3.1 Linjära funktioner och exponentialfunktioner 126
Vad är en funktion? 126
Definitionsmängd och värdemängd 134
Exponentialfunktioner 138
3.2 Andragradsfunktioner................... 144
Grafen till en andragradsfunktion 144
Mer om grafen till en andragradsfunktion 149
Bestämma största eller minsta värde 155
3.3 Potensfunktioner
Potenser och potenslagar 160
Fler potenslagar 164
Potenser med rationella exponenter 166
Potensekvationer 169
Potensfunktioner 172
Samhälle & yrkesliv
Uppslaget
Koll på kapitlet
Blandade uppgifter
Kapiteltest
4
Statistik
4.1 Lägesmått
Lägesmått 192 Lägesmått i diagram 197
Lägesmått i kalkylprogram 203
4.2 Spridningsmått och
normalfördelning
Spridning kring medianen 210
Percentiler 217
Spridning kring medelvärdet – standardavvikelse 221
Normalfördelning 228 Uppslaget
5 Geometri
5.1 Avståndsberäkningar
Pythagoras sats 250 Avståndsformeln 254
5.2 Symmetri
Symmetri 257
Symmetrier i koordinatsystem 261
5.3 Trigonometri ...........................
Tangens 266
Sinus och cosinus 270 Beräkna vinklar med trigonometri 273 Areasatsen 277
5.4 Vektorer
Vad är en vektor? 280 Addition av vektorer 284 Vinkelräta komposanter 287 Vektorer i koordinatform 290
& yrkesliv
kapitlet
Ledtrådar
3 Funktioner
I det här kapitlet får du inledningsvis repetera att du kan
u beskriva vad en funktion är u tolka och använda skrivsättet f(x)
u beskriva vad som utmärker en exponentialfunktion
När du är klar med kapitlet ska du kunna
u ställa upp exponentialekvationer och lösa dem grafiskt
u lösa andragradsekvationer grafiskt
u rita grafen till en andragradsfunktion och bestämma nollställen, symmetrilinje och extrempunkt
u använda potenslagarna u lösa potensekvationer grafiskt och algebraiskt
u beskriva vad som utmärker en potensfunktion
u använda funktioner som matematiska modeller
Du ska kunna
Vi inleder varje kapitel med att formulera lärandemål. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.
Inledande aktivitet
De inledande aktiviteterna ger eleverna inblick i vad kapitlet kommer att handla om.
Aktiviteterna är utmärkta verktyg för att undersöka elevernas förkunskaper.
Gissa regeln
Om vi matar in ett tal i den här maskinen, skriver den ut ett annat tal enligt en hemlig regel.
2
Matar vi in talet −2 skriver maskinen ut −4. In Ut
Matar vi in talet 1 skriver maskinen ut talet 2,
och matar vi in 13 får vi resultatet 26.
Maskinens regel verkar vara att dubblera alla tal vi matar in.
u Det går att programmera maskinen så att den använder andra regler. Vilken regel använder maskinen när den ger följande tabell?
u Arbeta två och två. Hitta på en egen regel. Skriv ner några olika värden på x och beräkna de värden på y som regeln ger. Kan din kompis gissa din regel? Byt roller.
Vilka tal har samma värde?
√102 3√103 1000,5 (102 ∙ 102)1/4 √0,12 10−1
Nivå 1
3334 Beräkna utan räknare.
a) 811/2 b) 1001/2 c) 491/2
3335 Vilken av pilarna A−F pekar på talet a) 3√27 b) 3√125 c) 3√80
3336 Beräkna utan räknare.
a) 271/3 b) (−27)1/3 c) 81/3 d) (−8)1/3
3337 Beräkna med räknare och svara med två decimaler.
a) 297/6 b) 3001/2 c) 0,62/3
3338 Vilka av talen har samma värde?
641/2 3 271/3 23 811/4 √9 21/2
3339 Förenkla
a) x1/4 · x1/4 b) x3/2 x1/2 c) x5/2 x3/2
3340 Skriv som en potens med basen a a) 3√a b) a3 ∙ √a c) (4√a )3 a1/4
Nivå 2
3341 Avgör om påståendena är sanna eller falska.
A Tredjeroten ur 125 är 25.
B Fjärderoten ur 16 har samma värde som roten ur 4.
C Tredjeroten ur −1 000 har samma värde som fjärderoten ur 10 000.
Starter
Uppgifterna inleds med en Starter. Det är ofta en uppgift av öppen karaktär som bjuder in till olika lösningar och svar. Inte sällan är uppgiften konstruerad för att ge möjlighet att diskutera vanliga missuppfattningar.
3342 När Ali slår (−81)1/4 på räknaren får han ett felmeddelande. Förklara för Ali varför det blir så.
3343 Skriv talet 1 3√8 som en potens med basen 2.
3344 För vilket värde på x är likheten sann?
a) (71/x)4 = 72 b) (13x/6)2 = 13
c) (x1/5)5 = 19 d) (51/2)x = 25
3345 Potensen 93/2 kan skrivas (91/2)3
a) Beräkna värdet av 93/2 utan räknare.
Använd en liknande metod för att beräkna b) 45/2 c) (−27)2/3 d) 81−1/2
3346 Förenkla uttrycket så långt som möjligt (9a)1/2 ∙ 2a2 ∙ (4a)1/2 (Np Ma2a vt 2015)
Nivå 3
3347 Vilket är talet b om 3√√a = ab?
3348 Förenkla uttrycket så långt som möjligt x5/6(x1/3 + 1)(x1/3 − 1) x1/6 ∙ x1/3 (Np Ma2a vt 2015)
3349 Lös ekvationen 2 ∙ 27x + 2 ∙ 27x = 12 utan att använda räknare.
Potensekvationer
Sjukdomen ebola sprids snabbt i en stad. När vårdpersonal anländer har totalt 200 personer drabbats av smittan. Sju dagar senare har antalet smittade fördubblats. För att uppskatta hur snabbt smittan sprids kan vårdpersonalen beräkna med hur många procent antalet smittade ökar per dag.
Potensekvation Om vi antar att den procentuella ökningen är lika stor varje dag och att förändringsfaktorn är x, så kan vi ställa upp ekvationen
Teori och exempel
200 · x7 = 400 Efter 7 dagar har antalet smittade fördubblats
Den här typen av ekvation kallas potensekvation. När vi dividerar båda leden med 200 får vi
Att veta vad matematiken används till skapar motivation. I både teori och exempel ger vi exempel på matematikens relevans.
x7 = 2 När förändringsfaktorn verkar i 7 dagar innebär det en fördubbling
För att få x ensamt upphöjer vi båda leden till 1 7
Teori-genomgångarna är skrivna för att vara lätta att följa, utan att för den skull väja för det som är svårt. Exemplen är rikligt kommenterade och har utförliga förklaringar.
(x7)1/7 = 21/7 (x7)1/7
x ≈ 1,10 Vi använder räknaren för att beräkna 21/7
Förändringsfaktorn är 1,10. Antalet smittade ökade alltså med 10 % per dag.
Lösning till en potensekvation
u En potensekvation kan skrivas i formen xn = a, där x är det obekanta talet. Ett exempel är x7 = 2.
u När a > 0 har ekvationen den positiva lösningen x = a1/n = n√a .
Antal lösningar
Potensekvationen x7 = 2, som vi löste här ovanför, har bara en rot. Det gäller alla potensekvationer där exponenten är ett udda tal.
Om exponenten är ett jämnt tal kan ekvationen ha två rötter.
Potensekvationen x4 = 81 har till exempel rötterna x1 = 3 och x2 = −3, eftersom både 34 = 81 och (−3)4 = 81.
1351 För att uppskatta en hästs vikt V kg kan man mäta hästens bröstomfång b cm och dess längd l cm från halsens undersida till bärbensknölen och använda formeln
V = b2 ∙ l 11 900
1355 Anita tjänar 24 500 kr per månad. Hon får samma procentuella löneökning två år i rad och tjänar sedan 26 100 kr per månad. Hur stor var den procentuella ökningen varje år?
1356 Triangelns area är 54 cm2. Bestäm höjden x. (cm) x + 3 x
a) Uppskatta vikten av en häst med bröstomfånget 204 cm och längden 170 cm.
b) Vilket bröstomfång har en häst med längden 165 cm som väger 510 kg?
Förstoringsglas Uppgifter märkta med förstoringsglas är uppgifter där eleverna själva får ta reda på eller uppskatta den information som saknas. Uppgifterna övar modelleringsförmågan och lämpar sig för helklassarbete, eftersom olika antaganden leder till olika svar.
1352 Av 60 meter staket vill Charlie skapa en 200 kvadratmeter stor rektangulär rastgård till sin hund. Längden på rastgården är x meter och bredden är 30 − x meter. Ge två förslag på vad längden och bredden kan vara.
1353 En boll kastas från ett torn. Efter t sekunder befinner sig bollen h meter över marken där
h = 155 − 15t − 5t2
a) Från vilken höjd kastades bollen?
b) Vilket värde har h när bollen slår i marken?
c) Hur lång tid tar det för bollen att nå marken?
1354 Hur lång är rektangelns omkrets?
71nn Bromssträckan s meter för en bil beräknas med formeln s = v2 250 ∙ f där v km/h är hastigheten och f är ett friktionstal som är 0,8 på torr asfalt och 0,1 på slät is. En höstdag hittar polisen 40 meter långa bromsspår vid en olycksplats. Hur snabbt körde föraren?
1358 I en rektangel är höjden 7,0 cm kortare än basen. Bestäm rektangelns omkrets, om dess area är 40 cm2.
1359 För vilket värde på x är areorna lika stora? x + 3 2x 2x 2x
1360 En halvcylinderformad bakform ska ha längden 24 cm och rymma 2,0 liter deg. Vilken diameter ska formen ha?
24 cm d = ?
+ 2
1357
1361 Formeln y = −0,2x2 + x + 2,0 beskriver kastbanan för en basketboll, där y är bollens höjd i meter då den färdats x meter horisontellt.
a) Vilken höjd har bollen då kastbanan startar?
b) Hur långt har bollen färdats horisontellt då den är på höjden 3,0 m?
1362 Bilden visar tre figurer av rutor. Fler figurer kan bildas enligt samma mönster.
Figur 1 Figur 2 Figur 3
1364 Ammar ska lägga klinker kring sin 4,0 × 8,0 meter stora pool. Han har 58 m2 klinker och klinkergången ska vara lika bred överallt. Beräkna bredden på klinkergången om all klinker går åt.
1365 Låt x − 1, x och x + 1 vara tre positiva heltal. Produkten av dem är fem gånger så stor som deras summa. Vilka är de tre talen?
