 58 a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 5. snelheid(km/h) mi ni fi cni cfi b) Hoeveel auto’s werden gecontroleerd? c) Hoeveel van de gecontroleerde voertuigen reden minstens 70 km/h?

Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Je noteert de gegevens in een tabel met ruwe gegevens.

268 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213

b) Hoeveel procent van de leerlingen is minder dan een uur per dag bezig met de smartphone?

d) Hoeveel procent is tussen een uur en twee uur bezig? e) Teken met icT: • een histogram voor de relatieve frequentie; • een frequentiepolygoon voor de absolute frequentie.

©VANIN

c) Hoeveel leerlingen zijn langer dan twee uur per dag bezig?

Uit een onderzoek van het Wetenschappelijk instituut voor volksgezondheid in België blijkt dat 55 % van de adolescenten op een weekdag de aanbevolen limiet van twee uur schermtijd op de smartphone overschrijdt. Op een weekenddag loopt dat percentage op tot 84 %.

f) Schat bij hoeveel leerlingen de schermtijd hoogstens anderhalf uur is.

a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met breedte 20. schermtijd(min) mi ni fi cni cfi

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 269 6.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens 6.3.1 Het gemiddelde aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 3 7 36 5 10 1 22 2 4 15 3 11 12 25 4 2 13 6 5 31 10 2 12 18 6 1 41 7 4 8 19 12 17 24 9 19 23 12 17 9 32 13 30 1 3 15 5 6 7 20 3 38 44 11 24 14 8 23 12 37 11 13 33 26 8 1 9 39 17 8 18 21 10 29 18 2 25 28 11 21 8 29 6 Bereken het gemiddelde met icT: Het gemiddelde uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen Stel dat je niet over de tabel met ruwe gegevens beschikt, maar enkel over een frequentietabel. Om het gemiddelde te bepalen vanuit een gegroepeerde frequentietabel, vertegenwoordig je alle gegevens van een klasse door hun klassenmidden. Formule x ≈ n i m i i = 1 k n Daarbij is k het aantal verschillende klassen en n = n i i = 1 k frequentietabel met klassenbreedte 5 frequentietabel met klassenbreedte 10 klasse mi ni ni  mi [0, 5[ 2,5 15 37,5 [5, 10[ 7,5 18 135 [10, 15[ 12,5 16 200 [15, 20[ 17,5 10 175 [20, 25[ 22,5 8 180 [25, 30[ 27,5 6 165 [30, 35[ 32,5 4 130 [35, 40[ 37,5 4 150 [40, 45[ 42,5 2 85 83 1 257,5 klasse mi ni ni  mi [0, 10[ 5 33 [10, 20[ 15 26 [20, 30[ 25 14 [30, 40[ 35 8 [40, 50[ 45 832 x ≈ 1 257,583 ≈ 15,2 x ≈ 83 ≈ Wat stel je vast als je de gemiddelden vergelijkt? instructiefilmpje ©VANIN

270 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 6.3.2 De mediaan Bereken voor de tabel met ruwe gegevens van de vorige pagina de mediaan met icT: De mediaan uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen Stel dat je niet over de tabel met ruwe gegevens beschikt, maar enkel over een frequentietabel. je bepaalt dan eerst de klasse waarin het getal met rangorde n + 1 2 (de 50 %-grens) is gelegen. Die klasse noem je de mediaanklasse frequentietabel met klassenbreedte 5 frequentietabel met klassenbreedte 10 klasse mi ni cni cfi [0, 5[ 2,5 15 15 18,07 % [5, 10[ 7,5 18 33 39,76 % [10, 15[ 12,5 16 49 59,04 % [15, 20[ 17,5 10 59 71,08 % [20, 25[ 22,5 8 67 80,72 % [25, 30[ 27,5 6 73 87,95 % [30, 35[ 32,5 4 77 92,77 % [35, 40[ 37,5 4 81 97,59 % [40, 45[ 42,5 2 83 100,00 % klasse mi ni cni cfi [0, 10[ 5 33 [10, 20[ 15 26 [20, 30[ 25 14 [30, 40[ 35 8 [40, 50[ 45 2 De mediaan kun je benaderen door het klassenmidden te nemen van de mediaanklasse. Me ≈ Me ≈ Ook nu zie je een mogelijk verlies aan nauwkeurigheid als de klassenbreedte groter wordt. 6.3.3 De modale klasse Definitie Modale klasse De modale klasse is de klasse met de grootste frequentie. Voorbeeld Bepaal de modale klasse bij de afstand van huis naar school: Centrummaten bij gegroepeerde gegevens met GeoGebraICT ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 271 REEKSOefeningenA 16 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa bepaald in gram. (zie oefening 13) 73 100 131 95 99 95 112 101 124 114 118 108 56 125 82 93 143 100 113 72 86 128 118 102 94 106 132 92 111 117 69 108 104 111 100 102 96 89 77 108 144 117 93 107 105 46 141 65 100 106 81 81 138 99 56 94 77 105 117 133 98 101 125 133 103 137 71 119 92 77 102 105 109 128 31 96 100 117 119 53 107 130 78 107 141 110 79 98 99 139 116 129 94 98 97 116 a) Hoeveel weegt de zwaarste helft van de aardappelen? b) je neemt 500 willekeurige aardappelen. Schat de totale massa op 1 g nauwkeurig. c) vergelijk het gemiddelde en de mediaan. Wat kun je daaruit besluiten? 17 In de tabel staan de snelheden (in km/h) die tijdens een snelheidscontrole in de bebouwde kom werden opgetekend. De maximale toegelaten snelheid is er 50 km/h. 48 52 50 49 45 62 38 42 41 52 51 49 50 64 72 55 50 46 58 38 42 28 54 48 47 45 50 40 41 48 47 46 52 58 50 44 57 51 72 53 49 48 46 44 42 50 48 48 47 35 36 42 48 54 52 48 55 55 50 56 41 47 29 45 34 64 75 34 42 46 48 48 47 50 40 57 54 63 55 58 a) Welke centrummaat gebruik je om te illustreren wat de snelheidsbeperking is? Bereken die centrummaat. b) Klopt de bewering dat meer dan de helft van de auto’s te snel reed? ICT ICT ©VANIN

272 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213

19 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2021. leeftijd ni [0, 10[ 1 251 844 [10, 20[ 1 314 027 [20, 30[ 1 400 394 [30, 40[ 1 499 283 [40, 50[ 1 502 379 [50, 60[ 1 589 611 [60, 70[ 1 367 238 [70, 80[ 948 882 [80, 90[ 528 558 [90, 100[ 116 859 [100, 110[ 2 163 a) vul de frequentietabel aan met icT. b) Bereken de gemiddelde leeftijd in België. c) Bepaal de mediaan. d) Geef de betekenis van de mediaan. e) Wat is de modale klasse? f) Hoeveel procent van de bevolking behoort tot die modale klasse? ICT ICT

©VANIN

REEKS B 18 In een drukke winkelstraat werd aan 200 vrouwen gevraagd welk budget ze elke maand aan kleding besteden. De resultaten worden weergegeven in de frequentietabel. budget ni [0, 100[ 15 [100, 200[ 73 [200, 300[ 38 [300, 400[ 26 [400, 500[ 19 [500, 600[ 14 [600, 700[ 8 [700, 800[ 4 [800, 900[ 2 [900, 1 000[ 1 a) Bereken het gemiddelde. b) Geef de betekenis van het gemiddelde. c) Bepaal de mediaan. d) Geef de betekenis van de mediaan. e) Welke bedragen worden het meest besteed?

a) Geef een schatting van het totale aantal uren schermtijd per dag van de leerlingen van jouw klas (of jaar).

REEKS C De as van een wiel wordt bevestigd in een kogellager een lager is een asblok waarin de as kan draaien en heeft als belangrijkste taak het verlagen van de wrijving tussen de verschillende onderdelen. een kogellager bestaat uit een binnen- en een buitenring, met daartussen een rij bolvormige kogels. Bij de draaibeweging draaien de kogels mee, waardoor veel wrijving wordt voorkomen.

21 Een bedrijf maakt kogellagers die een diameter van 20,5 mm moeten hebben.

c) Bepaal de modale klasse en geef de betekenis.

d) Welke centrummaat gebruik je het best om je eigen schermtijd te vergelijken met de schermtijd van de ondervraagde leerlingen?

d) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.

b) De helft van de leerlingen van de klas (of het jaar) is minstens minuten per dag bezig met de smartphone.

ICT

Als controle wordt er een steekproef uitgevoerd bij 160 willekeurig gekozen kogellagers. klasse ni [20,0; 20,1[ 9 [20,1; 20,2[ 13 [20,2; 20,3[ 17 [20,3; 20,4[ 26 [20,4; 20,5[ 34 [20,5; 20,6[ 23 [20,6; 20,7[ 16 [20,7; 20,8[ 12 [20,8; 20,9[ 9 [20,9; 21,0[ 1

c) Welke centrummaat zou je gebruiken om het aantal minuten schermtijd van leerlingen van verschillende leeftijden te vergelijken?

Gebruik de verwerking van oefening 15 en beantwoord de volgende vragen.

20 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag.

©VANIN

a) vul de frequentietabel aan met icT. b) is de machine die de kogellagers maakt, goed afgesteld?

