Page 1

TEKNISK MATEMATIK 3 er lærebogen, der sammen med Teknisk Matematik 2 dækker andet år af B-niveau samt A-niveau på det tekniske gymnasium, men er også velegnet på andre ungdomsuddannelser. Det er et dynamisk, inspirerende og letslæseligt materiale, der gør brugerne til aktive medspillere. Regler, beviser, eksempler og opgaver er sammensat i en pædagogisk logisk rækkefølge, der bidrager til en god indlæring. Til serien hører bind 1, der dækker B-niveaus første år, og bind 2 som allerede omtalt.

ISBN 978-87-571-2895-6

9 788757 128956

TEKNISK MATEMATIK

3

Teknisk Matematik

3

3

Teknisk Matematik Preben Madsen Med kapitel af Thomas Bolander

praxis.dk

varenr. 121045-1

121045-1_Teknisk Matematik-3 omslag.indd Alle sider

2. udgave

PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag

11-06-2018 08:48:40


3

Teknisk Matematik

2. udgave

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 1

Preben Madsen Med kapitel af Thomas Bolander

PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag

11-06-2018 08:51:32


Preben Madsen med kapitel af Thomas Bolander Teknisk Matematik, bind 3 © Praxis, 2012 2. udgave, 2018, 1. oplag, 2018 Forlagsredaktion: Karen Agerbæk, ka@praxis.dk Omslag, grafisk tilrettelæggelse og dtp: Stig Bing, Grapida Omslagsfoto forestiller Musikkens hus, Aalborg Tryk: Strandbygaard Grafisk Printed in Denmark ISBN: 978-87-571-2895-6

Varenummer: 121045-1 Bogen er sat med Palatino Bogen er trykt på 100 g G-print Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes. Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har en aftale om kopiering med Copydan Tekst & Node, og kun inden for aftalens rammer. Se mere på www.copydan.dk

På omtalen af bogen på webshop.praxis.dk ligger facitliste til bogens opgaver. Søg på 121045

Praxis praxis.dk webshop.praxis.dk

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 2

11-06-2018 08:51:32


Forord Denne bog er en helt ny gennemarbejdet udgave på baggrund af 1. udgave af Teknisk Matematik 3. Bogen er udarbejdet, så den sammen med Teknisk Matematik 1 og 2 for en stor del dækker kernestoffet til HTX- uddannelsens A-niveau. I øvrigt kan der henvises til ”forord” og ”Indledninger” i bind 1, hvor der er en beskrivelse af den matematiske og pædagogiske udvikling samt om gode råd til elev og lærer. Desuden udgives en formelsamling, som med fordel kan købes og anvendes sammen med bogen. Kapitlet Diskret matematik er skrevet af Thomas Bolander.

Juni 2018 Preben Madsen

3

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 3

11-06-2018 08:51:32


Indhold 1 | VEKTORREGNING I RUMMET Det rumlige koordinatsystem

7

Punkter i rummet og bestemmelse af stedvektor Afstande i rummet Kuglen i rummet Addition og subtraktion af vektorer i rummet Enhedsvektorer Skalarprodukt Projektion af vektor på vektor Parameterfremstilling af ret linje i rummet Skæring mellem linjer i rummet Vektorprodukt eller krydsprodukt Planer parallelle med ­koordinatplanerne Parameterfremstilling af et plan Planets ligning på normalform Skæring mellem to planer Skæring mellem linje og plan Afstand mellem punkt og plan Afstand mellem punkt og linje Problemopgaver

7 9 10 13 17 17 20 23 24 26 31 34 36 38 43 45 48 50 54

2 | TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER

57

Hvor møder du trigonometriske funktioner? Sinus, cosinus og tangens af forskellige vinkler Omløbsretning Radianer Trigonometriske ligninger og uligheder Perioder Trigonometriske formler Andre trigonometriske ligninger Harmoniske svingninger Andre typer harmoniske svingninger Problemopgaver

