Wstęp4
1.Zero6
2.Systemyliczbowe11
3.Ułamki16
4.Kwadratyipierwiastki21
5.π27
6.e32
7.Nieskończoność38
8.Liczbyurojone43
9.Liczbypierwsze48
10.Liczbydoskonałe54
11.LiczbyFibonacciego59
12.Złoteprostokąty64
13.TrójkątPascala69
14.Algebra74
15.AlgorytmEuklidesa79
16.Logika84
17.Dowód89
18.Zbiory95
19.Rachunek100
20.Konstrukcje106
21.Trójkąty111
22.Krzywe116
23.Topologia121
24.Wymiar126
25.Fraktale131
26.Chaos136
27.Postulatrównoległości141
28.Geometriadyskretna146
29.Grafy151
30.Problemczterechbarw156
31.Prawdopodobieństwo161
32.WzórBayesa166
33.Problemurodzin171
34.Rozkłady176
35.Krzywanormalna181
36.Łączeniedanych186
37.Genetyka191
38.Grupy196
39.Macierze201
40.Kodyiszyfry206
41.Kombinatoryka211
42.Kwadratymagiczne216
43.Kwadratyłacińskie221
44.Matematykapieniądza226
45.Problemdiety231
46.Problemkomiwojażera236
47.Teoriagier241
48.Względność246
49.WielkieTwierdzenieFermata251
50.HipotezaRiemanna256
Słowniczek261
Indeks263
Dziesiętneliczbynaturalne Gdy mówimy „liczba”, wsposób naturalny rozumiemy „liczba dziesiętna”. System dziesiętny opiera się na liczbie dziesięć icyfrach 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i9. Wistocie rzeczy opiera się on na „dziesiątkach” i„jednościach”, ale jedności także mogą być reprezentowane jako liczby opodstawie równej 10. Zapisując liczbę 394, możemy określić jej znaczenie, mówiąc, iż składa się ona z3 setek, 9 dziesiątek i4jedności, moglibyśmy ją nawet tak zapisać:
394 = 3 ∙ 100 + 9 ∙ 10 + 4 ∙ 1
To samo możemy przedstawić za pomocą potęg liczby 10:
394 = 3 ∙ 102 + 9 ∙ 101 + 4 ∙ 100, gdzie 102 = 10 ∙ 10, 101 = 10, aponadto umawiamy się, że 100 = 1. Wtakim zapisie łatwiej dostrzec dziesiętną podstawę naszego codziennego systemu liczbowego – systemu, dzięki któremu dodawanie imnożenie stają się przejrzyste.
Przecinekdziesiętny Do tej pory zajmowaliśmy się zapisem liczb całkowitych. Ajak system dziesiętny radzi sobie zczęściami liczb, takimi jak 572 1000 ?
——572572 = –—+ –— + ——. 1000101001000
„Odwrotności” liczb 10, 100, 1000 możemy traktować jako ujemne potęgi liczby 10. Wtedy otrzymujemy:
572 —— = 5 ∙ 10–1 + 7 ∙ 10–2 + 2 ∙ 10–3, 1000
co można przedstawić wpostaci 0,572. Przecinek dziesiętny wskazuje, gdzie zaczynają się ujemne potęgi liczby 10. Gdy dopiszemy otrzymany wynik do dziesiętnego zapisu liczby 394, otrzymamy dziesiętne rozwinięcie liczby 394 572 , czyli po prostu 394,572. 1000
Zapis dziesiętny dużych liczb może być bardzo długi. Wtakich wypadkachmożemy posłużyć się tzw. notacją naukową. Na przykład liczbę 1356936892 możemy zapisać jako 1,356936892 ∙ 109, co wkalkulatorach lub na ekranie komputera przybiera często postać 1,356936892 ∙ 10E9.
Wykładnik potęgi, 9, jest ojeden mniejszy od liczby cyfr wzapisie liczby, natomiast litera Ejest pierwszą literą angielskiego słowa „exponent”, czyli „wykładnik”. Niekiedy potrzebujemy jeszczewiększych liczb, na przykład by zapisać liczbę atomów wodoru wobserwowalnym wszechświecie. Szacuje się ją na około 1,7 ∙ 1077. Zkolei 1,7 ∙ 10–77 (zujemnymwykładnikiem) jest liczbą bardzo małą izapisanie jej za pomocą notacji naukowej nie sprawiło zbyt dużych trudności. Gdybyśmy mieli operować symbolami rzymskimi, nie potrafilibyśmy sobie nawet wyobrazić takich liczb.
Zeraijedynki Oile podstawa równa 10 jest stosowana na co dzień, otyle wniektórych zastosowaniach wygodniej używać innych podstaw. Potęga informatyki bierze się zsystemu dwójkowego (zwanego też binarnym), wktórym podstawa jest równa 2. Uroda tego systemu polega na tym, że każdą liczbę można zapisać za pomocą tylko dwóch cyfr: 0 i1. Ceną za tę oszczędność cyfr są bardzo długie wyrażenia, którymi zapisujemy liczby.
Jak wygląda liczba 394 wzapisie binarnym? Tym razem mamy do czynienia zpotęgami dwójki, więc po niezbędnych obliczeniach otrzymamy postać następującą:
Wypisując kolejno otrzymane zera ijedynki, stwierdzamy, że binarnym zapisem liczby 394 jest 110001010.
Wyrażenia binarne bywają bardzo długie, dlatego wobliczeniach informatycznych stosuje się także inne podstawy systemów liczbowych, na przykład system ósemkowy (zpodstawą równą 8) lub szesnastkowy (zpodstawą równą 16). Wsystemie ósemkowym potrzebujemy jedynie ośmiu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, podczas gdy wszesnastkowym używamy aż szesnastu symboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Symbolowi Aodpowiada liczba 10, zatem wsystemie szesnastkowym liczba 394 przybiera postać 18A. Proste jak ABC, które – zauważmy – jest wsystemie dziesiętnym równe 2748!
Dokładnawartośćπ Nigdy nie poznamy dokładnej wartości π, ponieważ jest to liczba niewymierna, co w1768 roku udowodnił szwajcarski uczony Johann Lambert. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone inie widać wnim żadnego przewidywalnego wzorca. Oto pierwszych 20 miejsc po przecinku: 3,14159265358979323846... Stosowana przez chińskich matematyków wartość √10 to 3,16227766016837933199 itaką wartość przyjął Brahmagupta około 500 roku n.e. Jest to nieco lepsze przybliżenie niż okrągła liczba 3, lecz różni się od rzeczywistej wartości π już na drugim miejscu po przecinku.
Do wyznaczenia wartości π można użyć szeregów liczbowych. Znany wzór podaje następujące przybliżenie:
ale otrzymana suma zbliża się do π niezwykle wolno, przez co wzór ten zupełnie nie nadaje się do obliczeń. Euler znalazł piękny szereg zbieżny do π: π2 11111
622 32 42 52 62
Geniusz-samouk Srinivasa Ramanujan odkrył kilka zachwycających wzorów przybliżających wartość π. Wzór odwołujący się jedynie do pierwiastka kwadratowego z2 wygląda następująco:
9801 —— √2 = 3,1415927300133056603139961890... . 4412
Liczba π fascynuje matematyków. Lambert udowodnił, że nie może ona być ułamkiem, natomiast w1882 roku niemiecki matematyk Ferdinand von Lindemann rozwiązał najciekawszy problem dotyczący liczby π. Wykazał mianowicie, że π jest „przestępna”, co znaczy, że nie jest rozwiązaniem żadnego równania algebraicznego* (równania, wktórym występu-
* Owspółczynnikach wymiernych (przyp. tłum.)
170617611882
William Jonse wprowadza Lambert dowodzi, Lindemann dowodzi, do użytku symbol π.że π jest liczbą niewymierną.że π jest liczbą przestępną.
ją tylko potęgi niewiadomej x). Rozwiązując ten „problem stuleci”, Lindemann zamknął również kwestię kwadratury koła. Zadanie polegało na tym, by dla danego koła skonstruować kwadrat otym samym polu, korzystając jedynie zcyrkla ilinijki bez skali. Lindemann wykazał ostatecznie, że taka konstrukcja jest niewykonalna. Dzisiaj zwrot „kwadratura koła” oznacza coś absolutnie niemożliwego.
Obliczanie dokładnej wartości π postępowało coraz szybciej. W1853 roku William Shanks ogłosił jej poprawną wartość aż do 607. miejsca po przecinku (choć wrzeczywistości zgodność kończyła się na 527. miejscu). We współczesnych czasach poszukiwanie coraz dokładniejszego rozwinięcia liczby π nabrało znacznego przyspieszenia dzięki technice komputerowej. W1949 roku obliczono π zdokładnością do 2037. miejsca po przecinku, co zajęło 70 godzin pracy komputera ENIAC. Do 2002 roku obliczono π do porażającego 1241100000000. miejsca po przecinku, ale ogon liczby π wciąż przyrasta. Gdybyśmy stanęli na równiku izaczęli spisywać rozwinięcie π, wynik Shanksa zająłby „aż” 14 metrów, natomiast długość rozwinięcia z2002 roku pozwoliłaby opasać kulę ziemską 62 razy!*
Zadano już wiele pytań na temat π, udzielono też wielu odpowiedzi. Czy cyfry liczby π są rozmieszczone losowo? Czy można znaleźć wjej rozwinięciu każdy dowolnie zadany ciąg cyfr? Na przykład, czy wrozwinięciu występuje fragment 0123456789? Wlatach 50. XX wieku odpowiedź wydawała się pozostawać poza zasięgiem człowieka. Wśród znanych 2000 cyfr rozwinięcia nikt takiego ciągu nie odnalazł. L.E.J. Brouwer, wybitny matematyk holenderski, uznał pytanie za pozbawione sensu, gdyż wierzył, że odpowiedź jest poza naszym doświadczeniem. Jednak w1997 roku odnaleziono te cyfry; szukany ciąg zaczyna się na 17387594880. miejscu po przecinku lub, posługując się przenośnią zdługością równika, około 5000 km przed końcem pierwszej rundy dookoła świata. Dziesięć szóstek obok siebie można znaleźć przed przejechaniem 1000 km, jednak całej rundy ijeszcze prawie 5800 km potrzeba, by trafić na dziesięć siódemek.
* Ze strony http://www.numberworld.org/y-cruncher/ można ściągnąć program obliczający kolejne cyfry rozwinięcia π. Obecnie (2019 r.) potwierdzono obliczenie 31,4 biliona cyfr po przecinku (przyp. konsultanta).