Mypostaramysięwykazać,żegdysiedzącaprzyklawiaturzekomputeramałpa wystarczającodługobędziestukaćwklawisze,towpowstałymciąguznaków pojawisiętekstwszystkichdziełJózefaIgnacegoKraszewskiego.
Wprowadźmyzatemodpowiednieoznaczeniaiprzystąpmydopracy.Niechna klawiaturzedostępnychbędzie K znaków.Oczywiście,prawdopodobieństwo zdarzeniapolegającegonatym,żeznakonumerze j,pokryjesięzeznakiemstojącymna j-tejpozycjiwciąguznakówdziełKraszewskiego,wynosi 1 K WszystkiedziełaKraszewskiegotworząciągoliczbieznaków Kr.Ciągiznaków,które powstajądziękimałpie,podzielmynakawałki Kr1, Kr2, Kr3, Każdyznich niechskładasięz Kr znaków.Prawdopodobieństwo,żeciąg Kr1pokryjesię
zciągiemznakówwszystkichdziełKraszewskiego,wynosi 1 K Kr .Prawdopodobieństwo,żeciągznaków Kr1niepokryjesięzciągiemznakówodpowiadającymdziełomKraszewskiego,wynosi: 1 1 K Kr
Weźmyterazpoduwagę Z kolejnychciągówznaków Kr1, Kr2, Kr3, ... , KrZ powstałychprzeznaciskanieklawiszykomputeraprzezmałpę.Znakitepowstają wsposóbniezależny.Zatemprawdopodobieństwo,żewłańcuchu Z kolejnych ciągów Kr1, Kr2, Kr3, , KrZ żadenznichniebędzieodpowiadałdziełom Kraszewskiego,wynosi 1 1 K Kr Z .
Prawdopodobieństwo,żechoćjedenzciągów Kr1, Kr2, Kr3, , KrZ pokryje sięzdziełamiKraszewskiego,wynosi 1 1 1 K Kr Z .
Przyjmując,żemałpasiedziprzyklawiaturze,produkującznakiwystarczająco długo,otrzymujemy,żeciągznakówdążydonieskończonościiwobectegomamy: Prawdopodobieństwo,żechoćjedenzciągów Kr1, Kr2, Kr3, , KrZpokryje sięzdziełamiKraszewskiego,wynosi lim Z →∞
1 1 1 K Kr Z
Zuwaginafakt,że K> 1,powyższagranicawynosi1.
Abyuwiarygodnićnaszeobliczenia,przyjmijmy,żeśrednioksiążkaskładasię z360000znaków(takprzyjmująwydawnictwa).Zatemzawartośćwszystkich dziełKraszewskiegotowuproszczeniuciąg 200 360000=7,2 107 znaków. Przyjmijmydalej,żenaklawiaturzejestokoło40znakówdowyboru.Wtedy K Kr =407,2 107 ≈ 1011,52 107 .Zelementarnejteoriiprawdopodobieństwa pamiętamy,żewprzypadkuschematuBernoulliego(n –niezależnychprób, p –prawdopodobieństwopojedynczegosukcesu)średnialiczbaprób,jakienależyprzeprowadzićdopojawieniasiępierwszegosukcesu,wynosi 1 p .Zatem należywystukać K Kr =407,2 107 łańcuchówciągówznaków,abypojawiłsię pierwszyciągodpowiadającydziełomKraszewskiego.Odbędziesiętopowystukaniu Kr K Kr =7,2 107 1011,52 107 =7,2 10115200007 znaków.
Niechmałpawystukujeokoło1000znakównasekundę.Wówczasspodziewane dziełaKraszewskiegostworzoneprzezmałpęukażąsiępo 7, 2 · 10115200004 sekundachodchwilirozpoczęciaeksperymentu.Narokskładasię 60 60 24 365=31536000 ≈ 107,5 sekund.
ZatempierwszykompletnyzbiórdziełKraszewskiegopowstaniepo 7, 2 · 10115199996,5 latach.Jakwiadomo,przyjmujesięwiekZiemina 4, 6 · 107 lat. ZatemotrzymamydziełaKraszewskiegowskończonymczasie,tylkozapewne dotegomomentuimałpzabraknie,ikomputersięzepsuje.