3 | DIFFERENTIAL­REGNING II

57 58 60 61 63 70 72 72 75 77 82

87

Bestemmelse af differentialkvotient for ­trigonometriske ​ funktioner 87 Bestemmelse af differentialkvotient for ­sammensat ​funktion 89 Differentialkvotienter af højere orden 92 Funktionsanalyse 95 Eksplicit og implicit form 98 Problemopgaver 100

4 | INTEGRALREGNING II

Bestemmelse af ubestemt integral for t­ rigonometriske ​ funktioner Arealberegning med bestemt integral Arealberegning med ”positive og negative” arealer Arealberegning med flere funktioner Praktiske omdrejningslegemer Teoretiske omdrejningslegemer Rumfang ved drejning af areal om x-aksen Rumfangsberegning med flere funktioner Rumfang ved drejning af areal om y-aksen

103 103 105 106 111 116 117 122 129 132

Længde af en plan kurve Problemopgaver

140 141

5 | DIFFERENTIAL­LIGNINGER Hvad er en differentialligning?

145

Grundbegreber for differentialligninger Seks forskellige typer differentialligninger 1 Differentialligninger af typen y' = g(x) 2 Differentialligninger af typen y''= g(x) 3 Differentialligninger af typen y'= h(x) · g(y) 4 Differentialligninger af typen y'= a · y 5 Differentialligninger af formen y'= g(y) 6 Differentialligninger af typen y'= y(b – ay) Problemopgaver

145 147 151 152 155 156 158 161 163 166

6 | DISKRET MATEMATIK

169

af Thomas Bolander Talfølger og rekursion Produktreglen Fakultetsfunktionen Anvendelser af fakultetsfunktionen Fibonacci-tallene Løsninger til rekursioner Fibonacci-tal og det gyldne snit Rekursion, computere og algoritmer Introduktion til udsagnslogik Formler i udsagnslogik Sandhedstildelinger og sandhedstabeller Anvendelser af logik Problemopgaver

7 | VEKTORFUNKTIONER Robotteknologi Parameterfremstilling

Hvad er en vektorfunktion? Omskrivning mellem vektorfunktion og funktion og ​ omvendt Ret linje som vektorfunktion Cirklen som vektorfunktion Ellipsen som vektorfunktion Andre kurver som vektorfunktioner Differentiation af vektorfunktion Lodret og vandret tangent Robotbevægelser som vektorfunktioner Længde af en kurve givet ved en vektorfunktion Problemopgaver

170 176 176 180 184 189 194 198 200 200 203 209 211

215 215 216 217

220 222 224 225 226 228 229 233 237 238

8 | PROJEKTOPGAVER Hjerting kirke Lyshøjen Tidevand Nedbøjning

241

STIKORD

247

241 243 244 245

5

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 5

11-06-2018 08:51:33


1

Det rumlige koordinatsystem

| Vektorregning i rummet

DET RUMLIGE KOORDINATSYSTEM

Du har tidligere arbejdet med geometriske elementer som punkter, linjer, kurver og figurer, hvor udgangspunktet var, at du arbejdede med dem i et plan. Vektorer har du også arbejdet med, og her var det også i et plan. De konstruktioner, du møder i hverdagen, er i almindelighed rumlige. Det kan være huse, biler, cykler, møbler osv. Du skal nu til at arbejde med geometriske elementer i rummet, og her vil det være mest praktisk at have et rumligt koordinatsystem til rådighed. Du starter derfor med at se, hvordan et rumligt koordinatsystem er opbygget. Det rumlige koordinatsystem har tre akser, der står vinkelret på hinanden gennem samme 0-punkt. Prøv at forestille dig et punkt i et gulvhjørne i et værelse. Hjørnekanterne ud fra punktet vil danne tre akser, og du har et rumligt koordinatsystem.

