9789140673718

MATEMATIK ÖK UT

Lärarhandledning

Åsa Brorsson

AT IN N E H Å

3

LL

!

Innehållsförteckning Välkommen till Prima ...................................................................................... 4

Komponenter i Prima ............................................................................................. 4 Struktur och målarbete........................................................................................... 4 Mattelabbet ............................................................................................................... 5 Diagnos och uppföljning ....................................................................................... 6 Om Primas tre matriser .......................................................................................... 7 Matris – (Kopieringsunderlag) Centralt innehåll och kunskapskrav ...... 8-9 Matris – (Kopieringsunderlag) Syfte och kunskapskrav ...............................10 Matris – (Kopieringsunderlag) Förmågamatris ..............................................11 Framgångsfaktorer för matematikundervisningen .........................................12 Att arbeta med förmågorna .................................................................................12 Pedagogisk planering.............................................................................................14 Anvisningar till Prima 3A ....................................................................... 16-87

Matematiska profiler genom historien .............................................................17 Talsystem genom historien ..................................................................................26 Anvisningar till Prima 3B ...................................................................... 88-159

Extra geometriövning ........................................................................................ 133 Algebra .................................................................................................................. 147 Kopieringsunderlag översikt .................................................................... 160

Kopieringsunderlag .................................................................................. 161-200

Välkommen till Prima Prima är framtagen utifrün den nya läroplanen, Lgr 11. Materialet ger dig som lärare mÜjlighet att pü ett enkelt sätt undervisa utifrün de nationella mülen i matematik och genom vüra matriser blir det dessutom lätt att fÜlja varje elevs kunskapsutveckling och gÜra den tydlig fÜr elever och fÜräldrar.

Struktur och mĂĽlarbete 1

Kojbygget

MĂ…L

I det här kapitlet lär du dig „ talraden 0 till 100 „ udda och jämna tal

I Prima arbetar vi fĂśr att utveckla elevernas fĂśrmĂĽgor att reflektera, argumentera och kommunicera med matematikens sprĂĽk och uttrycksformer.

Det gĂśr vi bland annat genom att lyfta fram laborativt arbete och matematiska diskussioner. Du fĂĽr mĂśjlighet att skapa ett kreativt arbete i matematik i ditt vanliga klassrum, med enkelt material som du redan har tillgĂĽng till.

Vi rekommenderar att klassen hĂĽlls samman sĂĽ att alla elever samtidigt arbetar med samma avsnitt.

Tack vare de repetitioner och utmaningar som finns i süväl grundbok som lärarhandledning kan alla elever fü arbeta pü sin egen nivü inom aktuellt omrüde.

Â&#x201E; använda tecknen >,< och = Â&#x201E; addition och subtraktion i talomrĂĽdet 0 till 20 Â&#x201E; addition och subtraktion med hela tiotal Â&#x201E; räkna med tiotal och ental.

4

5

MĂĽl och samtalsbild

I Prima inleds varje kapitel med ett illustrerat startuppslag där kapitlets mül tydligt framgür.

Dessa mül üterfinns ocksü i matrisen där du pü ett Üversküdligt sätt kan se hur mület relaterar till Lgr 11 i form av det centrala innehüllet, och till fÜrmügorna sü som de uttrycks i kunskapskraven fÜr godtagbara kunskaper i slutet av ürskurs 3.

Startuppslaget fungerar som ett samtalsunderlag och i lärarhandledningen finns exempel pü frügor att använda.

Komponenter i Prima -ATTELABBET

Materialet fÜr skolür 3 bestür av tvü grundbÜcker, en lärarhandledning, en extrabok, en utmaningsbok, en elevwebb och en lärarwebb. Extraboken kan användas fÜr mer träning eller som läxbok.

FÜr de elever som behÜver ytterligare utmaning finns Prima Utmaning 3. I elevwebben kan eleverna i olika spel Üva vidare pü nügra av de mül som finns i varje kapitel. Lärarwebben innehüller bl.a. samtalsbilderna, mülen att projicera pü interaktiv skrivtavla, extra färdighetsträning i form av kopieringsblad samt interaktiva Üvningar i Gleerups matematik verktygslüda.

4

2ITA OCH SKRIV DINA LySNINGAR

SUMMA

(iMTA EN LITEN NiVE KNAPPAR OCH EN LITEN NiVE PiRLOR

2iKNA HUR MkNGA DU HAR AV VARJE SORT

2iKNA UT SUMMAN

2iKNA UT DIFFERENSEN

2ITA OCH SKRIV EN KOMPIS LySNINGAR

SUMMA

,ABORATIVT ARBETE MED ADDITION OCH SUBTRAKTION

,d3.).'

DIFFERENS

,d3.).'

DIFFERENS

5NDERLAG FyR UTBYTE AV IDmER OCH DISKUSSION

Matematiklaborationer

Efter startuppslaget fĂśljer â&#x20AC;?Mattelabbetâ&#x20AC;?, en laboration i vilken barnen fĂĽr arbeta konkret med ett av kapitlets mĂĽl, läs mer nedan.

Primas matriser -`,

4ALRADEN TILL

-`,

3KRIV FiRDIGT TALRADEN

*iMNA TAL KAN DU DELA I LIKA STORA DELAR 5DDA TAL KAN DU INTE DELA I LIKA STORA DELAR

-kLA JiMNA TAL GRyNA OCH UDDA TAL BLk

$RA STRECK FRkN TILL HOPP

3KRIV FiRDIGT TALMyNSTRET

5DDA OCH JiMNA TAL

Grundkapitel

I kapitlet stür mülen som tränas som rubriker pü sidorna, detta gÜr det lätt fÜr dig som lärare att se vilka sidor som Üvar vilket moment.

$IAGNOS

2INGA IN ALLA UDDA TAL

3KRIV ADDITIONEN

3KRIV FiRDIGT TALRADEN

KR KR KR

3KRIV SUBTRAKTIONEN

$ELA UPP TALET I TIOTAL OCH ENTAL

3iTT UT RiTT TECKEN 6iLJ MELLAN

KR KR KR

5DDA OCH JiMNA TAL

4ECKNEN OCH

KR KR KR

!DD OCH SUBTR TALOMRkDET TILL

!DDITION OCH SUBTRAKTION MED HELA TIOTAL OCH ENTAL

2iKNA MED TIOTAL OCH ENTAL

Diagnos

Efter grundkapitlet finns en diagnos som testar kapitlets mĂĽl var fĂśr sig. UtifrĂĽn resultatet pĂĽ diagnosen arbetar sedan eleverna vidare med repetition och/eller utmaning.

REPETITION

Skriv färdigt talraden.

74 75

72 37

3iTT UT RiTT TECKEN 6iLJ MELLAN

92

41 62

2%0%4)4)/.

3iTT UT RiTT TECKEN 6iLJ MELLAN

20

18

80

41

44

69

Ringa in alla jämna tal i talraderna.

UTMANING

Skriv färdigt talmÜnstret.

5

10

15

11

21

31

1 00

200

300

Hitta pĂĽ ett eget talmĂśnster.

54-!.).'

3iTT UT TECKEN Sk ATT DET STiMMER 6iLJ MELLAN

20

FĂśr ett framgĂĽngsrikt arbete i matematik behĂśvs konkret arbete och diskussioner kring matematik.

Med sprükets hjälp bygger man broar mellan det konkreta och det abstrakta och tillbaka igen, detta är ett arbete som ständigt müste pügü och mattelabbet ger dig som lärare en god grund fÜr detta.

3KRIV FiRDIGT

4ALRADEN TILL

Mattelabbet

KR KR KR

Till Prima finns tre matriser, matriserna utifrün syfte och centralt innehüll i Lgr 11 (planschen) och fÜrmügamatrisen som elev och lärare kan använda fÜr att visa hur elevens matematiska fÜrmügor utvecklas utifrün de fÜrmügor som lyfts fram i syftetexten. Alla matriserna finns som kopieringsunderlag och lämpar sig mycket bra som underlag vid utvecklingssamtal. Här kan du tillsammans med elev och fÜräldrar fÜlja kunskapsutvecklingen. Läs mer om matriserna nedan.

Talraden 0 till 100. Udda och jämna tal.

4ECKNEN OCH

Repetition och utmaning

Varje moment testas och fÜljs upp fÜr sig vilket innebär att samma elev kan gÜra repetition pü ett moment och utmaning pü ett annat.

Laborationerna genomfÜrs med hjälp av mycket enkelt material, oftast bara plockmaterial süsom stenar, knappar, pärlor eller liknande. Varje elev für arbeta konkret med materialet i Üvningar som ger rika mÜjligheter till en matematisk diskussion.

Mattelabbet är utformat fÜr att ge mÜjligheter att arbeta büde individuellt, i par och i grupp.

Eleverna fĂĽr inte samma resultat, det finns alltid nĂĽgon faktor med som gĂśr att eleverna inte har exakt samma lĂśsning.

Pü hÜgersidan lyfts sedan elevernas olika tankar och idÊer fram. Pü denna sida Üvas elevernas fÜrmüga att fÜrklara sin lÜsning med bild och text samt att sedan kommunicera detta med en kompis och i gruppen. Lüt detta moment ta tid och betona vikten av en utfÜrlig fÜrklaring. Medan eleverna arbetar med labbet är det lämpligt att du som lärare iakttar hur de lÜser uppgiften. Skriv ner de olika lÜsningsmodeller du ser och fÜrsÜk att fÜr dig själv rangordna dessa frün den enklaste till den mest utvecklade lÜsningsmodellen. När det är dags fÜr den viktiga gemensamma diskussionen kan du använda fÜljande modell: Om det är en lÜsning som är lämplig att visa pü tavlan 5

delar du in tavlan i lika många fält som det antal lösningsmodeller du sett. Inled sedan med att låta en av de elever som enligt din åsikt valt den enklaste eller minst utvecklade lösningsmodellen komma fram och visa sin lösning. Lyft fram det positiva som finns i denna lösningsmodell, bygg sedan vidare genom att låta en elev som representerar nästa steg i ”lösningstrappan” komma fram, lyft fram det positiva i den lösningen och så vidare tills alla lösningar finns representerade. Ofta kan det finnas fyra till fem olika lösningsvarianter. Nästa steg blir nu att låta alla elever berätta vilken av lösningsmodellerna på tavlan som mest liknar deras egen. Skriv gärna elevernas namn bredvid denna.