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 273

274 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 6.4 Spreidingsmaten 6.4.1 Inleiding temperatuurverschil 2020 en 1981-2010 Bron: climate.copernicus.eu, 2020 Bron: Statbel, 2021 0 % 2 % 4 % 6 % 8 % 10 % 12 % 949,917-0015 999,919-5017 949,922-0020 999,924-5022 949,927-0025 999,929-5027 949,932-0030 999,934-5032 949,937-0035 999,939-5037 949,942-0040 999,944-5042 949,947-0045 999,949-5047 949,952-0050 999,954-5052 949,957-0055 999,959-5057 949,962-0060 999,964-5062 949,967-0065 999,969-5067 949,972-0070 999,974-5072 949,977-0075 999,979-5077 8000>= vrouwen mannen verdeling beroepsbevolking Vlaams Gewest naar maandelijks inkomen en geslacht Tussen 1981-2010 en 2020 is de gemiddelde jaartemperatuur op aarde met 0,8 ºc toegenomen. Het gemiddelde netto maandelijkse inkomen in vlaanderen in 2020 bedroeg 1 903 euro. Mannen zijn gemiddeld 16 cm groter dan vrouwen. De grootste Belgische vrouw is 204 cm groot. Haar man is 14 cm kleiner. Katten worden gemiddeld 14 jaar. een kwart wordt echter niet ouder dan 9 jaar en een kwart wordt zelfs ouder dan 17 jaar. percentage0102030405060totaalmannen vrouwen leeftijd18-3435-4950-6465+ totaal overgewichtmatig overgewichternstig overgewicht overgewicht volwassenen Bron: RIVM, 2019 gemeenten met duurste bouwgrond 1 antwerpen 479 euro/m2 2 Leuven 417 euro/m2 3 Koksijde 373 euro/m2 4 Gent 342 euro/m2 5 asse 334 euro/m2 6 Grimbergen 332 euro/m2 7 ranst 325 euro/m2 8 Bornem 309 euro/m2 9 Middelkerke 303 euro/m2 10 Knokke-Heist 302 euro/m2 11 Opwijk 302 euro/m2 Bron: Trends, 2020 De helft van de nederlanders heeft een BMi die groter is dan 25 en is dus, volgens de norm, te zwaar. De gemiddelde prijs voor bouwgrond in vlaanderen is 263,70 euro per m2 De mediaanprijs is 224 euro per m2 De bovenstaande voorbeelden tonen dat de centrummaten geen totaalbeeld geven. er moeten ook getallen bepaald worden die de spreiding weergeven ten opzichte van die centrummaten. instructiefilmpje ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 275 6.4.2 De variatiebreedte Voorbeeld 1 De leerlingen van twee klassen van het vierde jaar hebben het voorbije weekend auto’s gewassen voor het goede doel. Per gewassen auto kregen ze 10 euro. De opbrengst voor beide klassen zie je in de tabel. KLaS a opbrengst(euro) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Me = x =leerlingenaantal 3 6 3 3 1 KLaS B opbrengst(euro) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Me = x =leerlingenaantal 1 3 1 3 3 1 1 1 De twee klassen hebben dezelfde mediaan en ongeveer hetzelfde gemiddelde. Waarin verschillen de gegevensrijen dan wel? Definitie Variatiebreedte De variatiebreedte R is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal. in het voorbeeld is • de variatiebreedte voor klas a: • de variatiebreedte voor klas B: Dat geeft aan dat voor klas B de gegevens sterker gespreid zijn. een voordeel van de variatiebreedte is dat ze gemakkelijk te berekenen is. een nadeel is dat er slechts rekening gehouden wordt met de twee uiterste waarden en niet met de frequenties. Voorbeeld 2 De histogrammen tonen rapportresultaten met dezelfde variatiebreedte R = wiskunderapport klas A leerlingenaantal leerlingenaantal30102040500 punten (%) punten (%) wiskunderapport klas B 301020407060500 [20, 40[[0, 20[ [40, 60[[60, 80[[80, 100[ [20, 40[[0, 20[ [40, 60[[60, 80[[80, 100[ Leg uit waarin de ligging van de gegevens ten opzichte van het centrum van elkaar verschilt. ICT ©VANIN

276 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 6.4.3 Kwartielen aan 15 gezinnen werd gevraagd hoeveel smartphones er binnen het gezin zijn. je kunt de gegevensrij verdelen in vier delen met elk evenveel waarnemingsgetallen. middelste50% 25 %25 %25 %25 % %edeewt%etsree Me Q1 Q2 Q3 0 1 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 7 8 Definitie Kwartielen Van een geordende rij met n gegevens is: het eerste kwartiel Q1 het getal met rangorde n + 1 4 (25 %); het tweede kwartiel Q2 het getal met rangorde n + 1 2 (50 %); het derde kwartiel Q3 het getal met rangorde 3 n + 1 4 (75 %). Merk op: Q2 = Me in het voorbeeld:rangorde waarde betekenis Q1 n + 1 4 = 4 2 25 % van de gezinnen heeft hoogstens 2 smartphones. 75 % van de gezinnen heeft minstens 2 smartphones. Q2 n + 1 2 = 8 4 50 % van de gezinnen heeft hoogstens 4 smartphones. 50 % van de gezinnen heeft minstens 4 smartphones. Q3 3 n + 1 4 = 12 5 75 % van de gezinnen heeft hoogstens 5 smartphones. 25 % van de gezinnen heeft minstens 5 smartphones. Kwartielen uit een niet-gegroepeerde frequentietabel bepalen je bepaalt de 25 %-grens, de 50 %-grens en de 75 %-grens. xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ni 1 1 2 3 2 3 1 1 1 cni 1 2 4 7 9 12 13 14 15 cfi 6,67 % 13,33 % 26,67 % 46,67 % 60,00 % 80,00 % 86,67 % 93,33 % 100 % ≠ ≠ ≠ 25grens%- 50grens%- 75grens%Op een analoge manier kun je een rij verdelen in 10 of 100 delen. je spreekt dan van decielen en percentielen instructiefilmpje ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 277 Kwartielen uit een tabel met ruwe gegevens berekenen aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 3 7 36 5 10 1 22 2 4 15 3 11 12 25 4 2 13 6 5 31 10 2 12 18 6 1 41 7 4 8 19 12 17 24 9 19 23 12 17 9 32 13 30 1 3 15 5 6 7 20 3 38 44 11 24 14 8 23 12 37 11 13 33 26 8 1 9 39 17 8 18 21 10 29 18 2 25 28 11 21 8 29 6 Bereken de kwartielen met icT: Q1 = Me = Q3 = Geef de betekenis van het eerste en derde kwartiel. Wie met excel werkt, gebruikt de functie ‘KWarTieL(matrix;kwartiel)’. Kwartielen met GeoGebra De kwartielen bepalen uit de frequentietabel Stel dat de tabel ruwe gegevens niet beschikbaar is, maar enkel een frequentietabel. klasse mi ni cni cfi [0, 5[ 2,5 15 15 18,07 % [5, 10[ 7,5 18 33 39,76 % [10, 15[ 12,5 16 49 59,04 % [15, 20[ 17,5 10 59 71,08 % [20, 25[ 22,5 8 67 80,72 % [25, 30[ 27,5 6 73 87,95 % [30, 35[ 32,5 4 77 92,77 % [35, 40[ 37,5 4 81 97,59 % [40, 45[ 42,5 2 83 100,00 % • Het eerste kwartiel Q 1 ligt in de klasse waarin de 25 %-grens ligt. je neemt het midden van die klasse als benadering voor het eerste kwartiel. Q 1 = • De mediaan heb je bepaald in 6.3.2. Me = 12,5 • Het derde kwartiel Q 3 ligt in de klasse waarin de 75 %-grens ligt. Het midden van die klasse is een benadering voor het derde kwartiel. Q 3 = Ook hier is het duidelijk dat een grotere klassenbreedte een verlies aan nauwkeurigheid met zich mee kan brengen. ICT ICT instructiefilmpje ©VANIN

278 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 Kwartielen uit een frequentietabel met de grafische rekenmachine actie knoppen scherm voer de frequentietabelgegroepeerdeindoor: • in L1 de klassenmiddens in te geven; • in L2 de absolute frequenties in te geven. 2 L2 Z 1 L1 Y 5 L5 Ui :entrenterysolveentrliststatenterysolve ▲ ▲ 5 L5 U Bereken de centrummaten door aan te geven dat de klassenmiddens zich in lijst 1 bevinden en de absolute frequenties in lijst 2. 2nd 2 L2 Zentrenterysolveliststat ▲ ▲ ▲ Lees de kwartielen af. entrenterysolve ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 279

middelsteIQRR50%

6.4.4 De interkwartielafstand Definitie Interkwartielafstand De interkwartielafstand is het verschil tussen het derde en het eerste kwartiel.

Notatie iQr Voorbeelden

je houdt geen rekening met de 25 % kleinste en de 25 % grootste gegevens.

• een vanaf de box getekende lijn (de plot) naar het minimum en het maximum. een boxplot verdeelt de gegevens in vier gebieden die elk een vierde (25 %) van de waarnemingsgetallen bevatten. Q1 Q3MIN MAXMe %%

Opmerking je kunt het gemiddelde via de boxplot schatten door het midden van de box te bepalen. instructiefilmpje

• De afstand van thuis naar school (zie 6.4.3): iQr = Het nadeel van de interkwartielafstand is dat alleen de spreiding van de middelste helft van de gegevens wordt bekeken.

