Dudás Katalin Mária
Kidolgozott m at e m at i k at ét e l e k m ér n ök ök s z ám ár a
Ez a könyv műfaját tekintve az összefoglaló kézikönyv és az egyetemi jegyzet közé helyezhető. Tömören összegyűjti a mérnöki tanulmányok során leginkább szükséges matematikai hátteret. Az egyetem első féléveiben alapozó tárgyként oktatják a matematikát, azonban a későbbi szakmai jellegű ismeretek elsajátításakor – amikor igazán szükség lenne erre a tudásra – már gyakran sok mindent elfelejtünk. Hiányos matematikai tudással nehézkessé válik a bonyolult mérnöki levezetések értelmezése és használata, ami a későbbiekben problémát jelenthet – a könyv megszületésének ez volt az egyik ihletője. A mű segítséget nyújt emellett a vizsgákra, zárthelyi dolgozatokra és a szigorlatra való felkészülésben is. Fejezetei a BME Vegyész- és Biomérnöki Kara matematika szigorlatának szóbeli tételsorát követik. A tételes kidolgozás, a rövid, tömör, tematizált fejezetek lehetővé teszik a definíciók és a főbb tételek logikai sorrendben való bemutatását. Egyszerű mintapéldákon keresztül, közérthetően gyűjti össze az A1 és A2 tantárgyprogramját, ami nem tér el jelentősen a B1 és B2 tantárgyprogramjától sem. A könyv témakörei: sorozatok, numerikus sorok, egy- és többváltozós függvények, ezek differenciálszámítása, illetve integrálása, hatvány- és függvénysorok, Taylor- és Fourier-sorok, a mérnöki gyakorlatban sokszor előforduló vektoranalízis (gradiens, divergencia, rotáció), a lineáris algebra és a lineáris leképezések, mátrixelmélet. A könyvnek várhatóan megjelenik egy második kötete is, amely a differenciálegyenletek és a valószínűség számítás témaköreit foglalja össze tömören.
Typotex Kiadó
2013
© Copyright Dudás Katalin Mária, Typotex, 2013
ISBN 978 963 279 165 4
Témakör: matematika mérnököknek
Kedves Olvasó! Köszönjük, hogy kínálatunkból választott olvasnivalót! Újabb kiadványainkról, akcióinkról a www.typotex.hu és a facebook.com/typotexkiado oldalakon értesülhet.
Kiadja a Typotex Elektronikus Kiadó Kft. Felelős vezető: Votisky Zsuzsa Az elektronikus kiadást Dudás Katalin Mária készítette.
Ta r ta l o m j e g y z ék 1. Valós számsorozatok, Bolzano−Weierstrass tétel, korlátosság, monotonitás, határértékek.
9
1.1. Valós számsorozat
9
1.2. Korlátosság
9
1.3. Monotonitás
9
1.4. Határérték
10
1.5. Konvergencia
10
1.6. Bolzano−Weierstrass-tétel
11
1.7. Műveletek sorozatok határértékeivel
11
1.8. Nevezetes sorozatok határértékei
11
2. Numerikus sorok, abszolút és feltételes konvergencia. Sorok konvergenciakritériumai. Sorok átrendezhetősége.
12
2.1. Numerikus sor
12
2.2. Konvergencia
12
2.3. Abszolút és feltételes konvergencia
13
2.4. Sorok átrendezhetősége
13
2.5. Sorokkonvergencia kritériumai
13
2.6. Műveletek sorokkal
14
2.7. Nevezetes sorok konvergenciái
14
2.8. Példák konvergens sorokra
15
3. Függvények, határérték, folytonosság. Inverz, implicit függvény. Zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai.
