Teknisk Matematik 2, 2. udgave, 1. oplag, 2018 by Praxis

TEKNISK MATEMATIK 2 er lærebogen, der sammen med Teknisk Matematik 3 dækker andet år af B-niveau samt A-niveau på det tekniske gymnasium, men er også velegnet på andre ungdomsuddannelser. Det er et dynamisk, inspirerende og letslæseligt materiale, der gør brugerne til aktive medspillere. Regler, beviser, eksempler og opgaver er sammensat i en pædagogisk logisk rækkefølge, der bidrager til en god indlæring. Til serien hører bind 1, der dækker B-niveaus første år, og bind 3 som allerede omtalt.

ISBN 978-87-571-2894-9

9 788757 128949

TEKNISK MATEMATIK

Teknisk Matematik

Teknisk Matematik Preben Madsen Med kapitel af Carsten Vium Jørgensen

praxis.dk

varenr. 121044-1

121044-1_Teknisk Matematik-2 omslag.indd All Pages

2. udgave

PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag

01-02-2018 08:45:58

Teknisk Matematik

2. udgave

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 1

Preben Madsen Med kapitel af Carsten Vium JĂ¸rgensen

PRAXIS â&#x20AC;&#x201C; Nyt Teknisk Forlag

06-02-2018 16:18:27

Teknisk Matematik, bind 2 2. udgave, 1. oplag 2018 © PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag 2018 Forlagsredaktør: Karen Agerbæk, ka@praxis.dk Omslag, grafisk tilrettelæggelse og dtp: Stig Bing, Grapida Omslagsfoto forestiller Musikkens hus, Aalborg Tryk: PNB print ISBN: 978-87-571-2894-9 (papir) ISBN: 978-87-571-3392-9 (ebog) ISBN: 978-87-571-3394-3 (ebog+) Varenummer: 121044-1

Bogen er sat med Palatino Bogen er trykt på 100 g G-print Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes. Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har en aftale om kopiering med Copydan Tekst & Node, og kun inden for aftalens rammer. Se mere på www.copydan.dk

På omtalen af bogen på webshop.praxis.dk ligger facitliste til bogens opgaver. Søg på 121044.

PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag Munkehatten 28 5220 Odense SØ info@praxis.dk praxis.dk Tlf. 45 63 15 17 00

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 2

06-02-2018 16:18:27

Forord Denne bog er helt ny og skrevet med baggrund i udgaven af Teknisk Matematik fra 2010. Bogen er udarbejdet, så den sammen med Teknisk Matematik 1 for en stor del dækker kernestoffet til HTX- uddannelsens B-niveau. Endvidere dækker bogen sammen med Teknisk Matematik 1 og 3 for en stor del kernestoffet til HTX-uddannelsens A-niveau. I øvrigt kan der henvises til ”Forord” og ”Indledninger” i Teknisk Matematik 1, hvor der er en beskrivelse af den matematiske og pædagogiske udvikling samt om gode råd til elev og lærer. Kapitlet Dataanalyse er skrevet af Carsten Vium Jørgensen.

Februar 2018 Preben Madsen

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 3

06-02-2018 16:18:27

Indhold 1 | VEKTORREGNING I PLANET Hvad er en vektor? Hvordan afbilder du en vektor?

Hvordan bestemmer du en vektor? Vektorer i koordinatsystemet Stedvektor Forstørrelse eller formindskelse! Vinkel mellem to vektorer Modsatte vektorer At lægge to vektorer sammen At lægge mere end to vektorer sammen Ligevægt Vektorer og komposanter Vektorer og komposanter i koordinatsystemet At trække fra Enhedsvektor Enhedsvektorer i koordinatsystemet Skalarprodukt Vinkel v’s betydning for skalarproduktet Mere om skalarproduktet Tværvektor Projektion af vektor på en linje Projektion af en vektor på en anden vektor Normalvektor Afstand fra punkt til ret linje Problemopgaver

7 9 10 11 15 16 17 18 19 20 23 25 28 31 34 35 36 38 39 43 44 45 48 49 51

2 | EKSPONENTIELLE VÆKSTFUNKTIONER Hvad er en eksponentiel vækstfunktion? Den enkle eksponentielle vækstfunktion 10 –tals logaritmefunktionen Regneregler for logaritmer Eksponentielle ligninger Den naturlige logaritmefunktion Regnereglerne for de naturlige logaritmer Lyd og støj Eksponentielle vækstfunktioner Fordoblings- og halveringskonstant Enkeltlogaritmisk koordinatsystem Eksponentiel regressionsmodel Rentesregning Problemopgaver

