7000 Matematik
LENA ALFREDSSON SANNA BODEMYR HANS HEIKNE
Varje kapitel har följande innehåll och struktur
KAPITELSTART
Centralt innehåll Med andra ord
Inledande aktivitet
TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER
Lösning av ekvationssystem
Linn och Alice har var sin ryggsäck som handbagage när de flyger. Vid incheckningen vägs handbagaget. Deras ryggsäckar väger tillsammans 13 kg. Skillnaden i vikt är 3 kg. Hur mycket väger deras ryggsäckar?
1102 Förenkla
a) 4(a + b) – 3(b – a)
a)
4(a + b) – 3(b – a) = = 4 a + 4 b – 3b + 3a = = 7a + b
REPETITIONSUPPGIFTER
1102
Förenkla
a) 4(a + b) – 3(b – a)
ÖVNINGSUPPGIFTER
2313 Lös ekvationerna.
a) 10 x = 100 000 c) 10 x = 0,000 01
b) 10 x = 100 d) 10 x = 0,01
2314 Lös ekvationerna. Svara exakt och med ett närmevärde med tre decimaler.
a) 10 x = 5 c) 10 x = 5 000
b) 10 x = 13 d) 10 x = 0,045
2317 Lös ekvationen 102 x = 5 000
a) grafiskt b) algebraiskt.
I början av varje kapitel presenteras de delar av nivåns Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.
Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.
Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.
Teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.
I slutet av boken finns repetitionsuppgifter.
De är identiska med bokens lösta uppgifter.
Övningsuppgifterna i boken är indelade efter tre svårighetsgrader som är markerade med 1 2 3
Dessa är inte kopplade till betygsstegen.
Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan räknare, alltså i huvudet eller med papper och penna.
Uppgifter med streckad ram får du lösa med funktionsräknare, alltså med en "vanlig" räknare.
Uppgifter med heldragen ram får du lösa med avancerad räknare, t.ex. grafräknare eller ekvationslösande verktyg.
I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.
VARIATION I UNDERVISNINGEN
Aktivitet
Programmering
Maximal ersättning
Historik
Ekvationer och lösningsformler
KAPITELSLUT
Sant eller falskt?
Sammanfattning 4
Kan du det här?
BEGREPP PROCEDUR
Testa dig själv 4
Blandade övningar 4
Blandade övningar 1–4
För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.
En aktivitet per kapitel handlar om problemlösning med hjälp av programmering.
Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till teknik och naturvetenskap.
I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.
Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.
Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.
Testa dig själv innehåller uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.
Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
Innehåll
1. Algebra 8
Inledande aktivitet: Negativa tal och prioriteringsregler 9
1.1 Repetition 10
Algebraiska uttryck 10
Ekvationer 12
1.2 Linjära modeller 15
Repetition av räta linjens ekvation 15
Mer repetition om räta linjer 17
Linjär regression 20
Korrelation och korrelationskoefficient 24
1.3 Linjära ekvationssystem 27
Lösning av ekvationssystem 27
Substitutionsmetoden 31
Additionsmetoden 34
Ekvationssystem med tre obekanta 37
Tillämpningar och problemlösning 39
Några speciella ekvationssystem 43
Programmering: Maximal ersättning 45
Tema: Nu är det NOG 47
1.4 Uttryck med parenteser 49
Repetition – multiplikation av parentesuttryck 49
Aktivitet: Konjugat- och kvadreringsreglerna 51
Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 52
Mer om konjugat- och kvadreringsreglerna 54
Faktorisera 56
Aktivitet: Sant eller falskt? 58
Sammanfattning 1 59
Kan du det här? 60
Testa dig själv 1 61
Blandade övningar 1 62
2. Algebra och ickelinjära modeller 66
Inledande aktivitet: Ekvationer med två rötter 67
2.1 Andragradsekvationer och rotekvationer 68
Enkla andragradsekvationer 68
Kvadratkomplettering 71
En lösningsformel 73
Aktivitet: Samband mellan rötter och koefficienter 77
Tillämpningar och problemlösning 78
Historik: Ekvationer och lösningsformler 80
Programmering: Lösningsformel för andragradsekvationer 82
Rotekvationer 84
2.2 Andragradsfunktioner 87
Repetition av funktioner 87
Aktivitet: Andragradsfunktioner 91
Andragradsfunktionens graf 92
Andragradsfunktionens största eller minsta värde 97
Från graf till formel 101
Aktivitet: Rektanglar med en given omkrets 104
Problemlösning 105
2.3 Exponentialfunktioner och logaritmer 109
Repetition av exponentialfunktioner 109
Aktivitet: Grafen till y = 10 x 112
Exponentialekvationer och logaritmer 113
Mer om logaritmer 115
Logaritmlagarna 118
2.4 Exponentialekvationer och potensekvationer 121
Likheter och skillnader 121
Aktivitet: Termosen 124
Aktivitet: Radioaktiva pärlor 124
Tillämpningar och problemlösning 125
Tema: Åldersbestämning med kol-14 130
2.5 Regressionsanalys 132
Regressionsanalys med olika modeller 132
Aktivitet: Från graf till formel 136
Aktivitet: Sant eller falskt? 137
Sammanfattning 2 138
Kan du det här? 140
Testa dig själv 2 141
Blandade övningar 2 142
Blandade övningar 1–2 145
3. Geometri 148
Inledande aktivitet: Fyrhörningar 149
3.1 Bevis och logik 150
Några geometriska begrepp och definitioner 150
Sats och bevis 154
Historik: Geometri i tusentals år 157
Implikation och ekvivalens 158
3.2 Några klassiska satser i geometri I 160
Yttervinkelsatsen 160
Aktivitet: Randvinklar 163
Randvinklar och medelpunktsvinklar 164
Pythagoras sats 168
Historik: Pythagoras sats 171
3.3 Några klassiska satser i geometri II 172
Likformighet 172
Topptriangelsatsen och transversalsatsen 176
Bevis med likformighet 180
Kordasatsen och bisektrissatsen 182
Aktivitet: Dynamisk geometri 184
3.4 Koordinatgeometri 186
Avståndsformeln och mittpunktsformeln 186
Programmering: Avståndsformeln och mittpunktsformeln 190
Problemlösning 192
Aktivitet: Sant eller falskt? 195
Sammanfattning 3 196
Kan du det här? 198
Testa dig själv 3 199
Blandade övningar 3 200
Blandade övningar 1–3 202
4. Statistik 206
Inledande aktivitet: Presentera data 207
4.1 Lägesmått och spridningsmått 208
Medelvärde, median och typvärde 208
Kvartiler och percentiler 212
Aktivitet: Vindhastigheter och snödjup 217
Lådagram 218
Standardavvikelse 224
Programmering: Öka medelvärdet 227
Aktivitet: Hur lång är en vit böna? 229
4.2 Normalfördelning 230
Normalfördelat material 230
Normalfördelat material och digitala verktyg 234
Tema: Tillväxtkurvor 237
Aktivitet: Sant eller falskt? 238
Sammanfattning 4 239
Kan du det här? 240
Testa dig själv 4 241
Blandade övningar 4 242
Blandade övningar 1–4 244
Repetitionsuppgifter 250
Svar, ledtrådar och lösningar 256
Register 308
ALGEBRA
Algebra är ett fantastiskt redskap som används inom de flesta grenar i matematiken men även i många andra ämnen. Med hjälp av algebra kan vi bland annat lösa ekvationer och beskriva matematiska regler, lagar och samband.
Centralt innehåll
• Begreppet linjärt ekvationssystem.