16
3.1. Függvény
16
3.2. Műveletek függvényekkel
17
3.3. Határérték
17
3.4. Műveletek függvények határértékeivel
18
3.5. Folytonosság
18
3.6. Zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai
19
3.7. Függvény szakadási helye
19
4. Egyváltozós függvények differenciálszámítása. Középértéktételek. L’Hospital-szabály.
20
4.1. Egyváltozós függvények differenciálszámítása
20
4.2. Középértéktételek
22
4.3. L’Hospital-szabály
23
4.4. Példák
24
© Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
www.interkonyv.hu
6
Kidolgozott matematikatételek mérnökök számára
5. Egyváltozós függvények szélsőértéke. Függvényvizsgálat.
25
5.1. Függvényvizsgálat lépései
25
5.2. Függvények monotonitása
25
5.3. Függvények szélsőértéke
26
5.4. Konvexitás
27
5.5. Inflexióspont
27
5.6. Példa
27
6. Határozatlan integrál, primitív függvény. Határozott integrál. Newton−Leibniz-tétel.
30
6.1. Primitív függvény
30
6.2. Határozatlan integrál
30
6.3. Határozott integrál
30
6.4. Newton−Leibniz-tétel
32
7. Integrálszámítás alkalmazásai (terület, ívhossz, térfogat, felszín). Improprius integrál.
33
7.1. Területszámítás
33
7.2. Ívhossz
35
7.3. Térfogat
36
7.4. Felszín
37
7.5. Improprius integrál
37
8. Függvénysorok, konvergencia, egyenletes konvergencia. Hatványsorok, konvergenciatartomány.
39
8.1. Függvénysorok
39
8.2. Hatványsorok
40
9. Taylor-sor. Taylor-tétel. Függvények Taylor-polinommal való közelítése.
42
9.1. Taylor-sor
42
9.2. Taylor-polinom
42
9.3. Taylor-tétel
42
9.4. Taylor-formula
42
9.5. Például az euler-szám értékének kiszámítása
43
10. Fourier-sor. Konvergenciatétel.
45
10.1. Fourier-sor
45
10.2. Konvergenciatétel
45
10.3. Példa
46
www.interkonyv.hu
© Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
Tartalomjegyzék
7
11. Többváltozós függvények értelmezése. Szintvonalak.
47
11.1. Többváltozós függvény
47
11.2. Kétváltozós függvények értelmezése, ponthalmazok
47
12. Többváltozós függvények differenciálszámítása, szélsőérték. Középértéktételek.
49
12.1. Kétváltozós függvény határértéke
49
12.2. Kétváltozós függvény folytonossága:
49
12.3. Elsőrendű parciális derivált
50
12.4. Érintősík egyenlete
51
12.5. Másodrendű parciális derivált
52
12.6. Parciális deriváltak jelölése:
52
12.7. Gradiens
53
12.8. Iránymenti derivált
53
12.9. Kétváltozós függvény lokális szélsőértéke
54
13. Többváltozós függvény integrálása, helyettesítések, alkalmazások.
55
13.1. Kettős integrál
55
13.2. Hármas integrál
56
13.3. Helyettesítés kettős integrálokban
57
13.4. Helyettesítés hármas integráloknál
58
13.5. Területszámítás
58
13.6. Térfogatszámítás
59
14. Skalár-vektor, vektor-vektor függvények differenciálása. Gradiens, divergencia, rotáció.
60
14.1. Skalár-vektor függvény, skalártér, skalármező.
60
14.2. Vektor-vektor függvény, vektortér, vektormező
61
15. Vektor-vektor függvények vonal és felületi integrálja.
63
15.1. Vonalintegrál
63
15.2. Felületi integrál
64
16. Integrálátalakító tételek (Gauss−Osztrogradszkij, Stokes, Green). A potenciálelmélet elemei.
65
16.1. Gauss−Osztrogradszkij-tétel
65
16.2. Stokes-tétel
65
16.3. Green-formula
65
16.4 Green-tételek
65
16.5. Potenciálfüggvény
66
© Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
www.interkonyv.hu
8
Kidolgozott matematikatételek mérnökök számára
17. Lineáris tér alapfogalmai (altér, lineáris kombináció, független bázis, dimenzió).
67
17.1. Lineáris tér, vektortér
67
17.2. Lineáris kombináció
67
17.3. Bázis, dimenzió
67
17.4. Példa
68
18. A lineáris algebra alapjai (determináns műveletek, mátrix műveletek, tulajdonságok).
69
18.1. A Mátrix tulajdonságai
69
18.2. Mátrixműveletek
70
18.3. Mátrix determinánsa
72
19. Lineáris egyenletrendszerek. Megoldhatóság, megoldási módszerek.
74
19.1. Lineáris egyenletrendszerek
74
19.2. Lineáris egyenletrendszer megoldhatósága
74
19.3. Megoldási módszerek / Cramer−szabály
75
19.4. Megoldási módszerek / Gauss−féle módszer
76
19.5. Megoldási módszerek / Homogén lineáris egyenletrendszerek
77
20. Lineáris leképezések. Mátrix sajátértéke, sajátvektor. A valós szimmetrikus mátrix.
79
20.1. Lineáris leképezés
79
20.2. Sajátvektor, sajátérték
80
20.2. Karakterisztikus egyenlet
80
20.4. Valós szimmetrikus mátrix
81
Felhasznált irodalom
www.interkonyv.hu
83
© Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
1. Val ós sz ámso r ozatok , B olzano − W eie r st r ass t étel , ko r l átoss ág , m o n o t o n i t ás , h at ár ér t ék e k .
1.1. Va l ós s z ám s o r o z at Egy számsorozat egy számokból álló a1, a2, a3, ..., an, ... rendezett lista, az egyes számokat a sorozat tagjainak vagy elemeinek nevezünk. Valós sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelyeknek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza és értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza. f : N{0} ϵ R, illetve n ϵ f (n) = an, ahol n természetes szám. Magára az a1, a2, a3, ..., an sorozatra tehát úgy is gondolhatunk, mint egy függvényre, amely 1-hez az a1 számot, 2-höz az a2-t, 3-hoz az a3-at, és általában n-hez az an tagot rendeli.
1.2. K o r l át o s s ág Az an sorozat felülről korlátos: ha létezik olyan K szám, hogy minden n index esetén an ≤ K. Az ilyen K számokat a sorozat felső korlátainak nevezzük. Az an sorozat legkisebb felső korlátja (supremum) K, ha egyetlen K-nál kisebb szám sem felső korlát. Az an sorozat alulról korlátos: ha létezik olyan k szám, hogy minden n index esetén an ≥ k. Az ilyen k számokat a sorozat alsó korlátainak nevezzük. Az an sorozat legnagyobb alsó korlátja (infimum) k, ha egyetlen k-nál nagyobb szám sem alsó korlát. A sorozat korlátos: ha alulról és felülről is korlátos, azaz ha létezik H, hogy minden n természetes szám esetén |an| ≤ H.
1.3. M o n o t o n i t ás Monoton növekvő sorozat: Az an sorozat monoton növekvő, ha minden n index esetén an ≤ an+1. Monoton csökkenő sorozat: Az an sorozat monoton csökkenő, ha minden n index esetén an ≥ an+1. Szigorúan monoton sorozatoknál az egyenlőség nem megengedett.
© Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
www.interkonyv.hu
10
Kidolgozott matematikatételek mérnökök számára
1.4. H at ár ér t ék Az an sorozat határértékének jelölése: lim n→∞ an = L, vagy an → L.
Az an sorozat határértéke: az L szám, ha minden ε > 0 számhoz létezik N pozitív egész szám (küszöbszám), hogy minden n > N esetén |an − L|< ε.
