6 UITWISKELING
EEN EENVOUDIGE AFGELEIDE? INSPIRATIE IS EEN WEZENLIJK ONDERDEEL VAN WISKUNDEONDERWIJS. ELKE LES OPNIEUW, ELKE TOETS, ELK PROEFWERK IS EEN ZOEKTOCHT NAAR GESCHIKTE VRAGEN EN OPDRACHTEN. IN DIT ARTIKEL BESPREKEN WE EEN OEFENING OVER AFGELEIDEN DIE JE REGELMATIG IN HANDBOEKEN TEGENKOMT. OP HET EERSTE ZICHT LIJKT HET EEN STANDAARD OEFENING, MAAR ZE BLIJKT EEN VERRASSEND KANTJE TE HEBBEN WAT AANLEIDING KAN GEVEN TOT EEN BOEIENDE KLASSIKALE DISCUSSIE. H I L D E E G G E R M O N T, M I C H E L R O E L E N S , E L S VA N E M E L E N , E L S VA N L O M M E L ,
OPDRACHT Bereken OPLOSSING De meeste leerlingen beginnen meteen te rekenen. Dit is niet verwonderlijk; bij veruit de meeste oefeningen van deze soort moest je gewoon beginnen afleiden. Zij vinden:
Tijdens deze berekening vraagt een leerling ‘moet het niet plus of min de wortel zijn’? Een andere leerling antwoordt: ‘Neen, want een arcsinus is en de cosinus is daar altijd in positief’. De klas keurt dit goed, ook al begrijpen ze het niet helemaal. De leerling die sprak, heeft immers een goede wiskundereputatie. Andere leerlingen ‘kijken’ voor ze beginnen te
rekenen. Ze zeggen dat ‘inverse functies elkaar opheffen’ en doen dit zo:
Iedereen vindt hetzelfde resultaat. Dat moet dan toch kloppen, niet? Ik laat het grafisch controleren. De grafiek van de af te leiden functie maakt duidelijk dat er iets mis is met de oplossing. (zie figuur 1)
Figuur 1
R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G
De afgeleide is blijkbaar niet ‘overal’ gelijk aan 1: in sommige intervallen wel en in andere intervallen is die . Wat was er dan fout gelijk aan aan de uitleg over de cosinus die in dat interval positief is? En heffen de sinus en de arcsinus elkaar niet op? We komen erachter dat niet zomaar kan zijn: kan gelijk welke waarde in is een element van aannemen, en de arcsinus hiervan is een
