Variabel A Lärarhandledning är ett stöd för dig med elever som arbetar med Variabel A1, A2 och A3. Lärarhandledningen innehåller bland annat ett omfattande facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna.
LÄRARHANDLEDNING
I Variabel behandlas olika matematiska områden. Efter en kortare introduktion följer en serie med problemlösningsuppgifter. Lärarhandledningen innehåller en text som beskriver matematiken i elevboken samt ett facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna.
DIGITAL LÄRARRESURS
Till varje avsnitt finns en kort filmad introduktion och i lärarhandledningen finns filmen även som en tavla så att läraren själv kan styra över presentationen.
Innehåller filmerna från elevböckerna samt en avskalad version som läraren själv kan styra över.
Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon
Natalia Karlsson och Wiggo Kilborn
Studentlitteratur AB
Box 141
221 00 LUND
Besöksadress: Åkergränden 1
Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se
Bilder:
Stefano Chiacchiarini '74/Shutterstock.com s. 54
Natata/Shutterstock.com s. 98
Övriga bilder: Shutterstock.com
Kopieringsförbud
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, är förbjuden. Kopieringsunderlag får dock kopieras under förutsättning att kopiorna delas ut endast i den egna undervisningsgruppen. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.
Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.
Användning av detta verk för text- och datautvinningsändamål medges ej.
Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.
Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.
Grafisk formgivning, omslag och figurer: Karin Österlund
Figurer: Jonny Hallberg
Printed by Eurographic Group, 2024
FÖR O RD
Det här är den första delen av serien Variabel som består av tre delar, Variabel A för lågstadiet, Variabel B för mellanstadiet och Variabel C för högstadiet. Materialet är avsett för elever som är begåvade, som är intresserade av matematik och/eller som vill lära sig mera matematik. Ett syfte med Variabel är att ge elever möjligheter att utveckla matematiska förmågor som att
• lösa problem genom ett målinriktat resonemang och utgående från varierande matematiska strategier och modeller
• uppfatta innebörden i, och använda sambandet mellan, matematiska begrepp
• behärska och använda lämpliga metoder för de beräkningar som krävs vid problemlösning
• behärska ett språk som möjliggör en meningsfull kommunikation om matematik
• uppfatta och uppskatta matematikens estetiska natur.
När vi följer undervisningen i olika årskurser finner vi att undervisningen inte alltid handlar om dessa förmågor utan i första hand om att räkna. Det innebär att många elever aldrig ges möjligheter att lära sig de grundläggande matematiska begrepp som krävs för att utveckla ett matematiskt tänkande.
Därmed hindras de från att möta den variation i undervisningen som kan väcka intresse för matematik och ge positiva attityder till ämnet.
Observera, att det är under de första åren i skolan som elever grundlägger sina uppfattningar om, och attityder till, matematik. Samtidigt är det viktigt, inte minst för begåvade och intresserade elever, att den matematik de lär sig är hållbar, alltså att den utan intellektuella konflikter kan utvecklas under resten av skoltiden.
Avsikten med det här materialet är att erbjuda dig som lärare ett undervisningsmaterial som ger dina elever en undervisning som visar hur intressant matematiken kan vara och samtidigt visar hur olika delar av matematiken hänger samman i intressanta mönster
Lycka till med Variabel A
Natalia Karlsson och Wiggo Kilborn
INNEH Å LL A1
1
Inspirerande fördjupning och grundläggande begrepp
3
Laborationer och deduktiv konkretisering
Kunskap och förmåga
Procedurell och konceptuell kunskap
Presentation av författarna till Variabel
5
1 PLAN GEOMETRI
1 TAL OCH MÖNSTER
2 AREA OCH VOLYM
2 PROPORTIONALITET
3 NÅGRA ANNORLUNDA PROBLEM
3 SANNOLIKHET
4
PROBLEMLÖSNING
INNEHÅLL MÅLGRUPP OCH
SYFTE
Innehåll
Variabel A omfattar den här lärarhandledningen och tre elevböcker, A1, A2 och A3. Till uppgifterna finns ett utförligt facit med och förklaringar till hur man kan lösa problemen. Till varje avsnitt i häftena finns en digital introduktion som berättar vad avsnittet handlar om. Du kan använda denna för att förbereda eleverna inför arbetet. En motsvarande presentation finns även som en film i elevernas digitala lärobok.
Målgruppen är begåvade och matematikintresserade elever När vi studerar vad som händer i skolans undervisning, finner vi att många av de begåvade eleverna saknar grundläggande begrepp och kunskaper som de borde ha utvecklat under tidigare skolår. Det medför att de ofta tvingas lära sig formler och tekniker som för stunden leder till rätt svar, men inte till några djupare kunskaper i matematik. Detta påverkar givetvis elevernas intresse för och attityder till matematik, samtidigt som det utgör ett hinder vid fortsatta studier av matematik. Den grund man som lärare lägger under de första skolåren har alltså en avgörande betydelse för hur eleverna kommer att lyckas under resten av skoltiden. Det krävs dessutom en väl fungerande samverkan mellan lärare som undervisar på olika stadier. Vi finner också att de begåvade och intresserade eleverna sällan möter en stimulerande matematik som gör det möjligt för dem att uppleva intressanta matematiska samband. En bidragande orsak till detta är att många lärare på låg- och mellanstadiet, i sin välvilliga ambition att alla elever ska kunna följa med i undervisningen, väljer att lägga undervisningen på en så enkel nivå att alla kan följa med. Det innebär emellertid att de mer intresserade och begåvade eleverna inte ges den stimulans de behöver för att utveckla kunskaper och färdigheter på sin nivå. Detta gäller inte minst deras förmåga att resonera. Just förmågan att resonera, med sig själv eller med andra, är fundamental i ämnet matematik som i grunden handlar om problemlösning och där själva problemlösandet handlar om ett målinriktat resonemang utgående från givna data och med hjälp av kända matematiska modeller. Ett meningsfullt resonemang förutsätter tre saker:
• Att man har något att resonera om
• Att man har ett språk och lämpliga termer att kunna resonera med
• Att man känner till lämpliga matematiska modeller som man kan utgå från i sitt resonemang.
Grunden för detta läggs under de första skolåren.
En grundläggande idé i svensk skola är att varje elev ska få en undervisning anpassad till hans eller hennes intresse och förmåga. Detta förväntas ske genom individualisering av undervisningen. Eftersom matematik av många elever uppfattas som ett svårt ämne, sker det i själva verket ofta en anpassning av undervisningen till de lägre presterande elevernas nivå, på bekostnad av de mer intresserade eleverna som behöver stimulans för att utveckla kunskaper på sin nivå. Under de senaste tiotalen år har detta uppmärksammats vid universitet och högskolor där man haft växande problem med studenters bristande ingångskunskaper i matematik (Karlsson, 2014a). Samtidigt har det saknats lämpliga och stimulerande material för mer begåvade elever. Detta har givetvis bidragit till svårigheter med att individualisera undervisningen för att möta dessa elevers behov av stimulans.
Syfte
Syftet med det här materialet är att du ska kunna erbjuda även de duktigare elevernas möjligheter att utveckla sina kunskaper och färdigheter, utgående från deras individuella förmågor. Samtidigt ges det möjligheter för dem att uppleva estetiska värden i sina möten med matematik och inte minst att erövra en allmänbildning i matematik.
När strävan är att så många elever som möjligt ska kunna tillgodogöra sig undervisningen i sammanhållen klass, förenklas ofta innehållet på ett sätt som gör det möjligt för de flesta av dem att lösa enklare, ofta förutsägbara typer av uppgifter. Detta sker ofta med hjälp av något knep eller en formel som fungerar för stunden, men som leder till att viktiga grundläggande kunskaper försummas. De mer intresserade eleverna går därmed miste om en undervisning som skulle ge dem förutsättningar att utveckla en förtrogenhet med viktiga matematiska begrepp och metoder och deras användbarhet. De går därmed miste om begrepp och metoder som är nödvändiga för ett framgångsrikt fortsatt lärande. I läromedlet Variabel A finner du därför en systematisk genomgång av grundläggande kunskaper på en nivå som krävs för att utveckla gedigna kunskaper i matematik. Det ges samtidigt rikliga tillfällen för eleverna att utveckla en problemlösningsförmåga. En viktig del av undervisningen handlar om att väcka intresse för ämnet matematik. Detta gäller givetvis alla elever, men speciellt för begåvade elever.
I Variabel ges därför rika tillfällen att möta intressanta aspekter av matematiken och låta eleverna uppleva estetiken i själva matematiken. Det finns en rad sådana exempel som är möjliga att lyfta fram även i den mest grundläggande matematikundervisningen. Ett exempel på detta är symmetri som inte bara har estetiska egenskaper utan även kan användas för att klassificera och konstruera månghörningar. Symmetri förekommer även inom algebran där man till exempel kan upptäcka de kommutativa räknelagarna som en symmetri i additions- och multiplikationstabellerna.
ADDITION OCH SUBTRAKTION
När du arbetar med skriftlig räkning eller huvudräkning är det viktigt att förstå vilka räknelagar och räkneregler som gäller och hur de kan användas på smartast möjliga sätt. Det är detta kapitlet handlar om.
ADDITION OCH SUBTRAKTION
När man arbetar med skriftlig räkning eller huvudräkning är det viktigt att förstå vilka räknelagar och räkneregler som gäller och hur de kan användas på smartast möjliga sätt. Det är detta som kapitlet handlar om och det har redan förberetts i föregående kapitel.
I de första två avsnitten lyfter vi fram strategier för att utföra grundläggande additioner och subtraktioner. Speciellt metoderna för subtraktion bör uppmärksammas. De flesta elever verkar idag enbart lära sig subtraktion som ”ta bort” vilket allvarligt försvårar såväl deras möjligheter att resonera om subtraktion som att senare generalisera subtraktion till arbete med hela tal.
I det tredje avsnittet generaliserar vi kunskaperna från de två tidigare avsnitten för att bygga upp ett bra förhållningssätt till huvudräkning.
ADDITI O N OCH
TIOTALSÖVERGÅNGAR
När man ska arbeta med huvudräkning och skriftlig räkning, så är det viktigt att behärska tiotalsövergångarna. Den vanligaste metoden för detta är att använda sig av tiokamraterna. För att addera 8 och 7 kan man först bestämma tiokamraten till 8 som är 2. Därefter tar man 2 från 7 och ger till 8.
Additionen blir då 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10 + 5.
Detta är emellertid inte den enda metoden. Eftersom det är viktigt med variation för att behärska matematik erbjuder vi även en alternativ metod. Den bygger, liksom räkneramen abakus, på talet 5 som en extra talbas. Många språk i världen är uppbyggda på just ett sådant sätt. Här heter de första 20 talen (översatta till svenska)
Ett, två, tre, fyra, fem, fem och ett, fem och två, fem och tre, fem och fyra, tio, tio och ett, tio och två, tio och tre, tio och fyra, tio och fem, tio och fem och ett, tio och fem och två, tio och fem och tre, tio och fem och fyra, gånger tio.
Med ett sådant språk kan man använda sig av fingrarna för att förstå en alternativ metod att göra tiotalsövergångar. En knuten hand betyder då 5 och ett rakt finger betyder 1. Talen 6, 7 och 8 ser alltså ut så här:
Det betyder att en addition som 7 + 8 ser ut så här:
Två knutna händer ger nu 10 och 2 + 3 fingrar ger 5. Man ser alltså direkt att 8 + 7 = 10 + 5 = 15. Observera att detta fungerar som vid användning av romerska siffror, alltså VII + VIII = VV + IIIII = XV.
ELEVBOK: s. 40–43
Men ska eleverna verkligen räkna på fingrarna? Nåja, fingrarna är ett hjälpmedel som man alltid har till hands. När man förstått den här idén behöver man inte längre använda fingrarna, då kan man tänka sig dem.
Observera återigen att det här handlar om variation. Många elever får bara möta en enda metod och tror att den är den enda. De går därmed miste om den variation som är så viktigt om man vill lära sig matematik - inte bara att räkna.
Film: Addition och tiotalsövergångar
ADDITI O N OCH TIOTALSÖVERGÅNGAR
Både vid skriftlig räkning och vid huvudräkning är tiotalsövergångarna viktiga. För den som behärskar tiotalsövergångar är det också enklare att klara hundratalsövergångar. Det finns olika sätt att arbeta med tiotalsövergångar. I Sverige brukar man utgå från tiokamraterna alltså två tal vars summa är 10.
4.1 Fyll tiokamraterna till talen i tabellen.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8
När du adderar två tal som 8 och 7 blir det en tiotalsövergång. För att få ett tiotal kan du först ta reda på tiokamraten till 8 som är 2. Talet 2 tar du sedan från 7. Det kan beskrivas så här: 8 + 7 = 8 + (2 + 5) = (8 + 2) + 5 = 10 + 5.
4.2 Beskriv på motsvarande sätt följande tiotalsövergångar.
a) 9 + 6 Svar:
b) 8 + 4 Svar:
c) 7 + 6 Svar:
d) 6 + 6 Svar:
4.3 Beskriv på motsvarande sätt följande hundratalsövergångar.
a) 99 + 8 Svar:
b) 98 + 7 Svar:
c) 87 + 21 Svar:
d) 86 + 23 Svar:
Man kan också använda sig av talet 5 för att göra tiotalsövergångar.
Detta gör man till exempel när man använder sig av den räkneram som kallas för Abacus och som användes redan flera hundra år före vår tideräkning.
Det finns flera språk där talen byggs upp på samma sätt som på en Abacus. Talens namn börjar då som vanligt med ett, två, tre, fyra, fem. Därefter heter talen fem och ett, fem och två, fem och tre, fem och fyra samt tio. På ett sådant språk heter 11 tio och ett och 12 heter tio och två. 16 heter tio och fem och ett, 17 heter tio och fem och två och 20 heter 2 gånger 10.
4.4 Skriv på samma sätt som i texten ovan.
a) talet 14 Svar:
b) talet 15 Svar:
c) talet 19 Svar:
d) talet 21 Svar:
e) talet 26 Svar:
När du har förstått den här idén räknar du snabbt ut svaren i huvudet.
SUBT R AKTION OCH
TIOTALSÖVERGÅNGAR
När det gäller subtraktion, så verkar de flesta elever uppfatta det som ”ta bort”. Subtraktion handlar emellertid mer generellt om differens och det finns en rad olika strategier för att bestämma differensen mellan två tal. Det är viktigt att eleverna behärskat alla dessa strategier om de ska behärska huvudräkning och subtraktion. Detta är också en viktig förutsättning för att de ska förstå vad som händer när de senare ska subtrahera negativa tal. Det gäller här att lägga en utvecklingsbar grund för fortsatta studier av matematik.
ELEVBOK: s. 44–46
Strategin ”ta bort” kan illustreras så här. Man tänker sig subtraktionen 15 – 4 som att man har 15 föremål och att man tar bort 4 av dessa föremål. Det handlar alltså om att räkna bakåt.
Det kan även uppfattas som att man backar 4 steg på tallinjen (4 cm på linjalen), från 15 till 11.
En annan strategi kallas för ”jämföra”. Om man ska jämföra de två talen 15 och 11 och ta reda på hur mycket större talet 15 är, så är det onödigt att ta bort 11 för att få differensen 15 – 11. Det är mycket enklare att jämföra talen så här. Differensen är alltså 4.
Lägg märke till att det är lätt att ta bort 2 från 423 men betydligt svårare än att ta bort 421 från 423. För att kunna subtrahera på ett smart sätt behöver man därför känna till flera olika metoder, för att kunna välja den smartaste.
En tredje metod kallas för ”komplettera”. Man utgår då från det mindre talet och kompletterar detta (räknar vidare) tills man kommer till det större talet. På tallinjen ser detta ut så här:
En fjärde metod kallas för ”lika tillägg” och den kan beskrivas så här. Pia är 12 år och Dmitry är 9 år. Eftersom åldersskillnaden är densamma nästa år bestämmer man i stället den enklare differensen 13 – 10 = 3. Innebörden av detta är att om man adderar samma tal till båda termerna i en subtraktion, så förändras inte differensen. Som exempel kan man enkelt bestämma differenser som 53 – 38 genom att addera 2 till båda termerna vilket ger 55 – 40 = 15.
Det är viktigt att eleverna verkligen tänker igenom hur de här olika metoderna fungerar. De utgör en grund för det följande avsnittet som handlar om huvudräkning
Film: Subtraktion och tiotalsövergångar
SUBT R AKTION OCH TIOTALSÖVERGÅNGAR
Många lär sig subtraktion som att ta bort. Man tänker sig 15 – 4 som att man har 15 föremål och att man tar bort 4 av dessa föremål.
eller att man backar 4 steg på tallinjen, från 15 till 11.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Men subtraktion betyder inte bara ”ta bort”. Det innebär lika ofta att man vill jämföra två tal. Om du ska jämföra de två talen 15 och 11 och ta reda på hur mycket större talet 15 är, är det onödigt att ta bort 11 för att få differensen 15 – 11. Det är mycket enklare att jämföra talen så här. Du ser då direkt att differensen är 4.
Ett smart sätt att tänka är att 15 – 11 = 5 – 1 och att du bortser från tiotalen.
Lägg märke till att det är lätt att ta bort 2 från 423 men betydligt svårare att ta bort 421 från 423. För att kunna subtrahera på ett smart sätt behöver du känna till flera olika metoder och sedan välja den smartaste. Om du ska subtrahera ett litet tal fungerar metoden ”ta bort”.
4.11 Hur kan du göra tiotalsövergångarna med metoden ”ta bort” och vad blir differensen?
a) 11 – 3 Svar:
b) 12 – 5 Svar:
c) 31 – 4 Svar:
Om du ska göra en tiotalsövergång av typen 12 – 9 finns det flera olika metoder. En enkel metod kallas för att komplettera. Du räknar då vidare från det mindre talet. I det här fallet är det tre steg från 9 till 12, alltså 10, 11, 12. Differensen är alltså 3.
4.12 Hur kan du göra de här tiotalsövergångarna med hjälp av komplettering och vad blir differensen?
a) 11 – 8 Svar:
b) 14 – 9 Svar:
c) 32 – 27 Svar:
En annan metod kallas för att ”jämföra”. Du jämför då båda termerna med det tiotal som ska passeras. För att bestämma differensen 12 – 9 jämför du alltså båda termerna med 10. Det är 1 steg från 9 till 10 och 2 steg från 10 till 12. Differensen är alltså 1 + 2 = 3.
4.13 Hur kan du göra de här tiotalsövergångarna med hjälp av metoden ”jämföra” och vad är differensen?
a) 11 – 8 Svar:
b) 14 – 9 Svar:
c) 32 – 27 Svar:
4 ADDITION OCH SUBTRAKTION
En annan smart metod kallas lika tillägg och kan beskrivas så här.
Pia är 12 år och Dmitri är 9 år. Eftersom åldersskillnaden är densamma nästa år bestämmer du i stället den enklare differensen 13 – 10 = 3.
Du kan också tänka så här: 12 – 9 = (12 + 1) – (9 + 1) = 13 – 10.
På samma sätt kan du bestämma differensen 34 – 18 genom att addera 2 till båda talen. Du får då 34 – 18 = 36 – 20 = 16.
4.14 Hur kan du göra de här tiotalsövergångarna med hjälp av ”lika tillägg”?
Vad är differensen?
a) 11 – 8 Svar:
b) 14 – 9 Svar:
c) 32 – 27 Svar:
4.15 Beskriv på olika sätt hur du kan göra följande hundratalsövergångar. a) 105 – 7 Svar:
AREA OCH VOLYM
En sträcka AB består av oändligt många punkter som har ordnats på ett speciellt sätt.
A B
En viktig egenskap hos sträckan är att den har en längd, den kan mätas. Grundenheten för mätning är 1 meter, men vi kommer oftast att använda enheten 1 centimeter som är en hundradels meter.
A R EA OCH
VOL Y M
Vi inleder kapitlet med att reda ut skillnaden mellan yta och area och att en figurs omkrets inte är ett mått på dess area.
ATT M Ä TA AREA
På bilden ser vi en kvadrat med sidan 1 cm. Den kvadraten stänger in ett område, en yta. Storleken på den ytan kallar vi för områdets area. Arean av det området, alltså 1 cm2, använder vi i fortsättningen som enhet för area.
För att mäta arean av rektangeln i figuren har vi delat upp den i 6 rutor som vardera har arean 1 cm2. Det blir då tydligt att rektangeln består av 2 · 3 = 6 rutor, vardera med arean 1 cm2. Vi kan uttrycka det som att arean är 6 cm2
När en figur inte är av typen rektangel, får man använda sin kreativitet. För att bestämma arean av de färgade områdena i följande figurer kan man genom att ”klippa och klistra” skapa kända rektangulära områden.
Det är på det sättet man har kommit fram till en rad formler för hur man kan bestämma arean av olika figurer. Vi finner det viktigt att elevera lär sig hur dessa formler kommit till. Det finns nämligen inte formler för alla figurers area utan man får ibland använda sin kreativitet. Eleverna ges möjligheter till detta i flera övningar.
Att lära eleverna formler utan att först förankra dem i en kontextuell förståelse är en mindre bra strategi. Syftet är att eleverna ska lära sig en hållbar geometri, inte ett antal formler som lätt glöms bort.
ELEVBOK: s. 26–28
Film: Att mäta area
I det här avsnittet behöver du ibland mäta sträckor med linjal.
ATT M Ä TA AREA
En triangel ABC består av tre sträckor AB, BC och CA som möts i hörnen A, B och C. Eftersom alla sträckorna har en längd så har triangeln ABC en omkrets.
Nu studerar vi en kvadrat med sidan 1 cm. Den kvadraten stänger in ett område, en yta. Storleken av den ytan kallar man för områdets area För att markera att vi är intresserade av en area och inte av en omkrets gör vi ytan färgad. Arean av det här området använder vi i fortsättningen som enhet för area och enheten kallas för 1 kvadratcentimeter. Detta skrivs enklare som 1 cm2
2.2 Bestäm arean av följande områden. a)
Svar:
Hur mäter man storleken av en yta?
Det är det nästa avsnitt handlar om.
Sidorna i triangel ABC bildar inte bara en omkrets till triangeln. De begränsar också ett område, triangelområdet. Triangelområdet har en yta. Storleken på den ytan kallas för triangelns area
2.1 Jämför trianglarna, ABC och DEF.
a) Vilken av trianglarna har störst omkrets? Svar: b) Vilken av trianglarna har störst area? Svar: A
Svar:
Svar:
Men hur kan du bestämma arean av ett område som inte kan delas upp i kvadrater? Svaret är att det finns formler för detta, men dessa formler passar bara för vissa speciella figurer. För det mesta kan du klara dig utan att använda formler. Det är det du ska lära dig nu.
2.3 Arean av alla de här rektangelområdena är 12 cm2 Bestäm arean av de färgade områdena.
Svar:
Svar:
Svar:
2.4 Hur kan du se att de färgade och vita områdena i A, B och C har samma area? a) Svar:
b) Svar: c) Svar: A B C
PARALLELLO G RAMMENS
OCH TRIANGELNS AREA
För att bestämma arean av ett parallellogramområde kan man jämföra det med arean av ett rektangelområde med samma bas och samma höjd. För att göra det, delar vi parallellogrammen i två delar som i figuren nedanför till vänster. Sedan flyttar vi den triangel som bildas och placerar den till höger.
På motsvarande sätt kan arean av alla triangelområden jämföras med motsvarande parallellogramområde. Av nedanstående figur blir det uppenbart att ett triangelområdes area är hälften så stor som arean av ett parallellogramområde med samma bas och samma höjd.
3 cm
5 cm
För att bestämma arean av ett rombområde kan man skriva in det i en rektangel. Man får då rektangelområdets area genom att multiplicera rombens diagonaler. Rombområdets area är alltså hälften av diagonalernas produkt.
3 SANNOLIKHET
Sannolikhetsläran handlar om att räkna med slumpen, till exempel hur stor chansen är att få tre sexor när du spelar Yatzy eller chansen att vinna på ett lotteri med 100 lotter. För att förstå sannolikheter är det bra att kunna kombinatorik.
SANN O L IKHET
Sannolikhetsläran handlar om att räkna med slumpen, till exempel hur stor chansen är att få tre sexor när du spelar Yatzy eller chansen att vinna på ett lotteri med 100 lotter. För att förstå sannolikheter är det bra att kunna kombinatorik. Eleverna har faktiskt redan arbetat med kombinatorik i Variabel A1 i avsnittet om handskakningar.
KOMBIN A TORITK
Avsnittet inleds med ett enkelt problem.
I skolbespisningen kan du välja mellan två maträtter, fisk (F), köttbullar (K) eller en vegetarisk rätt (V). Du kan också välja mellan två drycker, mjölk (M) eller lingondricka (L). Du vill ha en maträtt och en dryck. På hur många sätt kan du välja din måltid?
De olika valmöjligheterna kan studeras med hjälp av ett träddiagram, som i texten byggs upp successivt.
Eleverna ges i det här avsnittet möjligheter att studera fler liknande val med hjälp av träddiagram. Detta instrument kan de sedan använda sig av i nästa avsnitt.
Film: Kombinatorik
KOMBIN A TORIK
Vi börjar med ett enkelt problem.
3.1 matsalen kan du välja mellan två maträtter, fisk (F) eller köttbullar (K). Du kan också välja mellan två drycker, mjölk (M) eller lingondricka (L). Du vill ha en maträtt och en dryck. På hur många sätt kan du välja din måltid?
Svar:
Anta att du också kan välja en vegetarisk rätt (V). För att ta reda på antalet valmöjligheter kan du då använda dig av ett träddiagram Du kan börja med att välja maträtt vilket ger tre valmöjligheter och kan beskrivas med tre grenar i träddiagrammet.
3.3 En idrottsdag är i delad i två pass, ett på förmiddagen och ett på eftermiddagen. På förmiddagen kan du välja mellan gymnastik (G), brännboll (B) eller friidrott (F). På eftermiddagen kan du välja mellan orientering (O), terränglöpning (T) eller poängpromenad (P). Du ska välja en aktivitet på förmiddagen och en aktivitet på eftermiddagen
a) Rita ett träddiagram över dina valmöjligheter.
b) Hur många valmöjligheter har du? Svar:
3.4 Du ska välja kläder på morgonen. Du kan välja mellan tre T-shirts, två par jeans och tre par skor. På hur många olika sätt kan du klä dig på morgonen?
Svar:
Till var och en av dessa maträtter kan du sedan välja antingen lingondricka eller mjölk. Hela träddiagrammet ser då ut så här:
F V F V M M M L L FL FM KL VL KM VM L
3.2 Genom att följa de olika grenarna kan du se alla möjliga val.
a) På hur många sätt kan du gör ditt val?
Svar:
b) Ser du något mönster? Förklara.
Svar:
3.5 I en påse finns det tre kulor, en röd, en vit och en svart. Du tar först en kula slumpmässigt (alltså utan att titta). Du har då två kulor kvar. Du tar en av dem slumpmässigt. Efter det finns det bara en kula kvar.
a) Gör ett träddiagram som beskriver de olika resultat du kan få.
KOMBINATORIK 978-91-44-15919-5_book.indd
b) På hur många olika sätt kan du ta de tre kulorna?
Svar:
3.6 På
Svar:
många
kan du ordna bokstäverna A, B, C och D?
3.7 Hur många femsiffriga tal kan du skriva med siffrorna 1, 2, 3, 4 och 5 om du inte får använda samma siffra
Svar:
Svar:
b) Om du inte får använda samma siffra mer än en gång?
Svar:
Svar:
b) Om du inte får använda samma siffra mer än en gång?
Svar:
HUR STOR ÄR C H ANSEN?
Om du singlar slant med en enkrona kan du få två resultat (utfall), sidan med kungen (K) eller sidan med siffran 1 (S). Om man singlar slanten på ett slumpmässigt sätt så är chansen lika stor att få K som att få S. Chansen (sannolikheten) att få K är då 1 möjlighet av 2 vilket också kan skrivas som sannolikheten 1 2 .
Med hjälp av träddiagram får eleverna därefter ta reda på sannolikheten att få KK eller KS vid kast med två mynt, att få summan 3 eller 7 vid kast med två tärningar mm.
Vid kast med tre mynt får eleverna utgå från följande träddiagram.
De upptäcker då ett mönster när det gäller att få tre K, två K, ett K eller inger K. Mönstret är: 1 3 3 1 .
Singlar man två mynt blir motsvarande mönster för två K, ett K eller inget K: 1 2 1 .
Det här känner eleverna nu igen från Pascals triangel.
1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
Man kan i triangeln direkt se hur många gånger man sannolikt får tre K vid singling med 4 eller 5 mynt, alltså 6 respektive 10 gånger
Det här är ett nytt exempel på vad matematik handlar om, nämligen att lära sig se mönster. Det här mönstret i Pascals triangel har eleverna nu mött ett stort antal gånger och i helt olika sammanhang. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1
HUR STOR ÄR C H ANSEN?
När du singlar slant med en enkrona kan du få två resultat (två utfall), kungen (K) eller siffran 1 (S).
När du singlar slanten på ett slumpmässigt sätt så är chansen lika stor att få K som att få S. Chansen (sannolikheten) att få K är då 1 av 2 möjliga utfall eller enklare 1 2 K S 3.10 a) Rita ett träddiagram som visar de olika utfallen när du singlar en enkrona 2 gånger.
ELEVBOK: s. 49–53
b) Bestäm sannolikheten för att du får kung båda gångerna (KK).
Svar: Film: Hur stor är chansen?
”Med Variabel vill vi ge intresserade elever fördjupade kunskaper i matematik och en inblick i ämnets estetiska kvaliteter.”
(Karlsson, Kilborn)
Elever som visar en hög nivå i matematik och behöver stimulans och utmaning i matematikundervisningen, har nu tillgång till ett unikt läromedel i problemlösning och matematik.
I Variabel A1, Variabel A2 och Variabel A3 behandlas olika matematiska områden. Varje område består av en serie problemlösningsuppgifter som erbjuder en variation av metoder och lösningar. Till respektive bok hör ett digitalt läromedel. I elevernas digitala läromedel finns filmer och inläst text samt utförligt facit till alla uppgifterna.
Variabel A Lärarhandledning används till elevböckerna Variabel A1, Variabel A2 och Variabel A3. Lärarhandledningen bland annat ett omfattande facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna. Till varje avsnitt finns också en kort filmad introduktion och en power pointpresentation. Inledningen till boken presenterar den forskning som författarna utgått från när de skapade serien Variabel. Natalia Karlsson är docent och lektor i matematik med inriktning mot didaktik. Hon arbetar för närvarande som lärarutbildare vid Södertörns högskola och hennes forskning behandlar elevers och studenters uppfattning om matematik.
Wiggo Kilborn var tidigare universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet och arbetar nu som konsult inom utbildningsområdet. Han har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och skolforskning.