1.1. ábra
Az an sorozat határértéke L, ha minden ε > 0 -hoz van olyan N természetes szám, hogy a sorozat minden N-nél nagyobb indexű tagja az L szám ε sugarú környezetébe esik
1.5. K o n v e r g e n c i a Az an sorozat konvergens, ha van véges határértéke. Az an sorozat divergens, ha nincs véges határértéke. A konvergenciának szükséges, de nem elégséges feltétele a korlátosság. • Tehát minden konvergens sorozat korlátos, de nem minden korlátos sorozat konvern gens, pl. (−1) = −1, +1, −1, +1, ... sorozat alsó korlátja −1, felső korlátja 1, de például az ε = 0,1-hez nem találunk megfelelő N küszöbszámot. • Ha egy sorozat nem korlátos, akkor biztosan divergens. Az an sorozat végtelenhez divergál: ha tetszőleges M számhoz létezik olyan N pozitív egész szám, hogy minden N-nél nagyobb n-re an > M. Jelölés: lim n→∞ an = ∞, vagy an → ∞. Az an sorozat a mínusz végtelenhez divergál: ha tetszőleges m számhoz létezik olyan N pozitív egész szám, hogy minden N-nél nagyobb n esetén an < m. Jelölés: lim n→∞ an → −∞.
www.interkonyv.hu
© Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
1. Valós számsorozatok, Bolzano-Wierstrass tétel, korlátosság, monotonitás, határértékek.
11
1.6. B olzano −W eie r st r ass -t étel Minden korlátos végtelen sorozatnak van konvergens részsorozata. Például a (−1) sorozat minden páros n indexű részsorozatának tagja 1, ezen részsorozat 1-hez tart, azaz 1-hez konvergál. n
Továbbá ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor biztos, hogy konvergens.
1.7. M űveletek so r ozatok hat ár ér t ékeivel Konstanssal való szorzás: lim n→∞ (k · an) = k · A, ahol k tetszőleges állandó. Összegszabály / Különbségszabály: lim n→∞ (an ± bn) = A ± B. Szorzatszabály: lim n→∞ (an · bn) = A · B. Hányadosszabály: lim n→∞ (an / bn) = A / B, ha bn ≠ 0, B ≠ 0.
1.8. N e v e z e t e s s o r o z at o k h at ár ér t ék e i ahol k ϵ R . +
Ha lim n→∞ an = 0, akkor Ha lim n→∞ an = ∞, vagy lim n→∞ an = −∞ akkor Ha an > bn , akkor lim n→∞ an ≥ lim n→∞ bn. Ha an korlátos és lim n→∞ bn = 0, akkor lim n→∞ (an · bn) = 0. Ha lim n→∞ an > lim n→∞ bn , akkor létezik azaz n0 szám, hogy minden n > n0 esetén an > bn. A lim n→∞ q lehetséges értékei: n • Ha q > 1, akkor lim n→∞ q = ∞. n • Ha q = 1, akkor lim n→∞ q = 1. n • Ha −1 < q < 1, akkor lim n→∞ q = 0. • Ha q = −1, akkor oszcillálnak az értékek, korlátos lesz a sorozat. • Ha q < −1, akkor egyre nagyobb eltéréssel oszcillálnak az értékek, a sorozat nem lesz korlátos se. n
© Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
www.interkonyv.hu
2. N u m e r i k u s s o r o k , a b s z o l út és f e lt ét e l e s k o n v e r g e n c i a . S o r o k k o n v e r g e n c i a k r i t ér i u m a i . S o r o k át r en d ezhet ős ége .
2.1. N u m e r i k u s s o r Végtelen numerikus sornak nevezzük a végtelen sok tagból álló alábbi alakú összegeket:
Ezen sorok összegét kiszámolni nem lehet az összeadások elvégzésével, mivel az végtelen sok művelet elvégzését igényelné. Ehelyett megnézzük, mit kapunk, ha összeadjuk az első k tagot, és megnézzük, tudunk-e mondani valamit ennek az összegnek a viselkedéséről, ha k értékét egyre növeljük.
