Spistreści
Wstęp.. ..........................................................6
1.Informacjepodstawowe .......................................10
Rozwiązania zadań
2.Aproksymacjawprzestrzeniachmetrycznych ..................19109
3.Aproksymacjawprzestrzeniachunormowanych... ............23118
4. Istnienieelementunajlepszejaproksymacjiijego ciągłazależnośćodelementuaproksymowanego ...............26127
5.AproksymacjawhiperpłaszczyznachprzestrzeniBanacha.....29135
6.Ścisławypukłośćprzestrzeniunormowanych. .................34148
7. Jednostajnailokalniejednostajnawypukłośćprzestrzeniunormowanych.. ......................................37156
8.Aproksymacjawprzestrzeniachunitarnych.. ..................41168
9.Aproksymacjawprzestrzeniachoperatorów.. .................44177
10.Twierdzeniacharakteryzująceelementnajlepszejaproksymacji47182
11.Silnajedynośćelementunajlepszejaproksymacji ..............51193
12.ProjekcjeminimalnewprzestrzeniachBanacha ................54201
13.PrzestrzenieHaara... .........................................59213
14.Kryteriaaproksymacyjnewprzestrzeniachfunkcjiciągłych ....63223
15. Zastosowaniakryteriówaproksymacyjnychwprzestrzeniachfunkcjiciągłych.. ..................................69238
16.WielomianyCzebyszewa ......................................72248
17. WielomianyCzebyszewawzagadnieniachaproksymacjifunkcjiciągłych .......................................76258
18.Interpolacjawielomianowa. ...................................80268
19.Aproksymacjazapomocąoperatorówdodatnich ..............85280
20. Aproksymacjawprzestrzenifunkcjiokresowych ioperatorytypuFouriera .....................................90291
21.Oszacowaniaszybkościaproksymacjiwielomianowej ...........95302
22.Nierównościwielomianowe ....................................100313
23.Geometriawielomianów.. .....................................105324
Literatura. .......................................................331
Skorowidz........................................................334
Informacjepodstawowe
Pierwszyrozdziałpoświęconyjestwprowadzeniukluczowychpojęćteoriiaproksymacji,którebędąwielokrotniepojawiaćsięwzadaniachtegozbioruiktórych znajomośćjestkoniecznadozrozumieniadalszejczęści.Podamyrównieżpewną niewielkąliczbęniezbędnychoznaczeń,którebędąobowiązywaćwkolejnych rozdziałachtejksiążki.Innepotrzebnepojęciaioznaczeniabędąwprowadzane wtychrozdziałach,wktórychbędąobowiązywać.Teoriaaproksymacjijest dziedziną,którajestściślezwiązanazinnymidziałamimatematykiidlatego będąnampotrzebnerównieżpewnepodstawowe informacjezanalizymatematycznej,funkcjonalnejizespolonej.Wceluusystematyzowaniapotrzebnej wiedzy,podajemywtymrozdzialekilkatwierdzeńztychdziedzin.Niebędziemy ichdowodzić,aledowodymożnabezproblemuznaleźćwklasycznejliteraturze. Niemapotrzebydogłębnegoichstudiowaniaprzedprzystąpieniemdorozwiązywaniazadań,gdyżnapoczątkukażdegorozdziałupodajemyinformacjeotym, któretwierdzeniamogąokazaćsięużyteczne.Oprócztego,pewnedodatkowe twierdzeniapodajemyjużwkonkretnychrozdziałach.
Zbiórliczbnaturalnych,rozumianywtymwypadkujakozbiórliczbcałkowitychdodatnichbędziemyoznaczaćprzez N.Zbiórliczbcałkowitychnieujemnych będziemyoznaczaćjako N0 .Symbol Z oznaczanatomiastzbiórwszystkichliczb całkowitych.
Przestrzeniemetryczne
Abymówićoaproksymowaniu,czyliprzybliżaniupewnychobiektów,musimymiećmożliwośćmierzeniaodległości.Pojęciateoriiaproksymacjimająwięc senstylkowsytuacji,gdydysponujemyconajmniejmetryką,czyliwtakzwanychprzestrzeniachmetrycznych.Jeżeli X jestniepustymzbiorem,tofunkcję d : X × X → R nazywamy metryką w(lubna) X ,gdyspełnionesąwarunki: (a) d(x,y ) 0 dladowolnych x,y ∈ X ,arówność d(x,y )=0 zachodziwtedy itylkowtedy,gdy x = y
Aproksymacjawprzestrzeniachoperatorów
Spośródwielurodzajówklasprzestrzeniunormowanych,szczególnąrolęodgrywająprzestrzenieoperatorówliniowychdziałającychpomiędzynimi.Wtym rozdzialeskupimysięnazagadnieniachaproksymacyjnychwłaśniewprzestrzeniachoperatorów.Jeżeli (X, · X ) i (Y, · Y ) sąprzestrzeniamiunormowanymi, todefiniujemyprzestrzeńunormowaną (L(X,Y ), · ) jakoprzestrzeńoperatorówliniowychiciągłych T : X → Y zestandardowanormąoperatorową, czyli T = supx∈BX T (x) Y .Okazujesię,żetakaprzestrzeńzawszejest przestrzeniąBanacha,oiletylko Y jestprzestrzeniąBanacha(zadanie9.1). Wszczególności,przestrzeńdualnadodowolnejprzestrzeniunormowanejjest przestrzeniąBanacha.
Przestrzenieoperatorówsągeneralniebardzodalekieodposiadaniawłasnościścisłejwypukłości(pomijającpewneprzypadkiszczególne).Większośćzadań ztegorozdziałudotyczyproksyminalnościpewnychpodzbiorówprzestrzeni operatorów,cojakwiemyzpoprzednichrozdziałów,możnauzyskać,opierając sięraczejnawłasnościachtopologicznych.Możnajednakudowodnić,żepewnejednowymiarowepodprzestrzeniesąCzebyszewawprzestrzenioperatorów pomiędzyrzeczywistymiprzestrzeniamiHilberta(zadanie9.8).Zadanie9.7 służytujakowskazówka.Doobydwutychzadańprzydadząsiępodstawowe własnościprzestrzeniściślewypukłychzrozdziału6.Oprócztego,dorozwiązywaniainnychzadańwartoprzypomniećsobiezadanie4.1itwierdzenie4 (Banacha–Alaouglu)zrozdziałupierwszego.Możnabędzierównieżwykorzystać następującedwatwierdzenia:o ∗-słabejzbieżnościiTichonowa.
Twierdzenie19 (O ∗-słabejzbieżności). Niech (X, · ) będzieprzestrzenią Banacha.Jeżeliciąg (fn )∞ n=1 funkcjonałówzprzestrzeni X ∗ jestzbieżnywtopologii ∗-słabejdo f ∈ X ∗ ,to f ∗ liminf n∈N fn ∗ .Analogicznawłasność zachodzidla ∗-słabozbieżnychciągówuogólnionych.
Twierdzenie20 (Tichonowa). Iloczynkartezjańskidowolnejrodzinyprzestrzeni topologicznychzwartychjestzwarty.
Zadanie9.1. Niech X i Y będąprzestrzeniamiunormowanyminadciałem K. Wykazać,żejeżeli Y jestprzestrzeniąBanacha,toprzestrzeńoperatorów L(X,Y ) równieżjestprzestrzeniąBanacha.
Zadanie9.2. Niech X,Z będąprzestrzeniamiBanacha,a M> 0 dowolną stałą.Niech
BM = {L ∈L(X,Z ∗ ): L M } .
Wzbiorze BM definiujemytopologię τ wnastępującysposób:zbieżnośćciągu uogólnionegowzględem τ : Lt →τ L zachodziwtedyitylkowtedy,gdydla dowolnego x ∈ X mamyzbieżność Lt (x) → L(x) w ∗-słabejtopologiiw Z ∗ . Wykazać,żeprzestrzeńtopologiczna (BM ,τ ) jestzwarta.
Zadanie9.3. Niech X,Z będąprzestrzeniamiBanacha,a V ⊆L(X,Z ∗ ) zbioremniepustymidomkniętymwzględemtopologii τ zdefiniowanejanalogiczniejakwpoprzednimzadaniu.Wykazać,że V jestzbioremproksyminalnym w L(X,Z ∗ ).
Zadanie9.4. Niech X,Z będąprzestrzeniamiBanacha, Y1 ⊆ Z ∗ podprzestrzeniądomkniętąw ∗-słabejtopologii,a X1 podprzestrzeniądomkniętą X. Definiujemyprzestrzeń LX1 (X,Y1 ) jako
LX1 (X,Y1 )= {L ∈L(X,Z ∗ ): L(X ) ⊆ Y1 ,L|X1 ≡ 0}.
Udowodnić,żepodprzestrzeń LX1 (X,Y1 ) jestproksyminalnaw L(X,Z ∗ ).
Zadanie9.5. Niech X,Z będąprzestrzeniamiBanacha, A ⊆ X niepustym zbiorem,a B ⊆ Z ∗ zbioremdomkniętymw ∗-słabejtopologii.Niech
U = {L ∈L(X,Z ∗ ): L(A) ⊆ B }
Wykazać,że U jestzbioremproksyminalnymw L(X,Z ∗ ).
Zadanie9.6. Niech X,Z będąprzestrzeniamiBanacha, n 1 liczbącałkowitą, natomiast x1 ,x2 ,...,xn ∈ X oraz z1 ,z2 ,...,zn ∈ Z dowolnymiwektorami. Liczbyrzeczywiste a1 ,a2 ,...,an oraz b1 ,b2 ,...,bn spełniająnierówności ai bi dla 1 i n.Niech
U = {L ∈L(X,Z ∗ ):(Lx)zi ∈ [ai ,bi ] dla 1 i n}
Dowieść,że U jestzbioremproksyminalnymw L(X,Z ∗ )
Zadanie9.7. (*)Danajestrzeczywistaskończeniewymiarowaprzestrzeńunormowana X orazściślewypukłaprzestrzeńunormowana Y .Niech S,T : X → Y będąoperatoramiliniowymitakimi,że T jestoperatoremróżnowartościowym orazspełnionajestrówność
S r0 T = S
dlapewnejliczby r0 > 1.Wykazać,że S T < S .
Zadanie9.8. (*)DanesąrzeczywisteprzestrzenieHilberta H1 ,H2 takie,że dim H1 < ∞ oraz dim H1 dim H2 .Niech T : H1 → H2 będzieoperatorem liniowym,któryniejeststalerówny 0.Udowodnić,żerozpięcieliniowe lin{T } jestzbioremCzebyszewawprzestrzeni L(H1 ,H2 ) wtedyitylkowtedy,gdy operator T jestróżnowartościowy.
