Issuu

Øistein Bjørnestad • Tom Rune Kongelf

Jon Ingulf Medbø • Terje Myklebust (red.)

alfa

ALFA A

Øistein Bjørnestad, Tom Rune Kongelf, Jon Ingulf Medbø og Terje Myklebust (red.)

ALFA A

MATEMATIKK FOR GRUNNSKOLELÆRERUTDANNINGENE

3. UTGAVE

1. utgave 2006

2. utgave 2013

3. utgave 2025 / 1. opplag 2025

ISBN: 978-82-450-5747-8

Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen

Grafisk design: Have a Book

Omslagsdesign ved forlaget

Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget

Kanalveien 51

5068 Bergen

Tlf.: 55 38 88 00

e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no

Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.

Vigmostad & Bjørke AS er Miljøfyrtårn-sertifisert, og bøkene er produsert i miljøsertifiserte trykkerier.

FORORD – ALFA

Velkommen som leser og bruker av den nye, tredje utgaven av Alfa. En viktig grunn til at verket har blitt revidert, er at det har kommet en ny læreplan, kalt LK20 (forkorting for læreplanverket av 2020; Saabye, 2019), og den stiller nye krav til blant annet matematikkundervisninga i skolen. Det stiller igjen nye krav til dagens og morgendagens lærere. Målet med den nye utgaven av Alfa er at den skal bidra til denne utviklinga og gi deg som lærer gode forutsetninger for å undervise i matematikk.

God undervisning i matematikk stiller to viktige krav til læreren. For det første må undervisninga ha et godt faglig innhold. Videre må stoffet formidles på en måte som lar alle elevene tilegne seg det en venter at de skal greie. Matematikkopplæringa i skolen var tradisjonelt retta mot å mestre grunnleggende regneferdigheter (pugging av formler). I nyere matematikkundervisning er vinklinga blitt snudd om: Det er helt vesentlig at en skjønner prinsippene bak regler, men også gode ferdigheter er viktige. Like viktig er det å innse at forståelse, kunnskaper og ferdigheter henger sammen, og at forståelsen ikke alltid utvikles først. God matematikkundervisning må bygge opp både kunnskaper, ferdigheter og forståelse, og Alfa legger opp til det.

Denne utgaven av Alfa bygger på de to foregående. Den legger stor vekt på det matematikkfaglige slik de to foregående også har gjort. En viktig grunn til det er godt uttrykt i et nyere internasjonalt arbeid om lærevansker i matematikk. Der avslutter redaktørene med å skrive at «det som er felles for alle land som lykkes godt i internasjonale sammenlikninger, er gode lærere med god utdanning, høy status for læreryrket og vedvarende muligheter for videre faglig utvikling» (Fritz mfl., 2019, s. 814). Slike tanker har ligget til grunn for de to første utgavene av boka, og de gjør det fortsatt. Matematikk er et svært viktig fag i skolen. Skal norske skoleelever få god opplæring i matematikk, er det helt avgjørende at de får lærere med tilstrekkelige kunnskaper i matematikk.

Alfa er oppdatert for å oppfylle de nye kravene som læreplanen LK20 setter. De opprinnelige sju fagkapitlene er revidert. I tillegg har det kommet flere kapitler med nytt stoff. Dette har ført til at sidetallet har økt vesentlig. Som følge av det er det som i tidligere utgaver var éi bok pluss en fasit med løsningsforslag til oppgaver, nå er delt i to bind og i tillegg en egen fasit med løsningsforslag.

Bind A inneholder dette:

1. Tall

2. Tallteori

3. Algebra

4. Funksjoner

5. Begynneropplæring

6. Tallsystem i ulike språk

7. Samisk matematisk tenkemåte

De fire første kapitlene er i hovedsak matematikkfaglige og er videreutviklinger av de fra tidligere utgaver av Alfa. Bakgrunnen for de siste tre kapitlene kan trenge litt nærmere forklaringer. Internasjonal forsking har vist at matematikkvansker, sviktende kompetanse i matematikk, er et stort problem. Et viktig tiltak for å bøte på det problemet er tidlig opplæring i matematikk. Det taler for at lærere må ha gode kunnskaper om hvordan en gir barn den første opplæringa i matematikk, og det er igjen en viktig grunn til å ha et eget kapittel om begynneropplæring.

