TRIGONOMETRÍA
DESTREZA: M.4.2.16. Definir e identificar las relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo (seno, coseno, tangente) para resolver numéricamente triángulos rectángulos. OBJETIVO: Calcular las razones trigonométricas en diversos ejercicios y problemas para aplicarlos en situaciones de la vida cotidiana.
TRIÁNGULO Observa con atención los elementos de un triángulo: A
a, b y c = lados A, B, y C = vértices
c
b h
h = altura ACB, CBA, BAC = Ángulos
B
C
a ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO: PERÍMETRO: El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados.
P= l + l+ l ÁREA:
El área de un triángulo es igual a la semisuma del producto de la base por la altura. A
Área
1 bh 2
Base
Altura
TRANSFORMACIĂ“N DE MEDIDAS ANGULARES Los ĂĄngulos se pueden medir a travĂŠs de diferentes sistemas, siendo los mĂĄs utilizados el sistema sexagesimal y el sistema cĂclico. Sabemos que la longitud de la circunferencia se calcula por la relaciĂłn 2đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘’đ?‘ y que un ĂĄngulo de una vuelta completa es igual a 360° . Por lo tanto: 2đ?œ‹ radianes = 360° . Y que al dividir para 2, nos queda: Si a los dos miembros de una igualdad, se los divide para una misma cantidad, la igualdad subsiste.
π radianes = 180°
Sistema Sexagesimal: La unidad es el ĂĄngulo de un grado es decir la noventava parte de un ĂĄngulo recto. B
O
A A
<AOB 90
=1
Unidad sexagesimal
Sistema cĂclico: La unidad es el radiĂĄn, que es el ĂĄngulo central
formado por dos radios y un arco de longitud tambiĂŠn igual a la de un radio. B Radio
1 RadiĂĄn: Unidad CĂclica
ADIO
B
O Radio
A
Arco = 1 Radio
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Son razones (divisiones, fracciones) entre lados y ángulos de un triángulo. En un triángulo rectángulo los ángulos agudos, es decir los ángulos complementarios tienen las siguientes funciones: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante.
co
h ca
ca h h = Hipotenusa ca = Cateto adyacente co
co = Cateto opuesto
Seno α =
Cateto opuesto Hipotenusa
Coseno α =
Cateto adyacente
Tangente α =
Hipotenusa
Cateto opuesto Cateto adyacente
Cosecante α =
Secante α =
Hipotenusa Cateto opuesto
Hipotenusa Cateto adyacente
Cotangente α =
Cateto adyacente Cateto opuesto
sen α =
co
cos α =
ca
tan α =
co
h
h
ca
csc α =
sec α =
cot α =
h co
h ca
ca co
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN ÁNGULO DE ELEVACIÓN: Es el ángulo que se forma entre la visual de un observador que mira hacia arriba y la horizontal. ÁNGULO DE DEPRESIÓN: Es el ángulo que se forma entre la visual de un observador que mira hacia abajo y la horizontal.
EJEMPLO: Cuando un avión pasa sobre un punto M ubicado en el suelo, una estación de observación que está situada a 4kmde M lo observa con un ángulo de elevación de 19°. Calcule la altura aproximada a la que se encuentra el avión en ese momento.
EJEMPLO: Dos edificios A y B están ubicados uno en frente del otro. El edificio A tiene 48 m de altura y el ángulo de depresión que se forma desde su parte más alta hasta la base del edificio B es de 65°. Calcule la distancia aproximada entre ambos edificios.
POLÍGONOS REGULARES
POLÍGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS A UNA CIRCUNFERENCIA
Un polígono está inscrito a una Un polígono está circunscrito a la circunferencia, cuando todos sus circunferencia, cuando todos sus lados vértices se encuentran sobre la son tangentes a la circunferencia. circunferencia.
Centro
Centro
Debes saber que: Radio = Cateto
Radio = Hipotenusa
Cuando un polígono está inscrito a una circunferencia, el radio será igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo
Cuando un polígono está circunscrito a una circunferencia, el radio será igual al cateto del triángulo rectángulo.
EJEMPLO POLÍGONO INSCRITO EN LA CIRCUNFERENCIA Calcular el área y perímetro de un polígono regular inscrito en una circunferencia, si su radio es de 8m.
𝑝. 𝑎𝑝 𝐴= 2
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜: 𝑃 = 6𝑙
Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙: 360° ÷ 6 = 60° 60° ÷ 2 = 30°
Lado: Apotema: 𝑐𝑜𝑠30° =
𝑐𝑎 8𝑚
(𝑐𝑜𝑠30°)(8𝑚) = 𝑐𝑎 6,93𝑚 = 𝑐𝑎 (𝟒𝟖𝒎)(𝟔, 𝟗𝟑𝒄𝒎) 𝑨= 𝟐 𝑨 = 𝟏𝟔𝟔, 𝟑𝟐𝒄𝒎𝟐
𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑛30° = ℎ 𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑛30° = 8𝑚
(𝑠𝑒𝑛30°)(8𝑚) = 𝑐𝑜 4𝑚 = 𝑐𝑜 𝟒𝒎 × 𝟐 = 𝟖𝒎 𝑃 = 6(8𝑚)
𝑷 = 𝟒𝟖𝒎
EJEMPLO POLÍGONO CIRCUNSCRITO A LA CIRCUNFERENCIA
𝑝. 𝑎𝑝 𝐴= 2
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜: 𝑃 = 8𝑙
Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙: 360° ÷ 8 = 45° 45° ÷ 2 = 22,5°
Lado:
𝑐𝑜 𝑡𝑎𝑛22,5° = 𝑐𝑎 𝑐𝑜 𝑡𝑎𝑛22,5° = 7𝑐𝑚
(𝟔𝟒, 𝟔𝟒𝒄𝒎)(𝟕𝒄𝒎) 𝑨= 𝟐 𝑨 = 𝟐𝟐𝟔, 𝟐𝟒𝒄𝒎𝟐
(𝑡𝑎𝑛30°)(7𝑐𝑚) = 𝑐𝑜 4,04 = co 4,04 × 2 = lado 𝐥𝐚𝐝𝐨 = 𝟖, 𝟎𝟖𝒄𝒎 𝑃 = 8(8,08𝑐𝑚)
𝑷 = 𝟔𝟒, 𝟔𝟒𝒄𝒎
ACTIVIDAD 1 Calcular el área y perímetro de los siguientes polígonos regulares circunscritos a la circunferencia, conociendo su radio.