1.2 Poligoni e figure curve

I poligoni, dal greco polys (molto) e gonìa (angolo), sono delle superfici di piano delimitate da linee spezzate chiuse. I segmenti che compongono il contorno si definiscono lati e i punti di incontro dei lati si chiamano vertici.

I poligoni si dicono regolari quando hanno tutti i lati e tutti gli angoli uguali. I poligoni regolari possono essere sempre inscritti all’interno di una circonferenza, che passerà per tutti i suoi vertici, o possono circoscrivere la circonferenza, che sarà tangente a tutti i suoi lati. La distanza tra il centro del cerchio e uno dei lati del poligono prende il nome di apotema e deve sempre formare un angolo di 90° con il lato stesso.

In ambito geometrico si possono poi incontrare anche figure piane simili ai poligoni, delimitate sempre da linee semplici chiuse, ma curve.

Osserviamo i poligoni e le figure curve nel dettaglio.

Triangolo

Il triangolo è un poligono definito da tre punti e dai tre segmenti che li congiungono nel piano. Tali segmenti sono detti lati, mentre i punti sono chiamati vertici. La somma degli angoli interni è uguale a 180°; se tutti gli angoli sono acuti (<90°) il triangolo è acutangolo, se uno degli angoli è retto (90°) il triangolo è rettangolo, se uno degli angoli è ottuso (>90°) il triangolo è ottusangolo.

Il triangolo è una figura indeformabile, ossia rigida: questa sua proprietà lo rende un elemento indispensabile in edilizia, nella costruzione delle strutture stabili (ponti, tetti, gru, ecc.).

La Classificazione Dei Triangoli In Base Ai Lati

Triangolo equilatero: tutti i lati sono uguali.

Quadrato e rettangolo

Triangolo isoscele: due dei tre lati sono uguali.

Triangolo scaleno: tutti i lati sono disuguali.

I poligoni con quattro vertici, quattro angoli e quattro lati prendono il nome di quadrilateri: il quadrato e il rettangolo appartengono a questa famiglia. Sono, infatti, figure piane con quattro angoli retti, tutti i lati paralleli a due a due e le diagonali uguali tra di loro. I lati del quadrato sono tutti uguali; quelli del rettangolo, invece, sono uguali a due a due.

Le Diagonali Del Quadrato

Sono bisettrici degli angoli. Sono perpendicolari tra di loro. Sono congruenti tra di loro.

Trapezio

Il trapezio è un quadrilatero con due lati opposti paralleli, chiamati base maggiore e base minore, e due lati obliqui. Le due basi non possono mai essere congruenti. La distanza tra i due lati paralleli rappresenta l’altezza. Le diagonali, che dividono il trapezio in due triangoli, sono uguali solo nel caso del trapezio isoscele. Nel trapezio gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementari.

La Classificazione Dei Trapezi

Trapezio rettangolo: ha un lato obliquo e uno perpendicolare alle basi.

Rombo e parallelogramma

Trapezio isoscele: ha due lati obliqui con la stessa inclinazione, che risultano quindi uguali.

Trapezio scaleno: ha i lati obliqui con due inclinazioni diverse, che risultano quindi disuguali.

Il rombo è un quadrilatero che fa parte della famiglia dei parallelogrammi: i suoi quattro lati sono tutti uguali e paralleli a due a due. Ha due angoli acuti e due ottusi. Le diagonali, perpendicolari tra di loro, si intersecano nel loro punto medio e costituiscono gli assi di simmetria della figura; ogni diagonale, infatti, divide il rombo in triangoli congruenti. Chiamato in passato romboide, il parallelogramma è un quadrilatero con i lati uguali e paralleli a due a due; ha quattro angoli: due acuti e due ottusi. Non ha assi di simmetria e possiede due diagonali incidenti, non perpendicolari tra di loro, che lo dividono in due triangoli congruenti.

Le Diagonali Del Rombo

Ogni diagonale divide il rombo in due triangoli congruenti e isosceli.

L’ALTEZZA E LE DIAGONALI DEL PARALLELOGRAMMA

L’altezza di un parallelogramma è il segmento perpendicolare condotto da un vertice qualsiasi fino al lato opposto.

Ogni diagonale divide il parallelogramma in due triangoli congruenti e scaleni.

Pentagono, esagono, ottagono

Il pentagono, l’esagono e l’ottagono sono poligoni regolari con caratteristiche molto simili tra di loro. La parola esagono è composta da èsa (sei) e da gonìa (angolo): questa figura è infatti formata da sei lati e sei angoli interni. Il pentagono e l’ottagono sono formati rispettivamente da cinque e otto lati uguali e da altrettanti angoli interni.