• Het aantal smartphones binnen een gezin (zie 6.4.3): iQr =

• een rechthoek (de box) die als basis de interkwartielafstand heeft;

©VANIN

• een verticale lijn in de box die de plaats van de mediaan weergeeft;

6.4.5 De boxplot De kwartielen vormen samen met het kleinste en het grootste waarnemingsgetal de vijfgetallensamenvatting De boxplot is een grafische voorstelling van de vijfgetallensamenvatting die bestaat uit:

280 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213

• Het werkelijke gemiddelde is 14,7 (zie 6.3.1).

• je ziet de grootste spreiding bij het derde en vierde kwart, en de kleinste spreiding bij het eerste en tweede kwart.

• verklaar het verschil tussen je schatting en het werkelijke gemiddelde.

0,0

Voorbeeld 2 aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen (zie 6.4.3). Teken de boxplot met icT en beantwoord de vragen.

• Schat het gemiddelde en controleer.

©VANIN

Voorbeeld 1 Uit een grootschalig onderzoek naar het eten van fruit bij vijftien- tot achttienjarigen in vlaanderen is gebleken dat een kwart van de ondervraagden hoogstens één stuk fruit per dag eet. De helft van de respondenten eet minstens twee stukken fruit en een kwart eet minstens vier stukken fruit per dag. niemand eet meer dan zes stukken fruit per dag. 1,0 2,0 4,0 6,0

Bespreking:

• De mediaan ligt links in de box en is dus op het eerste gezicht kleiner dan het gemiddelde.

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 281 Boxplot met de grafische rekenmachine aan 48 leerlingen van een vierde jaar wordt xi 0 1 2 3 4 5 ni 8 15 12 7 4 2 48 gevraagd hoeveel stukken fruit ze gisteren hebben gegeten (zie 6.1.3). Teken de boxplot.actie knoppen scherm voer de frequentietabel in. entrenterysolve entrenterysolve enter entry solve 1 L1 Yentrenterysolve entrenterysolvecatalog0 8 v P 1 L1 Y 5 L5 U ▲ ▲ Maak de boxplot aan. entrenterysolve entrenterysolvey= statplot f1 2nd ▲ ▲ ▲ 24 Teken de boxplot op het scherm. 9 w Qformatzoomf3 Lees de centrummaten af op de boxplot. calctracef4 ▲ ▲ Boxplot met GeoGebra tijd 25 % – 75 % bereik zonder uitschieters zwakke uitschieter sterke uitschieter De box-and-whiskerplot werd voor het eerst gebruikt in 1977 door de amerikaanse statisticus john Tukey. in het oorspronkelijke ontwerp strekten de horizontale lijnen (de ‘whiskers’) zich uit tot maximaal 1,5 keer de interkwartielafstand onder het eerste of boven het derde kwartiel. De ‘zwakke uitschieters’ werden met kleine kringetjes op de tekening aangebracht en de ‘sterke uitschieters’ (meer dan 3 keer de interkwartielafstand onder Q 1 of boven Q 3 ) met kruisjes. ICT ©VANIN

Het IQR-criterium voor uitschieters een waarnemingsgetal is een uitschieter als het minstens 1,5 keer de interkwartielafstand boven het derde kwartiel of onder het eerste kwartiel gelegen is. Ga na of het gegeven 56 volgens het criterium een uitschieter is. Voorbeeld Zijn er uitschieters bij de gegevens over de afstand van thuis naar school? (zie 6.4.3) ICT

282 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 6.4.6 Uitschieters De hematocrietwaarde van menselijk bloed is de verhouding van het volume rode bloedcellen BLOEDPRODEWITTEPLASMABLOEDCELLENBLOEDCELLENLAATJESBLOEDSTRUCTUURPLASMAWITTE BLOEDCELLEN BLOEDPLAATJESRODE BLOEDCELLEN 52-62 % 38-48 % > 1 % < 1 % ten opzichte van het totale volume van het bloed. De hematocrietwaarde wordt uitgedrukt in procent. rode bloedcellen zorgen voor het transport van zuurstof in het bloed, zodat een hoge hematocrietwaarde een belangrijk voordeel betekent voor duursporters. je kunt je hematocrietwaarde verhogen door hoogtestages, maar ook door medicatie (doping). een bekende vorm van bloeddoping is epo (erytropoëtine). van twaalf wielrenners is de hematocrietwaarde gemeten: 45 47 44 45 49 43 46 56 45 43 44 48

©VANIN

Bereken het gemiddelde en de mediaan: x = Me = Het is duidelijk dat het gegeven 56 het gemiddelde sterk beïnvloedt. verwijder de ‘uitschieter’ 56 uit de gegevensrij en bereken opnieuw het gemiddelde: x = een handige methode om na te gaan of een gegeven een uitschieter is, is het iQr-criterium.

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 283 REEKSOefeningenA 22 Op een dag in de soldenperiode wordt op straat aan een aantal mensen gevraagd naar het aantal gekochte kledingstukken. 0 0 1 2 2 0 2 5 2 4 1 3 0 1 2 2 3 3 0 4 5 1 3 0 3 4 0 1 3 4 4 1 3 3 3 0 4 1 6 0 1 3 4 5 0 1 2 3 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 2 0 5 1 1 4 7 1 1 1 0 2 3 1 0 7 2 3 3 1 2 1 0 0 1 5 0 3 6 4 2 1 0 a) Bereken de variatiebreedte en geef de betekenis. b) Bereken het eerste en het derde kwartiel en geef de betekenis. c) Bereken de interkwartielafstand en geef de betekenis. d) Teken met icT de boxplot en bespreek. ICT ©VANIN

284 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 23 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa bepaald in gram. (zie oefeningen 13 en 16) 73 100 131 95 99 95 112 101 124 114 118 108 56 125 82 93 143 100 113 72 86 128 118 102 94 106 132 92 111 117 69 108 104 111 100 102 96 89 77 108 144 117 93 107 105 46 141 65 100 106 81 81 138 99 56 94 77 105 117 133 98 101 125 133 103 137 71 119 92 77 102 105 109 128 31 96 100 117 119 53 107 130 78 107 141 110 79 98 99 139 116 129 94 98 97 116 a) Wat is het verschil tussen de zwaarste en de lichtste aardappel? b) Hoeveel weegt het zwaarste kwart van de aardappelen? c) Zijn er uitschieters bij de gegevens? d) Teken de boxplot met icT en bespreek. e) ‘er wegen meer aardappelen tussen 31 g en 93,75 g, dan tussen 117 g en 144 g.’ Klopt die bewering? ICT ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 285 24 De boxplot toont de resultaten voor een toets wiskunde (op twintig punten). 7,0 14,013,010,0 19,0 a) Wat was beste score? b) Bepaal de variatiebreedte. c) vul in: • De helft van de leerlingen behaalde hoogstens • een kwart van de leerlingen behaalde minstens

c) in de vS is er een vrouw die haar eerste kind kreeg op de leeftijd van 52 jaar. is ze voor het onderzoek in België dan een uitschieter?

b) Bepaal het eerste kwartiel en geef de betekenis.

d) Geef een schatting van het klasgemiddelde. Een onderzoek naar de leeftijd waarop vrouwen in België hun eerste kind krijgen, levert de volgende boxplot op. 14,0 43,025,0 29,0 35,0

©VANIN

a) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.

286 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 REEKS B 26 Een leerkracht Nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten. (zie 6.1.4) xi ni a) Wat is de variatiebreedte? b) Bepaal het eerste en derde kwartiel en geef de betekenis. c) Wat is de spreiding van de middelste helft van de leerlingen? 0 7 1 10 2 9 3 14 4 8 5 11 6 8 7 736 d) Teken met icT de boxplot en bespreek. 27 In een bedrijf wordt op een dag bij alle bedienden geregistreerd hoeveel koppen koffie ze die dag hebben gedronken. (zie oefening 5) xi ni a) Zijn er uitschieters bij de gegevens? b) Me = 3 < x = 3,3 verklaar. 0 5 1 6 2 7 3 14 4 11 5 8 6 4 7 2 8 0 9 581 ICT ICT ©VANIN

28 In een drukke winkelstraat werd aan 200 vrouwen gevraagd welk budget ze elke maand aan kleding besteden. (zie oefening 18) budget ni a) vul in: • een kwart van de vrouwen besteedt minstens per maand.

©VANIN

• een kwart van de vrouwen besteedt hoogstens per maand.

[0, 10[ 1 251 844 [10, 20[ 1 314 027 [20, 30[ 1 400 394 [30, 40[ 1 499 283 [40, 50[ 1 502 379 [50, 60[ 1 589 611 [60, 70[ 1 367 238 [70, 80[ 948 882 [80, 90[ 528 558 [90, 100[ 116 859 [100, 110[ 2 163 ICT ICT

b) rosa is 107 jaar. Kun je haar leeftijd als uitschieter beschouwen?

