9789147109883

Matematikboken

I Matematikboken Gamma hittar du: • Centralt innehåll i enlighet med kursplan 2011 • Tydlig struktur • Målsidor • Gemensamma genomgångar med typexempel • Uppgifter på fyra svårighetsnivåer • Väl avvägd progression • Sammanfattningar av begrepp och formler efter varje kapitel

gamma

• Träning av olika matematiska kompetenser • Uppgifterna är av varierande karaktär och växlar mellan: ellan: Färdighetstränande | Kommunikativa | Laborativa | Undersökande | Problemlösande | Tematiska

Gamma Matematikboken finns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.

Matematikboken Alfa, Beta, Gamma är avsedda för årskurserna 4–6.

Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, lennart.undvall@gmail.com respektive 070-320 38 62.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

gamma Matematikboken

Till Matematikboken Gamma hör följande böcker: • Grundbok (med facit) • Utmaningen • Bashäfte • A-boken • B-boken • Lärarhandledning • Onlinebok Grundbok

Best.nr 47-10988-3 Tryck.nr 47-10988-3

4710988_Gamma_OMSL_tryck1.indd 1

Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén

2013-04-24 08.43

ISBN 978-91-47-10988-3 © 2013 författarna och Liber AB Redaktion: Sara Ramsfeldt, Mats Juhlin Formgivning och omslag: Sara Ånestrand, Jan Holtz Bildredaktör: Nadia Boutani Werner Produktion: Eva Runeberg Påhlman Illustrationer: Johan Unenge Matematiska figurer: Björn Magnusson Första upplagan 1 Repro Repro 8 AB, Stockholm Tryck Kina 2013

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden.

BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningssamordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm Tfn 08-690 92 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 2

2013-04-18 13.45

BILDFÖRTECKNING Omslag Lena Johansson/Mira/NordicPhotos omslag Inlaga Susanne Walström/Johnér 5 (1), 7 Alexander Hassenstein/Bongarts/Getty Images 8 (1) Jonas Ekströmer/Scanpix 11 Stuart Minzey/Photographer’s Choice/Getty Images 19 Thomas Marent/Visuals Unlimited/Getty Images 26 (1) Jim Esposito Photography/Photodisc/Getty Images 26 (2) Arthur Selbach/Getty Images 26 (3) Jakob Fridholm/Getty Images 26 (4) Helge Sunde/Samfoto/Scanpix 27 Harry How/Getty Images 28 Claudio Bresciani/Scanpix 32 Anders Wiking/Scanpix 38 (1) Lars Pehrson/SvD/Scanpix 46 Primoz Jeroncic / PhotoSI/Scanpix 57 Roger Turesson/DN/Scanpix 58 Johan Willner/Etsabild/Johnér 63 Ulf Rennéus/Mary Square Images 64 Riksbanken 72 Nasa 78 (2) P. Cairns/Age fotostock/IBL 91 (2) Paul Simcock /Blend Images/Getty Images 101 Susanne Walström/Johnér 103 Magnus Hartman/Scanpix 114 Roger Schederin/IBL 120 Anders Hofgren/GP/IBL 133 (1) Eva Hedling/NordicPhotos 146 Chris Tobin /Photodisc/Getty Images 153 Hasse Holmberg/Scanpix 156 Leif R Jansson/Scanpix 158 Posten Frimärken 161 (2) Science Photo Library/IBL 165 Maurizio Borgese/Hemis/Corbis/Scanpix 170 Tor Lundberg/Naturfotograferna/IBL 186 Lennart Undvall 197 Lena Granefelt/Johnér 199 Lawren /The Image Bank/Getty Images 204 (4) Nasa 210 Jessica Gow/Scanpix 211 Ulf Rennéus/Mary Square Images 214, 215 (1) London News Pictures/Rex Features/IBL 240 Johanna Hanno/Scanpix 251 (2) Pontus Lundahl/Scanpix 251 (3) Anders Good/IBL 254 Fuat Kose /E+/Getty Images 257 Alf Linderheim/IBL 272

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 3

Marcel Jancovic/Shutterstock 278 Nasa 294 Jan-Åke Eriksson/Scanpix 298 Maja Suslin/Scanpix 300 (1) Tommy Svensson/Kristianstadsbladet/Scanpix 304 Övriga fotografier från Haléns, Liber arkiv, OPV-Online, Photodisc, Shutterstock och Thinkstock.

2013-04-18 13.45

2

Innehåll 1

Tal och räkning

63

2.1 Multiplikation med 10, 100 och 1 000 64 2.2 Multiplikation med tal som slutar på noll 70 Räkna och Häpna 74 2.3 Division med 10, 100 och 1 000 75 Tänk och räkna: Så räknade Babylonierna 80 2.4 Multiplikation med decimaler i båda faktorerna 82 Taluppfattning och huvudräkning 85 2.5 Mer om division 86 2.6 Födelsedagsfesten 89 Sammanfattning 2 92 Blandade uppgifter 93 Kan du begreppen? 96 Kan du förklara? 96 Träna mera 97 Fördjupning 99 Problemlösning 100

7

1.1 Olika slags tal 8 Tänk och räkna: Binära tal 14 1.2 Bråkform och blandad form 16 1.3 Bråkform och decimalform 23 Taluppfattning och huvudräkning 29 1.4 Hur stor är delen? 30 1.5 De fyra räknesätten 36 1.6 Räkna med miniräknare 42 Räkna och Häpna 47 1.7 På utflykt med kanot 48 Sammanfattning 1 51 Blandade uppgifter 53 Kan du begreppen? 56 Kan du förklara? 56 Träna mera 57 Fördjupning 60 Problemlösning 61

Multiplikation och division

3

Samband och förändring

103

3.1 Procent 104 3.2 Sannolikhet 110 Tänk och räkna : Kombinatorik 116 3.3 Hur stor är delen? 118 Taluppfattning och huvudräkning 123 3.4 Koordinatsystemet 124 Räkna och Häpna 128 3.5 Proportionalitet 129 3.6 Världen i siffror 134 Sammanfattning 3 137 Blandade uppgifter 139 Kan du begreppen? 142 Kan du förklara? 142 Träna mera 143 Fördjupning 146 Problemlösning 148

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 4

2013-04-24 08.47

4

Algebra och mönster

4.1 Numeriska uttryck 154 4.2 Uttryck med variabel 160 Räkna och Häpna 165 Taluppfattning och huvudräkning 166 4.3 Algebraiska uttryck 167 4.4 Mönster 172 Tänk och räkna: Gauss – ett riktigt mattesnille 4.5 Ekvationer 180 4.6 På fjällvandring 185 Sammanfattning 4 187 Blandade uppgifter 188 Kan du begreppen? 191 Kan du förklara? 191 Träna mera 192 Fördjupning 195 Problemlösning 196

5

Geometri

178

Alfa, Beta, Gamma – med sikte på framtiden

251

6.1 Taluppfattning och tals användning 252 6.2 Algebra 259 6.3 Geometri 263 6.4 Sannolikhet och statistik 269 6.5 Samband och förändring 275 Tänk och räkna: Talmaskinen 280 6.6 Problemlösning 282

199

5.1 Geometriska objekt 200 Räkna och Häpna 206 Tänk och räkna : Vinkelsumma 212 5.3 Spegling och symmetri 213 5.4 Längd och skala 218 Taluppfattning och huvudräkning 225 5.5 Omkrets, area och volym 226 5.6 Motionsslingan 235 Sammanfattning 5 237 Blandade uppgifter 239 Kan du begreppen? 243 Kan du förklara? 243 Träna mera 244 Fördjupning 248 Problemlösning 249

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 5

6

153

Repetition Läxor Facit

286

292 316

Begreppsregister

336

2013-04-24 08.47

Förord ETT TVÅ TRE FYRA

Boken innehåller sex kapitel som i sin tur är uppdelade i avsnitt. I varje avsnitt finns det uppgifter på fyra nivåer. På nivå ett finns lätta uppgifter medan uppgifterna på nivå fyra ger rejäla utmaningar.

Du kan starta på olika nivåer i olika avsnitt eller kapitel, men ta för vana att räkna minst två nivåer. Om du tycker att nivå ett är för svår finns Bashäfte Gamma med enklare uppgifter. Om nivå fyra inte är tillräckligt utmanande finns en bok som heter Utmaningen Gamma.

Sista uppgiften på varje nivå är en ”pratbubbleuppgift”. Den är tänkt som en diskussionsuppgift som du kan lösa med en kamrat. Pratbubbleuppgifterna har inget facit.

De uppgifter där du bör använda miniräknare är markerade med en streckad linje.

I kapitel 1–5 återkommer följande avsnitt: Målsida Här beskrivs vad du får möjlighet att utveckla i kapitlet.

Aktiviteter Praktiska uppgifter att lösa i par eller grupp.

Taluppfattning och huvudräkning Tränar grundläggande matematik.

Räkna och häpna Spännande uppgifter som ger överraskande svar.

Tänk och räkna Uppgifter av undersökande karaktär.

Sammanfattning Sammanfattar kapitlets centrala innehåll.

Blandade uppgifter Blandad repetition av kapitlet.

Kan du begreppen? Repetition av centrala begrepp.

Kan du förklara? Här får du använda begreppen.

Träna mera För dig som behöver träna mera.

Fördjupning För dig som klarat diagnosen bra.

Problemlösning Kluriga problem att lösa individuellt eller parvis.

I kapitel 6, Alfa, Beta, Gamma – med sikte på framtiden, repeteras momenten från Alfa, Beta och Gamma. Kapitlet ger därmed en omfattande repetition inför det nationella provet i matematik – och inför fortsatta matematikstudier i åk 7 till 9.

I avsnittet Repetition är uppgifterna hämtade från bokens lösta typexempel.

Om du behöver hjälp kan du titta tillbaka på exemplet. Boken avslutas med Läxor. Det finns fyra läxor till varje kapitel. I läxorna finns även repetition från tidigare kapitel.

Lennart, Christina, Kristina och Conny

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 6

2013-04-18 13.45

Tal och räkning

1

När d u

arbe t

na re äm N

ja re

Ra tio ne lla ta De l ci m al fo rm Av ru nd ni ng

m fo r Tä l

ad an d Bl

B

EG

R

EP

P N at ur lig a ta l Ut ve ck la d fo rm Br åk fo rm

ar m hur v ed de årt ta t här lsyst kapit em o samb c let få h and m någr r du a and ellan lära ra ta uttry tal i b dig: l cka a s r y åkfor stem ndel m oc är up ar i b samb h pbyg decim råkfo ande gda rm o alfor t me c m h l l d an br samb ecim åkfor alfor ande m m oc t me llan h berä d ecim ande knin alfor len, d gar m m skrif elen ed de tliga o c h det fyra meto rä hela der o förkl ch m knesätte ara o n i n med ch m iräkn om b otive are egre ra ut ppen i från i kap dina itlet kuns kape r

7

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 7

2013-04-18 13.45

1.1

Olika slags tal Naturliga tal Det finns tio siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Med siffrorna kan vi bilda hur många tal som helst.

Talet 0 och de positiva heltalen bildar tillsammans de naturliga talen.

Dessa är alltså: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Av de naturliga talen kallar vi 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 … för jämna tal och 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 … för udda tal.