7

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 7

11-06-2018 08:51:33


TEKNISK MATEMATIK 3 – 1 | Vektorregning i rummet

For at give en rumlig effekt er de tre akser afbildet på figur 1.01 i en såkaldt isometrisk afbildning. z

x

y

Figur 1.01

Du har en lodret z-akse og to vandrette akser, henholdsvis en x- og en y-akse. De to vandrette akser er tegnet, så de danner 120° med hinanden – eller sagt på en anden måde – de to akser danner hver 30° med vandret. Den isometriske afbildningsform er også et meget anvendt tegnesystem, når du skal gengive rumlige figurer, ligesom der også findes isometrisk tegnepapir, der gør det nemt, når du skal tegne rumlige figurer. Du har et sådant isometrisk tegnepapir på figur 1.02, hvor de tre akser er indtegnet.

z

x

y

Figur 1.02

Som det også fremgår, har du tre planer at arbejde med, nemlig to lodrette, et xz-plan og et yz-plan og et vandret xy-plan.

8

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 8

11-06-2018 08:51:35


Punkter i rummet og bestemmelse af stedvektor

PUNKTER I RUMMET OG BESTEMMELSE AF STEDVEKTOR Du fastlægger et punkt P i rummet ved tre koordinater, x, y og z, og beskriver det således: P ( x, y, z) Du får et eksempel. I et rumligt koordinatsystem har du indtegnet en kasse med målene 4, 2 og 3 som vist på figur 1.03. z

(0, 0, 3)

(2, 0, 3) (0, 4, 3)

(0, 0, 0) O

P(x, y, z) 3

(2, 0, 0)

x

(0, 4, 0) 4 2

y

(2, 4, 0)

Figur 1.03

Med målene på kassen som udgangspunkt kan du bestemme punktet P(2, 4, 3). På tilsvarende måde kan de øvrige hjørnepunkter bestemmes og beskrives som vist. På figur 1.03 har du indtegnet en vektor fra O til P. Du husker måske, at en vektor, der udgår fra 0-punktet, har et specielt navn, nemlig en stedvektor. Stedvektorens koordinater beskriver du således:     x OP =  y    z

Stedvektorens koordinater beskriver et punkt i rummet, og du skal bemærke dig denne egenskab, idet den danner udgangspunkt for mange af de kommende beskrivelser af situationer i rummet.

9

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 9

11-06-2018 08:51:35


TEKNISK MATEMATIK 3 – 1 | Vektorregning i rummet

AFSTANDE I RUMMET Når du skal bestemme afstande i rummet, kan du med fordel indføre vektorer. Kan du bestemme længden af en vektor, har du også en afstand. Du  starter med en vektor v i planet som vist på figur 1.04. v y

x

Figur 1.04

Dens koordinater x og y danner en retvinklet trekant, og den kan du  benytte, når du skal bestemme længden af vektor v . Det var i planet, men nu er du i rummet som vist på figur 1.05. z

x

P(x, y, z)

O

x y y A

Figur 1.05

Her har du en stedvektor:

    x OP =  y    z

Stedvektorens koordinater danner to retvinklede trekanter, som du benyt ter som beregningsgrundlag, når du skal bestemme  længden af vektor OP . Du starter med at bestemme længden af vektor OA:

 OA = x 2 + y 2

10

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 10

11-06-2018 08:51:36


Afstande i rummet

 På tilsvarende måde bestemmer du længden af stedvektoren OP :

 OP =

2

(x2 + y 2 )

+ z2

Dermed får du:

 OP = x 2 + y 2 + z 2

Formlen giver dig afstanden mellem punkt O(0, 0, 0) og et punkt P(x, y, z). Har du derimod givet to punkter A(x1, y1, z1) og B(x2, y2, z2) som vist på figur 1.06 og skalbestemme afstanden mellem A og B, kan du starte med  at tegne vektor AB . z

x

z2 − z1 A(x 1, y1, z1)

B(x2, y2, z2) y

y2 − y1 x2 − x1

Figur 1.06

Ved hjælp  af ”kassen” og koordinaterne kan du bestemme længden af vektor AB :  2 2 2 AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) Formlen giver dig afstanden mellem to punkter A og B og kaldes afstandsformlen.