3 | GRUNDLÆGGENDE DIFFERENTIALREGNING Infinitesemalregning Hvad er differentialregning? Hvad er integralregning? Anvendelser af differentialregning Geometrisk betydning af differentialkvotient Definition på differentialkvotient Bestemmelse af differentialkvotienter Symboler på differentialkvotient Kontinuitet og differentiabilitet

55 57 58 60 61 62 63 63 66 68 71 75 76 78

81 82 83 83 85 86 88 90 91

Regneregler for bestemmelse af differentialkvotienter 94 Regneregler for bestemmelse af differentialkvotient for sum, differens, produkt og brøk 97 Bestemmelse af maksimums- og minimumspunkter 99 Vendetangenter 102 Maksimering og minimering 104 Problemopgaver 114

4 | INTEGRALREGNING OG AREALBESTEMMELSE Hvad kan du med integralregning? Stamfunktion Symbol for ubestemt integral Regneregler for ubestemt integral Bestemt integral Arealberegning med bestemt integral Den naturlige logaritme Differentialkvotient af eksponentielle funktioner Integration af eksponentielle funktioner Problemopgaver

117 117 118 119 120 123 125 129 131 136 137

5 | DATAANALYSE (Carsten Vium Jørgensen) 143 Beskrivende statistik 144 Positionsmål 145 Kvartilafstand 148 Kassediagram/boksplot 149 Outliers 149 Variationsmål 151 Stikprøvevarians 154 Pindediagram 155 Frekvensen 157 Intervaller 159 Søjlediagram/histogram 160 Grupperede observationer 160 XY-plot 171 Mindste kvadrats metode 173 Determinationskoefficienten og korrelationskoefficienten 175 Eksponentiel regressionsmodel 177 Årstal 180 Ikke numerisk data 182 Problemopgaver 184 6 | PROJEKTOPGAVER 193 Varmebehandling af mælk 193 Musik og lyd 195 Transportbånd 197 Reolmoduler 198 Beholderdimensionering 200 Bygning af dige 201 Verner Pantons lampeprojekt 202 STIKORD

203

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 5

06-02-2018 16:18:27

Hvad er en vektor?

| Vektorregning i planet

HVAD ER EN VEKTOR? Du har hidtil arbejdet med talværdier. Du har fundet arealer, du har fundet rumfang, du har fundet vinkler og meget mere. Inden for fysik og teknik arbejder du med kræfter, hastigheder, accelerationer, elektriske strømme og lignende. Det er noget andet, det er nyt, for alle de nævnte ting er givet ved både en talværdi og en retning. Du får et eksempel. En lastbil kører med en hastighed i en retning, altså har du en talværdi for hastigheden og en given retning.

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 7

06-02-2018 16:18:28

TEKNISK MATEMATIK 2 – 1 | Vektorregning i planet

Et andet eksempel. En golfspiller rammer bolden med putteren. Bolden bevæger sig med en hastighed i retning mod hullet. Du har også her en retning og en hastighed.

Det vil derfor være praktisk at have et matematisk værktøj, der omhandler regneregler for talværdier, der er knyttet sammen med retninger. Du får nogle eksempler. Fra fysikundervisningen kender du loven om kræfternes parallelogram. På figur 1.01 har du to kræfter F1 og F2 , der angriber i et punkt på et legeme. De to kræfter kan erstattes af en enkelt kraft R ved hjælp af det tegnede parallelogram. F2

R F1

Figur 1.01

Du får et taleksempel. Du har på figur 1.02 to kræfter på henholdsvis 3N (Newton) og 4N, der står vinkelret på hinanden. De to kræfter kan erstattes af enkelt kraft R på 5N. 3N R = 5N

Figur 1.02

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 8

06-02-2018 16:18:30

Hvordan afbilder du en vektor?

Som du kan se, følger denne form for at lægge sammen ikke de regler, du hidtil har arbejdet med. Du tegner dig i realiteten til resultatet, og denne form for at lægge sammen kaldes geometrisk addition. Når man arbejder med matematik, har man et fælles navn for sådanne størrelser. De kaldes vektorer. II En vektor består altså af en talværdi og en retning.