Nazakończenie,niebądźmywstosunkudomałpyjużtakwymagający. Zastanówmysię,jakdługoczekalibyśmydochwilipojawieniasięsłowa MATEMATYKA–wypisanegoprzezmałpę.Wtymprzypadku K Kr =4010 ≈ ≈ 1016.Następnie Kr K Kr =10 1016 =1017.Zakładającrazjeszcze,że szybkopiszącamałpastawia1000znakównasekundę,otrzymamy,żesłowo MATEMATYKApojawisięnaekraniekomputerapo 1014 sekundach,czyli po 106,5 latach.BędziemyczekaćniewielekrócejodwiekuZiemi.
OdkilkulatTomatinierośniekonkurencja.WgminiePrzytocznawwojewództwielubuskimrównieżpodkoniecsierpniaorganizowanejestŚwiętoPomidora. BitwapomidorowawPrzytocznejcoprawdatrwatylko45minut,alepoprzedzająjąwystępygwiazdpolskiejestrady.Wtrakciewalkzużytezostajeponad półtonypomidorów.Towarzywa,którenienadająsiędosprzedaży.
Spróbujemywprowadzićtrochęmatematykidobitwynapomidory.
Napoczątekkilkakluczowychzałożeń.Otóżumawiamysię,żeuczestnicybitwy stojąwmiejscuiniemadwóchróżnychparosóbwtychsamychodległościach międzynimi.Każdymawrękujednegopomidorairzucanimwnajbliższego sąsiada.
Wrozdzialetymprzedstawimyiudowodnimykilka,zpozorunieoczywistych, własności,któremabitwapomidorowa.Udowodnimynapoczątku,żejeżeliliczbauczestnikówbitwyjestnieparzysta,tozawszenaplacubojupozostanieosoba, wktórąniktnierzuciłpomidorem.(Oczywiściemilczącozakładamy,żewszystkie rzutysącelne).
Dowódprzeprowadzimymetodąindukcjimatematycznej.
ZniecierpliwionyCzytelnikmożewtymmiejscuominąćponiższewywody iprzejśćbezpośredniododowodutejwłasności.Chcielibyśmybowiemwtym miejscuprzypomniećzasadyindukcjimatematycznej.Omówimybłędne,potocznejejstosowanie,anazakończenieczęściteoretycznejnagrodzimywytrwałych dwomadowcipamimatematycznymi.(Tak,takoweistniejąipojawisięichwięcej, aleukrytebędąwczęściachteoretycznych).
Przypomnijmyzatem,żeliczbynaturalnetworzązbiór N = {1, 2, 3,...,n, n +1,... }.Weźmypoduwagępewienpodzbiór M zbioruliczbnaturalnych, M ⊂ N. Ozbiorze M wiemy,że7jestjegoelementem,tzn. 7 ∈ M. Wiemy również,żejeżelijakaśliczbanaturalnanależydo M, tobezpośrednioponiej następującaliczbanaturalnarównieżjestskładnikiem M,toznaczy
(k ∈ M) → ((k +1) ∈ M).
Ztegowynika,żenaprzykład11teżjestelementem M.Oczywiście:skoro 7jestw M,tonastępnaliczba,czyli8,teżjestw M.Mając8,dostaniemy natychmiast,żei9jestw M.Zobecności9wynikaobecność10,apotem11. Możemytakierozumowaniepowtarzaćdladowolnejliczbynaturalnejwiększej
od7.Zakażdymrazemotrzymamy,żeonanależydo M.Zatem M zawiera wszystkieliczbynaturalnewiększebądźrówne7,
M = {7, 8, 9,...,n,n +1,... }
Jeżelio M wiemy,żezawieraliczbę3,aztegofaktu,żepewnaliczbajest elementem M, wynika,żerównieżnastępnaliczbajestelementem M,townioskujemy,że M zawierawszystkieliczbynaturalne,począwszyod3,
M = {3, 4, 5,...,n,n +1,... }
Podsumowując,niech M będziepodzbioremliczbnaturalnych M ⊂ N. Niech k należydo M.Następniewiemy,żejeżelipewnaliczbanaturalnajestelementem M, toztegowynika,żeliczbabezpośrednioponiejnastępującateż należydo M.Wówczaswnioskujemy,że M zawierawszystkieliczbynaturalne, począwszyod k:
M = {k,k +1,k +2,k +3,... }.
Jeśli k =1,to M składasięzewszystkichliczbnaturalnych, M = N.
Zasadatajestwykorzystywanaprzyudowadnianiutwierdzeńdotyczącychliczb naturalnych.
Oznaczmyprzez P pewnąwłasność,którąspełniająjakieśliczbynaturalne. Przez M oznaczymyzbiórliczbnaturalnychspełniającychwłasność P.Jeżeli 1należydo M izfaktu,żepewnaliczbanależydo M, wynika,żenastępująca poniejrównieżnależydo M,todostajemy,że M = N,czyliżewszystkieliczby naturalnespełniająwłasność P
Wpraktycezatem,jeżelichcemyudowodnićtwierdzeniedotyczącewłasności liczbnaturalnych,tosprawdzamynajpierw,czydanawłasnośćspełnionajest przez1.Następniezakładamy,żewłasnośćjestspełnionadlaliczbynaturalnej n istaramysiępokazać,żeztegozałożeniawynika,żewłasnośćtajestrównież prawdziwadlanastępnejliczbynaturalnej,czyli n +1.Gdynamsiętoudaje, wówczasnamocyzasadyindukcjiotrzymujemyprawdziwośćtwierdzeniadla wszystkichliczbnaturalnych.
Zpojęciemindukcjiwiążesięwielenieporozumieńianegdot.Wpotocznymrozumieniuindukcji,abyudowodnićpewnąwłasnośćdotyczącąliczbnaturalnych, wystarczysprawdzić,czyjestonaprawdziwadlakilkupoczątkowychliczbnaturalnychi... już.Niemanicbardziejmylnego.Otokilkafascynującychhistorycznychprzykładów.
Należyzidentyfikowaćtaksówkę,abywtensposóbdotrzećdogościa.Zadanie torozwiążemy,używająctechnikzwiązanychzalgebrąBoole’a.
GeorgeBoole(1815–1864)byłgenialnymmatematykiemintuicjonistą,gdyż większośćposiadanejwiedzyzdobyłsam.Wychowanywubogiejrodzinie, niemógłsobiepozwolićnaopłacenienaukiwszkołachponadelementarnych. Zafascynowanynaukamiścisłymiizakochanywdużomłodszejodsiebiekobiecie–zmarłzmiłości.Gdypewnegodniawróciłcałkowicieprzemoczony dodomu,zpoczątkamisilnegoprzeziębienia,żonaprzekonałago,żenajlepsząkuracjąbędziewalkazprzyczynamichorobypoprzezzmaganiesię znimi.Przezdwatygodniepolewałajegopościeliłóżkozimnąwodą,aby wtensposóbpokonaćchorobęspowodowanąprzemoknięciem.Zakochany Booleniemiałsiłyiochotyprotestować.Zmarł,wykończonykuracjąwodną, mając49lat,zostawiając32-letniąwdowęzpięciorgiemdzieci.
NajbardziejznanymelementemzbogatejmatematycznejspuściznyBoole’ajest koncepcjaalgebry(zwanejnajegocześćalgebrąBoole’a).
NiechBbędzieniepustymzbiorem,wktórymistniejądwaróżneelementy wyróżnione (zwyczajowooznaczoneprzez 0,1).NaBokreślonesąoperacjedwuargumentowe (działaniaoznaczonesymbolamisumy (+) iiloczynu ( )) ioperacjajednoargumentowa (zwanadopełnieniemlubnegacją (∼)).Wówczas (B, +, , ∼ , 0, 1) nazwiemyalgebrąBoole’a,jeżelispełnionesąnastępującewarunki:
∀x,y,z ∈ B mamy: x + y ∈ B,x y ∈ B, x + y = y + x,x y = y x, x +(y + z)=(x + y)+ z,x (y z)=(x y) z, x (y + z)= x y + x z,x + y z =(x + y) (x + z), x +0= x,x · 1= x, x +(∼x)=1,x (∼x)=0.
Zwłasnościtychwynikamiędzyinnymi,że x · y + x · (∼y)= x.
Rzeczywiście:
x y + x (∼y)= x (y +(∼y))= x 1= x.
Mamyrównież
Faktycznie:
x + x y = x.
x + x y = x (1+ y)= x 1= x.
Jeżeliwlogicznymrachunkuzdańzastąpimydziałanie + przezalternatywę ∨ (dysjunkcję),działanie przezkoniunkcję ∧,a ∼ przeznegację ∼,natomiast 0traktowaćbędziemyjakologicznąwartościfałszu,a1jakologicznąwartość prawdy,torachunekzdaństaniesięalgebrąBoole’a.