Tal i decimalform Vid en tävling i längdhopp hoppade Michel Tornéus 8,22 m. Talet 8,22 är ett exempel på ett tal i decimalform. Vi läser talet som ”åtta komma tjugotvå” eller ”åtta hela och tjugotvå hundradelar”.

Platsvärden Det värde en siffra representerar beror av vilken plats siffran har i talet. I till exempel talet 5 895 representerar siffran 8 värdet 800. tusentalssiffra som representerar värdet 5 · 1 000 = 5 000 hundratalssiffra som representerar värdet 8 · 100 = 800 tiotalssiffra som representerar värdet 9 · 10 = 90 entalssiffra som representerar värdet 5 · 1 = 5

5 8 9 5 En ostbit väger 0,457 kg. Talet 0,457 är ett tal med tre decimaler. Även här beror det värde en siffra representerar av var i talet den står. entalssiffra som representerar värdet 0 · 1 = 0 tiondelssiffra som representerar värdet 4 · 0,1 = 0,4 hundradelssiffra som representerar värdet 5 · 0,01 = 0,05 tusendelssiffra som representerar värdet 7 · 0,001 = 0,007

0, 4 5 7

8

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 8

2013-04-18 13.46

Utvecklad form Talet 3 657 kan skrivas som en summa: 3 657 = 3 000 + 600 + 50 + 7.

Vi säger att talet är skrivet i utvecklad form.

När ett tal i decimalform skrivs i utvecklad form ser det ut så här: 27,83 = 20 + 7 + 0,8 + 0,03

Alla talen innehåller 6 tiondelar.

Vilket tal innehåller flest hundradelar? Jo, det är 0,69. Alltså vet du att det talet är störst.

EXEMPEL

Vilket tal är störst och vilket är minst?

0,65 0,649 0,6 0,69 0,675

0,650

0,649

0,600

0,690

0,675

En bra metod är att skriva talen så att de får lika många Du har 0 ental och ska ta bort 8 ental. decimaler. En nolla efter den sista decimalen förändrar Det går inte utan att du växlar ner 1 tiotal till inte talets värde. Då ser du lättare att 0,69 (690 tusen10 ental: 10 – 8 = 2 delar) är störst och 0,6 (600 tusendelar) är minst.

Du har 7 tiotal kvar: 7 – 4 = 3 Subtrahera hundratalen: 2 – 0 = 2

Svar: 0,69 är störst och 0,6 är minst.

EXEMPEL

Vilket värde representerar siffran 3 i följande tal? a) 731

b) 8 356

c) 1,36 36

I talet 731 står 3:an I talet 8 356 står 3:an på på tiotalssiffrans hundratalssiffrans plats. plats.

Värdet den Värdet den representerarr Du har 0 ental och ska ta bort 8 ental.

3 · 100 Det gårrepresenterar inte utan att duärväxlar ner 1ärtiotal till= 300. därför 10 ental: 10 – 83 =· 10 2 = 30.

I talet 1,36 står 3:an på tiondelssiffrans plats. Värdet den representerar är 3 · 0,1 = 0,3.

Du har 7 tiotal kvar: 7 – 4 = 3 Subtrahera hundratalen: 2 – 0 = 2

Svar: a) 30

b) 300

c) 0,3

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 9

9

2013-04-18 13.46

ETT 1

2

3

c) tjugotvåtusen femtio

Vilket tal är störst? a) 2 020 eller 2 200

c) 0,5 eller 0,3

b) 1 eller 0,9

Vilken siffra är tiotalssiffra i talen? a) 725 b) 5 213

c) 78,9

4

Använd alla siffror i rutan och skriv a) ett tal som är så nära 6 000 som möjligt b) ett udda tal som är så litet som möjligt

5

Skriv talen med siffror i decimalform. a) fem tiondelar b) fem hundradelar

6

ZZ

Skriv talen med siffror. a) sjuhundraelva b) niotusen etthundra

7

Skriv talen i utvecklad form. a) 753 b) 2,95

5

7

2

8

c) fem tusendelar

c) 2 643

a) Ge exempel på ett tal som är större än 1 men mindre än 1,1. b) Hur många sådana tal finns det?

TVÅ 8

Vilka tal pekar pilarna på? a

0

9

10

1

b

2

3

c

4

5

d

6

7

Vilket tal är störst och vilket är minst? a) 1 0,99 0,9 b) 8,1 7,99 8,0

e

8

f

9

10

11

0,909 8,9

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 10

2013-04-18 13.46

10

11

12

Skriv talen i utvecklad form. a) 235,7 b) 87,64

c) 1,034

Vilken siffra i Moa Hjelmers segerlopp är a) entalssiffra b) hundradelssiffra

c) tiotalssiffra

Skriv hur mycket det svenska rekordet förbättrades med som ett tal i decimalform.

För några år sen vann den svenska friidrottaren Moa Hjelmer EM-guld på 400 m med segertiden 51,13 s.

Tiden innebar att det svenska rekordet förbättrades med 27 hundradels sekunder.

13

ZZ 14

Låt tiondelssiffran byta plats med tiotalssiffran i talet 83,57.

Vilket tal får du då?

Hur mycket högre värde representerar 5:an än 2:an i talet 5 283?

Förklara hur du tänker.

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 11

11

2013-04-18 13.46

TRE 15

16

17

Skriv talen med siffror. a) femtiotusen sjuttiofem c) sju tusendelar

b) en miljon trettiotusen

Vilka tal skrivs så här i utvecklad form? a) 50 + 6 + 0,8 b) 200 + 70 + 5 + 0,8

c) 5 + 0,03

Vilka tal pekar pilarna på? a

0,0

0,1

0,2

b

0,3

c

0,4

0,5

d

e

0,7

0,6

0,8

f

0,9

1,0

1,1

18

Ludvig hade feber en dag. På morgonen visade termometern 38,7 °C. På kvällen hade temperaturen stigit med fem tiondelar.

Vilken var temperaturen då?

19

Vilket tal ligger mitt emellan talen? a) 5 och 10 b) 1,5 och 1,8

20

ZZ 21

c) 0,12 och 0,2

Addera talen med en tiondel. Vilka tal får du då? a) 2,35 b) 0,809 c) 0,4 Så här subtraherar Sofia: Förklara hur hon tänker.

8,7–3,9=8,8–4=4,8

FYRA 22

23

Vilka tal är m och n? a) 7 127 = 7 000 + m + 20 + 7 b) 12,89 = 10 + 2 + n + 0,09

a

c

d e f

Vilka tal pekar pilarna på?

0

12

b

1

2

3

4

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 12

2013-04-18 13.46

24

Lisa fick ärva en halv miljon kronor. Hon köpte en häst för 60 000 kr.

Hur mycket hade hon sen kvar?

25

Vad kommer det att stå i sifferfönstret om vi adderar med a) en tiondel b) en hundradel c) en tusendel

26

Skriv följande tal i storleksordning med det största talet först.

0,29

27

ZZ 28

0,3

0,209

Vilket tal ligger mitt emellan talen? a) 0,1 och 0,15 b) 0,09 och 0,12

0,309

0,219

c) 0,11 och 0,116

Rita en tallinje. Gradera den på lämpligt sätt. Markera sen följande tal på tallinjen.

A: 0,3 B: 0,75 C: 1,2 D: 1,65 Jämför din tallinje med en klasskamrats. Har ni graderat tallinjen på samma sätt? Förklara för varandra hur ni tänkte.

Utmaningen Gamma, sid 2–10

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 13

13

2013-04-18 13.46

Tänk och räkna Binära tal Tiosystemet Vårt talsystem bygger på talet 10 och består av 10 siffror – tiosystemet.

Kanske beror det på att vi har 10 fingrar. Vilket värde en siffra representerar beror på dess plats, position, i talet. De ”byggbitar” vi använder oss av när vi skriver naturliga tal är: 1 10 10 · 10 = 100 10 · 10 · 10 = 1 000 och så vidare...

Det betyder till exempel att talet 6 042 kan skrivas så här: 6 042 = 6 · 1 000 + 0 · 100 + 4 · 10 + 2 · 1

Binära talsystemet I datorer används ett talsystem där man bara använder två siffror, 0 och 1. Talen bygger på talet 2 och kallas för det binära talsystemet.

Talen byggs upp av följande ”byggbitar”: 1 2 2·2=4 2·2·2=8 2 · 2 · 2 · 2 = 16 och så vidare...

Talet 5 kan byggas upp med de binära ”byggbitarna” så här: 1·4+0·2+1·1 Talet 5 skrivs så här i det binära talsystemet: 1012. Den lilla 2:an talar om att talet är skrivet i det binära talsystemet. Lägg märke till att även i det binära talsystemet så representerar siffrorna olika värden beroende på sin position.

14

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 14

2013-04-18 13.46

Talet 13 kan byggas upp så här: 1·8+1·4+0·2+1·1 Det betyder att talet 13 skrivs så här: 11012.

Det kan underlätta med den här tabellen när du ska skriva och tolka binära tal.

16 5= 13 = 30 =

1

8 1 1

4 1 1 1

2 0 0 1

1 1 1 0

= 1012 = 11012 = 111102

Nu går vi åt andra hållet. Vilket tal skrivs så här i det binära talsystemet 10012? Vi använder oss av ”byggbitarna” och får då att talet är: 1·8+0·4+0·2+1·1=8+1=9

1

De fem första ”byggbitarna” i det binära talsystemet är 1, 2, 4, 8 och 16. Vilka är de två följande?

2

Det binära talet 1002 är lika med 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1.

Vilket naturligt tal är alltså 1002?

3

Vilka är de naturliga tal som skrivs så här i det binära talsystemet? a) 1102 = 1 · 4 + … b) 10102

4

Vilka naturliga tal är dessa binära tal? a) 11112 b) 11002

5

Talet 14 byggs upp så här: 14 = 1 · 8 + 1 · 4 + 1 · 2 + 0 · 1 Hur skrivs talet 14 i det binära talsystemet?

6

Hur skrivs dessa tal i det binära talsystemet? a) 22 = 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + … b) 23 = 1 · 16 + 0 · 8 + …

7

Skriv talen som binära tal. a) 19 b) 25 c) 42

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 15

15 15

2013-04-18 13.46

1.2

Bråkform och blandad form Hur stor är andelen?

Cajsa har delat en pizza i fyra lika stora bitar. Varje bit är en fjärdedel av hela pizzan.

En fjärdedel skrivs

1 .

4

Eftersom hela pizzan består av fyra fjärdedelar kan 4 .

4 Cajsa äter en bit. Kvar av pizzan finns då tre fjärdedelar. Vi kan räkna ut det så här: du skriva 1 =

1 4 1 3 = – = 4 4 4 4 Pizzan kan naturligtvis delas även i andra delar som till exempel halvor och tredjedelar.

1–

1

=

2 2

=

3 3

=

5 5

Tal i bråkform 2 3 och är exempel på tal i bråkform. Tal som kan skrivas i bråkform 5 5 kallas för rationella tal.

2 femtedelar av rektangeln är röd.

16

3 femtedelar av rektangeln är blå.

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 16

2013-04-18 13.46

De båda talen i ett bråk kallas täljare och nämnare. Strecket mellan talen kallas bråkstreck. täljare

3 5

bråkstreck nämnare

Från hela till delar Två pizzor kan delas i 8 fjärdedelar.

8 4 12 16 Tre pizzor kan delas i 12 fjärdedelar ( ), fyra pizzor i 16 fjärdedelar ( ) 4 4 och så vidare.

2=

Tal i blandad form Efter ett biobesök gick Johan och två kompisar till en pizzeria. De beställde två pizzor och bad att få dem delade i fjärdedelar. När alla tagit var sin bit så fanns det fem fjärdedelar kvar. Man kan också säga att det fanns en hel och en fjärdedels pizza kvar.

5 Talet 5 fjärdedelar kan skrivas i bråkform så här: .

4 1 Om talet skrivs som hela och delar, 1 , så är det skrivet i blandad form.

4 1 5 =1 Blandad form 4 4 Bråkform

Här finns det en hel och tre åttondels pizza kvar.

Räknar man pizzabitarna så finns det 11 bitar. Man kan därför säga att det finns 11 åttondelar kvar.

1

3 11 = 8 8

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 17

17

2013-04-18 13.46

EXEMPEL

Skriv talen i bråkform.

1 2 a) 1 b) 2 5 3

1 6 a) 1 = 5 5 b) 2

2 8 = 3 3

Svar: a)

6 5

Av 1 hel kan du göra 5 femtedelar.

5 1 6 Sen adderar du och och får .

5 5 5 Av 2 hela kan du göra 6 tredjedelar.

6 3

b)

+

2 3

=

8 3

8 3

Skriv talen i blandad form.

7 7 b) a) 5 3 Av 7 femtedelar kan du göra 1 hel. Du får 2 femtedelar över.

7 5 2 2 a) = + = 1 5 5 5 5 b)

7 6 1 1 = + =2 3 3 3 3

Svar: a) 1

2 5

b) 2

Av 7 tredjedelar kan du göra 2 hela. Du får 1 tredjedel över.

1 3

ETT

18

29

Hur stor andel av cirkeln är a) blå b) röd

30

Pizzan hade från början åtta bitar. Hur stor andel av pizzan är a) uppäten b) kvar

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 18

2013-04-24 08.57

31

Vilket tal saknas? a) 1 =

32

?

3

Vilket tal är störst?

1 1 a) eller 2 3

?

3

c)

? =4 3

1 1 eller 4 6

c)

1 1 eller 10 9

b) 2 =

b)

33

Peter har två meloner. Han delar varje melon i femtedelar. Hur många bitar får han?

34

a) 1 –

35

Bilden föreställer ett tal. a) Skriv talet i blandad form. b) Skriv talet i bråkform.

ZZ 36

1 2

b) 1 –

1 3

c) 1 –

1 4

Vattenmelonen tillhör, liksom alla meloner, gurksläktet. Den största vattenmelonen någon har odlat fram vägde 35 kg.

Hur vet man om värdet av ett bråk är större eller mindre än 1?

TVÅ 37

Hur stor andel av chokladkakan är a) kvar b) uppäten

38

Vilket tal saknas?

6 a) 1 = ?

39

b)

? =2 5

c) 3 =

?

3

1 av en spännande bok.

5 Hur stor andel hade han kvar att läsa?

a) En lördag läste Behrad

5 av boken.

8 Hur stor andel hade han då kvar att läsa?

b) Till söndag kväll hade Behrad läst

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 19

19

2013-04-18 13.46

40

Bilden föreställer ett tal. a) Skriv talet i blandad form. b) Skriv talet i bråkform.

41

Skriv talen i bråkform.

1 1 a) 1 b) 2 2 2

42

43

Skriv talen i blandad form.

4 7 a) b) 3 2

c)

2 3

d) 2

8 5

d)

1 4

7 3

Vilket tal saknas? a)

ZZ 44

c) 1

1 + ? =1 4

b) ? +

5 =1 7

c) 1 – ? =

1 3

2 7 = . Jämför din bild med en klasskamrats 5 5 och förklara för varandra hur ni tänkt.

Visa med en bild att 1

TRE 45

46

20

Hur stor andel av figuren är grön? a) b)

c)

3 Lasse klipper en stor gräsmatta. Före lunch klipper han av gräsmattan.

4 Det tar 45 minuter. a) Hur stor andel har han kvar att klippa? b) Hur lång tid tar det att klippa den sista delen om han klipper med samma hastighet hela tiden?

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 20

2013-04-18 13.46

47

Bilden föreställer ett tal. a) Skriv talet i blandad form. b) Skriv talet i bråkform.

48

Skriv talen i bråkform.

1 1 a) 1 b) 2 3 5

49

50

Skriv talen i blandad form.

7 10 a) b) 5 3 Vilka av bråken är a) lika med 1 4 3

51

c) 1

3 8

7 5

c)

b) större än 1 4 4

5 6

3 4

d) 3

9 4

d)

2 5

13 2

c) mindre än 1

11 9

Du startar i punkten A och går runt cirkeln i pilens riktning.

Var är du när du har gått A a) halva omkretsen b) en tredjedel av omkretsen F B c) tre fjärdedelar av omkretsen C

E D

ZZ 52

Hälften av en halv är lika med en fjärdedel. Förklara för en klasskamrat hur man kan veta det. Visa gärna med en bild att det är så.

FYRA 53

a) Hur många fjärdedelar är en halv? b) Hur många sjättedelar är en halv? c) Hur många åttondelar är en halv plus en fjärdedel?

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 21

21

2013-04-18 13.46

54

55

56

Skriv talen i bråkform.

3 1 a) 2 b) 3 5 4

c) 1

Skriv talen i blandad form.

11 13 a) b) 4 6

c)

5 8

d) 4

17 3

Du startar i punkten A och går runt kvadraten i pilens riktning. Var är du när du har gått a) en femtedel av omkretsen b) tre fjärdedelar av omkretsen c) Hur stor andel har du gått när du kommer till H?

d)

G

H

58

Vilket tal saknas?

3 ? a) = 2 5 5

b) 4

1 ? = 3 3

c)

23 5 A

F E

B D

57

2 3

C

21 1 =?

4 4

Hur stor andel av hela figuren är de olika delarna?

B A C

59

ZZ 60

D E

a) Hur stor andel av kvadraten är röd? b) Tänk dig att du målar hälften av det vita området rött. Hur stor andel av hela kvadraten är sen röd?

Hur kan du räkna ut hur mycket

1 1 + är?

2 6

Utmaningen Gamma, sid 2–10

22

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 22

2013-04-18 13.46

Bråkform och decimalform

1.3

Bråk kan skrivas i decimalform och tal i decimalform kan skrivas som bråk. I rutan ser du några samband som är bra att kunna utantill.

1 = 0,1 10 1 = 0,01 100

1 = 0,5 2 1 = 0,25 4

1 = 0,001 1000

1 = 0,2 5

Vissa bråk har oändligt många decimaler när de skrivs i decimalform.

Vi får då avrunda och får ett ungefärligt värde, ett närmevärde.

Några exempel på sådana tal är: 1 ≈ 0,33 3

2 ≈ 0,67 3

3 ≈ 0,43 7

EXEMPEL

Skriv talen i decimalform. a)

9 10

b)

7 100

c) 1

3 4

9 1 9 Eftersom = 0,1 så är = 9 · 0,1 = 0,9. = 0,9 10 10 10 Du har 0 ental och ska ta bort 8 ental. a)

Det går inte utan att du växlar ner 1 tiotal till 1 7 Eftersom = 0,01 så är = 7 · 0,01 = 0,07.

10 ental: 10 – 8 = 2 100 100 Du har 7 tiotal kvar: 7 – 4 = 3 Subtrahera hundratalen: 2 – 0 = 2

b)

7 = 0,07 100

3 c) 1 = 1,75 4 Svar: a) 0,9

1 3 = 0,25 så är = 3 · 0,25 = 0,75.

4 4 Om du sen lägger till en hel, får du 1,75.

Eftersom

b) 0,07

c) 1,75

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 23

23

2013-04-18 13.46

EXEMPEL

Skriv talen i bråkform. a) 0,7

a) 0,7 =

b) 0,17

7 10

b) 0,17 =

Svar: a)

Eftersom 0,1 =

17 100

c) 0,003 =

c) 0,003 så är 0,7 =

1

Eftersom 0,01 =

3 1000

7 10

1 10

b)

100

Eftersom 0,001 =

17 100

c)

7 10

.

så är 0,17 =

1 1 000

17 100

.

så är 0,003 =

3 1 000

.

3 1000

EXEMPEL

Skriv talen i decimalform och beräkna. a) 0,4 +

1 4

a) 0,4 +

1 = 0,4 + 0,25 = 0,65 4

b)

4 3 – 5 10

4 3 – = 0,8 – 0,3 = 0,5 5 10

Svar: a) 0,65

24

b)

Tänk på att 0,4 = 0,40.

Eftersom

1 5

= 0,2 så är

4 5

= 4 · 0,2 = 0,8.

b) 0,5

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 24

2013-04-18 13.46

ETT 61

62

63

Skriv talen i decimalform.

8 8 a) b) 10 100

8 1 000

Skriv talen i bråkform. a) 0,3 b) 0,03

c) 0,003

Skriv talen i bråkform och decimalform. a) en tiondel b) en hundradel

c) en tusendel

64

Hur stor andel av cirkeln är a) röd b) blå Svara både i bråkform och decimalform.

65

a) 0,1 + 0,3

66

a)

ZZ 67

c)

1 – 0,2 2

b) 0,35 – 0,1 b)

7 + 0,1 10

Leo tror att 1,5 är lika med

c) 0,01 + 0,35 c)

1 – 0,19 4

1 . Hur kan du förklara för honom att han har fel?

5

TVÅ 68

69

Skriv talen i decimalform.

1 1 a) b) 4 5

c)

3 10

Jenny sprang fem hundradels sekunder snabbare än Susanna på 100 m. Skriv fem hundradelar i a) decimalform b) bråkform

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 25

25

2013-04-18 13.46

70

Hur stor andel av rektangeln är blå? Svara i a) bråkform b) decimalform

71

a) 0,9 + 0,1

72

Skriv i bråkform hastigheten hos en a) sengångare b) snigel

b)

7 – 0,2 10

c)

3 + 0,3 4

Den tretåiga sengångaren är med sin topphastighet av 0,25 km/h världens långsammaste däggdjur. Ett ännu långsammare djur är snigeln som tar sig fram med hastigheten 0,004 km/h.

73

ZZ 74

Landsköldpaddor är också långsamma djur. Men de kan röra sig med 35 en hastighet som är km/h högre än sengångarens. Hur snabbt rör sig 100 en landsköldpadda?

Vem eller vilka har rätt? Förklara hur du tänker.

0,3 m = 300 mm 0,3 m = 3 dm

0,3 m = 30 cm

Axel

26

Bodil

Cajsa

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 26

2013-04-18 13.46

TRE 75

Vilket tal är störst?

1 a) eller 0,2 4

b)

3 eller 0,8 4

c)

19 eller 0,15 100

76

Elin sprang 60 m på tiden 9,65 s. a) Jens hade sju hundradelar bättre tid. Vilken tid hade Jens? b) Tove var en tiondel snabbare än Elin. Vilken tid hade Tove?

77

Skriv talen i decimalform.

1 1 a) 1 b) 2 10 2

78

c) 3

Skriv talen i blandad form och bråkform. a) 1,7 b) 2,09 1 + 0,3 4

1 2

c) 5,11

a) 1

80

Skriv talen i blandad form och decimalform. a) en hel och en halv b) två hela och fyra femtedelar Vi skriver att

c)

7 3 + 10 5

79

ZZ 81

b) 2 – 1

1 4

1 1 = 0,25 men att ≈ 0,33. Varför använder vi olika tecken?

4 3

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 27

27

2013-04-18 13.46

FYRA 82

Usain Bolt vann ett 100 m-lopp på tiden 9,88 s.

Den som kom tvåa hade nio hundradelar sämre tid. Vilken tid hade tvåan?

83

Vilket tal är störst och vilket är minst?

7 10

0,5

3 4

0,42

65 100

84

Hur mycket större är talet en tiondel än talet en hundradel?

85

Rita av figuren. Skugga sen 0,75 av den.

86

Skriv talen i decimalform. a) tretton tiondelar b) tvåhundratolv hundradelar

87

Skriv det tal som är tre tiondelar större än 3 3 a) 0,47 b) c) 5 4

ZZ 88

3 men mindre än 1.

4 Hur många sådana bråk finns det?

Skriv ett bråk som är större än

Utmaningen Gamma, sid 2–10

28

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 28

2013-04-18 13.46

Taluppfattning och huvudräkning 1

a) 7 · 3 b) 40 · 8 c) 9 · 500

2

3

Vilka tal pekar pilarna på? a

0

4

b

1

2

Skriv talen med siffror. a) tretusen tvåhundratio b) tjugofemtusen åttiofem

c

3

4

5

6

d

7

8

Hur lång tid har det gått mellan klockslagen? a) b) 11 12 11 12 1 11 12 1 10

2

9

3 8

10

4 7

6

8

5

6

6

6

7

8

9

4 7

6

5

Eftermiddag

Vilket av talen är störst och vilket är minst?

2,19 2,2 2,189 2,199

2,099

Skriv volymen i liter. a) 15 dl b) 70 cl

c) 2 000 ml

Avrunda 2 864,9 till a) hundratal

c) heltal

Vilket tal saknas?

1 ? a) 3 = 2 2

3 8

5

Förmiddag

5

2

9

4 7

5

1

10

3 8

4 7

11 12 2

9

3

10

1

10

2

9

9

b) tiotal

b)

?

4

=2

1 4

c)

17 5

= ?

2 5

Julia räknar ofta så här när hon subtraherar:

10 2– 93 = 7 + 2 = 9 10 Skriv vikten i kilogram. a) 17 hg

Räkna på samma sätt. a) 104 – 95 b) 209 – 196 c) 203 – 189

b) 900 g

c) 2,3 ton

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 29

29

2013-04-18 13.46

Hur stor är delen?

1.4

I en påse finns det 12 plommon. Samuel äter upp en tredjedel av plommonen. Genom att dividera 12 med 3 kan du räkna ut att han har ätit 4 plommon.

I det här exemplet är: det hela – 12 plommon 1 3 – 4 plommon

andelen – delen

En timme senare har Samuel ätit upp två tredjedelar av alla plommonen.

Hur många har han ätit då?

Här måste vi räkna i två steg.

En tredjedel av 12 plommon är 4 plommon.

Två tredjedelar är dubbelt så mycket som en tredjedel. Det innebär att Samuel har ätit 2 · 4 plommon = 8 plommon.

EXEMPEL

Hur mycket är a)

1 av 20 kr 5

b)

3 av 60 kg 4

1 20 av 20 kr = kr = 4 kr 5 5 Du har 0 ental och ska ta bort 8 ental.

1 växlar ner 1 tiotal 60 till Det går inte utan b) attavdu60 kg = kg = 15 kg 10 ental: 10 – 8 = 2 4 4 Du har 7 tiotal kvar: 7 – 4 = 3 Subtrahera hundratalen: 2 – 0 = 2 3 av 60 kg = 3 · 15 kg = 45 kg 4 a)

Svar: a) 4 kr

30

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 30

Räkna först ut hur mycket 1 3 av 60 kg av 60 kg är.

4 4 är tre gånger så mycket.

b) 45 kg

30

2013-04-18 13.46

ETT Hur mycket är 89

a)

1 av 18 får 2

b)

1 av 24 hästar 3

c)

1 av 12 hönor 6

90

a)

1 av 10 valpar 5

b)

2 av 10 valpar 5

c)

3 av 10 valpar 5

91

Joakim hade 1 500 kr. Han köpte en tröja för en tredjedel av pengarna. a) Vad kostade tröjan? b) Hur stor andel av pengarna hade Joakim kvar?

92

I en kulpåse ligger det 18 kulor. Två tredjedelar av kulorna är gröna. a) Hur många kulor är gröna? b) Hur stor andel av kulorna är inte gröna?

93

94

ZZ 95

1 Jesper har 80 kr. Han köper en glass för av pengarna.

4 a) Hur mycket kostar glassen? b) Hur stor andel av pengarna har Jesper kvar?

Ett lag i handboll har 16 spelare. Tre fjärdedelar av spelarna har fyllt 12 år. a) Hur många spelare har fyllt 12 år? b) Hur stor andel av spelarna har inte fyllt 12 år ännu?

Vilket påstående är rätt? Förklara hur du kan veta det.

A:

2 1 är ett större tal än 8 4

B:

2 1 är ett mindre tal än 8 4

C:

2 1 är lika mycket som 8 4

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 31

31

2013-04-18 14.17

TVÅ Hur mycket är 96

a)

1 av 24 kg 4

b)

2 av 27 får 3

c)

97

a)

1 av 20 kg 5

b)

4 av 20 kg 5

c) 0,1 av 50 liter

98

Daniel och Julia ska dela på 40 kr. Daniel ska ha två femtedelar och Julia resten. a) Hur många kronor får var och en? b) Hur stor andel av pengarna får Julia?

99

I klass 6A är det 25 elever. Tre femtedelar av dem gillar fotboll.

Hur många i klassen gillar fotboll?

100

En fotbollsmatch är 90 minuter. Hur många minuter har spelats när 2 man har spelat 3 av matchen?

101

En bok har 240 sidor. Erik har läst tre åttondelar av boken. a) Hur stor andel har han kvar att läsa? b) Hur många sidor har Erik kvar att läsa?

ZZ 102

32

5 av 12 kr 6

Förklara med ett exempel skillnaden mellan andel och del.

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 32

2013-04-18 14.17

TRE 103

Sara springer en bana i skogen. Banan är 2 400 m lång.

När Sara har sprungit tre fjärdedelar av banan stannar hon och vilar en stund. Hur lång sträcka har Sara sprungit då?

104

I en liten skola på landet går det 48 elever. Fem sjättedelar av dem åker skolbuss. a) Hur många elever åker skolbuss? b) Hur stor andel av eleverna tar sig till skolan på annat sätt?

105

Längden av en rektangel är 8 cm. Bredden är 0,75 av längden. a) Hur bred är rektangeln? b) Rita rektangeln. c) Hur stor area har rektangeln? d) Måla eller skugga en tredjedel av rektangelns yta.

106

Vilket tal saknas?

1 a) 1 h = ? min 2 2 b) ? mån = år 3 c) 0,2 min = ? s

107

Hur många minuter har det gått när a) minutvisaren vridit sig tre fjärdedels varv? b) timvisaren vridit sig ett tredjedels varv? c) sekundvisaren vridit sig två och ett tredjedels varv?

108

11 12

1

10

2

9

3 8

4 7

6

5

Hur stor andel av ett dygn är a) 8 h b) 6 h c) 3 h Svara gärna med ett bråk som har så liten nämnare som möjligt.

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 33

33

2013-04-18 14.17

109 Z Z

Vilket erbjudande är bäst? Förklara hur du tänker.

Köp 3 par strumpor – betala för 2!

Köp 4 par strumpor – betala för 3!

FYRA

EXEMPEL

På Broskolan läser 18 elever hemspråk. Det motsvarar två tiondelar av skolans alla elever. Hur många elever går på Broskolan?

1 av alla elever är 9 elever 10

2 Du vet att av eleverna är 18 elever.

10 1 lika med 9 elever.

Då är 10

10 av alla elever är 10 · 9 elever = 90 elever 10

Du har 0 ental och ska ta bort 8 ental.

Det går inte utan att du växlar ner 1 tiotal till 10 ental: 10 – 8 = 2 Du har 7 tiotal kvar: 7 – 4 = 3 Subtrahera hundratalen: 2 – 0 = 2

Svar: Det går 90 elever på Broskolan.

110

10 Alla eleverna motsvarar .

10 1 är 9 elever, Eftersom 10 10 tio gånger så många. så är 10

Hur lång är en svart mamba?

Svara i meter.

Den svarta mamban är en av världens giftigaste ormar.

När en svart mamba ska anfalla kan den resa sig 80 cm över marken, vilket motsvarar en tredjedel av ormens hela längd.

34

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 34

2013-04-18 14.17

4 av eleverna i klassen.

9 a) Hur stor andel av eleverna är pojkar? b) Hur många elever går i klass 6B?

111

I klass 6B finns det 12 flickor. Det är

112

I en brandkår är 0,7 deltidsbrandmän. De övriga 12 jobbar heltid.

Hur många brandmän har den brandkåren?

113

Emelie har sorterat 210 av idolbilderna i sin samling. Hon har en fjärdedel kvar att sortera. Hur många idolbilder har Emelie?

114

Aram är på väg till Norrköping. När han har kört fem åttondelar av sträckan passerar han den här skylten. Hur långt har Aram kört då?

115

I en fruktträdgård finns 24 st äppelträd vilket motsvarar 0,4 av alla fruktträd.

4 En tredjedel av träden är päronträd och är körsbärsträd. Hur många 15 päronträd och hur många körsbärsträd finns det?

ZZ 116

1 1 + kan man räkna ut ett närmevärde så här: 2 3 1 1 + ≈ 0,5 + 0,33 = 0,83 2 3 Hur kan man räkna ut ett exakt svar?

När man ska räkna ut

Utmaningen Gamma, sid 2–10

1 • Tal och räkning

001-062 GAMMA_Kapitel_1.indd 35

35

2013-04-24 09.04

Matematikboken

I Matematikboken Gamma hittar du: • Centralt innehåll i enlighet med kursplan 2011 • Tydlig struktur • Målsidor • Gemensamma genomgångar med typexempel • Uppgifter på fyra svårighetsnivåer • Väl avvägd progression • Sammanfattningar av begrepp och formler efter varje kapitel

gamma

• Träning av olika matematiska kompetenser • Uppgifterna är av varierande karaktär och växlar mellan: ellan: Färdighetstränande | Kommunikativa | Laborativa | Undersökande | Problemlösande | Tematiska

Gamma Matematikboken finns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.

Matematikboken Alfa, Beta, Gamma är avsedda för årskurserna 4–6.

Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, lennart.undvall@gmail.com respektive 070-320 38 62.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

gamma Matematikboken

Till Matematikboken Gamma hör följande böcker: • Grundbok (med facit) • Utmaningen • Bashäfte • A-boken • B-boken • Lärarhandledning • Onlinebok Grundbok

Best.nr 47-10988-3 Tryck.nr 47-10988-3

4710988_Gamma_OMSL_tryck1.indd 1

Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén

2013-04-24 08.43