Spistre´sci
0.1.Reprezentacjefigurgeometrycznych.....................19
0.2.Reprezentacjekrzywychipowierzchniparametrycznych..........20
0.3.ZadanieinterpolacyjneLagrange’a......................24
0.3.1.AlgorytmAitkena..........................24
0.3.2.Własno´sciwielomianowychkrzywychinterpolacyjnych......26
1.KrzyweBéziera
1.1.AlgorytmdeCasteljau............................29
1.2.WielomianyBernsteina............................30
1.3.Własno´sciwielomianówBernsteina.....................32 1.4.Podwyzszeniestopnia.............................36 1.5.Blossoming..................................40
1.5.1.Formybiegunoweidiagonalne....................40
1.5.2.AlgorytmdeCasteljauipodziałkrzywej...............41
1.5.3.Formybiegunoweipodwyzszeniestopnia..............45
1.6.PochodnakrzywejBéziera..........................45
1.7.Pochodnewyzszegorz˛edu..........................47
1.8.Ł˛aczeniekrzywychBéziera..........................50
1.9.Uzupełnienia.................................51
1.9.1.SchematHornerawbaziewielomianówBernsteina.........51
1.9.2.Obni˙zeniestopniakrzywej......................52
1.9.3.Formybiegunoweipochodne....................54
1.9.4.Krzywiznaiskr˛eceniekrzywejBéziera...............57
1.9.5.TwierdzenieMenelaosa.......................60
1.9.6.TwierdzenieaproksymacyjneWeierstrassa..............61
2.WymiernekrzyweBéziera 63
2.1.Krzywejednorodneiwymierne........................63
2.2.JednorodneiwymiernekrzyweBéziera...................65
2.3.KształtowaniewymiernychkrzywychBéziera................68
2.4.Własno´sciwymiernychkrzywychBéziera..................69
2.5.Podwy˙zszenieiobni˙zeniestopnia......................70
2.6.Reparametryzacjakrzywejwymiernej....................71
2.7.Pochodnekrzywychwymiernych.......................72
2.8.Ł˛aczeniewymiernychkrzywychBéziera...................73
2.9.Uzupełnienia.................................74
2.9.1.Dwustosunekizasadniczetwierdzeniegeometriirzutowej.....74
2.9.2.Reprezentacjakrzywejwymiernejprzyu˙zyciu punktówpomocniczych.......................75
2.9.3.Reprezentacjakrzywychstozkowych................77
2.9.4.Obcinaniekrzywych.........................79
2.9.5.Rzutowaniekrzywych........................82
2.9.6.Procedurarysowaniakrzywych...................83
2.9.7.Formybiegunowekrzywychwymiernych..............88
2.9.8.Krzywiznaiskr˛eceniewymiernejkrzywejBéziera.........92
3.Trójk˛atnepłatyBéziera 95
3.1.Okre´sleniepłatatrójk˛atnego.........................95
3.2.AlgorytmdeCasteljaudlapłatówtrójk˛atnych................96
3.3.Podziałpłatatrójk˛atnegoiblossoming....................98
3.4.Podwy˙zszeniestopniapłata..........................100
3.5.Pochodnepłatówtrójk˛atnych.........................101
3.6.Ł˛aczeniepłatówtrójk˛atnych.........................104
3.7.Wymiernetrójk˛atnepłatyBéziera......................105
3.8.Uzupełnienia.................................107
3.8.1.Szybkieobliczaniepunktówpłatatrójk˛atnego............107
3.8.2.Formybiegunoweikrzywiznypłata.................108
3.8.3.Reparametryzacjapłatawymiernego.................111
3.8.4.Trójk˛atynasferze...........................111
4.TensorowepłatyBéziera 115
4.1.Okre´sleniepłata................................115
4.2.Własno´scipłatówwynikaj˛acezokre´sleniatensorowego...........116
4.2.1.Wyznaczaniepunktówpłata.....................117
4.2.2.Podwyzszeniestopniapłata.....................119
4.2.3.Pochodnecz˛astkowepłatówBéziera.................120
4.2.4.PodziałpłataBéziera.........................121
4.2.5.Zasadył˛aczeniapłatówBézierazci˛agło´sci˛a C k ...........123
4.3.Płaszczyznastycznadopłatówzdegenerowanych..............124
4.4.Wymierneprostok˛atnepłatyBéziera.....................125
4.4.1.Podstawowewłasno´scipłatówwymiernych.............126
4.4.2. Obliczaniepochodnychpłatawymiernego.............. 127
4.4.3.Płaszczyznastycznadopłatawymiernego..............128
4.5.Uzupełnienia.................................130
4.5.1.Przetwarzanietablicpunktówkontrolnych..............130
4.5.2.Znajdowanietensorowejreprezentacjipłatówtrójk˛atnych......133
4.5.3.Swobodnadeformacja........................137
4.5.4. ´ Sledzeniepromieni..........................141
4.5.5.Wyznaczaniepunktówprzeci˛eciakrzywych.............147
4.5.6.Rozwi˛azywanieukładówrówna´nalgebraicznych..........148
4.5.7.Wyznaczanieprzeci˛e´cpowierzchni.................159
5.KrzyweB-sklejane 173