RachunekzbiorówrównieżjestalgebrąBoole’adladziałańsumy(zastępującej +),iloczynuzbiorów(zastępującego ) idopełnienia(zastępującego ∼ ).0 tozbiórpusty,natomiast1tocaładziedzinaX.
UżywającalgebryBoole’a,spróbujemyrozwiązaćzagadkętransportowązwiązanązzagranicznymgościemuczelni.Dysponujemynastępującymiinformacjami:
p –samochódjestniebieski,
q –samochódtotoyota,
r –samochódjestczarny,
s –samochódtovolkswagen,
t –samochódtoskoda.
Wzwiązkuztym,żekażdaosobapowiedziałajednozdanieprawdziweijedno fałszywe,mamy: p + q =1,r + s =1, (∼p)+ t =1, Oznaczato,że
(p + q)(r+ s)(∼p + t)=1
Wymnażając,otrzymujemy:
pr(∼p)+ prt + ps(∼p)+ pst + qr(∼p)+ qrt + qst + qs(∼p)=1
Zauważmy,żeskładniki pr(∼p)=0 i ps(∼p)=0,bozawierająiloczynwzajemniewykluczającychsięzdań.Mamyteż prt =0,bosamochódniemożebyć jednocześnieiniebieski,iczarny,
pst =0,qrt =0,qst =0,qs(∼p)=0,
Gdydokonanoprecyzyjnejobserwacjikilkuunieruchomionychnapolach bitewnychczołgówniemieckich,odkryto,żekażdyznichmawybityunikatowy numerseryjnyskrzynibiegów.Numerseryjnypozwalałnaznalezienie numeruporządkowegoczołguwprocesieprodukcji.Dysponującpewną partiąprzechwyconychczołgów,próbowanooszacowaćwysokośćcałkowitej produkcji.Stosującmetodę,którąopiszemyniebawem,obliczono,żemiesięczna produkcjaczołgówwIIIRzeszywynosiła246.Powojnieujawniono,że rzeczywistaprodukcjamiesięcznawynosiła245czołgów.Szacowaniabyłydoskonałe!
Wartojeszczenazakończeniedodać,żemetodyobliczenioweopartebyłyna założeniu,żeżadenczołgniejestwyróżnionyiżenumeryseryjnereprezentują próbkęlosowąspośródwszystkichczołgówzprodukcji.Założeniatebyłymożliwenapodstawiedziałaniatzw.uogólnionejzasadykopernikańskiejopracowanej wXVwiekuprzezMikołajaKopernika.
Przystąpmyzatemdowyliczeń.Załóżmy,żepobieramylosowąpróbkę {x1,x2,x3,...,xn} zawierającą n elementówpochodzącychzezbioru {1, 2, 3,...,N}.Spróbujemyodpowiedziećnapytanie,wjakisposóbmożemy oszacować N napodstawieanalizypróbki {x1,x2,x3,...,xn}
Oznaczmynajpierw Y =maxi=1,2,...,n xi.Obliczymy p(Y = k) –prawdopodobieństwo,żemaksymalnawartośćelementuwpróbce n-elementowejwynosi k (oczywiście k = n,n +1,n +2,...,N) p(Y = k)=
1
1 N n ,
gdyżna N n sposobówmożemywybraćpróbkę n-elementowązezbioruliczącego N elementóworaz k 1 n 1 oznaczaliczbęsposobówwyboru k 1 elementówzezbioru n 1 elementowego,cogwarantuje,żemaksymalnymelementemwpróbce {x1,x2,x3,...,xn} będziepewien xp = k.
Zatem E(Y )= N
Wiadomo,że
(Y = k)=
Możemytowykazać,używającprostegokombinatorycznegoargumentu.Mamy k kulczarnychijednąbiałą.Spośródtychkullosujemy n +1 kul.Możemy tozrobićna k +1 n +1 sposobów.Zdrugiejstrony,wszystkiewyborymożemy podzielićnadwierozdzielnegrupy.Wjednejumieścimyte,którezawierają kulębiałą.Jesttychmożliwości k n –odkładamybiałąkulęizpozostałych losujemy n kul.Wdrugiejgrupieumieszczamytewybory,któreniezawierają
białejkuli.Usuwamybiałąizpozostałychlosujemy n +1 kul–k n +1 . Wobectegomamy
Wykorzystującostatniąrówność,dostajemy
Zatem