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 287

29 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2021. (zie oefening 19) klasse ni a) Bepaal het eerste en derde kwartiel en geef de betekenis.

b) Bepaal de interkwartielafstand en geef de betekenis. [0, 100[ 15 [100, 200[ 73 [200, 300[ 38 [300, 400[ 26 [400, 500[ 19 [500, 600[ 14 [600, 700[ 8 [700, 800[ 4 [800, 900[ 2 [900, 1 000[ 1 c) Teken die voorstelling met icT en bespreek.

a) Bereken de variatiebreedte en geef de betekenis.

d) Bij een toets wiskunde heeft iedereen minstens 8 op 20. Leopold heeft gespiekt en heeft 0 op 20 gekregen. r r

31 Is het een goede statistische methode om de uitschieter te verwijderen in de volgende gevallen? ja nee a) De lengte (in cm) wordt bepaald van 150 volwassen Belgische vrouwen. van één vrouw wordt een lengte van 204 cm genoteerd. r r

b) Men meet de temperatuur (in ºc) in de 55 klaslokalen van een school. in lokaal a104 wordt een temperatuur van 85 ºc gemeten. r r

Gebruik de verwerking van oefeningen 15 en 20 en beantwoord de vragen.

•

c) Bij metingen van het ozongehalte in de zomer aan de kust liggen alle waarden tussen 62 en 184 µg/m3, behalve in Oostende, waar 265 µg/m3 wordt gemeten. r r

Uitschieters die werkelijk afwijken van de andere gegevens, zoals een topprestatie in de sport, verwijder je beter niet.

30 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag.

Uitschieters die ontstaan zijn door een meetfout of een verkeerde omzetting van eenheden, bijvoorbeeld van inches naar cm, verwijder je het best.

•

Uitschieters verwijderen uit een rij waarnemingsgetallen is niet altijd een goede statistische methode.

288 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213

©VANIN

b) een kwart van de leerlingen is hoogstens minuten per dag bezig met de smartphone. c) een kwart van de leerlingen is minstens minuten per dag bezig met de smartphone. d) Teken de boxplot met icT en bespreek.

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 289 6.4.7 Variantie en standaardafwijking in een klas werd een toets gehouden. De resultaten zie je in de frequentietabel. je kunt voor elk resultaat kijken hoe ver het zich van het gemiddelde bevindt. voor elke x i verkrijg je zo de afwijking ten opzichte van het gemiddelde: xi − x Het gemiddelde van die afwijkingen is nul omdat de afwijkingen ten opzichte van het gemiddelde zowel positief als negatief zijn. De positieve en negatieve afwijkingen neutraliseren elkaar. Daarom kwadrateer je die afwijkingen en bereken je de gemiddelde kwadratische afwijking: ni (x i – x )2 i = 1 k n je noemt die gemiddelde kwadratische afwijking ook de variantie, genoteerd s 2 De afwijkingen t.o.v. het gemiddelde worden zo groter gemaakt dan ze in werkelijkheid zijn. een ander probleem is dat het resultaat niet meer dezelfde eenheid heeft als de waarnemingsgetallen zelf. een spreidingsmaat in dezelfde eenheid als de waarnemingsgetallen is de positieve vierkantswortel uit de variantie. Dat getal noem je de standaardafwijking. xi ni ni  xi xi – x ni  (xi – x) (xi − x) 2 ni  (xi − x) 2 1 3 3 –2 –6 4 12 2 3 6 –1 –3 1 3 3 7 21 0 0 0 0 4 5 20 1 5 1 5 5 2 10 2 4 4 8 som 20 60 0 28 x = ni x i i = 1 5 n = 6020 = 3,0 s 2 = ni (x i – x )2 i = 1 5 n s 2 = 2028 = 1,4 s = s 2 = 1,4 = 1,183... ≈ 1,18 Definitie Variantie en standaardafwijking De variantie s 2 van een rij gegevens is gelijk aan de gemiddelde kwadratische afwijking ten opzichte van het gemiddelde. De standaardafwijking s van een rij gegevens is gelijk aan de positieve vierkantswortel uit de variantie. Opmerkingen • je rondt de standaardafwijking af op twee cijfers meer dan de gegevens. • De enige betekenis die je voorlopig kunt geven aan de standaardafwijking, is dat het een soort ‘gemiddelde afwijking ten opzichte van het gemiddelde’ weergeeft. instructiefilmpje ©VANIN

290 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 De standaardafwijking uit een tabel met ruwe gegevens berekenen aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 3 7 36 5 10 1 22 2 4 15 3 11 12 25 4 2 13 6 5 31 10 2 12 18 6 1 41 7 4 8 19 12 17 24 9 19 23 12 17 9 32 13 30 1 3 15 5 6 7 20 3 38 44 11 24 14 8 23 12 37 11 13 33 26 8 1 9 39 17 8 18 21 10 29 18 2 25 28 11 21 8 29 6 x = 14,7 (zie 6.3.1) Bereken de standaardafwijking met icT: s = Wie met excel werkt, gebruikt de functie ‘STDevP’ en selecteert daarbij de gegevensmatrix. Standaardafwijking met GeoGebra De standaardafwijking uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen je gebruikt de formule s = ni (x i – )2 i = 1 k n x of s ≈ ni (mi – x )2 i = 1 k n klasse mi ni ni  (mi − x) 2 x ≈ 15,2 (zie 6.3.1) s 2 ≈ ni (mi – x )2 i = 1 9 n = 83 = s ≈ [0, 5[ 2,5 15 [5, 10[ 7,5 18 [10, 15[ 12,5 16 [15, 20[ 17,5 10 [20, 25[ 22,5 8 [25, 30[ 27,5 6 [30, 35[ 32,5 4 [35, 40[ 37,5 4 [40, 45[ 42,5 832 ICT ©VANIN

De standaardafwijking is voor beide gegevensrijen hetzelfde. Toch is het duidelijk dat de relatieve spreiding ten opzichte van het gemiddelde in de tweede rij kleiner is dan in de eerste. je maakt de spreiding relatief door de standaardafwijking te delen door het gemiddelde.

V1 = V2 = Gebruik van de variatiecoëfficiënt

• Bij wetenschappelijk onderzoek wordt het resultaat van een onderzoek betrouwbaar genoemd als V < 5 % en altijd verworpen als V > 30 %.

Definitie Variatiecoëfficiënt De variatiecoëfficiënt V = s x De variatiecoëfficiënt is een maat voor de relatieve spreiding van de waarnemingsgetallen ten opzichte van het gemiddelde. je drukt V meestal uit in procent. Bereken de variatiecoëfficiënt in de bovenstaande voorbeelden.

• Bij machines die nauwkeurig werk moeten verrichten, wordt een variatiecoëfficiënt van maximaal 5 % toegestaan. Voorbeeld in een onderzoek naar de invloed van de luchtweerstand op de snelheid waarmee een voorwerp valt, laat men 30 keer een bal van op een hoogte van 5 m vallen. je ziet de tijd (in s) die nodig is om de grond te bereiken. Levert het experiment betrouwbare informatie op? 1,12 1,15 1,03 1,18 1,09 1,11 1,15 1,05 1,11 1,16 1,02 1,09 1,13 1,15 1,11 1,06 1,10 1,07 1,12 1,13 1,08 1,16 1,12 1,14 1,05 1,10 1,11 1,08 1,14 1,15

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 291 6.4.8 De variatiecoëfficiënt Voorbeeld Op een toets wiskunde behaalden de elf leerlingen van de klas de volgende punten op twintig: 7 9 10 12 12 13 14 14 16 17 19 x = s = voor een toets Frans op vijftig waren de punten als volgt: 37 39 40 42 42 43 44 44 46 47 49 x = s =

• De variatiecoëfficiënt is vooral nuttig om het variëren van gegevensrijen te vergelijken waarbij verschillende eenheden zijn gebruikt. Denk bijvoorbeeld aan centimeters en inches.

©VANIN

zK = zJ = Gebruik van de standaardscore standaardscore betekenis z < –2 Meer dan 2 keer de standaardafwijking onder het gemiddelde: uitzonderlijk laag. –2 < z < –1 Laag. –1 < z < 1 Minder dan 1 keer de standaardafwijking verwijderd van het gemiddelde: behorend tot de standaardgroep x – s, x + s [] 1 < z < 2 Hoog. z > 2 Meer dan 2 keer de standaardafwijking boven het gemiddelde: uitzonderlijk hoog.

292 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213

Definitie Standaardscore De standaardscore of z-score van een waarnemingsgetal xi is het getal z i = x i x s De standaardscore drukt het verschil uit van een waarnemingsgetal ten opzichte van het gemiddelde in verhouding tot de standaardafwijking. Beantwoord nu de vraag wie relatief de grootste schoenmaat heeft.

6.4.9 De standaardscore Voorbeeld De gemiddelde schoenmaat van vrouwen in België is 39,0. De standaardafwijking is 1,62. in de verenigde Staten gebruiken ze andere maten. Daar is de gemiddelde schoenmaat bij vrouwen 6,78 met een standaardafwijking 0,873. De Belgische Kristina heeft maat 41. Haar amerikaanse vriendin jennifer heeft maat 7,5. Wie heeft relatief gezien de grootste maat? Om die vraag te beantwoorden, moet je de gegevens onafhankelijk maken van de meeteenheid. Dat doe je door de standaardscore of z-score te berekenen.