5.1.Konstrukcjagładkopoł˛aczonychkrzywychBéziera.............175
5.2.Zastosowanieró˙znicdzielonych.......................178
5.2.1.Funkcjesklejaneibazaobci˛etychpot˛eg...............178
5.2.2.Okre´sleniefunkcjiB-sklejanych...................181
5.2.3.WzórMansfielda–deBoora–Coxa..................185
5.2.4.AlgorytmdeBoora..........................186
5.2.5.Własno´scifunkcjiikrzywychB-sklejanych.............188
5.2.6.PochodnekrzywejB-sklejanej....................191
5.3.Wstawianiew˛ezłów..............................195
5.3.1.Procedurawstawianiaw˛ezła.....................195
5.3.2.Zwi˛azekwstawianiaw˛ezłazalgorytmemdeBoora.........199
5.3.3.Zmianabazypowstawieniuw˛ezła..................200
5.3.4.Usuwaniew˛ezła...........................204
5.3.5.Zastosowaniaprocedurywstawianiaw˛ezła.............205
5.4.Blossoming..................................208
5.4.1.Formybiegunowefunkcjiikrzywychsklejanych..........208
5.4.2.Ci˛agło´ s ´ cfunkcjisklejanychww˛ezłach...............211
5.4.3.Formybiegunoweiwstawianiew˛ezłów...............217
5.4.4.AlgorytmOslo............................217
5.4.5.Zbiezno´ s ´ cprocesuwstawianiaw˛ezłów...............222
5.4.6.Podwyzszeniestopnia........................227
5.5.FunkcjeB-sklejaneisympleksy.......................228
5.5.1.Funkcjemiaryprzekroju.......................228
5.5.2.SympleksyiwielomianyBernsteina.................229
5.5.3.Wielo´sciany,wielomianyifunkcjesklejane.............231
5.5.4.SympleksowadefinicjafunkcjiB-sklejanych............232
5.5.5.Zwi˛azeksympleksówzró˙znicamidzielonymi............233
5.5.6.CałkowaniefunkcjiB-sklejanych..................239
5.5.7.Ci˛agło´ s ´ cfunkcjisklejanychww˛ezłach...............239
5.5.8.Rozkładjedynki...........................240
5.5.9.Własno´ s ´ cminimalnegono´snika...................241
5.5.10.Wstawianiew˛ezła..........................242
5.5.11.Podwyzszeniestopnia........................244
5.5.12. SympleksowydowódwzoruMansfielda–deBoora–Coxa..... .246
5.6.KrzyweB-sklejanezw˛ezłamirównoodległymi...............250
5.7.WymiernekrzyweB-sklejane(krzyweNURBS)...............255
5.8.Uzupełnienia.................................260
5.8.1.Krzywezamkni˛ete..........................260
5.8.2.InterpolacyjnekrzyweB-sklejanetrzeciegostopnia.........261
5.8.3.TwierdzenieSchoenberga–Whitney.................264
5.8.4.AproksymacyjnekrzyweB-sklejane.................266
5.8.5.Obliczaniedługo´scikrzywych....................268
6.PowierzchnieB-sklejane 271
6.1.Okre´sleniepłataB-sklejanego........................271
6.2.Podstawowewłasno´scipłatówB-sklejanych.................272
6.3.WymiernepowierzchnieB-sklejane(powierzchnieNURBS)........274
6.4.PrzykładykonstrukcjipłatówB-sklejanych.................275
6.4.1.Powierzchnierozpinane.......................275
6.4.2.Powierzchniezakre´slane.......................281
6.4.3.Produktsferycznyipowierzchnieobrotowe.............284
6.5.Powierzchniereprezentowaneprzezsiatki..................286
6.5.1.Płatytensorowezw˛ezłamirównoodległymi.............286
6.5.2.Siatkinieregularne..........................288
6.5.3.Zag˛eszczaniesiatek..........................289
6.5.4.Elementyszczególnewsiatkach...................291
6.5.5.Powierzchniagraniczna.......................292
6.6.Uzupełnienia.................................294
6.6.1.MomentyitwierdzeniaGuldina...................294
6.6.2.Powierzchnieprostokre´slneirozwijalne...............298
7.KrzyweipowierzchniewreprezentacjiHermite’a 301
7.1.LokalnebazyHermite’a...........................301
7.2.Interpolacyjnekrzywesklejanetrzeciegostopnia..............303
7.2.1.Zwi˛azekreprezentacjiHermite’aiBézierakrzywych trzeciegostopnia...........................303
7.2.2.Równaniaci˛agło´scipochodnejdrugiegorz˛edu...........304
7.2.3.Warunkibrzegowe..........................305
7.2.4.Dobórw˛ezłówdlakrzywychinterpolacyjnych...........309
7.2.5.Własno´ s ´ cminimalnejenergii.....................310
7.2.6.Bł˛adaproksymacjidlainterpolacyjnychfunkcjisklejanych.....312
7.3.Płatyokre´sloneprzezwarunkiinterpolacyjne................317
7.3.1.PłatyCoonsa.............................317
7.3.2.PłatybikubicznewreprezentacjiHermite’a.............322
7.3.3.Konstrukcjapowierzchnizło˙zonychzpłatówbikubicznych.....324
7.3.4.PłatyGregory’ego..........................328
7.3.5.PłatyBrowna.............................331
8.Ci˛agło ´ s ´ cgeometrycznakrzywych 333
8.1.Poj˛ecieci˛agło´scigeometrycznej.......................333
8.1.1.Zwi˛azekci˛agło´sciparametryzacjizci˛agło´sci˛ageometryczn˛a....334
8.1.2.Krzywegeometryczniesklejane...................335
8.2.Równaniaci˛agło´scigeometrycznejkrzywych................337
8.2.1.WzórFàadiBruno..........................337
8.2.2.Ł˛aczeniezreparametryzowanychkrzywych.............338
8.3.Interpretacjaci˛agło´scigeometrycznejkrzywych...............342
8.4.Krzywe γ -sklejane..............................345
8.5.Krzywe β-sklejane..............................348
8.5.1.Definicja...............................349
8.5.2.Znajdowaniełukówwielomianowychkrzywej β-sklejanej.....350
8.5.3.Konstrukcjafunkcji β-sklejanych..................352
8.5.4.Istnienieijednoznaczno´ s ´ cfunkcji β-sklejanych...........358
8.5.5.Krzywe β-sklejanezglobalnymiparametramipoł˛aczenia......360
8.5.6.Dalszewłasno´sciiprzykłady.....................362
8.5.7.Wstawianiew˛ezłów.........................365
8.6.Krzywe ν-sklejane..............................367
8.7.Tensorowepowierzchniegeometryczniesklejane..............369
9.Ci˛agło´ s ´ cgeometrycznapowierzchni 371
9.1.Równaniaci˛agło´scigeometrycznej......................371
9.1.1.UogólnionywzórFàadiBruno....................371
9.1.2.Równaniaci˛agło´scigeometrycznejpoł˛aczeniaparypłatów.....372
9.2.Interpretacjaci˛agło´scigeometrycznejpowierzchni..............375
9.3.Równaniaci˛agło´scidlapłatówwielomianowych...............377
9.3.1.Podstawyalgebraiczne........................377
9.3.2.Rozwi˛azaniarówna´nci˛agło´sci....................380
9.4.Konstrukcjaparygładkopoł˛aczonychpłatów................385
9.4.1.Konstrukcjaparypłatówwielomianowych poł˛aczonychzci˛agło´sci˛a G1 .....................387
9.4.2.Konstrukcjaparypłatówwielomianowych poł˛aczonychzci˛agło´sci˛a G2 .....................390
9.4.3.Konstrukcjaparygładkopoł˛aczonychpłatówwymiernych.....391
9.5.Geometrycznieci˛agłepowierzchniewypełniaj˛ace..............394
9.5.1.Wypełnianieprzerwymi˛edzypłatamiB-sklejanymi.........394
9.5.2.Powierzchniewypełniaj˛acedlapłatówobci˛etych..........399
9.6.Ci˛agło´ s ´ cgeometrycznapowierzchnigranicznych..............407
9.7.Warunkizgodno´sci G1 wewspólnymnaro˙zniku...............411
9.7.1.Lokalnewarunkizgodno´sci G1 ...................412
9.7.2.Globalnewarunkizgodno´sci G1 ...................414
9.8.Warunkizgodno´scidrugiegoiwy˙zszychrz˛edów...............419
9.8.1.Lokalnewarunkizgodno´sci G2 ...................419
9.8.2.Funkcjesklejanedwóchzmiennych.................422
9.8.3.Trygonometrycznefunkcjesklejane.................430
9.8.4. Trygonometrycznefunkcjesklejaneiwarunkizgodno´sci G1 ..434
9.8.5.Trygonometrycznefunkcjesklejaneiwarunkizgodno´sci G2 ....437
9.9.Wypełnianiewielok˛atnychotworów.....................450
9.9.1.SchematHahna............................450
9.9.2.Podstawyteoretyczne.........................452
9.9.3.Konstrukcjaprzestrzeniklasy G1 i G2 ................456
9.9.4.Minimalizacjaformkwadratowych.................473
9.9.5.Optymalizacjakształtu........................482
9.9.6.Przykładowewyniki.........................487
A.Przegl˛adpodstawowychpoj˛e´calgebryliniowej 491
A.1.Przestrzenieliniowe..............................491
A.1.1.Macierze...............................493
A.1.2.Układywspółrz˛ednych........................494
A.1.3.Przekształcenialiniowe........................495
A.1.4.Funkcjonałyiprzestrze´nsprz˛ezona.................496
A.1.5.Normy................................496
A.1.6.Iloczynyskalarne...........................497
A.1.7.Przekształceniaizometryczne....................499
A.1.8.Wyznaczniki.............................499
A.1.9.Iloczynywektoroweizewn˛etrzne..................501
A.1.10.Interpretacjageometrycznafunkcjonału...............503
A.1.11.Układyrówna´nliniowych......................504
A.1.12.Algebraicznezagadnieniawłasne..................508
A.2.Przestrzenieafiniczne.............................509
A.2.1.Współrz˛ednekartezja´nskieijednorodne...............511
A.2.2.Współrz˛ednebarycentryczne.....................512
A.2.3.Przekształceniaafiniczne.......................515
A.2.4.Przekształceniaafiniczneprzestrzenitrójwymiarowej........517
A.2.5.Mierzeniezbiorów..........................524
B.DziałanianawielomianachwbazachBernsteina
B.1.Działanianawielomianach..........................529
B.1.1.Mno˙zenieidzielenie.........................529
B.1.2.Mno˙zeniewielomianówwieluzmiennych..............532
B.1.3.Dodawanieiodejmowanie......................532
B.1.4.AlgorytmEuklidesa.........................533
B.1.5.Obliczanieiloczynuskalarnego...................534
B.2.Działanianafunkcjachwektorowych.....................535
B.2.1.Mnozeniewielomianuikrzywej...................535
B.2.2.WyznaczaniepłatówBézieraopisuj˛acychwektorynormalne....537
B.3.Działanianafunkcjachsklejanych......................543
B.3.1.Mno˙zeniefunkcjisklejanych.....................543
B.3.2.Obliczanieiloczynuskalarnego...................544
C.Elementygeometriiró˙zniczkowej
545
C.1.Krzywiznykrzywych.............................545
C.1.1.Parametryzacjałukowa........................545
C.1.2.RównaniaFreneta..........................546
C.1.3.Krzywiznakrzywejpłaskiej.....................548
C.1.4.Krzywiznykrzywejprzestrzennej..................549
C.2.Krzywiznypowierzchni............................550
C.2.1.Rózniczkipłata............................550
C.2.2.Pierwszaidrugaformapodstawowa.................552
C.2.3.Krzywiznanormalnapowierzchni..................554
C.2.4.Krzywiznyikierunkigłównepowierzchni..............556
C.2.5.Klasyfikacjapunktówpowierzchni..................557
D.Ró˙znicedzielone
559
D.1.SchematHorneraibazyNewtona......................560
D.2.Okre´slenieiwłasno´sciróznicdzielonych...................562
D.3.Algorytmró˙znicdzielonych.........................565
D.4.Resztainterpolacyjna.............................567
D.5.WzórLeibniza................................568
D.6.Ró˙znicedzielone,sympleksyifunkcjeB-sklejane..............569
E.Metodynumeryczne
571
E.1.Arytmetykazmiennopozycyjna........................571
E.1.1.Uwagiobł˛edachreprezentacjiizaokr˛agle´n.............572
E.2.Rozwi˛azywanierówna´nliniowych......................575
E.2.1.Układyzmacierz˛atrójk˛atn˛a.....................575
E.2.2.EliminacjaGaussa..........................576
E.2.3.Innemetody.............................580
E.3.Rozwi˛azywanieliniowychzada´nnajmniejszychkwadratów.........582
E.3.1.Zadaniaregularne...........................582
E.3.2.Zadaniadualne............................585
E.3.3.Zadaniaregularnezwi˛ezami.....................586
E.4.Rozwi˛azywanierówna´nnieliniowych....................587
E.4.1.Metodabisekcji............................589
E.4.2.MetodaNewtona...........................591
E.4.3.MetodaNewtonadlaukładówrówna´n................593
E.4.4.Metodasiecznych...........................596
E.4.5.RegulafalsiialgorytmIllinois....................597
E.5.Algebraicznezagadnieniewłasne.......................601
E.6.Optymalizacja.................................602
E.6.1.Minimalizacjafunkcjijednejzmiennej................602
E.6.2.Minimalizacjagładkiejfunkcjiwieluzmiennych..........603
F.Wizualizacjakształtupowierzchni
605
F.1. Funkcjekształtuiichwarstwice.......................606
F.1.1.Własno´sciwarstwic.........................606
F.1.2.Przekrojepłaskiepowierzchni....................607
F.1.3.Lambertowskieodbicie ´ swiatłaiizofoty...............608
F.1.4.Linieodblasku............................610
F.1.5.Krzywiznypowierzchni.......................614
F.2.Krzywecharakterystyczne..........................615
F.2.1.Całkowaniekrzywychcharakterystycznych.............615
F.2.2.Warstwiceilinienajszybszegospadkufunkcjikształtu.......617
F.2.3.Liniekrzywiznowe..........................619
5.5.12.SympleksowydowódwzoruMansfielda–deBoora–Coxa
Najwa˙zniejszymobokwzoruBoehma(5.17)wzoremrekurencyjnymopisuj˛acym funkcjeB-sklejanejestwzórMansfielda–deBoora–Coxa(5.9).Wpunkcie5.2.3 udowodnili´smytenwzórnapodstawiedefinicjifunkcjiB-sklejanychopartejnapoj˛eciuróznicdzielonych.Przyjrzyjmysi˛e(przedstawionemuwskrócie)dowodowi tegowzoruopartemunadefinicjisympleksowej.
1.Wybieramywektoryjednostkowe ei +1,..., ei +n prostopadłedowektora e (czylidoprostej l)idosiebienawzajem.
Wybieramypunkty ui ,..., ui +n+1,którele˙z˛anaprostej l odpowiedniowhiperpłaszczyznach Eui ,..., E ui +n+1 ,orazliczbydodatnie ai +1,..., ai +n ,takie ze ai +1 = ai +n = 1oraz i +n k=i +1 ak = (n 1)! .Oznaczamypunkty vk = uk +ak ek dla k ∈{i + 1,..., i + n}.
Funkcjamiaryprzekrojusympleksu n-wymiarowego Si ,któregowierzchołkami s˛apunkty ui , vi +1,..., vi +n 1, ui +n ,jestfunkcj˛aB-sklejan˛a N n 1 i ,asympleks
Si +1,któregowierzchołkamis˛apunkty ui +1, vi +2,..., vi +n , ui +n+1,wpodobny sposóbwyznaczafunkcj˛e N n 1 i +1 (rys.5.45a,bi5.46a,b).
2.Okre´slamyfigury
F = p = q + s t ui ui+n ui ei +n : q ∈ Si
Et , s ∈[0, 1] ,
G = p = q + s ui+n+1 t ui+n+1 ui+1 ei +1 : q ∈ Si +1 ∩ Et , s ∈[0, 1] .
S˛a onewypukłymiwielo´scianami (n + 1)-wymiarowymi,aichfunkcjemiary przekrojus˛arówneodpowiednimskładnikompoprawejstroniewzoru(5.9). Wierzchołkamiwielo´scianu F s˛awszystkiewierzchołkisympleksu Si ,punkty wi +1,..., wi +n 1: wk = vk +(uk ui )/(ui +n ui )ei +n ,orazpunkt vi +n.Podobnie,wierzchołkamiwielo´scianu G s˛awszystkiewierzchołkisympleksu Si +1, punkty zi +2,..., zi +n ,takie ze zk = vk + (ui +n+1 uk )/(ui +n+1 ui +1)ei +1 ipunkt vi +1 (rys.5.45c,di5.46c,d).
3.Niech Fk oznaczadla k ∈{1,..., n 1} sympleks,któregowierzchołkamis˛apunkty ui , vi +1,..., vi +k , wi +k ,..., wi +n 1, vi +n .Zapomoc˛awierzchołków ui , vi +1,..., vi +n , ui +n okre´slimysympleks Fn .Podobnieokre´slimy sympleks G1 owierzchołkach ui +1, vi +1,..., vi +n , ui +n+1 orazsympleksy Gk owierzchołkach vi +1, zi +2,..., zi +k , vi +k ,..., vi +n , ui +n+1,dla k ∈{2,..., n} (rys.5.45e,fi5.46e,f).
Załó˙zmy, ˙ ze ui < ui +1 irozwa˙zmyprzeci˛eciewielo´scianu F zhiperpłaszczyzn˛a Eui +1 .Jestonosum˛aMinkowskiegosympleksuiodcinkarównoległegodo wektora en .Mo˙zemyzauwa˙zy´c, ˙ zeprzeci˛eciasympleksów F1,..., F n zhiperpłaszczyzn˛a Eui +1 s˛asympleksami,którestanowi˛atriangulacj˛efigury F ∩ Eui +1
Rysunek5.45.IlustracjadowoduwzoruMansfielda–deBoora–Coxa dla n = 2 (podobn˛adotriangulacjiprzedstawionejnarys.5.44).Rozwa˙zmyprost˛aprzechodz˛ac˛aprzezwierzchołek ui idowolnyinnypunkt p wielo´scianu F.Zwypukło´sci F wynika, ˙ zewspólnypunkttejprostejihiperpłaszczyzny Eui +1 nale˙zy dozbioru F ∩ Eui +1 ,azatemnale˙zydopewnegosympleksu Fk .Łatwojestspo-
6.Dlakazdego k ∈{1,. .., n} par˛esympleksów F ′ k i G ′ k mozemyotrzyma´cwwynikupodziałusympleksu S owierzchołkach ui , vi +1,..., vi +n , ui +n+1 hiperpłaszczyzn˛a,wktórejlez˛apunkty vi +1,..., vi +n i ui +k (rys.5.45g,hi5.46g,h). Takipodziałsympleksu S odpowiadawstawianiuw˛ezła ui +k (p.5.5.10).Zatem sumafunkcjimiaryprzekrojusympleksów F ′ k i G ′ k ,czylirówniez Fk i Gk ,jest funkcj˛amiaryprzekrojusympleksu S.Pozostajeobliczy´c fmp(F ) + fmp(G) = n k=1 fmp(F ′ k ) + fmp(G ′ k ) = n fmp(S)
isprawdzi´c, ˙ ze µn+1(S) = 1 n(n+1) (ui +n+1 ui ). ✷
Zwi˛azeksympleksówzfunkcjamiB-sklejanymibyłporazpierwszyopisany wartykule[63].Mo˙znaokre´sli´cfunkcj˛e d zmiennych,któraka˙zdemupunktowi przestrzeni d uto ˙ zsamionejzustalon˛apodprzestrzeni˛a d-wymiarow˛a l afinicznejprzestrzeni (n + d)-wymiarowej E przyporz˛adkowujeobj˛eto´ s ´ c n-wymiarow˛a przeci˛eciapewnejfigury B zodpowiedni˛a n-wymiarow˛apodprzestrzeni˛aprostopadł˛ado l.Je´slifigura B jestwielo´scianem,tootrzymamywtensposóbfunkcj˛e kawałkamiwielomianow˛astopnia n.Takokre´slonefunkcjeodpowiadaj˛acesympleksom,zwane sympleksowymifunkcjamisklejanymi (ang. simplexsplines), s˛aobecnieprzedmiotemintensywnychbada´n,zobacznaprzykład[183],[184], [188]).Wpraktycznychzastosowaniachspotykasi˛ejejeszczedosy´crzadko.