Modsat vektorer har du skalarer, som matematisk set er størrelser, der til deres bestemmelse kun kræver en talværdi. Eksempler på skalarer er længder, arealer og rumfang. Bemærk forskellen!

HVORDAN AFBILDER DU EN VEKTOR?

En vektor består som nævnt af en talværdi og en retning. Du afbilder derfor en vektor som vist på figur 1.03 ved hjælp af et linjestykke AB. Du forsyner linjestykket med en pilespids, som angiver den retning, som vektoren virker i. v

Figur 1.03

Nu har du billedet af en vektor med begyndelsespunkt i A og endepunkt i B ved pilespidsen. Skal du betegne vektoren, gør du det således:

→ AB

eller

→ v

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 9

06-02-2018 16:18:31

TEKNISK MATEMATIK 2 – 1 | Vektorregning i planet

Skal du angive længden af en vektor, gør du det således: → AB

eller → v

HVORDAN BESTEMMER DU EN VEKTOR?

Når du i en opgave eller i et projekt skal bestemme en vektor, er der to ting, du skal have med. Den ene er vektorens størrelse eller talværdi, og den anden er vektorens retning. Vektorens størrelse eller talværdi giver sig selv, men retningen  kan du angive på forskellig måde. På figur 1.04 har du givet en vektor a . Retningen angiver du ved vinklen z , som er målt i forhold til en vandret linje. a z

Figur 1.04

y x

Figur 1.05

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 10

06-02-2018 16:18:32

Vektorer i koordinatsystemet

 På figur 1.05 har du en vektor b. Du angiver retningen ved hjælp af de to koordinater. Det skrives således:   x b =   = ( x , y)  y

II I denne bog vil du udelukkende se den første skrivemåde. Det sker for ikke at forveksle den med skrivemåden for et ordnet talpar i koordinatsystemet.

Har du en vektor, der ikke er bundet til noget bestemt punkt i planet, kan du afbilde den fra et vilkårligt punkt.  Har du en vektor b og kender koordinaterne, bestemmer du vektorens længde således:

2 b = x2 + y 2  b = x2 + y 2

VEKTORER I KOORDINATSYSTEMET

Som nævnt tidligere er en vektor ikke bundet til et bestemt punkt i planet, men det kan i nogle tilfælde være fordelagtigt at indlægge en vektor i et koordinatsystem.

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 11

06-02-2018 16:18:34

TEKNISK MATEMATIK 2 – 1 | Vektorregning i planet

Forestil dig, at du har punkterne A ( x1 , y1 ) og B ( x2 , y2 ) beliggende i et koordinatsystem som vist på figur 1.06. y

B(x2,y 2) y2 − y 1 A(x 1,y 1)

x2 − x 1 x

Figur 1.06

 Du skal bestemme koordinaterne til vektoren AB. Som det fremgår af figur 1.06, kan du bestemme koordinaterne således:   x − x  1  AB =  2  y2 − y1  Bemærk fremgangsmåden! – Du starter med koordinaterne ved pilespidsen og trækker herefter koordinaterne fra begyndelsespunktet fra. II Generelt kan det altid betale sig for dig at tegne en figur, når du arbejder med vektorer. Det giver dig et overblik, og tegner du figuren i målestok, kan du altid kontrollere dine beregnede resultater ved at måle på figuren og sammenligne.

I det kommende bliver du præsenteret for eksempler med bestemmelse af vektorer.

EKSEMPEL 1.01

Du har givet en vektor:

 −3 b =    2   Du skal tegne en skitse af vektor b og bestemme dens længde.  Du starter i et vilkårligt punkt i planet og afsætter vektor b ' s koordinater som vist på figur 1.07.

−3

Figur 1.07

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 12

06-02-2018 16:18:34

Vektorer i koordinatsystemet

 Du bestemmer derefter længden af vektor b således:

 b =

(−3)

+ 22

 b = 3,61

EKSEMPEL 1.02

I et koordinatsystem har du givet  punkterne A (4,1) og B (−2, −4) . Du skal bestemme vektor AB ' s koordinater.  For at få et overblik indtegner du vektor AB i et koordinatsystem som vist på figur 1.08. y A(4,1) x

B(−2,−4)

Figur 1.08

Herefter bestemmer du koordinaterne således:

 −2 − 4 −6  =   AB =    −4 − 1 −5

EKSEMPEL 1.03

Du har givet en vektor:

  4  AB =   −6

 Vektor AB er beliggende i et koordinatsystem med begyndelsespunkt A (−2,1) . Du skal bestemme koordinaterne til pilpunktet B.  Du indtegner vektor AB i et koordinatsystem som vist på figur 1.09. y A(−2,1) x

Figur 1.09

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 13

06-02-2018 16:18:35

TEKNISK MATEMATIK 2 – 1 | Vektorregning i planet

Koordinaterne til pilpunktet B bestemmer du således: BB((xx,,yy))= =((− −22+ +4, 4,11+ +((− −66))))= =((2, 2,− −55)) Bemærk fremgangsmåden! – Du starter med  koordinaterne til punkt A og lægger hertil koordinaterne fra vektor AB .

OPGAVE 1.01

I et koordinatsystem er givet følgende punkter: A (7,8) , B (3, 2) , C (2, 4) , D (1,9) , E (−1, −6) og F (−8, −3)

Punkterne danner tre vektorer:

    AB AB,CD ,CD og EF

Du skal: a) Indtegne vektorerne i et koordinatsystem. b) Bestemme vektorernes koordinater.    c) Bestemme vektorernes længder AB , CD og EF .

OPGAVE 1.02

Du har givet vektor:

 5 a =   −3

 Vektor a ligger i et koordinatsystem med begyndelsespunkt i (2,1) .  a) Du skal bestemme a .  b) Du skal bestemme koordinaterne til vektor a ' s pilpunkt.

OPGAVE 1.03

Du har givet vektor:

 −2 b =   −4

 Vektor b ligger i et koordinatsystem og har pilpunkt i (3, −1) .  a) Du skal bestemme b .  b) Du skal bestemme koordinaterne til vektor b ' s begyndelsespunkt.

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 14

06-02-2018 16:18:35

Stedvektor

STEDVEKTOR

II En vektor, som udgĂĽr fra koordinatsystemets begyndelsespunkt (0,0) og har pilpunkt i A ( x , y) som vist pĂĽ figur 1.10, kaldes en stedvektor til punktet A. y A(x,y)

(0,0)

Figur 1.10

Stedvektorens koordinater bliver identiske med punktet A ' s koordinater.

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 15

06-02-2018 16:18:38

TEKNISK MATEMATIK 2 – 1 | Vektorregning i planet

FORSTØRRELSE ELLER FORMINDSKELSE!



II Har du en vektor a , kan du gange den med et reelt tal n. Herved får du en  ny vektor med længden n ⋅ a .  II Den nye vektor har samme retning som vektor n ⋅ a , hvis n er et positivt tal som vist på figur 1.11.   II På tilsvarende måde har den nye vektor n ⋅ a modsat retning som vektor a , hvis n er et negativt tal.

a 2

.a 0,5

.a ,5 −1

Figur 1.11

n.a n.y a

y n.x

Figur 1.12

 Er vektoren a givet ved sine koordinater som vist på figur 1.12, får du den nye vektor således:  n ⋅ x  n ⋅ a =  n ⋅ y

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 16

06-02-2018 16:18:39

Vinkel mellem to vektorer

OPGAVE 1.04

Du har i et koordinatsystem givet tre stedvektorer karakteriseret ved punkterne: A (9, 2) , B (−3, 5) og C (7, −4) a) Du skal bestemme stedvektorernes længder. b) Du skal bestemme de vinkler, stedvektorerne danner med vandret.

OPGAVE 1.05

 Du skal bestemme koordinaterne til en stedvektor a ' s endepunkt, når den danner en vinkel på 42° med x − aksens positive akse og har længden  a = 7.

OPGAVE 1.06  Du skal bestemme koordinaterne til en stedvektor b ' s endepunkt, når den danner en vinkel på 254° med x − aksens positive akse og har længden  b = 9.

OPGAVE 1.07

Du har givet en vektor:

  2 a =   , 3

som er beliggende i et koordinatsystem med begyndelsespunkt i (4, 2) .  a) Du skal bestemme længden a .  b) Du skal bestemme koordinaterne til vektor a ' s pilpunkt i koordinat systemet. 1 c) Du skal bestemme koordinaterne til vektoren − a . 2 1 d) Du skal bestemme længden − a . 2 1 e) Vektor − a har begyndelsespunkt i (1,1) . Du skal bestemme 2 1 koordinaterne til vektor − a ' s pilpunkt. 2

VINKEL MELLEM TO VEKTORER Når du arbejder med flere vektorer, har du brug for at angive de vinkler, vektorerne danner med hinanden. Er det to vektorer som vist på figur 1.13, angiver du den vinkel, der dannes, når de to vektorer udgår fra samme punkt.

b z a

Figur 1.13

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 17

06-02-2018 16:18:40

TEKNISK MATEMATIK 2 – 1 | Vektorregning i planet

  Du betegner vinklen mellem vektor a og vektor b som vinkel z , men du kan også gøre det således:

  ∠ a,b

( )

MODSATTE VEKTORER

Du kan også komme til at arbejde med vektorer, der er modsatte. To vektorer kaldes modsatte, når de er lige lange, parallelle og modsatrettede. På figur 1.14 har du vektor AB.

  Vektor AB ' s modsatte vektor er vektor BA. A

B −v

Figur 1.14

På tilsvarende måde har du, at  v ' s modsatte vektor er −v.

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 18

06-02-2018 16:18:42

At lægge to vektorer sammen

AT LÆGGE TO VEKTORER SAMMEN

Har du to vektorer som vist på figur 1.15, lægger du dem sammen på følgende måde.

r P

a a

Figur 1.15

  Fra et vilkårligt punkt  P afsætter du vektor a. Fra vektor a ' s pilpunkt afsætter du vektor b . Fra punkt P til vektor b ' s pilspids tegner du en linje, og forsyner den med en pilespids som vist. 



II Denne nye vektor r kaldes sumvektoren eller resultanten. Vektorerne a og  b kaldes komposanter.

Som nævnt i starten af dette kapitel kaldes denne form for at lægge sammen for geometrisk addition.

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 19

06-02-2018 16:18:44

TEKNISK MATEMATIK 2 – 1 | Vektorregning i planet

I en ligning kan det udtrykkes:

   r = a +b

  Er vektor a og vektor b givet ved deres koordinater:

 x   x  a =  1  og b =  2   y1   y2  får du:

    x + x2   r = a + b =  1  y1 + y2 

  Var du startet med at afsætte vektor b og derefter vektor a , ville du få samme resultat. Rækkefølgen, som du afsætter vektorerne i, er vilkårlig. Det kan udtrykkes således:     a +b = b +a

AT LÆGGE MERE END TO VEKTORER SAMMEN I forrige afsnit fik du set, hvordan du tegner dig til en sumvektor eller resultant, når du lægger to vektorer sammen. Har du mere end to vektorer, er fremgangsmåden den samme. Du har fire vektorer som vist på figur 1.16.

B c

a d

b c

a P

C r

Figur 1.16

 Du starter i et vilkårligt punkt P og afsætter vektor a . Pilpunktet kaldes A. Herefter afsætter du vektor b , og pilpunktet kaldes B. Sådan  fortsætter du også med vektorerne c og d . Sumvektoren finder du ved at forbinde punkt P med den sidst afsatte vektors pilpunkt – her punkt D. Du kan udtrykke det i en ligning:

     r = a +b +c +d

Skal du beregne størrelsen af sumvektoren eller resultanten, må du bruge trekantsformlerne fra trigonometrien eller bruge vektorernes koordinater. Det vil du få belyst i de kommende eksempler.

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 20

06-02-2018 16:18:45

At lægge mere end to vektorer sammen

EKSEMPEL 1.04   To vektorer c og d danner vinklen 58° med hinanden og har længderne 13,68 og 21,13 .

a) Du skal bestemme størrelsen af sumvektoren.  b) Du skal bestemme vinklen mellem vektor d og sumvektoren. a) Du starter med at tegne en skitse af de to vektorer som vist på figur 1.17.

c 58° d

Figur 1.17

r z y

c 58°

Figur 1.18

Herefter tegner du løsningen som vist på figur 1.18. Du skal have en trekant med tre oplysninger, for at du kan bruge en af trekantsformlerne. Du har to oplysninger, men kan bestemme vinkel z , og så er der tre oplysninger. Du bestemmer vinkel z : z = 180°− 58° = 122° Nu har du tre oplysninger i trekanten og kan bruge cosinus-relationen. Kan du huske den? – Den ser således ud: a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos A Overført til vektortrekanten bliver det:

2 2   2 r = d + c − 2 d c cos z 2 r = 21,132 + 13,68 2 − 2 ⋅ 21,13 ⋅ 13,68 ⋅ cos122°  r = 30,66

b) Når du skal bestemme vinkel y , kan du bruge enten sinus-eller cosinus-relationen. Sinus-relationen har du også fra tidligere af. Den ser således ud: a b = sin A sin B

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 21

06-02-2018 16:18:46

TEKNISK MATEMATIK 2 – 1 | Vektorregning i planet

Overført til vektortrekanten bliver det: 13,68 30,66 = sin y sin 122°  13,68 ⋅ sin 122°   = 22, 23° y = sin−1    30,66

EKSEMPEL 1.05

Du har givet vektorerne:

  4  1 p =   og q =   1 3

  a) Du skal bestemme koordinaterne til sumvektoren p + q .   b) Du skal bestemme længden p + q .

a) Du starter med at tegne løsningen som vist på figur 1.19. p+q

p O

Figur 1.19

 Fra et vilkårligt punkt O afsætter du vektor p ' s koordinater. Fra vektor   p ' s pilpunkt afsætter du vektor q ' s koordinater. Du forbinder punkt O    og pilpunktet for vektor q , og du har sumvektoren p + q . Du bestemmer koordinaterne til sumvektoren:

  b) Du bestemmer p + q :

  4 + 1 5 p + q =   =   1 + 3 4   p + q = 52 + 4 2 = 6, 40

OPGAVE 1.08

  Du har givet to vektorer e = 39, 2 og f = 16, 3 , som danner en vinkel på 138° med hinanden.   a) Du skal bestemme længden e + f .

OPGAVE 1.09

  Du har givet to vektorer p = 11, 52 og q = 21, 53 , som danner en vinkel på 72, 4° med hinanden.   a) Du skal bestemme længden p + q .

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 22

06-02-2018 16:18:46

Ligevægt

OPGAVE 1.10

Du har givet to vektorer:

 1   5 a =   og b =   −4 2

 a) Du skal bestemme koordinaterne til vektor −a . b) Du skal bestemme koordinaterne til vektor −b .   c) Du skal bestemme koordinaterne til sumvektoren a + b .  d) Du skal bestemme koordinaterne til vektor 2a .

e) Du skal bestemme koordinaterne til vektor

1 b. 2

 1 f) Du skal bestemme koordinaterne til sumvektoren 2 a + b . 2

OPGAVE 1.11

Du har givet vektorerne:

 5  −3  −1 a =   , b =   og c =    2   3  1     a) Du skal bestemme koordinaterne til resultanten r = a + b + c . b) Du skal bestemme længden af resultanten.

LIGEVÆGT

Har du to modsatrettede vektorer, der er lige lange som vist på figur 1.20, holder de hinanden i ligevægt.

Figur 1.20

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 23

06-02-2018 16:18:48

TEKNISK MATEMATIK 2 – 1 | Vektorregning i planet

b a

c d

Figur 1.21

Du udtrykker det på den måde, at vektorsummen er lig med 0. Har du flere vektorer med forskellige størrelser og retninger som vist på figur 1.21, danner de ligevægt, hvis den polygon, du tegner af vektorerne, lukker sig. Du kan udtrykke det i en ligning:     a +b +c +d = 0 Du kan også bruge vektorkoordinaterne:

 xa + xb + xc + xd  0      y + y + y + y  = 0 a b c d Det var teorien! – så til det praktiske. Inden for det tekniske område er en stor del af statikken bygget op om disse ligevægtsbetingelser. Du får et eksempel.

Har du et hus, vil husets spærfag blive udsat for forskellige påvirkninger. Der er tagets egenvægt, og der er vindbelastning, og der er snebelastning. Det er de ydre påvirkninger. Disse påvirkninger kan omsættes til kraftpåvirkninger, og de er matematisk set vektorer. Hvis huset skal blive stående, skal der være ligevægt. De ydre kraftpåvirkninger skal derfor holde ligevægt med husets indre kræfter, som kommer fra den styrke, der ligger i konstruktionen, herunder dimensionerne på træ i spærfagene, væggenes udformning mv.

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 24

06-02-2018 16:18:49

Vektorer og komposanter

OPGAVE 1.12

OPGAVE 1.13

Du har givet vektorerne:

 6   4 a =   og b =   3 1  a) Du skal bestemme en vektor c i størrelse og retning, der kan holde   ligevægt med summen af vektor a og vektor b .

