Péter Rózsa: Játék a végtelennel by Typotex Ltd. Electronic Publishing House

M A G Y A R

T U D Ó S O K

M A G Y A R

Péter Rózsa a 20. századi magyar matematika egyik nagy

T U D Ó S O K

Péter Rózsa

alakja. Azok közé a kivételes egyéniségek közé tartozott, akik egyformán kiemelkedőt alkottak kutatóként, pedagógusként és könyvíróként.

matikus érdeklődésű, intellektuális embereknek szánta, alapja Benedek Marcellel folytatott levelezése volt. Ezért úgy kellett írnia szeretett tárgyáról, hogy a komolyabb előképzettséggel nem rendelkező olvasók is követni tudják, s kedvüket leljék benne. Hogy kísérlete mennyire sikeres volt, azt bizonyítja, hogy a könyv a számtalan magyar kiadáson túl tizenkét idegen nyelven jelent meg, s hazánkban generációkkal szerettette meg a matematikát.

Péter Rózsa JÁTÉK A VÉGTELENNEL

Játék a végtelennel című könyvét elsősorban nem mate-

Matematika kívülállóknak 9. kiadás

3100 Ft ISBN 978-963-279-092-3

peter rozsa ujra-jo.indd 1

2010.06.09. 7:47

Ja´te´k a ve´gtelennel

Pe´ter Ro ´zsa

Ja ´te´k a ve´gtelennel Matematika kı´vu ¨ la ´llo ´knak Kilencedik, javı´tott kiada ´s

TYPOTEX 2010

Ez a ko ¨ nyv az illete´kes kurato ´rium do ¨nte´se alapja ´n az ta ´mogata ´sa ´val a Fels˝ ooktata ´si Pa ´lya ´zatok Iroda ´ja ´altal lebonyolı´tott Tanko ¨ nyvta ´mogata ´si Program kerete´ben jelenik meg. c Andra ´sfai Be´la mint Pe´ter Ro ´zsa joguto ´dja, Typotex, 2004 ISBN 963 9548 37 5 Te´mako ¨ r: Szo ´rakoztato ´ matematika

Kedves Olvaso ´! ¨ nre gondoltunk, amikor a ko O ¨nyv el˝ oke´szı´te´seń munka ´lkodtunk. Kapcsolatunkat szorosabbra f˝ uzhetju ¨ k, ha bele´p a Typoklubba, ahonnan e´rtesu ¨ lhet u ´ j kiadva ńyainkro ´l, akcio ínkro ´ l, programjainkro ´l, e´s amelyet a www.typotex.hu cı´men e´rhet el. Honlapunkon megtala ´lhatja az egyes ko ¨nyvekhez tartozo ´ hibajegyze´ket is, mert sajnos hiba ´k olykor el˝ ofordulnak. Kiadja a Typotex Kiado ´ , az 1795-ben alapı´tott Magyar Ko ¨nyvkiado ´ k e´s Ko ¨nyvterjeszt˝ ok Egyesu ¨ le´seńek tagja. Felel˝ os kiado ´: Votisky Zsuzsa M˝ uszaki szerkeszt˝ o: Gerner Jo ´zsef To ¨ rdele´s: Bı´ro ´ Ba ´lint Szede´s: Benk˝ o Ma ´rta Borı´to ´ terv: To ´ th Norbert Terjedelem 19,25 (A/5) ´v ı Ke´szu ¨ lt a pećsi Bornus Nyomda ´ban Felel˝ os vezet˝ o Borbe´ly Tama ´s

Tartalomjegyze´k

Tartalomjegyze´k El˝ oszo ´ a hetedik kiada ´shoz Bevezete´s

5 7 11

I. re´sz A b˝ uve´szinas 1. Ja ´te´k az ujjakkal 2. A m˝ uveletek la ´zgo ¨rbeí 3. A ve´gtelen sza ´msor parcella ´za ´sa 4. A b˝ uve´szinas 5. Egy alapte´ma varia ćio í

15 17 22 30 37 46

6. 7. 8.

60 73 83

Minden lehet˝ ose´get megja ´tszunk A szu ¨ rke sza ´msor szı´neze´se „Gondoltam egy sza ´mot”

II. re´sz A teremt˝ o forma 9. Sze´tfuto ´ sza ´mok 10. Hata ´rtalan s˝ ur˝ use´g 11. Isme´t megfogjuk a ve´gtelent 12. Megtelik a sza ´mvonal 13. A la ´zgo ¨ rbe´k kisimulnak 14. Egy a matematika 15. „I´rja” elemek

95 97 109 120 134 148 162 183

6 16. 17.

Ja´te´k a ve´gtelennel

M˝ uhelytitkok Sok kicsi sokra megy

199 218

III. re´sz A tiszta e´sz o ¨nkritika´ja ´ 18. Es me´gis sokfe´le a matematika

235 237

19. 20. 21.

Az e´pu ¨ let meginog ¨ Ona ´llo ´sul a forma A felettes matematika ´te ı ´l˝ osze´ke el˝ ott

252 260 271

22.

Mit nem tud a matematika?

283

Fu ¨ ggele´k Formabonta ´s a „ke´t kultu ´ ra” ellen Haszna ´lat uta ´n El˝ oszo ´ az els˝ o kiada ´shoz El˝ oszo ´ az u ´ jabb kiada ´sokhoz

295 297 307 309 311

El˝ oszo ´ a hetedik kiada´shoz

¨ ro O ¨ mmel e´s fa ´jdalommal teszek eleget a megtisztel˝ o felke´re´snek, hogy el˝ oszo ´t ´rjak ı Pe´ter Ro ´zsa vila ´gsikert aratott Ja´te´k a ve´gtelennel cı´m˝ u ko ¨ nyveńek a Typotex Kiado ńa ´l megjelen˝ o ¨ ro u ´ j kiada ´sa ´hoz. O ¨ mmel, mert a ko ¨nyvet (terme´szetesen) eń is a matematikai ismeretterjeszt˝ o irodalom egyik csu ´ cspontja ńak tartom, de ugyanakkor fa ´jdalommal is, hiszen olyasmit teszek, amihez igaza ´ban csak a ko ¨nyv szerz˝ ojeńek volna joga; ˝ sajnos, 1977 o de ha ´t Ot, ´ta ma ´r elhunyt nagyjaink ko ¨zo ¨tt tarthatjuk csak sza ´mon. Mie´rt remekm˝ u ez a ko ¨nyv? Erre az a felu ¨ letes va ´lasz, hogy hiszen lefordı´totta ´k sza ´mos nyelvre, e´s e fordı´ta ´sok sza ´mottev˝ o re´sze to ¨ bb kiada ´sban is megjelent. A me´lyebbre áso ´ va ´lasz azonban arra kı´se´rel meg magyara ´zatot tala ´lni, vajon a ko ¨ nyvnek mely tulajdonsa ´gai indokolja ´k ezt a teńyekkel ala ´ta ´masztott sikert. Matematikai ismeretterjeszte´s csak a matematika formalizmusa ńak teljes vagy csaknem teljes mell˝ oze´se´vel, a logikai szigoru ´ sa ´g matematikai m˝ uvekben joggal megkı´va ńt lazı´ta ´sa ´val, szemle´letes ke´pekkel valo ´ helyettesı´te´se´vel ve´gezhet˝ o hate´konyan; ene´lku ¨ l nem ismeretterjeszt˝ o m˝ u, hanem szakko ¨ nyv jo ¨n le´tre, amelyet csak matematikusok, esetleg csak a matematika valamely sz˝ ukebb ága ńak szake´rt˝ oi tudnak mege´rteni e´s me´lta ńyolni. Aki valo´ban a nem matematikus (s˝ ot a hajlama ńa ´l, neveltete´seńe´l fogva maga ´t a matematika ´to ´l ta ´vola ´llo ńak e´rz˝ o, esetleg e´ppen a matematika ´val szemben elfogult) olvaso ´ sza ´ma ´ra ´r, ı annak mindezeket a matematikai irodalomban meg nem engedett lazasa ´gokat le´pten-nyomon alkalmaznia kell, de eko ¨zben nem szabad a matematikai gondolatokat meghamisı´tania.