5.6.KrzyweB-sklejanezw˛ezłamirównoodległymi
Okre´sleniekrzywejB-sklejanejwymagapodaniaci˛aguw˛ezłówici˛agupunktów kontrolnych.Oilewpływpunktówkontrolnychnakształtkrzywejjestintuicyjnie zrozumiałyiwzwi˛azkuztymdobieraniepunktówkontrolnychjestraczejmało kłopotliwe,otyleniemoznategosamegopowiedzie´cow˛ezłach.Wpływw˛ezłów nakształtkrzywejjestdosy´csubtelnyiwybórw˛ezłów„najlepiejdostosowanych” dokształtu,którynalezyodtworzy´czapomoc˛akrzywejB-sklejanej,jestnieoczywisty.Jedn˛azmetodunikni˛eciakłopotuzwyboremw˛ezłówjestprzyj˛eciejednokrotnychw˛ezłówrównoodległych.Tracisi˛ewtedymo˙zliwo´ s ´ cmodyfikowania krzywejprzezzmienianiew˛ezłów,alezatozyskujeuproszczeniewieluwzorów ialgorytmów.Bezstratyogólno´scimo˙znaprzyj˛a´c ui = i, i = 0,..., N .Funkcje bazowedlatakiegoci˛aguw˛ezłówspełniaj˛awarunek
Wykresyfunkcjibazowychs˛aidentycznezdokładno´sci˛adoprzesuni˛ecia;przykładdla n = 3mo˙zemyzobaczy´cnarysunku5.47.No´snikiemfunkcji N n i jest
Rysunek5.47.Wykresyfunkcji N 3 i dlaw˛ezłówrównoodległych
przedział [i, i + n + 1],zatemwszystkietefunkcjemozemyopisa´czapomoc˛a n + 1wielomianówstopnia n, p0(s),..., pn (s),którychargumentemjestnowa zmienna s = t k.Zachodzirówno´ s ´ c N n i (t ) = pk i (s) dla t ∈[k, k + 1),czyli dla s ∈[0, 1].
Krzyw˛aB-sklejan˛amo˙znanarysowa´c,wyznaczaj˛acpunktykontrolneBéziera łukówwielomianowychinast˛epnierysuj˛actełuki.Łukodpowiadaj˛acyparametrowi t ∈[k, k + 1) jestokre´slonyprzezpunkty dk n ,..., dk ,ajegoreprezentacja Bézieraskładasi˛ezpunktów pk,0,..., pk,n .Doichznajdowaniamo˙zemyu˙zywa´c takiejmacierzy M owymiarach (n + 1) × (n + 1),dlaktórej
Kolumnymacierzy M s˛awektoramiwspółczynnikówwielomianów p0,..., pn wbaziewielomianówBernstenastopnia n
Rysunek5.48.ŁukwielomianowykrzywejB-sklejanejtrzeciego stopnia zw˛ezłamirównoodległymiijegoreprezentacjaBéziera
´ Cwiczenie. Wykaz, zedla n = 3jest M = 1 6
´ Cwiczenie. Znajd´zmacierz M dla n = 4.
Innametodapoleganawygenerowaniuci˛agułamanychszybkozbiegaj˛acego dokrzywej;kolejnełamaneotrzymamyzapomoc˛awstawianiaw˛ezłów.Zamiast uniwersalnejmetodyBoehmalubalgorytmuOsloznaczniepro´sciejjestu˙zy´copisanegonizej algorytmuLane’a–Riesenfelda [168],którywstawianowew˛ezły w ´ srodkachprzedziałówmi˛edzyw˛ezłamipocz˛atkowejreprezentacji.Inaczejmówi˛ac,algorytmtendwukrotniezag˛eszczaci˛agw˛ezłówreprezentacjikrzywej.
Abywyprowadzi´cwzory,naktórychopierasi˛etenalgorytm,rozwa˙zmypochodn˛afunkcjiB-sklejanejstopnia n > 0.Przypu´ s ´ cmy, ˙ zeci˛agw˛ezłówskładasi˛e zewszystkichliczbcałkowitych: ui = i dla i ∈ .Wtymprzypadkuwzór(5.13) przyjmujeposta´c d
Całkowaniepochodnejumo˙zliwiaodtworzeniefunkcji.Poniewa˙zfunkcja N 0 0 (t ) okre´slonadlaprzyj˛etegoci˛aguw˛ezłówjestrówna1dla t ∈[0, 1) oraz0pozatym przedziałem,korzystaj˛aczewzoru(5.39),mo˙zemyobliczy´c
N n i (t ) = t −∞ N n 1 i (u) N n 1 i +1 (u) du = t t 1
Otrzymanenako´ncuwyra˙zenieopisujedziałaniezwane splotem,zastosowanedo funkcji N n 1 i i N 0 0 .Działanietozapisywanejestprzyuzyciusymbolu„∗”,mozemy zatempisa´c N n i = N n 1 i ∗ N 0 0 .Wizualizacjasplotujestpokazananarysunku5.49.
Niech M n i (t ) def = N n 0 (2t i ).Funkcje M n i s˛afunkcjamiB-sklejanymi,których w˛ezłys˛acałkowitymiwielokrotno´sciami 1 2 .No´snikiemfunkcji M n i jestprzedział [ i 2 , i +n+1 2 ].Dla ka˙zdego i ∈ niech ci oznaczapewienpunkt.Wtedydla j = 0, 1, 2,... istniej˛akrzyweB-sklejanestopnia j zpunktamikontrolnymi ci :
s( j )(t ) = i ∈ ci N j i (t ).
7.2.6.Bł˛adaproksymacjidlainterpolacyjnychfunkcjisklejanych
Zadaniainterpolacjis˛acz˛estostawianewceludokonywaniaaproksymacji.Przypu ´ s ´ cmy, zemamypewn˛akrzyw˛a,narysowan˛aprzezspecjalist˛e(sytuacjetegotypu mo ˙ zemyspotka´cnp.wprojektowaniuczcionek)ichcemyznale´z´cjejprzybli˙zon˛a komputerow˛areprezentacj˛e.Mo˙zemyte˙zchcie´codtwarza´cpowierzchniefizycznieistniej˛acychprzedmiotów.Abyrozwi˛aza´ctakiezadania,mierzysi˛ewspółrz˛ednepewnejliczbypunktówdanejkrzywejlubpowierzchni,anast˛epniewyznaczakrzyw˛alubpowierzchni˛einterpolacyjn˛a.Postawieniezadaniainterpolacyjnego nieokre´slajednakkształtukrzywejmi˛edzypunktamidanymi.Je´sliznaleziona krzywainterpolacyjnaodtwarzazadanykształtzamałodokładnie,tonaturalnejest „zag˛eszczenie”danych,czylipodaniedodatkowychpunktów,przezktórekrzywa maprzechodzi´c.Nakształtkrzywejinterpolacyjnejmajednakogromnywpływ klasakrzywych,wktórejposzukujemyrozwi˛azaniazadania.Je´slikrzywa,któr˛a konstruujemy,jestwielomianowaimi˛edzyzadanymipunktamiwykazujezafalowania,topodaniewi˛ekszejliczbypunktów(idopuszczenieodpowiedniowyzszego stopniakrzywej)naogółdawefekciekrzyw˛aoznacznie wi˛ekszych zafalowaniach(rys.7.7).Dlategowspomnianezag˛eszczaniedanychjestdopuszczalnetylko wtedy,gdywiadomo, ˙ zespowodujezmniejszeniebł˛eduaproksymacji.
Rysunek7.7.Krzyweinterpolacyjneodtwarzaj˛acezadanykształt.Krzywewgórnej cz˛e ´ scirysunkus˛awielomianowe,awdolnejs˛anaturalnymikrzywymisklejanymi trzeciegostopnia.Wszystkiekrzywes˛aopartenaw˛ezłachrównoodległych
Interpolacyjnefunkcje(ikrzywe)sklejanes˛acz˛estostosowanemi˛edzyinnymi dlatego, ˙ zewwieluprzypadkachstanowi˛adobrerozwi˛azaniazada´naproksymacji izag˛eszczaniew˛ezłówinterpolacyjnychumozliwiadowolnezmniejszeniebł˛edu przybli˙zeniadanejfunkcji(albokrzywej).Znanychjestwieletwierdze´nnaten temat(moznajeznale´z´cnp.wksi˛azkach[1]lub[44]).Dotycz˛aonefunkcjisklejanychró˙znychstopni,zró˙znymiwarunkamibrzegowymi,przybli˙zaj˛acychdane
Interpolacyjnekrzywesklejanetrzeciegostopnia
funkcjeoróznychwłasno´sciach.Nizejs˛apodanedwatwierdzeniaopisuj˛aceaproksymacj˛efunkcji f klasy C 2 przezinterpolacyjnefunkcjesklejanetrzeciegostopnia.Wynikaznich, zedwukrotnezag˛eszczenieci˛aguw˛ezłówinterpolacyjnychpowodujecztero-lub(przypewnychzało˙zeniachdodatkowych)naweto´smiokrotne zmniejszenieoszacowaniabł˛eduaproksymacjiprzezfunkcj˛esklejan˛a.Cowi˛ecej, twierdzeniatepodaj˛atak˙zeoszacowaniabł˛edówaproksymacjipochodnychfunkcji f przezpochodnefunkcjiinterpolacyjnej.Znaj˛acwyst˛epuj˛acewzało˙zeniach stałe,mozemynapodstawietychtwierdze´ndobra´cci˛agw˛ezłów,któryzapewni otrzymaniedostateczniemałegobł˛eduwdanymzastosowaniu.
Twierdzenie7.1. Niechfoznaczafunkcj˛eklasyC 2[a, b] iniechMoznaczastał˛a, tak˛a ˙ ze | f ′′(t )| ≤ Mdlaka˙zdegot ∈[u0, u N ].Niechsoznaczafunkcj˛esklejan˛a trzeciegostopniaklasyC 2 zw˛ezłamiu0 = a < < u N = b,tak˛a zes(ui ) = f (ui ) dlai = 0,..., Noraz |s′′(a)| ≤ 3Mi |s′′(b)| ≤ 3M.Niechhi = ui +1 ui orazh = maxi ∈{0,...,N 1} hi .Wtedydlaka˙zdegot ∈[a, b]
| f (t ) s(t )| ≤ 1 2 Mh2 , (7.7)
| f ′(t ) s ′(t )| ≤ 2Mh. (7.8)
Twierdzenie7.2. Je´slipochodnadrugiegorz˛edufunkcjifklasyC 2[u0, u N ] spełniawarunekLipschitza,tj.istniejestałaL,taka ˙ zedladowolnycht1, t2 ∈[u0, u N ] jestspełnionanierówno´s´c | f ′′(t1) f ′′(t2)| ≤ L|t1 t2|,akubicznainterpolacyjna funkcjasklejanaszw˛ezłamiu0,..., u N spełniawarunki |s′′(a) f ′′(a)| ≤ 3Lh, |s′′(b) f ′′(b)| ≤ 3Lh,todlakazdegot ∈[a, b]
| f (t ) s(t )| ≤ 7 16 Lh3 , (7.9)
| f ′(t ) s ′(t )| ≤ 7 4 Lh2 , (7.10)
| f ′′(t ) s ′′(t )| ≤ 7 2 Lh (7.11)
Lemat7.1. Niechsoznaczakubiczn˛afunkcj˛esklejan˛aklasyC 2[a, b] zw˛ezłami u0 = a < u1 < ··· < u N = b.Niechhi = ui +1 ui dlai = 0,..., N 1 iniech xi = s(ui ),yi = s′(ui ) izi = s′′(ui ) dlai = 0,..., N.Liczbyz0,..., z N spełniaj˛a układrówna´n hi 1 hi 1 + hi zi 1 + 2zi + hi hi 1 + hi zi +1 = 6s[ui 1, ui , ui +1], i = 1,.. , N 1.(7.12)
8.2. Równaniaci˛agło´scigeometrycznejkrzywych
Gn .Warunkidostateczneregularno´sci krzywejzalez˛aodfunkcjibazowych fi .Na przykładopisanedalejkrzywe γ -sklejanei β-sklejanemaj˛a siln˛awłasno´ s ´ chodografu (zobaczdlaporównaniap.5.2.6),dzi˛ekiktórejłatwojesttakwybra´cpunkty kontrolnych,abykrzywabyłaregularna.
8.2.Równaniaci˛agło´scigeometrycznejkrzywych
8.2.1.WzórFàadiBruno
Wopublikowanejwroku1855pracy[77]FàadiBrunoprzedstawiłwzóropisuj˛acypochodnedowolniewysokiegostopniazło˙zeniadostateczniegładkichfunkcji jednejzmiennej.Ototenwzór:niech f (u) i g(t ) b˛ed˛afunkcjamiklasy C j iniech h = g ∘ f ,tj. h(u) = g f (u) .Wtedy
gdzie ajk (u) =
Sumowaniewewzorzenawspółczynniki ajk przebiegapowszystkichpodziałach liczby j nadodatnieskładniki.
Mo˙zemyzauwa˙zy´c, ˙ zepochodnarz˛edu j funkcji h wpunkcie u jestkombinacj˛a liniow˛apochodnychrz˛edu1,..., j funkcji g wpunkcie t = f (u),awspółczynniki ajk tejkombinacjiliniowejs˛awyznaczoneprzezpochodnefunkcji f .Wpraktyce najwygodniejjestkolejnewzorydla j = 1, 2, 3, 4,... wyprowadza´crekurencyjnie,korzystaj˛aczwzorówopisuj˛acychpochodn˛apierwszegorz˛eduiloczynuizło˙ zeniafunkcji.Pomijaj˛acdlaskrótuargumentyfunkcji,dostaniemywtensposób h′ = f ′ g ′ ,
8.2.2.Ł˛aczeniezreparametryzowanychkrzywych
Niech p(t ) oznaczaregularn˛aparametryzacj˛eklasy C n ,którejdziedzin˛ajestprzedział [a, t0] iniech f oznaczamonotoniczn˛afunkcj˛eklasy C n .Mozemydokona´c zamianyparametru,podstawiaj˛ac t = f (u).Je´slioznaczymy q(u) = p f (u) ,to napodstawie(8.2)otrzymamywzór
wktórymwyst˛epuj˛afunkcje ajk opisanewzorem(8.3). u0 bu a t0 = f (u0)
Rysunek8.3.Gładkiepoł˛aczeniedwóchkrzywychparametrycznych
Przypu´ s ´ cmy, zemaj˛acdan˛aparametryzacj˛e p(t ),chcemyskonstruowa´ctak˛a parametryzacj˛e p⋆(u) okre´slon˛awprzedziale [u0, b],abyłukiopisaneprzezte dwieparametryzacjetworzyłyrazemkrzyw˛aklasy Gn.Abytoosi˛agn˛a´c,nało˙ zymynafunkcj˛e f pewnewarunki.Dlaunikni˛eciapowstaniaosobliwo´sciprzyjmiemy, ˙ zepochodnafunkcji f jestdodatnia.Takafunkcjamaodwrotno´ s ´ c, f 1 . Je´sli f (u0) = t0,toprzeciwobrazprzedziału [a, t0] (tj.jegoobrazwprzekształceniu f 1)s˛asiadujezprzedziałem [u0, ub] (rys.8.3),tworz˛acrazemznimdziedzin˛e [ f 1(a), b] sklejanejparametryzacji
s(u) =
p f (u) je´sli u ∈[ f 1(a), u0),
p⋆(u) je´sli u ∈[u0, b] (8.5)
Parametryzacja p⋆ maspełnia´cwarunkiinterpolacyjnewpunkcie u0.Abyparametryzacja s byłaci˛agła,musiby´c
p⋆(u0) = q(u0) = p(t0).