TRIGONOMETRÍA
DESTREZA: M.4.2.16. Definir e identificar las relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo (seno, coseno, tangente) para resolver numéricamente triángulos rectángulos. OBJETIVO: Calcular las razones trigonométricas en diversos ejercicios y problemas para aplicarlos en situaciones de la vida cotidiana. Trigonometría: Es la ciencia que estudia las relaciones que ligan los lados y los ángulos de un triángulo, y aplica dichas relaciones al cálculo de los elementos desconocidos en el triángulo. Etimológicamente la palabra trigonometría significa medida de los triángulos.
TRI
GONO
TRES
METRÍA
ÁNGULOS
MEDIDA
MEDIDA
TRIÁNGULO
TRIÁNGULO Observa con atención los elementos de un triángulo: A
a, b y c = lados A, B, y C = vértices
c
b h
B
h = altura ACB, CBA, BAC = Ángulos
a
C
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO: PERÍMETRO: El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus
lados. P= l + l+ l ÁREA:
El área de un triángulo es igual a la semisuma del producto de la base por la altura. 1 A= bh 2
Área
Altura
Base ÁNGULOS
Es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas de origen común. Posición final Vértice
β Posición inicial
CLASIFICACIÓN Ángulo Recto: Es aquel en el cual la posición final es perpendicular a la posición inicial.
Ángulo de lados colineales: llamado también ángulo llano o ángulo plano, es aquel que está formado por dos ángulos rectos, es decir que mide 1800. Donde la posición inicial y la posición final están en línea recta.
Ángulo de una vuelta completa: Es aquel que está formado por 4 ángulos rectos o por 2 ángulos planos, o sea que la posición final coincide con la posición inicial, y este ángulo mide 3600.
TRANSFORMACIÓN DE MEDIDAS ANGULARES
Los ángulos se pueden medir a través de diferentes sistemas, siendo los más utilizados el sistema sexagesimal y el sistema cíclico. Sabemos que la longitud de la circunferencia se calcula por la relación 2 π radianes y que un ángulo de una vuelta completa es igual a 360 ° . Por lo tanto: 2π
radianes = 360 ° . Y que al dividir para 2, nos queda: Si a los dos miembros de una igualdad, se los divide para una misma cantidad, la igualdad subsiste.
π radianes=180 °
Sistema Sexagesimal: La unidad es el ángulo de un grado es decir la noventava parte de un ángulo recto. B
O
A A
= 1 Unidad sexagesimal
Sistema cíclico: La unidad es el radián, que es el ángulo central formado por dos radios y un arco de longitud también igual a la de un radio. B Radio
1 Radián: Unidad Cíclica
ADIO
B
O
A
Radio
MÉTODO DE LAArco FRACCIÓN = 1 Radio
Para realizar la conversión de grados a radianes o de radianes a grados, podemos utilizar el método de la fracción que se explica a continuación: APLICO LA REGLA 1) Pasar 285 ⁰ a radianes. 1. Anotamos la equivalencia de radianes a grados en forma de fracción. π
rad = 180⁰ como fracción tenemos
π radianes 180 ⁰
2. Anotamos el valor que vamos a cambiar de unidad de medida. 285 ⁰ = x radianes
como fracción tenemos
285 ⁰ 1
3. Anotamos las fracciones anteriores como multiplicación, tomando en cuenta que las unidades iguales deben siempre estar colocadas en diagonal. 285 ⁰ π radianes x= ∙ Observa unidades de medida, y recuerda 1 las180 ⁰
que en la multiplicación de fracciones se debe simplificar en diagonal.
4.
Para realizar la multiplicación de las fracciones primero hago la simplificación de unidades de medida. x=
Simplificando grados con grados
285 ⁰ Π radianes ∙ 1 180 ⁰
285∙ π radianes 1 ∙ 180
5. Simplificando 285 y 180, la quinta:
x=
6. De donde:
x=
x=
7. Realizando el producto 8. Dividiendo
57∙ π radianes 1 ∙ 36
179,07 radianes 36
x=4,97 radianes
Por lo tanto, decimos que 285⁰ es igual a 4,97 radianes.
2) Pasar 5,3 radianes a grados. El procedimiento es el mismo, observa con cuidado: 1. Anotamos la equivalencia de radianes a grados en forma de fracción. π
rad = 180⁰ como fracción tenemos
180 ⁰ π radianes
2. Anotamos el valor que vamos a cambiar de unidad de medida. 5,3 radianes = x grados como fracción tenemos
5,3 radianes 1
3. Anotamos las fracciones anteriores como multiplicación, tomando en cuenta que las unidades iguales deben siempre estar colocadas en diagonal. 5,3radianes 180⁰ x= ∙ 1 π radianes
4.
