3 Harmonisk bevægelse Harmonisk bevægelse: Kraften er proportional med og modsatrettet udsvinget.
Jævn cirkelbevægelse er et eksempel på en harmonisk bevægelse. En harmonisk bevægelse er defineret ved, at kraften, der giver anledning til bevægelsen, er proportional med og modsatrettet udsvinget. Andre eksempler på harmonisk bevægelse er et almindeligt pendul eller et fjederpendul, hvor en fjeder med et lod i enden sættes i sving ninger.
Matematisk pendul θ
Nu skal vi se på en almindelig pendulbevægelse. Vi ser bort fra alle former for gnidning og antager, at en masse m er anbragt for enden af en masseløs stang med længde L. Den vinkel, pendulet er svunget væk fra lodret (ligevægtsstillingen), kaldes θ, se figur 1.13. Det vandrette udsving kan beskrives ved en sinuskurve, idet vi sæt ter θ til at være 0 til tiden t = 0. x(t) = A · sin(ω · t)
Stedfunktion for harmonisk svingning
Figur 1.13. Matematisk pendul.
hvor A er amplituden, det vil sige det maksimale vandrette udsving.
Figur 1.14. Sinuskurve med amplitude indtegnet.
Udsving
Amplitude Tid
Den vandrette hastighed og acceleration findes ved at differentiere henholdsvis én og to gange: v(t) = ω · A · cos(ω · t)
Hastighed i harmonisk svingning
a(t) = –ω2 · A · sin(ω · t)
Acceleration i harmonisk svingning
Vi observerer, at accelerationsfunktionen er lig stedfunktionen gange faktoren –ω2. Kraften findes ved hjælp af Newtons 2. lov (F = m · a): Fres = –m · ω2 · x(t)
26 • K APITEL 1 MEK ANIK I TO DIMENSIONER
Kraft i harmonisk svingning