Ja´te´k a ve´gtelennel

Ahhoz, hogy ez a toja ´sta ńchoz hasonlı´thato ´ feladat sikeresen megvalo ´sı´thato ´ legyen, a szerz˝ onek mindazt, amir˝ ol ´r, ı a kutato ´ tudo ´ s me´lyse´geíg kell ismernie. El˝ ofordul, hogy valaki, esetleg a legteljesebb jo ´hiszem˝ use´ggel, megkı´se´rli az olvasma ńyaibo ´l megismert eredmeńyeket ko ¨zvetı´teni ane´lku ¨ l, hogy mindezeket az alkoto ´ tudo ´s azonosula ´sa ńak szintjeíg maga é´va ´ tette volna, s ebb˝ ol o ´hatatlanul fe´lrevezet˝ o pontatlansa ´gok jo ¨nnek le´tre. Pe´ter Ro ´zsa ko ¨nyveńek nagyszer˝ use´ge e´ppen abbo ´ l ered, hogy o ˝ maga alkoto ´ matematikus volt, aki szerelmeńek ta ´rgya ´t (melyik igazi tudo ´s nem szerelmes az általa m˝ uvelt tudoma ńyba?) kı´va ńta (legala ´bbis a lehet˝ ose´ghez ke´pest) ismertte´ e´s vonzo ´va ´ tenni a kı´vu ¨ la ´llo ´k sza ´ma ´ra. Terme´szetesen az a ko ¨ ru ¨ lmeńy, hogy Pe´ter Ro ´zsa a matematikai kutata ´s aktı´v m˝ uvel˝ oje volt, csak egyik szu ¨ kse´ges felte´tele az ele´rt eredmeńynek (nem minden alkoto ´ matematikus ke´pes ilyen magas szint˝ u ismeretterjeszte´sre), de mindenesetre alapvet˝ oen fontos, ne´lku ¨ lo ¨zhetetlen felte´tele a sikernek. Legyen szabad most egy kisse´ szubjektı´vnek lennem. A Ja´te´k a ve´gtelennel els˝ o kiada ´sa, tudjuk, 1945 nyara ń jelent meg. ń akkor, mint ke´s˝ E obbi felese´gemnek hadifogsa ´gbo ´l e´ppen hazate´rt friss v˝ olegeńye, megvettem e´s neki aja ńlottam a ko ¨nyvet, amely azuta ń kett˝ onk egyik kedvenc olvasma ńya ´va ´ va ´lt. Belelapozva az els˝ o kiada ´sba, e´szrevettem egy apro ´ ku ¨ lo ¨nbse´get a ke´s˝ obbi kiada ´sokhoz ke´pest. Az els˝ o kiada ´sban a beve´ n nem aze´rt szeretem a matezete´s egyik mondata ´gy ı szo ´l: „E matika ´t, mert – ´gy ı mese´lte´k nekem – alkalmazni lehet a technika ´ban, hanem aze´rt, mert sze´p.” Ez a mondat a negyedik ń nemcsak aze´rt szeretem (1969-es) kiada ´sban ´gy ı hangzik: „E a matematika ´t, mert alkalmazni lehet a technika ´ban, hanem f˝ oleg aze´rt, mert sze´p.” A szerz˝ o egye´bkeńt gondosan e´s matematikushoz ill˝ o pontossa ´ggal felsorolja az u ´ jabb kiada ´sokban mutatkozo ´ va ´ltoztata ´sokat, mert hiszen a ko ¨nyv a matematika legfrissebb eredmeńyeit is be akarja mutatni az olvaso ´ nak, e´s ezek az u ´ jabb e´s u ´ jabb kiada ´sok ko ¨zo ¨tt is fejl˝ odtek, amit a szo ¨veg (terme´szetesen) figyelembe vett, a bevezete´snek ezt a kis mo ´ dosı´ta ´sa ´t azonban nem emlı´ti. Ane´lku ¨ l, hogy ehhez a hu ´ sz e´vne´l re´gebben elhunyt szerz˝ o hozza ´ja ´rula ´sa ´t elnyerhetne´m, legyen szabad felte´teleznem, hogy Pe´ter Ro ´-

El˝oszo´ a hetedik kiada´shoz

zsa ńak 1945 e´s 1969 ko ¨ zo ¨tt bels˝ o viszonyula ´sa va ´ltozott meg a matematika alkalmaza ´saihoz; amit˝ ol 1945-ben me´g ta ´vol állt, azt 1969-ben ma ´r maga éńak e´rezte, s˝ ot – mint a hala ´la el˝ ott keve´ssel megjelent, a matematikai logika ńak a sza ´mı´to ´ge´ptudoma ńyban valo ´ alkalmaza ´sairo ´l szo ´lo ´ monogra ´fia ´ja ´bo ´l kit˝ unik – alkoto án m˝ uvelte. Ebb˝ ol az apro ´ szo ¨vegva ´ltoztata ´sbo ´l, tala ń nem tu ´ lozva, szeretne´k egy a matematika e´s a valo ´sa ´g viszonya ńak (su ´ lyos filozo ´ fiai ke´rde´seket felvet˝ o) proble´ma ´ja íg eljutni. A matematika ńak sza ´mos (a re´gebbi sza ´zadokban szinte valamennyi) ke´rde´sko ¨re a mindennapi e´let vagy ma ´s tudoma ńyok felvetette feladatok megolda ´sa ńak sza ńde´ka ´bo ´l eredt. El˝ ofordul azonban, hogy egy-egy matematikai ke´rde´s nem kı´vu ¨ lr˝ ol, hanem a matematika bels˝ o proble´ma íbo ´l fakadt,e´silyenkorhoszszu ´ ideig u ´ gy t˝ unt, hogy az e´lett˝ ol ta ´vol állo ´, alkalmaza ´sokhoz sohasem vezet˝ o, e´s eze´rt sokak re´sze´r˝ ol elutası´tott gondolatko ¨rr˝ ol, esetleg ege´sz elme´letr˝ ol van szo ´. Aki azonban ele´g tu ¨ relmes e´s ke´pes kell˝ o ideig va ´rni, mindig ra ´jo ¨n, hogy az e´lett˝ ol elrugaszkodottnak t˝ un˝ o matematikai elme´letek el˝ obb-uto ´ bb megtala ´lja ´k alkalmaza ´sukat. Így volt ez a Pe´ter Ro ´zsa ´to ´ l els˝ osorban m˝ uvelt ke´rde´sko ¨rrel, a rekurzı´v fu ¨ ggveńyek elme´lete´vel is, amely indula ´sakor puszta ń a matematikai logika szempontja ´bo ´l la ´tszott e´rdekesnek, de alig ne´ha ńy e´vtized eltelte´vel a sza ´mı´to ´ge´p-tudoma ńy egyik fontos e´s hasznos fegyvere´ve´ va ´lt. A fejl˝ ode´snek ezt az álloma ´sa ´t me´g e´ppen mege´rte Pe´ter Ro ´zsa, s (tala ń e´ppen eze´rt) to ¨ro ¨lte az „ı´gy mese´lte´k nekem” fe´lmondatot. Sok e´lvezetes percet kı´va ńok az u ´ j kiada ´s olvaso ínak. Budapest, 1999 áprilisa ´ban ´kos Csa´sza´r A

Bevezete´s

Eszembe jut egy re´gi besze´lgete´s. Egy ´ro ı ńk, aki igen kedves emberem, panaszolta nekem, hogy hia ńyosnak e´rzi m˝ uveltse´ge´t, mert nem tud matematika ´t. A saja ´t teru ¨ leteń e´rzi ennek a hia ńya ´t, ´ra ı ´s ko ¨ zben. Mert pe´lda úl a koordina ´ta-rendszerre me´g emle´kszik az iskola ´s matematika ´bo ´l e´s ezt ma ´r ke´pben, ´ gy e´rzi, hogy me´g sok ilyen felhasonlatban is felhaszna ´lta. U haszna ´lhato ´ anyag van a matematika ´ban, e´s a kifejez˝ oke´pesse´ge szegeńyebb atto ´ l, hogy nem merı´thet ebb˝ ol a gazdag forra ´sbo ´ l. De mindez remeńytelen panasz, mert abban bizonyos, hogy a matematika ´ba nem tudna behatolni. Ez a besze´lgete´s azo ´ta sokszor fele´ledt bennem, gondolatokat, terveket e´breszt˝ oen. Hogy itt tennivalo ´ van, azt az els˝ o pillanatra bela ´ttam, hiszen abban, amit a matematika az eń sza ´momra jelent, mindig a hangulati elem volt a do ¨nt˝ o e´s ez bizonya ´ra ko ¨ zo ¨s forra ´s, amib˝ ol az ´ro ı ´, a m˝ uve´sz is merı´thet. Eszembe jut egy pe´lda dia ´kkorombo ´l: To ¨bb egyetemi ta ´rsammal egyu ¨ tt Shaw egyik szıńm˝ uve´t olvastuk. Ott tartottunk, ahol a h˝ os megke´rdezi a h˝ osn˝ ot: mi a titka, hogy tudja olyan jo ´l vezetni e´s megnyerni a legnehezebben kezelhet˝ o embereket is? A h˝ osn˝ o elgondolkozik: Tala ń az a magyara ´zata ennek, hogy o ˝ valo ´ja ´ban egy kicsit ta ´vol van mindenkit˝ ol. Erre a felolvaso ´ ta ´rsn˝ om (Benk˝ o Ica) felkia ´lt: „Ez ugyanaz, mint a ma tanult matematikai te´tel!” A matematikai ke´rde´s ugyanis ez volt: lehet-e egy ponthalmazhoz egy kı´vu ¨ l fekv˝ o pontbo ´l u ´ gy ko ¨ zeledni, hogy egyszerre valamennyi pontja ´hoz ko ¨zeledju ¨ nk? A felelet: Ennek az a felte´tele, hogy a kı´vu ¨ l fekv˝ o pont ele´g messze esse´k az ege´sz halmazto ´l:

Ja´te´k a ve´gtelennel

innen nem lehet, míg egyes pontokhoz közeledünk, a többitõl távolodunk;

innen már lehet.

Az ´ro ı ´ ma ´sik állı´ta ´sa ´t: hogy nem tudna behatolni a matematika ´ba, pe´lda úl sohasem tudna ´ mege´rteni a sokat emlegetett differencia ´lha ńyados fogalma ´t, nem akartam elhinni. Megpro ´ba ´ltam sze´ttagolni e fogalom bevezete´se´t a lehet˝ o legegyszer˝ ubb, vila ´gos le´pe´sekre. A va ´lasz nagyon meglep˝ o volt: A matematikus el sem tudja ke´pzelni, hogy a laikusnak a legegyszer˝ ubb ke´plet is milyen nehe´zse´geket okozhat. Ahogyan a pedago ´ gus sem e´rti, hogy lehet az, hogy a nebulo ´ ma ´r huszadszor silabiza ´lja, hogy b...a...b e´s me´g mindig nem la ´tja, hogy babro ´ l van szo ´; itt pedig nem is babro ´l van szo ´. Ez isme´t nagyon elgondolkoztato ´ tapasztalat volt sza ´momra. Mindeddig azt hittem, hogy a ko ¨zo ¨nse´g matematikai ta ´je´kozatlansa ´ga ńak az az oka, hogy senki sem ´rt ı jo ´ ne´pszer˝ u ko ¨ nyvet, pe´lda úl a differencia ´lsza ´mı´ta ´sro ´l, a nagyko ¨zo ¨nse´g sza ´ma ´ra. Hiszen az e´rdekl˝ ode´s szemmel la ´thato án megvan, a ko ¨zo ¨ nse´g valo ´sa ´ggal sze´tkapkodja, amit e nemben juttatnak neki, de hivata ´sos matematikus mindeddig nem ´rt ı ilyen ko ¨ nyvet. Igazi szakemberre gondolok, aki pontosan tudja, hogy milyen me´rte´kben lehet leegyszer˝ usı´teni valamit ane´lku ¨ l, hogy ez hamisı´ta ´s volna, aki e´rt ahhoz, hogy ne a re´gi keser˝ u orvossa ´got adja be valami tetszet˝ os ta ´lala ´sban (hiszen az iskola ´s matematika a nagy to ¨bbse´gnek keser˝ u emle´ke), hanem maga ´t a leńyeget tudja annyira megvila ´gı´tani, hogy ege´szen szembeszo ¨k˝ ove´ va ´lik, e´s aki maga is ismeri a matematikai alkota ´s o ¨ro ¨me´t, ez ad az ´ra ı ´sa ńak olyan lendu ¨ letet, hogy az olvaso ´t is maga ´val ragadja. Most ma ´r kezdem azt hinni, hogy sokak sza ´ma ´ra me´g az igazi ne´pszer˝ u ko ¨nyv sem lesz hozza ´fe´rhet˝ o.

Bevezete´s

Tala ń e´ppen ez a do ¨ nt˝ o matematikustulajdonsa ´g: az u ´ t keserves volta ńak va ´llala ´sa. „A matematika ´hoz nem vezet kira ´lyi u ´ t” – mondta Euklide´sz az e´rdekl˝ od˝ o uralkodo ńak – ezt kira ´lyok sza ´ma ´ra sem lehet keńyelmesse´ tenni. Felu ¨ letesen nem lehet matematika ´t olvasni, a keńyszer˝ u absztrakcio ´ mindig bizonyos o ¨ nkıńza ´ssal ja ´r, e´s matematikus az, akinek ez az o ¨nkıńza ´s o ¨ ro ¨met okoz. Me´g a legjobb ne´pszer˝ u ko ¨nyvet is csak azok fogja ´k ko ¨ vetni tudni, akik egy bizonyos fokig va ´llalja ´k ezt. Akik va ´llalja ´k a keserves silabiza ´la ´st mindaddig, mı´g a ke´plet e´rtelme meg nem vila ´gosodik el˝ ottu ¨ k. ń nem ezek sza E ´ma ´ra ´rok ı most. Ke´plet ne´lku ¨ li matematika ´t ´rok, ı valamit abbo ´l a bizonyos ko ¨zo ¨s hangulati forra ´sbo ´l. Nem tudom, sikeru ¨ lhet-e ez a va ´llalkoza ´s. A ke´plettel a matematika egyik leńyeges jegye´r˝ ol mondok le; hogy a forma a leńyeghez tartozik, azt ´ro ı ´ e´s matematikus egyara ńt tudja. Ke´pzelju ¨ k el, hogyan lehetne egy szonett hangulata ´t kifejezni a szonettforma ne´lku ¨ l. Me´gis meg akarom kı´se´relni: ha ´tha átmenthet˝ o ´gy ı is valami az igazi matematika szelleme´b˝ ol. Egy ko ¨ nnyı´te´st nem ´ge ı ´rhetek: egy-egy fejezetet olvasatlanul átlapozni, ke´s˝ obbre halasztani, vagy csak felu ¨ letesen futni át: nem szabad. Matematika ´t csak te´gla ńkeńt lehet fele´pı´teni: itt egyetlen szo ´ sem felesleges, minden ko ¨vetkez˝ o re´szlet az el˝ oz˝ ore e´pı´t, ha ez itt nem is annyira szembeszo ¨k˝ o, mint egy unalmasan szisztematiza ´lo ´ ko ¨nyvben. A keve´s utası´ta ´st is ko ¨vetni kell: igaza ń ra ńe´zni az ábra ´ra, valo ´ban pro ´ba ´lgatni egy egyszer˝ u rajzot vagy sza ´mola ´st, ha itt-ott erre ke´rem az olvaso ´t. Viszont engesztele´su ¨ l megı´ge´rem, hogy nem lesz unalmas. Az iskola ´s matematika ´bo ´l semmit sem fogok felhaszna ´lni; a sza ´mla ´la ´ssal kezdem e´s el fogok jutni a matematika legmaibb ága íg: a matematikai logika íg.

I. A bË? uveÂ´szinas

1. Ja´te´k az ujjakkal

Kezdju ¨ k elo ¨lr˝ ol. Nem matematikato ¨rteńetet ´rok; ı ezt ku ¨ lo ¨nben is csak ´ra ı ´sos emle´kek alapja ń tehetne´m, e´s hol van ma ´r az els˝ o ´ra ı ´sos emle´k a kezdett˝ ol! El kell ke´pzelnu ¨ nk az o ˝sembert, a maga primitı´v ko ¨rnyezete´ben, amint sza ´mla ´lni kezd. Ebben az elke´pzele´sben mindig segı´tse´gu ¨ nkre van az a primitı´v emberke, aki a szemu ¨ nk el˝ ott fejl˝ odik kultu ´ remberre´: a kisbaba, aki a vila ´ggal e´s ebben saja ´t teste´vel ismerkedik, a tı´z ujjacska ´ja ´val ja ´tszik. Lehet, hogy az „egy”, „kett˝ o”, „ha ´rom”, „ne´gy” csak ro ¨ vidı´te´s ahelyett, hogy „ez elment nyula ´szni”, „ez megla ´tta”, „ez megl˝ otte”, „ez megsu ¨ to ¨tte” stb. e´s ez nem is tre´fa: egy orvosto ´l hallottam, hogy vannak olyan agyse´ru ¨ ltek, akik nem tudja ´k az ujjaikat megku ¨ lo ¨nbo ¨ztetni, e´s ezzel mindig egyu ¨ tt ja ´r a sza ´mola ´si ke´szse´g kiese´se is; ez a tudat ala ´ jutott kapcsolat teha ´t me´g a kultu ´ remberben is elszakı´thań ´gy tatlanul szoros. E ı ke´pzelem: a matematika egyik forra ´sa az ember ja ´te´kos terme´szete, e´s e´ppen eze´rt nemcsak tudoma ńy a matematika, hanem legala ´bb ugyanolyan me´rte´kben m˝ uve´szet is. ´ gy gondoljuk, hogy a sza U ´mla ´la ´s ma ´r kezdetben ce´lszer˝ u teve´kenyse´g volt: tala ń a tulajdona ´t akarta u ´ gy sza ´mon tartani az o ˝sember, hogy megsza ´mla ´lta, ha ńy állatb˝ ore van. De elke´pzelhet˝ o, hogy valami ma ´gikus szertarta ´s is volt a sza ´mla ´la ´s, hiszen ma is la ´tjuk, hogy a keńyszerneurotikusok gyakran haszna ´lja ´k ma ´gikus rendszaba ´ly gyana ńt, amellyel bizonyos meg nem engedett gondolatokat akarnak izola ´lni; pe´lda úl 1-t˝ ol 20-ig kell sza ´molni, csak azuta ń szabad valami ma ´sra gondolni. Aka ´r ´gy, ı aka ´r amu ´ gy, állatb˝ oro ¨kre vagy egyma ´st