Kanske finns det nu någon elev som tycker att deras modell inte finns med bland de visade varianterna. Låt dem då förklara sin lösning, kanske är det en variant du missat eller så ser eleven själv inte likheterna med en annan lösning. I en diskussion brukar elevgruppen kunna argumentera för var lösningen hör hemma! När alla lösningar finns representerade är det dags för eleverna att fundera över de fördelar de olika modellerna har. Fråga eleverna vilken modell de skulle välja om de skulle göra om uppgiften? Skulle de byta variant eller är de nöjda med sin egen lösning? Genom att börja med den enklaste lösningsvarianten känner alla elever att de har något att bidra med, de kan också byta upp sig en lösningsmodell genom att de får lättare att följa med i kamraternas resonemang när svårighetsgraden ökar stegvis.

Diagnos och uppföljning I diagnosen testas kapitlets mål var för sig. När eleverna gjort diagnosen rättas den av läraren som i samband med detta fyller i hur eleven ska arbeta vidare. Varje mål följs upp för sig vilket gör att eleverna bara repeterar de moment som är aktuella, i övrigt arbetar de med utmaningar inom samma matematiska område.

I Prima ligger repetition och utmaning till varje mål på samma sida i boken, detta gör att alla elever arbetar med målet på sin egen nivå. Då du som lärare rättar diagnosen kan du direkt bläddra till de efterföljande repetitions- och utmaningssi6

dorna och med ett enkelt kryss markera vilken/ vilka delar av sidan som eleven ska arbeta på.

Efter diagnosen kan eleverna delas in i tre huvudgrupper: 1. De elever som i diagnosen visar att de har förstått momentet och behöver en utmaning.

Dessa elever går direkt till utmaningen.

2. De elever som förstått grunderna men behöver öva mer för att befästa kunskapen. För dessa kan ibland en kortare genomgång krävas men i princip kan de sedan arbeta vidare med repetitionsuppgifterna och eventuellt gå vidare med vissa av utmaningarna.

3. De elever som har stora svårigheter med ett moment och behöver konkreta genomgångar och övningar med eventuellt material innan de kan gå vidare till repetitionsuppgifterna.

Denna grupp brukar vara den minsta till antalet, men det är här du som lärare behöver lägga fokus.

Om Primas tre matriser I matrisen utifrån centralt innehåll och kunskapskrav i Lgr 11 visas hur eleverna i Prima arbetar med det centrala innehållet och hur innehållet kopplar till kunskapskraven för skolår 3. Du kan använda matrisen för att markera vilka avsnitt eleven behärskar genom att färglägga de olika rutorna efterhand. Tänk på att markeringen ska visa om eleven behärskar området eller inte. Det handlar alltså inte bara om att enbart visa att man har arbetat med ett område.

Den andra matrisen heter Syfte och kunskapskrav.

Här kan du se hur vi arbetar med matematikämnets övergripande syfte (Lgr 11). Denna matris är främst avsedd för dig som lärare.

Matriserna finns som kopieringsunderlag och dessutom följer en färgplansch med i lärarhandledningen.

Här kan du läsa vad Prima i skolår 3 tar upp för matematiskt inehåll.

Här kan du läsa hur Prima matematik år 3 kopplar till Lgr 11:s centrala innehåll.

3 CENTRALT INNEHÅLL OCH KUNSKAPSKRAV Centralt innehåll

Taluppfattning och tals användning Dela upp tal på olika sätt 3A, kap 1

Olika sätt att visa naturliga tal

Markera och avläsa tal på tallinjen

Skriva och storleksordna höga tal

Ordningstal, blandad träning

Taluppfattning, blandad träning

3A, kap 1

3B, kap 6

3B, kap 6

3B, kap 8

3B, kap 10

Matematikens historia, Olika talsystem genom tiderna

Mer om positionssystemet

Positionssystemet, blandad träning

3A, kap 1

3A, kap 5

3B, kap 10

Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal.

3B, kap 7

Tal i bråkform, blandad träning

Om tal i bråkform

3A, kap 4

3B, kap 7

Multiplikation och division

Att välja räknesätt

3A, kap 1, 2 och 3 3B, kap 8

3B, kap 7

Multiplikation och division med 2 och 4 3A, kap 1 med 5 och 10 3A, kap 2 med 3 och 6 3A, kap 3 med 7, 8 och 9 3B, kap 8

3A, kap 5

Eleven har grundläggande kunskaper om naturliga tal och kan visa det genom att beskriva tals inbördes relation samt genom att dela upp tal.

Hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. Symboler för tal och symbolernas utveckling i några olika kulturer genom historien.

Om tal i bråkform

De fyra räknesätten

Kunskapskrav år 3

Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur de kan användas för att ange antal och ordning.

Naturliga tal och enkla tal i bråkform och deras användning i vardagliga situationer.

De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer.

Huvudräkning, addition

Addition med uppställning och växling

Rimlighets-bedömning och överslags-räkning

Huvudräkning i subtraktion

Subtraktion med uppställning och växling

3A, kap 2

3A, kap 2

3A, kap4

3A, kap 4

3A, kap 4

Strategier vid huvudräkning, addition och subtraktion

Addition och subtraktion med uppställning

Multiplikation och division Strategier vid huvudräkning, Redovisa uppställning i i ett utvidgat talområde multiplikation och division räknehäfte

3B, kap 6

3B, kap 6

3B, kap 7

Rimlighetsbedömning i samband med överslagsräkning 3A, kap 4

Eleven visar grundläggande kunskaper om tal i bråkform genom att dela upp helheter i olika antal delar samt jämföra och namnge delarna som enkla bråk.

Rimlighetsbedömning vid additions- och subtraktionsuppställningar

3B, kap 8

Eleven kan välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar med naturliga tal och lösa enkla rutinuppgifter med tillfredsställande resultat. Eleven kan använda huvudräkning för att genomföra beräkningar med de fyra räknesätten när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0-20, samt för beräkningar av enkla tal i ett utvidgat talområde. Vid addition och subtraktion kan eleven välja och använda skriftliga räknemetoder med tillfredsställande resultat när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0-200.

Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning och vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning i olika situationer.

3B, kap 9

Rimlighetsbedömning vid enkla beräkningar och uppskattningar.

Rimlighetsbedömning vid problemlösning

Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och räknesätt samt om resultats rimlighet

3B, kap 8

3B, kap 6 och kap 9

Centralt innehåll

Algebra Matematiska likheter, öppna utsagor

Matematiska likheter, algebra

3A, kap 1-5 3B, kap 6-10

3A, kap 5

Algebra: mönster, likhetstecknets betydelse och bokstavssymboler

Kunskapskrav år 3

Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse.

Eleven kan hantera enkla matematiska likheter och använder då likhetstecknet på ett fungerande sätt.

Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas.

Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om geometriska mönster och mönster i talföljder

3B, kap 10

Mönster vid multiplikation

Mönster, tid

Mönster med stickor

Talmönster

3A, kap 1 och 3

3A, kap 3

3A, kap 4

3B, kap 8

Det finns en matris för skolår 1 och 2 också. Du hittar dem i LH1 och LH2.

I den tredje matrisen, förmågamatrisen har vi brutit ned och gett exempel på hur de olika matematiska förmågorna kan utvecklas. I denna matris kan elev och lärare tillsammans göra en bedömning och kryssa för om eleven har uppnått nivån (ja, nej eller är på gång). Notera att förmågorna har den egenskapen att det handlar om att utveckla kvaliteterna på elevernas kunnande.

Exempelvis kan en elev ha grundläggande kunskap om begrepp inom geometrin medan en annan elev kan ha goda kunskaper och kan förklara samband mellan begreppen. Det handlar då om samma förmåga men eleverna har nått olika kvalitet på sitt kunnande. Du ska använda samma förmågamatris till alla tre skolåren.

Här kan du läsa hur Prima matematik år 3 kopplar till Lgr 11:s kunskapskrav.

FÖRMÅGAMATRIS Förmåga att formulera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier och metoder Ja

På gång Nej

Förmåga att föra och följa matematiska resonemang Ja

På gång Nej

kan översätta konkreta händelser till matematikens symbolspråk

Kan följa ett matematiskt resonemang som läraren förklarar

kan välja en lösningsmetod och lösa matematiska problem

Kan själv föra ett matematiskt resonemang

kan avgöra vilken lösningsmetod som är mest lämplig i en given vardaglig problemlösningssituation

Kan argumentera logiskt för sin lösning Kan följa kamraternas matematiska resonemang

funderar över svarets rimlighet

Kan reflektera över sin egen lösning och se styrkor och svagheter

kan avgöra ett svars rimlighet

Kan reflektera över någon annans lösning och se styrkor och svagheter

kan själv formulera matematiska problem Kommentar:

Kommentar:

Förmåga att använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp Ja

På gång Nej

Förmåga att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser Ja

På gång Nej

förstår olika matematiska begrepp

kan med konkret material visa och förklara matematiska händelser

använder sig av olika matematiska begrepp

kan med bilder visa och förklara matematiska händelser kan med matematiska symboler visa och förklara matematiska händelser

kan beskriva egenskaper hos matematiska begrepp och ge exempel på enkla samband mellan dem

förstår enkla matematiska ord försöker använda matematiska ord och använder dem mestadels i rätt sammanhang

Kommentar:

behärskar matematiska ord och använder dem i rätt sammanhang kan i samtal använda sig av ett matematiskt språk kan i skrift använda sig av ett matematiskt språk

Förmåga att välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter Ja

Kommentar:

På gång Nej

kan avgöra vilket räknesätt som ska användas kan lösa en uppgift på ett sätt kan lösa samma typ av uppgift på flera sätt kan välja den mest effektiva matematiska beräkningsmetoden Kommentar:

Förmågorna som eleverna ska utveckla, står på fliken.

7

Framgångsfaktorer för matematikundervisningen

på sin nivå samtidigt som gruppen som helhet hålls samman och arbetar med samma moment.

Tydliga mål

Genom att gruppen hålls samman blir det rika tillfällen till gemensamma genomgångar och diskussioner, något som gynnar alla elever. Inom samma område kan eleverna genom att använda repetitions- och utmaningsuppgifter få möta samma ämnesinnehåll men på olika nivåer. Ett annat mycket viktigt sätt att individualisera inom ramen för det gemensamma är att förvänta sig att alla skriver förklaringar, reflekterar och argumenterar utifrån sin förmåga. När man fokuserar på förmågorna finns det så att säga inget ”tak” utan bara olika kvaliteter på kunnandet.

Senare tids forskning har visat på några viktiga framgångsfaktorer för att matematikundervisningen ska ge resultat. En av dessa faktorer är att målen för undervisningen är väl kända av eleverna. I Prima har vi lyft fram detta genom att göra målen tydliga i boken samt att koppla dessa till kunskapskraven i Lgr 11.