1366 Det finns två samband mellan rötterna till en andragradsekvation och koefficienterna till ekvationen.
Uppgifter på tre nivåer Till varje avsnitt finns rikligt med uppgifter, både för den elev som behöver enkla ingångar och för den elev som behöver utmaningar.
a) Skriv ett uttryck för antalet rutor i figur n.
b) Vilket nummer har den figur som har 53 592 rutor?
Nivå 3
1363 Begränsningsarean av en rak cirkulär cylinder beräknas med formeln
A = 2πr2 + 2πrh. Bestäm r om A = 300 cm2 och h = 10,0 cm.
Om x1 och x2 är lösningar till ekvationen x2 + px + q = 0, så är
x1 + x2 = −p och x1 ∙ x2 = q
Visa att
a) x1 + x2 = −p b) x1 ∙ x2 = q
1367 Max har upptäckt att om q är negativt i ekvationen x2 + px + q = 0, så är alltid den ena roten positiv och den andra negativ. Han kan inte riktigt förstå varför det blir så, men Mollie säger att det är enkelt. Hjälp Mollie att förklara för Max varför hans upptäckt stämmer.
Normalfördelning
Normalfördelning
När man slår en tärning många gånger blir utfallet ungefär lika många 1:or som 6:or. De möjliga utfallen är jämnt fördelade.
Andel (%)
Utfall
När man undersöker längden hos alla 16-åringar i Sverige blir utfallet ett annat. De flesta 16-åringar har nämligen en längd nära medellängden, medan det är få 16-åringar som är extremt korta eller extremt långa. Antalet observationer är koncentrerade kring medelvärdet och avtar symmetriskt ju längre bort från medelvärdet man kommer. Observationer som fördelar sig på det här sättet sägs vara normalfördelade.
Längd (cm)
Normalfördelningskurva Varje normalfördelat statistiskt material kan beskrivas med en normalfördelningskurva. Den har formen av en kyrkklocka och är alltid symmetrisk kring medelvärdet.
På x-axeln finns observationsvärdena, till exempel 16-åringarnas längd i centimeter. På y-axeln finns det ingen skala och man kan inte göra några direkta avläsningar i y-led. Det enda man kan avläsa från en normalfördelningskurva är hur stor andel av observationerna som ligger mellan två observationsvärden, t.ex. hur stor andel av alla 16-åringar som är mellan 150 cm och 160 cm långa. Det gör man genom att bestämma hur stor andel av arean under kurvan som ligger mellan de två observationsvärdena. Sådana beräkningar kan man göra med ett digitalt hjälpmedel.
I det här avsnittet kommer vi inte att arbeta med digitala hjälpmedel, men vi kan ändå göra avläsningar från normalfördelningskurvan. För alla normalfördelade material gäller nämligen att
I ett normalfördelat material sammanfaller alltså medelvärdet med medianen
u ca 50 % av observationerna ligger under respektive över medelvärdet
u ca 68,2 % av observationerna finns inom ±1 standardavvikelse från medelvärdet
u ca 95,4% av observationerna finns inom ±2 standardavvikelser från medelvärdet
u ca 99,7 % av observationerna finns inom ±3 standardavvikelser från medelvärdet.
Medelvärdet betecknas ibland x i stället för μ
5124 Elias skriver ett datorprogram som får en sköldpadda att röra sig i en bana mellan fem punkter i ritfönstret. Hur lång sträcka har sköldpaddan rört sig då den har gått ett varv runt banan?
(0, 150) (150, 0) (0, −50) (150, 150) (−100, 0)
−50
Resonemang och begrepp
Sant eller falskt
Avgör om påståendena är sanna eller falska.
Ó I en rätvinklig triangel är summan av kateterna lika med hypotenusan i kvadrat.
Ó Man kan rita en rätvinklig triangel med sidorna 20 cm, 21 cm och 29 cm.
Ó Längden av diagonalen i en rektangel kan beräknas med Pythagoras sats.
Nivå 3
5125 Punkten (3, a) ligger lika långt från origo som från punkten (1, 5). Bestäm talet a.
5126 En likbent triangel har hörnen i punkterna A = (5, 7), B = (9, 16) och C = (14, 11).
Sträckan AD är höjden från A till sidan BC. Beräkna längden av AD
5127 Andragradskurvan y = x2 och linjen y = 2x + 8 skär varandra i två punkter, A och B. Beräkna avståndet |AB|.
5128 Två punkter på linjen y = 2x + 1 ligger på avståndet 30 l.e. från origo. Bestäm punkternas koordinater.
1 x y
Kommunikationsuppgifter
Varje delkapitel avslutas med Resonemang och begrepp. Det är uppgifter som prövar elevernas begreppsförståelse och inbjuder eleverna att samtala matematik.
Fundera och förklara
Ì Förklara begreppen katet och hypotenusa för en kamrat.
Ì Vad menas med omvändningen av Pythagoras sats?
Ì Är avståndsformeln samma sak som Pythagoras sats? Förklara.
5.2 Symmetri
Avsnittet Symmetri finns även med i Matematik Origo nivå 1a.
Symmetri
Spegelsymmetri Titta på fjärilen här nedanför. Om vi drar en linje rakt igenom den, ser vi att linjen delar fjärilen i två delar som är varandras spegelbilder. Vi säger att figuren är spegelsymmetrisk. Linjen som delar figuren kallas symmetrilinje. Bilden av fjärilen har bara en symmetrilinje, men en figur kan ha flera symmetrilinjer.
Rotationssymmetri Propellern har en annan form av symmetri. När propellern har snurrat en tredjedels varv kommer den att se likadan ut som från början.
Programanpassning
En del avsnitt har vi valt att markera som programanpassning. Det ger dig som lärare möjlighet att anpassa innehållet efter din elevgrupp och efter de karaktärsämnen som eleverna läser.
Den minsta vinkel som propellern behöver snurra för att propellern ska se likadan ut är
360° 3 = 120°
Man säger att propellern är rotationssymmetrisk med vinkeln 120°. Den punkt som figuren roterar runt kallas rotationspunkt eller mittpunkt.
Translation I det här mönstret med kakelplattor kan man också hitta en symmetri. Följer vi mönstret fyra plattor åt höger, ser vi att mönstret upprepar sig. Man säger att kakelplattorna är ett exempel på translationssymmetri. En translation innebär att en figur har förflyttats ett bestämt avstånd i en bestämd riktning. Många tapeter och tygmönster har translationssymmetri.
Asymmetri En figur eller en bild som saknar symmetrier kallas asymmetrisk.
Vem har rätt?
1 Oscar, Fabian och Victor har bestämt linjens ekvation. Har någon av dem gjort rätt? −1 1 2 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 x y
Uppslaget
På Uppslaget finns uppgifter som särskilt tränar de matematiska förmågorna.
Problemlösning
1 Linjen y = x − 2 bildar tillsammans med koordinataxlarna en triangel. En annan linje, som går genom punkten (0, 2), bildar tillsammans med koordinataxlarna en triangel med dubbelt så stor area. Bestäm den linjens ekvation.
Oscar: y = − x 3 + 3
Fabian: y = − x 3 + 1
Victor: y = −3x + 1
2 Sally, Siv och Vera ska lösa ekvationssystemet
{ 2x + 3y = 1 x + y = 8
De påbörjar lösningen på olika sätt. Förklara hur de kan ha tänkt.
Sally: 2x + 3(8 − x) = 1
Siv: { 2x + 3y = 1 −3x − 3y = −24
Vera: 2(8 − y) + 3y = 1
3 En rät linje går genom punkterna (2, 3) och (6, 9). Tre elever diskuterar den räta linjens ekvation.
Lucas: Linjen måste ha positiv lutning eftersom båda punkterna har positiva koordinater.
Lova: Linjen måste ha ett positivt värde på m eftersom båda punkterna har positiva koordinater.
Matilda: Värdet på k är 1,5 eftersom 9 − 3 6 − 2 = 6 4 = 1,5
Har någon av dem rätt? Motivera.
2 Ett företag tillverkar och säljer två modeller av mobiltelefoner, modell A och modell B. Modell A är mer avancerad och har ett högre pris.
Vinsten per såld mobil är 1 500 kr för modell A och 1 000 kr för modell B.
En kontrollenhet genomför rutinmässiga kontroller av mobilerna. Detta tar i genomsnitt 4 minuter per mobil för modell A och 3 minuter per mobil för modell B.
Hur många telefoner måste man tillverka och sälja av varje modell för att vinsten ska bli 16 miljoner kronor och kontrollenheten ska arbeta i 750 timmar?
Modellering
1 De båda ljusen tänds samtidigt. Brinnhastigheten för det tunnare ljuset är 2 cm/h. Du får själv uppskatta brinnhastigheten för det tjockare ljuset. Efter hur lång tid är de lika höga?
2 I diagrammet ser du hur världsrekordet på 3 000 m hinder för herrar har förbättras med åren. Om man anpassar en rät linje till punkterna, kan den linjen vara en enkel modell för sambandet mellan världsrekordet och det årtal då det sattes.
Anders Gärderud, 1976
a) Rita av diagrammet och dra en rät linje som ligger så nära punkterna som möjligt.
Relevans
b) När borde den första löparen komma under 7 minuter och 45 sekunder, enligt modellen?
c) Vad borde världsrekordet vara år 2030 enligt modellen?
d) Diskutera vilka begränsningar modellen har.
Matematik i användning
Linjära samband används för att beskriva kostnader, intäkter och vinst i företag. Företaget Loppan & Lurman trycker och säljer Ttröjor. Kostnaden för att tillverka en tröja med tryck är 75 kr. Dessutom har företaget fasta kostnader på 45 000 kr. De säljer tröjorna för 250 kr per styck.
u Ställ upp formler som beskriver företagets kostnader respektive intäkter om de tillverkar och säljer x stycken Ttröjor.
När företaget har sålt så många tröjor att intäkter och kostnader är lika stora, säger man att man nått break even. Då börjar företaget göra vinst.
u Beräkna hur många tröjor företaget ska tillverka och sälja för att nå break even.
Vinsten som företaget gör är intäkterna minus kostnaderna.
u Teckna och förenkla en formel för vinsten V kr när man tillverkar och säljer x stycken Ttröjor.
u När Ebba beräknar vinsten för 80 st Ttröjor får hon värdet −31 000. Har hon räknat fel? Tolka hennes svar.
I Matematik i användning får eleverna se konkreta exempel på hur matematiken används i samhället.
Carl Friedrich Gauss och gausskurvan avbildade på en tysk tiomarksedel.