Ja´te´k a ve´gtelennel

ko ¨ vet˝ o id˝ oko ¨ zo ¨ kre vonatkoztatva, a sza ´mla ´la ´s mindig azt jelenti, hogy me´g eggyel tu ´ lmegyu ¨ nk a ma ´r meglev˝ on, a tı´z ujjon is tu ´ ljuthatunk, e´s ´gy ı le´trejo ¨n az ember els˝ o nagyszer˝ u matematikai alkota ´sa, az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . ve´gtelen sza ´msorozat, az u ´ gynevezett terme´szetes sza ´msor. Ve´gtelen, mert ba ´rmily nagy sza ´mon tu ´ l is lehet me´g eggyel tova ´bbsza ´mla ´lni. Nagy absztrakcio ´ke´pesse´g kellett a megalkota ´sa ´hoz, hiszen ezek a sza ´mok csak ´arnyai a valo ´sa ´gnak: pe´lda ´ul a 3 itt nem 3 ujjat, 3 alma ´t, 3 e´rvere´st stb. jelent, hanem azt, ami mindezekben ko ¨zo ¨s: a bel˝ olu ¨ k absztraha ´lt sza ´mukat. A nagyon nagy sza ´mokat pedig ma ´r nem is a valo ´sa ´gbo ´ l absztraha ´lta az ember, hiszen egy millia ´rd alma ´t senki sem la ´tott, egy millia ´rd e´rvere´st senki sem sza ´mla ´lt meg; ezeket a sza ´mokat ma ´r csak a valo ´sa ´geredet˝ u kis sza ´mok analo ´gia ´ja ´ra ke´pzelju ¨ k el: ke´pzeletben lehetne mind tova ´bb e´s tova ´bb sza ´mla ´lni a mindeddig megismert sza ´mokon tu ´ l. Az ember nem e´ri be a sza ´mla ´la ´ssal. Ha ma ´s nem, ha ´t az isme´tle´s o ¨ ro ¨me tu ´ lviszi ezen. Jo ´l ismerik ezt a ko ¨lt˝ ok is: a visszavisszate´re´st ugyanahhoz a ritmushoz, ugyanahhoz a csenge´shez. Eleven dolog ez: a kisgyerek sem unja meg a ja ´te´kot; a fa ´sult feln˝ ott ma ´r re´gen tehernek e´rzi, mikor o ˝ me´g mindig u ´ jra meg u ´ jra dobna ´ a labda ´t. 4-ne´l tartunk? Sza ´mla ´ljunk tova ´bb me´g 1-gyel! No me´g 1-gyel! No me´g 1-gyel! Hova jutottunk? 7-hez; ugyanoda, mintha mindja ´rt 3-mal sza ´mla ´ltunk volna tova ´bb: felfedeztu ¨ k az o ¨sszeada ´st: 4 + 1 + 1 + 1 = 4 + 3 = 7. Most ja ´tsszunk tova ´bb ezzel a m˝ uvelettel: adjunk 3-hoz me´g 3-at e´s me´g 3-at e´s me´g 3-at! Itt ma ´r 4-szer adtunk o ¨ssze 3-at, ezt ro ¨viden ´gy ı is mondhatjuk: 4-szer 3 az 12, jelekben: 3 + 3 + 3 + 3 = 4 · 3 = 12, ezt pedig ma ´r szorza ´snak nevezik. Ha ma ´r benne e´lu ¨ nk az isme´tle´s o ¨ro ¨me´ben, nehe´z abbahagyni, hiszen a szorza ´ssal ugyanı´gy ja ´tszhatunk tova ´bb: szo-

Ja´te´k az ujjakkal

rozzuk 4-et 4-gyel e´s me´g 4-gyel, lesz 4 · 4 · 4 = 64. A szorza ´snak ezt az isme´tle´se´t, „itera ćio ´ja ´t”, hatva ńyoza ´snak hı´vja ´k. Azt mondja ´k, hogy itt 4 az „alap”, e´s a jobb fels˝ o sarka ´ba ´rt ı kicsi sza ´mmal, az u ´ n. „kitev˝ ovel” jelezzu ¨ k, hogy ha ńy 4-est kell szorozni; e jelo ¨le´ssel teha ´t 43 = 4 · 4 · 4 = 64. Amint la ´thato ´, ezek az eredmeńyek egyre nagyobb sza ´mok: 4 · 3 to ¨ bb mint 4 + 3 e´s 43 a 4 · 3-na ´l is jo ´val to ¨bb. A vida ´m isme´telgete´s jo ´ magasra lendı´t fel minket a nagy sza ´mok ko ¨ ze´. Me´g inka ´bb ´gy ı lesz, ha me´g a hatva ńyoza ´st is itera ´ljuk: hatva ńyozzuk 4-et 4-nek a 4-ik hatva ńya ´ra: 44 = 4 · 4 · 4 · 4 = 64 · 4 = 256 e´s erre kell hatva ńyozni 4-et: 4

44 = 4256 = 4 · 4 · 4 . . . nekem ma ´r tova ´bbı´rni sincs tu ¨ relmem, hiszen 256 4-est kellene ideı´rnom, ha ´t me´g valo ´ban elve´gezni a szorza ´st! Elke´pzelhetetlen nagy sza ´m lenne az eredmeńy, u ´ gyhogy inka ´bb el˝ ovesszu ¨ k a jo ´zan eszu ¨ nket, e´s ba ´rmily sze´p is u ´ jra meg u ´ jra itera ´lni, a hatva ńyoza ´s itera ćio ´ja ´t me´gsem vezetju ¨ k be elfogadott m˝ uveleteink ko ¨ ze´. Tala ń ez az igazsa ´g: az emberi szellem megja ´tszik minden kıńa ´lkozo ´ ja ´te´kot, de maradando ´va ´ csak az va ´lik e ja ´te´kok ko ¨zu ¨ l, amit a jo ´zan e´sz ce´lszer˝ unek ´te ı ´l. Az o ¨sszeada ´s, a szorza ´s e´s a hatva ńyoza ´s nagyon hasznosnak e´s ce´lszer˝ unek bizonyult az ember jo ´zan teve´kenyse´geiben is, eze´rt mindo ¨ro ¨ kre polga ´rjogot nyertek a matematika ´ban. Mega ´llapı´totta ´k mindazokat a tulajdonsa ´gaikat, amik megko ¨ nnyı´tik a sza ´mola ´st; pe´lda úl nagy ko ¨nnyı´te´s, hogy 7·28 nemcsak 28-nak 7-szeres o ¨sszeada ´sa ´val sza ´mı´thato ´ ki, hanem u ´ gy is, hogy ke´t tagra sze´tbontva szorozzuk: 7 · 20 e´s 7 · 8 ele´g ko ¨ nnyen kisza ´mı´thato ´ , e´s azt sem nehe´z mega ´llapı´tani, hogy

Ja´te´k a ve´gtelennel

mennyi 140 + 56. Azta ń meg hosszu ´ oszlopok o ¨sszeada ´sakor milyen jo ´ tudni, hogy semmilyen sorrendva ´ltoztata ´s sem rontja el az eredmeńyt, mert enne´lfogva pl. ezt: 8 + 7 + 2, ´gy ı ve´gezhetem el: 8 + 2 = 10 e´s 10-hez ma ´r ko ¨nny˝ u 7-et hozza ádni; ´gy ı a kellemetlen 8 + 7 o ¨sszeada ´st ravaszul elkeru ¨ ltem. Csak jo ´l ve´gig kell gondolni, hogy az o ¨sszeada ´s tulajdonke´ppen tova ´bbsza ´mla ´la ´st jelent annyival, amennyi a szo ´ban forgo ó ¨sszeadando ´ , e´s akkor vila ´gossa ´ va ´lik, hogy a felcsere´le´s nem va ´ltoztat az eredmeńyen. Ugyanezt egy kicsit nehezebb a szorza ´sro ´l is elhinni, hiszen 4 · 3 azt jelenti: 3 + 3 + 3 + 3 e´s 3 · 4 ezt: 4 + 4 + 4, e´s az igaza ń nem maga ´to ´l e´rtet˝ od˝ o, hogy 3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4. De ez ro ¨gto ¨ n vila ´gossa ´ va ´lik, ha lerajzoljuk. Rajzoljunk 4-szer 3 ilyen helyzet˝ u pontot · · · egyma ´s ala ´: · · · ·

