2.1.
A (dokładniej macierzą dwuskładnikową) nazywamy funkcję dwóch zmiennych, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) przyporządkowuje dokładnie jeden element ai j będący liczbą rzeczywistą lub zespoloną, lub operatorem (np. różniczkowania), bądź wielomianem. Macierz zapisujemy w postaci tablicy
lub krócej jako A = [ai j], i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n; A m×n . Element ai j znajduje się w i-tym wierszu oraz w j-tej kolumnie macierzy.
Macierz prostokątną, której liczba kolumn jest równa jeden (n = 1), nazywamy macierzą kolumnową, którą można traktować jako m-wymiarowy wektor kolumnowy. Macierz prostokątną, której liczba wierszy wynosi jeden (m = 1), nazywamy macierzą wierszową, którą można traktować jako n-wymiarowy wektor wierszowy. Traktując kolumny macierzy jako m-wymiarowe wektory
RYSUNEK 3.1.
RYSUNEK 3.2.
Wygodnie jest rozpatrywać graf spójny G jako sumę dwóch podgrafów T i T : TTG ∪=
gdzie:
T – dendryt, T – dopełnienie dendrytu do grafu G.
Naturalnym opisem podgrafu T jest zbiór cięciw zwany kodrzewem. Graf przedstawia się zwykle na płaszczyźnie za pomocą zbioru punktów odpowiadających węzłom oraz dla każdej krawędzi {x, y} ((x, y) w przypadku grafu skierowanego) linii łączącej punkty odpowiadające x i y (w przypadku grafu skierowanego zaznacza
się dodatkową orientację od x do y za pomocą strzałki). Strukturę dowolnej sieci można przedstawić jako graf lub w postaci macierzowej.
3.1.
Niech G będzie grafem bez pętli własnych, o n węzłach i m krawędziach. Utwórzmy macierz o wymiarach n m, A = [aij] w taki sposób, że elementy macierzy przyjmują wartości 0 i 1 według zasady:
jeśli j-ta krawędź jest incydentna do i-tego węzła w przeciwnym razie aij = ⎧ ⎨ ⎩ 1 0 , ,
Macierz A nazywa się macierzą incydencji węzłów i krawędzi Macierz incydencji węzłów i krawędzi jest macierzą zero-jedynkową Dla danej reprezentacji geometrycznej grafu bez pętli własnych możemy zapisać jego macierz incydencji. Z kolei, jeśli mamy daną macierz incydencji A, to w sposób jednoznaczny możemy skonstruować odpowiadający jej graf geometryczny G. Macierz incydencji i graf geometryczny są po prostu dwoma alternatywnymi sposobami reprezentacji tego samego grafu. Przykładowy graf i jego macierz incydencji A jest przedstawiona na rys. 3.3. abcde
RYSUNEK 3.3.
Własności macierzy incydencji węzłów i krawędzi: ponieważ każda krawędź jest incydentna do dokładnie dwóch węzłów, każda kolumna macierzy A zawiera dokładnie dwie jedynki, liczba jedynek w każdym wierszu równa jest stopniowi odpowiadającego mu węzła, wiersz z samych zer reprezentuje węzeł izolowany, krawędzie równoległe w grafie tworzą identyczne kolumny w jego macierzy incydencji,
RYSUNEK 7.7.
RYSUNEK 7.6.
Równania nieustalonego przepływu gazu zapisujemy w formie
gdzie:
QN – przepływ w warunkach normalnych, p – ciśnienie, N – gęstość w warunkach normalnych, c – prędkość dźwięku w gazie, f – współczynnik oporu hydraulicznego ‒ Fanninga ( = 4f, – współczynnik oporu hydraulicznego Darcy’ego-Wesbacha), D – średnica wewnętrzna gazociągu, A – pole przekroju poprzecznego gazociągu.
Jest to model hiperboliczny – izotermiczny. Odpowiadające modelowi równania charakterystyk są postaci:
gdzie c jest prędkością dźwięku w gazie. Powyższe równania tworzą siatkę charakterystyk w przedziałach: t [0,t ], x [0,L]. Przy aproksymacji liniowej nachylenie prostych aproksymujących krzywe charakterystyczne spełnia warunek
Równania (3), (5) przekształcamy do postaci: