Matematika pre 5. ročník ZŠ s VJM

S o ň a Č e r e t k o v á , O n d r e j Š e d i v ý, I v a n Te p l i č k a

matematika

5

az alapiskola 5. osztálya számára

Slovenské pedagogické nakladateľstvo

madmat 5 str 1-32.indd 1

13. 6. 2025 12:55:37

Kedves Ötödikes!

Ezzel a tankönyvvel üdvözlünk a matematikaórán, amely a jó barátoddá kíván válni. Nem csupán a megszerzett ismereteid ismétlését, hanem az új matematikai összefüggések feltárását is meg szeretné könnyíteni.

Megismertet az aritmetika, a geometria, a kombinatorika és további matematikai ágazatok törvényszerűségeinek szépségével. Tankönyvünk tartalma, módszertana és képi feldolgozása Ondrej Šedivý professzor szerzői munkaközösségének sikeres, Matematika az alapiskola felső tagozata számára című tankönyvcsaládjára épül. Sok-sok megoldott példát, megoldatlan feladatot és az ismeretek elmélyítéséhez számos gyakorlatot tartalmaz. A problémákat rejtő feladatokkal igyekszünk felkelteni érdeklődésedet az érdekes matematikai témák felfedezése iránt. A matematikatanítást segítő számítógépeket és zsebszámológépeket is bemutatjuk. Örömünkre szolgál majd, ha a tankönyvet nem csupán az iskolában, hanem a szüleid, nagyszüleid társaságában is lapozgatni fogod. Együtt bizonyára belátjátok: a tankönyv feladatai sokat segítenek majd abban, hogy megtanulj a pénzzel gazdálkodni, helyes napirendet készíteni, megbecsülni egy számítás eredményét vagy egy alakzat, mértani test méreteit, és megtervezni egy utazás időtartamát. A tankönyv abban is segíteni fog, hogy kellő jártasságot szerezz a szerkesztéshez, a táblázatok értelmezéséhez és az információk helyes értelmezéséhez. Képességeidet az egyes fejezetek végén található tudáspróbák segítségével letesztelheted.

Tudjuk, hogy tevékeny és kíváncsi vagy, szívesen szembesülsz újszerű élethelyzetekkel. Légy fogékony és nyitott mindenre, és rá fogsz jönni, hogy az élet számos problémáját könnyebb megoldani matematikai ismeretekkel, mint nélkülük.

Kívánjuk, hogy sok munkakedvvel és sikeresen láss hozzá a matematika tanulásához.

A szerzők A tankönyvben előforduló szimbólumok jelentése: – megoldott példa – megoldott probléma – Jegyezd meg!

– összefoglalás vagy tétel/tanulság – feladat – megjegyzés

Szerzők – Autori © doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD., prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc., Ivan Teplička Translation © RNDr. Horváth Géza Grafikai elrendezés – Grafický dizajn © SPN – Mladé letá, s. r. o.

Lektorálták– Lektorovali: PaedDr. Dagmar Andová, RNDr. Anna Bočkayová, Mgr. Tatiana Hiková, prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Mgr. Tamara Hykeš, Mgr. Zuzana Takácsová Illusztrálta – Ilustrovala: akademická maliarka Táňa Žitňanová Borítóterv – Návrh obálky: Urbán Zsolt Első kiadás, 2022 – Prvé vydanie, 2022 Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky odporučilo pod č. 2021/11363:10-A2201 didaktický prostriedok Matematika az alapiskola 5. osztálya számára (Matematika pre 5. ročník základnej školy s vyučovacím jazykom maďarským). Odporúčacia doložka nadobúda účinnosť 19. novembra 2021 a má platnosť do 31. augusta 2026.

Všetky práva vyhradené. Toto dielo ani žiadnu jeho časť nemožno reprodukovať bez súhlasu majiteľa práv.