11

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 11

11-06-2018 08:51:36


TEKNISK MATEMATIK 3 – 1 | Vektorregning i rummet

II

EKSEMPEL 1.01

I en massiv kasseformet blok som vist på figur 1.07 skal der bores et hul mellem punkterne A og B. Den kasseformede blok er indlagt i et rumligt koordinatsystem, og målene på figuren er i millimeter. z

10

10 A

30

x B 50

10

30

y 40

Figur 1.07

Du skal bestemme borelængden AB . Du fastlægger først koordinaterne til punkterne A og B. Ved at betragte figuren får du: A (10, 0, 20 ) og B (30, 50, 10)

 Derefter bestemmer du koordinaterne til vektoren AB :      30 − 10  20  AB =  50 − 0  =  50      10 − 20 −10

 Endelig bestemmer du borelængden AB som længden af vektor AB :  2 mm AB = 20 2 + 50 2 + (−10) = 54,77 mm

12

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 12

11-06-2018 08:51:37


Kuglen i rummet

KUGLEN I RUMMET

I et rumligt koordinatsystem som vist på figur 1.08 er indlagt en kugle med centrum i (0, 0, 0) og radius r . z

z

(x, y, z) r

(x, y, z)

(a, b, c)

x

x

y

Figur 1.08

y

Figur 1.09

Du indtegner en stedvektor som vist. Stedvektorens endepunktskoordinater ( x, y, z) giver dig et punkt på kuglens overflade. Ved at benytte afstandsformlen får du:

r = x2 + y 2 + z2 Ved at kvadrere får du:

r 2 = x2 + y 2 + z2

Flytter du kuglen ud i rummet som vist på figur 1.09 med kuglens centrum i (a, b, c), kan du beskrive ligningen således: 2

2

2

r 2 = ( x − a) + ( y − b) + ( z − c)

13

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 13

11-06-2018 08:51:38


TEKNISK MATEMATIK 3 – 1 | Vektorregning i rummet

Ligningen kaldes kuglens centrumsligning. Du kan direkte aflæse koordinaterne til kuglens centrum (a, b, c) og kuglens radius r . Du får et par eksempler: 2 2 2 ( x − 2) + ( y − 4) + ( z − 5) = 32 Ligningen fremstiller en kugle med centrum i (2, 4, 5) og radius r = 3 . 2

2

x 2 + ( y + 6) + ( z − 8) = 4 Ligningen fremstiller en kugle med centrum i (0, −6, 8) og radius r = 2 . Har du derimod en ligning som:

x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 16 y − 10 z − 7 = 0 er det svært at gennemskue, om ligningen fremstiller en kugle. Du kan bruge din grafregner eller dit matematikprogram til at klare omskrivningerne, og du får et resultat, som ser således ud: 2

( x − 2)

2

2

+ ( y + 8) + ( z − 5) = 10 2

Hermed har du kuglens centrumsligning, og du får centrum (2, −8, 5) og radius r = 10 . Vil du bruge ”håndkraft”, skal du tilbage til kapitlet ”Analytisk plangeometri” i Teknisk Matematik 1 . Du kan måske huske cirklens ligning i planet. Problemet var det samme. Det eneste nye her er z-leddene. Du kan se fremgangsmåden der, og har du mod på at forsøge med ”håndkraft”, så prøv! II Generelt får du kuglens centrumsligning, når tallet på ”højre-siden” i ligningen er positivt. Du kan bestemme radius ved at tage kvadratroden af tallet. II Bliver ”højre-siden” lig med 0 , får du beskrevet et punkt, nemlig kuglens centrumskoordinater. II Bliver ”højre-siden” negativ, vil ligningen ikke fremstille en kugle.

