Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия 4. Кривые второго порядка
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА
При изучении линий по их уравнениям естественно располагать их по сложности этих уравнений. Самой простой линией с этой точки зрения является прямая, так как ее уравнение имеет первую степень. Следующими по своей сложности за прямой можно считать линии, уравнения которых имеют вторую степень. Таких линий (они называются кривыми второго порядка) три: это эллипс, парабола и гипербола. Они играют важную роль в математике, естествознании и технике.
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Пусть в прямоугольной системе координат х, у задано уравнение второй степени Ax 2 2 Bxy Cy 2 2 Dx 2 Ey F 0
(1)
где A, B, C, D, E, F - заданные действительные числа, причем A, B, C одновременно не равны нулю. Линия, определяемая этим уравнением, называется кривой второго порядка. Конечно, может случиться, что не существует точек ( x, y) с действительными координатами, удовлетворяющих уравнение (1). В этом случае говорят, что уравнение (1) определяет мнимую кривую второго порядка. Например, уравнение x 2 y 2 1
определяет мнимую кривую. Однако изучение таких кривых в наш курс не входит, и мы будем изучать только действительные кривые второго порядка. Рассмотрим три самых важных случая общего уравнения кривой второго порядка.
ЭЛЛИПС
Вообразим себе два гвоздика, вбитые в стол, и привязанную к ним своими концами веревку, длина которой больше расстояния между гвоздиками. Если эту веревку натянуть карандашом и вести карандаш по столу, то он вычертит на столе некоторую замкнутую овальную линию. Эта линия называется эллипсом. Ясно, что расстояния точки, движущейся вдоль эллипса, до гвоздиков будут меняться, но сумма их все время будет оставаться равной длине веревки. Перейдем теперь к точному изложению вопроса.
Эллипс Эллипсом называется линия, представляющая геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами и, есть величина постоянная.
Обозначим фокусы эллипса через F1 и F2 , а суммы расстояний точек эллипса от фокусов через 2a . Тогда для любой точки М, лежащей на эллипсе (см.рис.1) MF1 MF2 2a
(1)
1
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия Расстояние между фокусами эллипса обозначается через 2с: F1 F2 2c .
(2)
Рис.1 Поскольку одна сторона треугольника всегда короче суммы двух других сторон, то 2с 2a , откуда ca.
Выведем уравнение эллипса. Для этого, прежде всего, выберем какую-нибудь систему координат. Проведем ось Ох через фокусы F1 и F2 , а начало координат поместим в середину отрезка F1 F2 . Ясно, что в этой системе координат фокусы будут иметь координаты F1 (c, 0) и F2 (c, 0) . Как видно из рисунка 1, для любой точки M ( x, y) эллипса будет
МF1 ( x c) 2 y 2
и
МF2 ( x c) 2 y 2
Отсюда и из (1) видно, что точка М лежит или не лежит на нашем эллипсе, смотря по тому, верно или не верно равенство
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2а .
(3)
Таким образом, равенство (3) и есть уравнение рассматриваемого эллипса. Это уравнение очень громоздко, но его можно упростить. Для этого перепишем его в виде
( x c) 2 y 2 2а ( x c) 2 y 2 . Возводя в квадрат и раскрывая скобки, получим
х 2 2cx c 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 x 2 2cx c 2 y 2 , откуда
a ( x c) 2 y 2 a 2 cx . Снова возводя в квадрат, находим (а 2 с 2 ) х 2 а 2 у 2 а 2 (а 2 с 2 )
(4)
Обозначим 2
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия
а 2 с2 b2
(5)
Тогда уравнение (4) примет вид b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 .
Разделив последнее равенство на a 2 b 2 , окончательно получим
x2 y2 1 a2 b2
Каноническое уравнение эллипса
(6)
где a и b длины полуосей эллипса. Это и есть простейшее или каноническое уравнение эллипса. Если проследить эти выкладки в обратном порядке, то получим, что если точка ( x, y ) удовлетворяет уравнение (2), то сумма ее расстояний до F1 и F2 равна 2a . Точки А , А' , В и B' пересечения эллипса с осями координат называются его вершинами, и согласно нашему построению будут иметь координаты А(а, 0) , А' (а, 0) , В(0, b) и B' (0, b) . При a b уравнение эллипса превращается в уравнение окружности x2 y2 а2
с центром в начале координат и радиусом a , то есть геометрическое место точек, отстоящих от начала координат на расстоянии a . Если в уравнении (2) заменить x на x , то уравнение не изменится. Это показывает, что эллипс – кривая симметричная относительно оси у. Аналогично, эллипс симметричен относительно оси х, потому, что его уравнение не изменится и при замене у на y . Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом
e
c a
(так как c a , то 0 e 1 ).
Нетрудно разобраться, как влияет значение е на форму эллипса. Действительно, деля соотношение b 2 c 2 a 2 *см.формулу (5)+ на а 2 , находим
b2 e 1. a2 Значит,
b 1 e . a Отсюда видно, что при очень малом е числа a и b почти равны, т.е. эллипс напоминает окружность. Если же е близко к 1, то b весьма мало по сравнению с a и, следовательно, эллипс весьма вытянут. Расстояния некоторой точки эллипса М от его фокусов называются фокальными радиусвекторами этой точки. Их обычно обозначают r1 и r2 (в силу определения эллипса для любой его точки r1 r2 2a ). Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам
r1 a ex r1 a ex
правый фокальный радиус-вектор левый фокальный радиус-вектор 3
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия Как известно, планеты и кометы движутся по эллипсам. В одном из фокусов такого эллипса находится солнце (в другом фокусе ничего нет!). Оказывается, что эксцентриситеты планетных орбит весьма малы, а кометных – велики (т.е. близки к 1). Таким образом, планеты движутся почти по окружностям, а кометы то приближаются к солнцу, то весьма удаляются от него. Эксцентриситеты орбит Меркурия, Венеры, Земли и Марса равны соответственно е = 0,21; е = 0,01; е = 0,02; е = 0,09. Эксцентриситеты же орбит комет Галлея и Энке соответственно равны е = 0,97 и е = 0,87.
ГИПЕРБОЛА
Определение гиперболы очень напоминает определение эллипса, надо только в последнем заменить слово «сумма» словом «разность».
Гипербола Гиперболой называется линия, представляющая геометрическое место точек, модуль разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная.
Обозначая фокусы через F1 и F2 , а упомянутую разность через 2a , будем для любой точки А гиперболы иметь одно из равенств AF1 AF2 2a ,
(7)
При этом знак « + » или « – » выбирается в зависимости от того, к какому из фокусов F1 или F2 ближе точка А. Например, для точки, изображенной на рисунке (2), в равенстве (7) должен быть выбран знак « + ». Если обозначить междуфокусное расстояние F1 F2 через 2с F1 F2 2c
то будет 2c 2a , так как в треугольнике AF1 F2 сторона F1 F2 должна быть больше разности сторон AF1 и AF2 . Таким образом
с a.
(8)
Чтобы вывести уравнение гиперболы, надо прежде всего выбрать какую-нибудь систему координат. Как и в случае эллипса мы проведем ось Ох через фокусы F1 и F2 , а начало координат поместим в середине отрезка F1 F2 (см.рис.2). Ясно, что тогда фокусы получат координаты F1 (c, 0) и F2 (c, 0) .
Рис.2 Для любой точки А( x, y) гиперболы будет 4
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия
АF1 ( x c) 2 y 2
и
АF2 ( x c) 2 y 2 .
Согласно условию (1) точка А будет лежать на гиперболе тогда и только тогда, когда ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2а
(8)
Это равенство и будет уравнением гиперболы, но его можно значительно упростить. Для этого перепишем его в виде
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2а Преобразовав это равенство, получим (с 2 а 2 ) х а 2 у 2 а 2 (с 2 а 2 )
(9)
Положим
с2 а 2 b2 .