Zodpovedná redaktorka Judita Hollá Technická redaktorka Ivana Bronišová Vyšlo vo vydavateľstve Slovenské pedagogické nakladateľstvo – Mladé letá, s. r. o., Sasinkova 5, 811 08 Bratislava Vytlačil Polygraf Print, spol. s r. o., Prešov

ISBN 978-80-10-03877-0

madmat 5 str 1-32.indd 2

13. 6. 2025 12:55:38

Tartalom

1. AZ ALSÓ TAGOZAT MATEMATIKA-TANANYAGÁNAK ISMÉTLÉSE . . . . . . . . . 5 1.1. Természetes számok a 10 000-es számkörben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. A természetes számok írása a tízes számrendszerben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. A természetes számok szemléltetése a számegyenesen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3. Összeadás és kivonás a 10 000-es számkörben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.4. A természetes számok szorzása és osztása a 100-as számkörben . . . . . . . . 19 1.2. Geometria és mérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.1. A síkidomok és a mértani testek áttekintése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.2. Szerkesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2.3. A pont és a vonalfajták rajzolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.4. Az egyenes és részei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.2.5. A szakasz hossza, a hosszúság mértékegységeinek átváltása . . . . . . . . . . . . 32 1.2.6. A kör. A körvonal és a körlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.2.7. Háromszögek szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3. Kockaépítmények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4. Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.5. Logika, indoklás, bizonyítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1. TUDÁSPRÓBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2. A TERMÉSZETES SZÁMOK ÉS MÁS SZÁMOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1. A nagy természetes számok írása a tízes számrendszerben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2. A természetes számok összehasonlítása és rendezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3. A természetes számok kerekítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4. A római számjegyek és számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5. Nem természetes számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.5.1. A tizedes törtek írása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.5.2. A tizedes törtek összehasonlítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.5.3. Törtek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6. A táblázat, a diagram és a grafikon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2. TUDÁSPRÓBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3. SÍKIDOMOK ÉS MÉRTANI TESTEK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.1. Párhuzamos és merőleges egyenesek szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2. Négyzet és téglalap szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3. Négyszögek és sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4. Négyzethálóba rajzolt síkidomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5. Mértani testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.6. Mértani testek és kockaépítmények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.7. A dinamikus geometriai szerkesztőprogram kezelése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3. TUDÁSPRÓBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4. MŰVELETEK A TERMÉSZETES SZÁMOKKAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1. A természetes számok összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2. A természetes számok írásbeli összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3. A természetes számok szorzása fejben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.4. A természetes számok írásbeli szorzása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

madmat 5 str 1-32.indd 3

13. 6. 2025 12:55:39

4.5. A természetes számok írásbeli osztása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.6. A számtani műveletek és a zárójelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.7. Számtani műveletek a zsebszámológépen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4. TUDÁSPRÓBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5. A TENGELYES ÉS A KÖZÉPPONTOS SZIMMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.1. A tengelyes szimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.2. A középpontos szimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5. TUDÁSPRÓBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6. A HOSSZÚSÁGMÉRÉS, A KERÜLET ÉS A TERÜLET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.1. A szakasz hossza, a hosszúság mértékegységeinek átváltása . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.2. A háromszög, a négyzet és a téglalap kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.3. A sokszög kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.4. Négyzethálóba rajzolt síkidomok kerülete és területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6. TUDÁSPRÓBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7. APPLIKÁCIÓS FELADATOK MEGOLDÁSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.1 Statisztika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.2. Valószínűségszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7. TUDÁSPRÓBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 TÖRD A FEJED! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 EREDMÉNYEK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

A számok és számjegyek tö történetéből A számjegyek és a ma használt számírásu sunk a középkorban arab közvetítéssel jutott el hozzánk, ezért beszélünk arab ju sz z számokról. Ám az arab számjegyeket és azok írását a tízes számrendszerben az indiaiak fejlesztették ki az időszámításunk előtt. A táblázatokból leolvasható, hogy miként változott fokozatosan a számjegyek írása.

madmat 5 str 1-32.indd 4

13. 6. 2025 12:55:39

1.

Az alsó tagozat matematika-tananyagának ismétlése

1.1.

Természetes számok a 10 000-es számkörben

IDÉZZÜK FEL! Az 1, 2, 3, 4, ... számokat természetes számoknak nevezzük.

A természetes szám darabszámot (mennyiséget) fejez ki.

FELADAT Írd le természetes számmal: a) az osztálylétszámot, b) iskolátok tanulóinak számát, c) testvéreid számát, d) életkorodat, e) a szünidő heteinek számát, f) hogy ebben a tanévben hányadik napja jársz iskolába!