©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 293 REEKSOefeningenA 32 In een jeugdbeweging werd de hemdsmaat van een aantal jongens genoteerd. 36 38 39 41 38 42 41 43 41 41 38 40 38 40 41 36 37 39 38 40 38 36 39 40 37 42 37 38 40 39 42 38 38 39 37 39 39 37 39 37 39 39 38 37 41 39 38 40 38 43 39 36 39 40 38 40 40 38 37 41 38 42 36 43 37 a) Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking. b) Yassin heeft maat 44. Bereken de standaardscore. c) Geef de betekenis van die standaardscore. 33 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa bepaald in gram. (zie oefeningen 13, 16 en 23) 73 100 131 95 99 95 112 101 124 114 118 108 56 125 82 93 143 100 113 72 86 128 118 102 94 106 132 92 111 117 69 108 104 111 100 102 96 89 77 108 144 117 93 107 105 46 141 65 100 106 81 81 138 99 56 94 77 105 117 133 98 101 125 133 103 137 71 119 92 77 102 105 109 128 31 96 100 117 119 53 107 130 78 107 141 110 79 98 99 139 116 129 94 98 97 116 a) Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking: b) Hoe uitzonderlijk is een aardappel met een massa die meer dan twee keer de standaardafwijking afwijkt van het gemiddelde? ICT ICT ©VANIN

294 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 REEKS B 34 Een leerkracht Nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten. (zie oefening 26) xi ni a) vul de frequentietabel aan. b) Het gemiddelde aantal fouten is 3,4. Bereken de standaardafwijking. c) Heeft iemand met zeven fouten een uitzonderlijk slecht dictee gemaakt? 0 7 1 10 2 9 3 14 4 8 5 11 6 8 7 736 35 Bepaalde doosjes met punaises zouden volgens het etiket 120 punaises bevatten. De fabrikant doet een steekproef bij 95 willekeurige doosjes punaises. Het resultaat zie je in de frequentietabel. xi ni a) vul de frequentietabel aan. b) is de vulmachine goed afgesteld? c) Werkt de machine voldoende nauwkeurig? 115 2 116 5 117 7 118 10 119 12 120 18 121 13 122 12 123 6 124 6 125 3 126 951 ICT ICT ©VANIN

a) Bereken de standaardafwijking. b) Bereken de variatiecoëfficiënt en geef de betekenis.

c) je bent dagelijks gemiddeld drie uur met je smartphone bezig. Bereken je standaardscore en geef de betekenis. ICT

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 295 36 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2021. (zie oefeningen 19 en 29) klasse mi ni a) vul de frequentietabel aan.

d) Zara heeft een standaardscore van 1,85. Bereken haar leeftijd. [0, 10[ 5 1 251 844 [10, 20[ 15 1 314 027 [20, 30[ 25 1 400 394 [30, 40[ 35 1 499 283 [40, 50[ 45 1 502 379 [50, 60[ 55 1 589 611 [60, 70[ 65 1 367 238 [70, 80[ 75 948 882 [80, 90[ 85 528 558 [90, 100[ 95 116 859 [100, 110[ 105 2 163 11 521 238 37 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag.

Gebruik de verwerking van oefeningen 15, 20 en 30 en beantwoord de vragen.

Bereken de standaardafwijking.

©VANIN

b) De gemiddelde Belg is 42,1 jaar.

c) Hoe oud moet je zijn om uitzonderlijk oud te zijn?

ICT ©VANIN

h) een blik tomaten heeft een standaardscore van –0,8. Bereken de inhoud.

c) Bepaal het eerste en het derde kwartiel en geef de betekenis.

g) Werkt de vulmachine voldoende nauwkeurig?

d) Zijn er uitschieters bij de gegevens? e) Staat de vulmachine goed ingesteld?

296 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 REEKS C 38 Een fabrikant maakt conservenblikken met gepelde tomaten. Op het etiket staat dat de inhoud 1 liter is. Van een aantal blikken werd de inhoud nagegaan. inhoud (ml) mi ni fi cni cfi [970, 980[ 46 [980, 990[ 97 [990, 1 000[ 127 [1 000, 1 010[ 98 [1 010, 1 020[ 63 [1 020, 1 030[ 19 [1 030, 1 040[ 10 a) vul de frequentietabel aan.

b) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.

f) voorspel, zonder de boxplot te tekenen, waar de mediaan zal liggen in de box.

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 297 6.5 Symmetrische en scheve verdelingen 6.5.1 Symmetrische verdelingen Voorbeeld 1 veel zitten is niet gezond. Dat weet iedereen. De nationale Gezondheidsraad adviseert aan jongeren om minstens één uur per dag matig tot intensief te bewegen. Matig intensieve lichamelijke activiteit, zoals wandelen, fietsen of paardrijden, zorgt voor een verhoogde hartslag en een versnelde ademhaling. Zwaar intensieve lichamelijke activiteit zorgt ervoor dat je gaat zweten en soms buiten adem raakt. in 2017 werd een onderzoek gedaan bij 570 jongeren tussen 12 en 18 jaar naar het aantal minuten matig tot zwaar intensieve lichamelijke activiteit. 0,00 % 5,00 % 10,00 % 15,00 % 20,00 % 25,00 % [0, 10[ [10, 20[ [20 ,30[ [30, 40[ [40, 50[ [50, 60[ [60, 70[ [70, 80[ [80, 90[ 2,11 % 5,26 % 12,11 % 18,95 % 22,63 % 19,30 % 12,28 % 5,61 % 1,75 % matig tot zwaar intensief bewegen bij adolescenten jongerenaantalrelatief aantal minuten per dag 0,0 57,045,033,0 90,0 De mediaan ligt perfect in het midden van de box en is gelijk aan het gemiddelde. Beide centrummaten liggen ook in de modale klasse. De spreiding bij het eerste en vierde kwart is helemaal gelijk. je kunt daarom spreken van een symmetrische verdeling instructiefilmpje ©VANIN

298 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 Voorbeeld 2 je gooit 60 keer met twee dobbelstenen en telt de som van het aantal ogen. 2345678 9101112 0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 % 18,00 % 20,00 % worpenaantalrelatief som van de ogen 60 worpen met twee dobbelstenen Het lijndiagram vertoont geen symmetrie. Dat wordt ook bevestigd door de centrummaten. x = 7,2 Me = 7 Mo = 6 Op het eerste gezicht zou je dus kunnen besluiten dat het experiment geen symmetrische verdeling oplevert. Met icT kun je een experiment uitvoeren waarbij 6 000 worpen worden gesimuleerd. in excel kun je die simulatie uitvoeren met de functie ‘=aSeLecTTUSSen(1;6)’. Simulatie met de grafische rekenmachine en met Python je krijgt dan het volgende lijndiagram te zien. 2345678 9101112 0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 % 18,00 % 20,00 %

worpenaantalrelatief som van de ogen 6 000 worpen met twee dobbelstenen Dit experiment levert dus wel de verwachte symmetrie. je ziet meteen dat het gemiddelde, de mediaan en de modus aan elkaar gelijk zijn, namelijk vooraleer te besluiten of een verdeling wel of niet symmetrisch is, is het dus belangrijk dat de steekproef voldoende groot is.

Besluit Als een verdeling symmetrisch is, dan zijn de mediaan, het gemiddelde en de modus aan elkaar gelijk (Mo = Me = x). Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde dan in het midden van de modale klasse. ICT

©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 299 6.5.2 Clustervorming in een onderzoek naar de gemiddelde grootte van de Belg werd bij een steekproef aan 2 500 volwassen mannen en 2 500 volwassen vrouwen, verdeeld over alle leeftijden, naar hun lengte (in cm) gevraagd. je ziet het resultaat van het onderzoek in het onderstaande histogram. 0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 % 18,00 % [140, 145[ [145, 150[ [150, 155[ [155, 160[ [160, 165[ [165, 170[ [170, 175[ [175, 180[ [180, 185[ [185, 190[ [190, 195[ [195, 200[ [200, 205[ 0,12 % 0,78 % 3,30 % 8,64 % 14,16 % 15,88 % 13,26 % 16,64 % 13,96 % 8,60 % 3,54 % 0,94 % 0,18 % lengte van 5 000 volwassen Belgen mensenaantalrelatief lengte (cm) vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten: x = 172,6 Me = 173 De mediaan en het gemiddelde zijn ongeveer aan elkaar gelijk. Beide centrummaten liggen echter niet in de modale klasse [175, 180[. je kunt in dit geval dus niet spreken van een symmetrische verdeling, volgens de definitie uit 6.5.1. verklaar het voorkomen van twee relatief maximale klassen. Definitie Clustersteekproef Bij een clustersteekproef verdeel je de populatie in deelgroepen. Bij elk van die groepen trek je vervolgens een aselecte of gerichte steekproef. ©VANIN

300 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 6.5.3 Rechtsscheve verdelingen België telt ongeveer 50 000 dokters, 150 000 verpleegkundigen en 110 000 zorgkundigen. een zorgkundige is iemand die opgeleid is om verpleegkundigen bij te staan. Bij de dokters is het aantal mannen en vrouwen ongeveer gelijk verdeeld. Bij de verpleegkundigen en zorgkundigen is de overgrote meerderheid een vrouw. Het histogram toont de leeftijdsverdeling bij de zorgkundigen. 0,00 % 5,00 % 10,00 % 15,00 % 20,00 % 25,00 % 30,00 % 35,00 % 40,00 % [15, 25[ [25, 35[ [35, 45[ [45, 55[ [55, 65[ 11 % leeftijd van de zorgkundigen in België zorgkundigenaantalrelatief leeftijd (jaren) 35 % 22 % 19 % 13 % Bron: statbel.fgov.be (kerncijfers 2021) vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten: x = 38,8 Me = 37 modale klasse = [25, 35[ De mediaan is kleiner dan het gemiddelde en beide centrummaten liggen boven de modale klasse. er is dus een ‘staart naar rechts’. een dergelijke verdeling noem je rechtsscheef Besluit Als een verdeling rechtsscheef is, dan liggen de mediaan en het gemiddelde bij gegroepeerde gegevens meestal boven de modale klasse. Opmerking Bij niet-gegroepeerde gegevens geldt: Mo < Me < x ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 301 6.5.4 Linksscheve verdelingen De frequentiepolygoon toont de geboortemassa (in gram) van alle kinderen die vorig jaar in een bepaald vlaams ziekenhuis zijn geboren. 180160140120100806040200 2507501 2501 7502 2502 7503 2503 7504 2504 750 0 4 10 8 18 82 152 163 30 0 geboor temassa van 467 baby's baby'saantal massa (g) vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten: x = 3 272,5 Me = 3 330 modale klasse = [3 500, 4 000[ De mediaan is groter dan het gemiddelde en beide centrummaten liggen onder de modale klasse. er is dus een ‘staart naar links’. een dergelijke verdeling noem je linksscheef Besluit Als een verdeling linksscheef is, dan liggen de mediaan en het gemiddelde bij gegroepeerde gegevens meestal onder de modale klasse. Opmerkingen • Bij niet-gegroepeerde gegevens geldt: x < Me < Mo. • een boxplot is een handig instrument om een staart te illustreren. 500 3 6853 3302 940 4 500 ©VANIN

©VANIN

b) De duur (in weken) van een zwangerschap. r r r r

302 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 REEKSOefeningenA 39 Van enkele voldoende grote steekproeven krijg je telkens het gemiddelde, de mediaan en de modus of modale klasse. Is de verdeling symmetrisch (S), linksscheef (L), rechtsscheef (R) of geen van de drie (G)? S L r G a) x = 1 683 Me = 1 630 Mo klasse = [1 500, 1 600[ r r r r b) x = 54,3 Me = 54,5 Mo = 54 r r r r c) x = 1,7 Me = 2 Mo = 1 r r r r d) x = 39,3 Me = 38,5 Mo klasse = [36, 38[ r r r r e) x = 78,1 Me = 78 Mo klasse = [75, 80[ r r r r 40 Tot welk soort verdeling zullen de volgende statistische onderzoeken leiden? Kies uit een symmetrische verdeling (S), een linksscheve verdeling (L), een rechtsscheve verdeling (R) en een clusterverdeling (C). S L r c

a) De inkomstenverdeling (in euro per maand) van de 18- tot 25-jarigen in vlaanderen. r r r r

c) Het intelligentiequotiënt (iQ) van 12-jarigen. r r r r d) De spanwijdte (in cm) van de vleugels van vlinders. er wordt een steekproef uitgevoerd bij drie soorten vlinders. r r r r e) Het aantal gemaakte doelpunten per match in de eerste klasse van het Belgisch voetbal. r r r r f) De leeftijd waarop een Belgische vrouw sterft. r r r r g) De inhoud (in cl) van een bekertje koffie dat door een automatische vulmachine wordt gevuld. r r r r

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 303 REEKS B 41 Aan een aantal Vlaamse gezinnen wordt gevraagd hoeveel dagen van de week ze helemaal geen vlees of vis eten. (zie oefening 2) 0,00 % 4,00 % 8,00 % 12,00 % 15,00 % 20,00 % 24,00 % 28,00 % 32,00 % 36,00 % 01234567aantaldagenindeweekzondervleesofvisgezinnenaantalrelatief aantal dagen a) Met welk soort verdeling heb je hier te maken? b) Toon aan, zonder te berekenen, dat het gemiddelde groter is dan 1. 42 Je ziet vier boxplots die de verdeling van de leeftijden van de bewoners van vier verschillende appartementsblokken weergeeft. Welk soort verdeling hoort bij elk van die boxplots? 10203040506070 guur A guur B guur C guur D figuur a: figuur B: figuur c: figuur D: ©VANIN

304 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 43 Hoe is de clustervorming tot stand gekomen bij de onderstaande grafische voorstellingen? a) massa zesdejaars leerlingenaantal [45, 50[[50, 55[[55, 60[[60, 65[[65, 70[[70, 75[[75, 80[[80, 85[[85, 90[[90, 95[ 121084260 massa (kg) b) 1018201416101268240 2345678 910 toets wiskunde vierde jaar leerlingenaantal punten op 10 44 Van 90 kippeneieren wordt de massa in gram bepaald. Toon aan dat de steekproef een symmetrische verdeling oplevert. massa (g) ni [45, 50[ 2 [50, 55[ 12 [55, 60[ 22 [60, 65[ 33 [65, 70[ 9 [70, 75[ 7 [75, 80[ 905 ICT ©VANIN

in dat geval spreek je van eendimensionale of univariate statistiek. in de tweedimensionale of bivariate statistiek behandel je de mogelijke samenhang tussen twee veranderlijken. De ene veranderlijke kan de andere beïnvloeden, en omgekeerd.

Ook de sterkte van het verband is belangrijk.

Tweedimensionale statistiek 6.6.1 Spreidingsdiagram en trendlijn Inleiding minder hitte die naar de ruimte ontsnapt meer fossiele brandsto en in de lucht 30 biljoen ton CO2 per jaar meer hitte die terug naar de aarde gaat nachten warmen sneller op dan minderdagen zuurstof in de lucht af en toe online gamen verbetert de schoolresultaten vanMaarvijftienjarigen.activiteiten op sociale media hebben een averechts effect. bevordertlichaamsbewegingregelmatigehetgeheugen. De toename van de gemiddelde temperatuur kan alleen verklaard worden door de menselijke invloed in rekening te brengen. Tot nu toe heb je in dit hoofdstuk enkel met één statistische veranderlijke gewerkt.

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 305 6.6

©VANIN

Om een benaderende formule te vinden voor het verband tussen de twee gemeten veranderlijken, gebruik je regressie je maakte daar al kennis mee in de hoofdstukken over eerstegraadsfuncties en functies van de vorm f (x ) = cx in een eerste stap teken je met icT een spreidingsdiagram De punten in dat spreidingsdiagram vormen samen een puntenwolk Daarna laat je, via regressie, de best passende trendlijn bepalen. je bepaalt zelf welk soort trendlijn er moet worden getekend.

306 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 Voorbeeld 1 aan 17 vrouwen werd de lengte en de schoenmaat gevraagd. Gebruik lineaire regressie om het verband te bepalen tussen de schoenmaat y en de lengte x (in cm). x (cm) 176 155 163 153 169 173 152 161 165 163 171 158 168 167 160 165 171 y 42 36 38 36 40 41 35 38 37 37 39 37 38 39 36 38 40 44424038363432150152154156158160162164166168170172174176 178 verband tussen lichaamslengte en schoenmaat bij 17 vrouwen schoenmaat lengte (cm) • De vergelijking van de trendlijn is • Schat de schoenmaat van een vrouw van 175 cm. • Schat de lengte van een vrouw met schoenmaat 42. rond af op 1 cm. Voorbeeld 2 Het risico op een verkeersongeval is, volgens een studie van het instituut voor Mobiliteit van de universiteit Hasselt, even groot voor mannen als voor vrouwen. De kans op een ongeval met doden of gewonden is wel afhankelijk van het geslacht. De tabel toont de kans op een ziekenhuisopname bij een ongeval bij mannen. Bepaal, via regressie, het omgekeerd evenredig verband tussen de kans (in procent) en de leeftijd (in jaren). leeftijd mi kans (%) [15, 25[ 20 1,9 [25, 35[ 30 1,1 [35, 45[ 40 0,82 [45, 55[ 50 0,68 [55, 65[ 60 0,52 [65, 75[ 70 0,51 2,01,81,61,41,21,00,80,60,40,20,0 01020304050607080kansopeenziekenhuisopnamebijeenverkeersongevalbijmannen(%)kans leeftijd (jaren) als x de leeftijd (in jaren) is en y de kans (in procent) op een ziekenhuisopname bij een ongeval, dan geldt: y ≈ ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 307 Voorbeeld 3 als de chauffeur van een auto een gevaar ziet, dan duurt het altijd een fractie van een seconde vooraleer hij begint te remmen. De afstand die hij dan nog aflegt, is de reactieafstand. De stopafstand is de som van de reactieafstand en de remafstand. remafstandreactieafstandstopafstand in de tabel zie je de stopafstand s (in m) van vijftien auto’s die op een nat wegdek remmen bij een snelheid v (in km/h). Bepaal het verband tussen s en v via kwadratische regressie v (km/h) 48 73 52 61 68 75 54 79 42 62 71 56 58 70 83 s (m) 31,5 62,3 36 45,9 55,2 64,1 37,9 70,8 25,8 47,2 59,4 40,1 42,7 57,8 76,9 80757065605550454035302520 40455055606570758085 90 het verband tussen stopafstand en snelheid stopafstand s (m) snelheid v (km/h) • Het verband wordt gegeven door: • Schat de stopafstand bij een snelheid van 110 km/h. • Schat de snelheid, als de stopafstand 50 m is. ©VANIN

als bij een toenemende waarde van x over het algemeen een toenemende waarde van y hoort, dan spreek je van een positieve covariantie als bij een toenemende waarde van x over het algemeen een afnemende waarde van y hoort, dan spreek je van een negatieve covariantie

Lineaire regressie Covariantie een puntenwolk is een grafische voorstelling van puntenkoppels (x, y). Daarbij is x de onafhankelijke veranderlijke en y de afhankelijke veranderlijke.