• Metoder för att lösa linjära ekvationssystem.
• Motivering och hantering av konjugatoch kvadreringsreglerna.
• Problemlösning med särskild utgångspunkt i utbildningens karaktär.
Med andra ord
Kapitlet börjar med en repetition av de räkneregler som vi använder när vi förenklar uttryck och löser ekvationer.
En repetition av räta linjens ekvation förbereder för nästa moment.
Vi arbetar med linjära ekvationssystem, dvs. flera ekvationer som hör ihop. Här får du lära dig att arbeta både grafiskt och algebraiskt.
Kapitlet avslutas med multiplikation av parentesuttryck och du får lära dig att använda några algebraiska regler för detta.
Inledande aktivitet
NEGATIVA TAL OCH PRIORITERINGSREGLER
Arbeta tillsammans två och två.
Använd fyra papperslappar och skriv talen 2, –3, –5 och 4 på lapparna.
1 Välj två av lapparna och lägg dem så att
a) summan blir så stor som möjligt
b) differens blir så stor som möjligt
c) produkten blir så stor som möjligt
d) kvoten blir så stor som möjligt.
2 Välj två av lapparna och lägg dem så att summan, differensen, produkten respektive kvoten blir så liten som möjligt.
3 Placera ut alla fyra talen så att resultatet av beräkningen
∙ + ∙
blir så
a) stort som möjligt
b) litet som möjligt.
2
3
4 –5 –
4 a) Para ihop uttrycken med rätt värde om a = –3 och b = –5
a + b2 4
a – b2 64
(a + b)2 –28
(a – b)2 22
b) Vilka av uttrycken ändrar värde om a = –5 och b = –3?
1.1 Repetition
Algebraiska uttryck
algebraiskt uttryck
Ett algebraiskt uttryck är ett uttryck som innehåller tal och variabler samt tecken för räkneoperationer. Med räkneoperationer menas här t.ex. de fyra räknesätten.
När vi ska förenkla algebraiska uttryck med parenteser tar vi hjälp av olika räknelagar och regler.
Exempel 1 a + (b + c) = a + b + c a + (b – c) = a + b – c
Exempel 2 a – (b + c) = a – b – c a – (b – c) = a – b + c
Distributiva lagen
Plustecken framför parentesen: Ta bort parentesen utan att ändra tecken.
Minustecken framför parentesen: Ändra tecken på alla termer i parentesen.
Om parentesen multipliceras med en faktor, gäller följande lag:
a (b + c) = ab + ac
1101 Förenkla
a) 2(3 x – 1) + 5(2 – x) b) (5 x + y – 1) – (x – 2 y + 3)
a) 2(3 x – 1) + 5(2 – x) = = 6 x – 2 + 10 – 5 x = = x + 8
1102 Förenkla
b) (5 x + y – 1) – (x – 2 y + 3) = = 5 x + y – 1 – x + 2 y – 3 = = 4 x + 3 y – 4 (ab)x = a xbx
a) 4(a + b) – 3(b – a) b) (3 x)2 – 3 x 2 – x(7 – x)
a) 4(a + b) – 3(b – a) = = 4 a + 4 b – 3b + 3a = = 7a + b
1103 a) Förenkla 4 x(x – y) – 2 y( x – 2 y). b) Beräkna värdet av uttrycket i a) om x = –2 och y = –3.
a) 4 x(x – y) – 2 y( x – 2 y) = = 4 x 2 – 4 x y – 2 x y + 4 y 2 = = 4 x 2 –6 xy + 4 y 2
b) (3 x)2 – 3 x 2 – x(7 – x) = = 9 x 2 – 3 x 2 – 7x + x 2 = = 7x 2 – 7x 2yx = 2 xy
b) x = –2 och y = –3 i det förenklade uttrycket ger 4 ∙ (–2)2 – 6 ∙ (–2) ∙ (–3) + 4 ∙ (–3)2 = = 4 ∙ 4 – 6 ∙ 6 + 4 ∙ 9 = 16
1104 Förenkla
a) (5 x + 2 y) + (2 x + y)
b) (5 x – 2 y) + (2 x – y)
c) (5 x – 2 y) – (2 x – y)
d) (5 x – 2 y) – (–2 x – y)
1105 Förenkla
a) (x 2 + 3 x – 5) + (–3 x 2 – 8 x + 9)
b) (x 2 – 3 x + 5) – (3 x 2 + 8 x – 9)
c) (a + 2) + (3a – 3) – (2 a + 1)
d) (a – 2) – (3a – 3) – (–2 a – 1)
1106 Multiplicera in och förenkla
a) 3 + 4(3 x – 5) – x
b) 3 x – 2(5 + x) + 12
c) 5 – (–2 a + 3) + 4(1 – a)
d) (2 y – 8) – 3(4 – 3 y)
1107 Beräkna värdet av uttrycket x 2 – 2 x + 2 då x = –3.
1108 Figuren visar två identiska rektanglar.
1111 Förenkla
a) 3a – 2(a – b) + 2(b – a)
b) a(a + b) – (a – b)b
c) 3 x(2 + y) + 3 y(2 – x)
d) (4x)2+ 12 x − (4x − 5) · 3
1112 Beräkna värdet av uttrycket 2 x 2 – 3 x y då
a) x = –1 och y = 4
b) x = –5 och y = –2
c) x = 1/2 och y = –1/3
d) x = y = 2
1113 Den kommutativa lagen för
addition kan skrivas
a + b = b + a.
Gäller motsvarande lag för räknesättet
a) subtraktion
b) multiplikation
c) division?
Motivera dina svar.
1114 Förenkla
a) ab(a – b) – a(ab – b2)
b) 2 x( x 2 – x + 1) + x(2 x 2 – x – 3)
c) 4 x( x 2 – 3 x – 6) + x 2( x – 9) – 3 x( x 2 – 2)
Skriv likheten A = A1 + A 2 med algebraiska uttryck som motsvarar respektive area.
1109 En rektangulär äng ska inhägnas. Kortsidan är x m och långsidan är 130 m längre. Skriv ett förenklat uttryck för a) omkretsen b) arean.
1110 När Levi ska förenkla uttrycket
30 – ( x – 6) – 3(6 – x) har han bråttom och skriver
30 – x – 6 – 18 + x
a) Han gör två fel. Vilka?
b) Visa en korrekt förenkling. a a + 22 a a AAA12
d) 2 x( x – y) – y(2 x + y) + x( x + 3 y)
1115 I en triangel är basen x cm. Höjden är 8 cm längre än dubbla basen. Skriv ett förenklat uttryck för triangelns area.
1116 Vilket värde har uttrycket
4 x( y + x) – x(4 x – y) om x y = 12?
1117 a) Avgör om summan av fem på varandra följande heltal alltid är delbar med 5.
b) Avgör om summan av sex på varandra följande heltal alltid är delbar med 6.
Historik
Ekvationer och lösningsformler
Matematiker har genom århundraden lyckats
utveckla algebraiska lösningsformler och metoder för många olika typer av ekvationer. Men till vissa typer av ekvationer har man även kunnat visa att generella algebraiska lösningsmetoder inte finns.
Andragradsekvationen
Babyloniska lertavlor har visat att andragradsekvationens lösning var känd för 4 000 år sedan.
Papyrusrullar från Egypten som är ungefär lika gamla visar att man där använde geometriska metoder för att lösa andragradsekvationer.
Olika sätt att lösa andragradsekvationer har därefter tagits fram i bland annat grekisk, kinesisk, indisk och arabisk matematik.
