INNFØRING I MATEMATIKK FOR ØKONOMISTUDENTER
Kristina Rognlien Dahl
Robert G. Hansen
Innføringimatematikk forøkonomistudenter
Innføringimatematikk forøkonomistudenter
KristinaRognlienDahlogRobertG.Hansen
Copyright # 2025 by Vigmostad & Bjørke AS
All Rights Reserved
1. utgave 2025 / 1. opplag 2025
ISBN: 978-82-450-5026-4
Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Grafisk design, sats og figurer: Merkur grafisk AS (Vegard Brekke)
Omslagsdesign ved forlaget
Illustrasjon på s. 81: © AtlasbyAtlas Studio / shutterstock
Deler av manuset i noen kapitler er første gang publisert i Matematikk for økonomer, Studieguide, utgitt av BI Executive, 2022 og Mikroøkonomi, Studieguide, utgitt av BI Executive, 2023.
Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget
Kanalveien 51
5068 Bergen
Tlf.: 55 38 88 00
e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no
Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarframstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.
Vigmostad & Bjørke AS er Miljøfyrtårn-sertifisert, og bøkene er produsert i miljøsertifiserte trykkerier.
Dedikasjoner
Takktilmammasomsaatjegmåttelesetingtregangertilomjegprøvde åsluntreunna.Takktilpappasomstilteoppmedgrublerierogcola utensukker.TakktilEirikforevigtropåalt,inkludertmeg.Takktil farmorsomfaktiskvardenskarpestekniveniskuffen.Ogmestavalt: TakktilYlvaogVetleforåværelysetilivetmitt.
«Ireadabookonedayandmywholelifewaschanged.»
OrhanPamuk
Takktilmammasomlærtemegågjøremittbeste,tilpappasomlærte megutholdenhet,ogtilRitasomlærtemegomlivetsuransakeligeunderfundighet.TakktilBa,KnutogPålsomvekketminnysgjerrighet,og sommedsinraushet,godhetogmedmenneskelighethargittmegnoe åstrekkemegetter.
TakktilAgnetheogMaren,forågilivetlys,gledeoghåp,ogforå fåmegtilåforståhvasomvirkeligerviktig(selvomjegertunglært). TakktilTale,fordintålmodigekjærlighet,herfratilmånenogtebakars.
Robert
«Allyouneedislove.»
JohnLennon
Kristina
Forordog bruksanvisning
Idennebokagjennomgårvideviktigstematematiskeverktøyenedutrenger ietbachelorstudiumiøkonomisk-administrativefag.Viharbestrebetoss påågjøregjennomgangensåklar,enkelogavmystifiserendesommulig. Samtidigforsøkerviåvisehvordandetmatematiskeanalyseapparatet kanbrukestilåløseenrekkeøkonomiskeproblemstillinger.
Hvordanbørdubrukeboka?Hereretforslagtilbruksanvisningog enleseveiledning:
Førstedelavbokadekkerallerelevantetemafraobligatoriskskolegang.Stoffeterskrevetspesieltfordesomharvalgtminstekravetimatematikkpåvideregåendeskole,ellersomharbehovforrepetisjon. Andredelavbokatarforsegtypiskehovedtemaeriinnføringskurs imatematikkforøkonomistudenter.
Bokaerbasertpåstudentaktivlesing.Strukturenfølgerfølgende prinsipp:
� Bittelittteori.
� Etkonkreteksempelforåvisedennelillebitenteori.
� Enoppgaveavsammeformsomdetkonkreteeksempelet.
Jobbaktivtmedeksemplerogoppgaver,gjerneførstmedhjelpavløsningsforslageneiboka.Derettergjørdudesammeeksempleneogoppgavene pånytt,helttilduersikkerpåatdukanløseoppgaveneutenåsepå fasiten.Leggvekkmobilenogdatamaskinensåmyesommulig.Lahjernen dinfåtidogromtilålagekoblinger.
Stoppoppunderveisogtenketterhvatemaetduholderpåmedegentlig handlerom:Reflekter,drodle,filosoferoghadetlittgøymedideeneog dentankeverdenensomåpnerseg.
Takk
ViviltakkeAndreasNybøiFagbokforlaget,somharværtenentusiastisk ogengasjerenderedaktørfordenneboka.Hansevigeoptimismeogmange godeideerharværttilstorhjelpoginspirasjonunderarbeidet.Viharsatt storprispåhansaldrisviktendetropåprosjektet.Deterakkuraten slikredaktøralleforfattereønskerseg.
EnstortakkgårtilVegardBrekkeforypperlighjelpmedtypesetting ogfigurtegning,BodilKjenstadforpertentligspråkkorrekturogproduksjonskoordinatorLauraGiminskaforgenerellstålkontroll.
ForleggerArnoVigmostad,medallegodemedarbeidereiFagbokforlaget, harpåallerbestevisstøttetprosjektetslikatdennebokableskrevet. Medhanshjelpfikkviutløpformangeårsskrivekløe.Ogkanskje kommerdetenspennendefortsettelse.
TakktilgodekollegaervedHandelshøyskolenBIforåbidratiletgodt stedformatematikkundervisningogetfantastiskfintfagfellesskap.
Ogikkeminst:Takktilallestudentenevåresomharinspirertosstil åskrivedenneboka.Vihåperdenvilfølessomengodhjelp.
OsloogIguazuFalls,april2025
KristinaRognlienDahl og RobertG.Hansen
Åskrivebokerhardtarbeid,mendetgårlettereommansamarbeider oghvismanharsmågodt.Slikerdetogsåmedåstudere.Vianbefalerderfor åjobbesammenigrupper.Ogåbrukesmågodtsombelønning.
Innhold
Dedikasjoner...........................................................5
Forordogbruksanvisning................................................7
DEL1 GRUNNLEGGENDEMATEMATIKK....................................15
KAPITTEL1 Grafer................................................................17
1.1Tallinja......................................................18
1.2Koordinatsystemet.............................................19
1.3Tabeller......................................................25
1.4Åleseavengraf.............................................28
1.5Fleregraferisammekoordinatsystem.............................30
1.6Oppsummerendeoppgavertilkapittel1..........................32
KAPITTEL2
Tallsystemet.Symbolerogbegrepsbruk.....................................33
2.1Tallsystemet..................................................34
2.2Symbolerogbegrepsbruk......................................37
2.3Oppsummerendeoppgavertilkapittel2..........................38
KAPITTEL3
Algebraiskeuttrykkogfaktorisering(parentesregning)........................39
3.1Algebraiskeuttrykk............................................40
3.2Regnereglerforreelletall.......................................41
3.3Faktorisering..................................................44
3.4Regnerekkefølge..............................................46
3.5Oppsummerendeoppgavertilkapittel3..........................46
KAPITTEL4
Brøkregning...........................................................47
4.1Brøkregning..................................................48
4.2Faktorogledd................................................54
4.3Oppsummerendeoppgavertilkapittel4..........................56
KAPITTEL5
Potenserogrøtter.Kvadratsetningene.....................................57
5.1Definisjonerogregneregler....................................58
5.2Kvadratsetningene............................................63
5.3Kvadratrøtter................................................65
5.4Mergenerellerotuttrykk.......................................68
5.5Oppsummerendeoppgavertilkapittel5..........................69
KAPITTEL6
Prosentregningogrenter................................................71
6.2Renteregning.................................................73 6.3Oppsummerendeoppgavertilkapittel6..........................76
KAPITTEL7
Likninger,lineærelikningeroglineærelikningssystemer.......................79
7.1Likninger....................................................80
7.2Lineærelikninger.............................................82
7.3Énlineærlikningmedénukjent.................................83
7.4Lineærelikningssystemer.......................................87
7.4.1Tolineærelikningermedtoukjente......................88
7.4.2Trelineærelikningermedtreukjente....................90
7.5Oppsummerendeoppgavertilkapittel7..........................92
KAPITTEL8
Annengradslikningen.Rasjonaleogirrasjonalelikninger......................97 8.1Annengradslikningen..........................................98
8.2Faktoriseringavannengradsuttrykk..............................105
8.3Rasjonalelikninger............................................108
8.4Irrasjonalelikninger...........................................110
8.5Oppsummerendeoppgavertilkapittel8..........................112
KAPITTEL9 Ulikheter.............................................................113
9.1Ulikhetstegnet................................................114
9.2Grafiskframstillingavulikheter..................................117
9.3Lineæreulikheter.............................................119
9.4Ikke-lineæreulikheterogfortegnsskjemaer........................123
9.5Oppsummerendeoppgavertilkapittel9..........................130
KAPITTEL10
Funksjoneravenvariabel.Denlineærefunksjonen..........................133
10.1Funksjonsbegrepet............................................134
10.2Grafentilenfunksjon.........................................137
10.3Denlineærefunksjonen........................................141
10.4Ett-ogtopunktsformlene.......................................144
10.5Oppsummerendeoppgavertilkapittel10.........................150
KAPITTEL11
Kvadratiskefunksjoner...................................................153 11.1Annengradsfunksjoner..........................................154 11.2Økonomiskanvendelse:Maksimeroverskuddet.....................157 11.2.1Eksempeloppgave:Økonomiskanvendelse...............158 11.3Oppsummerendeoppgavertilkapittel11.........................160
KAPITTEL12
Polynomfunksjonerogpolynomdivisjon.Potensfunksjoner......................163 12.1Polynomer...................................................164 12.2Polynomdivisjon...............................................167 12.3Potensfunksjoner..............................................172 12.4Oppsummerendeoppgavertilkapittel12.........................175
DEL2 MATEMATIKKFORØKONOMIFAG...................................177
KAPITTEL13
Brukavmatematikkiøkonomi............................................179 13.1Hvorforbrukematematikkforålæreøkonomi?....................180 13.2Formleroggrafer.............................................181 13.3Oppsummerendeoppgavertilkapittel13.........................188
KAPITTEL14
Matematiskeformlersommodellerforvirkeligheten..........................191 14.1Brukmatematikkforåforståverden..............................192 14.2Kvantifiseringviaformler.......................................195 14.3Modellererikkevirkeligheten...................................197 14.4Oppsummerendeoppgavertilkapittel14.........................199
KAPITTEL15
Mergrafer............................................................201 15.1Skjæringmedaksene..........................................202 15.2Positivognegativ.............................................204 15.3Størreennellermindreennettall................................208 15.4Forskyvningeravgrafer........................................209 15.5Uliketypergrafer.............................................212 15.5.1Lineær.............................................212 15.5.2Kvadratisk..........................................215 15.5.3Polynomer..........................................219 15.5.4Andregrafer........................................220 15.6Løselikningerogulikhetermellomtofunksjonergrafisk..............221 15.7Oppsummerendeoppgavertilkapittel15.........................223
KAPITTEL16
Grenser,rasjonalefunksjonerogasymptoter................................227
16.1Grenserogkontinuitet.........................................228
16.1.1Rasjonalefunksjoner..................................231
16.2Asymptoter..................................................235
16.3Oppsummerendeoppgavertilkapittel16.........................240
KAPITTEL17
Inntekter,kostnaderogprofitt............................................243
17.1Inntektsfunksjonen.............................................244
17.2Kostnadsfunksjonen...........................................246
17.3Profittfunksjonen..............................................249
17.4Oppsummerendeoppgavertilkapittel17.........................251
KAPITTEL18
Derivasjonavfunksjoneriénvariabel.....................................253
18.1Fortegnettildenderiverte......................................256
18.2Derivasjonsregler.............................................260
18.3Oppsummerendeoppgavertilkapittel18.........................271
KAPITTEL19
Elastisiteter............................................................275
19.1Elastisitetentilenfunksjonavenvariabel.........................276
19.2Priselastisiteten...............................................278
19.3Grafiskframstilling............................................284
19.4Inntektselastisiteten............................................287
19.5Krysspriselastisiteten...........................................289
19.6Oppsummerendeoppgavertilkapittel19.........................292
KAPITTEL20
Maksimums-ogminimumspunkter.........................................293
20.1Voksendeogavtakendefunksjoner..............................294
20.2Ekstrempunkter:Maksimum-ogminimumspunkter..................300
20.3Konvekseogkonkavefunksjoner................................306
20.4Oppsummerendeoppgavertilkapittel20.........................311
KAPITTEL21
Økonomiskeanvendelser................................................313
21.1Produksjonogkostnader.......................................314
21.2Profittmaksimeringutenmarkedsmakt:Frikonkurranse...............320
21.3Profittmaksimeringmedmarkedsmakt:Monopol....................327
21.4Oppsummerendeoppgavertilkapittel21.........................331
KAPITTEL22
Eksponensial-oglogaritmefunksjoner......................................333
22.1Eksponensialfunksjoner........................................335
22.2Logaritmeroglogaritmefunksjoner...............................338
22.3Oppsummerendeoppgavertilkapittel22.........................343
KAPITTEL23
Rekkerogfinansmatematikk..............................................345 23.1Nåverdierogsluttverdier.......................................346 23.2Geometriskerekkerogbetalingsrekker............................351 23.3Annuitetslånogserielån........................................361 23.4Oppsummerendeoppgavertilkapittel23.........................366
KAPITTEL24
Funksjoneritovariablerogpartiellderivasjon...............................369 24.1Funksjoneritovariabler........................................370 24.2Grafiskframstillingavfunksjoneritovariabler.....................371 24.3Partiellderivasjon..............................................375 24.4Annenordenspartiellderiverte...................................379 24.5Oppsummerendeoppgavertilkapittel24.........................380
KAPITTEL25
Maksimumogminimumtilfunksjoneravtovariabler.........................383 25.1Stasjonærpunkter..............................................384 25.2Lokaleekstrempunkter..........................................388 25.3Globaleekstrempunkter........................................398 25.4Oppsummerendeoppgavertilkapittel25.........................405
KAPITTEL26
Lagrangesmultiplikatormetode:Optimeringavfunksjoneritovariabler medbibetingelse.......................................................407
26.1Lagrangesmultiplikatormetode...................................408 26.2Sammensatteproblemerinnenoptimeringavfunksjoner itovariabler.................................................411
26.3Oppsummerendeoppgavertilkapittel26.........................416
KAPITTEL27
Integrasjon............................................................419
27.1Detubestemteintegralet........................................420
27.2Detbestemteintegralet.........................................423
27.3Delvisintegrasjon.............................................430
27.4Integrasjonvedsubstitusjon.....................................433
27.5Økonomiskeeksempler.........................................436
27.6Oppsummerendeoppgavertilkapittel27.........................440
KAPITTEL28
Lineæralgebra.........................................................443
28.1Denutvidedekoeffisientmatrisentiletlineærtlikningssystem..........444
28.2Løsningavlineærelikningssystemer:Gauss-Jordans eliminasjonsmetode............................................449
28.3Oppsummerendeoppgavertilkapittel28.........................452
Fasitkapittel1.........................................................454
Fasitkapittel2.........................................................458
Fasitkapittel3.........................................................459
Fasitkapittel4.........................................................461
Fasitkapittel5.........................................................464
Fasitkapittel6.........................................................468
Fasitkapittel7.........................................................472
Fasitkapittel8.........................................................479
Fasitkapittel9.........................................................486
Fasitkapittel10.......................................................488
Fasitkapittel11.......................................................492
Fasitkapittel12.......................................................495
Fasitkapittel13.......................................................499
Fasitkapittel14.......................................................500
Fasitkapittel18.......................................................516
Fasitkapittel19.......................................................520
Fasitkapittel20.......................................................522
Fasitkapittel21.......................................................525
Fasitkapittel25.......................................................544
Fasitkapittel26.......................................................550
Innføring i matematikk for økonomistudenter er et nytt læreverk i matematikk som gir økonomistudenter faglig forståelse på en strukturert og lettfattelig måte.
Første del av boken dekker alle relevante tema fra obligatorisk skolegang. Stoffet er skrevet spesielt for de som har valgt minstekravet i matematikk på videregående skole, eller som har behov for repetisjon.
Boken er basert på studentaktiv lesing. Strukturen følger følgende prinsipp:
• Bittelitt teori
• Konkret eksempel for å vise denne lille biten teori
• Oppgave av samme form som det konkrete eksempelet
Det er lagt stor vekt på grafisk framstilling og forståelse. Boken har over 200 figurer.
Boken har rikelig med økonomiske anvendelser, som knytter matematikkfaget til andre økonomifag.
Til læreboken er det laget en egen arbeidsbok med hundrevis av oppgaver og løsninger.
Kristina Rognlien Dahl er professor i matematikkk ved Handelshøyskolen BI.
Robert G. Hansen er førstelektor i matematikk og samfunnsøkonomi ved Handelshøyskolen BI.
ISBN 978-82-450-5026-4