Para realizar la multiplicación de las fracciones primero hago la simplificación de unidades de medida. 5,3radianes 180⁰ x= ∙ Simplificando radianes con radianes: 1 π radianes
5. Realizando la multiplicación tenemos:
x=
5,3∙ 180⁰ 1∙π
6. Multiplicando y dividiendo
x=
954⁰ =303,67⁰ π
7. Por lo tanto decimos que 5,3 radianes es igual a
303,67⁰
ACTIVIDAD 1 Realizar la conversión de las siguientes unidades: 1)45 ° pasar a radianes 2)78 ° pasar a radianes 3)
2 π 3
radianes pasar a grados
4)3,2 radianes pasar a grados 5)140 ° pasar a radianes 6)1 radián pasar a grados 7)320 ° pasar a radianes
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son razones (divisiones, fracciones) entre lados y ángulos de un triángulo. En un triángulo rectángulo los ángulos agudos, es decir los ángulos complementarios tienen las siguientes funciones: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante.
co
h ca
ca h h = Hipotenusa ca = Cateto adyacente co = Cateto opuesto co
Seno α =
Cateto opuesto Hipotenusa
Coseno α =
Cateto adyacente Hipotenusa
Cateto opuesto
Tangente α = Cateto adyacente
Cosecante α =
Secante
α =
Cotangente α =
Hipotenusa Cateto opuesto
Hipotenusa Cateto adyacente
Cateto adyacente Cateto opuesto
sen α =
co h
csc α =
h co
cos α =
ca h
sec α =
h ca
tan α =
co ca
cot α =
ca co
APLICACIÓN: EJEMPLO1: FGH , En el triángulo rectángulo elementos que le faltan H , f , h .
g=7 ,
F=35 ° .
Hallar los
Realizar el gráfico y colocar los datos:
Se reemplaza los datos conocidos y encuentro los desconocidos: Sen ∡F ¿ Cos ∡F ¿
Co h
Sen
35 °=
f 7
Sen
35 ° (7)=f
f =4,02
Ca h
Cos
35 °=
h 7
Cos
35 ° (7)=h
h=5,73
∡ G−∡ F=∡ H ∡ 90° −∡ 35 °=∡ 55°
Se coloca la respuesta: Lado f= 4,02 Lado h= 5,73 Ángulo H= 55º
En un triángulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios, es decir que sus medidas suman 90°. ∡ F +∡ H =90 °
EJEMPLO 2: Hallar las razones trigonométricas de los ángulos B y C del siguiente triángulo rectángulo.
Sen ∡B Cateto opuesto ¿ Hipotenusa
Sen ∡B ¿
Cos ∡B Cateto adyacente ¿ Hipotenusa
Cos ∡B ¿
Tan ∡B Cateto opuesto ¿ Cateto adyacente
Tan ∡B ¿
8 10
Sen ∡C Cateto opuesto ¿ Hipotenusa
Sen ∡C ¿
6 10
Cos ∡C Cateto adyacente ¿ Hipotenusa
Cos ∡C ¿
8 6
Tan ∡C Cateto opuesto ¿ Cateto adyacente
Tan ∡C ¿
EJEMPLO 3: Hallar el valor de los ángulos B y C
6 10
8 10
6 8
Ángulo B:
Sen ∡B Cateto opuesto ¿ Hipotenusa
Sen ∡B ¿
Cos ∡B Cateto adyacente ¿ Hipotenusa
Cos ∡B ¿
Tan ∡B Cateto opuesto ¿ Cateto adyacente
Tan ∡B ¿
Ángulo C:
Sen ∡C Cateto opuesto ¿ Hipotenusa
Sen ∡C ¿
Cos ∡C Cateto adyacente ¿ Hipotenusa
Cos ∡C ¿
Tan ∡C Cateto opuesto ¿ Cateto adyacente
Tan ∡C ¿
8 10
=53,130…. 6 10
SHIFT cos (
6 ) 10
=53,130…. 8 6
SHIFT tan (
8 6
)=53,130….
6 10
SHIFT sin (
8 10
SHIFT cos (
6 8
8 ¿ 10
SHIFT sin (
6 10 )=36,869…. 8 10
)=36,869…. SHIFT tan (
6 8
)=36,869….