©VANIN

308 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 6.6.2

Lineaire regressie Bij lineaire regressie zoek je een rechte als trendlijn bij een puntenwolk. Die rechte past zo goed mogelijk bij de puntenkoppels. Het verband tussen y en x noem je sterk als de punten, over het algemeen, vrij dicht bij de regressierechte liggen. als de punten vrij ver van de regressierechte verwijderd liggen, spreek je van een zwak verband. De wiskundige methode om bij een dataset de best passende regressielijn te bepalen, is afkomstig van carl Friedrich Gauss. in 1801 stelde hij voor om de som van de kwadraten van de verticale afwijkingen ten opzichte van de trendlijn (de zogenaamde ‘residuen’) te minimaliseren. y voorspelde waarde waargenomenresidu waarde x Die methode (‘de kleinste-kwadratenmethode’) stelde astronomen in staat om heel nauwkeurig de baan van hemellichamen te bepalen.

De formule is nogal ingewikkeld. Daarom zul je de correlatiecoëfficiënt berekenen met icT. De correlatiecoëfficiënt berekenen met ICT Bereken de correlatiecoëfficiënt bij het verband tussen de schoenmaat en de lichaamslengte van zeventien vrouwen (voorbeeld 1 uit 6.6.1).

GEOGEBRA er zijn meerdere definities van het begrip ‘correlatie’. De definitie die je hebt gezien, is die van de engelse statisticus Karl Pearson (1857-1936). Karl Pearson doceerde vanaf 1894 als een van de eersten statistiek. Zijn belangrijkste bijdragen aan de statistiek:

• Hij ontwikkelde een formule voor de correlatiecoëfficiënt.

bij lineaire regressie als je in het woordenboek de betekenis van het woord ‘correlatie’ opzoekt, dan vind je als uitleg: ‘de manier waarop iets samenhangt met iets anders’. in de statistiek gebruikt men de correlatiecoëfficiënt om de sterkte van die samenhang te bepalen. er zijn meerdere definities van dat begrip, maar de meest gebruikte is de correlatiecoëfficiënt van Pearson (een engelse statisticus die leefde van 1857 tot 1936).

EXCEL Open het bestand ‘lengte en schoenmaat.xlsx’. Om de correlatiecoëfficiënt te berekenen, gebruik je de functie ‘cOrreLaTie(matrix1;matrix2)’.

Hij hield zich niet alleen met wiskunde, natuurkunde en sterrenkunde bezig, maar ook met religie, filosofie, geschiedenis, recht, politiek, biologie en evolutieleer. Zijn zoon egon Pearson werd later ook statisticus. Hij ontwikkelde samen met jerzy neyman (rond 1930) de naar hen genoemde en ondertussen beroemde toetsingstheorie.

• Om te beoordelen uit welke verdeling data getrokken zijn, ontwikkelde hij een chi-kwadraattoets (goodness of fit) en de momentenmethode.

Dat Pearson in de wieg gelegd was om statisticus te worden, kan worden geïllustreerd met het volgende verhaal. Toen hij nog een klein jongetje was, vertelde men hem dat hij moest stoppen met zuigen op zijn duim, omdat die anders steeds kleiner zou worden. Hij vergeleek toen de lengte van zijn ene duim met die van de andere en besloot dat hij werd voorgelogen.

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 309 6.6.3

• Pearson onderzocht de frequentieverdelingen die nu zijn naam dragen.

De correlatiecoëfficiënt

310 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 Betekenis van de correlatiecoëfficiënt De correlatiecoëfficiënt is een getal tussen –1 en 1. als r > 0, dan is er een positief verband. als r < 0, dan is er een negatief verband. | r | = 0 0,7 £ | r | < 0,85 r = 0 r = 0,80 geen enkel verband sterk positief verband 0 < | r | < 0,3 0,85 £ | r | < 0,95 r = 0,2 r = – 0,90 zeer zwak positief verband zeer sterk negatief verband 0,3 £ | r | < 0,5 0,95 £ | r | < 1 r = – 0,4 r = 0,98 zwak negatief verband uitzonderlijk sterk positief verband 0,5 £ | r | < 0,7 | r | = 1 r = 0,55 r = – 1 matig positief verband perfecte negatieve correlatie ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 311 6.6.4 Correlatie en causaliteit in een landelijke gemeente is er één kledingzaak en één basisschool. De tabel toont het wekelijkse aantal verkochte paren handschoenen x van de winkel en het aantal afwezige leerlingen y in de school in dezelfde week. je ziet ook het spreidingsdiagram en de bijbehorende regressierechte. x 3 5 0 3 1 0 3 2 2 8 10 13 9 7 5 6 4 y 10 13 4 9 3 3 8 6 5 17 14 19 21 12 10 11 7 242218141020161284026 0 12345678 91011121314 verband tussen aantal paren handschoenen en afwezige leerlingen leerlingenafwezigeaantal aantal paren verkochte handschoenen y = 1,3553x + 3,66 Bereken de correlatiecoëfficiënt. je kunt hier dus spreken van een verband. Toch is het duidelijk dat een toename van het aantal verkochte paren handschoenen niet de oorzaak is van een toename van het aantal afwezige leerlingen (of omgekeerd).

xy z Besluit Correlatie betekent dat twee veranderlijken op een ordelijke manier een bepaalde samenhang hebben. Causaliteit betekent dat er een oorzaak-gevolgrelatie is. Correlatie betekent niet noodzakelijk dat er een causaal verband is. Er kan een derde (verwarrende) veranderlijke een rol spelen.

©VANIN

je zegt dat er geen oorzakelijk of causaal verband is tussen y en x in het bovenstaande voorbeeld is het duidelijk dat de (koude) temperatuur de toename van beide veranderlijken x en y veroorzaakt. De temperatuur noem je de ‘verwarrende veranderlijke’ z

g) De vader van ilan is 5 cm groter dan de vader van Millau. Schat hoeveel groter ilan zal worden dan Millau. rond af op 0,1 cm.

e) Schat de lengte van een vader waarvan de zoon 190 cm groot is. rond af op 1 cm.

312 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 REEKSOefeningenB 45 Een kleine steekproef die zocht naar het verband tussen de lichaamslengte y (in cm) van een volwassen zoon en de lichaamslengte x (in cm) van zijn vader, leverde de volgende data op. x (cm) 176 170 167 186 178 175 183 169 172 175 188 175 180 y (cm) 182 177 173 184 178 179 181 176 175 180 186 174 183

f) Waarom is dat resultaat verrassend?

c) Schat de lengte van een zoon waarvan de vader 175 cm is. rond af op 1 cm.

b) Bereken de correlatiecoëfficiënt en geef de betekenis.

a) Bepaal via lineaire regressie het verband tussen y en x

d) vergelijk die geschatte waarde met de gemeten waarde(n).

ICT ©VANIN

b) Het is duidelijk dat het verband niet causaal is. Geef een mogelijke verwarrende veranderlijke.

b) Schat de verkochte hoeveelheid water als het 32 ºc is. rond af op 1 liter.

47 In Metro kon je lezen dat er een verband is tussen het aantal Nobelprijswinnaars in een land en de chocoladeconsumptie.

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 313 46 Hoe hoger de temperatuur, hoe meer dorst je hebt. In de tabel zie je de gemiddelde dagtemperatuur x (in ºC) en het aantal liter water y dat in een warenhuis op die dag werd verkocht. x (ºc) 12 14 15 17 18 20 21 23 25 27 28 30 y (l) 651 713 747 805 829 891 924 980 1 036 1 102 1 136 1 198

ICT ©VANIN

a) Bepaal via lineaire regressie het verband tussen y en x

d) Op een kille dag heeft het warenhuis maar 500 liter water verkocht. Hoeveel graden was het die dag? rond af op 0,1 ºc.

e) Bereken de correlatiecoëfficiënt en geef de betekenis.

c) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van het lineaire verband.

a) Geef de sterkte van het verband.

Bron: nl.metrotime.be

314 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 48 Op een toets moesten de leerlingen invullen hoeveel minuten ze hadden gestudeerd voor de toets. Ze moesten ook een score van 1 (heel eenvoudig) tot 5 (heel moeilijk) geven over de moeilijkheidsgraad van de toets. In de tabel is x het aantal minuten studie, y de moeilijkheidsgraad en z de punten op 20 voor de toets. x (min) 30 90 20 110 40 70 50 60 50 80 100 60 60 70 50 30 90 y (op 5) 5 1 5 1 5 3 3 4 4 2 1 3 3 2 4 4 2 z (op 20) 8 17 6 18 9 15 14 9 12 16 19 12 13 15 11 10 16 a) Bepaal via lineaire regressie het verband tussen • z en x: • y en x: • z en y: b) noa heeft drie kwartier gestudeerd voor de toets. Schat hoeveel punten ze zal behalen. c) Lars gaf een score 2 voor de moeilijkheidsgraad van de toets. Schat hoeveel minuten hij heeft gestudeerd. rond af op 1 min. d) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van het lineaire verband tussen z en y e) Tussen welke veranderlijken is het verband het sterkst? f) Kun je spreken van een zuiver causaal verband tussen de veranderlijken of kan er ook een verwarrende variabele meespelen? ICT ©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 315 REEKS C 49 Het percentage mensen dat aan ondervoeding lijdt, daalt wereldwijd. Tegelijk stijgt het percentage meisjes dat onderwijs kan genieten. De tabel toont de evolutie van het aantal meisjes x (in procent) dat op de basisschoolleeftijd naar school gaat en het aantal mensen y (in procent) dat ondervoed is. jaar 1970 1979 1985 1993 2001 2008 2019 x (%) 65 69 75 78 84 86 91 y (%) 28 25,5 23 18,5 15 13,5 11 a) Druk de toename van het aantal schoolgaande meisjes tussen 1970 en 2019 uit • in procentpunt: • in procent: b) Bepaal via lineaire regressie het verband tussen y en x c) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van de trendlijn. d) Hoeveel procent van de meisjes zou naar de lagere school moeten gaan opdat ondervoeding volledig de wereld uit zou zijn? e) Bereken de sterkte van het verband tussen y en x f) is het verband tussen y en x ook causaal? indien niet, geef een verwarrende variabele. Global Hunger Index (2019) Zeer hoog (≥ 50,0) Hoog (35,0 - 49,9) Redelijk hoog (20,0 - 34,9) Redelijk laag (10,0 - 19,9) Laag (£ zorgwekkendOnvolledige9,9)gegevens,Geenofonvolledigegegevens ICT ©VANIN