· · · ·

Mindenki la ´tja, hogy ez ugyanaz, mintha 3-szor 4 ilyen helyzet˝ u pontot . . . . rajzoltunk volna egyma ´s melle´. Teha ´t 4 · 3 = 3 · 4, eze´rt nevezik a matematikusok a szorzando ´t e´s a szorzo ´t ko ¨zo ¨s ne´ven: teńyez˝ oknek. Hogy a hatva ńyoza ´s to ¨rveńyeib˝ ol is kiragadjak egyet: 4| ·{z 4 · 4} · |{z} 4 · 4 = 45 . Ha a sok szorza ´sban elfa ´radok, tarthatok egy kis pihen˝ ot: az els˝ o ha ´rom 4-es szorzata 43 , ha ´tra van me´g 42 , teha ´t 43 · 42 = 45 . Az eredmeńy kitev˝ oje 5, ez e´ppen 3 + 2, teha ´t 4-nek ke´t hatva ńya ´t egyszer˝ uen u ´ gy szorozhatjuk egyma ´ssal, hogy a kite-

Ja´te´k az ujjakkal

v˝ oiket o ¨ sszeadjuk. ´Igy van ez mindig, pl.: 54 · 52 · 53 = |5 · 5{z · 5 · 5} · |{z} 5 · 5 · 5| · {z 5 · 5} = 59

e´s itt 9 e´ppen 4 + 2 + 3. Gondoljunk csak vissza a befutott u ´ tra: minden m˝ uvelethez a sza ´mla ´la ´s vezetett el. Persze fel lehetne vetni, hogy hol marad ha ´t a kivona ´s? Az oszta ´s? De ezek nem egyebek, mint az eddigi m˝ uveletek megfordı´ta ´sai (ugyanı´gy a gyo ¨kvona ´s e´s a logaritmus is). Mert pe´lda úl 20 : 5 azt jelenti, hogy ma ´r ismerem egy szorza ´s eredmeńye´t, ez 20, e´s keresem azt a sza ´mot, amit 5-szo ¨r ve´ve 20-at kaptunk eredmeńyu ¨ l. Ebben az esetben sikeru ¨ l tala ´lni ilyen sza ´mot, hiszen 5 · 4 = 20, de nem mindig ko ¨ nny˝ u megkeresni ezt a sza ´mot e´s nem is mindig van ilyen; pl. 23-ban az 5 ma ´r nincs meg marade´k ne´lku ¨ l, mert 4 · 5 = 20 me´g kevesebb, 5 · 5 = 25 ma ´r to ¨bb 23-na ´l, teha ´t keńytelen vagyok bee´rni a kisebbikkel e´s azt mondani, hogy 23-ban is 4-szer van meg az 5, de marad 3. Az ilyesmi mindenesetre to ¨bb fejto ¨re´st okoz, mint a mi vida ´m itera ćio ínk; a ´ppen fordı´tott m˝ uveletek rendszerint keserves m˝ uveletek. E eze´rt kedvelt ta ´mada ´si pontjai a matematikus kutata ´snak, hiszen a matematikus tudvalev˝ oen az az ember, aki o ¨ro ¨me´t leli a nehe´zse´gekben. A fordı´tott m˝ uveletekre teha ´t me´g vissza kell majd te´rnem a tova ´bbiak sora ń.

2. A m˝ uveletek la´zgo ¨rbe´i

La ´ttuk, hogy a m˝ uveletek itera ćio í mind magasabbra lendı´´rdemes egy kicsit tenek bennu ¨ nket a nagy sza ´mok ko ¨re´be. E elgondolkozni azon, hogy milyen magassa ´gokba. Hatva ńyoznunk kell pe´lda úl, amikor a kocka ko ¨btartalma ´t akarjuk kisza ´mı´tani. Egy kicsi kocka ´t kinevezu ¨ nk egyse´gnek e´s az a ke´rde´s, hogy a megme´rend˝ o nagy kocka ´ba ha ńy ilyen kicsi kocka fe´r bele. Legyen pl. egy ko ¨bcentime´ter az egyse´g, vagyis egy olyan kicsi kocka, melynek hosszu ´ sa ´ga is, sze´lesse´ge is, magassa ´ga is 1 cm:

1cm 1c

1cm

Rakjunk ilyen kicsi kocka ´kbo ´l ne´gyet egyma ´s melle´, kapunk egy ilyen sort:

Azuta ´n ne´gy ilyen sort rakva egyma ´s melle´, kialakul egy ilyen re´teg:

A m˝ uveletek la´zgo¨rbe´i

ebben 4 · 4 = 42 kocka van. Ve´gre ne´gy ilyen re´teget rakva egyma ´s fo ¨ le´, egy nagy kocka keletkezik:

e´s ez 4 · 4 · 4 = 43 = 64 kis kocka ´bo ´l áll. Fordı´tva, ha a nagy kocka ´bo ´l indulok ki, melynek hosszu ´sa ´ga is, sze´lesse´ge is, magassa ´ga is 4 cm, akkor ebbe 43 ko ¨bcentime´ter fe´r bele; e´s általa ´ban u ´ gy kapjuk meg egy kocka ko ¨ btartalma ´t, hogy az egyik e´le´t a harmadik hatva ńyra emelju ¨ k. Eze´rt nevezik a harmadik hatva ńyt ko ¨bnek is.1 Ennek a hatva ńyoza ´snak azuta ń az az eredmeńye, hogy ara ńylag ele´g ro ¨ vid e´l˝ u kocka ńak o ´ria ´si lesz a ko ¨btartalma. Pl. 1 kilome´ter nem is olyan nagy hosszu ´ sa ´g, mindenki el tudja ke´pzelni, ha arra gondol, hogy a Nagymez˝ o utca kb. 1 kilome´ter hosszu ´ . De ha akkora kocka ´t e´pı´teneńek, hogy az egyik e´le e´ppen a Nagymez˝ o utca volna, ennek ma ´r akkora lenne a ko ¨ btartalma, hogy belefe´rne az ege´sz emberise´g. Aki nem hiszi, sza ´moljon uta ńa: mondjuk, hogy 2 me´terne´l magasabb ember nincs, teha ´t 2 me´terenkeńt hu ´ zna ńk egy-egy padlo ´t, ´gy ı az 1 kilome´ter, azaz 1000 me´ter magassa ´gban 500 emelet 1 Ismerem a pedago ´gusok ellenvete´se´t: u ´ gy kellett volna mondanom, hogy a ko ¨btartalom me´rte´ksza ´ma ´t megkapom, ha egy e´l me´rte´ksza ´ma ´t ko ¨bre emelem. De ilyen sz˝ orsza ´lhasogata ´ssal igaza ń nem akarom untatni az olvaso ´t. Su ´ lyosabb dolog is van itt, amin átsiklottam: az a ke´rde´s, hogy lehet-e ba ´rmilyen kocka e´leit cm-ekben kifejezni. Erre me´g vissza fogok te´rni.

