3 Förenklingarna här nedanför är alla felaktiga. Visa hur rätt svar ser ut.
a) (x + 2)2 = x2 + 22
b) (3a − b)2 = 3a2 − 6ab + b2
c) (y − 1)2 = y2 − 2y − 1
d) (x − 5)(x + 2) = x2 − 10
4 Förenkla med hjälp av kvadreringsreglerna.
a) (2x + 3y)2 = = =
b) (3x − 4y)2 = =
c) (5a − 2b)2 =
d) (0,4x + 0,5y)2 =
d) (5 − 2a)2 =
Kvadreringsreglerna
1 a) x2 + 2x + 1
b) x2 + 8x + 16
c) y2 + 10y + 25
d) 9x2 + 18x + 9
2 a) x2 − 2x + 1
b) x2 − 8x + 16
c) 9x2 − 12x + 4
d) 25 − 20a + 4a2
3 a) x2 + 4x + 4
Kommentar: Missat dubbla produkten.
b) 9a2 − 6ab + b2
Kommentar: Missat att (3a)2 = 9a2 .
c) y2 − 2y + 1
Kommentar: Fel tecken på 1.
d) x2 − 3x − 10
Kommentar: Inte multiplicerat alla termer.
4 a) 4x2 + 12xy + 9y2
b) 9x2 − 24xy + 16y2
c) 25a2 − 20ab + 4b2
d) 0,16x2 + 0,4xy + 0,25y2
Lös andragradsekvationerna.
1 x2 = 4 x = ±√4 x1 = 2 och x2 = −2
3y2 − 1 = 2y2 + 5,25 Ekvationer av typen x2 = a
2y2 = 98
2 x2 = 36
10y2 − 100 000 = 0
3 x2 = 1
7 = 7 + 2x2
4 x2 = −16
x2 + 3 = 4
5 x2 = 0,25
Ekvationer av typen x2 = a
1 x1 = 2 och x2 = −2
2 x1 = 6 och x2 = −6
3 x1 = 1 och x2 = −1
4 Ekvationen saknar lösning.
5 x1 = 0,5 och x2 = −0,5
6 y1 = 7 och y2 = −7
7 y1 = 100 och y2 = −100
8 x = 0
9 Ekvationen saknar lösning.
10 y1 = 2,5 och y2 = −2,5
pq-formeln
pq-formeln
En andragradsekvation av formen x2 + px + q = 0 har lösningarna
x1 = –p 2 + √ ( p 2 )2 – q och x2 = –p 2 – √ ( p 2 )2 – q
1 Lös andragradsekvationerna med pqformeln.
a) x2 − 10x + 9 = 0
x = 5 ±√(−5)2 − 9 = 5 ±√25 − 9
x = 5 ±√16
x = 5 ± 4
x1 = 5 + 4 = 9 och x2 = 5 − 4 = 1
b) x2 − 4x − 5 =0
2 Skriv först ekvationerna i formen x2 + px + q = 0 och lös dem sedan med pqformeln.
a) x2 + 8 = 6x
b) x2 + 14x = 23,25
c) x2 + 8x + 12 = 0
c) 12 − x2 = 4x
d) x2 + 2x − 80 = 0
d) 4y2 + 8y = −4
3 Lös andragradsekvationerna med pqformeln.
a) x2 + 3x − 4 = 0
c) 40x = −100 − 5x2
d) x2 9 − 2x + 9 = 0
b) 10x2 − 70x + 60 = 0
1 a) x1 = 9 och x2 = 1
b) x1 = 5 och x2 = −1
c) x1 = −2 och x2 = −6
d) x1 = 8 och x2 = −10
2 a) x1 = 4 och x2 = 2
b) x1 = 1,5 och x2 = −15,5
c) x1 = 2 och x2 = −6
d) y1 = y2 = −1 (dubbelrot)
3 a) x1 = 1 och x2 = −4
b) x1 = 6 och x2 = 1
c) Ekvationen saknar lösning.
d) x1 = x2 = 9 (dubbelrot)
Repetitionsuppgifter kapitel 1
1 Förenkla uttrycken så långt som möjligt.
a) 3x + 8y + 5 + 4x – 5y – 2
b) 5(x + 4) – 2(x – 3)
c) 7ab + (5a + b) – (12a – 5b + 2ab)
2 Hanna är x år gammal. Vad betyder det att
a) Andreas är x – 32 år
b) Daniela är x 2 år
c) Jamie är 2x – 3 år
3 Lös ekvationerna
a) 2x 5 = 9
b) 3(x – 8) = 5x – 6
c) 12 – (y + 9) = y + 3
4 Ekvationen y – 3x = 7 har två obekanta.
a) Vilket värde har y om x = 5?
b) Ge ytterligare ett exempel på tal x och y som löser ekvationen.
5 Jamilla har börjat planera en fest.
Hyra tält: 4 500 kr
Buffé: 195 kr per person
a) Skriv ett uttryck för den totala kostnaden om det kommer x personer.
b) Skriv en formel för vad festen kostar per person.
6 Morgan tjänar 23 500 kronor per månad och betalar 28 % av lönen i skatt. För att ta reda på hur mycket han kan lägga undan till sparande varje månad gör han en månadsbudget.
a) Vilken formel ska stå i cell B11?
b) Hur mycket får Morgan över till sparande varje månad?
7 Resultatbudgeten som beskrivs i texten på sidan 22 i läroboken ändras under andra kvartalet. Intäkterna från gymkorten blir 55 000 kr och från träningspassen 16 000 kr. Samtidigt minskar lönekostnaderna med 20 000 kr. Övriga intäkter och kostnader är desamma. Hur påverkar förändringarna resultatet?
8 När Lucas och Clara startade sitt gym tog de ett lån. Det lånet är i dag 500 000 kr.
I likviditetsbudgeten på sidan 23 i läroboken var räntesatsen 7,2 %. Hur skulle samma likviditetsbudget se ut om räntesatsen i stället var 12,8 %? Vad kan du dra för slutsatser?
9 (y – 1)(y – 8) är ett uttryck av andra graden. a) Förenkla uttrycket.
b) Beräkna värdet av uttrycket om y = 4.
10 Multiplicera och förenkla uttrycken så långt som möjligt.
a) (5x + 1)(10x + 2)
b) 7x – (3 + x)(2 – x)
Repetitionsuppgifter kapitel 1
11 Utveckla med hjälp av kvadreringsreglerna.
a) (x + 5)2
b) (3x – 4)2
c) 3(x + 4)2
12 Utveckla med hjälp av kvadreringsreglerna
(2a + 6)2 – (4a – 1)2
13 Utveckla med hjälp av konjugatregeln.
a) (10 + a)(10 – a)
b) (7x – 2y)(2y + 7x)
14 Lös ekvationen (x – 4)2 = (x + 2)(x – 2)
15 Faktorisera uttrycket 3x + 9x2 genom att bryta ut
a) x
b) största möjliga faktor
16 Faktorisera uttrycken med hjälp av kvadreringsreglerna eller konjugatregeln.
a) x2 – 6x + 9
b) 16x2 – 25
17 Lös andragradsekvationerna
a) x2 = 64
b) 2x2 + 40 = 0
18 Lös ekvationen x(x + 3) = 3x + 14 exakt. Skriv även lösningarna med en decimal.
19 Lös andragradsekvationerna
a) x2 + 11x = 0
b) (x + 24)(x – 2) = 0
20 Lös andragradsekvationen 9x2 = –15x
21 Skriv en andragradsekvation med rötterna x1 = 5 och x2 = 2.
22 Lös ekvationen x2 + 2x – 15 = 0 med hjälp av pqformeln.
23 Lös ekvationen x2 – 6x + 9 = 0 med hjälp av pqformeln.
24 Lös ekvationen 2x2 + 2x = –16
25 En tomt med arean 1 008 m2 har formen av en rektangel. Skillnaden mellan sidornas längder är 8 meter. Beräkna tomtens omkrets.
26 Lös andragradsekvationerna med hjälp av kvadratkomplettering.
a) x2 + 12x = 13
b) x2 – 8x + 10 = 0
Repetitionsuppgifter kapitel 1
1 a) 7x + 3y + 3
b) 3x + 26
c) 5ab – 7a + 6b
Exempel 1 s. 9
2 a) Andreas är 32 år yngre än Hanna.
b) Daniela är hälften så gammal som Hanna.
c) Jamie är dubbelt så gammal som Hanna, så när som på tre år.
Exempel 2 s. 9
3 a) x = 22,5
b) x = –9
c) y = 0
Exempel s. 13
4 a) y = 22
b) T.ex. x = 1 och y = 10.
Exempel s. 14
5 a) 4 500 + 195x
b) K = 4 500 + 195x x
Exempel s. 16
6 a) =B10*0,72
b)
Vi ser att Morgan kan spara ungefär 3 600 kronor varje månad.
Exempel s. 20
7 Det andra kvartalet gör de en förlust på 80 000 kr.
Exempel s. 23
Likvida medel vid periodens början 75
Inbetalningar
Gymkort, personlig träning, träningspass
marknadsföring, m.m.
utbetalningar
För att kunna göra alla utbetalningar under det tredje kvartalet, så måste de söka extern finansiering eller ta ytterligare ett lån.
Exempel s. 24
9 a) y2 – 9y + 8
b) När y = 4 är värdet av uttrycket –12.
Exempel 1 s. 28
10 a) 50x2 + 20x + 2
b) x2 + 8x – 6
Exempel 2 s. 28
Repetitionsuppgifter kapitel 1
11 a) x2 + 10x + 25
b) 9x2 – 24x + 16
c) 3x2 + 24x + 48
Exempel 1 s. 32
12 –12a2 + 32a + 35
Exempel 2 s. 32
13 a) 100 – a2
b) 49x2 – 4y2
Exempel s. 34
14 x = 2,5
Exempel s. 35
15 a) x(3 + 9x)
b) 3x(1 + 3x)
Exempel s. 36
16 a) (x – 3)2
b) (4x + 5)(4x – 5)
Exempel s. 37
17 a) x1 = 8 och x2 = –8
b) Ett tal i kvadrat kan inte vara negativt.
Därför saknar ekvationen lösning.
Exempel 1 s. 40
18 x1 = √14 ≈ 3,7 och x2 = –√14 ≈ –3,7
Exempel 2 s. 40
19 a) x1 = 0 och x2 = –11
b) x1 = –24 och x2 = 2
Exempel s. 42
20 x1 = 0 och x2 = –5 3
Exempel 1 s. 43
21 Ekvationen x2 – 7x + 10 = 0 har rötterna x = 5 och x = 2.
Exempel 2 s. 43
22 Ekvationen har två lösningar, x1 = 3 och x2 = –5.
Exempel 1 s. 46
23 Ekvationen har en lösning, x = 3.
Exempel 2 s. 46
24 Vi kan inte dra roten ur ett negativt tal.
Ekvationen saknar därför lösningar.
Exempel s. 47
25 Tomtens omkrets är 128 meter.
Exempel s. 50
26 a) x1 = 1 och x2 = –13
b) x1 = 4 + √6 och x2 = 4 – √6
Exempel s. 54
Syfte och centralt innehåll
I den här aktiviteten får eleverna skapa en enkel matematisk modell som visar hur höjden av ett brinnande tårtljus beror av tiden. Syftet med aktiviteten är att repetera begreppet linjärt samband och låta eleverna se exempel på hur matematiska modeller kan användas för att göra förutsägelser.
Aktiviteten passar bra som en introduktion till kapitel 2 i elevboken. Är man osäker på elevernas förkunskaper kan man välja att göra aktiviteten efter repetitionsavsnittet om koordinatsystem.
Materiel
Aktivitetsblad Tårtljuset, tårtljus med hållare, en bit lera eller liknande där eleverna kan fästa tårtljushållaren, linjal, tidtagarur och tändstickor.
Genomförande
Gå gemensamt igenom instruktionen. Dela därefter in eleverna i par och dela ut nödvändigt materiel till varje grupp. Elevernas uppgift är att mäta ljusets höjd var 30:e sekund i tre minuter och notera värdena i en tabell. Värdena prickar de sedan in som punkter i ett koordinatsystem med ljusets höjd på yaxeln och tiden på xaxeln. Genom att anpassa en rät linje till punkterna kan eleverna avgöra hur lång tid det skulle ta för ljuset att brinna ner. Var vaksam på om du behöver stötta några elever i hur man ritar ett korrekt koordinatsystem och hur man väljer en lämplig skala på axlarna.
Att lyfta fram Det kan vara givande att låta eleverna undersöka hur väl deras matematiska modell stämmer med verkligheten. Det kan du göra genom att uppmana dem att tända ljuset igen och ta tid tills det har brunnit ner. Hur väl stämde den matematiska modellen? Diskutera möjliga orsaker till eventuella avvikelser.
I den här aktiviteten används den matematiska modellen (grafen) för att förutsäga ljusets brinntid. Det kan vara bra att lyfta fram att syftet med matematiska modeller ofta är just att kunna göra förutsägelser. Matematiska modeller kan besvara frågor som: Hur många millimeter regn kommer i morgon? Hur många invånare kommer kommunen att ha om tre år? Hur lång tid tar det innan havsnivån stiger 5 cm? Eftersom de matematiska modellerna är en förenkling av verkligheten finns det dock alltid en osäkerhet i resultaten.
Utvidgning och variation
u De elever som snabbt blir klara kan få i uppgift att bestämma en formel som beskriver hur ljusets höjd beror av tiden.
u Återkom till aktiviteten i samband med avsnittet Från graf till ekvation och låt eleverna bestämma den ekvation som beskriver den räta linjen.
Tårtljuset
I den här aktiviteten får du undersöka hur lång tid det tar för ett tårtljus att brinna ner. Arbeta två och två. Ni behöver ett tårtljus, en linjal och ett tidtagarur.
u Mät höjden på ljuset.
u Tänd ljuset samtidigt som ni startar tidtagningen.
u Mät höjden på ljuset var 30:e sekund under 3 minuter. Anteckna avläsningarna i en tabell.
Tid (s) Höjd (cm) 0
u Rita två koordinataxlar med höjden på yaxeln och tiden på xaxeln.
Markera ljusets höjd vid de olika tidpunkterna som punkter i koordinatsystemet.
u Anpassa en linje till punkterna och avgör hur lång tid det tar för ljuset att brinna ner.
Problemlösning: Räta linjer
Värdet av k och m
1 En funktion f(x) = kx + m uppfyller sambanden f(1) = –2 och f(5) = 6. Bestäm värdet av konstanterna k och m.
Under rät vinkel
2 Linjen y = –2x 5 + 6 möter linjen y = kx i punkten P. Bestäm koordinaterna för punkten P så att linjerna möts under rät vinkel.
y P x
Fyrhörningen
3 De fyra linjerna y = 2x, y = x – 2, y = 3 och y = 6 innesluter tillsammans en fyrhörning i första kvadranten. Bestäm fyrhörningens area.
y x
Linje med villkor
4 En linje skär yaxeln i punkten A. Linjen går både genom punkten med koordinaterna (6, 5) och genom punkten B. Punkten B har ykoordinaten 7 och en xkoordinat som är fem gånger så stor som ykoordinaten för punkten A. Bestäm linjens ekvation.
y B A x (6, 5)
Problemlösning: Räta linjer
1 Utifrån informationen i uppgiften vet du att linjen går genom två punkter. Vilka? eller
Använd villkoren i uppgiften och sätt upp ett ekvationssystem i k och m.
2 Vilket värde har riktningskoefficienten k om linjerna är vinkelräta mot varandra?
3 Dela in figuren i två trianglar. Vad behöver du ta reda på för att kunna bestämma trianglarnas bas och höjd?
4 u Om punkt A har koordinaterna (0, m), vilka koordinater har då punkt B? u Skriv två olika uttryck för riktningskoefficienten k
Svar
1 k = 2 och m = –4
2 Punkten P har koordinaterna ( 60 29 , 150 29 )
3 Figuren har arean 12,75 a.e.
4 Det finns två linjer som uppfyller villkoren i uppgiften: y = x 2 + 2 och y = 2x + 63 15 .
Lungkapacitet
Syfte och centralt innehåll
I den här aktiviteten får eleverna undersöka om det finns något samband mellan längd och lungkapacitet och skapa en linjär modell.
Materiel
Spirometer (finns ofta att låna på biologiinstitutionen)
Teoretisk bakgrund
Lungvolymen är volymen av den luft som ryms i lungorna vid maximal inandning. Hos en frisk vuxen man är den ca 6 liter. Lungvolymen kallas även för total lungkapacitet. Efter en maximal utandning finns alltid en viss mängd luft (ca 1,2 liter) kvar i lungorna. Denna kallas för residualvolymen. Differensen mellan den totala lungkapaciteten och residualvolymen kallas för vitalkapaciteten. Det finns ett starkt samband mellan vitalkapacitet och personens längd. Det beror på att lungornas storlek står i relation till kroppstorleken och därmed ofta till personens längd. Vitalkapaciteten beror också på åldern. Enligt vissa normalvärden kan vitalkapaciteten V liter för män beräknas med formeln:
V = −4,654 + 0,061x − 0,028y, där x är längden i cm och y är åldern i år.
Genomförande
u Låt eleverna mäta sin vitalkapacitet med hjälp av en spirometer. Eftersom det kan kräva en del vana att blåsa i en spirometer ska de genomföra mätningen tre gånger och ta det högsta av värdena. Elevernas värden noteras i en tabell.
Vitalkapacitet (cm3) Längd (cm)
u Uppmana eleverna att göra ett spridningsdiagram över värdena i tabellen, gärna med hjälp av något digitalt hjälpmedel. Diskutera vilken typ av korrelation som värdena uppvisar. Hur stark är korrelationen?
u Låt eleverna anpassa en linje efter värdena och diskutera innebörden i linjens riktningskoefficient. Diskutera om man kan dra slutsatsen att det föreligger ett kausalt samband.
Utvidgning och variation
u I tabellen har vi valt att använda begreppet vitalkapacitet, eftersom det är den mest precisa termen för vad en spirometer mäter. Vill man förenkla språkbruket kan man välja ordet lungkapacitet eller lungvolym.
u Vitalkapaciteten V beror förutom på längd också på kön. Som en utvidgning kan man låta eleverna bestämma sambandet utifrån endast tjejernas respektive endast killarnas värden och undersöka om korrelationen då blir starkare.
u Enligt vissa normalvärden kan vitalkapaciteten V liter för män beräknas med formeln:
V = −4,654 + 0,061x − 0,028y där x är längden i cm och y är åldern i år. Diskutera formelns utseende. Vad betyder det att koefficienten framför x är positiv medan koefficienten framför y är negativ?
u Diskutera gärna med eleverna vilken nytta man kan ha av att bestämma en formel för sambandet mellan vitalkapacitet och längd. Ett användningsområde är inom vården. Om en person av en viss längd (och ålder) avviker markant från den förväntade vitalkapaciteten, så kan det tyda på att personen har en lungsjukdom eller en nedsättning av lungfunktionen.
u På nätet kan man hitta tabeller med utförliga referensvärden av vitalkapaciteten för män och kvinnor i olika åldrar. Det kan vara intressant att låta eleverna använda dessa tabeller för att finna linjära samband och jämföra med den modell som de skapade utifrån klassens värden.
Lungkapacitet
u Om man vill utveckla diskussionen kring korrelationens styrka, så kan man visa eleverna hur man bestämmer korrelationskoefficienten r
Om r = 1 föreligger perfekt positiv korrelation, dvs. alla värden ligger på en rät linje med positiv lutning. Om r = −1 föreligger perfekt negativ korrelation, dvs. alla värden ligger på en rät linje med negativ lutning. Ju närmare +1 respektive −1 som korrelationskoefficienten är, desto starkare är korrelationen.
u Man kan även använda elevernas värden för att undersöka om vitalkapaciteten är normalfördelad.
Gruppuppgift: Ekvationssystem
Syfte och centralt innehåll
Den här aktiviteten består av ett antal gruppuppgifter som alla kan lösas med hjälp av ett ekvationssystem. Varje elev i respektive grupp får en lapp med information, som kan bidra till lösningen av problemet. Elevernas lösningar kan sedan redovisas i helklass eller i tvärgrupper.
Genomförande
Förbered aktiviteten genom att välja ut vilken eller vilka uppgifter som du vill att eleverna ska arbeta med. Det finns tre gruppuppgifter att välja bland: Vad kostar resan?, Blanda te och En påse nötter. De två senare uppgifterna leder till ekvationssystem med tre obekanta. Till var och en av uppgifterna finns sex lappar med nödvändig information och två (valfria) lappar med överflödig information. Lapparna med överflödig information erbjuder möjligheten att göra uppgiften något svårare. Då tvingas eleverna att själva plocka ut den information som är relevant för att lösa problemet. (Se mer under rubriken Utvidgning och variation.) Klipp ut lapparna och problemformuleringen till respektive grupp.
Dela in eleverna i grupper. För att alla elever ska vara aktiva i problemlösningen kan det vara en god idé att hålla nere elevantalet i grupperna. Tre elever per grupp kan vara lagom. Dela ut lapparna med information så att varje elev i gruppen får två (eller ev. tre) lappar var. Problemformuleringen blir en egen lapp. Varje elev redogör muntligt för vad som står på hans eller hennes lappar och gruppen utnyttjar informationen för att tillsammans försöka lösa det givna problemet. Elevernas lösningar kan lämnas in, redovisas i helklass eller presenteras i tvärgrupper.
Lösning
Vad kostar resan?
Om v betecknar priset för en vuxen och b betecknar priset för ett barn, så får vi ekvationssystemet:
{ 0,75(v + b) = 9,30 ∙ 660
2v + 3b = 18 312
som har lösningen b = 1 944 och v = 6 240.
Svar: Resan kostar 1 944 kr för ett barn och 6 240 kr för en vuxen.
Blanda te
Om a, b och c betecknar vikten av de tre tesorterna mätt i kg, så får vi ekvationssystemet:
{ a + b + c = 0,5
155a + 130b + 190c = 75,50
b = c + 0,1
som har lösningen: a = 0,3, b = 0,15 och
c = 0,05.
Svar: Presentförpackningen ska innehålla 0,3 kg av sort A, 0,15 kg av sort B och 0,05 kg av sort C.
En påse nötter
Om s betecknar vikten av sötmandeln, j betecknar vikten av jordnötterna och c betecknar vikten av cashewnötterna mätt i gram, så får vi ekvationssystemet:
{ s + j + c = 175
0,2s + 0,25j + 0,15c = 30
s = 2j
som har lösningen: s = 37,5, j = 18,75 och
c = 118,75.
Svar: Nötblandningen ska innehålla 37,5 g sötmandel, 18,75 g jordnötter och 118,75 g cashewnötter.
Gruppuppgift: Ekvationssystem
Vad kostar resan?
Vad kostar resan till Kanarieöarna för en vuxen och vad kostar den för ett barn?
Familjen Davidson köper en resa till Kanarieöarna från resebyrån Reseguiden till ordinarie pris och betalar 18 312 kronor.
Lisa och Maria köper en ”sistaminutenresa” till Kanarieöarna från resebyrån Reseguiden och får 25 % rabatt på ordinarie pris.
Familjen Davidsson består av mamma, pappa och tre barn.
Lisa och Maria betalar tillsammans 660 euro.
Lisa är 32 år och Maria är 5 år.
Överflödig information:
Pappan i familjen Davidsson tjänar 28 000 kronor per månad.