(10)
Тогда равенство (9) примет вид b 2 х а 2 у 2 а 2b 2 .
Разделив на a 2 b 2 , получим
x2 y2 1 a2 b2
Каноническое уравнение гиперболы (11)
Если проследить эти выкладки в обратном порядке, то получим, что если точка ( x, y) удовлетворяет уравнение (11), то разность ее расстояний до F1 и F2 равна 2a . Установим вид гиперболы, опираясь на ее уравнение (11). Так как это уравнение содержит и х и у только в четных степенях, то гипербола (11) симметрична относительно обеих осей координат. Точки B (a, 0) и C (a, 0) , в которых гипербола пересекает ось х, называются вершинами гиперболы. Части гиперболы называются ее ветвями. Более точное понятие о форме гиперболы мы получим, если введем понятие об асимптотах. Прямая называется асимптотой гиперболы, (да и вообще всякой кривой) если расстояние точки А( x, y) гиперболы от этой прямой стремится к нулю при x или x . Прямоугольник, центром которого является начало координат, а стороны параллельны осям и равны соответственно 2а и 2b , называется характеристическим прямоугольником гиперболы. Диагонали характеристического прямоугольника гиперболы являются ее асимптотами. Уравнения асимптот имеют вид
y
b x a
и
y
b x. a
Отношение междуфокусного расстояния к действительной оси, т.е.
e
с а 5
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия называется эксцентриситетом гиперболы. Расстояния некоторой точки гиперболы от ее фокусов называются фокальными радиусвекторами гиперболы. Фокальные радиус-векторы правой ветви гиперболы: r1 ex a r1 ex a
правый фокальный радиус-вектор левый фокальный радиус-вектор
Фокальные радиус-векторы левой ветви гиперболы: r1 ex a r1 ex a
правый фокальный радиус-вектор левый фокальный радиус-вектор
ПАРАБОЛА
Парабола Параболой называется линия, представляющая геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.
Уравнение параболы имеет вид y 2 2 px
( p 0 ).
(12)
р р Отметим на оси Ох точку F , 0 с абсциссой x (см.рис.3). Эта точка и называется фокусом 2 2 параболы. Теперь проведем прямую x
p 2
Эта прямая называется директрисой параболы.
Рис.3 Из рисунка 3 видно, что 2
p AF 2 x y 2 , 2 2
p AB x . 2 2
6
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия Следовательно, 2
2
p p 2 x y x . 2 2
Это равенство и представляет собой уравнение гиперболы, однако оно несколько громоздко. Преобразовав его, получим
px y 2 px . Отсюда окончательно получаем
y 2 2 px .
Каноническое уравнение параболы (12)
Обратно, из этого уравнения следует, что все точки, удовлетворяющие ему, принадлежат указанному в определении месту точек. Исследуем форму параболы, используя только ее уравнение (12). Из этого уравнения y 2 px .
Отсюда видно, что 1. х не может быть отрицательным, потому, что иначе у оказался бы мнимым, а это нелепо. Значит на этой параболе нет точек, лежащих слева от оси Оу. 2. Если x 0 , то и y 0 . 3. Если х увеличивается, то увеличивается и y , причем безграничное увеличение х вызывает безграничное увеличение y .
Рис.3
Рис.4
Таким образом, часть параболы, расположенная выше оси Ox , имеет вид, изображенный на рисунке 3, а вся парабола выглядит так, как показано на рисунке 4. Парабола оказалась бесконечной симметричной кривой у которой ось Ox служит осью симметрии, начало координат вершиной, а ось Оу – касательной в вершине. Замечание. Каждому из уравнений x 2 2 py ,
y 2 2 px ,
x 2 2 py
( p0)
Соответствует парабола, по форме тождественная с параболой (1), но только иначе расположенная. На рисунках 5, 6, 7 изображены эти параболы. Как видно из этих рисунков, при p 0 парабола (12) обращена в положительную сторону оси абсцисс, а при p 0 – в отрицательную сторону.
