HELGE VON KOCH

PYTHAGORAS

DE KROMME VAN HELGE VON KOCH

IN 1904 SCHREEF DE ZWEEDSE WISKUNDIGE HELGE VON KOCH EEN ARTIKEL MET DE WELLUIDENDE TITEL SUR UNE COURBE CONTINUE SANS TANGENTE OBTENUE PAR UNE CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE ÉLÉMENTAIRE. WIE WAT FRANS KENT, WEET NU WAAR HET ARTIKEL OVER GAAT; MAAR DE TITEL VERTELT NIET HET HELE VERHAAL. IN DE INLEIDING SCHREEF VON KOCH WAAROM HIJ “OP ELEMENTAIRE MEETKUNDIGE WIJZE EEN KROMME ZONDER RAAKLIJNEN” WILDE CONSTRUEREN.

K. P. HART

In 1875 had de Duitse wiskundige Karl Weierstrass namelijk een voorbeeld gemaakt van een continue functie die in geen enkel punt differentieerbaar is. Die functie wordt gegeven door

Hierin is a een reëel getal in het open interval (0,1) en b een oneven natuurlijk getal groter dan 1; samen voldoen a en b nog aan .

Zoals Von Koch opmerkte dachten de meeste wiskundigen tot dan toe dat elke kromme overal een raaklijn heeft, op misschien in een paar uitzonderlijke punten na. Immers, als je zelf een ‘willekeurige’ kromme tekent zitten er misschien wat knikken en keerpunten in, maar verder is hij meestal wel mooi glad. De grafiek van de functie van Weierstrass is een kromme die in geen enkel punt een raaklijn heeft, en deze haalt die oude gedachte dus grondig onderuit. Maar, schreef Von Koch, die functie van Weierstrass komt uit de analyse en je ziet eigenlijk niet goed waarom er geen raaklijnen zijn, anders dan door netjes met de definitie van de afgeleide te werken en te laten zien dat

voor geen enkele a bestaat.

Hij had zich daarom afgevraagd of dit niet wat eenvoudiger kon: een kromme maken waarvan het “intuïtief” duidelijk is dat deze geen raaklijnen heeft. En hij dacht dat hij daar in geslaagd was. Laten we maar eens kijken.

DE KROMME We beginnen met een lijn, , in het vlak.

Verdeel de lijn in drie gelijke stukken: , , en , en zet op een gelijkzijdige driehoek .

Von Koch noemde dit “het toepassen van operatie Ω op het lijnstuk ”.

De volgende stap is het toepassen van operatie Ω op elk van de vier lijnstukken , , en .

Dat geeft ons zestien lijnstukjes: , , enzovoort.

Op elk van die zestien lijnstukjes passen we weer de operatie Ω toe; dat geeft ons lijnstukjes , enzovoort. Helge von Koch tekende op een gegeven moment niet alles meer want dat zou met potlood en liniaal een heel gedoe zijn. Aan het eind laat ik de tekening zien die in het arikel van Von Koch te bewonderen is. De tekeningen kloppen niet helemaal want er staan eigenlijk een heleboel gebroken lijnen over elkaar heen getekend. De eerste is de lijn die noemde Von Koch kortweg . De tweede, , is dan , die bestaat uit vier lijnstukken. In de tweede tekening zijn en samen getekend. Vervolgens kunnen we de derde nog opschrijven: is dan

, met zestien lijnstukken. De gebroken lijnen , en staan bij elkaar in de derde tekening. Elke volgende gebroken lijn, , onstaat door op alle lijnstukken van de operatie Ω toe te passen; bestaat dan dus uit even lange lijnstukjes. In de grote tekening aan het eind zien we , en helemaal en van en alleen beginstukken. Beter is het de afzonderlijk te tekenen.

In de rest van het artikel bewees Von Koch dat de rij , , , …, , … naar een kromme convergeert en dat die limietkromme in geen enkel punt een raaklijn heeft.

RAAKLIJNEN Wat is een raaklijn eigenlijk? Dat werd door Von Koch ook netjes gedefinieerd. Trek voor elk tweetal punten op de kromme de lijn door die twee punten. Neem een punt vast en laat een punt op de kromme naar bewegen. Als de verbindingslijn door en naar een vaste lijn convergeert is die vaste lijn per definitie de raaklijn in . Dat laatste gaat in elk punt van de limietkromme mis. Hiervoor merken we eerst even op dat de knikpunten van de krommen op de limietkromme moeten liggen. Zo liggen en op alle , dus op . De punten en liggen op alle vanaf , dus op . En en doen vanaf altijd mee.