SHIFT 53 ° 7 ´ 48,37 ´ ´ SHIFT 53 ° 7 ´ 48,37 ´ ´ SHIFT 53 ° 7 ´ 48,37 ´ ´
SHIFT 36 ° 52 ´ 11,63 ´ ´ SHIFT 36 ° 52 ´ 11,63 ´ ´ SHIFT 36 ° 52 ´ 11,63 ´ ´
EJEMPLO 4: En el triángulo rectángulo RST, t= 12, R= 32°. Hallar los elementos que faltan (T, s, r). Para hallar el valor del ángulo T, recordemos que:
∡ R+ ∡ S +∡ T =180 ° T= 180° - R – S T= 180° - 32° - 90° T= 58°
Una vez encontrado el ángulo T, se puede proceder a encontrar el valor de r y s, aplicando las razones trigonométricas, es decir el Seno, Coseno o Tangente según sea el caso. En éste ejercicio para hallar el valor de r, se puede realizar de las siguientes maneras: Tan 32°
Tan 58° r
Tan 32°= 12
Tan 58°=
12 r
Despejamos r, entonces Despejamos r, entonces tenemos: tenemos: ( tan32 °)(12)=r 7,49=r
( tan58 ° )( r)=12 r=
r=7,49
12 tan58 °
r=7,49
De igual manera para hallar el valor de s, se puede realizar de las siguientes maneras:
Sen 32°
Cos 32°
Cos 58°
Teorema Pitágoras
de
Sen 32°=
s=
7,49 s
7,49 Sen 32°
s=14,13
12 s
Cos 32°=
s=
Cos 58°=
12 cos 32°
s=
s=14,15
7,49 s
7,49 cos 58°
s=14,13
h= √ a2+ b2 h= √122 +7,492
h= √ 200,1 h=14,14
EJEMPLO 5: Un obrero tiene una escalera de 12m. ¿Qué ángulo β debe hacerle formar con el suelo, si quiere alcanzar una altura de 6m? Sen β=
6 12
Para despejar β , se debe pasar a la operación inversa del Seno. β=Sen−1
( 126 )
y cómo llegamos a Sen−1
Tomamos la calculadora y presionamos SHIF sin 6
( 10 ) = 30, después SHIFT y la tecla de grados, minutos y segundos. De donde: β=30 °
ACTIVIDAD 2 1. En el triángulo rectángulo RST, r = 9, R = 28 ° . Hallar los elementos que le faltan ( T , s , t ) . 2. En el triángulo rectángulo ABC, b = 12, A = 5º. Hallar los elementos que le faltan, C, a, c.
3. Un obrero tiene una escalera de 8m. ¿Qué ángulo β debe hacerle formar con el suelo, si quiere alcanzar una altura de 5m? 4. En un triángulo isósceles cada uno de sus lados iguales miden 15cm y sus ángulos iguales son de 43 0. Encontrar el área del triángulo. 5. Si la altura de un triángulo isósceles es igual a 23cm, el ángulo opuesto a la base es de 800. Encontrar el perímetro del triángulo. 6. En un triángulo equilátero la altura es igual a 17,5 cm. Encontrar el perímetro del triángulo. ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN ÁNGULO DE ELEVACIÓN: Es el ángulo que se forma entre la visual de un observador que mira hacia arriba y la horizontal. ÁNGULO DE DEPRESIÓN: Es el ángulo que se forma entre la visual de un observador que mira hacia abajo y la horizontal.
EJEMPLO 6: La medida del ángulo de depresión desde lo alto de una torre de 34 m de altura hasta un punto K en el suelo es de 80º. Calcule la distancia aproximada del punto K a base de la torre.
EJEMPLO 7: Un turista observa la parte más alta de un edificio de 15 m de altura, con un ángulo de elevación de 24º. Si realiza la observación con unos binoculares que sostiene a 1,75 m del suelo, calcule la distancia aproximada entre el turista y la parte más alta del edificio.
EJEMPLO 8: Una mujer con una estatura de 1,64 m proyecta su sombra en el suelo. Si el ángulo de elevación que se forma desde la punta de la sombra hasta la mujer es de 42º, entonces, calcule la longitud aproximada de la sombra.
ACTIVIDAD 3 1. Un hombre observa desde el suelo la torre de un edificio de 23 m de altura. Si el ángulo que forma la visual es de 45º, ¿a qué distancia x del edificio se encuentra el hombre? 2. Un piloto de un barco observa al vigía de un faro con un ángulo de elevación de 32º. Si la altura del faro es de 135 m, calcular la distancia del faro al barco, y la visual del piloto. 3. De la cima de un faro de 8 m de alto se divisa una lancha con un ángulo de depresión de 30º. Calcula la distancia entre la lancha y el pie del faro. 4. Un electricista subido en un poste, observa a su ayudante que está en el piso a 25 metros del pie del poste, con un ángulo de depresión de
2 π rad .. Calcular la altura del poste. 9
5. Un hombre de 1.75 m de estatura observa la parte alta de un poste de 18.25 m de altura, con un ángulo de elevación de 30°. ¿La distancia horizontal que hay entre el hombre y el poste es?
6. Se desea construir una rampa para alcanzar una altura de 0,75 metros. Si el ángulo de inclinación es de 5°. ¿A qué distancia de la entrada debe comenzar la rampa?
Ejercicios a resolver: Escoger: 2 ejercicios de la Actividad 1 4 ejercicios de la Actividad 2 4 ejercicios de la Actividad 3