7
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия
Рис.5
Рис.6
Рис.7
Расстояние любой точки М параболы от ее фокуса, т.е. длина фокального радиус-вектора параболы определяется по формуле
r x
p 2
( p 0 ).
Отметим, что во многих задачах часто встречается уравнение параболы вида у ах 2
( а 0 ).
(13)
Это уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат и симметрична относительно оси Оу. При а 0 парабола (13) лежит выше оси абсцисс, а при а 0 ниже ее. Уравнение (13) можно записать в виде
x2
1 y a
а это есть уравнение вида x 2 2 py или x 2 2 py ( p 0 ) в зависимости от того, будет ли a 0 или a 0 . Этим уравнениям соответствуют параболы, изображенные на рисунках 4 и 6. Чтобы выяснить, как влияет на форму параболы (13) модуль коэффициента a , изобразим на одном чертеже (рис.7) параболы
y2
1 2 x 2
и
y x2
Рис.7 Этот чертеж показывает, что чем больше абсолютная величина a , тем ближе к оси Оу лежат ветви параболы. Можно сказать (при a 0 ), что чем больше a , тем круче подымается парабола. Парабола имеет много приложений в механике. Например, камень, брошенный под углом к горизонту, будет описывать параболу. Такое допущение возможно потому, что скорость камня невелика. В случае артиллерийских снарядов, летящих с большой скоростью, сопротивление воздуха влияет на форму траектории. И в заключение можно отметить, что если в общем уравнении (1) кривой второго порядка Ax 2 2 Bxy Cy 2 2 Dx 2 Ey F 0
8
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия 1. AC B 2 0 , то кривая (1) есть эллипс. В этом случае говорят, что уравнение (1) принадлежит к эллиптическому типу. 2. AC B 2 0 , то кривая (1) есть гипербола. В этом случае говорят, что уравнение (1) принадлежит к гиперболическому типу. 3. AC B 2 0 , то кривая (1) есть парабола, пара параллельных или совпадающих прямых, или мнимая кривая. В этом случае говорят, что уравнение (1) принадлежит к параболическому типу.
ЗАДАЧИ
1. Найти координаты центра и радиус окружности 2 x 2 2 y 2 8 x 5 y 4 0 . 2. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданы уравнениями 9 x 2 y 41 0 , 7 x 4 y 7 0 , x 3 y 1 0 . 3. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки M (5 / 2; 6 / 4) и N (2; 15 / 5) . 4. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса x 2 / 25 y 2 / 9 1 . 5. На прямой x 5 0 найти точку, одинаково удаленную от левого фокуса и верхней вершины эллипса x 2 / 20 y 2 / 4 1 . 6. Пользуясь определением эллипса, составить его уравнение, если известно, что точки F1 (0, 0) и F2 (1, 1) являются фокусами эллипса, а длина большей оси равна 2. 7. На правой ветви гиперболы x 2 / 16 y 2 / 9 1 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше ее расстояния от левого фокуса. 8. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса x 2 / 8 y 2 / 5 1 . 9. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси х, с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной оси х, равна 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6. 10. Составить простейшее уравнение параболы, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой 4 x 3 y 4 0 с осью x . Ответы 1. a 2, b 5 / 4 ; r 11/ 4
x2 y2 1 10 5. M (5, 7) 3.
2. (1 3,1) 2 ( y 2,3) 2 22,1
4. 4x 3 y 12 0 6. 3x 2 3 y 2 2 xy 2 x 2 y 1 0
7. Две точки: M 1 (9,6; 0,6 119 ) и M 2 (9,6; 0,6 119 ) 8. x 2 / 3 y 2 / 5 1
9. y 2 32 x / 3
10. y 2 4 x
9