Du har givet de på figur 1.22 viste kraftvektorer. F2 = 200 N

F1 = 100 N 105°

F3 = 350 N

Figur 1.22

a) Du skal bestemme den kraftvektor, der i størrelse og retning kan holde ligevægt med de tre givne kraftvektorer.

VEKTORER OG KOMPOSANTER

Du har i det foregående set, hvordan to vektorer kan sammensættes til en sumvektor eller resultant, men der er også en omvendt opgave. Du skal derfor nu se på en opgave, hvor en vektor kan opløses eller erstattes af to komposanter.

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 25

06-02-2018 16:18:50

TEKNISK MATEMATIK 2 – 1 | Vektorregning i planet

 Du har givet en vektor a og to linjer m og k som vist på figur 1.23. Du  skal opløse eller erstatte vektor a med to komposanter, hvis retninger er parallelle med linjerne m og k. m a k

Figur 1.23

 Du starter med at parallelforskyde linjen k gennem vektor a ' s begyndel sespunkt og på tilsvarende måde linjen m gennem pilpunktet på vektor a. For at det skal komme til at passe, sætter du pilespidser på linjerne som  vist a på figur 1.24. Du får hermed størrelse og retning på komposanterne  k og am som vist.

am ak

Figur 1.24

 Var du startet med at parallelforskyde linjen m gennem vektor a ' s  begyndelsespunkt og linjen k gennem vektor a ' s pilpunkt, ville du få et billede som vist på figur 1.25. Komposanternes størrelse og retning er de samme som før, så det er ligegyldigt, i hvilken rækkefølge du parallelforskyder linjerne. ak am

Figur 1.25

Det var den tegningsmæssige løsning. Skal du beregne størrelsen af komposanterne, er det afhængigt af, hvilke oplysninger du har til rådighed. Det kan være, du skal benytte formlerne fra trekantsberegning, men de oplysninger, du får, kan variere meget, og det får indflydelse på den måde, du vælger at løse opgaven på. I det kommende eksempel vil du få at se, hvordan du løser en opgave, når oplysningerne er givet på en lidt anden måde.

EKSEMPEL 1.06

Du har givet tre vektorer:      3 6    1 a =   , b =   og c =   4 2 1

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 26

06-02-2018 16:18:51

Vektorer og komposanter

  Vektor a skal opløses i to komposanter, der går i henholdsvis vektor b ' s  og vektor c ' s retning. a) Du skal bestemme koordinaterne til de to komposanter. b) Du skal bestemme længden af de to komposanter.

a) Du starter med at tegne de tre vektorer som vist på figur 1.26 for at få et godt overblik.

Figur 1.26

 Herefter kan du parallelforskyde retningerne for henholdsvis vektor b og   vektor c gennem vektor a ' s pilpunkt. Du får hermed den  tegningsmæssi ge løsning og kan måle størrelsen af de to komposanter ab og ac . Når du skal i gang med at beregne koordinaterne til de to komposanter,   starter  du med at opfatte vektor a som en sum af de to komposanter ab og ac . Du skriver det i en ligning:

   a = ab + ac Du skal nu have så se igen på figur 1.26. For  indført vektorkoordinaterne,  at få vektor ab skal du gange vektor b med en konstant, der kaldes s. På   tilsvarende måde med vektor ac . Du skal  gange vektor c med en anden konstant, der kaldes t for at få vektor ac . Du kan skrive det således:

  6 ab = s ⋅ b = s ⋅  1   1  ac = t ⋅ c = t ⋅  4 Du indsætter de to udtryk i ligningen:    a = ab + ac

3       = s ⋅ 6 + t ⋅ 1   2 1 4 Du kan dele ligningen i to: 3 = s ⋅ 6 + t ⋅ 1 og 2 = s ⋅ 1 + t ⋅ 4 Du løser den første ligning med hensyn til t : 3 − 6s = t

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 27

06-02-2018 16:18:52

TEKNISK MATEMATIK 2 – 1 | Vektorregning i planet

Dette udtryk for t indsætter du i den anden ligning: 2 = s + (3 − 6 s) ⋅ 4

2 = s + 12 − 24 s −10 = −23s 0, 43 = s

Du indsætter s = 0, 43 i den anden ligning: 3 − 6 ⋅ 0, 43 = t 0, 39 = t

De to ligninger blev løst ved ”håndkraft”, men det kunne også være klaret på din grafregner eller i dit matematikprogram.   Du kan nu bestemme koordinaterne til ab og ac :