Ja´te´k a ve´gtelennel

fe´r el. Ha ezeket a padlo ´kat hosszu ´ sa ´gukban is, sze´lesse´gu ¨ kben is 1 me´teres sa ´vokra osztjuk, ´gy: ı

. . . 1m 1m 1m

. . .

akkor egy-egy hosszmenti sa ´vban 1000 ne´gyzet keletkezik e´s 1000 ilyen hosszmenti sa ´v jo ¨n le´tre o ¨sszesen, teha ´t 1000 · 1000 = 1 000 000 ilyen ne´gyzet van egy-egy padlo ń. Minden ne´gyzet hosszu ´ sa ´ga is, sze´lesse´ge is 1 me´ter; 4 embert biztosan ra ´ lehet állı´tani egy ilyen ne´gyzetre, ketten egy-egy kisgyereket is tarthatnak a karjukon, teha ´t egy-egy emeletre 1 000 000-szor 6, azaz 6 millio ´ ember ele´g jo ´l begyo ¨mo ¨szo ¨lhet˝ o. Az 500 emeletre teha ´t 500-szor 6 millio ´, azaz 3000 millio ´, vagyis 3 millia ´rd, ennyi ember pedig me´g nem is e´lt a Fo ¨ldo ¨n, amikor nekem mese´ltek err˝ ol a kocka ´ro ´l. Pedig a kocka ko ¨btartalma ńak kisza ´mı´ta ´sakor me´g csak a harmadik hatva ńy szerepel; nagyobb kitev˝ o me´g sokkal rohamosabban visz fo ¨ lfele´ a sza ´mok sora ´ban. Ez alapos meglepete´st okozhatott annak a fejedelemnek, akit˝ ol a sakkja ´te´k feltala ´lo ´ja szereńyen csak ne´ha ńy bu ´ zaszemet ke´rt jutalmul:

64 mez˝ os sakkta ´bla ´ja ´nak els˝ o mez˝ oje´re 1-et, a ma ´sodikra 2szer ennyit, azaz 2-t, a harmadikra isme´t 2-szer ennyit, azaz 2 · 2 = 22 = 4-et e´s ´gy ı tova ´bb. Eleinte valo ´ban szere´nynek t˝ unik ez a ke´re´s, de amint el˝ orehaladunk a mez˝ oko ¨n, 2-nek

A m˝ uveletek la´zgo¨rbe´i

mind magasabb hatva ńyai keru ¨ lnek sorra, ve´gu ¨ l is 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + · · · + 263 bu ´ zaszemr˝ ol van szo ´ (a ko ¨zbees˝ o hatva ńyokat is tesse´k odagondolni, nem volt tu ¨ relmem mind a 64 o ¨sszeadando ´t le´rni), ı e´s ha valakinek kedve van kisza ´mı´tani, hogy ez mennyi, annyi bu ´ za ´t fog eredmeńyu ¨ l kapni, amivel az ege´sz fo ¨ldfelu ¨letet be lehetne vonni csaknem 1 cm magas re´tegben. Ezek uta ń ma ´r nem is meglep˝ o, hogy a hatva ńyoza ´s itera ćio ´ ja milyen magassa ´gokba ragad; csak egyet emlı´tek me´g 9 az e´rdekesse´g kedveé´rt: meg lehet becsu ¨ lni, hogy 99 akkora sza ´mot ad eredmeńyu ¨ l, hogy annak puszta leı´ra ´sa ´hoz 18 ezer kilome´ter hosszu ´ papı´rra volna szu ¨ kse´g (fe´lcentime´teres sze´9 lesse´g˝ u sza ´mjegyeket ´rva), ı 99 e´rte´keńek pontos kisza ´mı´ta ´sa ´hoz pedig egy embere´let sem volna elegend˝ o. Amint elolvasom, amit eddig ´rtam, ı magamnak is felt˝ unik, hogy csupa ilyen kifejeze´st haszna ´ltam: egy bizonyos m˝ uvelet „magasra lendı´t”, „fo ¨lfele´ visz”, „magassa ´gokba ragad” a sza ´mok sora ´ban, holott a sza ´mok sora egy vı´zszintes 1, 2, 3, 4, 5, . . . sor, jog szerint csak annyit mondhatne´k, hogy jobbra, legfeljebb me´g azt, hogy el˝ ore megyek a nagy sza ´mok fele´. A kifejeze´st ma ´r a hangulati elem befolya ´solta: egyre nagyobba ´ va ´lni, az no ¨vekede´st jelent, a no ¨vekede´s pedig a felfele´to ¨re´s e´rze´se´t kelti bennu ¨ nk. A matematikus konkre´t forma ´ba is o ¨nti ezt az e´rze´se´t: elke´pzele´seit igen gyakran kı´se´ri rajzzal, e´s a rohamos no ¨vekede´s rajza a meredeken fo ¨lfele´ to ¨r˝ o vonal. A betegek jo ´l ismerik az ilyen rajzot: tudja ´k, hogy csak egy pillanta ´st kell vetni a la ´zgo ¨rbe´ju ¨ kre, e´s ez ela ´rulja a betegse´g ege´sz lefolya ´sa ´t. Tegyu ¨ k fel, hogy a szaba ´lyos id˝ oko ¨zo ¨kben me´rt h˝ ome´rse´kletek ezek voltak: 38◦ , 38, 5◦ , 39◦ , 39◦ , 38◦ , 38, 5◦ , 37◦ , 36, 5◦ , akkor ezeket u ´ gy ábra ´zolja ´k, hogy el˝ oszo ¨r is rajzolnak egy vı´zszintes vonalat e´s ezen egyenl˝ o ta ´volsa ´gokkal ábra ´zolja ´k az egyenl˝ o id˝ oko ¨ zo ¨ket: 1

Ja´te´k a ve´gtelennel

azuta ń egy bizonyos ta ´volsa ´got elneveznek egy foknak, e´s minden id˝ opontto ´l fo ¨lfele´ (az emelked˝ o la ´znak megfelel˝ oen)2 rajzolja ´k e ta ´volsa ´g annyiszorosa ´t, aha ńy fok volt a szo ´ban forgo ´ id˝ opontban a beteg h˝ ome´rse´klete. De nem is kell ilyen hosszu ´ vonalakat hu ´ zni, hiszen 36◦ ala ´ sohasem sza ´llt betegu ¨ nk h˝ ome´rse´klete, teha ´t abban is mega ´llapodhatunk, hogy a vı´zszintes vonal magassa ´ga ma ´r a 36◦ -nak felel meg, e´s ezen felu ¨ l kell me´g sorra 2, 2, 5, 3, 3, 2, 2, 5, 1, 0, 5 fokot felrajzolni. Így ezt a ke´pet kapjuk:

1 fok 1 fok

{ {

2,5

0,5 8

36¢

e´s ha a felrajzolt vonalak ve´gpontjait o ¨sszeko ¨tju ¨ k:

36¢

Az ´gy ı nyert la ´zgo ¨ rbe mindent elbesze´l. A fo ¨lfele´ to ¨r˝ o vonalak a la ´z emelkede´se´r˝ ol, a lefele´ es˝ ok az ala ´sza ´lla ´sa ´ro ´l adnak sza ´mot, a vı´zszintes darabon stagna ´lt a betegse´g; az emelkede´s eleinte egyenletes volt; erre vall, hogy az els˝ o ke´t vonaldarab egyenl˝ oen meredek, e´s ´gy ı ezek egy egyenesbe esnek; 2 A „fo ¨lfele´” tulajdonke´ppen itt is csak ke´pletes besze´d: a vı´zszintesen fekv˝ o papı´ron csakis vı´zszintes vonalakat lehet hu ´ zni. Me´gis u ´ gy e´rezzu ¨ k, hogy egy ilyen ira ´nyu ´ vonal: | fo ¨lfele´ halad.