Tredjegradsekvationen
Många har försökt, och misslyckats, med att hitta en generell metod för att lösa tredjegradsekvationer. Misslyckanden som till stor del har berott på vilka talmängder man hade att tillgå.
I antikens Grekland vållade problemet med kubens fördubbling stora bekymmer för dåtidens tänkare. Man ville veta hur kanterna på två kuber förhåller sig, om den ena kubens volym är dubbelt så stor som den andra kubens volym.
I dag vet vi att förhållandet mellan kanterna måste vara 1: 32 . Tyvärr erkände man bara tal som gick att skriva som bråk (rationella tal, Q), och eftersom 32 är ett irrationellt tal lyckades man inte lösa problemet.
På 600-talet presenterade den kinesiske matematikern Wang Xiaotong lösningar till flera olika tredjegradsekvationer. Under de följande århundradena utvecklades algebran framför allt i Mellanöstern. Den persiske matematikern och astronomen Omar Khayyam la på 1100-talet fram lösningar till flera tredjegradsekvationer genom att kombinera algebraiska och geometriska lösningar. Han försökte hitta algebraiska lösningar till samtliga typer av tredjegradsekvationer, men misslyckades.
Mot slutet av medeltiden började allt fler arbeta med matematik även i Europa. Matematikerna var till stor del inspirerade av de arabiska texter som översattes. I början av 1500-talet tog sig flera norditalienska matematiker an tredje- och fjärdegradsekvationerna.
Niccolò Fontana Tartaglia (1499–1557)
Det sägs att matematikern Niccolò Fontana Tartaglia närmade sig en generell lösning. Mot tysthetslöfte avslöjade han sin idé för matematikern, läkaren och astrologen Girolamo Cardano, som helt fräckt tog idén och presenterade den som sin.
Så här angav Cardano en lösning till ekvationen x 3 + p x = q
Beräkna först k = p3 27 + q2 4
Om k > 0 så är en rot x = q k 2 3 + + q k 2 3
Fjärde- och femtegradsekvationen
I samband med lösningen för tredjegradsekvationen presenterade en av Cardanos elever, Lodovico Ferrari, den allmänna lösningen till fjärdegradsekvationer.
Många gav sig nu i kast med femtegradsekvationen. Efter nästan 300 år skulle det visa sig att försöken varit lönlösa. I början av 1800-talet kunde man nämligen visa att det inte går att hitta allmänna lösningsformler för ekvationer av högre grad än fyra.
1 Från babylonisk tid kan vi hitta denna ekvation, omskriven med moderna symboler:
120 x – 120( x – 2) = 10 x( x – 2)
Ekvationen ger inköpspriset x (shekel/säckar) för att vid vissa villkor få vinsten 10 shekel.
Lös ekvationen och bestäm inköpspriset.
2 Flera av personerna i texten var astronomer och kalenderskapare.
Varför har matematik spelat en så stor roll inom t.ex. astronomin, tror du?
3 Vissa ekvationer av högre grad kan vi lösa utan komplicerade metoder.
Lös tredjegradsekvationen 5 x 3 = 40
Bedriften brukar ofta tillskrivas norrmannen
Niels Henrik Abel och fransmannen Évariste Galois, som båda för övrigt fick korta och tragiska liv.
Abel dog i lungsot endast 26 år gammal, två dagar innan meddelandet om att han antagits som professor i matematik. Galois, som kommit på kant med både skolan och samhället, dog blott 20 år gammal i en duell som ska ha handlat om politik och en kärlekstvist.
4 Vilket är det högsta gradtalet på de ekvationer där vi kan hitta allmänna lösningsformler?
5 Vi har tredjegradsekvationen x 3 + 5x = 8
a) Beräkna talet k med Cardanos metod (dels som ett närmevärde, dels som ett exakt tal i bråkform).
b) Lös ekvationen med Cardanos metod.
6 Från en av Tartaglias ekvationslösningsdueller: Ett träd, 12 m högt, bryts av så att den avbrutna delen är kuben på den del som står kvar. Hur hög är den del som står kvar?
Lös ekvationen med Cardanos metod och kontrollera med räknarens ekvationslösare.
Girolamo Cardano (1501–1576)
Niels Henrik Abel (1802–1829)
Programmering
Lösningsformel för andragradsekvationer
Skriv ett program som löser andragradsekvationer på formen
x 2 + p x + q = 0
där p och q är konstanter.
1 FÖRSTÅ
x 2 + 6 x – 16 = 0 är ett exempel på en ekvation på formen
x 2 + px + q = 0. I det fallet är p = 6 och q = –16.
2 PLANERA
A Resultat
Om programmet ska lösa ekvationen
x 2 + 6 x – 16 = 0 vill vi att det skriver ut följande resultat:
Ekvationen har lösningarna
x1 = 2 och x2 = -8
B Lösning
Ekvationer på formen x 2 + px + q = 0 har lösningarna
x 1 = – p 2 + p q
C Variabler
Programmet ska använda följande variabler:
• p för värdet på p
• q för värdet på q
• x1 för ekvationens första lösning
• x2 för ekvationens andra lösning.
D Algoritm
Programmet ska skrivas i följande ordning:
• Spara värdet 6 i variabeln p.
• Spara värdet –16 i variabeln q
• Spara uttrycket –p 2 + p q
• Spara uttrycket –p 2 –p q
• Skriv ut ekvationens lösningar.
i variabeln x1.
i variabeln x2.
3 GENOMFÖRA – KODA
I programspråket Python3 skriver vi programmet så här: p = 6 q = -16
x1 = -p/2 + ((p/2)**2 - q)**0.5
x2 = -p/2 - ((p/2)**2 - q)**0.5
print(”Ekvationen har lösningarna x1 =”, x1, ”och x2 =”, x2)
4 TESTA OCH VÄRDERA
Programmet kan lösa andragradsekvationer som har reella lösningar. Men om ekvationen saknar reella lösningar skrivs inget resultat ut.
Lös följande uppgifter med hjälp av programmering. Syftet är att du ska utveckla din problemlösningsförmåga och därför är det lämpligt att du följer alla stegen i strategin.
1 Skriv programmet i exemplet. Kör det och kontrollera att det fungerar.
2 Ändra i programmet i uppgift 1 så att följande resultat skrivs ut om p = –4 och q = 5:
Ekvationen saknar reella lösningar.
3 Ändra i programmet så att följande resultat skrivs ut om p = 2 och q = 1:
Ekvationen har en dubbelrot: x1 = x2 = -1
4 Använd programmet för att lösa ekvationerna.
a) x 2 – 8 x – 9 = 0
b) x 2 – 0,88 x + 0,19 = 0
c) x 2 –x 3 –2 3 = 0
5 a) Skriv ett program som löser andragradsekvationer på formen a x 2 + b x + c = 0.
b) Använd programmet för att lösa ekvationen
8 x 2 – 56 x – 480 = 0.
6 a) Skriv ett program som finner en lösning till tredjegradsekvationer på formen
x 3 + px = q
genom att använda Cardanos formel:
x = q k 2 3 + + q k 2 3
där k > 0 och k = p3 27 + q2 4
b) Använd programmet för att lösa ekvationen
x 3 + x = 12.
Rektanglar med
en given omkrets
I den här aktiviteten ska du undersöka egenskaperna hos rektanglar.
Syftet är att du ska utveckla din förmåga att formulera en matematisk modell utifrån en verklig situation.
Materiel: Linjal
1 a) Rita några rektanglar med omkretsen
24 cm. Låt basen vara 2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cm respektive 10 cm.
b) Beräkna arean av dina rektanglar.
Visa resultatet i en tabell där du anger bas, höjd samt area för varje rektangel.
2 a) Visa resultatet i ett koordinatsystem.
Sätt rektangelns bas på x-axeln och dess area på y-axeln.
b) Din graf visar en andragradsfunktion. Ange grafens symmetrilinje.
c) Vilket är det största möjliga värdet på arean och vilken form har rektangeln då?
3 a) Vilket värde får summan av basen och höjden hos de olika rektanglarna?
b) Låt basen vara x cm och höjden h cm. Vilket är sambandet mellan x och h?
Lös ut h ur detta samband.
c) Skriv en formel för hur arean, y cm 2 , beror av basen, x cm.
(Formeln beskriver den andragradsfunktion vars graf du har ritat i koordinatsystemet.)
d) Lös ekvationen y = 0 både grafiskt och algebraiskt.
4 a) Vilken definitionsmängd har funktionen?
b) Vilken värdemängd har funktionen?
Problemlösning
Exempel Vilken är den största arean en rektangulär hästhage med omkretsen 200 m kan ha?
Vi ritar en figur och inför beteckningar på längd och bredd.
Summan av längden och bredden
är lika med halva omkretsen, 100 m.
Längden: x m
Bredden: (100 – x) m
Arean, y m 2 , beskrivs av andragradsfunktionen
y = x · (100 – x) eller y = 100 x – x 2
Funktionen har nollställena
x = 0 och x = 100.
Symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena och har ekvationen x = 50.
Funktionens största värde ligger på symmetrilinjen, vilket innebär att hagen får störst area om längden är 50 m.
Det ger bredden (100 – 50) m = 50 m. Hagen får alltså störst area om den har formen av en kvadrat.
x = 50 ger y = 100 · 50 – 50 2 = 2 500. Den maximala arean är 2 500 m 2 .
(50, 2500)
2 000 2 500 20 40 100m y = x (100 – x)
x y 60 80
modell När vi använder andragradsfunktioner som en modell för verkligheten måste vi ta hänsyn till att alla värden inte är tillåtna. Vi bör bestämma definitions- och värdemängden.
I vårt exempel gäller:
Definitionsmängd: 0 < x < 100
Värdemängd: 0 < y ≤ 2 500
Aktivitet
Grafen till y = 10x
I den här aktiviteten ska du få bekanta dig med exponentialfunktionen y = 10 x . Syftet är att du ska få en grundläggande förståelse för hur den kan användas för att lösa exponentialekvationer.
1 Figuren visar grafen till funktionen
y = 10 x. Avläs i grafen värdet av
a) 10 2 d) 10 0,5
b) 101,5 e) 10 0
c) 101 f) 10 –0,5
2 a) Rita grafen till y = 10 x med din grafräknare.
b) Bestäm funktionens definitionsmängd och värdemängd.
3 a) Avläs i grafen x-värdet då y = 50.
b) Vilken ekvation har du löst genom avläsningen i a).
4 Lös ekvationerna grafiskt.
a) 10 x = 200
b) 10 x = 100
c) Skriv in lg 200 och lg 100 i din räknare och jämför med svaren i a) och b).
Vad finner du?
I digitala verktyg används ibland andra beteckningar än lg, t.ex. LOG eller log10.
5 Försök att bestämma värdet utan räknare.
Kontrollera sedan med din räknare.
a) lg 1 000 c) lg 1
b) lg 10 000 d) lg 0,1
exponentialekvation
Exempel 1
Exponentialekvationer och logaritmer
Hur löser man en exponentialekvation av typen 10 x = b, där den obekanta x är i exponenten?
I enkla fall som t.ex. 10 x = 1 000 kan ekvationen lösas med huvudräkning genom att tänka ” Vad ska 10 upphöjas till för att ge resultatet 1 000?”
Lösningen är x = 3 eftersom 10 3 = 1 000.
I tabellen till höger visas fler exempel.
Exempel 2 För att lösa ekvationen 10 x = 7 behöver vi andra metoder.
Vi kan få ett ungefärligt värde på x genom en grafisk lösning.
Vi ritar grafen till y = 10 x och avläser x-värdet då y = 7.
Lösningen är x ≈ 0,85.
tiologaritm
Det tal x som 10 ska upphöjas till för att resultatet ska bli 7 kallas tiologaritmen för 7 och skrivs kortare lg 7.
Ekvationen 10 x = 7 har med andra ord lösningen x = lg 7 ≈ 0,85
På samma sätt har ekvationen 10 x = 15
lösningen x = lg 15 ≈ 1,18.
Om y > 0 gäller allmänt att:
Ekvationen 10 x = y har lösningen x = lg y.
Sambandet mellan x och y kan i detta fall skrivas på två likvärdiga (ekvivalenta) sätt. ekvivalens Vi tar hjälp av symbolen ⇔ som beskriver en ekvivalens.
Definition av tiologaritm
För varje positivt tal y gäller att y = 10x ⇔ x = lg y
Talet lg y utläses tiologaritmen för y.
Ekvation Lösning
10 x = 1 000 000 x = 6
10 x = 10 000 x = 4
10 x = 10 x= 1
10 x = 1 x = 0
10 x = 0,1 x= –1
I digitala verktyg används t.ex. beteckningarna LOG, log10 eller lg för tiologaritmen.
Eftersom exponentialfunktionen y = 10 x ger y > 0 för alla x, är logaritmfunktionen x = lg y endast definierad för y > 0.
2311
Lös ekvationen 10 x = 18.
a) Svara exakt.
a) 10 x = 18
y = 10 x ⇔ x = lg y
2312
b) Svara med ett närmevärde med tre decimaler.
b) 10 x = 18 x = lg 18 x = lg 18 ≈ 1,255
Lös ekvationen 25 ∙ 10 2 x = 125.
25 ∙ 10 2 x = 125
10 2 x = 5
2 x = lg 5
x = lg 5 2 ≈ 0,35
2313 Lös ekvationerna.
Definitionen ger 10 2 x = 5 ⇔ 2 x = lg 5
a) 10 x = 100 000 c) 10 x = 0,000 01
b) 10 x = 100 d) 10 x = 0,01
2314 Lös ekvationerna. Svara exakt och med ett närmevärde med tre decimaler.
a) 10 x = 5 c) 10 x = 5 000
b) 10 x = 13 d) 10 x = 0,045
2315
2316 Lös ekvationerna. Svara exakt.
a) 2 ∙ 10 x = 48 c) 10 2 x = 50
b) 5 ∙ 10 x = 15 d) 10 3 x = 10 000
2317 Lös ekvationen 10 2 x = 5 000
a) grafiskt b) algebraiskt.
2318 Vilket tecken, >, < eller =, ska stå i rutan? Motivera ditt val.
a) 10 2,5 100 c) 2 ∙ 10 –4 2 10 4
b) 10 –1,5 0,15 d) 10 –3,5 0,001
2319 Mellan vilka heltal ligger lösningen till a) 10 x = 4 100 c) 10 x = 0,04
b) 10 x = 62 390 d) 10 x = 0,000 23
2320 Lös ekvationerna. Svara exakt och med ett närmevärde med två decimaler.
A 10 x = 2 B 10 x = 8 C 10 x = 0,5
a) Lös ekvationerna A, B och C grafiskt.
b) Lös ekvationerna A, B och C med ett ekvationslösande verktyg.