Normalfördelning som modell
Gausskurva
Normalfördelning är en viktig modell för statistiska presentationer och beräkningar. Mätresultat från naturen och från samhället visar sig till exempel ofta vara normalfördelade. Det beror på att verkliga parametrar ofta uppvisar små, oberoende, slumpmässiga variationer. Ett exempel på ett normalfördelat material är nyfödda bebisars vikt. De flesta har en vikt nära medelvärdet, men frekvensen minskar ju längre bort från medelvärdet man kommer.
Tysken Carl Friedrich Gauss (1777–1855) var den som praktiskt visade hur normalfördelningskurvan kan användas som en matematisk modell. Därför kallas kurvan ibland för en gausskurva
Stanine-skala
När man mäter fysiska och psykiska egenskaper i en hel befolkning är resultaten ofta normalfördelade. Det gäller till exempel egenskaper som läsförmåga, längd, vikt och muskelstyrka. Om vi tar muskelstyrka som exempel, så innebär det att de flesta har en muskelstyrka nära medelvärdet, medan det är få som är mycket svaga eller mycket starka. Ett sätt att visa fördelningen är att dela in befolkningen i en niogradig normalfördelad skala, med medelvärdet 5, enligt figuren här nedanför.
Samhälle och yrkesliv I avsnittet Samhälle och yrkesliv sätter vi matematiken i ett historiskt eller samhälleligt sammanhang och lyfter fram hur den används i yrkeslivet.
Normalfördelningskurvorna visar hur längderna hos mönstrande kvinnor och män fördelade sig år 2008. Vilken kurva visar männens längder och vilken visar kvinnornas? ?
Om vi skulle mäta hela befolkningens muskelstyrka, skulle alltså ca 20 % av befolkningen hamna i klass nummer 5, nära medelvärdet, medan bara 4 % skulle hamna högt över medelvärdet, i klass 9.
Genom att låta enskilda individer eller mindre grupper genomföra testerna, kan man se hur individerna presterar jämfört med hela befolkningen. På så sätt kan man upptäcka om ett spädbarn är underviktigt och behöver vård, om en elev behöver extra hjälp med läsningen eller om en sökande till värnplikten är extra lämplig för att utbildas till jägare. Därför används stanine-skalor såväl inom vården och skolan som vid mönstringen till värnplikten.
Du ska kunna Exempel
4.1 Lägesmått s. 192−209
beräkna lägesmåtten medelvärde, median och typvärde utan digitalt hjälpmedel
Självskattning
beräkna lägesmåtten medelvärde, median och typvärde med digitalt hjälpmedel
Observationer: 2, 5, 2, 7, 3
Medelvärde = 2 + 5 + 2 + 7 + 3 5 = 19 5 = 3,8
Medianen är det mittersta värdet: 2, 2, 3, 5, 7
Typvärdet är det vanligaste värdet: 2
Sammanfattning
Medelvärde och median kan beräknas med klassmitten.
Medelvärde = 150
Median: 150 Det mittersta värdet (4:e observationen) ligger i den vänstra stapeln, vars klassmitt är 150
I Koll på kapitlet sammanfattar vi innehållet i kapitlet utifrån de lärandemål vi formulerade i inledningen. Till varje lärandemål finns både konkreta exempel och en självvärdering.
Summan: =summa(B2:B5)
Medelvärdet: =medel(B2:B5)
Medianen: =median(B2:B5)
Typvärdet: =typvärde (B2:B5)
4.2 Spridningsmått och normalfördelning s. 210−235
bestämma spridningsmåtten variationsbredd och kvartilavstånd utan digitalt hjälpmedel
Variationsbredd är skillnaden mellan det största och det minsta värdet: 80 − 62 = 18
Kvartiler delar in observationerna i fyra lika stora delar.
Kvartilavstånd är skillnaden mellan övre och nedre kvartil:
75 − 70 = 5
Nivå 1
1 Låt f(x) = −5x + 12.
a) Beräkna f(3).
b) Beräkna f(−2).
c) Lös ekvationen f(x) = 27.
2 Låt f(x) = 3x3 − 7x − 4. Beräkna
a) f(0) b) f(1) c) f(−2)
3 Använd figuren för att lösa uppgifterna.
a) Bestäm f(0) och g(0).
b) Lös ekvationen f(x) = 2.
c) Lös ekvationen g(x) = 1.
d) För vilket värde på x är f(x) = g(x)?
e) Vilken symmetrilinje har f(x)?
f) Vilka koordinater har minimipunkten för g(x)?
4 Ett företag för ljudböcker använder funktionen y = 21 000 · 1,08t för att uppskatta hur många användare företaget förväntas ha efter t månader. Vad står talen 21 000 och 1,08 för i funktionsuttrycket?
5 År 2024 hoppade Mattias 420 cm i längd. Under en period därefter förbättrade han sitt personliga rekord med i genomsnitt 7 % per år. Skriv ett funktionsuttryck som visar hur hopplängden l cm beror av tiden t år efter år 2024.
6 Lös ekvationen 4,9x2 − 9,8x = 9,25 grafiskt.
7 Bestäm extrempunkten till funktionerna. Ange även om det är en maximipunkt eller en minimipunkt.
Blandade uppgifter
a) f(x) = x2 − 4x + 3
b) g(x) = −x2 − 6x − 5
c) h(x) = 2x2 − 20x + 4
I Blandade uppgifter finns extra övningsuppgifter till kapitlet. Här får eleverna öva på samtliga begrepp och metoder i kapitlet, utan någon inbördes ordning.