1. PROBLÉMA Milyen számmal írja le a testvérei számát az a tanuló, akinek egyetlen leánytestvére és fivére sincs?

MEGOLDÁS Akinek leánytestvére és fivére sincs, annak 0 testvére van.

Természetes szám-e a 0? Igen, a 0-t természetes számnak fogjuk tekinteni..

További példák: Osztályotokba 0 olyan tanuló jár, aki 25 éves.

Januárban 0 rózsabokor virágzott a kertünkben.

1.1.1. A természetes számok írása a tízes számrendszerben

Helyi érték

ezresek

százasok

tízesek

egyesek

A természetes számokat a tízes számrendszerben a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyek segítségével írhatjuk le.

Tudjuk, hogy: 035 = 35

Számjegy

7

6

3

5

Így olvassuk: hétezer-hatszázharmincöt Ebben a számban: 7 ezres, 6 százas, 3 tízes és 5 egyes van. Úgy is mondhatjuk, hogy az egyesek helyén az 5-ös számjegy, a tízesek helyén a 3-as számjegy, a százasok helyén a 6-os számjegy, az ezresek helyén a 7-es számjegy áll.

madmat 5 str 1-32.indd 5

5

13. 6. 2025 12:55:40

FELADAT Olvasd el a következő számokat! Határozd meg az egyesek, tízesek, százasok, ezresek számát!

8321 1101 1111 2202 5624 3248 6139 6192 7985 8425 2000 3535 FELADAT Írd le számmal: ötezer-százhatvanöt, nyolcezer-kétszázhárom, ötezer-kétszáz, kilencezer, kilencvenkilenc, háromezer-négy, nyolcezer-nyolcvanegy, háromszázhét!

PÉLDA Bontsd fel helyi érték szerint összeg alakba a 3845-öt!

MEGOLDÁS A számot így bontjuk fel:

3845 3000 = 3 . 1000 800 = 8 . 100 40 = 4 . 10 5=5.1 Ezt folyamatosan így írhatjuk le: 3845 = 3000 + 800 + 40 + 5 = = 3 . 1000 + 8 . 100 + 4 . 10 + 5 . 1 Megállapíthatjuk, hogy a 3845 ben 3 ezres, 8 százas, 4 tízes és 5 egyes van.

PÉLDA Alkalmazd ezt az eljárást a 8037-re! j I. MEGOLDÁS

8037 8000 = 8 . 1000 30 = 3 .10 7 = 7 .1 Így írjuk le: 8037 = 8000 + 30 + 7 = 8 · 1000 + 3 · 10 + 7 · 1 Így olvassuk: A 8037-ben 8 ezres, 3 tízes és 7 egyes van.

8037 = 8 . 1000 + 3 . 10 + 7 . 1 Ebben a felbontásban csak a nullától különböző számjegyeket tüntettük fel.

Vigyázz! Hogy a felbontás helyes legyen, minden számjegy helyi értékét fel kell tüntetnünk, tehát a nullákét is.

II. MEGOLDÁS

8037 8000 = 8 . 1000 000 = 0 . 100 30 = 3 . 10 7=7.1

6

madmat 5 str 1-32.indd 6

13. 6. 2025 12:55:41

A számok helyiértékes kifejtése a tízes számrendszerben A kifejtett alakban minden számjegyet fel kell tüntetnünk – a legnagyobb helyi értéktől a legkisebbig (az egyesekig). Az egyes számjegyek helyi értékét nem kell kiszámítanunk, elég a számjegyeket összeolvasnunk.

8037 = 8 . 1000 + 0 . 100 + 3 . 10 + 7 . 1 FELADAT Bontsd helyi érték szerint összeg alakba a számokat! a) 8541 c) 1800 e) 8245 b) 2849 d) 1005 f) 9628 FELADAT Számítsd ki, és olvasd el helyesen a számokat! a) 3 . 1000 + 4 . 10 + 6 . 1 d) 8 . 1000 + 6 . 100 + 5 . 10 + 5 . 1 b) 9 . 1000 + 6 . 10 + 1 . 1 e) 2 . 1000 + 4 . 100 + 3 . 10 + 3 . 1 . . . c) 6 1000 + 6 100 + 6 1 f) 4 . 1000 + 9 . 100 + 0 . 10 + 0 . 1 A fentiek közül melyik tekinthető egy adott szám helyiértékes kifejtésének?

