Klasyczna skórzana piłka nożna jest zszyta z 20 białych sześciokątów i 12 czarnych pięciokątów. Te magiczne liczby odpowiadają liczbie ścian i wierzchołków dwunastościanu foremnego, którego czerwone krawędzie zostały narysowane na piłce Europass po prawej stronie.
Istnieje wiele teorii mówiących, dlaczego piłka nożna została zaprojektowana jako ścięty dwudziestościan. Można by przecież wybrać sześcian lub inny wielościan archimedesowy lub foremny. Jednak w porównaniu do innych brył o podobnym stosunku promienia do kuli, klasyczna piłka nożna minimalizuje stosunek
Klasyczna symetria piłki nożnej
promieni kuli wpisanej do kuli opisanej, liczbę krawędzi przypadających na wierzchołek (3), a także liczbę skórzanych łat (32) i szwów (90). Dzięki temu klasyczna piłka nożna jest pod wieloma względami optymalna.
Pomimo różnic, piłki używane podczas Mistrzostw Świata w 2006 roku (Teamgeist) i Mistrzostw Europy w 2008 roku (Europass) wykazują wyraźne podobieństwa do klasycznej piłki futbolowej. Aby to zilustrować, krawędzie dwunastościanu zostały pomalowane na czerwono, a na niebiesko zaznaczono krawędzie sześcianu, którego ściany odpowiadają
V. Braungardt, D. Kotschick Die Klassifikation von Fußballmustern Math. Semesterberichte, 2007, 54:53-68 adidas AG Adidas Spielball der UEFA EURO 2008 Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Point_groups_in_three_dimensions
Europass na Mistrzostwa Europy 2008 z symetriami
Sześcian z symetrią kryształu pirytu
Budowa piłki nożnej Europass od sześcianu przez dwunastościan pirytu do okrągłej kuli
kolejno jednemu kołnierzowi i dwóm ścianom dwunastościanu.
Piłki Teamgeist z 2006 roku oraz Europass z 2008 roku mają symetrię zbliżoną do kryształu pirytu. Podobnie jak dwunastościan foremny, kryształ pirytu składa się z dwunastu pięciokątów, jednak w przypadku kryształu pirytu pięciokąty mają różne długości boków i są połączone w pary wzdłuż najkrótszych krawędzi. W efekcie współczesne piłki nożne mają zredukowaną symetrię w porównaniu do klasycznej piłki, złożonej z pięciokątów i sześciokątów.
Sekwencja obrazów na tej stronie przedstawia proces konstrukcji piłki Europass oparty na symetrii sześcianu. Na początku, ściany sześcianu uzyskują orientację
obracając się o 90° względem sąsiadujących ścian. Na drugim rysunku na sześcian nakłada się dwunastościan o symetrii pirytu, przy czym pary pięciokątów są przypisane do każdej ściany sześcianu. Kolejne etapy zaokrąglania prowadzą do uzyskania finalnej formy piłki nożnej, co jest widoczne na poniższych rysunkach.
Proces produkcji piłki firmy Adidas jest ciekawy. Najpierw tworzy się wewnętrzną gumową powłokę w kształcie dwunastościanu, do której następnie przykleja się sześć kołnierzy i osiem narożnych gwiazd.
Oczywiście, matematyczna analiza właściwości symetrii współczesnych piłek nożnych nie daje bezpośrednich informacji o ich fizycznych zaletach, które są badane w inny sposób.
Modele płaszczyzny rzutowej
Graficzna reprezentacja płaszczyzny rzutowej według Wernera Boya
Z geometrycznego punktu widzenia płaszczyzna rzutowa jest powierzchnią o stałej krzywiźnie 1, podobnie jak kula, jednakże nie jest orientowalna. Tak jak w przypadku wstęgi Möbiusa, można przejść z wewnętrznej strony na zewnętrzną. Nazwa „rzutowa” pochodzi z bardziej abstrakcyjnego opisu: płaszczyzna rzutowa jest również zbiorem wszystkich prostych w przestrzeni trójwymiarowej, które przechodzą przez początek układu współrzędnych.
F. Apéry Models of the Real Projective Plane Vieweg, 1987
A. Dharwadker www.eg-models.de/2003.05.001 Heptahedron and Roman Surface
U. Pinkall Modelle der reellen projektiven Ebene in: G. Fischer, Mathematische Modelle, Vieweg, 1986
Dlaczego zatem ta rodzina prostych jest powierzchnią? Każda z tych prostych przecina kulę jednostkową w dwóch punktach i można je zatem reprezentować przez punkt na górnej półkuli. Sąsiednie punkty odpowiadają wtedy sąsiednim prostym. W zasadzie górna półkula jest już dobrym modelem, jednak wybór punktów na równiku nie jest taki prosty: przeciwległe punkty na równiku reprezentują tę samą prostą, a my potrzebujemy tylko jednego z tych dwóch punktów. Dlatego łączymy przeciwległe punkty równika. Wraz z połączeniem punktów na równiku górna półkula staje się modelem dla płaszczyzny rzutowej.
Ale zaraz – zszywanie po przekątnej prowadzi do prawdziwego zamieszania w okolicach równika! To prawda, i z tego powodu matematycy przez wiele lat poszukiwali szczególnie
Powierzchnia Steinera-Römera
uporządkowanych modeli płaszczyzny rzutowej. Werner Boy, uczeń Davida Hilberta, pierwszy znalazł model wolny od osobliwości. Z kolei kaptur krzyżowy oraz powierzchnia Römera, odkryta przez Jakoba Steinera w 1844 roku, mają osobliwości. Dyskretna wersja powierzchni Steinera to siedmiościan z zaledwie sześcioma wierzchołkami i siedmioma ścianami.
Wszystkie te nieorientowalne modele mają wspólną cechę: każdy z nich zawiera wstęgę Möbiusa, wzdłuż której można przejść od wnętrza na zewnątrz. Poza tym, innym sposobem na zobrazowanie płaszczyzny rzutowej jest: weźmy wstęgę Möbiusa i przekształćmy ją w zamkniętą powierzchnię, przykrywając ją dyskiem, który zakrywa jej jedyną krawędź.
Kaptur krzyżowy
Siedmiościan
Miejsca zerowe wielomianów
na płaszczyźnie zespolonej
Rysunki autorstwa Jonathana Borweina, Loki Jorgensena
J.E. Littlewood Some Problems in Real and Complex Analysis Heath Mathematical Monographs, 1968
Zera wielomianów –1/+1 do stopnia 18
Kolorowanie według wrażliwości wielomianów na małe zmiany miejsc zerowych. W obszarze fioletowym wielomiany zmieniają się najbardziej od miejsc zerowych do miejsc zerowych
Kolorowanie według lokalnej gęstości miejsc zerowych. W żółtym, pierścieniowym obszarze wokół okręgu jednostkowego miejsca zerowe są najgęściej rozmieszczone
Przyjrzymy się rozkładowi miejsc zerowych szczególnie prostych wielomianów. W tym celu ograniczymy się do wielomianów zmiennej zespolonej, których współczynniki ai są wyłącznie liczbami –1 i 1:
ƒ( )
Istnieje 2n + 1 różnych wielomianów dla stopnia n. Na przykład dla stopnia 1 istnieją cztery wielomiany
Kolorowanie według wrażliwości miejsc zerowych na ciągłą zmianę współczynnika a9. Dla radialnych struktur pasmowych nie ma jeszcze matematycznego wyjaśnienia , – , – , – –
z miejscami zerowymi –1 i +1. Od stopnia 2 występują również zerowe miejsca zespolone, takie jak jednostka urojona –i oraz +i jako miejsca zerowe wielomianu
Na lewym rysunku przedstawiono pierwiastki wszystkich wielomianów o współczynnikach –1 i +1 do stopnia 18. Całkowity zbiór miejsc zerowych tworzy fraktalny obraz w płaszczyźnie zespolonej, który rozciąga się w przybliżeniu w zakresie od –1,5(1 + i) do 1,5(1 + i). Kolorystyka użyta do kodowania obrazu odzwierciedla stabilność miejsc zerowych przy niewielkiej, rzeczywistej zmienności współczynnika a3, gdzie kolor czerwony oznacza słabą zależność, a zielony silną zależność. Z tych obrazów można wyodrębnić nowe ważne informacje, takie jak puste przestrzenie wokół pierwiastków z jedności, które wcześniej były nieznane.
W teorii liczb rozkłady miejsc zerowych stanowią ważne narzędzie w badaniu funkcji, co jest również omawiane w kontekście funkcji zeta Riemanna (patrz strona 46).