Svara med två decimaler. x 0,5 y y = 10x 5 10 1
a) 0,3 ∙ 10 3 x = 18
b) 10 x + 10 x = 8
c) 10 10 2 x = 100
d) 10 x – 0,2 ∙ 10 x = 40
Sant eller falskt?
Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.
1 Ekvationen 5x = 92 är ett exempel på en potensekvation.
2 Ekvationen (2 x – 6)(x + 4) = 0 har lösningarna x 1 = –4 och x 2 = –3.
3 Värdet av lg 0,5 ligger i intervallet –1 < lg 0,5 < 0.
4 En andragradsekvation kan ha 0, 1 eller 2 reella lösningar.
5 Grafen till andragradsfunktionen
y = 2 x 2 + 2 x + 6 har symmetrilinjen x = –1.
6 Om grafen till andragradsfunktionen
y = a x 2 + b x + c inte skär x-axeln, så saknar ekvationen a x 2 + b x + c = 0 reella lösningar.
7 Grafen till en andragradsfunktion skär alltid y-axeln.
8 x = 3 är lösning till ekvationen
51 x + = x 2 – 5
9 Uttrycket lg2+lg9 lg3 kan förenklas till lg 6.
10 lg x kan skrivas lg x 2
11 Ekvationen x 2 – 5 x = 2 har en rot x = 5+33 2
12 En kvadrering av båda leden i rotekvationen
23 x + = x + 1 ger en ekvation vars lösning även är rotekvationens lösning.
13 Om 10 a + 2 = b så är lg b = a + 2.
14 lg (–10) kan förenklas till –1.
15 Exponentialfunktionen y = C ∙ a x saknar nollställen.
16 För en funktion som avtar exponentiellt sker en halvering av värdet på samma tid oavsett startvärdet.
Andragradsekvationer
Kvadratsrotsmetoden
x 2 = 5 har rötterna x = ± 5
Nollproduktmetoden
x 2 + 10 x = 0
x( x + 10) = 0
x = 0 eller x + 10 = 0
x 1 = 0 x 2 = –10
Sammanfattning
Sammanfattning 2
Rotekvationer
45 x + = x l öses så här:
1 Kvadrera båda leden (ger 4 x + 5 = x 2).
2 Lös andragradsekvationen (ger x1 = 5 x2 = –1).
3 Pröva rötterna i den givna ekvationen. (x 2 = –1 är en falsk rot.)
Andragradsfunktioner
Omvänt kan man bestämma en andragradsekvation utifrån två kända rötter.
Exempel:
x 1 = 2 och x 2 = –8 är rötter till ekvationen
( x – 2)( x + 8) = 0 dvs. x 2 + 6 x – 16 = 0.
Kvadratkomplettering
x 2 + 10 x = 11
Öka båda leden med kvadraten på halva koefficienten för x, dvs. med kvadraten på 5.
x2 + 10 x + 52 = 11 + 52
( x + 5)2 = 36
x + 5 = ±6
x 1 = 1 x 2 = –11
Lösningsformeln
x 2 + p x + q = 0 x = – p 2 ± p q
Exempel:
x 2 + 4 x – 5 = 0 har lösningarna
x = –4 2 ± 4 2 5
x = –2 ± 3
x 1 = 1 x 2 = –5
Uttrycket under rottecknet, p
q, kallas för ekvationens diskriminant. Om diskriminanten är negativ saknar ekvationen reella rötter.
En andragradsfunktion kan skrivas
y = a x 2 + b x + c, där a ≠ 0
Grafen till en andragradsfunktion
• har en extrempunkt som är en maximi- eller minimipunkt
• har en maximipunkt om a < 0
• har en minimipunkt om a > 0
• skär y-axeln i (0, c)
• är symmetrisk kring symmetrilinjen
• har nollställen om ekvationen y = 0 har reella lösningar
• kallas en parabel.
Exempel: y = 2 x 2 – 8 x + 6
Symmetrilinje x = 2
x = 1 och x = 3 är nollställen.
Minimipunkt (2, – 2)
Minsta värde –2
Exponentialekvationer
y = h (x)
y = g (x) y = f (x)
Figuren ovan visar tre funktionsgrafer.
Andragradsfunktionen
f(x) = x 2 – 4x + 3 har två nollställen x = 1 och x = 3
Andragradsekvationen
x 2 – 4x + 3 = 0 har två rötter x = 1 och x = 3
Funktionen y = g(x) har ett nollställe x = 2 och ekvationen g(x) = 0 har en rot x = 2.
Funktionen y = h(x) har inget nollställe och ekvationen h(x) = 0 har ingen reell lösning.
Logaritmer
y = 10 x ⇔ x = lg y ( y > 0) x är tiologaritmen för y.
Exempel:
10 2 = 100 ger lg 100 = 2
10 –2 = 0,01 ger lg 0,01 = –2
Logaritmlagarna
lg x + lg y = lg xy
lg x – lg y = lg x y
lg x p = p ∙ lg x
Exponentialfunktion
y = C ∙ a x (C och a är konstanter, a > 0, a ≠ 1)
Potensfunktion
y = C ∙ x a (C och a är konstanter) x 1 2 3 4 1 23 4 5 –1
Ekvationen a x = b har lösningen x = lg b lg a
Exempel utan räknare:
Ekvationen 10 x = 1 000 har lösningen x = lg 1 000 = 3
Exempel med räknare:
Ekvationen 10 x = 40 har lösningen x = lg 40 ≈ 1,602
Exempel algebraisk lösning: 8 · 3 x = 15
3 x = 15/8 lg 3 x = lg (15/8)
x · lg 3 = lg (15/8)
x = lg(/ ) lg 15 8 3 ≈ 0,572
Exempel grafisk lösning: 100 ∙ 1,02 x = 160
Rita graferna till y = 100 ∙ 1,02 x och y = 160. Avläs x-värdet i skärningspunkten.
Potensekvationer
Ekvationen x a = b har lösningen x = b1/a
Exempel:
Ekvationen x 5 = 9 har lösningen x = 91/5 ≈ 1,55
Matematisk modellering och regression
När vi använder matematik för att lösa ett problem utifrån en verklig situation gör vi en matematisk modell.
Att anpassa funktioner till observerade data
kallas regressionsanalys. A B C
A Linjär regression: y = ax + b
B Kvadratisk regression: y = ax 2 + bx + c
C Exponentiell regression: y = C ∙ a x
Kan du det här?
Delkapitel BEGREPP
2.1 Andragradsekvationer och rotekvationer
2.2 Andragradsfunktioner
Andragradsekvation
Kvadratrotsmetoden
Nollproduktmetoden
Kvadratkomplettering
Lösningsformeln
Rotekvationer och falsk rot
Andragradsfunktion
Parabel, nollställen och symmetrilinje
Extrempunkt, maximi- och minimipunkt
Extremvärde, största/minsta värde
Algebraisk lösning och grafisk lösning
PROCEDUR
• lösa andragradsekvationer med olika metoder
• pröva rötter (lösningar)
• ställa upp och lösa problem med hjälp av andragradsekvationer
• lösa rotekvationer och avgöra om rötterna är falska.
• avgöra om grafen har maximi- eller minimipunkt och om nollställen finns
• bestämma skärningspunkter med koordinataxlarna
• bestämma symmetrilinje, extrempunkt och största/minsta värde
• använda och tolka andragradsfunktioner i olika tillämpningar
• bestämma formeln för en andragradsfunktion utifrån tre givna punkter.