De mediaan Me van een gerangschikte rij met n getallen is het getal met rangorde n + 1 2 De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie. KUNNEN  +  +

Het gemiddelde x van een rij getallen x 1, x 2, ..., x n is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen: x = x i i = 1 nn

316 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 STUDIEWIJZER Beschrijvende statistiek

Statistische terminologie in verband met het verzamelen van gegevens beheersen. categorische gegevens verwerken (frequentietabel, grafische voorstellingen). niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken (frequentietabel, grafische voorstellingen). De centrummaten gemiddelde, mediaan en modus bepalen met icT en vanuit een gegeven frequentietabel. De centrummaten interpreteren in een context. 6.2 Gegroepeerde numerieke gegevens KENNEN  +  + een klasse is een interval dat gesloten is in zijn ondergrens en open is in zijn bovengrens. een histogram is een staafdiagram met aaneengesloten staven. een frequentiepolygoon is een gebroken lijn die de roosterpunten (mi , ni ) of (mi , fi ) verbindt en die aansluit op de horizontale as in de punten (a, 0) en (b, 0). Daarbij is a het klassenmidden van de klasse die de eerste klasse voorafgaat, en b het klassenmidden van de klasse die op de laatste klasse van de steekproef volgt. KUNNEN  +  + Gegroepeerde numerieke gegevens verwerken (frequentietabel, grafische voorstellingen) en vragen beantwoorden vanuit de frequentietabel of een grafische voorstelling.

©VANIN

6.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN –  + –  +

©VANIN

KUNNEN –  + –  +

De interkwartielafstand iQr is het verschil tussen het derde en eerste kwartiel. De boxplot is een grafische voorstelling van de vijfgetallensamenvatting die bestaat uit:

De mediaanklasse is de klasse waarin het getal met rangorde n + 1 2 (de 50 %-grens) is gelegen. De modale klasse is de klasse met de grootste frequentie.

• een verticale lijn in de box die de plaats van de mediaan weergeeft;

van een geordende rij met n gegevens is: het eerste kwartiel Q1 het getal met rangorde n + 1 4 (25 %); het tweede kwartiel Q2 het getal met rangorde n + 1 2 (50 %); het derde kwartiel Q3 het getal met rangorde 3 n + 1 4 (75 %). Het tweede kwartiel is dus gelijk aan de mediaan.

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 317 6.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  + x ≈ ni mi i = 1 k n , met k het aantal verschillende klassen en ni i = 1 k = n

• een rechthoek die als basis de interkwartielafstand heeft;

De variatiebreedte R is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal.

Het gemiddelde berekenen met icT en vanuit een gegroepeerde frequentietabel. De mediaan berekenen met icT en vanuit een gegroepeerde frequentietabel. De modale klasse bepalen vanuit een gegroepeerde frequentietabel.

• een vanaf de box getekende lijn naar het minimum en maximum. een waarnemingsgetal is een uitschieter als het minstens 1,5 keer de interkwartielafstand boven het derde kwartiel of onder het eerste kwartiel gelegen is. De variantie s 2 van een rij gegevens is gelijk aan de gemiddelde kwadratische afwijking ten opzichte van het gemiddelde. De standaardafwijking s van een rij gegevens is gelijk aan de positieve vierkantswortel uit de variantie. s = ni (x i – x )2 i = 1 k n of s ≈ ni (mi –i = 1 k n x )2 De variatiecoëfficiënt V = xs De standaardscore of z-score van een waarnemingsgetal xi is het getal zi = x i – x s

De centrummaten interpreteren in een context. 6.4 Spreidingsmaten KENNEN  +  +

De variatiebreedte, de kwartielen en de interkwartielafstand berekenen met icT en vanuit een frequentietabel en interpreteren in een context. een boxplot met icT tekenen en interpreteren. Bepalen of een waarnemingsgetal een uitschieter is.

voor leerlingde voor leerkrachtde KUNNEN  +  +

De variatiecoëfficiënt berekenen en interpreteren in functie van de variabiliteit van de gegevens.

De standaardafwijkingen berekenen met icT en vanuit een frequentietabel.

De standaardscore berekenen en interpreteren. 6.5 Symmetrische en scheve verdelingen KENNEN  +  +

Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde dan in het midden van de modale klasse.

Bij een clustersteekproef verdeel je de populatie in deelgroepen. Bij elk van die groepen trek je vervolgens een aselecte of gerichte steekproef. als een verdeling rechtsscheef is, dan is de mediaan kleiner dan het gemiddelde en zijn beide groter dan de modus (Mo < Me < x).

Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde onder de modale klasse. KUNNEN –  + –  + Bepalen of een verdeling symmetrisch (in het bijzonder normaal verdeeld), rechtsscheef of linksscheef is. clusterverdelingen herkennen en verklaren.

©VANIN

Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde meestal boven de modale klasse. als een verdeling linksscheef is, dan is de mediaan groter dan het gemiddelde en zijn beide kleiner dan de modus (x < Me < Mo).

318 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213

als een verdeling symmetrisch is, dan zijn de mediaan, het gemiddelde en de modus aan elkaar gelijk (Mo = Me = x).

KUNNEN  +  regressie gebruiken om bij een puntenwolk de best passende (lineaire) trendlijn te bepalen.

De correlatiecoëfficiënt geeft de sterkte weer van het verband dat bij een lineaire regressie hoort. correlatie betekent dat twee veranderlijken op een ordelijke manier een bepaalde samenhang hebben. correlatie betekent niet dat er een oorzaak-gevolgrelatie (causaal verband) is tussen beide veranderlijken. er kan een derde (verwarrende) veranderlijke een rol spelen.

Tweedimensionale statistiek  +  een puntenwolk is een grafische voorstelling van puntenkoppels (x, y). Daarbij is x de onafhankelijke veranderlijke en y de afhankelijke veranderlijke. Bij lineaire regressie zoek je een rechte als trendlijn bij een puntenwolk. Die rechte past zo goed mogelijk bij de puntenkoppels.

De correlatiecoëfficiënt met icT berekenen en daarmee de sterkte van een lineair verband weergeven. Bepalen of er, naast een correlatie, ook een causaal verband bestaat en de eventuele verwarrende variabele benoemen.

©VANIN

4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 319 6.6

voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN

320 4 D I HOOFDSTUK 6 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 43215 6 10879111213 Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? ❑ concreet materiaal ❑ schets ❑ schema/tabel ❑ vereenvoudig ❑ gok verstandig ❑ filter ❑ patroon ❑ kennis ❑ logisch nadenken ❑ ... 1. Wat is het eerste cijfer na de komma dat verschilt van nul in de decimale ontwikkeling van 501010 ? a) 1 B) 2 c) 4 D) 5 e) 9 JWO, editie 2021, eerste ronde 2. in een rechthoek met breedte 2 cm teken jeeen (rood) lijnstuk van 2,5 cm eneen (groen) lijnstuk van 2,9 cm.Bereken de aangeduide afstand x 2,5 2,9 x 2 3. Sep vertrekt met de fiets naar school. Op de klok thuis is het dan 8.15 uur, maar die klok loopt een beetje achter. als hij op school komt, ziet hij op de schoolklok, die perfect werkt, dat het 8.40 uur is. Sep fietst na school even snel als ’s morgens naar huis. Hij vertrekt als het op de schoolklok 16.04 uur is. Bij zijn thuiskomst toont de klok thuis 16.17 uur. Hoeveel loopt de thuisklok achter? ©VANIN

Overzicht van alle remediëringsoefeningen (ROEF) per hoofdstuk (deel 1) 1 2 3 4 5 6 21 12 14 3 11 13 46 19 17 4 14 19 52 22 21 12 20 29 58 27 26 13 36 60 40 28 14 61 41 18 63 42 64 44 ©VANIN

Overzicht Extra Leerstof (deel 1) bestandsnaam hoofdstuk pagina ❑ Asymptoten 5 219 ❑ Grafische betekenis van c in f (x) = cx : verdiepingsoefeningen 5 231 ❑ Een trendlijn tekenen met behulp van ICT: verdiepingsoefening 5 239 ©VANIN

Pienter 4 D - Deel 1 - Leerwerkboek

Articles inside

Studiewijzer Pienter problemen oplossen 54 Proefhoofdstuk©VANIN

2.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen