Page 1

Maltepe Anadolu Lisesi 12-C Sınıfı öğrencisi Irmak Eskiar tarafından hazırlanmıştır.


Editörden Matematik, pekinlik (kuşku götürmezlik), sağınlık (yanlışsızlık) ve anlaşılırlık bakımlarından en üst düzeyde düşünsel ürünlerden oluşan bir bilgi alanı; bir soyutlama, bir disiplin ve bir düşünce biçimidir. Mantıksal, biçimsel ve simgesel bir sistemdir; akıl yürütmeye dayalı bir imgeler ve kurallar oyunudur; evrensel bir dildir. Matematik derin düşünce sanatıdır. Bu sanatı insanlara kazandırmak ve onları doğru, mantıklı ve daha iyi düşünmeye alıştırmak amaçlanmaktadır.

Matematik-chi dergisi , matematiği en yalın, en güzel, en doğal haliyle anlatmayı amaçlayan popüler bir matematik dergisidir. Lise öğrencilerinin yanında, matematiksever herkes Matematikchi dostudur.İçerdiği bilgiler doğru ve evrenseldir. Matematik-chi bilgilendirmeyi, akıl yürüttürmeyi ve düşündürmeyi sever. Bu dergide matematikte ve mühendislik biliminde çok önemli bir yere sahip, sıkça kullanılan sabit bir reel sayı olan ‘’E Sayısı ( Euler Sabiti ) ’’ tüm detayları ile gözler önüne serilmiştir. Derginin yapımında desteğini esirgemeyen okul müdürümüz Sayın Selami Aksakallı’ya , danışmanlığıyla beni yönlendiren matematik öğretmenim Sayın Serdar Yılmaz’a ve her zaman yanımda olan aileme teşekkürü bir borç bilirim. Keyifli okumalar dilerim. Irmak Eskiar 12-C / 1215


İçindekiler • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

e Sayısını Kim Buldu? Euler’in Ayrıcalıkları Euler’in İlgi Alanları Euler’ in Matematiğe Katkıları Euler Formülü ve Euler Özdeşliği Eşitliklerin En Güzeli: Euler Formülü e sayısı matematiğin muhteşem beş sayısından biridir… Bu Formül Ne Diyor ? e Sayısı’nın Ortaya Çıkması ve Gelişimi Kanıtlar Peki Bernoulli Bu Sayıyı Nasıl Buldu? e sayısı neden irrasyoneldir? e sayısının özellikleri e sayısı ile ilişkili bazı ilginç sayılar e ve Günümüzde e sayısı nerelerde kullanılıyor? Doğal logaritma (e sayısı logaritmanın tabanıdır )günlük hayatta nerelerde kullanılıyor? İlginç … Kaynaklar


e Sayısını Kim Buldu? •

• • • • • • • • •

e’ nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından, aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır. “Matematiğin Prensi” olarak Gauss’u gösteriyorsak, kralı da Euler’dir. Leonard Euler 15 Nisan 1707 yılında İsviçre’nin Basel kentinde doğmuştur. Matematikçi, fizikçi, astronom, mekanikçi, felsefeci…. Çocukluğu boyunca aile dostları olan Jacob Bernoulli’den matematik dersi almıştır. Euler Protestan papazı olan babasının isteği ile Basel üniversitesinde İlahiyat, İbranice ve Yunanca dersleri almıştır. Jacob Bernoulli’nin babasını ikna etmesi ile matematiğe yönelmiştir. Euler Basel Üniversitesinde Newton, Descartes, Taylor, Galileo gibi önemli matematikçilerin çalışmalarıyla ilgilenmiştir. 1726’ da üniversiteden mezun oldu. 1726 yılında Paris Bilimler Akademisinin yayınladığı bir gemi üzerine en iyi direk yerleştirmenin nasıl olacağı konusundaki soru hakkında çalışmaları sebebiyle 20 yaşında mansiyon ödülü verilmiştir.

Jacob Bernoulli

Leonard Euler


e Sayısını Kim Buldu? •

• •

20 yaşındaki bir insanın Paris gibi önemli bir bilim akademisinden ödül alması üzerine 1727 yazı için St. Petersburg (Rusya) bulunan matematik akademisinden kendisi için matematik uygulamaları dersi için mükemmel bir davet almıştır. Euler 21 yaşında mezun olduğu okul olan Basel Üniversitesine başvuru yapsa da reddedilmiştir. Bunun üzerine 1727 yılında Basel’i terkedip St.Petersburg’a yerleşti. Bu gidiş aslında ömrünün bir bölümünün orada geçirmesine neden olacaktı. 1730 yılında matematik akademisinde fizik profesörlüğüne terfi ettirildi. Basel’e 3 yıl gibi bir süre sonra geri dönen dahi reddedildiği Basel Üniversite’ne profesör olarak matematik kürsüsüne oturmuştur. Akademinin kütüphane ve bilimsel yayınlar komitesinde çalışıyor; hükümete piyangolar, sigorta, ücretler, emekli aylıkları ve topçuluk konularında danışmanlık yapmıştır. 1730’dan itibaren haritacılık, eğitim, manyetizma, motorlar, makineler, gemi inşası konularında devlet projelerini yürüttü. Matematikte araştırmaları, sayılar teorisi, diferansiyel denklemler, varyasyonlar hesabı ve rasyonel mekanik üzerine yoğunlaştı. 1736-37 yıllarında pek çok makalesi ve bir mekanik kitabı yayınlandı. Hayatında evinin yanması ve eşinin vefatı gibi trajediler yaşamış olsa da, gözleri görmese de çalışmalarını tamamlamıştır. 18 Eylül 1783’te beyin kanaması nedeniyle ölmüştür.


e Sayısını Kim Buldu? •

Katherina Gsell ile evlenir ve toplam 13 çocuğu olmasına rağmen bunların 8 tanesi bazı nedenlerden dolayı yaşamını yitirmiştir. Euler’in iddasına göre en önemli matematiksel teoremleri bir çocuğu kucağında ve diğeri bacağından çekiştirirken bulmuştur. Euler , 1735 te sağlık problemleri yaşamaya başlar . Humma hastalığına yakalanır ve sonrasında sağ gözü görmemeye başlar. 1766 yılında tamamen kör olmuştur. Çalışmaları 1783’te ölümünden sonra 50 yıl daha yayınlanmıştır. Euler’in çalışmalarının tamamı eğer basılsaydı 60 ve 80 quarto ciltlik yer kaplardı. Uzun ve üretken kariyeri boyunca Euler bin mektup yazmıştır ve yaklaşık iki bin daha vardır. Bu mektupların çoğu son iki yüzyılda çeşitli kaynaklarda yayınlanmış, ancak daha pek çoğu ortaya çıkmamıştır.

Katherina Gsell

Charles Hermite

Leonhard Euler


Euler’in Ayrıcalıkları • • • •

Euler’in inanılmaz bir hafızası vardır, eski yunandan bir şiiri hatasız ezberleyip her sayfadaki ilk ve son satırı söyleyebilirdi. Asteroid 2002 Euler onun onuruna isimlendirilmektedir. Michael H. Hart’ın ‘’ Dünya Tarihine Yön Veren En Etkin 100 ‘‘ listesinde 77. sırada gösterilmiştir. 20 yıl boyunca ( 1979 – 1996 ) resmi İsviçre kağıt paralarının üzerinde kullanılmıştır.

İsviçre kağıt parası


Euler’in İlgi Alanları Euler matematiğin neredeyse tüm alanlarında çalışmıştır: • Geometri • Aritmetik • Trigonometri • Cebir • Sayı teorisi Euler, fizik, astronomi , optik, tıp, botanik ve kimya alanlarında da önemli çalışmalar yapmıştır.


Euler’ in Matematiğe Katkıları • İki yemek öğünü arasında tam bir matematiksel ispatı yapabildiğine dair iddialar da olan Euler, kalkülüs, topoloji, sayılar teorisi, analiz ve graf teorisi konularında çok sayıda çalışma yapmış ve günümüz matematiğine uzanan yolların en önemli köşe taşlarını döşemiştir.

• Euler eşitliği matematikte gelmiş geçmiş en güzel formül olarak tüm matematikçilere ilham vermeye devam ediyor.


Euler’ in Matematiğe Katkıları •

Bernoulli sayıları, Fourier serileri, Venn diyagramı, Euler sayıları, e ve pi sabitleri, sürekli kesirler ve integrallerin pek çok uygulamasını tanımladı. Sonsuz çarpım ve trigonometrik fonksiyonların kısmi kesir gösterimini keşfetti. Onun ilk katkılarından bir tanesi de matematiksel ifadelere sağladığı gösterimlerdir. Aralarında fonksiyon işareti (f(x)); trigonometrik fonksiyonların tanımları (sin, cos, tan); doğal logaritmanın tabanı olan müthiş “Euler Sayısı”nın işareti “e”; toplam hesaplamaları için kullanılan Yunan harfi Sigma (Ʃ); sanal sayıların işareti olan “i” ve çemberin çevresinin çapına oranını ifade eden pi sayısının işareti π bulunmaktadır. Bütün bunlar modern matematikte inanılmaz öneme sahip denklemlerin gösterimleri olmakla beraber hayatımızdaki basit günlük işlerimizden tutun çok daha karmaşık matematiksel hesaplara kadar daima kullanımdadırlar. Euler toplam 380’den fazla makaleye sahiptir.


Euler’ in Matematiğe Katkıları •

• • •

• • • • • • •

Paris akademisinden yapılan açıklamada ise Eulerin çalışma kağıtlarını ve not defterlerini basmak için 20 yıl kadar süreye ihtiyaçları olduklarını belirtmesi Eulerin gözünün ne kadar zorlandığının bir apaçık göstergesidir. Gama fonksiyonları ve gama yoğunluk fonksiyonlarını tanıtarak yüksek transandantal fonksiyonlar teorisini ayrıntılandırdı. Dördüncü derece polinomların çözümü için yeni bir yöntem tanıttı. Newton’un özdeşlikleri, Fermat’nın küçük teoremi ve Fermat’nın iki kare toplamı teoremini ispatladı ve Lagrange’ ın dört kare teoremine önemli katkılarda bulundu. Kombinasyonlar, değişkenler hesabı ve diferansiyel denklemlere katkılarda bulundu. Hipergeometrik seriler teorisi, q-serileri ve sürekli kesirlerin analitik teorisinin yaratıcısı oldu. Bir diophantine denklemler dizisini çözdü. Hiperbolik trigonometrik fonksiyonları tanıttı ve üzerinde çalışmalar yaptı. Kompleks limitli integralleri hesapladı ve Cauchy üzerinden çevresel integral ve kompleks analizi gerçekleştirdi. Eliptik integraller için ek bir teorem geliştirdi. Euler-Lagrange denklemini ortaya çıkaran değişkenler hesabını geliştirdi. Gerçel sayı üslü iki terimliler için binomial teoremini ispatladı.


Euler’ in Matematiğe Katkıları • •

• • •

Negatif sayıların logaritmasını ayrıntılandırdı. Leibniz’in diferansiyel hesabını Newton’un akışkanlar yöntemine entegre etti. Değişkenler hesabının fiziğe olan uygulamasında öncülük etti. İntegraller, toplamlar ve serilerin hesabını kolaylaştıran EulerMaclaurin formülünün yaratıcılarından biri oldu. Diferansiyel denklemler teorisine çok önemli katkılarda bulundu. Hesaplamalı mekanikte kullanılan yaklaştırmalar serisini tanımladı. Bu yaklaştırmalardan en kullanışlı olanı Euler yöntemi olarak bilinir. Howard Garns’ın sayı yapbozu SuDoku’na esin kaynağı olmuş Latin Karesi’ni Euler’in yarattığı yönünde bir yanlış anlaşılma bulunmaktadır. Greco-Latin karelerinin birkaç bin yıllık tarihi vardır. Özellikle kabir ve mezarların üstünde tılsım olarak kullanılırdı ve Euler doğmadan bin yıl önce Jabirean Corpus’ta üçten dokuza kadar Arap sayıbilimciler tarafından etraflıca numaralanmıştı. Euler’in tek yaptığı popülaritesini canlandırmak olmuştu. Sayı teorisinde totient fonksiyonunu buldu. Pozitif tamsayı n’in totient’i φ(n) , n’e eşit ya da küçük pozitif tam sayılar ve “n” ile asal olan sayıların sayısı olarak tanımlanır. Örneğin, φ(8) = 4’tür çünkü 1, 3, 5 ve 7 olmak üzere dört sayı 8’ e asaldır. Bu fonksiyon yardımı ile Euler Fermat’ın Little teoremini Euler teoremine genelleştirebildi. 1735 yılında Euler uzun süredir çözülemeyen Basel Problemini çözerek bilimsel şöhretini tekrar doğrulatmış oldu:


Euler’ in Matematiğe Katkıları •

Geometri ve cebirsel topolojide, kenar sayıları, köşeler ve dışbükey çok yüzlülerin yüzleri arasında bir ilişki bulunmaktadır (Euler Formülü olarak da adlandırılır). Birçok yüzlü için, köşelerin ve yüzlerin sayısının toplamı kenar sayısının toplamı artı ikidir, örneğin Y + KÖ = KE + 2. Teoremi herhangi bir düzlemsel grafiğe uygulamak mümkündür. Düzlemsel olmayan grafiklerde bir genelleme vardır: Eğer grafik bir “M” manifoldunun içine gömülebiliyorsa Y – KE + KÖ = χ(M) olarak yazılabilir (χ manifoltun Euler karakteristiği, sürekli deformasyon altında değişmez bir sabittir.). Bir küre ya da düzlem gibi basit bağlanmış manifoltun Euler karakteristiği 2’dir. Euler formülünün gelişigüzel düzlemsel grafikler için genelleştirilmiş şekli mevcuttur: “Y” – “KE” + “KÖ” – C = 1 (“C” grafikteki bileşenlerin sayısıdır).


Euler’ in Matematiğe Katkıları 1736 yılında Königsberg’in yedi köprüsü olarak bilinen bir problemi çözdü ve grafik teorisi ve topolojinin ilk uygulaması olan “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” isimli makaleyi çıkardı.


Euler’ in Matematiğe Katkıları •

1739 yılında matematik ve müziği bir araya getirmek için “Tentamen novae theoriae musicae” yazdı. Yapılan yorumlarda “müzisyenler için çok ileri, matematik ve matematikçiler için çok müzikal” deniyordu. ( https://vimeo.com/6993216 )


Euler’ in Matematiğe Katkıları


Euler Formülü ve Euler Özdeşliği


Bir formülün güzelliğinin farkına varabilmek için öğeleri hakkında bilgi sahibi olmak gerekir. Bertrand Russell bunu şöyle anlatır: “Matematik doğru açıdan bakıldığında, sadece gerçeğe değil ulvi bir güzelliğe de sahiptir. Bu güzellik bir heykeldeki gibi soğuk ve serttir. Zayıf doğamız için herhangi bir çekiciliği olmayan, resmin veya müziğin göz kamaştırıcı süslerinin olmadığı ama yine de yüce bir saflıkta ve tam bir kusursuzluk içinde.”


Eşitliklerin En Güzeli: Euler Formülü • Matematiksel güzellik nedir? Bir çok kişi bu soruya anlamlı bir cevap veremeyecektir. Oysa G.H.Hardy kitabında, teoremlere zarafeti kazandıran özelikleri şöyle sıralıyor: Ciddiyet, derinlik, genellik, beklenmedik olma, kaçınılmazlık ve ekonomi. Bir tabloyu sanat yapıtı yapan şey doğadaki nesneleri, ışıkları, gölgeleri ve renkleri uyumlu bir düzen içinde sunuşudur. Genellikle, sanat yapıtı sayılan bir tabloda, estetik sahibi birisini rahatsız edecek renk, ışık ve gölge eksikliği ya da fazlalığı olmaz. Bu olgu estetiğin minimal tamlık ve maksimum yarar ilkesidir. Acaba matematikte bu olabilir mi? Evet, hem de ölçülebilir biçimde minimal tamlık ve maksimum yarar ilkesi uygulanabilir. İşte Euler Formülü bu ölçütlere uymaktadır. Bu görüşte birçok matematikçi birleşmektedir. Formül deyince bir dakika durmamız gerekli, neden bazı kaynaklarda belirtildiği gibi Euler Denklemi ya da Euler Özdeşliği değil de formülü… Eğer adına denklem deseydik bir çözümü olması lazımdı… Demek ki denklem değil… Eğer adına özdeşlik deseydik değişkenler yerine ne yazılırsa yazılsın sonucun sağlaması lazımdı, ancak işin içinde zaten hiç değişken yok, demek ki özdeşlikte değil… Geriye kala kala formül demek kaldı elimizde.


Eşitliklerin En Güzeli: Euler Formülü •

Matematiksel güzellik denince akla ilk olarak Euler formülü gelir. Bilindiği kadarıyla, 1700’lü yıllarda yaşamış İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’in kendisi, formülü bu şekliyle hiç yazmamıştır:

Burada e sayısı doğal logaritma tabanı ve i sayısı -1’in kareköküdür. Denklemin matematik bilen herkes için dayanılmaz bir cazibesi vardır. Çünkü o, matematiğin beş önemli nesnesini içerir: 0, 1, e, i , π. • Euler formülünü oluşturan öğeleri bildiğimize göre eşitlikte teta değerini π olarak alırsak ve biraz trigonometri bilgisiyle (sin π = 0 ve cos π = -1) eşitliğimiz;

• •

Bu iki denklem birbirine tamamen denktir. Fakat Euler tarafından keşfedilen ve aşağıdaki gibi ifade edilen üstel büyüme ile dairesel hareket eşdeğerliliğinin özel bir durumu olduğu için Euler’in adıyla anılır:

Bu özdeşlikten söz ederken çoğu zaman sırasıyla kosinüs, i sayısı ve sinüs kısaltılarak “cis teta” denir. Amerikalı kuramsal fizikçi Richard Feynman, karmaşık sayı aritmetiğinin temel denklemlerinden biri olan Euler özdeşliğini “matematikteki en harikulâde formül” olarak tanımlamıştır. Bu özdeşlikten türetilen Euler formülünün beş tane matematiksel sabitten oluşan basit görünüşünün altındaki engin derinlik sezildiğinde ise insan öylece bakakalır.


e sayısı matematiğin muhteşem beş sayısından biridir… •

Bu beş sayı:


e sayısı matematiğin muhteşem beş sayısından biridir… Sıfır (0) • Hiçlik, boşluk ve sonsuzluk kavramlarının tarihi çok eskiye dayanır. Ancak Yunanlılar ve diğer Batı kültürleri yokluk yani 0 ile hesaplama yapabilecekleri kurallar keşfedememiştir. • İzi sürülebilen en eski sıfır ifadesi, 650 yılı civarında yaşamış Hintli düşünür Brahmagupta’ya dek uzanır. • Bu buluş, bir diğer Hint icadı olan basamaklı değer kavramı ile birleşince çok daha kullanışlı hale gelmiştir. • Yöntemin Avrupa’da tam anlamıyla benimsenmesi ise 15.yüzyılı bulmuştur. Bir (1) • 1 sayısı olmadan ileri aritmetik olmazdı. Sonuçta tüm diğer sayılar kaç tane 1 olduğunu söyler. • Ayrıca 0 ve 1 tüm bilgisayarların altyapısını oluşturan ikilik sistem rakamları olup, 0’ın yokluğu simgeleyişi gibi 1 de varlığı simgeler.


e sayısı matematiğin muhteşem beş sayısından biridir… i sayısı • Ortaöğretimde negatif sayıların kökünün olmadığı söylenir; çünkü henüz sanal sayılarla tanışmak için erkendir. i sayısı -1’in karekökü olarak tanımlanır.

• •

• •

Sanal sayıların kullanımı büyük ölçüde 16 ve 17.yüzyıllarda başlamıştır. Rene Descartes “sanal” yani o zamanki anlamıyla “hayali” adını biraz da küçümseme amacıyla seçmiştir. Matematiksel kavramların değerinin anlaşılması bazen uzun zaman alır. Sanal sayıların olumlu çağrışım yapmaya başlaması da ancak Euler ve Carl Friedrich Gauss tarafından yararları ortaya çıkarıldığında olmuştur. i sayısının tanımlanmasıyla beraber, n.dereceden bir polinomun n (karmaşık) kökü olması gibi harika bir sonuca varılmıştır.

Örneğin: x - 1 = (x+1) (x-1) (x-i) (x+i) olup, 4 tane kökü vardır. • İşte karmaşık analiz böyle doğmuştur. Modern matematiğin ve kuantum fiziği de dahil matematiksel fiziğin karmaşık analiz olmadan düşünülmesi mümkün değildir.


e sayısı matematiğin muhteşem beş sayısından biridir… π sayısı • Pi sayısı başlangıçta yarıçapı 1 olan dairenin alanı veya çapı 1 olan dairenin çevresi olarak tanımlanmıştır. • Yunan matematikçi Arşimet bu düşünceyi kullanarak Pi için 22/7 yaklaştırmasına ulaşmıştır. • Pi sayısı bilim dünyasında o kadar önemlidir ki kendine özel bir günü bile vardır. 14 Mart dünyada pi günü olarak adlandırılmaktadır. Sebebi ise sayının 3/14’e denk gelmesidir. ( 3. Ay, 14. Gün ). • Π sembolü ile gösterilen pi sayısının gerçek değerini bulmak amacıyla pek çok matematikçi çalışma yapmış olsa da, hemen hemen hepsi sadece belirli bir basamağa kadar bu sayıyı hesaplayabilmiştir. Pi sayısı şu an için bilinen 1.24 trilyon basamağa sahiptir. ( Bu hesaplama bir bilgisayar yardımıyla Fabrice Bellard tarafından yapılmış ve hesaplama yapılırken tam 2 trilyon 700 milyar rakam kullanılmıştır.) • Modern Pi tanımını keşfedense yine Euler olmuştur. e sayısı • 17.yüzyılda doğal logaritma tabanı olarak alınan e sayısı da tıpkı Pi gibi bir aşkın sayıdır. • Virgülden sonraki haneler yinelenmeden ve öngörülemez bir biçimde uzayıp gider.


Altın oranı (1.618 ...) ve pi (3.1415 ...) veya Euler sayısı (2.71828 ...) arasında herhangi bir bağlantı var mıdır?

a altın oran ortaya çıkar. Bundan dolayı

ve

elde ederiz.


Bu Formül Ne Diyor ? •

Euler’in formülünde beş temel sabit bulunuyor: 0, 1, i, e, ve Pi. Bunlara ilaveten bir eşit işareti ve bir artı işareti görüyoruz. Yani ortada toplam yedi simgeden oluşan gizemli bir sözcük varmış gibi görünüyor. Tabi formülü daha da kısa ve negatif sayı içeren şu şekilde yazmak da mümkün:

Eşitlikte teta değerini π olarak alırsak ve biraz trigonometri bilgisiyle (sin π = 0 ve cos π = -1) eşitliği adım adım indirgersek, formüle ulaşabiliriz:

Matematikçilerin çoğu bir formülün güzel olması için beklenmedik bir bağıntı kurmasının yanı sıra kısa, öz ve yararlı olması gerektiğinde hemfikirdir. Bu kıstaslar göz önüne alındığında ise Euler özdeşliğinin rakibinin olmadığı söylenebilir.


e Sayısı’nın Ortaya Çıkması ve Gelişimi •

e sayısının ilk izlerine , logaritmayı icat eden John Napier’nin 1618 tarihli bir kitabının sonunda ki cetvellerde rastlanır. O cetvelleri de William Oughtred’in hazırladığı sanılıyor.

Napier’nin kitabında açık açık e sayısından bahsedilmemekte, sadece bazı logaritmaların e sayısı kullanılarak hesaplandığı anlaşılmaktadır. e’nin matematiksel bir sabit olarak ilk kullanımı 1690-1691 yılları arasında Liebniz’in Christian Huygens’e yazdığı mektuplardadır. Bu mektuplarda sabite e değil b adı verilmiştir. Jacob Bernoulli bileşik faizleri çalışırken ;

• •

dizisinin farkına varmıştır. • Dizinin yakınsak olduğunu kanıtlamış ve limitini, yani e sayısını hesaplamaya çalışmıştır.


e Sayısı’nın Ortaya Çıkması ve Gelişimi • • • • • • • •

e sabitine dolaylı olarak ilk değinen İskoç matematikçi John Napier olmuştur. Napier, 1618’de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır; fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir. e sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur. Bernoulli, e sayısını 1683’te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır. Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’dir. Euler ilk olarak 1731’de Christian Goldbach’a yazdığı bir mektupta bu sabitten “e sayısı” diye bahsetmiştir. Euler'in ilk kullandığı c sembolü D'Alambert ve astronom Upsala'lı Daniel Melandri tarafından da kullanılmıştır. Leibniz Huygens'e yazdığı iki mektupta b harfini kullanmış, ve Acta Zruditorum'da bir yazar 1703 yılında a harfini önermiştir. Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için b ve c harfleri de kullanılmışsa da sonuçta kabul edilen isim e olmuştur. Son derece alçakgönüllü olan ve başkalarının çalışmalarına çok saygılı olan Euler’in bu sayıya kendi adından dolayı e demiş olması pek muhtemel değildir. e ‘nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından,aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır.


e Sayısı’nın Ortaya Çıkması ve Gelişimi • • •

• •

25 Kasım 1731 tarihli bir mektubunda şu ifade görülmektedir: "e, hiperbolik logaritması 1 olan sayıyı gösterir." Fakat,Euler 1727 ya da 1728 gibi erken bir tarihte, 1862'ye kadar basılmayan bir yazmasında e'yi bu aynı sayı için kullanmıştır. Bu sembolün kullanımı Euler ile ilk defa ortaya çıkmıştır, ve bir dizi toplamı olarak ve de hiperbolik logaritma sisteminin tabanı olarak kesin bir sayının varlığının onun tarafından kabul edildiğini gösterir. c'nin kullanımı 1740 yılı sonrasına kadar devam etti, fakat 1736 yılında Mechanica’da e sayısı sürekli olarak kullanılmaya başlamıştır. Euler'in büyük otoritesi ile kısa süre içinde, özellikle de Introductio'mın çıkması ve evrensel kabulünden sonra e genel olarak kullanılmaya başlandı.


e Sayısı’nın Ortaya Çıkması ve Gelişimi •

Euler, e sayısını 1727’de kullanmaya başlamıştır. e sayısını basımevine ilk sokan da Euler’dir; 1736 yılında yayımlanan Mechanica adlı eserinde bu sayıdan söz etmiştir. • e sayısına adını veren Euler büyük olasılıkla ‘’ üs ‘’ anlamına gelen ‘’ exponentiation ‘’ sözcüğünün ilk harfini kullanmıştır. • Euler sayısı matematiğin den sonra herhalde en ünlü ve ilginç sabiti olan bu limit e harfi ile gösterilir.

• e sayısının kesirli bir sayı değildir, hatta 0 polinomu hariç hiçbir polinomun kökü yoktur.


e Sayısı’nın Ortaya Çıkması ve Gelişimi • •

e kesirli bir sayı değildir. Tam değeri sonlu sayıda rakam kullanılarak yazılamaz. e sayısı sadece kesirli olmamakla kalmaz, cebirsel bir sayı bile değildir.

eşitsizliği sağlanmaz. • Cebirsel olmayan sayılara aşkın sayılar denir. • e’nin aşkınlığını 1873’te Charles Hermite kanıtlamıştır ve e, tarihte aşkın olduğu kanıtlanan ilk sayıdır. π’nin aşkınlığını daha sonra, 1882’de Ferdinand von Lindemann kanıtlamıştır. • Euler eşitliğine göre

olduğundan, iπ cebirsel olamaz, dolayısıyla π de cebirsel olamaz... • Günümüzde e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir.


KanÄątlar


Peki Bernoulli Bu Sayıyı Nasıl Buldu? • Birleşik faiz problemi Jakob Bernoulli,e sabitini birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiştir. • Basit bir örnekle anlatılabilir:  Elinde 1 lirası olan bir yatırımcı, parasını yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa,bir sene sonra 2 lirası olacaktır.  Diğer yandan bu yıllık faiz %50 – %50 şeklinde yılda iki kez işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + ½)² = 2,25 lira olacaktır.  Benzer şekilde eğer faiz yılda dört kez %25 oranında işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/4)4 = 2,4414… lira olacak,  faiz her ay %8,333… oranında işlerse yıl sonundaki para (1 + 1/12)12 = 2,6130… lira olacaktır.  Faizin işleme süresini daha da kısaltırsak, her hafta işleyen faiz yıl sonunda 2,6925… lira, her gün işleyen faiz yıl sonunda 2,71453… lira verecektir.  Faizin işleme süresi kısaldıkça, yıl sonundaki para 2 ve 3 arasında belli bir değere yakınsamaktadır. Yukarıda görüldüğü üzere yakınsanan değer e sayısıdır. • Ne kadar minik parçaya bölünürse bölünsün, bu sayı asla ve asla 2.72 TL'ye ulaşmayacaktır. Sınır, e sayısıdır. • Elbette bu sayı sadece faiz hesabında değil; belli bir sürede kendi sayısını çeşitli oranlarda katlayan diğer her şey için geçerli... Bakteriler, insan nüfusu, üretim miktarı, ekonomik çıktı ve daha nicesi... Formülize edecek olursak;


Peki Bernoulli Bu Sayıyı Nasıl Buldu?


Peki Bernoulli Bu Sayıyı Nasıl Buldu?

Faiz süresini kısalttığımızda e sayısına daha da yaklaşmış oluruz.

n sayısının sonsuzda limitini aldığımızda e sayısı bu şekilde ifade edilir;


Peki Bernoulli Bu Sayıyı Nasıl Buldu? • Bernoulli denemeleri e sayısı olasılık kuramında da çeşitli şekillerde karşımıza çıkar. Örneğin bir şans oyunu oynayan kişinin kazanma şansı 1/n olan bir oyunu n kere oynarsa, yaklaşık 1/e (%36,787…) ihtimalle hiçbir seferde kazanamayacaktır. n ne kadar büyükse, hiç kazanmama ihtimali 1/e ye o kadar yakın olur. Şans oyunu oynayan kişinin n seferde k kere kazanma olasılığı, binom dağılımına göre aşağıdaki değere eşittir:

Buna göre, n seferde k = 0 kere kazanma olasılığı, (1 – 1/n)n dir, ve bu ifade, n büyüdükçe 1/e ye yaklaşır.


Peki Bernoulli Bu Sayıyı Nasıl Buldu? • Ayrıca e sayısı şapka probleminde de karşımıza çıkar. Şapka problemi şudur: Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan n tane müşteri düşünelim. Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ait olduğunu unutuyor, ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor. Bu durumda, n müşteriden hiçbirinin kendi şapkasını almaması olasılığı nedir? Problemin çözümünde hiç kimsenin kendi şapka almama olasılığı:

Müşteri sayısı n büyüdükçe, bu toplam 1/e değerine yaklaşacaktır. e sayısı da sonsuz toplama eşit olur.


e sayÄąsÄą neden irrasyoneldir?


e sayÄąsÄą neden irrasyoneldir?


e sayÄąsÄą neden irrasyoneldir?


e sayısının özellikleri 1. e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

2. e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır: Buradaki logex ifadesi, e tabanlı logaritmayı temsil etmektedir.

3. e sayısı, aşağıdaki limite eşittir:

4. e sayısı, aşağıdaki sonsuz toplama eşittir: Buradaki n! ifadesi, n faktöriyeli temsil etmektedir: n! = 1 × 2 × 3 × … × n.


e sayısının özellikleri 5. e sayısı, aşağıdaki integral denklemini sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

6. ex fonksiyonu Taylor Serileri halinde de yazılabilir.

7.

1 < x < e için y = 1/x eğrisinin altındaki alan 1'e eşittir.


e sayısının özellikleri


e sayısının özellikleri


e sayısının özellikleri


e sayısının özellikleri • • • • •

Bu saydıklarımızın dışında gizemli e sayısının ve fonksiyonlarının bir çok özelliği vardır. Euler e sayısını, virgülden sonra 23. basamağına kadar hesaplayabilmiştir. Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir. e’nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından kanıtlanmıştır. Matematik dünyasında belki biraz π’nin gerisinde kalmış gibi görünse de e sayısı aslında en az π sayısı kadar değerli bir sayıdır. Bileşik faizde yer alan formülün limit değerinde n artarken kesin değeri 2.71828 fark edildiğinde ortaya çıkmıştır. Daha sonra ise ex olarak tanımlanacak olan ve türevinin yine kendisine eşit olduğu, logaritmik fonksiyonun tersinin ortaya çıkmasıyla matematikte daha popüler olmuştur.


e sayısı ile ilişkili bazı ilginç sayılar


e ve


e ve


Günümüzde e sayısı nerelerde kullanılıyor? 1. Bileşik faiz 2.Bernoulli denemeleri 3.Derangement 4. Asimptotik (Bir eğriye giderek yaklaşan, ama sonuna kadar uzatılsa bile yaklaştığı hâlde eğriyi kesmeyen doğru; sonuşmaz ) 5.Hesaplamalarda Asal sayıların dağılımı: Başlıca sayı teoremi ve işlevleri doğal logaritmayı içerir.

6.Bilgisayar kültüründe


Günümüzde e sayısı nerelerde kullanılıyor? İktisat uygulamaları: • Üstel bir işlevi kullanarak bileşik faiz modellendirebilirsiniz. • Ekonomistler, 72. Kuralı gibi e sayısının özelliklerine dayalı püf noktaları kullanmayı severler. • Bu, 72'nin son derece bölünebilen bir sayı olduğu yerde, olduğu gerçeğine dayanmaktadır. • Bazı hisse senelerinin yılda %x büyüdüğü düşünülürse bu hisse değeri yaklaşık yıl içinde iki katına çıkaracaktır. • Büyümenin "üstel" kısmını daha iyi kavramak için küçük bir numaradır. • Bazı insanlar da benzer bir "720 Kuralını" uygular.

Bu nedenle, eğer bir hisse senede %x oranında büyüyorsa, yaklaşık kat değer kazanacaktır.

yıl içinde değeri 10


Günümüzde e sayısı nerelerde kullanılıyor? Biyolojide Uygulamalar • Sınırsız kaynaklardan oluşan bir sistemde biyolojik organizmaların büyümesini modellemek için üstel eğrileri kullanabiliriz, aşağıdaki basit diferansiyel denklemin çözümü:

burada N nüfus büyüklüğü, b doğum hızı ve d ölüm oranıdır. • Bu, uzun zaman ölçeklerinde iyi bir model değildir, ancak kısa zaman ölçekleri için popülasyon dinamiklerini anlamamıza yardımcı olabilir. • τ'nın zaman sabiti olduğu şeklindeki fonksiyonların doygunluğu, plato ilkesi gibi fikirlere neden olur. • Genellikle farmakoloji, beslenme ve biyokimya sistemlerine uygulandığında, üretim hızları ile kaybetme oranları arasındaki doğal denge, homeostazın bir çeşitliliği nedeniyle pek çok sistem çeşidinin kararlı duruma sorunsuz ulaşıldığını göstermektedir. • Fourier dönüşümünde e sayısı kullanılmaktadır .Fourier dönüşümü ile biyolojideki moleküllerin yapısını X-ışını kırınımını kullanarak bulmamızı sağladı. • Koklea (Koklea, iç kulağın işitsel kısmıdır. Kemik labirent içinde spiral şekilli bir boşluktur.)hem frekans hem de yoğunluk bakımından istisnai bir ses analizi yapabilir. Fourier ile hesaplamalar yapılır dolayısiyle koklea, e sayısı ile ilişkilidir.


Günümüzde e sayısı nerelerde kullanılıyor? Kimyada Uygulamalar • Nerst eşitliği (Bir elektrotun potansiyeli ile bu potansiyelin doğmasına sebep olan çözeltideki türün aktiviteleri arasındaki ilişkiyi gösteren matematiksel bir ifade - doğal logaritma tabanlı ) • Birinci derecede tepkimelerde hız ve yarılanma ömürlerinin ifadelerinde • Clausius clapeyron eşitliğinde (Maddenin, ısı enerjisi aracılığıyla faz dönüşümüne uğraması sırasında içinde bulunduğu sıcaklıkla basınç arasındaki bağlılığı veren eşitlik. ) • Lambert – Beer yasasında • Rastgele hataların istatistiki değerlendirmelerinde • ph hesaplamalarında ( logaritma ile ) Fizikokimyada Uygulamalar • Arrhenenius eşitliğinde (Kimyasal tepkimelerin tepkime hız sabiti ile sıcaklık arasındaki ilişki ilk olarak Arrhenius tarafından ortaya konmuş ve onun adı ile anılan eşitlik ile ifade edilmiştir. )


Günümüzde e sayısı nerelerde kullanılıyor? Fizikte Uygulamalar • Fizik, Euler sabitini, matematikte kullanıldığı birçok şekilde kullanmaya meyillidir. • Fizikteki pek çok sistem, diferansiyel denklemleri kullanarak modellenmiştir. Diferansiyel denklemlerin kullanıldığı her alanda Euler sabiti de kullanılır. • Bozunma sorunları (radyoaktif bozunma problemlerinde) • Bir kapasitördeki şarj (ayrıca RC-devresi veya LRC-devresi – kapasitördeki yük miktarı, azalma miktarı) • Sönümleme faktörü (veya sönüm sabiti - bu uygulamanın karakteristik kökler, LRC gibi osilatör problemleri için kullanılır. Devreler veya yay-kütle problemleri) • Newton'un Soğutma / Isınma Kanunu (termodinamik)( ısıtma ve soğutma işlemi yapan her türlü cihaz ) • Düzlem dalgalar (elektrodinamik) • Boltzmann faktörü (termodinamik)( ısıtma ve soğutma işlemi yapan her türlü cihaz ) • Fourier serisinde e sayısı kullanılmaktadır . Fourier serisi ile ; her insanın sesi de parmak izi gibidir. Eğer sesimizin sinyalini örnekler, örnekleri işler, her kişinin sesine ait özelliklerini (sinüs ve kosinüslerin genliklerinin frekans fazını) kaydedersek; sesimizle ilgili işlemlerde yerimize birisi konuşursa doğru kişi olup olmadığı kanıtlanabilir. • Fourier dönüşümü ayrıca plazma fiziğinde, yarı iletken fiziğinde, mikrodalga akustiğinde tıbbi görüntüleme sistemlerinde, denizbilimde (oceanography), sismografide önemli yer tutar.


Günümüzde e sayısı nerelerde kullanılıyor? Matematikte Uygulamalar • Özellikle logaritma ve üstel sayılar konusunun vazgeçilmezidir. • Euler sabiti diferansiyasyon ve entegrasyon kuralları nedeniyle taşıtta yaygın olarak kullanılır:

Ayrıca kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının üstel ifadeler şeklinde aşağıdaki gibi formüle edildiği göz önüne alındığında, hemen hemen tüm doğrusal diferansiyel denklemlerin çözümlerinde de kullanılır:


Günümüzde e sayısı nerelerde kullanılıyor? • Nehirlerde kirlilik yoğunluğunun düşürülmesi, • nüfusun tabiî artışı-azalışı, • ev içi sıcaklık dağılımı, • roketin uzaydaki hızının belirlenmesi, • ilâcın kanda emilme seviyesinin ölçülmesi gibi günlük hayatımıza doğrudan akseden olayları açıklayan matematik modellerde, "e" sayısı vazgeçilmez hâle gelmiştir. • Ayrıca, gök cisimlerinin atmosferindeki tabakaların kalınlığını hesaplarken astrofizikçilerin kullandığı formüle bakınca "e" sayısını görürüz.


Günümüzde e sayısı nerelerde kullanılıyor? Muhasebe ve finans alanında uygulamalar x

 x 1 x   iken    e. x   x  x 1 Her x  1 için 2     3 ; e  2.718...  x  •

Bileşik faiz formülünde ; r   B  A 1   m 

mt

her an birleştirme yapıldığı düşünülürse, sürekli bileşik faiz dediğimiz faiz türü elde edilir. Bu durumda m   olacaktır. m   için B nin

m   iken olduğu;

m  r


Muhasebe ve finans alanında uygulamalar Böylece;

ve buradan edilir.

olduğu görülür ve sürekli bileşik faiz formülü elde

e sayısı bileşik faiz analizleri için yararlı olmaktadır.


Günümüzde e sayısı nerelerde kullanılıyor? İstatistikte uygulamaları İstatistikte ve olasılıkta e sayısının birçok kullanımı vardır. • Gauss fonksiyonu ( normal dağılımı tanımlamak için kullanılır. ) • Üstel dağılım • Poisson dağılım • Gama fonksiyonu için formüller • Standart normal dağılım • t-dağılımı • Gama dağılımı • Chi-square dağılımı (pazarlama dalında, pazar araştırması sonucu segmentasyon yaparken en çok kullanılan istatistiki test metodudur. ) formüllerin hepsi e sayısını içerir. • Yaklaşım yöntemlerinde kullanılır.


Günümüzde e sayısı nerelerde kullanılıyor? Bilgisayar Mühendisliği Uygulamaları • Sayısal sinyal işleme (digital signal processing) alanında Fourier Dönüşümü formülünde e sayısının önemli bir yeri vardır. ( Bu dönüşüm, bugünkü neredeyse tüm iletişim [telefon, kablosuz iletişim, görüntü işleme, televizyon, akıllı telefon, vs. gibi çeşitli uygulamaları var] işlerinde önemli bir yere sahiptir. )

Metin madenciliği, doküman analizi, arama motorları vb. bir dokümandaki sözcüklerin işlenmesiyle ilgili bir konuda, sözcüklerin dokümanda kaç kez geçtiği (yani sıklığı) önemli bir bilgidir ve bu bilgiyi doğrudan kullanmak yerine doğal logaritmasını alarak kullanmak daha verimli sonuçlar elde etmemizi sağlamaktadır. Örneğin, otomobil kelimesi bir haberde 25 kere geçiyor olsun. Bu değeri 25 olarak kullanmak yerine ln(25) = 3,22 olarak kullanmak daha iyi sonuç vermektedir. Bunun anlamı, dokümanda geçme sayısı çok fazla olan sözcüklerin etkisini hafifletmek ve yumuşatmak için değeri makul bir seviyeye çekmektir. Deneysel çalışmalar bunun oldukça başarılı sonuçlar alınmasını sağladığını açıkça göstermektedir. Formülde yeralan e tabanına göre logaritma yani doğal logaritmadır.


Günümüzde e sayısı nerelerde kullanılıyor? Bilgisayar Mühendisliği Uygulamaları • Fourier serisinde e sayısı kullanılmaktadır . Fourier serisi ile dijital fotoğrafta görüntü verilerini sıkıştırmak, belli kapasitedeki bir kartın üzerine daha fazla görüntü depolamak mümkün oldu.


Günümüzde e sayısı nerelerde kullanılıyor? • • • • • • • • •

• • • •

Büyüme sorunları (özellikle nüfus modelleri) Bozunma sorunları (radyoaktif bozunma problemlerinde) Tasarruf modeli (özellikle "sürekli bileşik faiz") Lojistik model ( örnek ;biyoistatistik ; Lojistik Regresyon Analizi: Tıp Verileri Üzerine Bir Uygulama ) Eşik Modeli Özdeğer problemleri Karakteristik kökler Bir kapasitördeki şarj (ayrıca RC-devresi veya LRC-devresi – kapasitördeki yük miktarı, azalma miktarı) Sönümleme faktörü (veya sönüm sabiti - bu uygulamanın karakteristik kökler, LRC gibi osilatör problemleri için kullanılır. Devreler veya yaykütle problemleri) Euler'in formülü (karmaşık sayılar için , trigonometrik sayılar türetilmesi) Newton'un Soğutma / Isınma Kanunu (termodinamik)( ısıtma ve soğutma işlemi yapan her türlü cihaz ) Düzlem dalgalar (elektrodinamik) Boltzmann faktörü (termodinamik)( ısıtma ve soğutma işlemi yapan her türlü cihaz )


Logaritma Nedir? • • • • • •

Konsept ilk olarak Merchiston'dan bir İskoç bilim insanı John Napier tarafından keşfedildi. Napier, büyük sayıların çarpımının çok zor ve uğraştırıcı olduğunu fark etti ve bunları kolay ve hızlı bir şekilde yapabilmeyi hedefledi. Geliştirdiği sistem sonradan Henry Briggs tarafından tablolaştırıldı ve çok daha güçlü bir araç haline geldi. Logaritmanın keşfi tek kelimeyle devrimdir. Bu sayede mühendisler ve astronomlar hesaplamaları çok daha hızlı yapabilmeye başladılar. Günümüzde bilgisayarların keşfiyle bu devrim önemsiz kalmıştır; ancak yine de bugünlere gelebilmemiz için bilim insanları açısından önemlidir. Logaritmalar halen radyoaktif bozunum gibi çok önemli konularda kullanılmaktadır. Aslında logaritmalar, zamana bağlı değişimlerin (azalma veya artma) olduğu hemen her alanda karşımıza çıkarlar. Örneğin ; banka kredilerinin üzerine eklenecek faizlerin hesabında logaritma fonksiyonları kullanılabilmektedir. Bunun haricinde biyologlar popülasyonlar üzerinde çalışırken, fizikçiler nükleer tepkimeler üzerinde çalışırken, kimyagerler zincir tepkimeleri üzerinde çalışırken, bankacılar yatırımları üzerinde çalışırken logaritmaları kullanmaktadır. Ayrıca fizyologlar tarafından gözün ışığa verdiği tepkiyi ölçmekte kullanılır. Son olarak, özellikle makina ve elektrik mühendisleri tarafından sinyallerin ve titreşimlerin zaman içerisinde sönümlenmesinin hesabında kullanılmaktadır. Bilgisayar mühendisleri de bir yazılımın ne kadar hızlı çalışacağını hesaplamak için logaritmalara başvururlar.


Doğal logaritma (e sayısı logaritmanın tabanı )günlük hayatta nerelerde kullanılıyor? • • •

• • • • •

Herhangi bir büyüklüğün miktarında meydana gelen değişiklik büyüklüğün miktarına bağlıdır. Bu, bir tabaktaki bakteri, radyoaktif madde miktarı veya elektrik akım miktarı olabilir. Her durumda da olayın gelişimi (k) değişim miktarını gösteren bir sabit olmak üzere dy/dt=ky şeklinde matematiksel olarak temsil edilir. Bu denklemin çözümü y=A·ekt şeklindedir. Burada A başlangıç şartlarına bağlı bir katsayıdır. Bu ifade y=A·exp (kt) olarak da yazılabilir ve bu tür ifade, k'nin pozitif veya negatif olmamasına bağlı olarak kuvvet (eksponansiyel) artma veya azalma olarak isimlendirilir. e veya exp (kt) olarak yazılan üstel (eksponansiyel), fonksiyon kimyanın pekçok dalında ortaya çıkar. e'nin kuvvetleri ve e'i taban alan logaritma (tabii logaritma) değerleri tablolaştırılarak kolay kullanılır duruma sokulmuştur.


Doğal logaritma (e sayısı logaritmanın tabanıdır )günlük hayatta nerelerde kullanılıyor? 1 - Kimya alanında kimyasal tepkimelerde hız konusunun ilerlemiş boyutlarında denge sabitini bulurken kullanılır. 2 - Asit / Baz konusunda pH ve pOH'ı bulurken kullanılıyor. 3 - Kimyada pH hesaplamalarında, pH değerleri logaritmik bir ifadedir. Bir sabunun pH'si 5,5 demek, o sabundaki hidrojen iyonu derişimi 1E-5,5 demektir. 4 - Denizcilik alanında matematiksel konumu verilmiş iki nokta arasındaki gerçek mesafeyi bulmakta kullanılır. 5 - Logaritma ses düzeyinin kaç desibel olduğunu bulmaya yarıyor. 6 - İstatistiğin konusu olan nüfus artışı tahminlerinde, 7 - Bankacılıkta,bileşik faiz hesaplamalarında, 8 - Astronomi de 9 - Optik gibi alanlar da 10 - Bilgisayar programcılığında kullanılıyor. özellikle "ln" şuan kullandığınız bilgisayarın yapımında, işletim sisteminin dizaynında ve hatta yazdığınız bu yazıların saklandığı veritabanında nasıl daha hızlı erişebileceğini hesaplarken logaritma ve benzeri matematiksel fonksiyonlar kullanılmaktadır. (bir algoritmanın hızını ölçmek için logaritma kullanılmaktadır)


Doğal logaritma (e sayısı logaritmanın tabanıdır )günlük hayatta nerelerde kullanılıyor? 11 - Deprem ölçeği olarak bildiğimiz Richter ölçeğinin deprem şiddetini hesaplamasında Logaritma kullanılır. 12 - İşletme finansmanında da sıkça başvurulur. 13 - Askeriyedeki top atışlarında yer tayini içinde kullanılır. 14 - Spektroskopide uyarılmış atom/normal atom oranında kullanılıyor. (Nj / No) 15 - Redox tepkimelerindede kullanılır. (Epil olayları) 16 - Fizikokimyada kullanılır.


Normal Dağılım ile e sabitinin ilişkisi • • • •

• • • •

• •

İlk olarak Blaise Pascal tarafından geliştirilen sistem sonradan Bernouilli tarafından son hali verilmiştir. Bugünkü çan eğrisi ise Belçikalı matematikçi Adolphe Quetelet tarafından tanımlanmıştır. Standart normal dağılımı tanımlar. Bu dağılım, bir çan eğrisi şeklinde gözükür ve bir gözlem olasılığının en muhtemel olarak ortalama civarında olduğunu ifade eder. Ortalama değerden uzaklaştıkça o olayın görülme olasılığı azalır. Modern istatistiğin temelindeki denklemdir. Bilim ve özellikle sosyal bilimler, bu denklem olmadan bugünkü halini alamazdı. İlaçların, klinik deneylerde, negatif etkilerine karşılık yeterince etkili olup olmadıklarını anlamak için kullanılır. Bunun haricinde özellikle üniversite öğrencilerinin sürekli olarak yarışmaları gereken bir dağılım eğrisi çıkarılmasını sağlar. Genel olarak, dağılımların olduğu her yerde çan eğrileri kullanılabilir. Evrimsel biyoloji dahilinde, popülasyonları modellemek ve evrimsel değişim yönlerini analiz etmek amacıyla çan eğrilerine başvurulur.


İlginç… Dünyanın en kısa bilimsel makalesi • Bulletin of the American Mathematical Society isimli dergide referanslar ve başlık haricinde sadece 2 cümleden oluşan makalenin başlığı, “Benzer Kuvvetlerin Toplamına Dair Euler Varsayımına Karşıt Örnek”. • Lander ve Parkin tarafından 1967 yılında yazılan söz konusu makale, Euler’in 200 sene önce ileri sürdüğü bu varsayımı 2 cümleyle çürütmektedir. O cümleler de şöyle: “CDC 6600 üzerinde doğrudan yapılan bir araştırma, 275 + 845 + 1105 + 1335= 1445 olduğunu, yani 5. kuvvetlerden 4 sayının toplamının bir diğer 5. kuvvetten sayıya eşit olabileceğini gösterdi. Bu, n>2 olmak üzere n. kuvvetten bir sayının en az n adet n. kuvvetten sayının toplamı olarak yazılabileceğini ileri süren Euler’in varsayımına karşı bir örnektir.” • Euler 1769 yılında Fermat’ın Son Teoreminin özelleştirilmiş bir durumu olarak bu varsayımı ortaya atmıştı. Varsayımı yukarıda yazdık. Buna göre örneğin 15 sayısının 5 inci kuvvetini bulmak için en az 5 tane sayının 5 inci kuvvetleri toplamamız gerekmektedir.


Kaynaklar • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

E sayısı - Yrd . Doç. Dr. Melek DOSAY http://dergiler.ankara.edu.tr/dergiler/26/1242/14151.pdf Ali Nesin- Analiz 1 kitabı Matematik Dünyası Dergisi – 2007 – IV- Euler sabiti e ve exp fonksiyonu-24-35syf Eskişehir Osmangazi Üniversitesi / Matematik Bölümü – Prof. Dr. Kürşat Yenilmez Maltepe Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü – Yrd. Doç. Dr. Volkan Tunalı Balıkesir Üniversitesi/ Matematik Bölümü - Doç. Dr. Yunus Emre YILDIRIR Başkent Üniversitesi Yrd. Doç. Dr. Özge Sezgin Alp -Muhasebe ve Finansal Yönetim Programı Hacettepe Üniversitesi/ Matematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Bölümü – Araştırma Görevlisi – Özgün Şefik Necmettin Erbakan Üiversitesi, İstatistik Bölümü – Doç. Dr. Ülkü Erişoğlu Medeniyet Üniversitesi – Fizik Bölümü – Yrd. Doç. Dr. Semran İpek Gazi Üniversitesi Gazi Eğitim Fakültesi - Kimya Bölümü - Prof. Dr. Erdal Kendüzler Aksaray Üniversitesi / Akademik Uzman - Mehmet Ali Mersin Umut Palabıyık, Erenköy İlköğretim Okulu http://dergiler.ankara.edu.tr/dergiler/26/1242/14151.pdf http://portal.ku.edu.tr/~matsem21/files/bildiriler/H.1-10-yenilmez-palabiyik.pdf https://www.muhendisbeyinler.net/matematigin-babasi-leonhard-euler-kimdir/ https://www.muhendisbeyinler.net/en-guzel-denklem-euler-ozdesligi/ http://www.matematiksel.org/en-etkileyici-denklem-euler-ozdesligi/ http://guncelmatematik.com/leonhard-euler-kimdir.html http://www.matematikciler.com/matematiksel-guzellikler/ilginc-bilgiler/625-mukemmelsayilar http://www.tualimforum.com/bilimsel-arastirmalar/126815-leonhard-eulerin-buluslari-leonhard-eulerincalismalari-leonhard-euler-buluslari.html http://www.yardimcikaynaklar.com/leonhard-euler-hayati-ve-matematige-katkilari/


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Kaynaklar

http://www.ilerimatematik.com/pi-ve-e-sayisi http://evrimagaci.org/photo/tr/eulerin-sayisi-olarak-da-bilinen-e-sayisi-nedir-ne-anlama-gelir http://www.ams.org/journals/bull/2006-43-04/S0273-0979-06-01130-X/S0273-0979-06-01130X.pdf http://slideplayer.biz.tr/slide/5657264/ http://www.birazoku.com/dunya-tarihine-yon-veren-en-etkin-100 https://space.frieger.com/asteroids/asteroids/2002-Euler http://www.matematiksel.org/tarihteki-en-muthis-10-matematikci/ https://bilimfili.com/esitliklerin-en-guzeli-euler-formulu/ http://www.matematiksel.org/en-etkileyici-denklem-euler-ozdesligi/ https://issuu.com/turhan1/docs/dergi https://www.quora.com/How-is-e-Euler%E2%80%99s-number-used-in-the-present-day https://www.quora.com/What-applications-are-there-for-the-Eulers-number-e-other-than-interest http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html http://www.akademikmatematik.com/e-sayisinin-irrasyonelligi-uzerine.html#more-1006 https://fatihsultan.wordpress.com/2007/02/18/meshur-problemler-e-sayisi-irrasyoneldir/ http://www.habervitrini.com/gundem/kor-olan-matematik-dehasi-leonhard-euler-363707 http://uteddergi.com/tr/menu/teknik/fourier-donusumu.htm http://mustafaakca.com/normal-dagilim-nedir/ http://tanikoglu.blogspot.com.tr/2015/01/e-sayisi-nasil-kesfedildi.html https://e-okulbilgi.com/pi-sayisi-nedir-pi-sayisinin-tarihcesi-491.html file:///C:/Users/asl%C4%B1/Downloads/5000209217-5000436522-1-SM.pdf


Kaynaklar • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

http://www.columbia.edu/cu/lweb/eresources/exhibitions/treasures/html/225.html http://erhanduman.blogspot.com.tr/2009/02/euler-e-sabiti.html http://www.akademikmatematik.com/e-sayisinin-irrasyonelligi-uzerine.html http://mathforum.org/library/drmath/view/72946.html http://cendam.blogcu.com/logaritma-nedir-nerelerde-kullanilir/9691477 http://www.bilimsehri.com/makaleler/e-sayisi.html https://eodev.com/gorev/4274744 http://www.matematikciler.com/matematiksel-guzellikler/askin-sayilar/230-e-sayisi https://acikders.ankara.edu.tr/pluginfile.php/9293/mod_resource/content/1/Konu%207%20Logaritma.pdf https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/ http://dergipark.gov.tr/download/article-file/252030 http://www.acikders.org.tr/pluginfile.php/211/mod_resource/content/0/OkumaParcalari/Euler.trk.pdf http://akademikpersonel.kocaeli.edu.tr/aerdem/ders/aerdem15.02.2011_10.21.32ders.pdf https://www.thoughtco.com/the-number-e-2-7182818284590452-3126351 http://evrimagaci.org/article/tr/dunyayi-degistiren-21-matematiksel-denklem http://www.eulerarchive.org/the-life-of-euler/ https://acikders.ankara.edu.tr/pluginfile.php/3716/mod_resource/content/1/Ders04_Fourier_Donusumle ri.pdf http://www.cochlea.eu/en/cochlea/function http://www.emo.org.tr/ekler/e0aca891f2a8aed_ek.pdf http://matkafasi.com/14111/%24e%24-sayisi-neden-irrasyoneldir http://www.biyologlar.com/ana-sayfa/bitkilerin-ve-insan-beyinlerinin-gelisimi-ayni-prensiplere-dayaniyor


Profile for irmakeskiar

MATEMATİK-CHİ ( Matematik dergisi )  

E sayısı / Euler sabiti hakkında matematik dergisi

MATEMATİK-CHİ ( Matematik dergisi )  

E sayısı / Euler sabiti hakkında matematik dergisi

Advertisement