2.3 Exponentialfunktioner och logaritmer
2.4 Exponentialekvationer och potensekvationer
Exponentialfunktion
Tiologaritm
Logaritmlagar
Exponentialekvation
Potensekvation
2.5 Regressionsanalys Regressionsanalys
• förenkla uttryck och lösa ekvationer med hjälp av definitionen av tiologaritmer och logaritmlagarna.
• beskriva likheter och skillnader mellan exponential- och potensekvationer
• ställa upp och lösa exponential- och potensekvationer algebraiskt samt med grafritande och ekvationslösande verktyg.
• anpassa funktioner till mätvärden med hjälp av digitala verktyg.
Testa dig själv 2
2.1 Andragradsekvationer och rotekvationer
1 Lös ekvationerna.
a) 3 x 2 – 75 = 0
b) (2 x – 8)( x + 3) = 0
c) x 2 – 10 x + 16 = 0
d) (x + 4)2 = –4(x + 2)(x – 2)
2 Lös ekvationen x + 2 = x – 4
a) algebraiskt b) grafiskt.
3 Ge exempel på en andragradsekvation som a) saknar reell lösning
b) har två positiva rötter.
4 Produkten av två positiva tal är 206,25.
Det ena talet är 4 mindre än det andra.
Vilka är talen?
2.2 Andragradsfunktioner
5 Utgå från grafen till y = 3 x – x 2 – 5.
a) Har grafen en maximi- eller minimipunkt?
b) I vilken punkt skär grafen y-axeln?
Motivera dina svar.
6 Beräkna funktionens nollställen. Kontrollera med grafräknare.
a) y = x 2 – 4 x b) y = –2 x 2 + 4 x – 4
7 Bestäm symmetrilinjens ekvation samt största/minsta värde för funktionen y = x 2 – 6 x + 10.
8 Grafen visar en andragradsfunktion y = f ( x).
a) Bestäm funktionens nollställen.
b) Bestäm symmetrilinjens ekvation.
c) Bestäm a så att f(a) = 3
d) Vilket värde är minst, f (10) eller f (–10)? Motivera ditt svar. x y 1 1
9 Höjden, y m, för en boll som rört sig x m framåt från utgångspunkten kan beskrivas av funktionen
y = x – 0,04 x 2
a) Vad är höjden då bollen rört sig 10 m framåt?
b) Hur långt från utgångspunkten slår bollen ner?
2.3 Exponentialfunktioner och logaritmer
10 Bestäm
a) lg 100 b) lg 0,1 c) lg 1
11 Förenkla så långt som möjligt.
a) lg 10 2 + lg 2 b) lg x 2 – lg x
12 Ge exempel på en exponentialfunktion som går genom punkten (1, 4).
2.4 Exponentialekvationer och potensekvationer
13 Lös ekvationerna. Svara exakt.
a) x 5 = 140 c) 6 x = 140
b) 10 x = 5 d) lg 2 x = 3
14 I en stad ökade invånarantalet med 5 % varje år.
Hur många år krävdes det för att invånarantalet skulle öka från 50 000 till 80 000?
15 Lös ekvationerna och svara exakt. a) 6 x + 1 ∙ 6 3 = 6 b) 6 x + 1 ∙ 6 3 = 2
2.5 Regressionsanalys
16 Anpassa en andragradsfunktion y = f ( x) till värdena i tabellen.
x 5 10 15 20 y 6 18 20 12
Utan digitala verktyg 1
1 Beräkna
Blandade övningar 1
a) lg 4 + lg 25 b) lg 30 – lg 3
2 Lös ekvationerna.
a) x 2 + 2 x – 8 = 0
b) 40 x + 10 x 2 = 0
c) ( x + 1)( x – 1) = –2
3 Figuren visar grafen till en andragradsfunktion f så att y = f ( x).
7 Vilket av följande är det bästa närmevärdet till lg 80? Motivera ditt svar.
A 0,8 D 2,9
B 0,9 E 8,0
C 1,9 F 800 2
8 För vilket värde på a har ekvationen
x 2 – 10 x + a = 0 rötterna x = 3 och x = 7? Motivera.
9 I vilket intervall ligger talet a = lg 0,25?
A –1 < a < 0
a) Ange ekvationen för grafens symmetrilinje.
b) Ange funktionens nollställen.
c) Ange funktionens minsta värde.
d) Bestäm f (1).
e) Vilket av värdena f (8) och f (–5) är störst?
Motivera ditt svar.
f) För funktionen f gäller att f ( x) = x 2 + b x.
Bestäm konstanten b.
4 Lös ekvationerna. Svara exakt.
a) 2 x 2 – 10 = 0 c) 4 ∙ lg x = 20
b) 3 ∙ 10 x = 6 d) 5 x = 8
5 Grafen till en andragradsfunktion har maximipunkten (2, 7). Grafen går genom punkten (1, 6).
Ange en tredje punkt på grafen.
6 Har funktionen y = ( x – 2)2 + 5 några nollställen? Motivera ditt svar. y x 1
B 0 < a < 1
C 1 < a < 2
10 Lös ekvationerna.
a) x 2 – x –3 4 = 0
b) lg x – lg 2 = lg 36
c) 2 25 x = 2 x – 8
d) 10 lg 4 ∙ 4 x = 4 3 x
11 Bestäm uttryckets minsta möjliga värde.
2(a – 3)2 – (3 – a)(3 + a)
12 Ange de x som ingår i lösningen till båda olikheterna
lg x < –1 och 10 2 x > 0,01
13 Bestäm det värde på x där graferna till exponentialfunktionerna
f ( x) = 2,5 ∙ 10 2 x och f ( x) = 7,5 ∙ 10 x skär varandra. Svara exakt.
14 Vilka y-värden är möjliga för funktionen
a) y = 1 – x 2 b) y = x 2 – 2 x – 3?
Lös uppgiften utan att rita grafen. Motivera ditt svar.
15 Lös ekvationen.
(x – lg 10)(lg 0,1 – x) = 0
16 Figuren visar grafen till andragradsfunktionen f ( x) = a x 2 + b x + c.
Med digitala verktyg 1
21 Temperaturen y ˚C i en kopp kaffe avtar enligt y = 62 · 0,97 x + 18 där x är tiden i minuter efter att man hällt upp kaffet i koppen. Beräkna och tolka y-värdet då
3
a) Förklara var i figuren man kan avläsa värdet på konstanten c.
b) Bestäm konstanterna a, b och c
c) Ligger punkten (10, 152) på grafen? Motivera ditt svar.
d) Lös ekvationen f ( x + 1) = 0.
e) Lös olikheten f ( x) < x + 1 grafiskt.
17 I en tabell står det att lg 4 ≈ 0,60. Bestäm med hjälp av detta ett värde på
a) lg 40 b) lg 16 c) lg 1 4
18 Förenkla lg lg lg xx x 4 4 4 ⋅ så långt som möjligt.
19 Av ett visst radioaktivt preparat återstår p % efter a dygn.
Vilken halveringstid svarar detta mot?
20 Lös ekvationerna.
a) ( 1 x – 2)( 1 x + 2) = 3 x
b) (lg x)2 – lg x 3 = 0 x y 1 1
a) x = 0 b) x = 10
22 Ange ekvationen för två olika andragradsfunktioner som skär x-axeln då x = 10 och x = 20.
23 Nina säger till Josef: ”Om man multiplicerar våra åldrar får man 696.” Josef är fem år äldre än Nina.
Hur gamla är Josef och Nina?
24 Med 300 m stängsel inhägnas två rektangulära områden som figuren visar.
300 – 3x
Hela områdets area är y m 2 .
a) Skriv en funktion för hela områdets area.
b) Bestäm arean då x = 70 m.
c) För vilka x-värden är y = 0?
d) Bestäm hela områdets maximala area.