IL PENTAGONO, L’ESAGONO E L’OTTAGONO

Pentagono: è un poligono con cinque lati e cinque vertici. Se i lati sono uguali e tutti gli angoli sono pari a 108°, il pentagono si dice regolare.

Poligoni stellari

Esagono: è un poligono con sei lati e sei vertici. È detto regolare quando tutti i lati sono uguali e tutti gli angoli sono pari a 120°.

Ottagono: è un poligono con otto lati e otto vertici. È detto regolare quando tutti i lati sono uguali e tutti gli angoli sono pari a 135°.

I poligoni stellari sono poligoni che hanno lati uguali e angoli alternativamente concavi (contenenti i prolungamenti dei loro lati) o convessi (che non contengono i prolungamenti dei loro lati). Queste figure chiuse sono costituite da una forma piana centrale circondata da un numero variabile di punte triangolari.

Da Un Poligono Regolare A Diversi Poligoni Stellari

Partendo dallo stesso poligono regolare è possibile ottenere figure stellari differenti, in base al procedimento di costruzione adottato. A seconda che le diagonali interne si traccino saltando uno oppure due vertici, il poligono ottenuto sarà più o meno complesso, come nel caso della stella a otto punte di seguito riportata.

All’interno del poligono stellare si forma un nucleo che ha la forma del poligono regolare di partenza.

Cerchio

Il cerchio è una figura geometrica piana delimitata da una circonferenza, cioè da un insieme di punti successivi equidistanti da un unico punto chiamato centro. Il cerchio è costituito da tutti i punti del piano racchiusi dalla circonferenza; quest’ultima corrisponde, quindi, al perimetro del cerchio.

RAGGIO, CORDA E CORONA CIRCOLARE

Il raggio è la distanza costante di ciascun punto della circonferenza dal suo centro. Si concretizza, in pratica, in un segmento che ha un estremo su un punto della circonferenza e l’altro al centro della figura.

Il diametro è un segmento che unisce due punti della circonferenza passando per il centro.

La corda è un segmento che unisce due punti sulla circonferenza; essa divide il cerchio in due parti, chiamate segmenti circolari. Se la corda corrisponde al diametro, i due segmenti circolari sono congruenti e prendono il nome di semicerchi.

Un segmento circolare può anche essere la parte di cerchio compresa tra due corde parallele.

Cerchio: circle

Due cerchi aventi lo stesso centro si dicono concentrici; l’area compresa fra le due circonferenze è definita corona circolare

Arco

L’arco è costituito da un tratto di linea curva delimitato da due punti. Se la linea curva è una circonferenza è chiamato arco di circonferenza.

L’arco, nelle sue diverse tipologie, è sempre stato storicamente importantissimo nell’ambito dell’edificazione.

Tipi Di Archi

Arco a tutto sesto: è il modello più utilizzato ed è perfettamente semicircolare.

Arco ribassato: il centro dell’arco non si trova sul piano di imposta (cioè il punto in cui comincia l’arco) ma più in basso.

Arco a sesto acuto: è formato da due archi di cerchio che si intersecano in un vertice alla sommità.

Arco a ferro di cavallo: in questo modello, l’altezza è maggiore della metà della larghezza. Viene chiamato anche a sesto rialzato.

Fai pratica con i poligoni e con le figure curve a pp. 49-65.

Figure policentriche

Sono quelle figure geometriche che, contrariamente al cerchio, hanno più di un centro e sono costituite da archi di circonferenza tra loro tangenti. Tra queste troviamo l’ovale e l’ovolo, che sono linee curve chiuse, e la spirale, che è invece una curva piana aperta che, partendo da un punto fisso, si avvolge infinite volte intorno a esso in modo regolare.

Tipi Di Figure Policentriche

Ovale: è una figura formata da due coppie di archi di circonferenza raccordati tra di loro.

Figure coniche

Ovolo: è una figura ibrida formata da mezza circonferenza e mezzo ovale raccordati tra di loro.

Spirale: è una curva aperta che ruota continuamente intorno a un punto fisso, discostandosi però progressivamente da esso.

Sono delle figure geometriche molto complesse che si ottengono grazie all’intersezione di un piano con la superficie di un cono. Sono l’ellisse, la parabola e l’iperbole.

Tipi Di Figure Coniche

Elisse: è una curva piana chiusa che differisce dall’ovale in quanto la linea che la delimita è formata da una serie di punti disposti in modo che la somma delle distanze da due punti interni, detti fuochi, sia sempre costante.

Parabola: è una curva aperta ottenuta grazie all’intersezione della superficie di un cono con un piano parallelo a una sola delle sue generatrici.

Iperbole: è una curva aperta, formata da due parti staccate, chiamate rami, che si prolungano all’infinito. È ottenuta tagliando un cono con un piano parallelo a due generatrici di esso.