Samer har status som urbefolkning i Norge. De nye læreplanene krever at alle norske barn skal få innføring i samiske forhold og samisk kultur. To samiske lærere har derfor skrevet om samisk etnomatematikk. Det kapittelet gir for det første ei innføring i det nordsamiske tallsystemet. Det gir videre innføring i samenes bruk av tall og geometri i en videre kulturell sammenheng, altså samisk etnomatematikk. Det gir også innspill til undervisning i matematikk som bør være av interesse for alle uavhengig av samisk kultur. Et eget kapittel gir en oversikt over tallsystemet på om lag førti ulike språk.

Bind B inneholder disse kapitlene:

8. Geometri

9. Statistikk

10. Sannsynlighetslære

11. Programmering og algoritmisk tenkning

12. Modellering

13. Kommunikasjon

14. Bevis og argumentasjon i matematikk

15. Aktiv læring og utforskende matematikkundervisning

16. Tilpassa opplæring – matematikkvansker og evnerike barn

17. Biologisk grunnlag for å lære matematikk

18. Læreplanverket etter kunnskapsløftet

De tre første kapitlene er i hovedsak matematikkfaglige og er videreutviklinger av de fra tidligere utgaver av Alfa. Datamaskiner har gjennom flere tiår utvikla seg til

å bli allemannseie. De nye læreplanene krever at alle elever i skolen skal få grunnleggende opplæring i programmering og algoritmisk tenking. Dette kapittelet tar det lenger enn dit. Det viser også hvordan god opplæring i koding og programmering kan være et middel i å lære elever matematikk. En viktig bruk av datakraft er å regne på matematiske modeller. Modellering er etter LK20 et viktig emne i matematikkundervisninga, særlig for tiende klasse. Alfa har et eget kapittel om det.

Læreplanene har siden 2006 lagt vekt på de fem grunnleggende ferdighetene (muntlige ferdigheter, evnen til å lese, skriftlige ferdigheter, regneferdigheter, digitale ferdigheter). De tre første går på evnen til å kommunisere, både formidle egne tanker til andre og, like viktig, å kunne skjønne andres tankegang. Alfa har i tråd med det et eget kapittel om kommunikasjon. Sentralt i matematisk tenking er logikk, resonnement og argumentasjon. Alfa har derfor et kapittel om bevis og argumentasjon. Det legger ikke bare vekt på formelle, algebraiske, men også visuelle bevis og på det å visualisere egne tanker.

Undervisninga i skolen har tradisjonelt vært stillesittende med elever bak skolepulter og en lærer som formidler fra kateteret og tavla. Slik undervisning blir lett envegs og passiviserende. Det er ønske om mer aktiv læring, dels for å få mer fysisk aktivitet i hverdagen, og dels for å få andre, mer aktive undervisningsformer. Et viktig mål er at eleven skal lære gjennom egen utforsking. Alfa har i samsvar med slike tanker et eget kapittel om aktiv læring og utforskende matematikkundervisning.

Alle barn har etter Grunnlovens § 109 rett til undervisning tilpassa deres egne forutsetninger. Det gjelder ikke minst barn med nedsatte forutsetninger for å lære. Alfa har derfor et kapittel om tilpassa opplæring. Hovedvekta ligger på matematikkvansker, å gi ei innføring i hva det er, og videre forslag til tiltak for å bøte på problemet. Også evnerike barn har rett til særskilt tilpassa opplæring for at også de skal kunne få utvikle seg best mulig. Den siste delen av dette kapittelet gir ei innføring i særskilte behov som evnerike barn har, og forslag til hvordan en kan gi dem best mulig forutsetninger for å lære.

Det har skjedd stor kunnskapsutvikling i nevrobiologi, og det er ikke unaturlig å omtale den tida vi lever i, som hjernens århundre. All tenking og læring skjer i hjernen. Det er derfor naturlig at også matematikklærere skal vite noe om hvordan hjernen er bygd opp og virker. De bør videre vite noe om hvordan hjernen handterer matematiske størrelser, begrep og språk, og videre hvordan samspill mellom ulike deler av hjernen bidrar til matematisk forståelse og kompetanse. Det blir forsøkt gjort i kapittelet om biologisk grunnlag for å lære.

Det siste kapittelet tar opp hva de nye læreplanene sier om matematikkundervisninga i skolen. Det tar opp endringer i skoleplanene fra en skole som tradisjonelt har lagt vekt på å formidle eksisterende kunnskap, til en skole som legger mer vekt på oppdagende undervisning. Dette har klare følger for hvordan moderne undervisning i matematikk bør legges opp.

Vi retter en stor takk til professor emeritus Anne Birgitte Fyhn ved Norges arktiske universitet for hjelp til kapittelet om samisk etnomatematikk. Mens de foregående utgavene av Alfa var skrevet at tre forfattere, har den nye utgaven 14 forfattere. Vi takker alle medforfatterne for godt arbeid og ikke minst for godt samarbeid.

Øistein Bjørnestad

Tom Rune Kongelf

Jon Ingulf Medbø

Terje Myklebust

Referanser

Fritz, A.; Haase, V.G.; Räsänen, P. (red.). International Handbook of Mathematical Learning Difficulties. From the Laboratory to the Classroom. Springer international publishing. ISBN 978-3-319-97148-3 (ebook). https://doi.org/10.1007/978-3-319-97148-3 Saabye, M. (red., 2019). Læreplanverket for kunnskapsløftet 2020. Grunnskolen. Fagbokforlaget.

ISBN 978-82-8372-198-0.

INNHOLD

1.2

som teknisk fag. Standardiserte og ikke-standardiserte

1.7 Undervisning om tall, tallregning og enkel aritmetikk

Aleksandra Khara Fadum, Ellen Konstanse Hovik og Tom Rune Kongelf

3.1 Algebra – hva, hvorfor og hvordan?

Hva er algebra?

Hvorfor lære algebra i skolen?

Hvordan arbeide med algebra i skolen?

3.2 Grunnleggende begreper og ferdigheter

Variabel, ukjent, konstant og koeffisient

Sum, differens, produkt og kvotient

Prioriteringsregler for regneoperasjoner

med grupperingssymboler

av algebraiske uttrykk

3.3 Potenser

Definisjon: potenser som produkter (eksponenter ≥ 2)

Utvidelse av potensbegrepet til eksponenter lik 1 og 0

Utvidelse av potensbegrepet til eksponenter < 0 (negative eksponenter)

Utvidelse av potensbegrepet til brøkeksponenter. Røtter

3.4 Likninger og ulikheter

og divisjon med x

løse likninger ved hjelp av faktorisering og produktregelen

spesielle typer likninger

metoder for løsning av likninger

på å summere algebraiske brøker og å løse likninger med brøk

den ukjente er i nevneren

og konjugatsetningen

innganger til likninger

for problemløsning

tilnærmingsmåter

3.5 Utvikling av algebraisk tenkning

undervise i algebra?

representasjoner

av funksjoner, relasjoner og kovariasjoner

5.2

5.4

5.6

Matematikk har en særskilt viktig plass i grunnskolen. For det første er matematikk, ved siden av norskopplæring, det viktigste og mest grunnleggende faget. For det andre er matematikk helt sentralt i regning, en av de fem grunnleggende ferdighetene som skal inn i alle fag. Matematisk kompetanse danner derfor et svært viktig grunnlag for læring og utvikling i alle fag. God matematikkundervisning bygger opp både kunnskaper, ferdigheter og forståelse, og Alfa legger opp til dette.

Alfa møter vår tids forventninger til matematikkfaget, med det matematikkfaglige i sentrum. Det er avgjørende at studentene tilegner seg slik kunnskap, for skolen og elevene har behov for det. Bøkene trekker inn historisk stoff og legger vekt på å gi fullstendige forklaringer og resonnementer, noe som gir matematikken helhet, mening og videre relevans i mange sammenhenger. Bøkene legger også stor vekt på didaktiske sider, med en rekke forslag til undervisningsopplegg.

De inneholder svært mange oppgaver som både gir trening i matematisk tenkning, oppøver ferdigheter og stimulerer til didaktiske refleksjoner.

I tredje utgaves A-bok er temaene tall, tallteori, algebra, funksjoner, begynneropplæring, tallsystemer på ulike språk og samisk matematisk tenkemåte.

Redaktører for Alfa 3. utgave har vært Øistein Bjørnestad, Tom Rune Kongelf, Jon Ingulf Medbø og Terje Myklebust. Aleksandra Khara Fadum, Stian Hirth, Ellen Konstanse Hovik, Aile Hætta Karlsen, Henrik Kjelsrud, Håkon Kolderup, Mathias Brekke Mandelid, Nils Melvær Nornes, Camilla Rodal og Dina Nilsdatter Somby har vært bidragsytere.

ISBN 978-82-450-5747-8