 6 2, 59  ab = 0, 43   =  1 0, 43  1 0, 39  ac = 0, 39   =  4 1, 57  b) Nu har du koordinaterne til de to  komposanter.  Dermed kan du bestemme størrelsen af vektor ab og vektor ac :  ab = 2, 59 2 + 0, 432 = 2,63  ac = 0, 39 2 + 1, 57 2 = 1,62

VEKTORER OG KOMPOSANTER I KOORDINATSYSTEMET Du får ofte brug for at opløse vektorer i komposanter, der er parallelle med  akserne i koordinatsystemet. Du har en vektor a , som danner vinklen v med vandret som vist på figur 1.27. y

a v ax

Figur 1.27

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 28

06-02-2018 16:18:52

Vektorer og komposanter i koordinatsystemet

   Du skal opløse vektor a i to komposanter ax og ay , hvis retninger er parallelle med henholdsvis x − og y − aksen. Du benytter formlerne for retvinklede trekanter og får:   ax ay cos v =  og sin v =  a a Størrelsen af de to komposanter finder du således:     ax = a cos v og ay = a sin v

EKSEMPEL 1.07

Du har givet fire vektorer, som alle har længden 5. De fire vektorer danner henholdsvis vinklerne 72°,148°, 210° og 330° med x − aksen. a) Du skal bestemme koordinaterne til sumvektoren af de fire vektorer. b) Du skal bestemme længden af sumvektoren. c) Du skal bestemme den vinkel, sumvektoren danner med x − aksen. a) For at få et overblik indlægger du de fire vektorer i et koordinatsystem, således at de alle udgår fra (0,0) som vist på figur 1.28. y

148°

72°

210°

x 330°

Figur 1.28

Herved får du forenklet beregningsforløbet, idet hver vektor kan opløses i to komposanter, hvis retninger er parallelle med henholdsvis x − og y − aksen. Størrelsen af komposanterne er identisk med vektorkoordinaterne, og du kan derfor bestemme vektorsummen således:

 5 cos 72° + 5 cos148° + 5 cos 210° + 5 cos 330° −2,695  =   r =   5 sin 72° + 5 sin 148° + 5 sin 210° + 5 sin 330°   2, 405  b) Ud fra vektorkoordinaterne kan du tegne figur 1.29.

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 29

06-02-2018 16:18:53

TEKNISK MATEMATIK 2 – 1 | Vektorregning i planet

y r

z x

Figur 1.29

Herefter kan du bestemme længden af sumvektoren:  r =

(−2,695)

+ 2, 4052 = 3,612

c) Med udgangspunkt i figur 1.29 bestemmer du vinkel z :  2, 405   = 41,75° z = tan−1   2,695 

I forhold til x − aksen får du: v = 180°− 41,75° = 138, 25°

OPGAVE 1.14

Du har givet tre vektorer:

 −1   4   2 a =   , b =   og c =   −3 1 3   Vektor a skal opløses i to komposanter, der går i henholdsvis vektor b ' s  og vektor c ' s retning. a) Du skal bestemme koordinaterne til komposanterne. b) Du skal bestemme komposanternes længde.

OPGAVE 1.15

Du har givet fem vektorer alle med længden 4 . De danner henholdsvis vinklerne 12°,80°,164°, 232° og 302° med x − aksen. a) Du skal bestemme koordinaterne til sumvektoren af de fem vektorer. b) Du skal bestemme længden af sumvektoren. c) Du skal bestemme den vinkel, sumvektoren danner med x − aksen.

OPGAVE 1.16     Vektorerne a , b , c og d har længderne 4, 5,6 og 7 og danner vinklerne 40°,110°,140° og 190° med x − aksen. a) Du skal bestemme koordinaterne til resultanten af de fire vektorer. b) Du skal bestemme længden af resultanten. c) Du skal bestemme den vinkel, resultanten danner med x − aksen.

121044-1 Teknisk Matematik2 materie.indb 30

06-02-2018 16:18:53

ISBN 978-87-571-2894-9

9 788757 128949

TEKNISK MATEMATIK

Teknisk Matematik

Teknisk Matematik Preben Madsen Med kapitel af Carsten Vium Jørgensen

praxis.dk

varenr. 121044-1

121044-1_Teknisk Matematik-2 omslag.indd All Pages

2. udgave

PRAXIS – Nyt Teknisk Forlag

01-02-2018 08:45:58