Mattehjelperen. Leksehjelp for foreldre og elever på ungdomsskolen

Mattehjelperen.book Page 1 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM

Mattehjelperen.book Page 2 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM

Mattehjelperen.book Page 3 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM

Hanan M. Abdelrahman

Mattehjelperen Leksehjelp for foreldre og elever p책 ungdomsskolen

Mattehjelperen.book Page 4 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM

© 2015 J.M. Stenersens Forlag AS Omslagsdesign: Martin Kvamme Omslagsbilde: Billybonkers Sats: akzidenz as | Dag Brekke Repro: Løvaas Lito AS Papir: Hello Fat Mat 115 g Boken er satt med: Minion Pro 11/15 Trykk og innbinding: Print Best ISBN: 978-82-7201-591-5

J.M. Stenersens Forlag Stortingsg. 12 0161 Oslo www.jms.no post@jms.no Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor (www.kopinor.no).

MattehjelperenTOC.fm Page 5 Friday, November 21, 2014 12:11 PM

Innhold

Kapittel 1 Tall Brøk - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -21 Potenser - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -38

Kapittel 2 Algebra Likninger og ulikheter - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -70

Kapittel 3 Funksjoner Digitale hjelpemidler: Geogebra - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -113

Kapittel 4 Måling og geometri Måleenheter og omgjøring - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -123 Geometri- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -137 Konstruksjon med passer og linjal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -180 Konstruere en trekant med Geogebra - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -185 Ulike typer romfigurer - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -191

MattehjelperenTOC.fm Page 6 Monday, January 5, 2015 9:55 AM

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Statistikk - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 202 Excel - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 209 Sannsynlighet og kombinatorikk - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 223 Kombinatorikk- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 224 Sannsynlighet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 227

Stikkordregister- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 232

Mattehjelperen.book Page 7 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM

Alle kan bli bedre i matte!

Mine beste opplevelser som mattelærer på ungdomsskolen er å se den enorme mestringsgleden elevene får når de forstår et nytt emne, eller når likningen for første gang går opp. Samtidig vet jeg at mange synes matte er vanskelig. Dette gjelder både elever og foreldre. I løpet av ungdomsskolen forandrer nemlig matten seg: Vi går fra å tenke praktisk og regne med konkrete tallverdier til å begynne å tenke abstrakt, lære å regne med bokstaver og bruke matematikken i større sammenhenger. Mange gir dessverre opp.

Derfor starter denne boka med de helt grunnleggende tingene man må kunne for å forstå matte. Les denne siste setningen en gang til – noen ting må man nemlig bare kunne hvis man skal forstå. Matte er ikke bare for genier som forstår alt etter første øyekast, de finnes stort sett bare på film.

Med litt jobbing mener jeg at alle kan bli bedre i matte. Det har jeg sett, gang på gang.

Denne boka er ment for foreldre som føler at de kommer til kort med leksehjelpen, og for barn som selv ønsker å bli bedre. Den tar deg gjennom hele pensum på ungdomsskolen. Boka kan også brukes av elever på videregående som har hull i kunnskapen sin. Jeg forklarer trinn for trinn hvordan man kan løse oppgaver. Jeg forklarer også hvordan man bruker de digitale verktøyene Excel og Geogebra. Slike digitale verktøy er obligatoriske på eksamen for 10. trinn fra våren 2015. Bakerst i boka er det et register du kan slå opp i for å finne akkurat det du lurer på.

De fleste elevene sikter ikke mot en femmer eller sekser. Veldig mange er fornøyde med en treer eller firer, og noen ønsker først og fremst å bestå. Da blir man demotivert av de vanskeligste oppgavene. De som mestrer matte,

7

Mattehjelperen.book Page 8 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM

derimot, trenger noen ekstra utfordringer. Derfor har jeg stemplet hvert eneste tema med et karaktermål, sånn at du skal få bedre oversikt over hva du trenger å kunne for å få den karakteren du ønsker deg. Jeg har brukt kompetansemålene fra læreplanen for å finne riktig nivå, sammen med det jeg har sett når elevene mine får resultatene fra eksamen.

Mitt ønske med boka er at flere kan få oppleve mestringsgleden som matten gir. Jeg håper også at den kan bidra til å motivere noen elever til å fortsette med matte på videregående, og etter hvert på videre studier.

Jeg elsker jobben min og gleder meg til hver arbeidsdag, og unner flere å jobbe med matematikk.

Lykke til!

Hilsen Hanan Oslo, november 2014

Mattehjelperen.book Page 9 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM

Kapittel 1

Tall

Hvorfor trenger jeg å lære dette?

Dette kapitlet er utrolig viktig, for det danner grunnlaget for alle regneoperasjoner i alle temaene vi skal innom i ungdomsskolen. Mye av stoffet er hentet fra barneskolepensum, men min erfaring er helt tydelig: De elevene som sliter med matte, må starte med dette. Jeg anbefaler på det sterkeste å bruke god tid på å gjennomgå dette kapitlet grundig og regne mange oppgaver. Noen begreper og regler er vi nødt til å pugge og automatisere for å føle oss komfortable i faget. Det er det jeg kaller sunt pugg. Forståelsen skal på alle måter være hovedmålet, men for å nå denne forståelsen og ha glede av abstrakt matematikk er det viktig at vi kan de grunnleggende begrepene og regneoperasjonene.

Disse grunnleggende reglene er ikke minst viktige i hverdagen. De blir ofte brukt når vi regner i praktiske situasjoner. De er kjekke å kunne, uansett om vi skal fortsette med en praktisk eller teoretisk retning i matematikken. Vi kan ikke lære algebra, geometri, sannsynlighetsregning eller statistikk hvis vi ikke kan regne og har god tallforståelse.

9

Mattehjelperen.book Page 10 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM

Titallssystemet Titallssystemet er tallsystemet vårt. Det har bare ti sifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Sifferet 0 (null) markerer en tom plass.

Det kalles tiltallssystem fordi vi grupperer i tiere.

Eksempel

Ti enere gir til sammen en tier: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 Ti tiere gir til sammen en hundrer: 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 100 Ti hundredeler gir til sammen en tidel: 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 = 0,10

Dette vil si at vi får en ny plass på venstre side av plassen vi er i, når vi har gruppert ti enheter i den. Dette fortsetter i det uendelige.

Titallssystemet er et plassverdisystem. Det vil si at plassen til sifferet avgjør verdien sifferet har.

Eksempel

Sifferet 3 har verdien tre hundrere i tallet 320.

Sifferet 3 har verdien tre tideler i tallet 0,34.

Sifferet 1 har tre ulike verdier i tallet 111.

Det første ettallet fra venstre er en hundrer.

Det andre ettallet er en tier.

Det siste ettallet er en ener.

Tallinja Tallinja er en vannrett eller horisontal linje der vi framstiller tallene fra negativt uendelig til positivt uendelig, med null i midten. Skalaen på tallinja kan justeres etter hva vi ønsker å se på.

–5

–4

–3

–2

–1

–0,8 –0,7 –0,6 –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1

10

Mattehjelperen

0

1

0

0,1

2

0,2

3

0,3

0,4

4

0,5

5

0,6

0,7

6

0,8

Mattehjelperen.book Page 11 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM

De ulike tallmengdene: naturlige tall, hele tall, rasjonale tall og reelle tall En tallmengde er en samling av tall som har like egenskaper.

Vi har ulike sentrale tallmengder. Disse tallmengdene er skapt etter behovene som oppsto for å regne ulike størrelser.

De naturlige tallene ℕ Tallmengden for de positive hele tallene

1, 2, 3, 4, 5, … Tallene fortsetter å vokse til uendelig mot høyre på tallinja.

De hele tallene ℤ

…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … Tallene fortsetter å vokse til uendelig både Tallmengden for negative og mot høyre og venstre på tallinja, med positive hele tall i tillegg til null null i midten.

Disse tallene er både positive og negaDe rasjonale tallene ℚ Tallmengden for alle tall som kan tive: • hele tall, for eksempel 1, 2, –5 osv. skrives som brøk • endelige desimaltall, for eksempel 0,125, som er det samme som 1--8 • uendelige periodiske desimaltall, for eksempel 0,333 333, som er det samme som 1--3

De irrasjonale tallene

Slike tall er for eksempel 2 og π.

Tallmengden for alle tall som ikke De har uendelig mange desimaler og kan skrives som brøk kan ikke skrives som brøker.

Disse tallene er både rasjonale og De reelle tallene ℝ Tallmengden som samler alle tall- irrasjonale. Det er hele tallinja. mengder vi har snakket om

Kapittel 1 Tall

11

Mattehjelperen.book Page 12 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM

De reelle tallene ℝ

ℝ ℚ ℤ

Alle typer tall på tallinja

De rasjonale tallene ℚ Alle tall som kan skrives som brøk Hele tall, eks.: 2 =

8 -4

Endelige desimaltall, eks.: 0,125 =

1 -8

Uendelige periodiske desimaltall, eks.

ℕ

0,333 333 333 =

1 -3

De hele tallene ℤ Positive og negative hele tall med 0 i midten, eks.: …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … ∞, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ∞ (∞ betyr uendelig)

De naturlige tallene ℕ Positive hele tall, eks.: 1, 2, 3, 4, …

1, 2, 3, 4, ∞ (∞ betyr uendelig)

Skrive tall på utvidet form Når vi skriver et tall på utvidet form, bryter vi ned tallet og skriver det som et addisjonsstykke som viser verdiene til de ulike sifrene i tallet.

Eksempel

Regler

503,154 = 5 · 100 + 0 · 10 + 3 · 1 + 1 · 0,1 + 5 · 0,01 + 4 · 0,001 503,154 = 5 hundrere + 0 tiere + 3 enere + 1 tidel + 5 hundredeler + 4 tusendeler

• Enerplassen har verdien 1, tierplassen har verdien 10, hundrerplassen har verdien 100, og tusenerplassen har verdien 1000.Vi multipliserer med 10 for å flytte fra en plass til neste plass mot venstre. Vi multipliserer 10 med 1 for å få en tier, 10 med 10 for få en hundrer og 100 med 10 for en tusener.

• Tidelsplassen har verdi 0,1, hundredelsplassen har verdi 0,01, og tusendelsplassen har verdi 0,001.

• Vi dividerer med 10 for å flytte fra en plass til neste plass mot høyre. Vi dividerer 1 med 10 for å få en tidel, 0,1 med 10 for å få ti hundredeler og 0,01 med 10 for å få ti tusendeler.

12

Mattehjelperen

Mattehjelperen.book Page 13 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM

De fire regneartene Navn

Hva vil det si?

Addisjon er det samme som pluss

Å addere vil si å legge sammen to eller flere ledd. ledd + ledd = sum

+ Subtraksjon er det samme som minus

– Multiplikasjon er det samme som ganging

.

Divisjon er det samme som deling

:

NB:

Regler

Vi kan bytte rekkefølge på leddene i et addisjonsstykke. Svaret blir uansett det samme: 3+2=2+3 2+3=5 3+2=5 2+3=5 Å subtrahere vil si å trekke Dersom vi bytter rekkeet ledd fra et annet ledd. følge på leddene i et ledd – ledd = differens subtraksjonsstykke, får vi ulike svar: 3–2≠2–3 3–2=1 3–2=1 2–3=–1 Å multiplisere vil si å gange Vi kan bytte rekkefølge to eller flere faktorer med på faktorene i et multihverandre. plikasjonsstykke. Svaret faktor · faktor = produkt blir uansett det samme: 3·2=2·3 3·2=6 3·2=6 2·3=6 Å dividere vil si å dele en Dersom vi bytter rekkedividend på en divisor. følge på faktorene i et dividend : divisor = kvotient divisjonsstykke, får vi ulike svar: 3:2≠2:3 10 : 2 = 5 3 : 2 = 1,5 2 : 3 = 0,67

Ledd, faktor, dividend, divisor, sum, kvotient og produkt er tallverdier som har ulike navn etter hvilken rolle de har i regnestykker.

Kapittel 1 Tall

13

Mattehjelperen.book Page 14 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM

Ut fra min erfaring som ungdomsskolelærer er det svært nyttig å pugge disse to tabellene:

Den lille addisjonstabellen + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Den lille gangetabellen · 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

14

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mattehjelperen

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Mattehjelperen.book Page 15 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM

Oddetall, partall og primtall Forklaring

Eksempel

Oddetall Tall som gir en rest eller et desimaltall i svaret når vi deler dem på 2 Regel: Oddetall ender på 1, 3, 5, 7 og 9.

Partall Tall som ikke gir rest, men gir et helt tall i svaret når vi deler dem på 2 Regel: Partall ender på 0, 2, 4, 6 og 8.

Primtall Tall som bare kan deles på seg selv og tallet 1 Regel: Tallet 1 er ikke et primtall.

Sammensatte tall Tall som kan divideres med flere tall enn seg selv og 1

13, 15 osv.

13 : 2 = 6,5 eller 6 hele og 1 i rest 15 : 2 = 7,5 eller 7 hele og 1 i rest 12, 14 osv.

12 : 2 = 6 14 : 2 = 7 Primtallene fra og med 1 til og med 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 Tallet 24 er et sammensatt tall som kan divideres med 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 og 24.

Faktorisere hele tall Å faktorisere vil si å skrive et tall som et produkt eller et multiplikasjonsstykke av to eller flere tall (faktorer).

Eksempel

Regel

24 = 12 · 2

Sammensatte tall faktoriserer vi både i primtall og sammensatte tall.

Primtallfaktorisere hele tall Primtallfaktorisering betyr å skrive et tall som et produkt eller et multiplikasjonsstykke av to eller flere primtallfaktorer.

Eksempel

Regel

24 = 2 · 2 · 2 · 3

Vi faktoriserer sammensatte tall bare til primtall.

Kapittel 1 Tall

15

Mattehjelperen.book Page 16 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM

Delelighetsreglene Dette er regler for hvilke tall vi kan dele/dividere et konkret tall på uten at det gir rest eller desimaltall.

Regel

Eksempel

Et tall er delelig med 2 hvis det siste 44, 82 sifferet i tallet er 0, 2, 4, 6 eller 8.

44 : 2 = 22 82 : 2 = 41 Et tall er delelig med 5 hvis det siste 105, 2000 sifferet i tallet er 0 eller 5.

105 : 5 = 21 2000 : 5 = 400 Et tall er delelig med 3 hvis «tverr- 153 summen», det vil si summen av sif- Summen av sifrene i 153 er rene i tallet, finnes i 3-gangen.

1 + 5 + 3 = 9, og da er 153 delelig med 3: 153 : 3 = 51 Et tall er delelig med 9 hvis «tverr- 108. Summen av sifrene i 108 er summen» eller summen av sifrene i 1 + 0 + 8 = 9, og da er 108 delelig tallet finnes i 9-gangen. med 9: 108 : 9 = 12

Minste felles multiplum Minste felles multiplum er det minste felles tallet som to eller flere tall går opp i. Når vi skal finne minste felles multiplum for to tall eller mer, faktoriserer vi alle tallene og finner «det minste felles tallet» som har alle faktorene til tallene våre i seg.

Eksempel

16

Mattehjelperen

Finn minste felles multiplum for 12, 15, 5 og 3.

Vi faktoriserer alle tallene hver for seg: 3=3 5=5 12 = 2 · 2 · 3 15 = 3 · 5 Så finner vi faktorene i minste felles multiplum: Tallet 3 finnes i 3, 12 og 15, da tar vi bare en treer. Tallet 5 finnes i 5 og 15, da tar vi en femmer. Til slutt finnes 2 · 2 bare i 12, da tar vi hele 2 · 2.

Minste felles multiplum blir 3 · 5 · 2 · 2 = 60 Tallet 3 er representert blant faktorene i 60.

Mattehjelperen_1.fm Page 17 Friday, November 21, 2014 10:15 AM

Tallet 5 er representert blant faktorene i 60.

Faktorene i 12 = 2 · 2 · 3 er representert blant faktorene i 60.

Faktorene i 15 = 3 · 5 er representert blant faktorene i 60.

Vi finner altså ikke minste felles multiplum ved å multiplisere alle tallene. I dette tilfellet ville det blitt 3 · 5 · 12 · 15 = 2700 Dette er et unødig stort tall som det er vanskelig å regne videre med.

Regning med negative tall –5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

Regnetegn er tegnet for regneoperasjonen. (+) er regnetegnet for addisjon, (–) er regnetegnet for subtraksjon, (·) er regnetegnet for multiplikasjon, og (:) er regnetegnet for divisjon.

Et fortegn viser om tallet er positivt (+), pluss, eller negativt (–), minus. Vi skriver sjelden (+) foran positive tall for å markere at de er positive, men vi skriver (–) foran negative tall for å markere at de er negative. 5 uten fortegn på venstre side er det samme som +5, altså et positivt tall. (–5) er et negativt tall.

Positivt (+) vil si at vi flytter oss mot høyre på tallinja. +5 betyr altså at vi flytter oss fem enheter mot høyre på tallinja.

Negativt (–) vil si at vi flytter oss mot venstre på tallinja. –5 betyr altså at vi flytter oss fem enheter mot venstre på tallinja.

I et addisjons- eller subtraksjonsstykke begynner vi alltid med å flytte oss fra det første tallet til venstre i stykket.

Eksempel

–5

–4

(–5) + 6 vil si at vi starter fra –5 på tallinja og flytter oss seks enheter mot høyre. Du kan også se for deg et termometer, der vi starter på –5 grader og flytter oss seks grader oppover. Da ender vi på +1 grad.

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

Regler for addisjon og subtraksjon med negative tall Når vi har regnetegn og fortegn rett

etter hverandre mellom leddene i et addisjons- eller subtraksjonsstykke, bruker vi flere regler: Kapittel 1 Tall

17