ÁREA Y VOLUMEN DE CONOS
2019 - 2020
OBJETIVO
Aplicar las fórmulas de área y volumen de conos, resolviendo diversos ejercicios y problemas.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
M.4.2.21. Calcular el área y volumen de conos, aplicando las fórmulas respectivas.
INDICADOR DE LOGRO
Resuelve ejercicios geométricos que requieran del cálculo de área y volumen de conos.
CUERPOS REDONDOS
Son la esfera, el cono y el cilindro. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva. También se denominan cuerpos de revolución porque pueden obtenerse a partir de una figura que gira alrededor de un eje.
CONO
El cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.
Elementos del cono:
Eje: es el lado fijo alrededor del cual gira el triángulo rectángulo. Es el cateto del triángulo. Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto. Radio: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de esta. Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Altura: corresponde al eje del cono, une el vértice con el centro del círculo cayendo en forma perpendicular a la base. El cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva.
Podemos hallar el ĂĄrea lateral, ĂĄrea total y volumen de este cuerpo redondo, utilizando las siguientes formulas:
Ă REA LATERAL: El ĂĄrea lateral del cono es igual a la longitud de la semicircunferencia de la base multiplicada por la longitud de la generatriz.
đ?‘¨đ?‘ł = đ??…đ?’“đ?’ˆ Debido a que:
Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘˘đ?‘› đ?‘ đ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x; đ?‘?đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x; =
đ??żđ?‘œđ?‘›đ?‘”đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œ ∗ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘ đ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;
đ??´đ??ż =
2
2đ?œ‹đ?‘&#x; ∗ đ?‘” 2
đ??´ = đ?œ‹đ?‘&#x;đ?‘” Ă REA TOTAL: El ĂĄrea total es igual a la suma del ĂĄrea de la base, que es un cĂrculo (đ??´ = đ?œ‹đ?‘&#x; 2 ), mĂĄs el ĂĄrea de un sector circular.
đ?‘¨đ?‘ť = đ?‘¨đ?‘ł + đ?‘¨đ?’ƒ VOLUMEN: El volumen es igual al ĂĄrea del cĂrculo de la base, multiplicada por la altura (h) del cono divido para tres.
đ?‘¨đ?’ƒ ∗ đ?’‰ đ?‘˝ = đ?&#x;‘
1. Calcular el área total y volumen de un cono de 5 cm de radio y 13 cm de generatriz.
ÁREA LATERAL 𝑨𝑳 = 𝝅𝒓𝒈
ÁREA TOTAL 𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝑨𝒃
𝑨𝑳 = 𝜋 ∗ 5 ∗ 13
𝑨𝒃 = 𝜋 ∗ 𝑟 2
𝑨𝑳 = 204,20 𝑐𝑚2
𝑨𝒃 = 𝜋 ∗ 52
VOLUMEN 𝑨𝒃 ∗ 𝒉 𝑽 = 𝟑
ℎ
𝑨𝒃 = 78,54 𝑐𝑚2
5 𝑐𝑚 2
ℎ = √𝐻𝑖𝑝2 − 𝑐𝑎𝑡 2
𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝑨𝒃 𝑨𝑻 = 204,20 + 78,54
2
ℎ = √132 − 52 ℎ = 12 𝑐𝑚
𝑨𝑻 = 282,74 𝑐𝑚2 𝑽 =
𝟕𝟖, 𝟓𝟒 ∗ 𝟏𝟐 𝟑
𝑽 = 314,16 𝑐𝑚3
2. Calcular el área total y el volumen de un cono de 5 cm de altura y 2 cm de radio.
ÁREA LATERAL 𝑨𝑳 = 𝝅𝒓𝒈
𝑔 5 𝑐𝑚 2 𝑐𝑚
ÁREA TOTAL 𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝑨𝒃
𝑨𝒃 = 𝜋 ∗ 𝑟 2 𝑨𝒃 = 𝜋 ∗ 22 𝑨𝒃 = 12,57 𝑐𝑚2
2
𝑔 = √𝑐𝑎𝑡 2 + 𝑐𝑎𝑡 2 2
𝑔 = √ 52 + 22 𝑔 = 5,39 𝑐𝑚
𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝑨𝒃 𝑨𝑻 = 33,87 + 12,57 𝑨𝑻 = 46,44 𝑐𝑚2
𝑨𝑳 = 𝜋 ∗ 2 ∗ 5,39 𝑨𝑳 = 33,87 𝑐𝑚2
VOLUMEN 𝑨𝒃 ∗ 𝒉 𝑽 = 𝟑
𝑽 =
𝟏𝟐, 𝟓𝟕 ∗ 𝟓 𝟑
𝑽 = 20,95 𝑐𝑚3
3. Que cantidad de papel aproximadamente se necesita para forrar un gorro de cumpleaĂąos como se muestra en la figura: Para saber la cantidad de papel que se necesita para forrar, tenemos que calcular el ĂĄrea lateral.
24 đ?‘?đ?‘š
đ?‘”
10 đ?‘?đ?‘š 2
đ?‘” = √đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ą 2 + đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ą 2 2
đ?‘” = √102 + 242 đ?‘” = 26 đ?‘?đ?‘š
đ?‘¨đ?‘ł = đ?œ‹ ∗ đ?‘&#x; ∗ đ?‘” đ?‘¨đ?‘ł = đ?œ‹ ∗ 10 ∗ 26 đ?‘¨đ?‘ł = 816,81 đ?‘?đ?‘š2 Se necesitarĂĄ 816,81 đ?‘?đ?‘š2 de papel.
La esfera: Una esfera es un sĂłlido que estĂĄ formado por todos los puntos en el espacio que estĂĄn a una misma distancia de un punto fijo llamado centro de la esfera. Esta distancia se llama radio de la esfera. La figura siguiente muestra una esfera de radio r.
Las fĂłrmulas para calcular el ĂĄrea superficial y el volumen de una esfera son:
đ?‘¨ = đ?&#x;’đ??…đ?’“đ?&#x;? đ?‘˝=
đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ??…đ?’“ đ?&#x;‘
ACTVIVIDAD N° 1
1. Calcular el ĂĄrea total y el volumen de los siguientes cuerpos geomĂŠtricos: đ?‘†đ?‘– đ?‘&#x; = 15đ?‘?đ?‘š
đ?‘†đ?‘– đ?‘&#x; = 50đ?‘š
2. Problemas: 

Un policĂa vial pide para su puesto de control cuatro conos de 50 cm de alto y base circular de 30 cm de diĂĄmetro. ÂżCuĂĄl serĂĄ el volumen que ocupa cada uno de los conos? ÂżQuĂŠ cantidad de cartulina se necesitarĂĄ para realizar 30 gorros de cumpleaĂąos en forma de cono, que tengan 18 cm de diĂĄmetro como base y 25 cm de altura.