II

OPGAVE 1.01

Du har givet to punkter:

A (−1, 3, 4 ) og B (4, −2, 1)

 a) Du skal bestemme koordinaterne til vektoren  AB . b) Du skal bestemme længden af vektoren AB .

II

OPGAVE 1.02

Du har givet en trekant med hjørnepunkter: A (1, 3, 1), B (2, 5, 0) og C (4, 1, 3)

14

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 14

11-06-2018 08:51:40


Kuglen i rummet

a) Du skal bestemme længden af trekantens sider. b) Du skal bestemme størrelsen af vinkel A . c) Du skal bestemme størrelsen af arealet af trekant ABC . d) Du skal bestemme koordinaterne til midtpunktet på siden BC . e) Du skal bestemme længden af medianen mBC .

II

OPGAVE 1.03

En pyramide med rektangulær grundflade og højden h = 4 cm cm er indlagt i et rumligt koordinatsystem som vist på figur 1.10. z T

s D

h

A x

C 3

2

y

B

Figur 1.10

a) Du skal bestemme koordinaterne til grundfladens hjørnepunkter A, B, C og D og koordinaterne til pyramidens toppunkt T . b) Du skal bestemme længden af en af pyramidens sidekanter s.

15

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 15

11-06-2018 08:51:41


TEKNISK MATEMATIK 3 – 1 | Vektorregning i rummet

II

OPGAVE 1.04

En del af en rumlig gitterkonstruktion er indlagt i et rumligt koordinatsystem som vist på figur 1.11. Alle mål er i meter. z

D E F 3

A x 2,5

1

y

B 3

2,5 C

Figur 1.11

a) Du skal bestemme koordinaterne til punkterne A, B, C, D, E og F. b) Du skal bestemme længderne af stængerne AD, AE, BE, CE og CF.

II

OPGAVE 1.05

I et rumligt koordinatsystem har du givet et punkt P (4, 2, 3) a) Du skal tegne en skitse af et rumligt koordinatsystem og indlægge punktet P. b) Du skal herefter bestemme følgende afstande fra P til: 1) xy-planet 2) yz-planet 3) xz-planet 4) x-aksen 5) y-aksen 6) z-aksen

II

OPGAVE 1.06

Du har givet følgende ligninger: a) x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 12 y + 6 z = 0 b) x 2 + y 2 + z 2 − 16 x − 10 y − 32 = 0 c) x 2 + y 2 + z 2 + 8 x − 14 y − 18 z + 2 = 0 Du skal for hver af de tre ligninger undersøge, om de fremstiller en ligning for en kugle. I bekræftende fald skal du angive koordinaterne til kuglens centrum og kuglens radius.

16

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 16

11-06-2018 08:51:41


Addition og subtraktion af vektorer i rummet

ADDITION OG SUBTRAKTION AF VEKTORER I RUMMET Reglerne for addition og subtraktion for vektorer i rummet følger de samme regler som for vektorer i planet. Det får du vist i det kommende eksempel.

II

EKSEMPEL 1.02

Du har givet tre vektorer:

333 444 888         = =222,,b,bb= = =− −555,,c,cc= = =333 aaa= −       −111 − − 666 777    Du skal bestemme længden a + 2b − c .

   Du starter med at bestemme koordinaterne til vektoren a + 2b − c :  3 + 2 ⋅ 4 − 8   3           a + 2b − c = 2 + 2 ⋅ (−5) − 3 = −11      −1 + 2 ⋅ 6 − 7   4 

   Herefter kan du bestemme længden af vektoren a + 2b − c :

   2 a + 2b − c = 32 + (−11) + 4 2 = 12,08

ENHEDSVEKTORER Da du arbejdede med vektorer i planet, havde du to enhedsvektorer, nemlig en i x-aksen og en i y-aksens  retning. I det rumlige koordinatsystem har   du tre enhedsvektorer i , j og k som vist på figur 1.12. z

k

i x

j y

Figur 1.12

Du beskriver de tre enhedsvektorer således: 111 000 000                iii= = =000,,,jjj= = =111,,k,kk= = =000       000 000 111