REPETITIONSUPPGIFTER
Kapitel 1
ALGEBRA
Repetitionsuppgifterna är identiska med bokens lösta exempel. För svar och lösningar se kapitlets exempel.
1101 (sidan 10)
Förenkla
a) 2(3 x – 1) + 5(2 – x)
b) (5 x + y – 1) – (x – 2 y + 3)
1102
Förenkla
a) 4(a + b) – 3(b – a)
b) (3 x)2 – 3 x 2 – x(7 – x)
1103
a) Förenkla 4 x(x – y) – 2 y( x – 2 y).
b) Beräkna värdet av uttrycket i a) när x = –2 och y = 3.
1118
Lös ekvationerna.
a) 5y = 2( y – 3)
b) x – 2(2 x – 3) = 18
1119
Lös ut y ur ekvationen 12x – 4y + 8 = 0.
1120
Lös ekvationerna.
a) z 5 –z 8 = 1 20 b) 12 x x = 2 3
1201
Bestäm ekvationen för en rät linje som går genom punkterna (–1, 3) och (2, 9).
1212
Är linjerna
3x – 6y = 8 och 2y – x – 5 = 0 parallella? Motivera ditt svar.
1213
a) Rita linjen 6 x + 2 y – 10 = 0.
b) Är linjen y = x + 2 vinkelrät mot 6 x + 2 y – 10 = 0? Motivera.
1214
Bestäm ekvationen för den linje L som går genom punkten (−2, 1) och är parallell med linjen y = x 3 + 6.
1226
I tabellen är y stockrosens höjd i cm och x antalet dagar efter planteringen.
x (dagar) 4 6 10 12 y (cm) 14 22 26 32
a) Anpassa en rät linje till mätvärdena i tabellen, dvs. gör en linjär regression.
b) Tolka linjens k- och m-värde.
c) Det linjära sambandet kan ses som en modell för hur höjden beror av tiden.
Använd modellen och beräkna stockrosens höjd efter 7 dagar.
d) Har modellen några begränsningar?
1236
Tabellen visar mätvärden för reaktionstid och ålder i en undersökning.
Ålder (år) Reaktionstid (s)
43 0,60
73 1,23
54 0,60
66 0,89
51 0,68
80 1,70
a) Bestäm ekvationen för en regressionslinje.
b) Ange om korrelationen är positiv eller negativ. Motivera ditt svar.
c) Bestäm korrelationskoefficienten r.
1301
Lös ekvationssystemet.
28 10 yx yx
a) för hand
b) med grafritande verktyg.
1302
Kontrollera om x = 5, y = –2 är en lösning till ekvationssystemet
21 57
38 3 xy xy ,
a) algebraiskt b) grafiskt.
1316
Lös ekvationssystemet med substitutionsmetoden.
yx yx 32 42 (1) (2)
1317
Lös ekvationssystemet.
34 17 52 xy xy (1) (2)
1333
Lös ekvationssystemet med additionsmetoden.
54131
212 ab ab += +=
1334
Lös ekvationssystemet med additionsmetoden.
11 33 52 1 xy xy
1348
Lös ekvationssystemet.
bc ab c ab 1 6 22 14 1349
Lös ekvationssystemet.
22 311 32 0 42 9 xy z xy z xy z 1358
() () (1) (2) (1) (2) (3) (1) (2) (3)
Eskil köper stora och små tomater. De stora kostar 55 kr/kg och de små 95 kr/kg.
Han köper 3,4 kg och de kostar totalt 251 kr.
Hur många kilogram tomater köper han av respektive sort? Lös uppgiften algebraiskt. Kontrollera lösningen med ett ekvationslösande verktyg.
1359
En gymnasieskola har både naturvetenskapliga programmet (NA) och teknikprogrammet (TE). Antalet elever på TE är 45 fler än antalet elever på NA. 20 % av eleverna på TE och 12 % av eleverna på NA är vegetarianer.
Antalet vegetarianer är 57. Hur många elever går sammanlagt på de två programmen?
1401
Utveckla och förenkla.
a) ( x – 2)(2 x + 5)
b) ( x – 3)(2 x – 4)
1402
Lös ekvationen.
(x – 1)(2 x + 4) = x(2 x + 1) 1403
Bestäm koefficienterna då uttrycken (x 2 + 3 x + 2) och (1 – 2 x) multipliceras.
1416
Utveckla med hjälp av konjugatregeln.
a) (x + 4)(x – 4)
b) (5a – b)(5a + b)
1417
Utveckla med hjälp av kvadreringsreglerna.
a) ( x + 3)2 b) (3 y – 4 x)2
1426
Förenkla uttrycken.
a) 5 x 2 – ( x – 3)2
b) 2(3 + y)2 – ( y – 4)( y + 4)
1427
a) Lös ekvationen.
2( x – 5)2 = 40 – 2(1 + x)(1 – x)
b) Kontrollera med ekvationslösande verktyg.
1428
Utveckla och förenkla.
a) (x + 10 )(x – 10 )
b) (1 + a )2 + 3 a
1446
Faktorisera så långt som möjligt.
a) a 2 – 9b2
b) x 2 – 6 x + 9
c) 3y 3 – 3y
1447
Beräkna 452 – 44 2 med hjälp av konjugatregeln.
1448
Faktorisera 5 x 2 + 30 x + 45
a) för hand
b) med digitalt verktyg.
Kapitel 2
ALGEBRA OCH ICKELINJÄRA MODELLER
Repetitionsuppgifterna är identiska med bokens lösta exempel. För svar och lösningar se kapitlets exempel.
2101 (sidan 69)
Lös ekvationerna.
a) 2 x 2 = 40 c) x 2 + 10 = 6
b) ( x – 8)2 = 36 d) x 2 + 5 x = 0
2116
Bestäm vad och står för och skriv sedan likheten utan symboler.
a) x 2 + 8 x + = ( x + )2
b) x 2 – 5 x + = ( x + )2
2117
Lös ekvationen x 2 – 4 x – 5 = 0 med kvadratkomplettering.
2128
Lös ekvationen x 2 + 6 x – 16 = 0.
2129
Lös ekvationen 10 x – x 2 – 25 = 0.
2130
Lös ekvationerna.
a) 4 x 2 – 12 x = 7 b) x 2 + 5 = 4 x
2150
Summan av kvadraterna på tre på varandra följande heltal är 4 334. Vilka är talen?
2151
I en rätvinklig triangel är hypotenusan 2 cm längre än den längsta kateten, som i sin tur är 2 cm längre än den kortaste kateten.
Bestäm triangelns sidor.
2162
Lös ekvationen 51 x = 7.
2163
Lös ekvationen x + 21 x = 2.
2201
Låt f ( x) = 5 – x 2 och g(x) = 4 – 3 x.
a) Bestäm f(–3).
b) Lös ekvationen g(x) = –20.
c) Bestäm f (2 a).
d) Bestäm g( f (x)).
2202
Figuren visar grafen till funktionen
f där f ( x) = x 2 2 – 1.
Lös ekvationen f ( x) = 1
a) grafiskt
b) algebraiskt
c) med ekvationslösande verktyg.
2203
Figuren visar graferna till två funktioner, f och g
b) Lös olikheten f ( x) > g(x). x y y=f (x ) –2 2
a) Lös ekvationen f ( x) = g( x).
Kapitel 1
1104 a) 7x + 3y
Ledtråd:
En parentes som föregås av ett plustecken kan utan vidare tas bort.
b) 7 x − 3y
c) 3 x − y
Ledtråd:
En parentes som föregås av ett minustecken kan tas bort om man då ändrar tecken för alla termer i parentesen.
d) 7x − y
1105 a) –2 x 2 – 5 x + 4
b) –2 x 2 – 11 x + 14
c) 2 a – 2
d) 2
1106 a) 11 x – 17
b) x + 2
Lösning:
3 x – 2(5 + x) + 12 = = 3 x – 10 – 2 x + 12 = = x + 2
c) –2 a + 6
d) 11 y – 20
1107 Uttryckets värde är 17.
Lösning:
x = –3 insatt i x 2 – 2 x + 2
ger (–3)2 – 2 ∙ (–3) + 2 = = 9 + 6 + 2 = 17
1108 A = A1 + A 2
a(a + 2) = a 2 + 2 a
1109 a) (4 x + 260) m
Ledtråd: Kortsidan är x m. Långsidan är ( x + 130) m.
b) (x 2 + 130 x) m 2
1110 a) 1. Han ändrar inte tecken när han tar bort första parentesen med minustecken framför.
2. Han multiplicerar inte – 3 med båda termerna i andra parentesen.
b) 30 – ( x – 6) – 3(6 – x) = = 30 – x + 6 – 18 + 3 x = = 2 x + 18
1111 a) 4 b – a
b) a 2 + b2
Ledtråd: –(a – b)b kan skrivas – b(a – b)
c) 6 x + 6 y
d) 16 x 2 + 15
1112 a) Uttryckets värde är 14.
b) Uttryckets värde är 20.
c) Uttryckets värde är 1.
d) Uttryckets värde är –2.
1113 a) Nej.
a – b ≠ b – a
Motivering: T.ex:
5 – 3 = 2
3 – 5 = –2
Allmänt gäller
a – b = –(b – a)
b) Ja.
a ∙ b = b ∙ a
Motivering: ab = ba
c) Nej.
a b ≠ b a
Motivering: 5 2 ≠ 2 5 a b = b a gäller endast om a = b
1114 a) 0
b) 4 x 3 – 3 x 2 – x
c) 2 x 3 – 21 x 2 – 18 x d) 3 x 2 – x y – y 2
1115 Arean är ( x 2 + 4 x) cm 2 .
Ledtråd: Basen b = x cm
Höjden h = (2 x + 8) cm
1116 Uttryckets värde är 60.
1117 a) Ja.
Förklaring:
Om det första talet är a så kan
summan skrivas
a + (a + 1) + (a + 2) +
+ (a + 3) + (a + 4) = = 5a + 10 = 5(a + 2)
b) Nej.
Förklaring:
a + (a + 1) + (a + 2) +
+ (a + 3) + (a + 4) + + (a + 5) = 6 a + 15 = = 3(2 a + 5)
Summan är alltid delbar med 3 men inte med 6.
1121 a) y = 6
b) x = 3/4 = 0,75
c) x = −1/3
d) z = 1/2 = 0,5
1122 a) y = x + 3 c) y = 5 x
b) y = x d) y = −3 x
1123 a) y = 6 – x c) y = 4 x + 5z
b) y = 3 x + 2 d) y = 2 x – 1
1124 a) x = 5 c) z = 8
b) y = –2 d) x = 4
1125 a) y = 4 x – 5
b) y = 13 – 3 x
c) y = – 6 x – 5
1126 a) x 1 = −7 x 2 = 4
b) x = 4
1127 a) x = 9 b) x = 30
1128 Ekvation: 5 x = 3(x + 110)
En konsertbiljett kostar 275 kr.
1129 Ekvation:
2 ∙ 3 x + 2 ∙ 4,5 x = 210 x = 14 cm
1130 a) I h = A b
II h = 2 A b
III h = 2 A ab +
b) I b = A h
II b = 2 A h
III b = 2 A h – a
1131 a) x = 40/7
Ledtråd: Multiplicera båda leden med MGN = 8 x
b) y = 6/5
Ledtråd: Multiplicera båda leden med MGN = 24.
c) x = 35/2
d) y = 12/5
1132 Talen är 55, 65 och 130.
1133 a) y = 5 6 x
Ledtråd: Multiplicera alla termer med MGN = 5 x y.
b) y = xz zx
1202 a) y = 2 x + 1
b) y = −2 x – 5
1203 a) k = –0,5
b) k = 1
c) k = 2/3 ≈ 0,67
d) k = –3
1204 a) y = 4 x – 14
b) y = –3 x + 7
1205 a) och b)
1206 a) m = 15 000
Antal invånare var 15 000 år 2010.
b) k = −225
Befolkningen minskade med 225 personer per år.
1207 Linjen skär x-axeln där x = 4
dvs. i punkten (4, 0).
Ledtråd: På x-axeln är y = 0.
1208 a) Ljusets höjd är 75 mm.
b) Tiden är 3,2 h.
c) y = 200 – 25 t
1209 y = −3
Ledtråd: Beräkna först linjens k-värde.
1210 Linjernas ekvationer är
y = 3 4 x + 5 4 och y = – x 2 –5 2
1211 f(x) = −2 x – 4
1215 a) k = –1 c) k = 0 b) k = 3 d) k = 1/3
1216 A , C och E .
De kan alla skrivas i formen
ax + by + c = 0.
1217 a)
b) L1: y = x 2 + 2
L2: y = −2 x – 3
c) Skärningspunkt: (−2, 1)
1218 1−D, 2−A, 3−B, 4−C
1219 a) y = –5 x + 5
b) y = 3 x – 11
Ledtråd: Lös ut y för att kunna avläsa linjens k-värde.
1220 Lösning:
y = –3 x + 1 och x = –1 ger y = –3 ∙ (–1) + 1 = 4
5 x – 3y = –17 och x = –1 ger
5 ∙ (–1) – 3y = –17
–3y = –12 y = 4
1221 Elvi har rätt. Linjerna är vinkelräta.
Motivering: Linjerna kan skrivas
y = x 2 och y = −2 x + 3,5
k1 = 1/2 och k 2 = –2 vilket ger k1 ∙ k 2 = –1
1222 a) T.ex. y = x 4 − 1
Linjerna är parallella eftersom de har samma k-värde, 1/4.
b) T.ex. x = 2
Linjerna är vinkelräta eftersom y = 10 är en horisontell linje och x = 2 är en vertikal linje.
1223 a kan anta alla värden utom −1.
Motivering: Linjerna har olika m-värden. De skär alltid varandra i en punkt om de inte är parallella. De kan alltså inte ha samma k-värde.
1224 a) 2 y – x – 5 = 0 b) 3y + x – 10 = 0
c) y – 2 x – 1 =0
1225 a = 4, b = 3 och c = −90
Ledtråd:
Bestäm k och m med hjälp av figuren. Omvandla linjens ekvation på k-form till allmän form.
7000 Matematik
Nivå 2c
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2025.
Matematik 7000 är ett modernt och heltäckande läromedel anpassat till den nya gymnasieskolan Gy25. Med bokens tydliga progression får eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.
I Matematik 7000 hittar du:
digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter utvecklande och utmanande uppgifter på alla svårighetsgrader aktiviteter, teman och historik som bidrar till en varierad undervisning kapitelavslutning med testa dig själv och blandade övningar utförligt facit med många lösningar och ledtrådar elevwebb och digital lärarhandledning.
LENA ALFREDSSON SANNA BODEMYR HANS HEIKNE