A természetes számok számjegyeik száma szerint lehetnek: egyjegyűek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (Nincs több?) kétjegyűek: 10, 11, 12, 13, 14, 15...

(Melyik közülük a legnagyobb?) háromjegyűek: 100, 101, 102, 103, 104, 105... stb.

GONDOLKODJ EL EZEN! Egy természetes szám számjegyeinek száma (mennyisége) mindig természetes szám. ám m.

GYAKORLATOK 1.

Olvasd fel a következő számokat: 1469, 1008, 9541, 3581, 1080, 9000, 1235, 315, 5901, 3100!

2.

Bontsd helyi érték szerint összeg alakba az alábbi számokat: 538, 1629, 9909, 5046, 3305!

3.

Írd le természetes számmal, hogy a) hány tantárgyatok van ötödikben; b) hány színes ceruza van a tolltartódban; c) hány színből áll a szivárvány; d) hány könyvet olvastál el a szünidőben!

4.

Keress a környezetedben olyan dolgokat, tárgyakat, jelenségeket, amelyek mennyiségét ki lehet fejezni természetes számmal! Keress példákat a nullára is!

5.

Írd le a legkisebb négyjegyű és a legnagyobb háromjegyű számot!

6.

Számítsd ki, majd olvasd fel az eredményt! a) 3 . 1000 + 5 . 100 + 6 . 10 + 0 . 1 b) 8 . 1000 + 5 . 10 + 4 . 1 c) 2 . 1000 + 2 . 100 + 2 . 10

madmat 5 str 1-32.indd 7

d) 3 . 1000 + 4 . 100 + 5 . 10 + 6 . 1 e) 2 . 1000 + 3 . 1 f) 4 . 1000 + 5 . 10 + 8 . 1

7

13. 6. 2025 12:55:42

4 3 8 9 6

7. Írd fel egy-egy kártyára a 4, 3, 8, 9, 6 számjegyeket, majd rakd ki belőlük a) a legkisebb kétjegyű számot; b) a legnagyobb kétjegyű számot; c) a legkisebb háromjegyű számot; d) a legnagyobb négyjegyű számot!

8.

Oldd meg újra a 7. feladatot azzal a különbséggel, hogy most a számjegyek ismétlődhetnek!

9.

Rakd ki az összes a) kétjegyű számot; b) háromjegyű számot; c) négyjegyű számot az 1, 2, 7, 0 számjegykártyákból!

2 1 07

10. Írj le a 200-tól 300-ig terjedő számokból legalább három olyan számot, a) amelyekben a tízesek és a százasok száma megegyezik; b) amelyekben a tízesek és az egyesek száma megegyezik!

11.

a) Melyik szám áll közvetlenül a legkisebb négyjegyű szám előtt? b) Melyik szám áll közvetlenül a legnagyobb négyjegyű szám után?

1.1. 2. A természetes számok szemléltetése a számegyenesen

A számegyenes a számok szemléltetésére szolgáló egyenes.

Minden számot egy-egy pont szemléltet.

a) 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

100

110

120

130

1100 1200

1300

a nullától kezdve egyesével számolunk b) 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

a nullától kezdve tízesével számolunk c) 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

a nullától kezdve százasával számolunk

A természetes számok képei a számegyenesen a nullától jobbra találhatók.

A kisebb szám képe közelebb van a nullához.

A számegyenes beosztását aszerint választjuk meg, hogy mely számokat szeretnénk ábrázolni. (Lásd a fenti a), b), c) ábrát!)

8

madmat 5 str 1-32.indd 8

13. 6. 2025 12:55:43

FELADAT Melyik ábra tekinthető számegyenesnek? a)

c) 1

7

12

b)

2

11

20

d) 3

6

10

0

4

6

FELADAT Mely természetes számot szemlélteti a bekarikázott pont? a) b) 10

50

20

90

FELADAT Sorold fel a számokat a) egyesével 123-tól 132-ig; c) százasával 200-tól 1200-ig; b) tízesével 910-tól 992-ig; d) ezresével 1800-tól 5800-ig! Írd le, majd szemléltesd számegyenesen ezeket a számokat!

PÉLDA Állapítsd meg a változó számjegyek helyi értékét az alábbi számsorban!

Pótold a hiányzó számokat!

200, 300, –––– , –––– , –––– , 700, –––– , 900 Ádám megnézte az előző ábrákat, és a példát így oldotta meg: MEGOLDÁS A 200, 300, ___, ___, ___, 700, ___, 900 számsort kell kiegészítenem.

Ezekben a számokban a százas helyiértékű számjegyek változnak, ezért százasával számolok: 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900.

Számegyenesen szemléltetve: +100 +100 +100 0

100

200

300

400

500

600

+100 700

–100 –100 –100 0

100

200

300

FELADAT Pótold a hiányzó számokat! a) 126, –––, 128, –––, –––, 131, ––– b) 570, –––, –––, –––, –––, 620, ––– c) –––, 900, –––, 1100, –––, –––, –––

400

500

600

700

800

900

1000

1100

900

1000

1100

–100 800

(Számolj egyesével!)

(Számolj tízesével!)

(Számolj százasával!)

9

madmat 5 str 1-32.indd 9

13. 6. 2025 12:55:43

FELADAT Sorold fel a számokat a) egyesével csökkenő sorrendben 765-tól 758-ig; b) tízesével csökkenő sorrendben 790-től 690-ig; c) százasával csökkenő sorrendben 1200-tól 500-ig; d) egyesével 386-tól 395-ig; e) tízesével 1210-től 1330-ig; f) százasával 3100-tól 4500-ig!

PÉLDA Keresd meg az összes 95-nél nagyobb, de 105-nél kisebb számot!

MEGOLDÁS Zsuzsi így gondolkodik: Segítségül hívom a számegyenest. A 95-nél nagyobb, de 105-nél kisebb számokat keresem, ezért egyesével sorolom a számokat 95-től 105-ig.

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

A keresett számok: 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104.

FELADAT Keresd meg az összes olyan természetes számot, amely a) nagyobb 43-nál, de kisebb 58-nál; c) nagyobb 1998-nál, de kisebb 2000-nél; b) kisebb 15-nél; d) nagyobb 993-nál, de kisebb 1003-nál!

FELADAT Írj a csillagok helyébe megfelelő számjegyeket: a) 196 < * * 8 < 2 * * < 201 c) 2150 < 2 * 5 * < 2 * 4 * < 2340 b) 1008 < 1 * * * < 1011 d) 5850 < * 9 6 * < 6050 Melyik az a feladat, amelynek több megoldása is van?

FELADAT Melyik az a szám, amely a számegyenesen ugyanolyan messze van a 329-től, mint a 341-től?

GYAKORLATOK 1.

Pótold a hiányzó számokat a számegyenesen! a) b) 30

2.

10

madmat 5 str 1-32.indd 10

40

50

30

40

Pótold a hiányzó számokat! a) 1150, –––, –––, –––, –––, –––, 1156, b) –––, –––, 60, –––, –––, –––, 100, c) –––, –––, 2000, –––, –––, –––, 2400.

13. 6. 2025 12:55:44

3.

Sorold fel a számokat a) egyesével 95-től 105-ig; b) tízesével 120-tól 220-ig;

c) százasával 500-tól 1800-ig; d) ezresével 1200-tól 7200-ig!

4.

Sorold fel a számokat csökkenő sorrendben a) egyesével 422-től 405-ig; c) százasával 3500-tól 2600-ig; b) tízesével 1300-tól 1200-ig; d) ezresével 6000-től 1000-ig!

5.

Keresd meg az összes olyan természetes számot, amely a) nagyobb 1023-nál, de kisebb 1030-nál; c) kisebb 10-nél; b) nagyobb 115-nél, de kisebb 120-nál; d) nagyobb 103-nál, de kisebb 105-nél!

6.

Írj a csillagok helyébe alkalmas számjegyeket! a) 201 < * 1 1 < 2 * 1 c) 153 < * * 3 < 1 * 4 b) 3104 < 3 * * * < 3110 d) * 2 * < 12 * < 1 * 0

7.

Melyek azok a számok, amelyek a számegyenesen ugyanolyan távolságra vannak a 46-tól, mint a 35 a 28-tól?

8.

Jani egy 120 oldalas könyvet vásárolt. Körülbelül a felét már el is olvasta.

Hány oldalt olvashatott el eddig?

9.

Hány olyan könyvet olvastál már el, amelynek körülbelül 200 oldala van?

Hány ilyen könyv van a könyvtáradban?