17

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 17

11-06-2018 08:51:41


TEKNISK MATEMATIK 3 – 1 | Vektorregning i rummet

 Har du givet en vektor a :

 x    a =  y    z 

 og skal bestemme koordinaterne til vektor a ' s enhedsvektor, starter du  med at bestemme længden af vektor a :

 a = x2 + y 2 + z2   Du har et billede af vektor a og dens enhedsvektor ea som vist på figur 1.13. Symbolsk er koordinatlængderne x og xe også vist. a

ea xe x

Figur 1.13

Af de to ensvinklede trekanter får du:

xe

1 =  x a

 Du løser ligningen med hensyn til xe og indsætter derefter udtrykket for a :

x x xe =  = a x2 + y 2 + z2

På tilsvarende måde kan du bestemme koordinaterne til ye og ze .   På figur 1.14 har du vektor a og dens enhedsvektor ea . z a ea

x

y

Figur 1.14

18

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 18

11-06-2018 08:51:42


Enhedsvektorer



II Du får her en sammenfatning med enhedsvektoren ea ' s koordinater:

   x    x 2 + y 2 + z 2       y ea =    2 + 2 + 2  x y z     z    2 2 2   x + y + z 

II

OPGAVE 1.07

Du har givet to vektorer:

−  11  −44         = 33 ,,bb = = 55  aa =      22  − −  66

    a) Du skal bestemme koordinaterne til vektor a + b og længden a + b .   b) Vektoren a + b har begyndelsespunkt i (1, 3, 2). Du skal bestemme koordinaterne til vektorens pilpunkt.

II

OPGAVE 1.08

Du har givet tre vektorer: − −−222 555 333        ppp= ==111,,q,qq= ==− ==222 −−333,,r,rr=       333 222 666

   a) Du skal bestemme koordinaterne til vektoren p + q + r og længden    p+q +r .    b) Du skal bestemme koordinaterne til vektoren p − q − r og længden    p−q −r .    c) Du skal bestemme koordinaterne til vektoren 2 p + 4q − 3r og længden    2 p + 4 q − 3r .

II

OPGAVE 1.09

Du har givet en vektor:

−6    a =  8     12 

  Du skal bestemme koordinaterne til vektor a ' s enhedsvektor ea .

19

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 19

11-06-2018 08:51:42


TEKNISK MATEMATIK 3 – 1 | Vektorregning i rummet

SKALARPRODUKT Fra kapitlet ”Vektorregning i planet” i Teknisk Matematik 2 har du definitionen på skalarprodukt eller prikprodukt. Denne definition kan også   udvides til at gælde i rummet. Du har to vektorer a og b , og vinklen v mellem dem er som vist på figur 1.15. z

b

x

v

y a

Figur 1.15

Definitionen lyder:

    aa §•§bb = = aa bb cos cos vv

Har du koordinaterne til de to vektorer:  x1  x    2      a =  y1  og b =  y2       z1   z2 

kan definitionen udvides således:

a • b   § = a b cos v = x11x22 + y11y22 + z11z22 Skal du bestemme vinklen mellem de to vektorer, løser du ligningen med hensyn til cos v :    x x + y y + z z  1 2 cos v =  1 2 1 2   a b   Herefter bestemmer du vinkel v :

   

xx −1   1 2

v = cos

 + y1 y2 + z1 z2      a b 

20

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 20

11-06-2018 08:51:43


Skalarprodukt

  Har du et tilfælde som vist på figur 1.16, hvor to vektorer a og b står vinkelret på hinanden, har du, at cos v = cos 90° = 0. z

b x

y

a

Figur 1.16

Leddet cos v indgår i definitionen på skalarproduktet, og du får derfor:   aa⋅•⋅bb==xx11xx22++yy11yy22++zz11zz22 ==00

