Hanan M. Abdelrahman
Mattehjelperen
Leksehjelp for foreldre og elever på ungdomsskolen
© 2015 J.M. Stenersens Forlag AS
Omslagsdesign: Martin Kvamme
Omslagsbilde: Billybonkers
Sats: akzidenz as | Dag Brekke
Repro: Løvaas Lito AS Papir: Hello Fat Mat 115 g
Boken er satt med: Minion Pro 11/15
Trykk og innbinding: Print Best
ISBN: 978-82-7201-591-5
J.M. Stenersens Forlag Stortingsg. 12 0161 Oslo
www.jms.no post@jms.no
Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Kapittel 1 Tall
Kapittel 2 Algebra Likninger og ulikheter
Kapittel 3 Funksjoner
Digitale hjelpemidler: Geogebra-
Kapittel 4 Måling og geometri Måleenheter og omgjøring-
Konstruksjon med passer og linjal
en trekant med Geogebra
Ulike typer romfigurer
Innhold
Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet
Sannsynlighet og kombinatorikk-
Kombinatorikk-
Sannsynlighet
Stikkordregister
Alle kan bli bedre i matte!
Mine beste opplevelser som mattelærer på ungdomsskolen er å se den enorme mestringsgleden elevene får når de forstår et nytt emne, eller når likningen for første gang går opp. Samtidig vet jeg at mange synes matte er vanskelig. Dette gjelder både elever og foreldre. I løpet av ungdomsskolen forandrer nemlig matten seg: Vi går fra å tenke praktisk og regne med konkrete tallverdier til å begynne å tenke abstrakt, lære å regne med bokstaver og bruke matematikken i større sammenhenger. Mange gir dessverre opp.
Derfor starter denne boka med de helt grunnleggende tingene man må kunne for å forstå matte. Les denne siste setningen en gang til – noen ting må man nemlig bare kunne hvis man skal forstå. Matte er ikke bare for genier som forstår alt etter første øyekast, de finnes stort sett bare på film. Med litt jobbing mener jeg at alle kan bli bedre i matte. Det har jeg sett, gang på gang.
Denne boka er ment for foreldre som føler at de kommer til kort med leksehjelpen, og for barn som selv ønsker å bli bedre. Den tar deg gjennom hele pensum på ungdomsskolen. Boka kan også brukes av elever på videregående som har hull i kunnskapen sin. Jeg forklarer trinn for trinn hvordan man kan løse oppgaver. Jeg forklarer også hvordan man bruker de digitale verktøyene Excel og Geogebra. Slike digitale verktøy er obligatoriske på eksamen for 10. trinn fra våren 2015. Bakerst i boka er det et register du kan slå opp i for å finne akkurat det du lurer på.
De fleste elevene sikter ikke mot en femmer eller sekser. Veldig mange er fornøyde med en treer eller firer, og noen ønsker først og fremst å bestå. Da blir man demotivert av de vanskeligste oppgavene. De som mestrer matte,
derimot, trenger noen ekstra utfordringer. Derfor har jeg stemplet hvert eneste tema med et karaktermål, sånn at du skal få bedre oversikt over hva du trenger å kunne for å få den karakteren du ønsker deg. Jeg har brukt kompetansemålene fra læreplanen for å finne riktig nivå, sammen med det jeg har sett når elevene mine får resultatene fra eksamen.
Mitt ønske med boka er at flere kan få oppleve mestringsgleden som matten gir. Jeg håper også at den kan bidra til å motivere noen elever til å fortsette med matte på videregående, og etter hvert på videre studier. Jeg elsker jobben min og gleder meg til hver arbeidsdag, og unner flere å jobbe med matematikk.
Lykke til!
Hilsen Hanan Oslo, november 2014
Kapittel 1 Tall
Hvorfor trenger jeg å lære dette?
Dette kapitlet er utrolig viktig, for det danner grunnlaget for alle regneoperasjoner i alle temaene vi skal innom i ungdomsskolen. Mye av stoffet er hentet fra barneskolepensum, men min erfaring er helt tydelig: De elevene som sliter med matte, må starte med dette. Jeg anbefaler på det sterkeste å bruke god tid på å gjennomgå dette kapitlet grundig og regne mange oppgaver. Noen begreper og regler er vi nødt til å pugge og automatisere for å føle oss komfortable i faget. Det er det jeg kaller sunt pugg. Forståelsen skal på alle måter være hovedmålet, men for å nå denne forståelsen og ha glede av abstrakt matematikk er det viktig at vi kan de grunnleggende begrepene og regneoperasjonene.
Disse grunnleggende reglene er ikke minst viktige i hverdagen. De blir ofte brukt når vi regner i praktiske situasjoner. De er kjekke å kunne, uansett om vi skal fortsette med en praktisk eller teoretisk retning i matematikken. Vi kan ikke lære algebra, geometri, sannsynlighetsregning eller statistikk hvis vi ikke kan regne og har god tallforståelse.
Titallssystemet
Titallssystemet er tallsystemet vårt. Det har bare ti sifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Sifferet 0 (null) markerer en tom plass. Det kalles tiltallssystem fordi vi grupperer i tiere.
Eksempel Ti enere gir til sammen en tier: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10
Ti tiere gir til sammen en hundrer: 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 100
Ti hundredeler gir til sammen en tidel:
0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 = 0,10
Dette vil si at vi får en ny plass på venstre side av plassen vi er i, når vi har gruppert ti enheter i den. Dette fortsetter i det uendelige.
Titallssystemet er et plassverdisystem. Det vil si at plassen til sifferet avgjør verdien sifferet har.
Eksempel
Sifferet 3 har verdien tre hundrere i tallet 320.
Sifferet 3 har verdien tre tideler i tallet 0,34.
Sifferet 1 har tre ulike verdier i tallet 111.
Det første ettallet fra venstre er en hundrer.
Det andre ettallet er en tier.
Det siste ettallet er en ener.
Tallinja
Tallinja er en vannrett eller horisontal linje der vi framstiller tallene fra negativt uendelig til positivt uendelig, med null i midten. Skalaen på tallinja kan justeres etter hva vi ønsker å se på.
–5–4–3–2–10123456 –0,8–0,7–0,6–0,5–0,4–0,3–0,2–0,100,10,20,30,40,50,60,70,8
De ulike tallmengdene: naturlige tall, hele tall, rasjonale tall og reelle tall
En tallmengde er en samling av tall som har like egenskaper. Vi har ulike sentrale tallmengder. Disse tallmengdene er skapt etter behovene som oppsto for å regne ulike størrelser.
De naturlige tallene ℕ
Tallmengden for de positive hele tallene
De hele tallene ℤ
Tallmengden for negative og positive hele tall i tillegg til null
De rasjonale tallene ℚ
Tallmengden for alle tall som kan skrives som brøk
1, 2, 3, 4, 5, … Tallene fortsetter å vokse til uendelig mot høyre på tallinja.
…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … Tallene fortsetter å vokse til uendelig både mot høyre og venstre på tallinja, med null i midten.
Disse tallene er både positive og negative:
•hele tall, for eksempel 1, 2, –5 osv. •endelige desimaltall, for eksempel 0,125, som er det samme som •uendelige periodiske desimaltall, for eksempel 0,333 333, som er det samme som
De irrasjonale tallene
Tallmengden for alle tall som ikke kan skrives som brøk
De reelle tallene ℝ
Tallmengden som samler alle tallmengder vi har snakket om
Disse tallene er både rasjonale og irrasjonale. Det er hele tallinja. 1 8 1 3 2 π
Slike tall er for eksempel og . De har uendelig mange desimaler og kan ikke skrives som brøker.
Skrive tall på utvidet form
Dereelletallene ℝ
Alle typer tall på tallinja
Derasjonaletallene ℚ
Alle tall som kan skrives som brøk
Hele tall, eks.: 2 =
Endelige desimaltall, eks.: 0,125 =
Uendelige periodiske desimaltall, eks.
0,333 333 333 =
Deheletallene ℤ
Positive og negative hele tall med 0 i midten, eks.:
…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … ∞, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ∞ (∞ betyr uendelig)
Denaturligetallene ℕ
Positive hele tall, eks.: 1, 2, 3, 4, … 1, 2, 3, 4, ∞ (∞ betyr uendelig) 8 4 1 8 1 3
Når vi skriver et tall på utvidet form, bryter vi ned tallet og skriver det som et addisjonsstykke som viser verdiene til de ulike sifrene i tallet.
Eksempel 503,154 = 5 · 100 + 0 · 10 + 3 · 1 + 1 · 0,1 + 5 · 0,01 + 4 · 0,001 503,154 = 5 hundrere + 0 tiere + 3 enere + 1 tidel + 5 hundredeler + 4 tusendeler
Regler • Enerplassen har verdien 1, tierplassen har verdien 10, hundrerplassen har verdien 100, og tusenerplassen har verdien 1000.Vi multipliserer med 10 for å flytte fra en plass til neste plass mot venstre. Vi multipliserer 10 med 1 for å få en tier, 10 med 10 for få en hundrer og 100 med 10 for en tusener.
• Tidelsplassen har verdi 0,1, hundredelsplassen har verdi 0,01, og tusendelsplassen har verdi 0,001.
• Vi dividerer med 10 for å flytte fra en plass til neste plass mot høyre. Vi dividerer 1 med 10 for å få en tidel, 0,1 med 10 for å få ti hundredeler og 0,01 med 10 for å få ti tusendeler.
De fire regneartene
NavnHva vil det si?Regler
Addisjon er det samme som pluss +
Subtraksjon er det samme som minus
Å addere vil si å legge sammen to eller flere ledd. ledd + ledd = sum
2 + 3 = 5
Å subtrahere vil si å trekke et ledd fra et annet ledd. ledd – ledd = differens
3 – 2 = 1
Multiplikasjon er det samme som ganging .
Divisjon er det samme som deling :
Å multiplisere vil si å gange to eller flere faktorer med hverandre. faktor · faktor = produkt
3 · 2 = 6
Å dividere vil si å dele en dividend på en divisor. dividend : divisor = kvotient
10 : 2 = 5
Vi kan bytte rekkefølge på leddene i et addisjonsstykke. Svaret blir uansett det samme:
3 + 2 = 2 + 3
3 + 2 = 5
2 + 3 = 5
Dersom vi bytter rekkefølge på leddene i et subtraksjonsstykke, får vi ulike svar:
3 – 2 ≠ 2 – 3
3 – 2 = 1
2 – 3 = – 1
Vi kan bytte rekkefølge på faktorene i et multiplikasjonsstykke. Svaret blir uansett det samme:
3 · 2 = 2 · 3
3 · 2 = 6
2 · 3 = 6
Dersom vi bytter rekkefølge på faktorene i et divisjonsstykke, får vi ulike svar:
3 : 2 ≠ 2 : 3
3 : 2 = 1,5
2 : 3 = 0,67
NB: Ledd, faktor, dividend, divisor, sum, kvotient og produkt er tallverdier som har ulike navn etter hvilken rolle de har i regnestykker.
Ut fra min erfaring som ungdomsskolelærer er det svært nyttig å pugge disse to tabellene:
Den lille addisjonstabellen
+12345678910
1 234567891011
2 3456789101112
3 45678910111213
4 567891011121314
5 6789101112131415
6 78910111213141516
7 891011121314151617
8 9101112131415161718
9 10111213141516171819
10 11121314151617181920
Den lille gangetabellen
·12345678910
1 12345678910
2 2468101214161820
3 36912151821242730
4 481216202428323640
5 5101520253035404550
6 6121824303642485460
7 7142128354249566370
8 8162432404856647280
9 9182736455463728190
10 102030405060708090100
Oddetall, partall og primtall
Forklaring Eksempel
Oddetall
Tall som gir en rest eller et desimaltall i svaret når vi deler dem på 2
Regel: Oddetall ender på 1, 3, 5, 7 og 9.
Partall
Tall som ikke gir rest, men gir et helt tall i svaret når vi deler dem på 2
Regel: Partall ender på 0, 2, 4, 6 og 8.
Primtall
Tall som bare kan deles på seg selv og tallet 1
Regel: Tallet 1 er ikke et primtall.
Sammensattetall
Tall som kan divideres med flere tall enn seg selv og 1
Faktorisere hele tall
13, 15 osv.
13 : 2 = 6,5 eller 6 hele og 1 i rest
15 : 2 = 7,5 eller 7 hele og 1 i rest
12, 14 osv.
12 : 2 = 6
14 : 2 = 7
Primtallene fra og med 1 til og med 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
Tallet 24 er et sammensatt tall som kan divideres med 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 og 24.
Å faktorisere vil si å skrive et tall som et produkt eller et multiplikasjonsstykke av to eller flere tall (faktorer).
Eksempel 24 = 12 · 2
Regel Sammensatte tall faktoriserer vi både i primtall og sammensatte tall.
Primtallfaktorisere hele tall
Primtallfaktorisering betyr å skrive et tall som et produkt eller et multiplikasjonsstykke av to eller flere primtallfaktorer.
Eksempel 24 = 2 · 2 · 2 · 3
Regel Vi faktoriserer sammensatte tall bare til primtall.
Delelighetsreglene
Dette er regler for hvilke tall vi kan dele/dividere et konkret tall på uten at det gir rest eller desimaltall.
RegelEksempel
Et tall er delelig med 2 hvis det siste
sifferet i tallet er 0, 2, 4, 6 eller 8.
Et tall er delelig med 5 hvis det siste sifferet i tallet er 0 eller 5.
Et tall er delelig med 3 hvis «tverrsummen», det vil si summen av sifrene i tallet, finnes i 3-gangen.
Et tall er delelig med 9 hvis «tverrsummen» eller summen av sifrene i tallet finnes i 9-gangen.
Minste felles multiplum
44, 82
44 : 2 = 22
82 : 2 = 41
105, 2000
105 : 5 = 21
2000 : 5 = 400
153
Summen av sifrene i 153 er 1 + 5 + 3 = 9, og da er 153 delelig
med 3: 153 : 3 = 51
108. Summen av sifrene i 108 er 1 + 0 + 8 = 9, og da er 108 delelig med 9: 108 : 9 = 12
Minste felles multiplum er det minste felles tallet som to eller flere tall går opp i. Når vi skal finne minste felles multiplum for to tall eller mer, faktoriserer vi alle tallene og finner «det minste felles tallet» som har alle faktorene til tallene våre i seg.
Eksempel Finn minste felles multiplum for 12, 15, 5 og 3.
Vi faktoriserer alle tallene hver for seg:
3 = 3
5 = 5
12 = 2 · 2 · 3 15 = 3 · 5
Så finner vi faktorene i minste felles multiplum:
Tallet 3 finnes i 3, 12 og 15, da tar vi bare en treer. Tallet 5 finnes i 5 og 15, da tar vi en femmer. Til slutt finnes 2 · 2 bare i 12, da tar vi hele 2 · 2.
Minste felles multiplum blir
3 · 5 · 2 · 2 = 60
Tallet 3 er representert blant faktorene i 60.
Tallet 5 er representert blant faktorene i 60.
Faktorene i 12 = 2 · 2 · 3 er representert blant faktorene i 60.
Faktorene i 15 = 3 · 5 er representert blant faktorene i 60.
Vi finner altså ikke minste felles multiplum ved å multiplisere alle tallene. I dette tilfellet ville det blitt
3 · 5 · 12 · 15 = 2700
Dette er et unødig stort tall som det er vanskelig å regne videre med.
Regning med negative tall
–4 –3 –2
Regnetegn er tegnet for regneoperasjonen. (+) er regnetegnet for addisjon, (–) er regnetegnet for subtraksjon, (·) er regnetegnet for multiplikasjon, og (:) er regnetegnet for divisjon.
Et fortegn viser om tallet er positivt (+), pluss, eller negativt (–), minus. Vi skriver sjelden (+) foran positive tall for å markere at de er positive, men vi skriver (–) foran negative tall for å markere at de er negative. 5 uten fortegn på venstre side er det samme som +5, altså et positivt tall. (–5) er et negativt tall.
Positivt (+) vil si at vi flytter oss mot høyre på tallinja. +5 betyr altså at vi flytter oss fem enheter mot høyre på tallinja.
Negativt (–) vil si at vi flytter oss mot venstre på tallinja. –5 betyr altså at vi flytter oss fem enheter mot venstre på tallinja.
I et addisjons- eller subtraksjonsstykke begynner vi alltid med å flytte oss fra det første tallet til venstre i stykket.
Eksempel (–5) + 6 vil si at vi starter fra –5 på tallinja og flytter oss seks enheter mot høyre. Du kan også se for deg et termometer, der vi starter på –5 grader og flytter oss seks grader oppover. Da ender vi på +1 grad.
–5–4–3–2–10123456
Regler for addisjon og subtraksjon med negative tall Når vi har regnetegn og fortegn rett etter hverandre mellom leddene i et addisjons- eller subtraksjonsstykke, bruker vi flere regler: