9789127467170

I LÅGSTADIET

TILL DIG SOM LÄRARE

De matematikkunskaper som elever utvecklar under de första skolåren har starka samband med den fortsatta kunskapsutvecklingen genom hela utbildningssystemet. Det är därför positivt att lågstadiets betydelse för framgångsrikt lärande i matematik uppmärksammas liksom vikten av att tidiga insatser görs för elever i behov av särskilt stöd, så att vi kan förebygga svårigheter och undanröja hinder för lärande. Ett övergripande syfte med lågstadiets undervisning i matematik är bl a att eleverna ska utveckla god taluppfattning och förmåga att tänka och resonera matematiskt. Läromedlet som du nu håller i din hand handlar om undervisning om och lärande av tal och tals användning för elever som på grund av kunskapsluckor och missuppfattningar har svårt att fullt ut vara delaktiga i klassundervisningen. När det gäller tal och tals användning finns vissa matematiska idéer och principer som är nödvändiga att eleverna förstår och kan använda för att den fortsatta kunskapsutvecklingen ska fungera väl. Undervisningen inom detta område har även stor betydelse för elevernas motivation, intresse och positiva känslor för matematik. Forskning pekar dessutom på att lärares matematikdidaktiska kunnande och deras relationer till sina elever påverkar elevernas motivation för lärande i hög grad.

Under arbetet med Utveckla matematiskt tänkande har vi haft många spännande möten med kunniga lärare som är genuint intresserade av att utveckla både klassundervisningen och specialundervisningen, så att dessa två undervisningsformer samverkar och kompletterar varandra. Elevernas självförtroende och motivation främjas av att särskilt stöd ges i en tillitsfull miljö där de får individuellt anpassade utmaningar. Att få lära sig något som man inte tidigare kunde, och att uppleva känslan av att matematik inte är trolleri utan går att förstå, är en mycket stark drivkraft för fortsatt lärande.

Vår förhoppning är att denna bok ska vara ett stöd både för dig som speciallärare och dig som klasslärare.

OM FÖRFATTARNA

Görel Sterner

Jag är förskollärare, lågstadielärare och specialpedagog med lång erfarenhet av klassundervisning och specialundervisning i matematik i tidiga skolår. Mitt forskningsintresse handlar bland annat om hur tidiga insatser kan bidra till att utveckla alla elevers kunnande i matematik, förebygga svårigheter och underlätta elevers lärande.

Ingrid Olsson

Jag har arbetat som lärare och speciallärare i grundskolan och som lärarutbildare i matematikdidaktik. Det är min övertygelse att det är i förskoleklassen och de tidiga skolåren som extra insatser har störst betydelse för elevernas kunskapsutveckling, tilltro till sitt tänkande och intresse för matematik.

OMRÅDE B

OMRÅDE C

FORSKNING OCH

Talens grannar och talraden

Kardinaltal och ordningstal

Jämföra antal

Jämföra och storleksordna tal

Tals helhet och delar

Talens uppbyggnad 6–10

Likhetstecknet

Tio siffror, 0–9

Jämföra olika talsystem

Tiotalen 0–100

Talraden 1–100

Talen 11–19

Tal i utvecklad

Jämföra och storleksordna

Textuppgifter 204

Exempel på missuppfattningar och svårigheter 204 Språkets roll 205

Textuppgifters underliggande struktur 207

Sambandet mellan addition och subtraktion 208 Helhet-del-del-relationer 209

Kategorier av textuppgifter 211

Arbetsmodell för att lära sig lösa textuppgifter 214

UNDERVISNINGSAKTIVITETER

GENOMFÖRA AKTIVITETERNA

Område A och B är uppdelade i 20 delområden vardera och varje delområde presenteras på ett uppslag. Område C innehåller tre delområden, som var och en presenteras över två eller tre uppslag. På uppslagen finns handledningen till aktiviteterna, som du kan följa steg för steg. Uppslaget för det aktuella delområdet har du framme under hela undervisningstillfället. Hur många aktiviteter som du tar upp vid ett undervisningstillfälle beror på den elev eller de elever som du arbetar med.

1. Hänvisning till de sidor i kapitlet Forskning och matematikdidaktik som tar upp just detta delområde. Sidorna behandlar det som är viktigt för dig att veta inför det aktuella undervisningstillfället. Läs texten innan du läser om aktiviteterna på uppslaget.

2. Syftet med aktiviteterna.

3. Ord och begrepp som hör till delområdet och som bör tas upp.

4. Exempel på kända uppfattningar och svårigheter, som kan vara till god hjälp för att veta vad du ska vara observant på.

5. Lista över det material som används i aktiviteterna i delområdet.

6. Material som ska förberedas före undervisningstillfället.

7. Information till dig som lärare inför arbetet med delområdet.

8. Aktiviteterna är numrerade och ska göras i den ordning som de presenteras. Du får förslag på hur aktiviteterna kan genomföras samt förslag på frågor att ställa och begrepp att resonera om. Du som lärare vet bäst hur du kan göra undervisningen lekfull och skapa en spännande och intressant lärandesituation för just din elev.

9. En pratbubbla innebär att du och eleven samtalar om det moment som ni arbetar med. I kommunikationen med eleven ska du försöka ta reda på hens begreppsuppfattning. Anteckna och följ upp framsteg och eventuella missuppfattningar –direkt eller senare.

10. En penna visar att det finns uppgifter att göra i elevhäftet. Elevhäfte A innehåller uppgifter till delområdena A10-20 och Elevhäfte B innehåller uppgifter till område B.

11. I marginalen finns illustrationer som visar t ex hur material ska placeras, vilka kopieringsunderlag som används och hur det ser ut när aktiviteten är genomförd.

REPRESENTATIONER AV TALEN 0–5

 Visa tal med olika representationer och beskriva representationerna med ord.

 Tolka olika representationer av talen 0–5.

ORD OCH BEGREPP: talen 0–5, antal, räkneorden: ett, två, tre, fyra och fem

Kända uppfattningar och svårigheter:

• Har inte uppfattat att t ex talet 3 kan representeras på många olika sätt, inte bara av t ex tre klossar.

• Känner inte igen tärningens talbilder utan räknar prickarna en och en.

MATERIAL

• Pricktärning 0–5

• 2 spelpjäser

• Burk (ej genomskinlig)

• Stickor

• Multilinkklossar

• Räkneloppor

• Plocksaker

• Tygpåse

• K1 Spelplan

• K2 Maxi och Mino

• K5 Talkort 0–10 (endast 1–5)

• K6 Kort till Triss 1–10 (endast 1–5)

• K17 Arbetsblad A1

Använda olika representationer

I det här tärningsspelet får eleven visa, tolka och benämna olika representationer av tal. Samtala om tal och antal när ni spelar. Observera hur eleven tolkar tärningen och om hen flyttar korrekt antal steg. Rätta inte, men var uppmärksam på om något fel upprepas konsekvent.

– Kolla på tärningen i burken om det stämmer. 1 2

Lägg fram K1 Spelplan, en pricktärning 0–5 och två spelpjäser. Färgmarkeringarna på spelplanen används inte vid detta tillfälle, så vik undan den nedre delen av papperet.

Ta fram Maxi och Mino, och presentera dem.

– Det här är Maxi och Mino. De vill spela det här spelet och vill att vi hjälper dem.

– Nu ska vi turas om att slå tärningen åt dem och flytta lika många steg som tärningen visar. Du får börja. Vill du slå åt Maxi eller Mino?

Låt eleven välja figur och slå tärningen.

– Hur vet du hur många steg du ska flytta din spelpjäs när du kollar på tärningen?

Räknar du prickarna eller känner du igen talen?

– Vilka prickbilder/talbilder känner du igen?

Visa tärningens talbilder genom att hålla handen över tärningen och vinkla upp handen snabbt, och sedan hålla handen över igen.

– Vad betyder tom sida på tärningen? (inga steg)

Skriv siffran 0 på ett papper och samtala om vad noll står för.

Turas om att slå tärningen några gånger och flytta er figur. Du ställer under tiden frågor och ger uppdrag till eleven, t ex ”Hur många steg ska Maxi/Mino flytta nu?

Räkna högt när du nu flyttar spelpjäsen.” och ”Vad måste Maxi/Mino slå för att de ska komma på samma ruta?” Spela inte färdigt spelet nu, utan fortsätt med aktiviteten nedan efter en stund.

Ta fram en burk och stickor.

– Nu får du slå tärningen åt Maxi/Mino här i burken men inte kolla vad tärningen visar. Jag läser av din tärning och visar dig hur många steg du ska flytta spelpjäsen. Om eleven slår t ex en femma lägger du fram fem stickor så här:

– Hur många steg tror du att du ska flytta din spelpjäs? Varför just fem?

Läs mer om representationer av talen 0–5 på s. 159.

Resonera om att man kan visa t ex talet 5 på många olika sätt. Låt eleven testa att tolka och använda olika representationer:

• Konkret material som stickor, klossar, räkneloppor och plocksaker.

• Ritade bilder, t ex streck med ”staket” för fem eller ringar .

• Talkort med siffror för talet.

• Ljud, t ex handklapp eller knackningar under bordet.

• Synliga rörelser, t ex någon som hoppar jämfota, klappar sig på axeln eller nickar.

• Beröring, t ex klappar på ryggen eller känna och räkna antalet klossar med handen i en tygpåse utan att kunna se klossarna.

– Nu slår jag tärningen i burken och du får visa hur många steg jag ska flytta spelpjäsen. Uppmuntra egna förslag från eleven och utmana hen att göra något som är klurigt för dig att tolka. Turas om att slå tärningen i burken och på olika sätt visa hur många steg den andra ska flytta. Spelomgången är slut när någon landar på eller passerar mål.

Jämföra olika representationer

I de här aktiviteterna arbetar eleven systematiskt med representationer av ett tal i taget. Sedan jämför hen de olika representationerna för varje tal.

Lägg fram arbetsblad A1, som är uppdelat på två sidor. Först arbetar ni lodrätt nerifrån och upp med representationer av ett tal i taget. Nästa steg är att studera vågrätt hur varje representation förändras för varje nytt tal 1 till 5, från vänster till höger. Resonera om de olika representationerna för talet 1 i den första spalten. Börja nerifrån med spalten för talet 1 och titta på klossen, nallen och stickan. Fortsätt med bildkortet, det ritade och tärningsbilden.

– Vilket tal tycker du ska stå högst upp i spalten till vänster? (1)

– Varför tror du det är just talet 1? Skriv 1 på raden.

– Varför kan det inte vara 5?

Låt eleven skriva talet 1 högst upp i spalten och siffran 1 på raden ovanför tärningsbilden.

– Vilket tal tycker du ska stå högst upp i nästa spalt? Börja nerifrån och berätta vad du ser där.

– Vad ska du rita i den spalten? Jämför med den till vänster. (ringar, streck, prickar på tärningen)

Eleven ska för varje spalt

• bestämma talet utifrån klossarna, nallarna, stickorna och bildkortet och skriva det högst upp

• skriva siffran

• rita tärningsprickar, ringar och streck (kom ihåg ”staketet” vid 5: )

• förklara sina val.

Samtala om att man i många representationer kan se antalet och därmed vilket tal som representeras, men att man inte kan se det på siffrorna 0–9. Man måste lära sig vilka tal siffrorna står för.

Spela Triss. Blanda talkorten 1–5 och korten till Triss 1–5. Låt eleven dela ut så att ni får fem kort var och lägga resten av korten i en hög med baksidan upp. Ni turas om att lägga ut kort. Regler:

• Ni får lägga ut kort om ni har en triss eller ett par på handen. Lägg ut alla tre kort/båda korten och ta upp ett kort från högen.

• Ni får också lägga ut kort om ni har ett som passar att lägga vid ett par som redan finns på bordet, så att det blir en triss. Lägg ut det kortet och ta upp ett kort från högen.

• Den som inte kan lägga ut kort får ta upp ett kort från högen.

• Den som först blir av med sina kort vinner.

Eleven kan även få blanda alla kort och sedan vända upp ett kort i taget och lägga ut korten så att hen får fem triss på bordet.

TALENS UPPBYGGNAD 6–10

 Uppfatta och använda det starka femtalet i talen 6–10 som 5 och 1, 5 och 2, 5 och 3, 5 och 4 samt 5 och 5.

 Läsa och skriva talen 6–10.

 Tolka, visa och rita olika representationer av talen 6–10.

 Visa mönster i samt likheter och skillnader mellan representationer av talen 6–10.

ORD OCH BEGREPP: femtalet, sex, sju, åtta, nio, tio

Kända uppfattningar och svårigheter:

• Uppfattar inte det starka femtalet utan visar t ex talet 9 med nio separata klossar i samma färg och måste då räkna klossarna en och en.

• Har svårt att överblicka talen 6–9 och fastnar i ett och ett-räkning.

MATERIAL

• Elevhäfte A (s. 2–3)

• Multilinkklossar i två färger

• Stickor

• Pricktärningar 1–6

• K5 Talkort 0–10

• K6 Kort till Triss 1–10 (endast 6–10)

• K24 Maxi och Mino funderar

Representationer av talen 1–5

Samtalet om representationerna är lika viktigt som det eleven gör. Det matematiska tänkandet utvecklas när ni jämför representationerna lodrätt och vågrätt på arbetsbladet (se bild), och samtalar om likheter och mönster.

Rita fem vågräta streck bredvid varandra på ett A4-papper och placera talkort 1 under det första strecket. Blanda talkorten 2–5 och ge dem till eleven.

– Här får du fyra talkort. Lägg dem i rätt ordning under strecken.

– Nu får du bygga de här talen med klossar. Lägg talen mot strecken.

När eleven har byggt alla tal låter du hen peka på talen ett i taget och säga räkneramsan framåt (ett, två, tre, fyra, fem) och bakåt (fem, fyra, tre, två, ett). Observera om eleven har flyt i räkneramsan i båda riktningarna. Tvekar hen vid något räkneord? Samtala i så fall om hur hen kan komma ihåg det talet.

– Nu får du blunda så gömmer jag ett av talen.

Lägg en pappersremsa över ett av talen.

– Vilket tal jag gömt? Hur kan du veta att det var just det talet?

Turas om att gömma tal.

– Nu får du visa talen med stickor nedanför talkorten.

Observera hur eleven visar talet 5 och samtala om varför man gör ett ”staket”. – Lägg en pricktärning som visar talet under stickorna.

Jämför alla representationer lodrätt, tal för tal. Börja med ettan. – Vad har representationerna för talet 1 gemensamt? Vad är lika?

Samtala om att ni kan se/uppfatta talet på klossarna, tärningarna och stickorna, men inte på siffrorna. Man måste lära sig vilka tal som siffrorna representerar.

Fortsätt sedan med att jämföra alla representationer vågrätt. Börja med klosstaplarna. Eleven ska uppfatta mönstret: en ökning med en kloss för varje tal. Jämför sedan stickorna och tärningarna. Ser eleven mönstret? Det är en ökning med en sticka och en prick. Samtala om att talet skrivet med siffror också ökar med ett, men det kan man inte se på siffrornas form. Låt allt material ligga kvar som det är. Avsluta sedan med uppgift A på Maxi och Mino funderar A10

Läs mer om talens uppbyggnad på s. 175.

Representationer av talen 6–10

Eleven ska uppfatta och med lärarens stöd förklara att talen 6–10 här utgår från ett femtal, som det adderas 1, 2, 3, 4, respektive 5 till. Representationer som klossar, streck, stickor och tärningsbilder är visuellt tydliga och kan hjälpa eleven att utveckla inre föreställningar av talen 6–10 när de presenteras som 5 och 1, 5 och 2, 5 och 3, 5 och 4 respektive 5 och 5.

Hjälps åt att bygga fem femmor med klossar i samma färg som tidigare. Observera hur eleven tar klossar för att bygga talen. Tar hen dem en och en? Uppmuntra hen i så fall att ta två eller tre i taget när det passar, eftersom det bidrar till ett annat matematiskt tänkande. Samtala om hur ni kan ta fem klossar: 2 + 2 + 1 eller 3 + 2.

Gör uppgift B och C på Maxi och Mino funderar A10. Rita därefter fem vågräta streck bredvid varandra på ett A4-papper, innan du blandar talkort 6–10 och ger dem till eleven. Låt eleven lägga ut korten i rätt ordning på det papperet. Ta sedan fram A4papperet med representationerna för talen 1–5 och lägg det till vänster om det nya papperet.

– Vilket mönster kan du se för talen 1, 2, 3, 4, 5 om du jämför antalet klossar? (ökning med ett)

– Hur tycker du att talet 6 ska byggas?

Ge eleven en femma samt en kloss i en annan färg. När hen har byggt talet visar du också en sexa med alla klossar i samma färg. Samtala om i vilken klosstapel det är lättast att uppfatta talet 6. Låt sedan eleven fortsätta bygga talen upp till och med 10 på motsvarande sätt med en femma och klossar i en annan färg. Ställ under tiden frågor utifrån hur eleven gör och vad hen säger, så att du hjälper hen att verkligen reflektera och tänka till.

– Visa talen 6–10 med stickor och pricktärningar. Hur visar man 7 med pricktärningar?

Samtala om att man inte lägger en rad med separata stickor ända upp till 10, utan grupperar och använder ett ”staket” som femtal. Då uppfattas t ex talet 9 som 5 och 4, och man kan direkt se att det är 9 utan att behöva räkna: .

Jämför de olika representationerna för talen lodrätt och vågrätt. Hur förändras de från 1 till 10? Uppmärksammar eleven att det är två siffror i talet 10?

– Vi läser talen tillsammans: ett, två, tre, fyra, fem, sex, sju, åtta, nio, tio. Läs tillsammans några gånger och låt sedan eleven läsa själv. Läs även bakåt. Turas därefter om att gömma ett tal med en pappersremsa, så att den andra får avgöra vilket tal som är gömt. Spara sedan alla klosstaplar 1–10 till arbetet på nästa uppslag.

Spela Triss. Blanda talkorten 6–10 och korten till Triss 6–10. Låt eleven dela ut så att ni får tre kort var och lägga resten av korten i en hög med baksidan upp. Ni turas om att lägga ut kort. Regler finns i aktivitet A1 på sidan 41.

Öva mer

Om eleven har svårigheter med representationerna finns här förslag på övningar:

• Säg ett tal och låt eleven peka på talets representationer.

• Peka på ett tals representationer och låt eleven säga talet med det starka femtalet, t ex ”sju är fem och två”.

• Säg t ex ”fem och tre” och låt eleven peka på talet 8.

• Lägg alla klosstaplar 6–10 åt sidan i oordning. Låt eleven sortera dem och samtidigt säga t ex ”sju är fem och två”.

• Säg ett tal och låt eleven rita det med streck, t ex talet 7 som .

• Blanda alla talkort 6–10. Låt eleven vända upp det översta kortet och säga talet.

• Säg ett tal och låt eleven skriva det med siffror. Inga talkort ska vara framme.

• Lägg talkorten i oordning på en rad och säg ett tal. Eleven pekar och säger talet som ”fem och ...”.

Gör uppgifterna på sidorna 2–3 i Elevhäfte A.

Triss, tex: Par, tex:

RÄKNEKONSTENS BÖRJAN

 Uppfatta att matematiken har utvecklats utifrån människors behov av att räkna i vardagen.

 Uppleva att gruppering underlättar för att snabbt uppfatta antal.

 Uppfatta att parbildning tidigt var en viktig räknemetod och att det har varit naturligt att visa antal med fingrar och andra kroppsdelar.

ORD OCH BEGREPP: gruppera, parbildning, räkneord, lika många, fler än, färre än

Kända uppfattningar och svårigheter:

• Reflekterar inte över att man har nytta av att kunna räkna utan upplever att räknandet bara är något som man måste lära sig i skolan.

MATERIAL

• Elevhäfte B (s. 2–3)

• Glasspinne

• Multilinkklossar

• Stenar

• Liten påse

• Pärlor

• K2 Maxi och Mino

• K30 Får, fåraherde och säckar med säd

Räknekonstens historia började för länge, länge sedan. Ingen vet var och exakt när man började räkna. Räknandet utvecklades från människornas behov av att t ex räkna hur många djur de ägde och jämföra antalet föremål vid byteshandel. Ett tidigt sätt att hålla reda på och visa antal var att markera med ett streck för varje föremål. För att lättare kunna uppfatta antalet streck grupperades de i t ex femgrupper. Att använda fingrar, tår och andra kroppsdelar för att räkna var också vanligt under långa tidsperioder.

Streck och stenar som visar antal – inga räkneord

Här får eleven möta metoder för att visa antal som människor använde för flera tusen år sedan. Metoden att rita streck används än i dag när eleverna jobbar med statistik i skolan och när vi spelar t ex brännboll. En annan metod var att använda stenar som representerade antal.

Berätta något om talsystemets utveckling på sidorna 180–181 som du tror kan intressera eleven. Ta sedan fram Elevhäfte B och titta på bilden av benet överst på sidan 2. – Det här är en bild på ett speciellt vargben som troligen är över 30 000 år gammalt. Titta på benet. Vad ser du? Hur tror du att strecken/skårorna har kommit dit? Samtala om att strecken förmodligen gjordes med en vass sten, eftersom det inte fanns några knivar på den här tiden.

– Vad skulle de här strecken kunna visa? Ingen kan veta det säkert. Vad tror du?

Ett möjligt svar är att en jägare drog ett streck för varje djur hen hade fångat.

Uppmärksamma eleven på grupperingen. Visa hur man kan dra streck och samtidigt gruppera. Jämför räkning av femgrupper (fem, tio, femton, tjugo) med att räkna streck utan gruppering.

– Nu ska jag knacka under bordet och du får markera varje knackning med ett streck. Knacka t ex tretton gånger och påminn eleven om att gruppera i fem. Samtala om att vi i dag ibland använder streck på liknande sätt som den person som en gång ristade streck på vargbenet, t ex vid brännboll. Då gör vi femgrupper med tvärstreck.

Peka på bilden av karvstocken i elevhäftet.

– Den här bilden visar en trästicka som kallas karvstock. Vad ser man på stickan?

Vad kan det betyda?

Ett möjligt alternativ är att någon hade lånat så många fiskkrokar eller pilspetsar av sin granne. När krokarna återlämnades delade man trästickan på mitten så att båda kunde se antalet streck för det som hade lämnats tillbaka. Det blev som ett kvitto.

Läs mer om talsystemets utveckling på s. 180–181.

1 2

Ta fram en glasspinne och lägg åtta klossar och en penna framför eleven. – Vi låtsas att den här glasspinnen är en karvstock. Jag lånar åtta klossar av dig. Visa det med streck tvärs över karvstocken. Hur kan man enkelt se att det är åtta streck? – Nu lämnar jag tillbaka dina åtta klossar. Vad ska vi göra nu?

Dela glasspinnen på längden i två halvor, så ni får varsin likadan del. Ett smart kvitto!

Titta på bilden av trädstammen i elevhäftet. Berätta att det kan ha sett ut så på en trädstam för länge sedan, då någon hade ristat ett streck varje dag efter att det hade varit fullmåne. Det är ungefär 30 dagar mellan två fullmånar och om man ristade in ett streck varje dag visste man hur långt det var kvar till nästa fullmåne. Det här är grunden till vår tideräkning och kalender med veckor, månader och år.

Gör uppgifterna på sidan 2 i Elevhäfte B.

Ta fram bilden av fåraherden. Berätta att det förr fanns fåraherdar som varje morgon vandrade med sina får till lämpliga betesmarker. Under dagen vaktade de fåren mot vilda djur. Varje kväll när en fåraherde kom tillbaka till fårhuset behövde han kolla att alla får fanns med. Om något får saknades fick han gå tillbaka och söka efter det. Ett knep för att räkna fåren var att på morgonen ta en liten sten för varje får som gick ut ur fårhuset och lägga den i en påse. På kvällen tog sedan fåraherden upp en sten ur påsen för varje får som gick in i fårhuset. Om alla får hade kommit hem blev påsen tom, men om t ex två stenar var kvar i påsen betydde det att två får saknades.

Lägg fram bilder med får, små stenar och en liten påse.

– Här är många får och nu är det din tur att vakta dem. Vad tror du att du ska göra för varje får som kommer ut ur fårhuset? (ta en sten och lägga i påsen)

Låt femton får gå ut ett och ett förbi fåraherden, eleven, som tar en sten för varje får och lägger i påsen. Sedan flyttar ni alla fåren en bit bort där de får beta. Efter en stund blir det kväll och fåren går tillbaka och passerar fåraherden ett och ett. Eleven tar upp en sten ur påsen för varje får och lägger de upptagna stenarna i en hög. Blev påsen tom?

Välj olika antal får som eleven får vakta. Ta bort eller lägg till några får när de går tillbaka, så att antalet får inte stämmer med stenarna varje kväll. Låt eleven tänka ut vad det innebär om det är t ex två stenar kvar i påsen eller fattas två stenar. Samtala om parbildning mellan ett får och en sten och att det inte fanns räkneord på den här tiden. Den första räknemetoden var kanske parbildning. Om det passar kan du visa en kalkylator, t ex miniräknaren i telefonen. Berätta att ordet calculus är latin och betyder just liten sten

Talen på kroppen

Nu får eleven pröva att visa tal genom att peka på en kroppsdel i taget. Det skapar en förståelse för hur man förr använde kroppen för att räkna.

Berätta för eleven att människorna tidigt började använda sina fingrar för att visa antal, innan det fanns någon räkneramsa. När inte de tio fingrarna räckte till använde de tårna och andra kroppsdelar. Visa bilden av barnet på sidan 3 i elevhäftet och titta tillsammans på hur talen runt barnet är skrivna. Låt eleven räkna till olika ställen på barnets kropp och säga alla tal på vägen dit. Sedan kan hen räkna på sin egen kropp.

Gör uppgifterna på sidan 3 i Elevhäfte B.

Ta fram Maxi, pärlor och klossar. – Maxi säljer pärlor. Hur många vill du köpa? Peka på din kropp. Låt eleven säga hur många hen vill köpa Sedan pekar hen på en kroppsdel i taget till dess att hen har kommit fram till det talet. Låt Maxi ge eleven en pärla för varje kroppsdel hen pekar på. Då övar eleven på parbildning. Hjälp eleven med höger och vänster när hen ska peka på talen på sig själv.

ÖKNING OCH MINSKNING

 Uppfatta skillnaden mellan ökning och minskning.

 Tolka enkla textuppgifter med ökning och minskning, och skapa konkreta modeller av uppgifternas struktur.

 Rita situationen ikoniskt och med modellen rita ruta eller motsvarande.

 Skriva uttryck med matematiskt symbolspråk och utföra beräkningen.

 Visa situationen på tallinjen.

 Konstruera egna textuppgifter till givna utsagor med ökning och minskning.

ORD OCH BEGREPP: ökning, minskning, fler, färre, färst, situation, situation, textuppgift, addera, lägga samman, summa, subtrahera, ta bort, differens/skillnad

Kända uppfattningar och svårigheter:

• Har svårt att lösa textuppgifter; hela processen eller delmomenten läsa, tolka eller kategorisera uppgifter.

• Har ingen enkel modell för att rita som stöd vid textuppgifter.

MATERIAL

• Räkneloppor i två färger

• Stickor

• K5 Talkort 0–10

• K11 Teckenkort och sifferkort (endast siffrorna 0–9)

FÖRBEREDELSER

• K16 Tallinjer 0–10

• K37 Talkort, tiotal

• K42 Tallinjer 0–50, 50–100

• K44 Tomma tallinjer

• K52 Rita ruta

• K53 Textuppgifter med ökning och minskning

• Skriv ett stort frågetecken på en tillklippt papperslapp, i samma storlek som teckenkorten.

• Klipp isär korten på K53, varje uppgiftstyp för sig.

Genom att arbeta med textuppgifter enligt en arbetsmodell får eleven möjlighet att utveckla förståelse för strukturen i olika situationer med ökning och minskning, och hur situationerna kan beskrivas med olika representationer och sedan översättas till matematiska uttryck. Med din hjälp får eleven bygga upp ett matematiskt språk och tänkande, fördjupa sin förståelse för sambandet mellan delar och helhet samt efter hand lära sig att rita ruta vid ökning och minskning. Det är elevens väg fram till svaret som ligger i fokus i arbetsmodellen.

Textuppgifter med ökning

Vid ökning beskrivs addition i dynamiska situationer – något händer och antalet ökar. Genom att rita ruta får eleven möjlighet att uppfatta relationen helhet–del–del, alltså uppgiftens struktur.

ARBETSMODELL FÖR ATT LÄRA SIG LÖSA TEXTUPPGIFTER MED ÖKNING

Använd arbetsmodellen A–G och stöd eleven i att arbeta med denna textuppgift: Mira har 7 stora pärlor. Hon får 3 pärlor till. Hur många pärlor har Mira då?

A. LÄS TEXTUPPGIFTEN

Läs uppgiften högt för eleven minst två gånger eller läs den tillsammans. Samtala om ord i texten som kan vara okända för eleven. Resonera också om vilka delarna är, hur de är relaterade till varandra och till helheten, samt vad det frågas efter i uppgiften.

B. ÅTERBERÄTTA TEXTUPPGIFTEN

Låt eleven återberätta uppgiften medan du ställer stödfrågor, för att få reda på hur hen har uppfattat uppgiftens innehåll och frågeställning. Att ha uppfattat det korrekt är en förutsättning för att kunna skapa en inre föreställning av delar och helhet. Exempel på stödfrågor: Hur var det i början? Vad hände sedan? Vad ska du ta reda på? 1

Läs mer om arbetsmodellen för att lära sig lösa textuppgifter på s. 214–217.

Läs mer om ökning och minskning på s. 211.

Uppgiftens struktur HELHET DEL Ökning DEL Från början

7 ? 3

C. SKAPA EN KONKRET MODELL

Lägg fram loppor i två färger och blanka papper. Eleven ska med hjälp av lopporna skapa en konkret modell av uppgiftens struktur. Modellen ska visa hur många pärlor Mira hade från början, hur många hon får och hur många hon har då.

– Hur skulle du kunna ha nytta av de här lopporna när du berättar om Miras pärlor?

– Vill du välja alla i en färg eller kan det vara bättre med två färger?

Föreslå att eleven väljer en färg till de pärlor som Mira redan hade och en färg till de pärlor som Mira sedan fick.

– Vad ska du ta reda på? Hur kan du göra det? Visa med lopporna.

Låt eleven lägga lopporna på en rad på ett blankt papper. Resonera om de ingående delarna och hur de förhåller sig till varandra. Låt sedan eleven beskriva sin konkreta modell, t ex ”Mira hade … Det visar de här lopporna. Sedan fick hon … Det visar de här lopporna.”

Resonera om delen 7 loppor (antalet pärlor från början), delen 3 loppor (ökningen, pärlorna som hon fick) och helheten 10 loppor (summan av delarna) samt om additionens kommutativitet, som blir tydlig när papperet med lopporna vrids 180 grader. Vad händer om man börjar med de tre lopporna när man adderar?

När eleven kan beskriva det matematiska innehållet i textuppgiften och visa det i sin konkreta modell läggs det konkreta materialet undan.

D. RITA EN IKONISK REPRESENTATION

Ett syfte med undervisningen är att eleverna ska utveckla abstrakt tänkande och inte vara beroende av det konkreta materialet i det fortsatta arbetet med uppgiften. Det är ett stort steg att gå från att lösa en textuppgift med konkret material till att använda symbolspråket. Ett viktigt mellansteg är att rita, dvs använda ikoniska representationer. Eleven får därför rita enkla ikoniska bilder som stöd för att få förståelse för uppgiften.

Låt eleven rita ringar på blanka papper. Rutor och linjer kan försvåra ritandet.

– Här får du ett papper där du får rita uppgiften med Miras pärlor.

– Hur var det från början? Vad hände sedan?

Föreslå att eleven ritar ringarna på rad om hen inte gör det. Låt hen göra ett litet längre avstånd till de tre pärlorna som Mira sedan fick, eller använd två färger på pennorna.

– Hur kan man se på dina ringar om det är en ökning eller en minskning?

– Kan man se på dina ringar hur stor ökningen är, hur många fler det är?

– Peka på din bild och berätta vad de två delarna visar.

– Vad ska du ta reda på? Hur många pärlor har Mira då?

– Vilken bra bild! Hur kan man se både vad uppgiften handlar om och lösningen?

Låt eleven peka på en del i taget och säga vad den visar. Samtala om att alla ringar tillsammans visar helheten, alla Miras pärlor. Spara elevens dokumentation.

E. RITA RUTA MED RINGAR OCH LÄGGA TALKORT

Ritade ringar är en tydlig representation vid små tal, men att rita ringar är inte effektivt vid stora tal. Då underlättar rita ruta, en modell där talen för varje del och för helheten skrivs i rutor i stället för att ritas med ringar. Nu får eleven först rita en ruta runt var och en av de två delarna med sina tidigare ritade ringar och lägga talkort som visar hur många ringar det är i varje del och hur många de är tillsammans, helheten. Låt talkorten 0–10 ligga framme i rätt ordning.

– Nu hjälps vi åt med att rita en ruta runt varje del med ringar.

– Det blev två rutor. Vad visar rutorna? Varför är de olika långa? (7 ringar och 3 ringar)

– Vilket talkort passar att lägga under den första rutan? Vad visar den? (7)

– Vilket talkort vill du lägga under den andra rutan? Vad visar den? (ökningen 3)

Resonera om vad som är helheten, så att eleven kan visa på sin bild att helheten är summan av båda delarna. Låt hen rita en ruta för helheten ovanför de båda rutorna för delarna, så att hen uppfattar att helheten motsvarar båda rutorna, och sedan lägga dit lappen med frågetecknet i rutan eftersom det är helheten som efterfrågas.

– Finns det något talkort som passar att lägga ovanför helheten? Vad visar 10:an?

Skriv helhet, del, del på bilden. Låt eleven beskriva de båda delarna och helhetsrutan, och resonera sedan om att helheten är lika lång som delarna tillsammans och att helheten visar summan av de båda delarna, 7 och 3 är 10. Berätta att man på ringarna kan se antalet. Men på talkorten ser man siffror som visar tal och för att kunna tolka dem måste man veta vad de står för. Det är ett steg mot det formella matematikspråket.

När eleven klarar av att tolka talkorten och förstår vad de representerar är det dags att gå över till att enbart rita ruta och då skriva talen i rutorna.

FORSKNING OCH MATEMATIKDIDAKTIK

TALOMRÅDE 0–10

Yngre elevers erfarenheter av tal och räkning är ofta knutna till att göra uppräkningar och att se tal som antal. Ett övergripande syfte för undervisningen med Utveckla matematiskt tänkande är att eleverna ska utvidga sina erfarenheter av att räkna antal föremål i en samling till att jämföra antal (med begreppen fler, färre och lika många) och vidare till att jämföra tal (med begreppen större, mindre och lika), undersöka tals grannar och resonera om skillnaden mellan kardinal och ordningstal.

Eleverna får också erfarenheter av att undersöka och använda tals helhet–delrelationer. Talet 5 kan delas upp i 5 + 0, 4 + 1, 3 + 2 osv. och delarna kan sättas samman till helheter igen. Genom undersökningar och reflektioner över tal på talraden och tallinjen får eleverna dessutom erfarenheter av tals ordning och att vi kan se tal som både avstånd och längd. Genom att arbeta strukturerat från det mer konkreta till den abstrakta eller symboliska matematiken och skapa samband mellan olika sätt att representera tal, kan eleverna utveckla inre föreställningar av tal: talens ordning längs en linje och hur talen relaterar till varandra.

REPRESENTATIONER AV TALEN 0–5

Matematiska begrepp är abstraktioner. Vi kan inte ta på dem och vi kan inte utan vidare uppleva dem med våra sinnen. Vi måste representera dem för att få grepp om dem – för att kunna tänka och resonera om dem. Talet 5 kan t ex representeras av fem klossar och uttryckas med räkneordet fem. När eleverna arbetar med konkreta objekt får de flera sinnliga erfarenheter genom att de kan ta i föremålen, vrida och vända på dem och flytta runt dem. När de också får sätta ord på sina handlingar kan språket hjälpa till att tydliggöra det matematiska innehållet. När eleverna sedan använder streck och ringar för att illustrera antal kan det ses som ett närmande till det matematiska symbolspråket utan att det blir så abstrakt att det tappar sitt matematiska innehåll.

För att kunna använda tal och siffror med förståelse måste eleverna få skapa samband mellan konkreta, ritade och symboliska representationer och hur vi representerar tal på en talrad. Genom att spela tärningsspel och flytta antalet steg på en talrad (spelplan) får eleverna erfarenheter av tals ordning och att vi kan se tal som avstånd och längd.

A1

TALTRAPPA OCH TALRAD

Taltrappan fungerar som en konkret gruppmodell av antal där eleverna fysiskt kan undersöka, se och känna hur antalet klossar i varje klosstapel hänger ihop med talstaplarnas höjd. Genom att bygga talen i ordning från det minsta till det största talet kan elever undersöka hur talen ökar med exakt ett för varje kloss som läggs till en klosstapel och minskar med exakt ett för varje kloss som tas bort. Vi kan inte ta för givet att elever på egen hand ser kopplingen till hur räkneorden i räkneramsan ökar och minskar med ett när man räknar framåt och bakåt. Det sambandet behöver eleverna få reflektera över och samtala om i undervisningen.

När elever bygger en taltrappa och använder en liten figur som får röra sig uppåt och nedåt i trappan får de erfarenheter av att räkna framåt och bakåt, och av att starta var som helst i räkneramsan inom ett begränsat talområde. Ökning med en kloss i nästkommande stapel motsvarar nästa räkneord i räkneramsan. Minskning med en kloss motsvarar föregående räkneord i räkneramsan.

Flyt i räkneramsan

Inom läsutveckling talar vi om betydelsen av att utveckla flyt i ordavkodning och läsning. På liknade sätt är det betydelsefullt att elever utvecklar flyt i räkneramsan, till en början inom ett mindre talområde och efter hand i allt större talområden. Flyt i räkneramsan innebär att elever inte behöver tänka efter vilket tal som kommer före eller efter ett visst tal, vilket avlastar arbetsminnet och frigör mental kapacitet till att tänka och resonera, speciellt vid mer komplexa uppgifter.

När eleven bygger en taltrappa för talen 1–10 i två färger kan femstrukturen i talen 6–10 synliggöras.

FRÅN TALTRAPPA TILL TALRAD

För att eleverna ska skapa samband mellan tal som antal och tal som längd får de lägga ner staplarna från taltrappan, en i taget, på talraden. Talraden är både en konkret modell av tal som antal, och en delvis abstrakt modell av tal. Eleverna kan vid direkt jämförelse synliggöra att en kloss på talraden har en längdenhet och täcker avståndet 0–1. Två klossar har två längdenheter som är lika med längden 2. Fem klossar har tillsammans fem längdenheter, alltså längden 5. Två 5-staplar är tillsammans en 10-stapel som motsvarar längden 10.

Om vi jämför hur ökning och minskning kan synliggöras i taltrappan och på talraden kan vi se att i taltrappan ökar varje tal med 1 åt höger för varje kloss som läggs till och minskar med 1 åt vänster för varje kloss som tas bort. På talraden ökar talens längd åt höger med 1 längdenhet för varje kloss som läggs till och minskar med 1 längdenhet åt vänster för varje kloss som tas bort.

GÅ PÅ TALRADEN

Talraden fungerar som stöd vid uppräkning och för att lära sig räkneramsan. Att gå på en talrad på golvet, känna rytmen i kroppen och taktfast räkna högt ett steg i taget, underlättar för elever att inte hoppa över något räkneord i en sekvens eller att säga samma räkneord flera gånger. Talraden är också ett viktigt stöd för att lära sig starta på vilket tal som helst i en sekvens och att räkna framåt och bakåt från det talet. Ett steg framåt på talraden motsvarar nästa räkneord i räkneramsan och innebär en ökning med ett. Ett steg bakåt motsvarar föregående räkneord i räkneramsan och innebär en minskning med ett.

K12 FÅGELDAMMAR OCH ANKOR

Gröna dammen

Gula dammen

K24 MAXI OCH MINO FUNDERAR

Maxi och Mino funderar A10

Kolla min taltrappa!

Alla klosstaplar är med. Men den ser ju konstig ut.

1. Vad tror du att Mino tycker är konstigt med Maxis taltrappa?

2. Hur kan det ha blivit så när alla fem klosstaplarna finns med?

Maxi och Mino funderar A10

Vilket tal har jag byggt?

Hur vet du att Maxi har byggt det talet?

Varför tror du att Mino har två blå klossar?

Maxi och Mino funderar A10

Jämför staplarna.

Vilka tal visar de?

Vilken stapel är enklast att läsa av? Varför?

Jag tog bara gröna klossar.

Jag har också byggt ett tal. Vilket tal är det?

Jag tog blå och gröna klossar.

Maxi

Maxi Mino Mino

Utveckla matematiskt tänkande

I LÅGSTADIET

Utveckla matematiskt tänkande innehåller undervisningsaktiviteter anpassade för elever i behov av tidiga insatser och särskilt stöd. Till aktiviteterna nns tydliga anvisningar för hur undervisningen kan genomföras. Du får veta vilka frågor du kan ställa, vad du bör observera samt vad du och eleven kan samtala om.

Boken är baserad på explicit strukturerad undervisning där eleven möter väl utvalda uppgi er som rör sig från det konkreta till det mer abstrakta. Strukturerad undervisning innefattar också att läraren gör en kartläggning av en elevs kunskaper så att stödet kan anpassas e er hens behov. Som stöd för denna kartläggning nns det diagnoser och blanketter för elevuppföljning.

I delen om forskning och matematikdidaktik kan du läsa om kritiska punkter inom de områden som undervisningsaktiviteterna berör. Texterna ger dig förståelse för vilka svårigheter matematiken kan innehålla och hur den kan presenteras för att stödja elevernas lärande.

Utveckla matematiskt tänkande i lågstadiet har tre områden med undervisningsaktiviteter:

A Talområde 0–10

B Talområde 0–100

C Textuppgifter

Till område A och B finns elevhäften som en del av undervisningen.

ISBN 978-91-27-46717-0