Formativ bedömning

En annan framgångsfaktor är att eleverna känner till vad det är som ska bedömas och hur detta ska bedömas. De ska också känna till vad nästa steg i utvecklingen är och hur de kan nå dit. Här är det viktigt att det blir tydligt för eleverna att matematik inte enbart handlar om att kunna avge ett korrekt svar, det handlar också om att kunna förklara sina tankegångar, att kunna använda matematiska begrepp på ett korrekt sätt och att kunna förklara olika matematiska samband. I Prima har vi skapat ett material som hjälper dig som lärare att arbeta med att utveckla elevernas förmågor, använd dig av föreslagna laborationer så att eleverna verkligen får tillfälle till exempelvis diskussioner.

En gemensam och individualiserande undervisning

Individualisering har inom matematiken kommit att handla om hastighetsindividualisering och har inneburit att eleverna har räknat på i sin egen takt och att matematiktimmarna framför allt har ägnats åt tyst räkning. Denna syn på individualisering ses som en av förklaringarna till sjunkande resultat i matematik och är mycket negativ. En annan form av individualisering har handlat om nivågruppering, även detta har visat sig vara negativt då grupperingarna har visat sig ha inlåsningseffekter då eleverna inte förmått höja sig till nästa nivå. Här spelar troligen elevens och lärarens förväntningar på resultatet in, med höga förväntningar når eleven längre. Vi menar att individualisering istället ska handla om att möta varje elev

12

Att arbeta med förmågorna Syftestexten i Kursplanen i matematik i Lgr 11 finns sammanfattad i fem avslutande punkter.

Här ger vi några förslag till hur du med hjälp av Prima kan arbeta med dessa punkter: • Att utveckla förmågan att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. (Syfte Lgr 11) I Prima har vi valt att utgå från fem punkter vid problemlösning (se kopieringsunderlag 21), vi kallar det för strategier vid problemlösning (handen). Dessa punkter finns med i elevboken men det finns också upprepade hänvisningar till dem i lärarhandledningen. Vi har valt att arbeta med punkterna genom att lyfta fram olika delar av dem vid olika tillfällen. Bilden av en hand är tänkt att hjälpa eleverna att komma ihåg de fem stegen.

1.

2.

3.

TÄN

LÄS

K OC

H PL

ANE

LÖS 4.

REDOVISA 5.

RIM

LIG

HET

RA

1. Läs

5. Rimlighet

Det här är en punkt som behöver få ta tid, det är en mycket viktig del av problemlösningsprocessen hänger nära samman med den andra punkten: Tänk och planera. Låt gärna eleverna läsa och diskutera vad uppgiften innebär med en kompis.

Genom att formulera vad problemet är kan man lättare komma vidare. Tänk på att inte falla i fällan att lotsa fram eleverna till lösningen! Om de behöver hjälp att förstå uppgiften handlar det istället om att ställa frågor som får dem att reflektera. Uppmana dem att förklara vilka delar av uppgiften de förstår och vilka delar de inte förstår.

Det femte och avslutande steget i problemlösningsstrategin är att bedöma rimligheten. Är svaret rimligt? Har du svarat på frågan? Elever med en god taluppfattning tycks ofta göra denna rimlighetsbedömning automatiskt, andra elever behöver tränas i att bedöma rimlighet. Genom att kontrollera svaret mot frågan så upptäcker eleven ofta själv eventuella misstag och orimligheter.

2. Tänk och planera

I Prima har vi konsekvent använt oss av en korrekt matematisk terminologi. Eleverna möter många begrepp i boken men den viktigaste begreppsinlärningen står du som lärare för.

Genom att i genomgångar och diskussioner använda matematiska ord och begrepp får eleverna även höra begreppen användas dagligen.

Uppmuntra eleverna att använda begreppen i muntliga och skriftliga förklaringar. Ett sätt att systematiskt arbeta med begrepp är att till exempel en gång/vecka lyfta fram ett begrepp som eleverna själva ska förklara. Låt varje elev ha en egen skrivbok där de samlar sina förklaringar. Alla matematikens delar kan användas för detta ändamål!

Efter att man har läst uppgiften gäller det att fokusera på vad det är man ska ta reda på och utifrån detta fundera över hur man kan lösa uppgiften. Eleverna får i mattelabb och vid olika typer av problemuppgifter öva sig i att välja olika lösningsmetoder beroende på uppgiftstypen. Några metoder som presenteras är att skriva, rita, bygga, göra en tabell, göra en uträkning eller att pröva.

Olika lösningsmetoder passar olika bra till olika typer av uppgifter, därför är det viktigt att eleverna vid gemensamma diskussioner får jämföra sin egen lösning med kompisarnas lösning och lära sig att se styrkor och svagheter i olika typer av lösningar. Det är också viktigt att lyfta fram styrkan i att en uppgift kan lösas på flera olika sätt.

3. Lös

Här genomför eleven arbetet med att hitta svaret på problemet. Kanske genom att gissa och pröva eller genom att göra någon uträkning.

4. Redovisa

Den fjärde punkten handlar om att redovisa sin lösning. Att ha tillgång till en tydlig struktur vid redovisning av lösningen är ofta en god hjälp för att lösa problemet. I Prima 3B (kapitel 9) tränas eleverna i att redovisa problem genom att använda olika rubriker.

• Att utveckla förmågan att använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp. (Syfte Lgr 11)

Några exempel: • Kopiera en additionsuppställning från boken och be eleverna klistra in denna samt förklara steg för steg hur de tänker när de löser uppgiften. Inled gärna med att samla olika matematiska ord som eleverna tror att de kan få användning av när de ska förklara uppgiften, det skulle t.ex. kunna vara ord som ental, tiotal, addition och summa.

• Kopiera en klockuppgift från boken och be eleverna förklara hur de vet var de ska rita visarna. Uppmana dem att använda så många matematiska ord som möjligt.

• Be dem rita tre olika fyrhörningar och förklara likheter och skillnader mellan de olika objekten.

13

• Kopiera en uppgift där de ska placera tal i storleksordning och be dem förklara hur de gör för att lösa uppgiften.

Genom att medvetet arbeta med att förklara begrepp utvecklar eleverna sin begreppsuppfattning. Uppgiften fungerar bra för alla elever eftersom de skriver förklaringen utifrån sin egen kunskapsnivå. Det blir också ett utmärkt dokument att ha som underlag vid bedömning.

Vi har i Prima velat ge möjlighet till matematiska diskussioner men det är du som lärare som avgör om materialet får den funktionen eller inte! Ha som mål att prata matematik under varje matematiklektion, det kan vara i par, mindre grupp eller helklass. Se till att begreppen lyfts kontinuerligt!

• Att utveckla förmågan att välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter. (Syfte Lgr 11) Att kunna välja lämpliga matematiska metoder innebär bland annat att kunna lösa problem på olika sätt, men det handlar också om att kunna avgöra vilket räknesätt som ska användas och om uppgiften bör lösas med huvudräkning eller skriftliga räknemetoder, till exempel uppställning.

Inom varje räknesätt finns det flera olika tankemodeller som vi i Prima medvetet har valt att arbeta med. I subtraktion har eleverna t.ex. redan från skolår 1 mött tankeformerna ”ta bort” och ”jämföra”, detta innebär att eleverna har möjlighet att välja just den strategi som är mest lämpad för den aktuella uppgiften. I division har modellerna delningsdivision (dela lika) och innehållsdivision (hur många gånger ryms/går nämnaren i täljaren) presenterats. Detta har vi gjort för att eleverna ska ha tillgång till olika tankemodeller men också för att de ska kunna utnyttja sambanden mellan olika räknesätt. I Prima möter eleverna uppgifter där de ska avgöra vilket räknesätt de ska använda för att lösa uppgiften och de textproblem som finns med i boken är utformade så

14

att eleverna ska behöva fundera över viket räknesätt som ska användas.

• Att utveckla förmågan att föra och följa matematiska resonemang. (Syfte Lgr 11) Genom att ge rika tillfällen till muntliga diskussioner och skriftliga förklaringar övas eleverna i att föra matematiska resonemang. Ett exempel på ett sådant tillfälle är mattelabbet, där huvudsyftet är att visa på sambandet mellan den konkreta övningen och de mer abstrakta förklaringarna.

Genom att alla elever ritar och/eller skriver ner sin egen lösning och sedan jämför med en kompis så övar de sig både i att föra och följa resonemang. Förutom mattelabben finns det många andra tillfällen. Låt eleverna ofta få dela med sig av sina förklaringar och jämföra olika lösningsmodeller i grupp. Tänk på att det lika gärna kan handla om att förklara hur man räknar ut additionen t.ex. 9+7 som att berätta vad som är summan. Med det tankesättet finns det mängder av tillfällen till diskussioner!

• Att utveckla förmågan att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. (Syfte Lgr 11) Genom att du skapar ett klassrumsklimat där diskussioner är en självklar del av matematikundervisningen och genom att du gör det tydligt för eleverna, att samtala, argumentera och redogöra, är förmågor de ska utveckla, kommer eleverna naturligt att använda matematikens olika uttrycksformer.

Pedagogisk planering En pedagogisk planering kan se ut på olika sätt men det är några delar som bör vara med.

Planeringen bör formuleras så att den blir ett verktyg för dig som lärare, elever och föräldrar.

Använd gärna kopieringsunderlag 39-40.

I den pedagogiska planeringen bör följande delar finnas med: • Centralt innehåll och koppling till förmågorna i kursplanens syfte.

I Primas matris kan du se på vilket sätt de olika delområdena hänger samman med det centrala innehållet och kunskapskraven. Titta också på den delen av matrisen där de mer generella förmågorna lyfts fram.

• En förklaring av målen, gärna genom exemplifiering, för eleverna.

Vad innebär målen rent konkret för eleverna?

Vilka begrepp är det ni ska arbeta med? Vilka områden?

• Arbetssätt och arbetsformer, på vilka sätt ska ni arbeta med området?

Vilka laborativa övningar ska ni göra? Andra praktiska inslag? Kommer ni att göra något i par eller grupp? Ska ni arbeta med skriftliga förklaringar utöver bokens övningar?

Färdighetsträning? Spel? Är det något ni ska göra i samarbete med andra ämnen?

• Bedömning. Vad är det som kommer att bedömas och på vilka sätt och i vilka sammanhang kommer bedömningen att ske?

Vad är det som eleverna förväntas kunna när området är avslutat`? Hur kan de visa det? Det kan t.ex. handla om att delta i diskussioner, att skriva utförliga förklaringar med matematikens språk, att göra ett stapeldiagram, att bygga en tredimensionell figur, att redovisa ett arbete eller liknande.

Lycka till i arbetet med Prima matematik!

15

KAP 1 • PRIMA MATEMATIK 3A

1

På matematikmuseum

MÅL

I det här kapitlet lär du dig • dela upp tal på olika sätt • multiplikation och division med 2 och 4 • olika sätt att visa naturliga tal • om matematikens historia.

4

5

Samtalsunderlag kapitel 1 Titta tillsammans på bilden och beskriv vad ni ser. Visa målen och diskutera med barnen vad de ska lära sig i det här kapitlet: • • • •

olika sätt att dela upp tal multiplikation och division med 2 och 4 olika sätt att visa naturliga tal matematikens historia.

Samtalsunderlag

1) Var tror du att barnen är?

2) Vad ser du på bilden som har med matematik att göra? På vilket sätt har det du ser med matematik att göra?

3) Vilka olika former ser du på bilden?

4) Vilka siffror ser du?

5) Vilka tal ser du?

6) Ser du några tecken som du inte känner igen?

Vad tror du att det är för tecken?

7) Vad finns det på bilden som man kan mäta tid med? Klockor, timglas 8) Hur mäter man tid?

9) Vilka enheter mäter man tid i? Timmar, minuter, sekunder, tiondels sekunder, dygn etc.

16

10) Klockan på bilden har inte de arabiska siffrorna (1, 2, 3 osv.). Vad är det för slags tecken på klockan? Romerska siffror 11) Vad finns det på bilden som man kan mäta längd med? Linjal och måttband visar formella enheter men man kan också mäta med andra föremål.

12) Hur mäter man längder?

13) Vilka enheter mäter man längd i i dag?

T.ex. m, dm, cm, mm, km, mil 14) Vet du några längdenheter som man använde förr? T.ex. aln, fot, tum 15) Vad finns det på bilden som man kan väga med? Två olika typer av balansvågar 16) På vilka olika sätt kan man väga saker? Det finns olika typer av vågar, t.ex. digitala vågar och balansvågar. Man kan också väga saker i händerna, jämföra vikt etc.

17) I vilka enheter väger man? T.ex. kg, hg, g, ton 18) Vad finns det på bilden som man kan mäta volym med? Kärlen på bordet 19) Hur mäter man volym?

20) Vilka volymenheter använder man i dag?

T.ex. l, dl, cl, ml

PRIMA MATEMATIK 3A • KAP 1

Matematiska profiler genom historien Pythagoras som levde ca 570 – ca 497 f.kr, var en grekisk matematiker och filosof. Pythagoras föddes på den grekiska ön Samos men flydde och hamnade så småningom i Italien där han grundade en skola. Det är Pythagoras som har hittat på ordet matematiker. De elever som hade studerat länge och var extra skickliga kallade han nämligen för mathematikoi. Mest berömd är han för Pythagoras sats, men det var inte han som hittade på den, den hade funnits i mer än 1000 år när han föddes. Pythagoras sats används för att räkna ut längden på sidorna i en rätvinklig triangel: a²+b²=c² (kateterns längd²+kateterns längd²=hypotenusans längd²).

Eratosthenes som levde ca 285 – ca 200 f.kr, var en grekisk vetenskapsman och diktare. Han är bl.a. känd för att ha hittat en modell för hur man kan ta reda på vilka tal som är primtal. Ett primtal är ett naturligt tal som är större än 1 och som bara är delbart med 1 och med sig själv. Modellen för att hitta primtalen kallas för Eratosthenes såll.

Prova själv metoden: Skriv upp alla tal från 2 till 100. Ringa in talet 2. Stryk alla andra tal som är jämnt delbara med 2. När ni har gjort det tittar ni vilket det första talet är som ni inte har strukit.

Det är talet 3. Ringa in 3 och stryk sedan alla andra tal som är jämnt delbara med 3. Det första talet som efter detta inte är struket är 5. Ringa in talet 5 och stryk alla andra tal som är jämnt delbara med 5. Fortsätt på samma sätt tills ni kommer upp till 100. Alla tal ni har ringat in är primtal (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97).

al-Khwarizmi som levde ca 780-850, var en arabisktalande matematiker. Han skrev de första standardverken i aritmetik och ekvationslära. I sin bok beskrev han bl.a. de ”indiska” siffrorna 1-9 och 0, positionssystemet och al-jabr (algebra). alKhwarizmi sägs också ha fått ge namn åt algoritmen; en bestämd procedur för att lösa en uppgift.

Hans böcker har haft mycket stor inverkan på den islamiska och den tidiga västerländska matematikutvecklingen.

Leonardo Fibonacci som levde ca 1170- ca 1250, var en italiensk matematiker som växte upp i Algeriet. Han skrev en mycket viktig bok om räknekonsten ”Liber abaci”. I boken beskrev Leonardo de arabiska siffrorna och positionssystemet som han hade lärt sig i Algeriet. Han tyckte att det var ett mycket smartare och enklare system än det romerska systemet som användes i Europa, eftersom man med tio siffror kunde skriva alla tal, men det tog ändå flera hundra år innan de arabiska siffrorna började användas i Europa.

Fibonacci har gett namn åt Fibonaccis talföljd, där varje tal är summan av de två föregående talen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 osv.

Sonja Kovalevsky som levde 1850-1891, var en rysk matematiker. Hon föddes i Moskva (det är hon som håller i tavlan längst ner på samtalsbilden i kapitel 1). Sonja hette egentligen Sofja.

Hennes pappa uppmuntrade hennes intresse för matematik och naturvetenskap. I Ryssland fick inte kvinnor studera på universitet så därför flyttade Sonja till Tyskland. 1881 flyttade hon till Sverige och 1884 blev hon professor vid Stockholms högskola. Hon blev då både Sveriges och världens första kvinnliga matematikprofessor.

Källor: Dahl, K. (1994), Matte med mening. Alfabeta, Kiselman, C., Mouwitz, L., (2008), Matematiktermer för skolan, Nationellt Centrum för matematikutbildning Scott, J, Hansen H.C, Jess, K & Schou, J (2010), Matematik för lärare, grundbok 1 och 2. Gleerups och NE.

17

KAP 1 • PRIMA MATEMATIK 3A

Mattelabbet 1 1

Hämta 24 knappar.

2

Dela upp knapparna i högar på minst 3 olika sätt.

3

Skriv på mattespråket hur du delat upp dina knappar.

4

Skriv på mattespråket hur en kompis delat upp sina knappar.

Hur många olika uppdelningar kan ni hitta om varje del ska vara lika stor? Hur många uppdelningar har ni hittat där delarna är olika stora?

LÖSNING

Mattelabbet

Jämför också hur eleverna har skrivit ner sina resultat på mattespråk. Vilka olika räknesätt har de använt? När det gäller uppdelning i lika stora delar kan man tänka sig åtminstone tre räknesätt: addition, multiplikation och division. För uppdelning i olika stora delar är det troligast att man använder sig av addition men även subtraktion kan förekomma.

Syfte

Samtalstips

Syftet är att öva uppdelning av tal och att förstå att tal kan delas upp på många olika sätt. I kursplanen i matematik för grundskolan (Lgr 11) står det i Centralt innehåll: Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp. I syftestexten kan vi också läsa att eleverna ska utveckla förmågan att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

Observera vilken strategi eleverna har när de delar upp de 24 knapparna. Utgår de från en känd uppdelning? Hur systematiska är de i uppdelningarna? Ställ frågor som: Hur tänkte du när du gjorde uppdelningen? Hur kan du skriva det på mattespråk? Kan du dela upp på fler sätt? Vilken del är störst? Vilken del är minst? Hur många högar måste du minst dela upp talet i? Hur många högar kan du som mest dela upp talet i?

I Prima utgör mattelabbet en viktig del där eleverna får öva på att utveckla denna förmåga såväl muntligt som skriftligt.

Lösningsmodeller

6

Laborativt arbete med uppdelning av tal.

LÖSNING

Underlag för utbyte av idéer och diskussion.

7

Arbetsgång Uppmana eleverna att hämta 24 knappar och dela upp dessa på minst tre olika sätt. Därefter skriver eleverna på mattespråk vilka uppdelningar de har gjort. Instruktionen anger inte om uppdelningarna ska vara lika stora eller ej. När eleverna har gjort minst tre uppdelningar jämför de med en kompis och skriver ner kompisens lösningar.

Avsluta med en gemensam genomgång där ni samlar de olika uppdelningarna som har gjorts.

18

Det finns två typer av uppdelningar: uppdelning i lika stora högar och uppdelning i olika stora högar. Genom att titta på de uppdelningar som är lika kan du som lärare föra in eleverna på sambandet mellan addition och multiplikation (6+6+6+6=4·6) samt sambandet mellan multiplikation och division (4·6=24, 24/4=6, 24/6=4).

När det gäller indelningen i olika stora högar kan man urskilja två undergrupper: dels de uppdelningar där man delat upp i två högar (t.ex.

14+10), dels de uppdelningar där man delat upp i flera högar (t.ex. 5+5+5+5+4).

PRIMA MATEMATIK 3A • KAP 1

MÅL

Dela upp tal på olika sätt.

Dela upp talet.

4 20 +: 24=;

50 + : 2 52=;

80 + : 7 87=;

Tal kan delas upp på många olika sätt.

1 40 +: 41=;

30 + : 8 38=;

90 + : 3 93=;

12 = 10 +2

1 2 =6+6

60 + : 5 65=;

20 + : 9 29=;

10 + : 6 16=;

12 = 5+5 +2

1 2 =4+4+4

12 = 6 +4 +2

1 2 =3 +3 +3 +3

Dela upp talet i femmor.

12 = 8 +2 +2

1 2 =2 +2 +2 +2 +2 +2

+_5 1 0 = _5 __ _____________

5+5+5+5+5+5+5+5 40=_ _____________________________

1 5 = 5+5+5 _________________

5+5+5+5+5+5 30=_ _____________________________

2 5 = 5+5+5+5+5 _________________

5+5+5+5+5+5+5 35=_ _____________________________

Skriv alla uppdelningar du kan av talet 8, om alla termer är lika stora.

4+4 2+2+2+2 1+1+1+1+1+1+1+1

Skriv alla uppdelningar du kan av talet 8, om termerna får vara olika stora.

Dela upp talet i tvåor.

2+2+2+2+2+2+2+2+2 1 4 = 2+2+2+2+2+2+2 18=_ _________________ _____________________________ 8 = 2+2+2+2 _________________

2+2+2+2+2+2+2 14=_ _____________________________

1 0 = 2+2+2+2+2 _________________

2+2+2+2+2+2+2+2 16=_ _____________________________

Dela upp talet i två lika stora delar.

6 +; 6 12=;

7 +; 7 14=;

20 + ; 20 40=;

25 + ; 25 50=;

5+3

8 +; 8 16=;

21 + ; 21 42=;

2+2

9 +; 9 18=;

50 + ; 50 100=;

15 + ; 15 30=;

100 + ; 100 200=;

12 + ; 12 24=;

200 + ; 200 400=;

Exempel på lösning:

3+1+3+1

9

8

Mål Dela upp tal på olika sätt.

Arbetsgång

verkligen hitta många olika uppdelningar när termerna får vara olika stora.

På s. 9 är det lämpligt att visa på sambandet mellan multiplikation och division när talet ska delas upp i lika stora delar.

Att kunna dela upp tal på olika sätt är en viktig grund för att kunna använda sig av effektiva strategier vid huvudräkning och olika typer av beräkningar.

Repetition

Uppslaget är en fortsättning på mattelabbet och innebär fortsatt träning på uppdelning av tal.

Titta gärna gemensamt på faktarutan och de olika uppdelningar som finns där. Kan eleverna se någon skillnad på de tal som står i den vänstra kolumnen och de som står i den högra? Varför tror de att talen står just så här? Saknar de några uppdelningar i faktarutan? Varför?

Arbeta med konkret material och gör olika uppdelningar. Öva på att föra över den uppdelning som gjorts till mattespråk och på att skriva den med tal och symboler. Omvänt kan man även arbeta med att ge en färdig uppdelning (t.ex.

3+3+3) och be eleverna visa den med konkret material. Vilket är talet som uppdelningen visar?

Tänk på att gärna använda tal som leder till många jämna uppdelningar, t.ex. 12 och 16.

Innan eleverna börjar arbeta med uppslaget är det bra om instruktionerna till uppgifterna på s. 8 är tydliga för dem; det behöver betonas att det i den översta rutan handlar om en uppdelning i lika stora delar medan det i den nedre rutan handlar om olika stora delar. Uppmuntra eleverna att

Utmaning Titta på de uppdelningar som eleverna har gjort på sidan. Kan de överföra dessa till bråk? Hur kan man beskriva en av delarna i bråkform? Använd kopieringsunderlag 1.

19

KAP 1 • PRIMA MATEMATIK 3A

MÅL

Dra streck mellan bilden och rätt multiplikation.

Skriv produkten.

Multiplikation och division, tabell 2 och 4.

8 2.4=;

MULTIPLIKATION faktor · faktor = produkt

5 .2 =1 0

5 .4=2 0

20 5.4=;

Skriv färdigt multiplikationen.

4

2 .: 4 =; :

3 .: 2 =; :

6

3 .: 4 =; :

2 =; :.:

4

8

4 =; :.:

:.:=;

5

2

10

:.:=;

:.:=;

6

2

12

:.:=;

:.:=;

7

2

14

:.:=;

8

2

16

:.:=;

8 4.2=;

12

4

:.:=;

12 3.4=;

16

5

4

20

6

4

24

7

4

28

8

4

32

9

2

18

:.:=;

9

4

36

10

2

20

;.:=;

10

4

40

:.:=;

;.:=;

10 2.5=;

8

2 .: 2 =; :

6 2.3=; 4 2.2=; 10 5.2=; Fortsätt talmönstret.

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

Måla 2-hoppen. Ringa in 4-hoppen.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0 1 1 12 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 20 0

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4 0 40

11

10

Mål

Fortsätt talmönstret.

Multiplikation med 2 och 4.

Hoppen i dessa talmönster är gemensamma med de produkter som finns i tvåans och fyrans multiplikationstabeller.

Arbetsgång Inled med att repetera terminologin, dvs. orden multiplikation, multiplicera, faktor och produkt.

Använd de konkreta exempel som finns i faktarutan och visa hur man skriver dem som en multiplikation. Visa hur den första faktorn anger antalet tärningar medan den andra faktorn anger värdet på varje tärning. 5·2 betyder alltså i detta fall fem stycken tärningar som visar 2 medan 5·4 betyder fem stycken tärningar som visar talet 4.

Skriv färdigt multiplikationen.

Eleverna fyller i rätt multiplikation till bilden, dvs. anger det antal tärningar som visas · tärningens värde.

Dra streck mellan bilden och rätt multiplikation. Skriv produkten.

Eleverna drar streck mellan bilden och den tillhörande multiplikationen. Notera särskilt om de kan skilja på talen 2·4 och 4·2 som representerar två olika konkreta händelser.

20

Måla 2-hoppen. Ringa in 4-hoppen.

Ser eleverna mönstret för hur de olika hoppen (tabellerna) hänger ihop? Diskutera med eleverna och se om de kan upptäcka att bägge tabellerna enbart innehåller jämna tal. Kan de förklara varför det är så?

Repetition Använd tärningsbilderna. Lägg upp olika antal tärningar som visar talet 2. Be eleverna skriva vilken multiplikation tärningarna visar och be dem räkna ut produkten. Gör sedan det omvända; skriv en multiplikation med 2, t.ex. 3·2 och be eleverna visa denna med tärningar. Träna på samma sätt med tärningsvärdet 4.

Utmaning Spela Yatzy! (Kopieringsunderlag 15)

PRIMA MATEMATIK 3A • KAP 1

Skriv produkten.

I multiplikation kan du tänka faktorerna i vilken ordning du vill, produkten är densamma.

4 . 2= 8

4.2 =8

2. 4 = 8

2 .4=8

6 2.3=;

8 2.4=;

12 4.3=;

16 4.4=;

d

3

När ena faktorn är 2 kan du tänka dubbelt.

6

d

d

12

4

8

d

16

Skriv produkten.

6 3 . 2= ;

8 4.2 = ;

10 5 .2 = ;

12 6.2= ;

4 2.2=;

10 2.5=;

12 2.6=;

6 2 . 3= ;

8 2 .4= ;

10 2 .5 = ;

12 2 .6 = ;

8 4.2=;

20 4.5=;

24 4.6=;

d

14 7 . 2= ;

16 8.2 = ;

18 9 .2 = ;

20 1 0.2 = ;

14 2 . 7= ;

16 2 .8= ;

18 2 .9 = ;

20 2 .1 0= ;

Skriv och rita en räknehändelse till multiplikationen.

2

4

d

8

5

10

d

20

d

6

12

d

14 2.7=;

16 2.8=;

18 2.9=;

28 4.7=;

32 4.8=;

36 4.9=;

d

7

14

d

d

28

20 2.10= ; 40 4.10= ; 2 .6=12

d

8

d

10

16

20

d

d

32

d

9

18

d

24

36

40

När ena faktorn är 4 kan du tänka dubbelt och dubbelt igen.

13

12

Arbetsgång

Skriv produkten

Precis som vid addition där 2+3=3+2 gäller den kommutativa lagen även multiplikation. Man kan tänka faktorerna i vilken ordning man vill eftersom 4·2=2·4. När den ena faktorn är 2 kan de alltså alltid tänka ”dubbelt”, vilket de övar på detta uppslag.

I varje ruta visas först en multiplikation med 2 och sedan motsvarande multiplikation med 4. Genom att utnyttja den kommutativa lagen har vi här satt faktorn 2 respektive 4 först. Exempel: 2·3: eleverna kan tänka dubbelt så mycket som 3, alltså 6. 4·3: eleverna kan tänka dubbelt och dubbelt igen, alltså 2·3=6, 2·6=12. Tärningsbilderna används för att förtydliga sambandet. Längst ner i varje ruta finns en övning där talet dubbleras två gånger.

Skriv produkten

Eleverna övar tvåans multiplikationstabell och använder sig av den kommutativa lagen.

Skriv och rita en räknehändelse till multiplikationen.

På föregående sida har eleverna tränat sig i att para ihop en bild med en multiplikation. Här gäller det nu att skapa en räknehändelse till en multiplikation. Uppmana eleverna att lägga tid på att i ord förklara sin räknehändelse.

• När den ena faktorn är 4 kan du tänka ”dubbelt och dubbelt igen”. Den här tankeformen kan vara en hjälp för eleverna för att lära sig fyrans multiplikationstabell.

Repetition Bygg multiplikationerna med multilinks. För att visa multiplikationen 2·3 bygger ni två stycken trestaplar. För att visa 4·3 bygger ni fyra stycken trestaplar.

Utmaning Vad händer om man multiplicerar med 8?

Eleverna kan då använda sig av tankeformen ”dubbelt, dubbelt och dubbelt igen”!

21

KAP 1 • PRIMA MATEMATIK 3A

DIVISION MED 2 Polly och Milton delar lika på 12 apelsiner.

Hur många apelsiner får de var?

DIVISION MED 4 Fyra barn delar lika på 12 klossar.

Hur många klossar får varje barn?

12 ; =6

12 ; =3

2

4

täljare = kvot nämnare

Skriv kvoten.

Skriv kvoten.

6 ; 3 =;

10 ; 5 =;

2

2

Skriv kvoten.

20 ; 10 =; 2

18 ; 9 =;

När nämnaren är 2 kan du tänka hälften.

14 ; 7 =;

8 ; 4 =;

4 ; 2 =;

2 ; 1 =;

12 ; 6 =;

6 ; 3 =;

2

28 ; 7 =;

4

10 ; 5 =;

2

16 ; 4 =;

4

2

2

2

32 ; 8 =;

4

8 ; 4 =;

16 ; 8 =; 2

24 ; 6 =;

2

2

2

2

4

Skriv kvoten.

16 ; 4 =; 4

8 ; 2 =; 4

20 ; 5 =; 4

40 ; 10 =; 4

4 ; 1 =; 4

15

14

Arbetsgång

Utmaning

Gå igenom terminologin, dvs. orden division, dividera, täljare, nämnare och kvot. Skriv upp orden på tavlan.

Arbeta med division av högre tal. Använd gärna talen i boken och sätt en nolla efter täljaren.

Skriv kvoten.

Här kan eleverna ta hjälp av bildstödet och ringa in hur många apelsiner det blir i varje halva. Skriv kvoten.

Skriv kvoten.

När nämnaren är 2 kan du tänka ”hälften”. I denna tankeform utnyttjas elevens kunskaper om hälften.

Skriv kvoten.

Med hjälp av bildstödet kan eleverna räkna ut kvoten, därefter följer divisioner utan bildstöd.

Repetition Gör divisioner med konkret material. Tänk dock på att målet är att eleverna genom detta ska bygga upp kunskap så att de kan lämna det konkreta materialet!

22

TÄNK PÅ

I division kan du använda dig av två olika tankeformer även om det matematiskt blir samma kvot; delningsdivision och innehållsdivision. Vilken tankeform som är lättast att använda beror på vilka tal som ingår.

Exempel: Delningsdivision innebär att täljaren delas upp i det antal delar som nämnaren anger. Om man har divisionen 10/2 och använder sig av delningsdivision delar man upp talet i 2 lika stora delar 5+5=10, kvoten är då 5.

Om man har divisionen 100/50 kan det vara lämpligare att använda sig av tankeformen innehållsdivision, dvs. ”hur många gånger ryms (går) 50 i 100?” 50+50=100.

Kvoten är då 2. (Detta är i det här fallet en enklare tankeform än att tänka att man delar upp talet 100 i 50 lika stora delar).

PRIMA MATEMATIK 3A • KAP 1

Skriv en multiplikation eller division som passar till uppgiften.

Multiplikation och division hör ihop.

5 . 4 =2 0

5 4

4 . 5 =2 0

20 ; =4

20 ; =5

5

Det finns 16 spelpjäser i fyra olika färger.

Hur många spelpjäser finns det i varje färg?

4

16

Skriv färdigt multiplikationen och divisionen.

6 2 . 3= ;

10 5 .2 = ;

24 6.4= ;

6 3 . 2= ;

10 2 .5 = ;

24 4.6= ;

6 ; = 2

6 ; = 3

;

3

10 ; =

2

10 ; =

;

5 2

;

2

24 ; =

;

5

24 ; =

;

6

;

4

4 Svar:

=4

4 st

4 6

Polly lägger tre rader med stenar. I varje rad lägger hon fyra stenar.

Hur många stenar är det tillsammans?

3.4=12 8 2.4=;

12 3 .4= ;

20 5 .4 = ;

8 4.2=;

12 4.3 = ;

20 4.5= ;

8 ; =

;

4

12 ; =

;

4

20 ; =

;

8 ; =

;

2

12 ; =

;

3

20 ; =

;

2 4

3 4

5 4

4

5

Skriv de multiplikationer och divisioner som hör till.

28

7 .: 4 =; :

28 4 .: 7 =; :

28 ; 4 =; 7

28 ; 7 =; 4

Svar:

12 stenar

Linn och Milton hittar fyra påsar med sex kulor i varje.

Hur många kulor hittar de?

4.6=24

Svar:

24 kulor 17

16

Arbetsgång Bygg några olika multiplikationer i form av rätblock med klossar. Arbeta gemensamt med att beskriva vilka multiplikationer och divisioner som rätblocket visar.

Skriv färdigt multiplikationen och divisionen.

Eleverna fortsätter på motsvarande sätt med stöd av ritade rektanglar.

Skriv en multiplikation eller division som passar till bilden.

Notera att eleverna här både ska teckna en uppgift (som multiplikation eller division) och skriva sin lösning. Uppmuntra eleverna att göra så utförliga beskrivningar av sina lösningar som möjligt för att öva sig på att kommunicera sina matematiska kunskaper.

Repetition Skriv de multiplikationer och divisioner som hör till.

Eleverna ska själva skriva de multiplikationer respektive divisioner som rektangeln visar.

TÄNK PÅ

Här presenteras vad man brukar kalla en tvådimensionell bild av multiplikation.

Fördelen med denna bild är att den är användbar även i andra talområden, medan den upprepade additionen inte ger någon god strategi i längden när man senare arbetar med t.ex. multiplikation av bråk.

Modellen visar också hur den kommutativa lagen fungerar för multiplikation.

Fortsätt arbeta med klossar för att göra multiplikationer och divisioner. Betona sambandet mellan räknesätten.

Utmaning Slumpa fram egna multiplikationer med hjälp av två tärningar. För att begränsa talområdet kan man använda sexsidiga tärningar. Om eleven slår en trea och en sexa innebär det att eleven ska räkna ut produkten till 3·6. För att utöka talområdet kan man använda tiosidiga tärningar.

Träna muntligt eller skriv ner multiplikationerna.

23

KAP 1 • PRIMA MATEMATIK 3A

MÅL

Skriv talet som visas. Dra streck mellan de tal som är lika stora.

Olika sätt att visa naturliga tal.

Talen 0, 1, 2, 3, 4, 5 … och så vidare, kallas naturliga tal eller grundtal.

Det finns också andra tal som inte är naturliga tal, till exempel:

1 : 2

och

345

3 : kallas tal i bråkform.

251

4

0, 5 och 1, 2 kallas decimaltal.

50

400

235

- 5 och - 18 kallas negativa tal.

2

452

Ringa in det naturliga talet i varje ruta.

5

-2

0, 9

2

1 : 2

96

300

1 00

72

2 :

2 000

3

hundratal tiotal

1, 5

20 , 7

452 400

400

345

2 30

Skriv minst fem naturliga tal som är mindre än 50.

Ex. på lösning: 1, 15, 20, 30 och 49

350

ental

432

432

50

Skriv minst fem naturliga tal som är större än 100.

200

Ex. på lösning: 120, 500, 600, 749 och 1000

100

250

300

251

hundratal

tiotal

ental

235 19

18

Mål Olika sätt att visa naturliga tal.

Arbetsgång Talen 0*, 1, 2, 3, 4, 5 kallas naturliga tal eller grundtal. I faktarutan ges exempel på olika typer av tal som inte är naturliga tal. * Ibland räknas inte 0 till de naturliga talen.

av dem bygger på kunskap om positionssystemet; i några fall syns det tydligt att 1 hundratal är lika mycket som 100 ental (så är fallet i t.ex. multibasmaterialet). I andra fall måste eleverna känna till detta (så är fallet med t.ex. sedlarna och mynten).

När det gäller avläsning på tallinjen handlar det istället om att eleverna måste kunna avläsa hur mycket varje ”streck” visar.

TÄNK PÅ

Ringa in det naturliga talet i varje ruta.

Här kan eleverna använda sig av uteslutningsmetoden, dvs. vilket tal i rutan som inte är ett naturligt tal!

Skriv minst fem naturliga tal som är mindre än 50. Skriv minst fem naturliga tal som är större än 100.

Notera särskilt om eleverna kan begreppen mindre än (<) och större än (>).

Arbeta gärna med tallinjen (kopieringsunderlag 2) och låt eleverna träna på att avläsa olika typer av tallinjer.

Repetition Använd konkret material för att representera olika tal. Representera varje tal med minst två olika material.

Skriv talet som visas. Dra streck mellan de tal som är lika stora.

Utmaning

I olika sammanhang representeras tal på olika sätt. Vilka modeller föredrar eleverna? De olika modellerna kräver olika typer av förståelse. Flera

Arbeta med decimaltal, tal i bråkform och negativa tal. Leta i dagstidningar – vilka olika tal som inte är naturliga tal kan ni hitta?

24

PRIMA MATEMATIK 3A • KAP 1

MÅL

Skriv talet med våra siffror.

Matematikens historia.

Arabiska talsystemet

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

100

321

234

648

26

51

31

Egyptiska talsystemet

Babyloniska talsystemet

Mayafolkets talsystem Romerska talsystemet

Ta hjälp av faktarutan och skriv färdigt tabellen.

Arabiska talsystemet

Mayafolkets talsystem

Romerska talsystemet

1

2 3

Skriv hur gammal du är på tre av sätten ovan.

Exempel på lösning: (9 år)

4

5 6 7 8

9 10 21

20

TÄNK PÅ

Mål Matematikens historia.

Arbetsgång Här visas några olika talsystem. Läs mer om olika talsystem på nästa sida här i Lärarhandledningen.

Notera särskilt att det av dessa system endast är vårt arabiska talsystem (samt i viss mån det romerska) som bygger på positionssystemet. I de övriga presenterade talsystemen är det möjligt att placera talens delar i godtycklig ordning.

Stanna upp vid de olika systemen och låt eleverna inse det otroligt fiffiga i vårt positionssystem som gör att vi kan skriva oändligt stora tal med hjälp av endast tio siffror. Skriv gärna några höga tal med olika talsystem. Man blir snabbt övertygad om att vi har valt ett klokt system!

Känner eleverna igen de romerska siffrorna? Var har de i så fall sett dem? På samtalsbilden på s. 4–5 finns en bild av en klocka med romerska siffror.

Skriv hur gammal du är på tre av sätten ovan.

Eleverna väljer tre sätt att skriva sin ålder på.

Repetera begreppen siffra och tal. Vi har 10 siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Med dessa kan vi skriva ett oändligt antal tal. Be eleverna säga det största talet de kan. Fråga sedan vilket tal som kommer efter det talet.

Skriv talet med våra siffror

Notera att vi här har kastat om bland talen så att de inte alltid följer den talsortsordning vi är vana vid (med hundratal följt av tiotal etc.).

Ta hjälp av faktarutan och skriv färdigt tabellen.

I övningen avkodar eleverna tabellen och för över detta i en ny tabell.

Repetition Öva särskilt de romerska siffrorna upp till 12 eftersom vi ibland möter dessa i vår vardag.

Utmaning Hitta på ett eget talsystem. Vilka symboler skulle du använda?

25

KAP 1 • PRIMA MATEMATIK 3A

Talsystem genom historien Vargbenet

Vargbenet hittades i Tjeckien och är ungefär 30 000 år gammalt. I vargbenet finns det 55 djupa skåror. Skårorna är ordnade i grupper med fem streck i varje. Man tror att man har använt talet fem för att vi har fem fingrar. Vi använder fortfarande femgrupperna när vi t.ex. räknar poäng.

Att göra ett streck för varje tal är väldigt omständligt och så småningom började det utvecklas olika talsystem på olika ställen i världen och man började använda olika siffror (symboler).

Mayaindianerna

Mayaindianerna använde punkter och streck, med hjälp av punkterna och strecken byggde de upp 20 olika siffertecken. En punkt betydde 1, två punkter 2 etc. När de kom till fem använde de istället ett rakt streck (en full hand). Ett streck och en punkt betydde 6 (5+1). Två streck betydde 10 (två fulla händer 5+5). Talet 20 ritades som ett solskepp. Det här systemet använde de för ungefär 2000 år sedan.

Babylonierna

Babylonierna levde vid Persiska viken, mellan floderna Eufrat och Tigris. Babylonierna använde kilskrift. De skrev med kilar som de stämplade in i lertavlor. De använde faktiskt bara två tecken för att skriva alla tal upp till 60! Upp till 9 gjorde de ett kilavtryck för varje tal, men talet tio (två fulla händer) hade ett särskilt tecken. Så här fortsatte de enda upp till talet 60 som skrivs likadant som talet 1. För att veta om tecknet betydde 1 eller 60 (eller 3600, 60·60 etc.) så var det viktigt i vilken ordning tecknen placerades. De använde precis som vi ett positionssystem. Att babylonierna var ett viktigt folk kan vi märka på att vi fortfarande använder oss av deras system i vissa sammanhang.

Det går ju 60 sekunder på en minut och 60 minuter på en timme.

26

Det romerska talsystemet

Innan européerna började använda det talsystem vi använder idag använde de romerska siffror, eller bokstäverna. Det finns sju bokstäver i det romerska talsystemet: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. Det romerska talsystemet bygger också delvis på positioner, det finns nämligen två grundregler: att om en lägre siffra placeras till vänster om en högre siffra ska den dras bort ifrån denna, om den däremot står till höger om den ska den istället läggas till den. Det finns också regler om vilka siffror som får dras från vilka tal.

Det arabiska talsystemet

Européerna började använda de arabiska siffrorna för ca 600 år sedan. Vi använder idag arabiska siffror, men ursprunget till siffrorna är de indiska siffrorna. Vi har tio siffror 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, och 9 (jämför med de tio fingrarna) som vi kan använda till att skriva oändligt många tal. Vi använder också ett positionssystem. Titta på talet 555. Den första femman betyder fem hundratal, den andra fem tiotal och den tredje fem ental.

TIPS!

Titta igen på samtalsbilden och se vilka olika talsystem de nu kan upptäcka på bilden.

Arbeta praktiskt med något av talsystemen.

Använd pinnar, majskorn, lertavlor eller det material som passar till talsystemet och gör ”taltavlor”, kanske kan ni göra talraden 1 till 20 i olika material?

Källor: Dahl, K. (1994), Matte med mening. Alfabeta Scott, J, Hansen H.C, Jess, K & Schou, J (2010), Matematik för lärare, grundbok 1 och 2. Gleerups Nämnaren TEMA (1996), Matematik- ett kommunikationsämne. Nationellt Centrum inför matematikutbildning

PRIMA MATEMATIK 3A • KAP 1

Blandad träning

Skriv färdigt additionerna.

Skriv produkten.

11 8+3=;

;=5+8

13

7+; 4 =11

; + 9 = 17

11 9+2=;

;=9+6

15

8 =17 9+;

; + 5 = 12

13 6+7=;

;=4+7

11

8 =11 3+;

; + 9 = 12

12 9+3=;

;=7+7

14

9 =14 5+;

; + 9 = 18

6 3 . 2= ;

4 2 .2 = ;

10 5 .2 = ;

14 7 .2= ;

12 3.4=;

8 2 .4= ;

20 5 .4= ;

28 7 .4= ;

8 4.2=;

12 6.2 = ;

16 8.2 = ;

20 1 0.2= ;

15 6+9=;

;=8+5

13

4 =12 8+;

;+6=13

16 4.4=;

24 6.4= ;

32 8.4= ;

40 1 0.4= ;

12 4+8=;

16 = 7 + 9 ;

7 =15 8+;

; + 9 = 13

14 9+5=;

;=8+8

16

4 =13 9+;

; + 7 = 15

Skriv kvoten.

20 ; =

;

10

16 ; =

;

8

8 ; =

;

4

12 ; =

;

20 ; =

;

5

16 ; =

;

4

8 ; =

;

2

12 ; =

;

2

4

2 4

2

4

2 4

6

8 ; = 2

4

;

780

3

4

840 880

12 3 .4= ;

4

860

3

4

940

8 2 .4= ;

16 4.4= ;

100

1000

120

0

80

60 40

I slutet av varje grundkapitel finns en eller ett par sidor med blandad träning. Avsikten med dessa sidor är att eleverna ska träna extra på t.ex. de fyra räknesätten, men det handlar också om att hålla andra typer av kunskap aktuell/levande. Det kan handla om geometriska objekt, mönster, enheter, klockan etc.

760

720

560 540

340

20

700

320 260

140

360

520

220

620

600

440

400 420

160

640

660

380

240

Multiplikation och division, tabell 2 och 4.

Blandad träning Arbetsgång

8

740

960

;

4

680 580

280

980

12 ; =

7

820

900 300

;

9

800

920

16 ; =

3

Dra streck från 0 till 1000 (20-hopp).

Dra streck mellan bild och rätt tal.

22

8

7

500 460 480

200

180

Addition med tiotalsövergång, 0 till 80. Talraden, ”20-hopp”.

23

Skriv färdigt additionerna.

I denna övning arbetar eleverna med addition samtidigt som de arbetar med likhetstecknets betydelse. Notera särskilt hur eleverna hanterar de öppna utsagorna.

Dra streck från 0 till 1000 (20-hopp).

För de elever som upplever dessa hopp som svåra kan du tipsa om att de kan tänka att de hoppar två tiotal hela tiden istället för att tänka tjugo ental.

Skriv produkten/kvoten.

För att befästa multiplikations- och divisionstabellerna återkommer dessa här på den blandade träningen.

Dra streck mellan bild och rätt tal.

Varje bild får här illustrera både en division och en multiplikation. Genom att göra detta vill vi ytterligare uppmärksamma eleverna på sambandet mellan de båda räknesätten. Fortsätt gärna genom att rita fler liknande bilder (eller visa med konkret material) och låt eleverna ange vilken multiplikation respektive division som bilden kan visa.

Repetition Repetera de tabellkunskaper som eleverna ännu inte har automatiserat. Om eleven upplever 20-hoppen som svåra bör dessa övas muntligt.

Detta kan med fördel göras i grupp eller par.

Utmaning Ge eleverna öppna utsagor i subtraktion. Använd tal av typen 30=___-6 som tycks vara den variant av öppna subtraktioner som utmanar eleverna mest.

Talhoppen kan övas baklänges, börja på 1000 och hoppa 20-hopp bakåt. Variera med att börja på 990.

27

KAP 1 â&#x20AC;˘ PRIMA MATEMATIK 3A

$IAGNOS

6

Dra streck mellan de tal som är lika stora.

$ELA UPP TALET I TIOR

10+10+10+10

10+10+10+10+10+10

10+10

10+10+10

$ELA UPP TALET Pk MINST TVk OLIKA SiTT

Exempel pĂĽ lĂśsning: 6+6 3+3+3+3

3KRIV PRODUKTEN

8

12

14

24

12

20

18

40

3KRIV KVOTEN

5

4

8

7

2

3

5

4

Arabiska talsystemet

5

6

7

8

9

10

Egyptiska talsystemet

3KRIV TALET Mayafolkets talsystem HUNDRATAL TIOTAL

324

$ELA UPP TAL Pk OLIKA SiTT

460

-ULTIPL OCH DIVISION MED OCH

ENTAL

203

/LIKA SiTT ATT VISA NATURLIGA TAL

Diagnos kapitel 1 Uppgift 1 och 2 Mül: Dela upp tal pü olika sätt.

Dessa uppgifter testar tvü olika typer av taluppdelning: dels den uppdelning där det anges hur stora delarna ska vara, dels uppdelningar där eleverna själva bestämmer hur stora delarna ska vara (och om delarna ska vara lika stora).

Repetition och utmaning finns pĂĽ s. 26 och s. 27.

Uppgift 3 och 4 MĂĽl: Multiplikation och division med 2 och 4.

Uppgifterna visar elevernas kunskaper i multiplikation och division.

Repetition och utmaning finns pĂĽ s. 28 och s. 29.

Uppgift 5 Mül: Olika sätt att visa naturliga tal.

Uppgiften visar om eleven kan avläsa tal när de visas med olika representationsformer.

Repetition och utmaning finns pĂĽ s. 30.

28

Romerska talsystemet

6

Matematikens historia.

25

Uppgift 6 MĂĽl: Matematikens historia.

I uppgiften für eleven hjälp med de olika talsystemen genom att titta pü tabellen. Tanken är att eleven ska känna till att det finns och har funnits olika talsystem, inte att eleven utantill ska kunna vissa av dessa.

Repetition och utmaning finns pĂĽ s. 31.

Sü här används diagnosen Varje mül frün kapitlet testas separat i diagnosen.

Detta gÜr att varje mül ocksü kan fÜljas upp pü lämplig nivü. Mer om hur du använder dig av diagnosen och hur den hänger samman med repetitions- och utmaningssidorna kan du läsa pü s. 6 i Lärarhandledningen.

PRIMA MATEMATIK 3A • KAP 1

REPETITION

REPETITION

Dela talet i lika stora delar.

Dela 100 i två lika stora delar.

50+ ; 50 100= ;

20

20

20

10 10

5 5 5 5

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

20+ ; 20 + ; 20 +20 20 ;+; Dela 100 i fem lika stora delar. 100= ; Dela 100 i tio lika stora delar.

10+ ; 10 + ; 10 + ; 10 + ; 10 + ; 10+ ; 10 + ; 10 +10 10 100= ; ;+;

Det Dela 100 i två olika stora delar. 100= ; + ;

finns många olika lösningar.

12

12

12

12

3 3 3 3

4 4 4

2 2 2 2 2 2

Dela 100 i tre olika stora delar. 100= ; + ; + ;

Dela 100 i fem olika stora delar. 100= ; + ; + ; + ; + ;

6

6

UTMANING

Lös talgåtan.

Om man delar mig i fyra lika stora delar blir varje del 20. Vilket tal är jag?

Om man delar mig i åtta lika stora delar blir varje del 4. Vilket tal är jag?

Om man delar mig i två lika stora delar blir varje del 8. Hur stor blir varje del om man delar mig i 4 lika stora delar?

26

UTMANING

Dela talet i två eller flera lika stora delar.

Skriv flera förslag.

80

32

4

12

6+6 4+4+4

3+3+3+3 2+2+2+2+2+2

24

12+12 8+8+8

6+6+6+6 3+3+3+3+3+3+3+3 1+1+1 ... osv 4+4+4+4+4+4 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2

48

24+24 16+16+16

64

32+32 16+16+16+16

12+12+12+12 8+8+8+8+8+8

Mål: Dela upp tal på olika sätt.

Extra träning inför repetition Inför repetitionen kan det vara bra att träna uppdelningar med konkret material. Notera dock att användningen av det konkreta materialet hela tiden måste kopplas till matematikens språk och symboler så att eleverna tränas i att göra kopplingar mellan det konkreta och det abstrakta. Låt eleverna göra övningar motsvarande uppdelningarna på repetitionsdelen men samtidigt berätta med ord vad de gör och skriva ner det med matematiska symboler. För att öva på att göra uppdelningar i lika stora delar kan plockmaterial och t.ex. spelpjäser användas. Exempel: för att dela upp talet 12 i tre lika stora delar kan ni använda 12 knappar samt tre spelpjäser. Ställ ut de tre spelpjäserna och lägg de 12 knapparna på en rad framför. Innan ni börjar med uppdelningen ber du eleven att göra en rimlighetsbedömning: ungefär hur många knappar tror eleven att det ska placeras vid varje spelpjäs? När uppdelningen är

6+6+6+6+6+6+6+6 24.2 48.1 4+4+4+4 ... osv

8+8+8+8+8+8+8+8 16.4 32.2 64.1

Vilket av talen går att dela på flest sätt?

Dela upp tal på olika sätt.

Repetition och utmaning

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

4+4+4+4... osv

48 Dela upp tal på olika sätt.

27

gjord repeterar ni proceduren muntligt och betonar att 12 dividerat (delat med) 3 är lika med 4 samt att 3 multiplicerat med (gånger) 4 är lika med 12.

Repetition I den första repetitionen följer eleven instruktionen som ges. Be eleven kontrollera svaret och tänka efter om svaret är rimligt. I den andra repetitionsuppgiften (s. 27) ska talet delas upp i lika stora delar. Vidareutveckla eventuellt genom att låta eleven skriva de divisioner och multiplikationer som hör samman med uppdelningen.

Utmaning I talgåtorna krävs att eleverna tänker ”baklänges” och utgår från hur stor delen är för att räkna ut helheten. I den sista uppgiften krävs dessutom en lösning i flera steg. Uppmuntra eleverna att göra fler liknande uppgifter. Be eleverna fundera över om det alltid är så att ett högre tal går att dela fler gånger. Varför? Varför inte? Låt eleverna argumentera för sina åsikter.

29

KAP 1 • PRIMA MATEMATIK 3A

REPETITION

Skriv produkten och kvoten.

14 2. 7= ;

12 4.3 = ;

24 6.4= ;

20 5 .4= ;

14 7. 2= ;

12 3 .4= ;

24 4.6= ;

20 4.5 = ;

40 5.8=;

Skriv kvoten.

8 ; =

;

2

10 ; =

;

5

8 ; =

;

4

12 ; =

;

4

16 ; =

;

4

20 ; =

;

;

4

20 ; =

;

14 ; =

;

2

12 ; =

;

4

24 ; =

;

6

20 ; =

;

4

32 4.8=;

2

24 ; =

4

24 3.8=;

;

3

3

20 5.4=;

16 2.8=;

6 ; =

;

7

10 5.2=;

16 4.4=;

2

12 ; =

5

8 4.2=;

12 3.4=;

;

7

6

6 3.2=;

8 2.4=;

4 ; =

;

4

4 2.2=;

4

14 ; = 2

REPETITION

Skriv produkten.

2

2

3

3

UTMANING

Lös ekvationen.

28

4

4

5

5

2 4

UTMANING

Skriv en multiplikation och en division som passar till bilden.

4.a =20

5 . a =2 0

1 0. a =2 0

5 a =;

4 a =;

2 a =;

b . 2 = 16

b . b =1 6

b .5 =1 5

8 b =;

4 b =;

3 b =;

c . 10 = 8 0

5 . c =3 0

c . c =1 00

8 c =;

6 c =;

10 c =;

T. ex.

4.5

5.4

20

20

4

5

Multiplikation och division med 2 och 4.

Multiplikation och division med 2 och 4.

29

Repetition och utmaning

Utmaning

Mål: Multiplikation och division med 2 och 4.

Den första utmaningen är en ekvation. Notera särskilt multiplikationerna b*b=16 och c*c=100 där bokstaven b respektive c båda gångerna står för samma tal. Tanken med att införa ekvationer redan under de första skolåren är att ge eleverna en förståelse för vad ekvationer är samt att avdramatisera ”bokstavsräknandet”.

I den andra utmaningen skapar eleverna själva en lämplig multiplikation och division. Utveckla gärna övningen genom att låta eleverna utgå från en tidningsbild eller liknande och hitta på lämpliga tal till bilden.

Extra träning inför repetition Har eleverna förstått den kommutativa lagen, dvs. att 2·4 är lika med 4·2? Visa med konkret material hur de kan tänka ”dubbelt” när den ena faktorn är 2. Visa sedan med konkret material hur de vid multiplikation med 4 kan tänka ”dubbelt och sedan dubbelt igen”: 6·4 är lika mycket som 6·2·2=12·2=24. Genom att se dessa multiplikationer med konkret material som t.ex. klossar, får eleven en bild av sambandet.

I divisionerna återfinns samma mönster. När man dividerar med 2 kan man alltså tänka ”hälften” och när man dividerar med 4 kan man tänka ”hälften och hälften igen”. För att räkna ut 12/4 kan man tänka att 12/2=6, alltså är 12/4 =6/2.

Kvoten är 3.

Repetition Uppgifterna utgår från tal där ena faktorn är 2 eller 4 eller där nämnaren eller kvoten är 2 eller 4.

30

TÄNK PÅ

Vid divisionerna är en fördel att kunna växla mellan delningsdivision och innehållsdivision beroende på de ingående talen. Vid divisionen 14/2 lämpar det sig att tänka hur mycket 14 delat i 2 delar är (hälften av 14) medan det vid divisionen 14/7 är lämpligt att tänka hur många sjuor 14 innehåller (kan också uttryckas: hur många gånger går/ ryms 7 i 14?).

PRIMA MATEMATIK 3A • KAP 1

REPETITION

Skriv in de naturliga talen som saknas i talraden.

20 ; 21 2 2 19 ;

23 ;

69 ; 70 ; 71 72 68 ;

291 2 9 2 293 28 9 290 ; ; ;

201 202 203 1 9 9200 ; ; ; ;

501 ; 502 503 4 9 9 500 ; ; ;

320 321 322 3 1 8319 ; ; ; ;

599 ; 600 ; 601 ; 602 ; 603; 604; 605 ; 606 59 6 597 ; 598 ; ; Ringa in de fyra naturliga talen.

1 :

1

0, 5

2

5

72

REPETITION

Skriv med arabiska siffror.

0, 2 5

16

10 betyder;

1 betyder;

8 betyder;

5 betyder;

6 betyder;

9 betyder;

3 betyder;

2 betyder;

4 betyder;

7 betyder;

11 betyder;

12 betyder;

UTMANING

Skriv talen i rätt ruta.

1 :

3 :

5 :

4 :

3

2

4

4

1, 5

0, 6

0

7 :

Mindre än ett.

1 0

30

7

2 : 2

4 : 5

20

1,7

0, 2

8

3

1 :

6 :

1 :

Är lika med ett.

0 6 0 2

1

1

1

4

4

3

2

5

UTMANING

Titta på exemplen. Skriv talen.

2

3

1

2

4

7

2

4

7

3

25

43

16

Rita alla tal du kan göra om du använder fem stenar.

Gör som i exemplen.

8

1 5

32

4

Större än ett.

=1

14

20 1 7

5

3

6

4

2

3

5

14

23

32

Olika sätt att visa naturliga tal.

41

50

Matematikens historia.

31

Repetition och utmaning

Utmaning

Mål: Olika sätt att visa naturliga tal.

Eleverna ska här bedöma om talet är mindre än, lika med eller större än 1. Notera särskilt hur eleven hanterar de tal i bråkform som är större än 1.

Extra träning inför repetition Skriv olika typer av tal på lösa lappar. Använd naturliga tal, tal i decimalform, tal i bråkform och negativa tal. Låt eleven sortera lapparna i högar efter vilken sorts tal det är. Diskutera hur eleven har sorterat talen. Vad är det som är gemensamt i varje hög? Särskild uppmärksamhet kan behöva ägnas åt de negativa talen då dessa lätt kan förväxlas med naturliga tal efter ett minustecken. Använd tallinjen för att visa att de negativa talen är placerade till vänster om nollan. I vardagen kan eleven ha stött på en termometer som visar minusgrader under nollan.

(Det blir dock allt mer sällsynt eftersom de flesta moderna termometrar är digitala och därmed inte ger samma konkreta bild.) På kopieringsunderlag 37 och 38 finns termometrar ni kan använda.

Repetition och utmaning Mål: Matematikens historia.

Extra träning inför repetition Att förstå olika talsystem handlar i viss mån om att förstå hur vi använder oss av olika talsorter samt hur vi i vårt talsystem använder oss av positionssystemet. Öva på att skriva tal på olika sätt.

Titta gärna på utmaningen och lägg tal på motsvarande sätt.

Repetition I repetitionen fokuserar vi på de romerska siffrorna som eleverna ibland kan stöta på i vardagen.

Repetition

Utmaning

Eleverna övar talraden. Notera särskilt hur de hanterar hundratalsövergångarna. I rutan ringar de in fyra naturliga tal.

Här visar eleverna sin förståelse för positionssystemet. Låt eleverna fundera över hur talet 104 visas med stenar.

31

KOPIERINGSUNDERLAG • PRIMA MATEMATIK 3

Kopieringsunderlag till bok 3A och 3B 1 2 3 4 6 7 8

10 11 12 13 14 15 16 17 19 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31 32 33 34 36 37 38 39 40

160

Tal i bråkform, bråk som del av antal ................................................. 161 Tallinjer ......................................................................................................162 Stora additionstriangeln ........................................................................163 5 Additionsuppställning ............................................................ 164-165 Additionsuppställning med fler än två termer ..................................166 Tanketavla ................................................................................................ 167 9 Olika sätt att beskriva en matematisk händelse .............. 168-169 (Uppgifter som kan placeras in på en tanketavla) Rutor, 1*1 cm ........................................................................................... 170 Klockan analog tid ................................................................................. 171 Klockan digital tid .................................................................................. 172 Klockan ..................................................................................................... 173 Mönster ...................................................................................................... 174 Yatzy............................................................................................................ 175 Stora subtraktionstriangeln ................................................................... 176 1 8 Subtraktionsuppställning med växling ................................ 177-178 2 0 Bråkorm .................................................................................... 179-180 Strategier vid problemlösning ............................................................... 181 Multiplikationsrutan...............................................................................182 Tabellträning multiplikation del 1 och del 2 ....................................183 Tabellträning multiplikation del 3 ......................................................184 Förstoring (rutor 5*5 mm) ....................................................................185 Räkna med proportionella samband ..................................................186 (prislista med kg-priser på grönsaker) Tabellträning division del 1 och del 2 ................................................187 Tabellträning division del 3...................................................................188 Tal i bråkform, bråk som del av helhet...............................................189 Kort division .............................................................................................190 Att välja räknesätt .................................................................................... 191 Uppgifter med för mycket eller för lite information .......................192 Isometriskt papper ...................................................................................193 3 5 Gruppövning med geometriska begrepp............................ 194-195 Additions- och subtraktionsuppställning ...........................................196 Termometer (underlag för att göra egen)...........................................197 Termometrar .............................................................................................198 Pedagogisk planering (tom)...................................................................199 Pedagogisk planering (exempel) .......................................................... 200

Får kopieras! © Författaren och Gleerups Utbildning AB.

MATEMATIK Målen och det matematiska innehållet i Prima utgår från Lgr 11.

Mattelabbet tränar eleverna på att undersöka, prova och välja lösningsmetod. De får dessutom dokumentera, förklara och argumentera för sin lösning och dess rimlighet både muntligt och skriftligt. Elevernas matematiska förmågor utvecklas.

Diagnos, Repetition och Utmaning ger varje elev möjlighet till en individuell utveckling.

PRIMA Matematik för skolår 3 består av: • två grundböcker • en extrabok • en utmaningsbok

• en lärarhandledning • en lärarwebb • en elevwebb.

ISBN 978-91-40-67371-8

9

7 8 9 1 4 0

6 7 3 7 1 8