Végtelen sor k-adik részletösszege az az sk szám, ahol
Például s1 = a1 , s2 = a1 + a2 és sn = a1 + a2 + ... + ak + ... an.
A részletösszegek sorozata az az Sn sorozat, ahol
2.2. K o n v e r g e n c i a Ha az Sn sorozat L számhoz konvergál, akkor azt mondjuk, hogy a végtelen sor konvergens, és az összege L. Jelölés:
• Ha a részletösszegek sorozata (Sn) konvergens, akkor a sor (sn) is konvergens. • Ha a részletösszegek sorozata nem konvergens, akkor a végtelen sort divergensnek nevezzük, azaz ha a Sn sorozat határértéke nem véges szám.
www.interkonyv.hu
© Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
2. Numerikus sorok, abszolút és feltételes konvergencia. Sorok konvergencia kritériumai. Sorok átrendezhetősége.
13
2.3. A b s z o l út és f e lt ét e l e s k o n v e r g e n c i a Az ∑an sor abszolút konvergens, ha ∑|an| sor is konvergens. Az ∑an sor feltételesen konvergens, ha ∑an sor konvergens, de nem abszolút konvergens. Minden abszolút konvergens sor konvergens, de nem minden konvergens sor abszolút konvergens (pl.: Leibniz-sor).
2.4. S o r ok át r en d ezhet ős ége Ha a sor végtelen sok tagjának sorrendjét megváltoztatjuk, akkor átrendeztük a sort. Bármely abszolút konvergens sort átrendezve, az új sor is abszolút konvergens lesz, és az összege megegyezik az eredeti sor összegével. Azaz az abszolút konvergens sorok összege független a tagok sorrendjétől. Riemann-tétel: Bármely feltételesen konvergens sor átrendezhető úgy, hogy az új sor összege tetszőleges, előre megadott C szám legyen. Van olyan átrendezés, amelynél az összeg +∞ vagy −∞ lesz.
2.5. S o r o kk o n v e r g e n c i a k r i t ér i u m a i 1. A Cauchy-féle konvergenciakritérium szükséges feltétele, hogy lim n→∞ an = 0. Ilyenkor igaz az, hogy ∑an akkor konvergens, ha minden ε > 0 számhoz létezik olyan N természetes szám, hogy minden k > N esetén |sk+l − sk|=|ak+1 + ak+2 + ... + ak+l|< ε, ahol l tetszőleges természetes szám. Egyszerűbben megfogalmazva véges számú tag beszúrása, elhagyása a konvergenciát nem befolyásolja. 2. Majoráns kritérium: Ha 0 ≤ an ≤ bn és ∑bn konvergens, akkor ∑an is konvergens. 3. Minoráns kritérium: Ha 0 ≤ an ≤ bn és ∑an divergens, akkor ∑bn is divergens. 4. Hányadoskritérium: (D’Alembert): Ha 0 ≤ an és • lim n→∞ (an+1 / an) < 1, akkor a sor konvergens. • lim n→∞ (an+1 / an) > 1, akkor a sor divergens. • lim n→∞ (an+1 / an) = 1, akkor a kritérium alapján nem lehet a sor konvergenciájáról döntést hozni. 5. Cauchy-féle gyökkritérium: Ha 0 ≤ an, és 1/n • lim n→∞ (an) < 1, akkor a sor konvergens. 1/n • lim n→∞ (an) > 1, akkor a sor divergens. 1/n • lim n→∞ (an) = 1, akkor a kritérium alapján nem lehet a sor konvergenciájáról döntést hozni. © Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
www.interkonyv.hu
14
Kidolgozott matematikatételek mérnökök számára
6. Integrálkritérium: Ha 0 ≤ an, akkor tegyük fel, hogy minden n-re an = f (n), és hogy x ≥ N természetes szám esetén f kizárólag pozitív értékeket felvevő, folytonos és monoton csökkenő függvény. Ekkor a végtelen sor és az integrál egyszerre konvergens, vagy nem. Azaz
7. Leibniz-kritérium: Minden Leibniz-sor konvergens. Leibniz-sor feltételei: • Az an sor legyen váltakozó előjelű, azaz (an · an+1) < 0. • Az |an| sor legyen monoton csökkenő. • Legyen lim n→∞ an = 0.
2.6. M űveletek so r okkal Két konvergens sor – tagonként vett – összege és különbsége is konvergens, egy konvergens sor konstansszorosa is konvergens. Ha ∑an és ∑bn konvergens sorok, továbbá∑an =A és ∑bn =B, akkor igazak a következők: Konstanssal való szorzás: ∑(k · an) = k∑an = k · A, ahol k tetszőleges állandó. Összegszabály / Különbségszabály: ∑(an ± bn) = ∑an ± ∑bn = A ± B.
2.7. N e v e z e t e s s o r o k k o n v e r g e n c i ái Harmonikus sor: divergens,
Bizonyítás: A tagok pozitívak, tehát a részletösszeg-sorozat monoton növekvő,
A zárójelezett összegekre:
Tehát sn > m / 2, azaz nem lehet korlátos, mert nála kisebb sorozat is a végtelenbe tart. Nem korlátos, tehát divergens. www.interkonyv.hu
© Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
2. Numerikus sorok, abszolút és feltételes konvergencia. Sorok konvergencia kritériumai. Sorok átrendezhetősége.
15
Geometriai / Mértani sor:
Konvergens, ha n •|q| < 1, ekkor lim n→∞ q = 0. A sor összege sn = a/(q−1), ahol a a mértani sor első tagja. Divergens, ha n • Ha q > 1 , akkor lim n→∞ q = ∞. • Ha q = 1, akkor sn = n · a, tehát lim n→∞ sn = ∞. • Ha q ≤ −1, akkor lim n→∞ sn nem létezik, mert a sorozat elemei oszcillálnak.
2.8. P él d ák k o n v e r g e n s s o r o k r a 1.
Bizonyítás: Parciális törtekre bontás módszerével: Mivel
ezért An + A − Bn = (A − B)n + A = 1, innen meghatározhatjuk A-t és B-t: A = 1 és A − B = 0, azaz B = 1. Tehát
Tehát lim n→∞ sn = 1, a sor konvergens.
2.
A fenti sor konvergens, ha |α| < 1, egyébként divergens.
3.
A fenti sor konvergens, ha α > 1, egyébként divergens. © Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
www.interkonyv.hu
3. F üg g v én y e k , h at ár ér t ék , f o ly t o n o s s ág . I n v e r z , i mp l i c i t f üg g v én y. Z ár t i n t e r va l l u m o n f o ly t o n o s f üg g v én y e k t u l a j d o n s ág a i .
3.1. F üg g v én y Az analízisben, amikor általánosságban beszélünk függvényekről, akkor az y = f (x) jelölést használjuk arra, hogy y az x függvénye. Magát a függvényt az f betű jelöli, az x független változó a ,,bemenet”, az y függő változó az adott x-nek megfelelő függvényérték. Az f (x) alkalmanként magát az f függvényt, máskor az x argumentumhoz tartozó függvényértéket jelöli, ez általában nem okoz félreértést. Függvény definíciója: A D halmazból (értelmezési tartomány) az Y halmazba (értékkészlet) leképező függvénynek nevezünk minden olyan szabályt, amely a D halmaz minden x eleméhez hozzárendeli az Y halmaz pontosan egy f (x) elemét.
3.1. ábra
A D halmazon értelmezett, Y halmazba leképező függvény a D minden eleméhez az Y pontosan egy elemét rendeli hozzá
Egyváltozós függvény: Olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya és értékkészlete is a valós számok valamely részhalmaza. Összetett függvény: Az f (g(x)) szerkezetű függvény, ahol az összetett függvény értelmezési tartománya a g(x) értelmezési tartományából vett azon x elemek halmaza, amelyekre a g(x) függvényérték az f értelmezési tartományának eleme. Jelölései: f (g(x)), f ◦ g vagy (f ◦ g)(x).
3.2. ábra
Az f és a g függvényekből olyankor képezhető összetett függvény, amikor g értékkészlete f értelmezési tartományának részhalmaza
www.interkonyv.hu
© Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
3. Függvények, határérték, folytonosság. Inverz, implicit függvény. Zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai.
17
Inverz függvény: -1 f (x) inverz függvényének jelölése: f (x). Az f (x) függvény saját inverzével képzett ös�-1 -1 szetett függvény értéke x, azaz (f ◦ f )(x) = (f ◦ f )(x) = x. Injektív függvény: 2 Az f (x) akkor injektív, ha bármely x1 ≠ x2 esetén f (x1) ≠ f (x2). Például nem injektív az y = x függvény. Egy függvény akkor és csak akkor invertálható, ha injektív. Implicit függvény: Általában a függvény nullára rendezett alakját hívjuk implicit alakúnak, azaz f (x) esetében az F(x,y) = 0 alakú függvény. Pontosabb definíció, hogy a kiszámítandó függvényértéket (y-t) nem lehet átrendezni a függvényt leíró egyenlet egyik oldalára, hogy ott ne szerepeljen semmilyen műveleti jel. Például az x = y + ln y függvényt nem lehet átrendezni y = f (x) alakra.
3.2. M űveletek f üggv én y ekkel Konstanssal való szorzás: (k · f )(x) = k · f (x). Összegszabály / Különbségszabály: ( f ± g)(x) = f (x) ± g (x). Szorzatszabály: ( fg)(x) = f (x) · g (x). Hányadosszabály: ( f /g)(x) = f (x) / g (x), ha g ≠ 0.
3.3. H at ár ér t ék Tegyük fel, hogy az f (x) függvény értelmezve van valamely, az x0-t tartalmazó nyílt intervallum – esetleg x0 kivételével – minden pontjában. Azt mondjuk, hogy f (x) tart L-hez, amint x tart x0-hoz azaz f (x) határértéke az x0 helyen L, szimbolikusan lim x→x0 f (x) = L, ha bármely ε > 0 számhoz van olyan δ > 0 szám, hogy minden x esetén 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.
3.3. ábra x0 = 1 helyen az f (x) = 5x − 3 függvény határértéke 2, azaz lim x→1 (5x − 3) = 2 . Definíció szerint az |f (x) − 2 | < ε kifejezést teljesítő bármely ε -hoz létezik a δ = ε / 5, hogy igaz legyen a 0 < |x − 1| < δ egyenlőtlenség © Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
www.interkonyv.hu
18
Kidolgozott matematikatételek mérnökök számára
Jobb oldali határérték: Azt mondjuk, hogy az f függvény jobb oldali határértéke az x0 helyen az L szám – jelölés: lim x→x0+ f (x) = L – , ha minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ > 0 szám, amelyre teljesül, hogy minden x-re x0 < x < x0 + δ ⇒ |f (x) − L| < ε. Bal oldali határérték: Azt mondjuk, hogy az f függvény bal oldali határértéke az x0 helyen az L szám – jelölés: lim x→x0- f (x) = L – , ha minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ > 0 szám, amelyre teljesül, hogy minden x-re x0 − δ < x < x0 ⇒ |f (x) − L| < ε. Végtelenben vett véges határérték (vízszintes aszimptoták) 1. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke a végtelenben L – jelölése: lim x→∞ f (x) = L –, ha minden ε > 0 számhoz létezik olyan M, amelyre teljesül, hogy minden x-re x > M ⇒ |f (x) − L| < ε. 2. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke a negatív (,,mínusz’’) végtelenben L – jelölése: lim x→−∞ f (x) = L –, ha minden ε > 0 számhoz létezik olyan N, a amelyre teljesül, hogy minden x-re x < N ⇒ |f (x) − L| < ε. Végtelen határérték (függőleges aszimptoták) 1. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az x0 helyen végtelen (∞), szimbolikusan lim x→x0 f (x) = ∞, ha tetszőleges B > 0 számhoz létezik olyan δ > 0 szám, amelyre teljesül, hogy minden x-re 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − L| > B. 2. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az x0 helyen mínusz végtelen (−∞), szimbolikusan lim x→x0 f (x) = −∞, ha tetszőleges B < 0 számhoz létezik olyan δ > 0 szám, amelyre teljesül, hogy minden x-re 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − L| < B.