10. Melyik tankönyvednek van a legtöbb oldala? Hány oldalas?

Melyik tankönyvednek van a legkevesebb oldala? Hány oldalas?

11.

Az állatokról szóló könyv ára 16 €, a növényekről szólóé 20 €, a tengerekről szólóé 12 €, a világűrről szólóé 15 €, a sivatagokról szólóé 17 €.

Rendezd sorba a könyveket! Kezdd a legolcsóbbal!

„Minden dolog a számokon alapul.”

Püthagorasz

Szamoszi Püthagorasz (Kr. e. 580–500) A legjelentősebb ókori görög matematikusok egyike volt. A püthagoraszi tanoknak az emberi erőbe vetett hit volt az alapja. Az ókori kereskedők a számoláshoz kerek kavicsokat használtak. Püthagorasz a számok szemléltetésére különféle alakzatokba rendezte a kavicsokat, és ezekből próbált következtetni a tárgyak, összefüggések és jelenségek fontosságára. Így keletkeztek a figurális számok.

11

madmat 5 str 1-32.indd 11

13. 6. 2025 12:55:45

1.1.3. Összeadás és kivonás a 10 000-es számkörben IDÉZZÜK FEL! 125 + 34 = ÖSSZEADANDÓ + ÖSSZEADANDÓ =

237 – 125 KISEBBÍTENDŐ – KIVONANDÓ 2. PROBLÉMA Számítsd ki fejben a feladatpárokat!

12 + 14 100 + 300 14 + 12 300 + 100 Mi érdekeset tapasztalsz?

159 ÖSSZEG

= 112 = KÜLÖNBSÉG

100 + 251 251 + 100

Az összeadandók felcserélhetősége Az összeg nem változik, ha az összeadandókat felcseréljük. a+b=b+a 125 + 34 = 34 + 125 = 159 Ezt az egyenlőséget alkalmazzuk, amikor az összeadás helyességét ellenőrizzük.

3. PROBLÉMA Számítsd ki fejben a feladatpárokat!

24 – 12 55 – 20 12 + 12 35 + 20 Mi érdekeset tapasztalsz?

100 – 48 52 + 48

A kivonás ellenőrzése Összeadjuk a különbséget és a kivonandót. Összegül a kisebbítendőt kell kapnunk.

61 – 18 = 43 Ellenőrzés: 43 + 18 = 61 FELADAT Számítsd ki fejben, majd végezz ellenőrzést!

45 + 22 45 – 22 37 + 61 64 – 31 150 + 220 220 – 110

250 + 320 370 – 160 465 – 125

PÉLDA Keress a 2398-hoz egy olyan számot, hogy összegük 5000 legyen!

MEGOLDÁS Nem ijedünk meg a feladattól. Ha a 2398 és a keresett szám összege 5000, akkor a keresett számot így kell kiszámítanunk: 5000 – 2398.

12

madmat 5 str 1-32.indd 12

13. 6. 2025 12:55:46

Le is tudjuk rajzolni. Például így: + 2398

5000

–

Írásbeli számítás:

5000 – 2398 2602 Felelet: A keresett szám a 2602.

Ellenőrzés:

2602 2398 5000

FELADAT Írd egymás alá, majd add össze! A számítás elvégzése előtt becsüld meg az eredményt!

Végezz ellenőrzést! a) 395 + 628 e) 629 + 252 b) 286 + 595 f) 1893 + 5862 c) 1286 + 1595 g) 3156 + 1321 d) 8105 + 321 h) 5189 + 2891 FELADAT Írd egymás alá, majd vond ki! A számítás elvégzése előtt becsüld meg az eredményt!

Végezz ellenőrzést! a) 800 – 125 e) 1550 – 400 b) 789 – 264 f) 2328 – 1539 c) 1534 – 628 g) 5189 – 5098 d) 9180 – 1423 h) 10 000 – 5189 4. PROBLÉMA Számítsd ki a feladatpárokat!

(5 + 6) + 15 5 + (6 + 15) Mi érdekeset tapasztalsz?

(61 + 10) + 7 61 + (10 + 7)

11 + (9 + 13) (11 + 9) + 13

Az összeadandók csoportosítása a + (b + c) = (a + b) + c 25 + (13 + 48) = (25 + 13) + 48 Három vagy több összeadandót tetszőlegesen csoportosíthatunk. Így számolunk:

25 + (13 + 48) = 25 + 61 = 86 (25 + 13) + 48 = 38 + 48 = 86

Mindkét esetben ugyanazt az eredményt kaptuk.

FELADAT Győződj meg róla, hogy igaz: 324 + (5286 + 1900) = (324 + 5286) + 1900 2110 + (3220 + 330) = (2110 + 3220) + 330 492 + (1987 + 2300) = (492 + 1987) + 2300 A részösszegeket számítsd ki írásban! Az összeadandókat írd egymás alá!

13

madmat 5 str 1-32.indd 13

13. 6. 2025 12:55:47

Az összeadandók csoportosítása megkönnyíti az összeadást.

Lehetővé teszi, hogy előnyösen számoljunk.

PÉLDA Számítsd ki előnyösen!

1500 + 198 + 400 184 + 16 + 252 + 198 1325 + 120 + 75 + 480

MEGOLDÁS 1500 + 198 + 400 = = 1500 + 400 + 198 =

Felcseréltük a két utolsó összeadandót.

= (1500 + 400) + 198 =

A zárójelben kijelölt összeadást fejben is ki tudjuk számítani.

= 1900 + 198 =

Így számolunk: 1900 + 100 + 98.

= 2098

Ez az eredmény.

Hasonlóan oldjuk meg a többi példát is.

Jellemezd az előnyös számolás lépéseit!

184 + 16 + 252 + 198 =

1325 + 120 + 75 + 480 =

= (184 + 16) + (252 + 198) =

= 1325 + 75 + 120 + 480 =

=

= (1325 + 75) + (120 + 480) =

=

200

+

450

650

=

= =

FELADAT Számítsd ki előnyösen!

1400

+

0 + 2500 0 + 1280

=

2000

a) 1200 + 159 + 600 b) 284 + 500 + 1016 c) 591 + 1009 + 4252

5 . PROBLÉMA Számítsd ki fejben!

600

d) 154 + 1922 + 116 + 508 e) 1195 + 888 + 1005 + 1122 f) 6329 + 900 + 1271 + 500

5015 – 0 5015 + 0

9800 + 0 4325 – 0

Mi érdekeset tapasztalsz?

A nulla szerepe a műveletekben Minden természetes a számra igaz, hogy: a+0=a a–0=a 0+a=a 8+0=8 0+8=8

8–0=8

14

madmat 5 str 1-32.indd 14

13. 6. 2025 12:55:48

GYAKORLATOK Az 1–10. feladatot oldd meg fejben! Az ellenőrzést is fejben végezd el!

1.

10 + 5 80 + 4 30 + 3 50 + 8

8 + 40 1 + 60 6 + 70 9 + 20

10 + 17 20 + 24 40 + 49 30 + 33

0 28 + 40 36 + 50 13 + 80 74 + 20

2.

12 + 6 25 + 3 41 + 7 78 + 1

4 + 95 8 + 51 1 + 87 5 + 32

14 + 13 21 + 28 32 + 35 44 + 45

25 + 12 74 + 23 62 + 32 84 + 11

3.

20 – 1 80 – 7 90 – 3 50 – 6

30 – 20 50 – 30 90 – 20 70 – 40

15 – 10 34 – 30 48 – 40 79 – 70

10 – 4 20 – 16 40 – 35 70 – 63

4.

25 – 12 26 – 14 38 – 15 79 – 17

44 – 23 65 – 34 94 – 43 57 – 16

37 – 34 46 – 41 98 – 95 89 – 82

56 – 24 75 – 52 64 – 43 46 – 24

5.

100 + 300 500 + 400 200 + 700 300 + 600

450 + 500 670 + 300 100 + 180 400 + 540

264 + 700 571 + 200 500 + 239 300 + 655

340 + 250 560 + 110 250 + 740 630 + 320

6.

500 – 200 700 – 400 340 – 200 780 – 500

600 – 590 800 – 720 400 – 180 700 – 450

450 – 120 580 – 310 890 – 540 570 – 430

350 – 210 560 – 120 770 – 550 690 – 320

7.

1100 + 1300 2500 + 3400 2200 + 3700 8300 + 1600

1450 + 2500 2670 + 3300 5100 + 6180 2400 + 3540

7264 + 1700 3571 + 6200 6500 + 2239 1300 + 4655

2340 + 7250 8560 + 1110 3250 + 5740 2630 + 4320

8.

2300 – 1300 4500 – 3400 7900 – 3700 8800 – 1600

3450 – 2200 5670 – 3300 7400 – 6180 9900 – 3540

7864 – 1700 9571 – 6200 6500 – 2230 8700 – 4650

8340 – 7250 3560 – 1110 6850 – 5740 7630 – 4320

9.

2300 + 500 1500 + 264 3400 + 350 6200 + 325

1600 – 500 8800 – 600 2350 – 240 3670 – 520

700 + 2100 635 + 1200 891 + 4100 673 + 5300

2470 – 1300 5690 – 4400 1390 – 1260 7450 – 5310

10.

55 + 33 78 + 34 108 + 112 195 + 116

33 – 15 97 – 70 103 – 22 110 – 48

1000 + 500 1500 + 500 3100 + 400 2100 + 600

1000 – 400 2200 – 400 3500 – 300 4200 – 150 15

madmat 5 str 1-32.indd 15

13. 6. 2025 12:55:49

11.

A kirándulók 742 km-t tettek meg autóbusszal, 386 km-t hajóval és 56 km-t ismét autóbusszal.

Hány km-t tettek meg összesen?

12. Ádámnak 356 €-ja van, Gyurinak 125 €-val több.

Hány eurója van Gyurinak?

Hány eurója van a két fiúnak együtt?

13. Írj le öt számot úgy, hogy a) az első a 400 legyen, és minden további szám 20-szal legyen nagyobb az előzőnél; b) az első az 570 legyen, és minden további szám 40-nel legyen nagyobb az előzőnél; c) az első a 652 legyen, és minden további szám 200-zal legyen nagyobb az előzőnél; d) az első a 125 legyen, és minden további szám 35-tel legyen nagyobb az előzőnél; e) az első az 1050 legyen, és minden további szám 1000-rel legyen nagyobb az előzőnél; f) az első a 2350 legyen, és minden további szám 160-nal legyen nagyobb az előzőnél; g) az első az 5354 legyen, és minden további szám 370-nel legyen nagyobb az előzőnél!

14. Írj le öt számot úgy, hogy a) az első a 400 legyen, és minden további szám 20-szal legyen kisebb az előzőnél; b) az első az 570 legyen, és minden további szám 40-nel legyen kisebb az előzőnél; c) az első a 952 legyen, és minden további szám 200-zal legyen kisebb az előzőnél; d) az első a 625 legyen, és minden további szám 35-tel legyen kisebb az előzőnél; e) az első az 9050 legyen, és minden további szám 1000-rel legyen kisebb az előzőnél; f) az első a 8350 legyen, és minden további szám 160-nal legyen kisebb az előzőnél; g) az első az 5354 legyen, és minden további szám 370-nel legyen kisebb az előzőnél!

15. Számítsd ki a 999 és 1003 közti számok összegét!

16. Mennyit kell hozzáadni a 935, az 1001, a 3999 és a 74 számokhoz, hogy összegül 10 000-et kapjunk?

17. Tamásnak 751, Katinak pedig 467 eurója van.

Mennyivel több eurója van Tamásnak, mint Katinak?

Mennyivel kevesebb eurója van Katinak, mint Tamásnak?

18. Janka szombaton és vasárnap összesen 35 oldalnyit olvasott el egy könyvből.

Vasárnap 18 oldalt olvasott el.

Hány oldalt olvasott el szombaton?

19. Pótold a csillagokat alkalmas számjegyekkel! a) * 6 * b) 7 * 9 * *7* 4*7 1234 *718

c) * 3 3 3 2*22 66*6 **9*

20. Írd egymás alá, add össze, majd ellenőrizd az eredményt!

(Előbb becsüld meg az összeget!) a) 729 + 1154 c) 8232 + 1049 e) 3101 + 5899 b) 123 + 5198 d) 4989 + 3265 f) 1105 + 1996

16

21. Írd egymás alá, végezd el a kivonást, majd ellenőrizd az eredményt!

(Előbb becsüld meg a különbséget!) a) 1603 – 1233 c) 5350 – 155 e) 3539 – 1639 b) 5835 – 4289 d) 6103 – 2239 f) 8001 – 3005

madmat 5 str 1-32.indd 16

13. 6. 2025 12:55:49