We laten eerst zien waarom het in al die knikpunten mis gaat. Kijk maar eens bij . Als je van links naar gaat met een variabel punt kom je telkens weer op de -as terecht, en ook op de verbindingslijn van en . Kijk maar:

Dat betekent dat de verbindingslijn heen en weer blijft slingeren tussen twee vaste lijnen, de rode en de blauwe, en dus niet naar een vaste lijn convergeert. Aan de andere kant gebeurt precies hetzelfde. Een dergelijk argument kun je ook voor punten als en gebruiken. Dit bedoelde Helge von Koch misschien met de opmerking dat het ‘intuïtief’ duidelijk zou moeten zijn dat de kromme in geen enkel punt een raaklijn heeft. Maar als je het artikel leest, zie je dat hij toch wel een paar pagina’s met het bewijs bezig is.

Er zijn namelijk punten op waar het allemaal niet zo duidelijk is. Als we bijvoorbeeld in de oorsprong leggen en in dan kun je narekenen dat op alle krommen ligt maar nooit een knikpunt wordt; kijk maar in de plaatjes van tot en met : het rode stipje wijst

het punt aan. Dat ligt telkens net naast het volgende driehoekje dat door operatie Ω gevormd wordt. Voor zo’n punt moet je wat subtieler redeneren.

En dan is er nog het geval dat je een punt op hebt dat op geen enkele ligt; dan moet je de constructie nog nauwkeuriger bekijken om in te zien dat er geen raaklijn in dat punt is.

HET PUNT Als je naar de plaatjes van en kijkt, zie je dat het punt eerst links, dan rechts, en dan weer links van het nieuwste driehoekje ligt. Dat gaat zo door: links als even is en rechts als oneven is. Dat heeft te maken met het drietallig stelsel: er geldt namelijk

(reken maar na met behulp van een meetkundige reeks). Als we van naar gaan, vertelt het getal bij ons waar het getal ligt ten opzichte van het nieuwe driehoekje: links bij 0 en rechts bij 2. Hoe helpt ons dit? Als we in de verbindingslijnen met andere punten op trekken dan komen we altijd punten op de -as tegen (knikpunten bijvoorbeeld) en toppen van de driehoekjes links en rechts van ons punt. En daar gebeurt dus iets als dit:

of

De absolute waarde van de helling van de verbindingslijn van met

de dichtstbijzijnde top is altijd groter dat die van de blauwe lijn (en die is

) en kleiner dan die van de zijde van het driehoekje (en die is ) en beurtelings stijgend en dalend. De hellingen van die verbindingslijnen zijn dus om en om groter dan

Figuur 1 de tekening uit het artikel van Helge von Koch en kleiner dan . Dat betekent dat de verbindinslijnen niet naar een vaste (raak)lijn gaan.

Opgave 1.

Laat zien dat de helling van de blauwe lijnen inderdaad is. De volgende opgave is niet eenvoudig; het helpt als je eerst wat informatie over de Cantorverzameling opzoekt.

Opgave 2.

Bewijs dat als een punt van de vorm op geen knikpunt is en tijdens de hele constructie op de -as blijft er geldt dat

waarbij de gelijk zijn aan of en waarbij de waarden en oneindig vaak voorkomen.

Met behulp van deze opgave kun je laten zien dat in elk punt van dat al op een ligt geen raaklijn bestaat.

PUNTEN DIE OP GÉÉN LIGGEN Wat betekent het dat een punt wel op ligt maar niet op een ? Daar zat voor Von Koch het meeste werk aan.

We gaan het bewijs niet helemaal uitschrijven, maar aan de hand van de tekening van Von Koch zelf laten we zien wat er gebeurt. We bekijken alleen het stuk tussen en .

Het blauwe punt ligt nu op maar in latere stappen wordt het weer opgetild. Het begon als een punt tussen en , ging omhoog naar een punt tussen en ging weer ‘omhoog’ naar een punt tussen de twee (naamloze) knikpunten tussen en , en toen weer ‘omhoog’. Telkens als het punt ‘omhoog’ gaat, onthouden we de uiteinden van het lijnstuk waar het op lag. We hebben dus al de paren en en het naamloze paar. Die uiteinden convergeren mee naar een punt op dat dus niet op een ligt. Hun verbindingslijnen zouden dan naar de raaklijn in dat punt moeten convergeren. Maar dat lukt niet: elk tweetal opvolgende verbindingslijnen maakt een hoek van . Ze bewegen te wild om naar een vaste lijn te convergeren.

OEFENING 2

Twee cirkels met straal 3 en 7 snijden elkaar. Een derde cirkel raakt uitwendig aan de ene en inwendig aan de andere cirkel. Hoe groot is de som van de afstanden tussen het middelpunt van de derde cirkel en elk van de middelpunten van de eerste twee cirkels?

A 4

B 5

C 6

D 10

E Er zijn onvoldoende gegevens om het gevraagde te bepalen.