A m˝ uveletek la´zgo¨rbe´i

egy kis visszaese´st˝ ol eltekintve a 6-ik la ´zme´re´skor, a gyo ´gyula ´s ele´g rohamos volt: a vonal ese´se a 6-ik e´s a 7-ik la ´zme´re´s ko ¨ zt igen meredek, meredekebb, mint ba ´rmelyik emelkede´s. Semmi akada ´lya sincs annak, hogy ugyanı´gy megrajzoljuk m˝ uveleteink la ´zgo ¨ rbe´it is. Ma ´r magukat a sza ´mokat is szoka ´s ´abra ´zolni, egy u ´ gynevezett sza ´mvonalon: egy egyenesen, amelyen felveszu ¨ nk egy tetsze´s szerinti kiindulo ´pontot, ezt 0-nak nevezzu ¨ k, e´s innen kezdve egyenl˝ o ta ´volsa ´gokat me´ru ¨ nk egyma ´s melle´, egy-egy ilyen ta ´volsa ´ggal sza ´mla ´lunk tova ´bb: 0

...

Aki keńyelmes a sza ´mola ´shoz, az egy ilyen sza ´mvonalon ge´piesen is elve´gezheti a m˝ uveleteket: ha pe´lda úl 2 + 3 volna a kijelo ¨lt m˝ uvelet, akkor a 2-est˝ ol ha ´rom le´pe´ssel kell csak jobbra mennie, e´s ott mindja ´rt leolvashatja az 5-o ¨s eredmeńyt. 5 − 3 eseteń az 5-o ¨st˝ ol bal fele´ kell haladnia 3 le´pe´ssel s ´. ı t.; ez csak ma ´s kivitele a kisiskola ´s sza ´molo ´ge´pnek, amelynek ru ´ djain eltolhato ´ go ¨ mbo ¨kkel lehet ge´piesen sza ´molni. De most le´pju ¨ nk ki a vı´zszintesb˝ ol, fo ¨lfele´. Induljunk ki egy bizonyos sza ´mbo ´l, pe´lda úl 3-bo ´l, e´s ne´zzu ¨ k meg, hogy hogyan no ¨ vekszik ez, ha sorra 1-et, 2-t, 3-at s ´. ı t. adunk hozza ´, illet˝ oleg, ha sorra 1-gyel, 2-vel, 3-mal szorozzuk, ve´gre, ha az els˝ o, ma ´sodik, harmadik hatva ńyra emelju ¨ k (hatva ńyra „emelni”: ebben a kifejeze´sben is megvan a felfele´ mutata ´s). Kezdju ¨ k az o ¨sszeada ´son. Az egyik o ¨sszeadando ´ mindig 3, a va ´ltozo ´ ma ´sik o ¨sszeadando ´t fogom a vı´zszintes vonalon ábra ´zolni e´s fo ¨ lfele´ a megfelel˝ oo ¨sszeget. 3+1=4 3+2=5 3+3=6 3 + 4 = 7, teha ´t az o ¨ sszeada ´s la ´zgo ¨rbe´je, ha 1 ege´szet vı´zszintesen egy ilyen: e´s fo ¨lfele´ egy ilyen: ta ´volsa ´ggal ábra ´zolunk:

Ja´te´k a ve´gtelennel

5 2

7 4

Itt minden o ¨sszeko ¨t˝ o vonaldarab egyetlen egyenesbe esik: az ¨ sszeg egyenletesen no ¨vekszik, ha az egyik o ¨sszeadando ´ja ´t o no ¨ velju ¨ k. Szorza ´s esete´n: 3·1=3 3·2=6 3·3=9 3 · 4 = 12

12 9 6 3 1

La ´thato ´ , hogy a szorzat is egyenletesen no ¨vekszik, ha az egyik teńyez˝ oje´t no ¨velju ¨ k, de jo ´val rohamosabban, mint az o ¨sszeg: az itt kapott egyenes jo ´val meredekebb. Ve´gre, ha hatva ńyozunk: 31 = 3 32 = 3 · 3 = 9 33 = 3 · 3 · 3 = 27 A hatva ńy ma ´r nem is egyenletesen, hanem egyre rohamosabban no ¨ vekszik; 34 ma ´r el sem fe´rne ezen az oldalon. Ez a ha ´ttere annak a mindennapos szo ´la ´smo ´dnak, hogy valamilyen hata ´s „hatva ńyozottan e´rveńyesu ¨ l”.

A m˝ uveletek la´zgo¨rbe´i

9 3 1

Ugyanı´gy ke´szı´thet˝ o el a fordı´tott m˝ uveletek la ´zgo ¨rbe´je is, pe´lda ´ul a kivona ´se´: 3−1=2 3−2=1 3−3=0

1 1

ez lefele´ halado ´ egyenest ad, a ku ¨ lo ¨nbse´g teha ´t egyenletesen cso ¨ kken, ha a kivonando ´t no ¨velju ¨ k. Az oszta ´s keńyes m˝ uvelet; annak a la ´zgo ¨rbe´je´re is csak ke´s˝ obb te´rek vissza. Me´g csak annyit jegyzek meg, hogy amit mi itt csina ´ltunk, azt a matematikus ´gy ı nevezi: fu ¨ ggveńyek grafikus ábra ´zola ´sa. Az o ¨sszeg fu ¨ gg atto ´l, hogy hogyan va ´lasztjuk meg a va ´ltozo ó ¨ sszeadando ´ja ´t; ezt u ´ gy fejezik ki, hogy az o ¨sszeg a va ´ltozo ó ¨ sszeadando ńak fu ¨ ggveńye, e´s ennek a fu ¨ ggveńynek a no ¨ vekede´se´t ábra ´zoltuk. Ugyanı´gy fu ¨ ggveńye a szorzat a va ´ltozo ´ teńyez˝ ojeńek, a hatva ńy a kitev˝ ojeńek s ´. ı t. Ma ´r a legels˝ o m˝ uveletekne´l fu ¨ ggveńyekkel keru ¨ ltu ¨ nk szembe; o ¨sszefu ¨ gge´seket fogunk vizsga ´lni a tova ´bbiakban is: a fu ¨ ggveńyfogalom az ege´sz matematikai m˝ u gerince.