8 En andragradsfunktion har ett nollställe för x = −4 och symmetrilinjen x = 1. Vilket är funktionens andra nollställe?
9 Grafen visar en del av funktionen f. y x 10 1
a) Ange funktionens symmetrilinje.
b) Vilka är funktionens nollställen?
10 Trädgårdsföreningen köper en ny gräsklippare för 15 000 kronor. Värdet minskar med 3 000 kronor per år.
a) Skriv ett funktionsuttryck som visar gräsklipparens värde efter x år.
b) Vilken är funktionens definitionsmängd och värdemängd?
11 Förenkla uttrycken med hjälp av potenslagarna.
a) (a4)3 b) b5 · b2 b4
c) (10b2)4 d) ( x 2 ) 3
12 Skriv utan potenser
a) 5 ∙ 2−1 b) 2 ∙ 5−1 c) 2−1 ∙ 2−1
13 Skriv som en potens med basen 2
a) 1 2 b) 1 32 c) 1
14 Lös ekvationerna
a) x4 = 13 b) x3 = −8 c) x6 = −11
15 Tanja och Nadja vill beräkna 1601/4. Tanja slår 160^1/4 på miniräknaren, och får resultatet 40. Nadja skriver in 160^1/4 i GeoGebra och får resultatet 3,557.
a) Vem har rätt?
b) Varför får den andra eleven fel resultat?
16 Funktionen N(t) = 5 000 · 1,3t beskriver antalet bakterier i en odling efter t timmar.
a) Hur många bakterier fanns i odlingen från början?
b) Med hur många procent ökar antalet bakterier varje timme?
17 En ort som har 200 000 invånare är inne i en period där invånarantalet ökar med 1,5 % varje år. Hur många kommer att bo på orten om 10 år om ökningen håller i sig?
18 Vilka nollställen har andragradsfunktionen g(x) = 2x2 + 8x − 8? Svara exakt.
19 Utgå från exponentialfunktionen f(x) = C · ax
a) Beskriv hur grafen till funktionen ser ut om C = 50 000 och a = 1,2.
b) Beskriv hur grafen ändras om värdet på C ändras.
c) Beskriv hur grafen ändras om a är mindre än 1.
Nivå 2
20 Ange värdemängd och definitionsmängd till funktionen som är ritad här nedanför. y x 1 1 y = f(x)
21 Annas aktier är värda 5 000 kr. De minskar i värde under en vecka (5 dagar) med 2,3 % per dag. Hur mycket är de värda efter den veckan?
Kapiteltest
1 Vilken punkt ligger inte på linjen y = −8x + 10 ?
1 (0, 10)
X (−2, −6)
2 (1, 2)
2 Vilken ekvation beskriver en linje som är parallell med linjen i figuren?
1 y = 0,5x + 1
X y = 2x + 2
2 y = 2x − 1
3 Vilken är lösningen till ekvationssystemet?
{ y = 3x + 1 y = −2x + 6
1 x = 3 och y = 10
X x = 1 och y = 8
2 x = 1 och y = 4
Del 1
6 En rät linje skär y-axeln vid y = 7. Värdet på y minskar med 4 när x ökar med 3. Vilken linje beskrivs?
1 y = 4x 3 − 7
X y = − 3x 4 + 7
2 y = − 4x 3 + 7
7 Vilken ekvation har linjen som visas i figuren?
1 y = x 3 + 3
X y = x 3 − 3
2 y = −3x + 3
Kapiteltest
Sist i varje kapitel ligger ett test, som knyter an till lärandemålen i kapitlets inledning. Det ger eleverna möjlighet att själva kontrollera sina kunskaper. Testet är indelat i två delar: en del med flervalsfrågor och en del där eleverna ska redovisa sina lösningar.
4 Tabellen visar ett samband mellan x och y. Hur kan man beskriva sambandet med en ekvation?
1 y = x − 3
X y = x + 2
2 y = −x − 3
5 Den räta linjen 4x − 2y + 18 = 0 är skriven i allmän form. Hur skrivs samma linje i formen y = kx + m?
1 y = 2x + 9
X y = −2x + 9
2 y = −2x − 9
8 Snödjupet är 150 cm och minskar med 3 cm per dygn under våren. Vilken formel beskriver snödjupet d cm efter n dagar?
1 d = 150 − 3n
X d = 3n − 150
2 d = 150n − 3
9 En rät linje kan beskrivas med ekvationen y = kx + m där m > 0. Vilket av följande påståenden är alltid falskt?
1 Linjen kommer att skära x-axeln.
X Linjen kan gå genom origo.
2 Linjen kommer att skära y-axeln.
Del 2
10 En rät linje har riktningskoefficienten −2 och går genom punkten med koordinaterna (1, 8).
a) Bestäm linjens ekvation.
b) Skriv koordinaterna för ytterligare en punkt på linjen.
11 Tabellen visar ett samband mellan x och y.
a) Förklara hur man kan se att sambandet är linjärt.
b) Beskriv sambandet med en ekvation.
12 Lös ekvationssystemet grafiskt.
{ 2x + 2y − 10 = 0
2x − y = 4
13 På nöjesfältet Gröna Lund kan man välja mellan att köpa åkband eller att köpa kuponger.
Två åkband och 20 kuponger kostar
1 070 kr. Tre åkband och fem kuponger kostar
1 130 kr.
a) Ställ upp ett ekvationssystem som hjälper dig att bestämma priset på en kupong respektive ett åkband.
b) Lös ekvationssystemet.
c) Hur mycket kostar ett åkband respektive en kupong?
14 I koordinatsystemet är linjerna y = x + 5 och y = −2x ritade.
a) Bestäm skärningspunkten mellan linjerna.
Linjerna bildar tillsammans med koordinataxlarna två trianglar, en röd och en blå.
b) Visa med beräkningar att den röda triangeln har dubbelt så stor area som den blå.
15 Ett ekvationssystem kan ha noll, en eller oändligt många lösningar.
a) Ge exempel på ett ekvationssystem som har en lösning och ett exempel på ett ekvationssystem som saknar lösningar. Motivera dina val av exempel.
b) Bestäm talet t så att ekvationssystemet { 6x + 3y = 12 4x − ty = 26 saknar lösningar.
c) Kan man välja t så att ekvationssystemet här ovanför får oändligt många lösningar? Motivera.
&
Ledtrådar
1 Algebra
1.1 Uttryck, ekvationer och formler
1120 Tänk på förändringsfaktor.
1121 Vilket värde måste y ha för att uttryck A och B ska få samma värde? Prova att ställa upp en ekvation.
1122 Börja med att förenkla uttrycken. Undersök sedan när uttrycken är lika genom att ställa upp och lösa en ekvation. Vilken slutsats kan du dra?
1128 Utnyttja att triangelns vinkelsumma är 180°.
1130 Kom ihåg teckenreglerna för parenteser:
Minustecken framför parentes: Tecknen i parentesen ändras när parentesen tas bort.
Plustecken framför parentes: Parentesen kan tas bort utan att ändra tecken.
1157 Pröva i några exempel. Hur beräknar du Nicos totala skatt om han tjänar 35 000 kr, 40 000 kr, 42 000 kr? Hur beräknar du Nicos skatt om han tjänar x kronor, där x > 30 000 kr?
1.2 Andragradsuttryck
1215 b) Kom ihåg att sätta ut en parentes runt (x + 2)(x + 4) när du utför multiplikationen. Det är hela uttrycket som ska subtraheras från x2
1219 Rita en rektangel. Hur långa kan rektangelns sidor vara om deras produkt är x2 + 8x?
1224 Det skuggade områdets area är kvadratens area subtraherat med cirkelsektorns area.
1225 A2 = A ∙ A
1240 c) ( 1 3 ) 2 = 1 3 ∙ 1 3 = 1 ∙ 1 3 ∙ 3 = 1 9 d) ( x 2 ) 2 = x 2 ∙ x 2
Nyhet! Ledtrådar
1135 Kalla det ursprungliga priset för x. Utnyttja att 70 % av det ursprungliga priset motsvarar 5 600 kr. Ställ upp en ekvation.
1137 En ökning med 3 % motsvarar multiplikation med förändringsfaktorn 1,03.
1140 Börja med att förenkla högerledet. Vilken slutsats kan du nu dra?
1148 Vilken är förändringsfaktorn?
I slutet av boken, före facit, finns ledtrådar till vissa uppgifter. Ledtrådarna hjälper eleverna att komma i gång när de kört fast och är en bra resurs vid enskilt arbete hemma.
1150 Hur beräknar du färgåtgången om du vet väggens area? Testa i några exempel. Gör sedan samma beräkning men kalla arean för A.
1154 Hur kan du beräkna antalet prickar om du vet figurens nummer? Det kan bli lättare att hitta sambandet om du gör en tabell.
Figurens nummer Antal prickar
1155 Om det kommer a personer till vattenlandet, varav 60 % är barn, så är antalet barn 0,6a. Hur kan du uttrycka antalet vuxna?
Hur beräknar du intäkten om du vet antalet barn och antalet vuxna?
1156 Vilken variabel i formeln anger barnets ålder? Ersätt variablerna i formeln med de värden som är givna i uppgiften.
1241 Förenkla vänsterled och högerled var för sig. Visa att de är lika.
1243 a) Kom ihåg att sätta ut en parentes runt (2b + 3a)2 när du använder kvadreringsregeln. Det är ju hela uttrycket som ska subtraheras.
1245 Uttryck arean av den röda kvadraten på två sätt.
1.3 Andragradsekvationer
1307 b) Börja med att addera x2 till båda led.
1309 Börja med att bestämma längden av kvadratens sida.
1313 Ta hjälp av knepet i uppgift 1312.
1314 Anta att kvadratens sida är x m. Hur kan du nu uttrycka att arean av betesmarken är 500 000 m2?
1315 Tips! Titta på uppgift 1302.
1321 Tänk på nollproduktmetoden.
1323 Raketen slår i vattnet när höjden är 0 meter. Använd det för att ställa upp en ekvation.
1361 b) Du vet att y = 3 m. Vad är då värdet av x?
1362 a) Figur 1 1 ∙ 2 rutor
Figur 2 2 ∙ 3 rutor
Figur 3 3 ∙ 4 rutor
1364 Rita en figur och inför beteckningar. Utnyttja att arean av klinkergången ska vara 58 m2 för att ställa upp en ekvation.
1366 Börja med att uttrycka ekvationens rötter med pq-formeln.
2 Räta linjer och ekvationssystem
2.1 Koordinatsystem och linjära samband
2110 Rita punkterna (2, 4), (3, 6) och (4, 8) i ett koordinatsystem och dra en rät linje genom dem med hjälp av en linjal.
2112 Hur mycket stiger linjen för varje steg i x-led?
2114 Rita ett koordinatsystem och markera punkterna A och B. Hur lång är triangelns bas? Var måste triangelns tredje punkt ligga för att arean ska bli 24 areaenheter? Finns det mer än ett svar?
2115 b) Rita ut fler par av punkter och notera koordinaterna för mittpunkten. Ser du något mönster?
2126 Det kan vara svårt att direkt avläsa kostnaden per dag i diagrammet. Ett tips är att välja ut två punkter som är lätta att läsa av, t.ex. (2, 800) och (6, 2 000), och dra slutsatser utifrån dem.
2127 Hur mycket bensin gick det åt per mil? Hur mycket fanns det i tanken från början?
2128 Hur mycket sjunker temperaturen per meter över havet? Vad skulle i så fall temperaturen vara vid havsytan?
2209 Tänk dig att linjens y-värde t.ex. ökar med 2 för varje steg åt höger i x-led. Vilka andra punkter ligger då på linjen?
2210 Välj ett värde på x och bestäm vilket värde y har med hjälp av ekvationen.
2216 Hur förändras y-koordinaten när x-koordinaten ökar med 1?
2217 a) Om linjen går genom origo, så är x = 0, y = 0 en lösning till ekvationen. Pröva dig fram till vilka k och m som då är möjliga.
2.2 Räta linjens ekvation
2230 Att k = −2 betyder att y-värdet minskar med 2 för varje steg till höger i x-led. Var skär i så fall grafen y-axeln?
2231 Att lutningen är 3 betyder att y-värdet ökar med 3 för varje steg till höger i x-led. Var skär i så fall grafen y-axeln?
2233 Rita ett koordinatsystem. Var i koordinatsystemet ska punkten (a, b) placeras för att en linje genom (0, 0) och (a, b) ska ha negativ lutning? Vilka tecken har då a och b?
2245 Bestäm ekvationen för den linje som går genom två av punkterna. Undersök sedan om den tredje punkten ligger på samma linje.
2248 Tips! x2 − x1 = −(x1 − x2).
2265 Linjens k-värde anger hur antalet nyproducerade lägenheter har ökat per år. (Observera att linjens ekvation ska ange antalet nyproducerade lägenheter från och med år 2015, inte från och med år 2020.)
2267 Rita en figur.
2269 Ställ upp ett uttryck för linjens riktningskoefficient. Du behöver faktorisera täljaren för att kunna förenkla uttrycket.
2270 Vad kan du säga om kvadraternas sidor om du vet deras area? Vilka koordinater har då två av de punkter som linjen går genom?
2277 Börja med att skriva alla ekvationer i k-form.
2279 Vilka sidlängder kan rektangeln ha om den har arean 12 areaenheter? Rita en figur.
2284 Pricka in punkterna i ett koordinatsystem.
2285 Börja med att skriva ekvationen i k-form.
2286 Börja med att bestämma ekvationen för den röda linjen. I vilka punkter skär linjen koordinataxlarna?
2291 Börja med att skriva den högra ekvationen i k-form.
2293 Vilken riktningskoefficient måste den sökta linjen ha?
2295 Börja med att rita en figur. Bestäm sedan riktningskoefficienten för de linjer som tycks utgöra triangelns kateter. Är linjerna vinkelräta?
2296 Notera att punkten där linje L2 skär y-axeln är samma punkt där y = −3x − 2 skär y-axeln.
2298 Ställ upp ett uttryck för riktningskoefficienten för linjen genom de givna punkterna. Vilket värde måste riktningskoefficienten ha?
2.3 Ekvationssystem
2309 Skriv en formel för Noas kostnader och en formel för Noas intäkter. Rita de båda linjerna i ett koordinatsystem. Vad kan du dra för slutsats?
2310 b) Ekvationssystemet består av linjernas ekvationer.
2311 Börja med att skriva den andra ekvationen i k-form.
2312 Skriv en formel för Karins kostnader och en formel för Karins intäkter. Rita de båda linjerna i ett koordinatsystem. Vad kan du dra för slutsats?
2313 Hur skulle en figur kunna se ut som illustrerar problemet?
2314 Börja med att skriva ekvationerna i k-form.
2315 Börja med att skriva ekvationerna i k-form.
2320 a) Kalla talen för x och y. Skriv ett samband som visar att summan av talen är 131. Skriv ett samband som visar att skillnaden mellan talen är 15.
2322 Kalla antalet vuxenbiljetter för x och antalet barnbiljetter för y. Skriv ett samband som visar att det sålts totalt 340 biljetter. Skriv ett samband som visar att intäkterna var 39 000 kr.
Tips! Tänk på hur du skulle ha beräknat intäkterna om det varit t.ex. 200 vuxenbiljetter och 10 barnbiljetter.
2323 Kalla antalet pocketböcker för x och antalet inbundna böcker för y. Skriv ett samband som visar att hon sålde totalt 43 böcker. Skriv ett samband som visar att intäkterna var 3 057 kr.
2331 Börja med att rita en figur. Kalla rektangelns sidor för b och h. Vilka samband kan du nu ställa upp utifrån informationen i uppgiften?
Matematik Origo nivå 2a är en modern lärobok anpassad till Gy25 med
utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter
matematisk modellering, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla
målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel
Till Matematik Origo nivå 2a finns även komponenterna Lärarguide, Lärarstöd+ samt kopieringsmaterialet Prov, övningsblad och aktiviteter.
Serien Matematik Origo finns till samtliga gymnasieprogram. 2a nivå