II

EKSEMPEL 1.03

Du har givet to vektorer:

55 − −22       aa= =44,,bb = = 11      − 33 −  33

Du skal bestemme vinklen mellem de to vektorer. Du benytter ligningen:    x x + y y + z z  −1  1 2 1 2 1 2  v = cos       a b   Du indsætter og får:     5 ⋅ (−2) + 4 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−3) −1    = 124, 54° v = cos   52 + 4 2 + 32 ⋅ −2 2 + 12 + −3 2  ( ) ( )  

II

EKSEMPEL 1.04

Du har givet to vektorer: 22 − −11         aa = =33,,bb = =− −22     tt  44 

21

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 21

11-06-2018 08:51:43


TEKNISK MATEMATIK 3 – 1 | Vektorregning i rummet

  Du skal bestemme t, således at de to vektorer a og b står vinkelret på hinanden. Når to vektorer står vinkelret på hinanden, gælder ligningen: x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0. Den benytter du og indsætter: 2 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−2) + 4t = 0 −2 − 6 + 4t = 0 t=2

II

OPGAVE 1.10

Du har givet to vektorer:

 88  −−55         aa==−−33, ,bb== 22       66   11 

  Du skal bestemme vinklen mellem vektor a og vektor b .

II

OPGAVE 1.11

Du har givet to vektorer:

 55   tt          aa= =− −66,,bb = = 66       22  − −  22

  Du skal bestemme t , således at de to vektorer a og b står vinkelret på hinanden.

II

OPGAVE 1.12

I et rumligt koordinatsystem er givet en trekant ABC med vinkelspidser: A(3, 2, 4), B(6, 0, 5) og C(4, 8, 1). Du skal bestemme størrelsen af vinkel A , vinkel B og vinkel C.

II

OPGAVE 1.13

Du har givet to vektorer:

− − −22 −33       aa = = 66 ,,bb = = 99      10 15 10 15

  Du skal undersøge, om de to vektorer a og b er parallelle.

II

OPGAVE 1.14

Du har givet to vektorer:

 33   tt        =− −11,,bb= =− −44 aa=     20  55  20

22

121045-1 Teknisk Matematik3-book.indb 22

11-06-2018 08:51:44


TEKNISK MATEMATIK 3 er lærebogen, der sammen med Teknisk Matematik 2 dækker andet år af B-niveau samt A-niveau på det tekniske gymnasium, men er også velegnet på andre ungdomsuddannelser. Det er et dynamisk, inspirerende og letslæseligt materiale, der gør brugerne til aktive medspillere. Regler, beviser, eksempler og opgaver er sammensat i en pædagogisk logisk rækkefølge, der bidrager til en god indlæring. Til serien hører bind 1, der dækker B-niveaus første år, og bind 2 som allerede omtalt.

ISBN 978-87-571-2895-6

9 788757 128956

TEKNISK MATEMATIK

3

Teknisk Matematik

3

3

Teknisk Matematik Preben Madsen Med kapitel af Thomas Bolander

praxis.dk

varenr. 121045-1

121045-1_Teknisk Matematik-3 omslag.indd Alle sider

2. udgave

PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag

11-06-2018 08:48:40

Profile for Praxis

Teknisk Matematik 3, 2. udgave, 1. oplag, 2018  

Teknisk Matematik 3 er lærebogen, der sammen med Teknisk Matematik 2 dækker andet år af B-niveau samt A-niveau på det tekniske gymnasium, me...

Teknisk Matematik 3, 2. udgave, 1. oplag, 2018  

Teknisk Matematik 3 er lærebogen, der sammen med Teknisk Matematik 2 dækker andet år af B-niveau samt A-niveau på det tekniske gymnasium, me...

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded

Recommendations could not be loaded