3.4. M űveletek f üggv én y ek hat ár ér t ékeivel Konstanssal való szorzás: lim x→x0 (k · f (x)) = k · lim x→x0 f (x), ahol k tetszőleges állandó. Összegszabály / Különbségszabály: lim x→x0 ( f (x) ± g(x)) = lim x→x0 f (x) ± lim x→x0 g(x) Szorzatszabály: lim x→x0 ( f (x) · g(x)) = lim x→x0 f (x) · lim x→x0 g(x) Hányadosszabály: lim x→x0 ( f (x) / g(x)) = lim x→x0 f (x) / lim x→x0 g(x), ha lim x→x0 g(x) ≠ 0.
3.5. F o ly t o n o s s ág Egy f : R → R függvény folytonos x0 pontban, ha minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ > 0 szám, hogy minden x-re 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − f (x0)| < ε. Azaz ha lim x→x0 f (x) = f (x0).
3.4. ábra www.interkonyv.hu
Folytonosság az a, b és c pontokban © Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
3. Függvények, határérték, folytonosság. Inverz, implicit függvény. Zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai.
19
Jobb oldali folytonosság: lim x→a+ f (x) = f (a). Bal oldali folytonosság: lim x→b− f (x) = f (b). Az f (x) függvény folytonos, ha minden pontjában folytonos. Az f (x) függvény intervallumon egyenletesen folytonos, ha minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ > 0 szám, hogy f értelmezési tartományában bármely x1 és x2 elemére igaz, hogy ha |x1 − x2| < δ ⇒ | f (x1) − f (x2) | < ε . 3.6. Z ár t inte r vall u mon foly tonos f üggv én y ek t u l a j d o n s ág a i Weierstrass 1. tétele: Ha f folytonos az [a,b] intervallumon, akkor f korlátos [a,b] intervallumon. Weierstrass 2. tétele: Ha f folytonos az [a,b] intervallumon, akkor ott felveszi a legnagyobb alsó korlátját (infimumát) és a legkisebb felső korlátját (supremumát), tehát [a,b] intervallumon van minimuma és maximuma. Bolzano-tétel: Ha f folytonos [a,b] intervallumon, akkor minden f (a) és f (b) közé eső értéket felvesz [a,b] intervallumon. Következménye: Ha a két végpontja különböző előjelű, akkor az intervallumon belül van zérushelye.
3.7. F üg g v én y s z a k a d ás i h e ly e Ha f (x) függvény x0 helyen nem folytonos, akkor x0 a függvény szakadási helye. Ilyenkor x0 a függvénynek • megszüntethető szakadása, ha a függvénynek itt van határértéke. Például f (x) = (sin x / x) függvény az x = 0 helyen nem folytonos, de van véges határértéke, ami éppen 1. • pólusa van, ha lim x→x0 |f (x)| = ∞, ekkor beszélünk aszimptotákról Például az f (x) = (1 / x) függvény esetében. • tényleges szingularitás, ha a függvénynek itt nincs határértéke. 1/x Például f (x) = e függvénynek x = 0 helyen nincs határértéke.
© Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013
www.interkonyv.hu