OVER ZWARTE GATEN

OVER ZWARTE GATEN EN DE NOBELPRIJS FYSICA 2020

SAMENVATTING ONLANGS NOG WAS ER VEEL MEDIA-AANDACHT VOOR DE EERSTE FOTO VAN EEN ZWART GAT IN ONS UNIVERSUM. HET IS ALLICHT GEEN TOEVAL DAT DE NOBELPRIJS FYSICA 2020 IN HET TEKEN VAN DE ONTDEKKING VAN ZWARTE GATEN STOND. ONDANKS VELE EERDERE WAARNEMINGEN EN SIMULATIES DIE WEZEN OP HET BESTAAN ERVAN, HEEFT HET GEDUURD TOT 1965, VOORALEER ER EEN WISKUNDIG BEWIJS KON GELEVERD WORDEN DAT DE RELATIVITEITSTHEORIE VAN EINSTEIN OOK IMPLICEERT DAT ZWARTE GATEN ONVERMIJDELIJK ZIJN. DE AUTEURS WAGEN HET HIER OM HET OVER RUIMTE-TIJD, HET INTUITIEF BEGRIP VAN EEN ZWART GAT, MAAR OOK OVER HET VERBAZINGWEKKENDE INZICHT VAN NOBELPRIJSWINNAAR ROGER PENROSE TE HEBBEN.

PAUL IGODT EN THOMAS VAN RIET

PAUL IGODT IS WISKUNDIGE AAN KU LEUVEN CAMPUS KULAK; PAUL.IGODT@KULEUVEN.BE THOMAS VAN RIET IS THEORETISCHE FYSICUS, AAN KU LEUVEN; THOMAS.VANRIET@KULEUVEN.BE

1 WAT IS EEN ZWART GAT: HET INTUITIEF IDEE. Als je een bal recht omhoog gooit zal die hoger geraken naarmate je de bal met grotere snelheid weggooit. Hoe hoog? Indien je luchtweerstand negeert (en dat doen wiskundigen en fysici graag) is dat makkelijk uit te rekenen aan de hand van behoud van energie. Op zijn hoogste punt is al de kinetische energie, omgezet in potentiële energie mgh. In deze formules is de massa, de beginsnelheid, de maximale hoogte en de valversnelling1. Dus vinden we dat de maximale hoogte gegeven is door . In het denkbeeldige geval dat je meer dan 10-tallen kilometers hoog kan gooien moet je deze formule corrigeren want de potentiële energie zal dan niet zijn, maar afnemen omdat de valversnelling afneemt als we verder van de kern van de aarde zijn. Desalniettemin blijft het zo dat hoe groter de beginsnelheid van de bal, hoe verder je kan gooien. Kan de bal ontsnappen van het zwaartekrachtsveld van de aarde? Dat wil eigenlijk zeggen dat je de bal zó snel kan gooien dat die niet meer terugkeert en dus willekeurig ver geraakt. De minimale snelheid die je daarvoor nodig hebt is de zogeheten ontsnappingssnelheid. Met de juiste vorm van de potentiële energie2 kan je de ontsnappingssnelheid makkelijk berekenen:

(1.1)

Hierbij is Newtons constante3 , en zijn respectievelijk de massa en de straal van de aarde. Voor de aarde is de ontsnappingssnelheid ongeveer

1 Ongeveer 10 meter per seconde kwadraat

2 .

3 .

. Maar stel u eens voor dat onze planeet veel zwaarder zou zijn of een veel kleinere straal zou hebben, zo dat groter wordt dan de lichtsnelheid. Dan kan zelfs licht niet ontsnappen van onze aarde en zou alles volledig zwart zijn voor een buitenstaander. Erger nog, iedereen die ons dan hier wil bezoeken kan niet meer ontsnappen: immers, de relativiteitstheorie van Einstein vertelt ons dat de lichtsnelheid de maximale snelheid is voor alle objecten en dus ook voor een hypothetische raket. Dit is precies wat we een zwart gat noemen, en dit simpele gedachtenexperiment is al zeer oud. De consensus is dat een zwart gat een straal en massa heeft door in bovenstaande formule (1.1) te kiezen met de lichtsnelheid.

Maar bestaan deze objecten wel echt? Het antwoord is Ja, en het observationele bewijs heeft zich de laatste jaren alleen maar opgestapeld.

Twee van de drie winnaars van de Nobelprijs Fysica in 2020 (Andrea Ghez en Reinhard Genzel) werden laureaat voor hun cruciale bijdrage aan de observaties die het bestaan van zwarte gaten aantonen. De helft van de prijs ging naar de wiskundige fysicus (of fysische wiskundige) Roger Penrose voor zijn bijdrage aan ons theoretisch begrip van zwarte gaten. Om te begrijpen wat Penrose net gedaan heeft maken we zo meteen een kleine omweg naar de wiskundige beschrijving van zwarte gaten zoals ze voorkomen in de relativiteitstheorie.

Alvorens we dat doen zetten we al een paar typische misvattingen over zwarte gaten uit de weg. Om te beginnen is een zwart gat niet per se een object met hoge dichtheid. Een simpele manipulatie van formule (1.1) met laat zien dat de dichtheid van een zwart gat gelijk is aan:

Dus hoe groter een zwart gat, hoe minder dicht het is. Het is zelfs zo dat het gigantische zwarte gat in het centrum van ons melkwegstelsel waarschijnlijk minder dicht is dan water. Sterker nog, als je alle materie in het zichtbare universum zou samenpersen tot een zwart gat, is het bijna zo groot als het hele universum! 2 OVER RUIMTE EN TIJD: WISKUNDIGE BASIS VAN RUIMTETIJD Wij worden allemaal grootgebracht, in onze waarneming en ons onderwijs, met wat wij Euclidische meetkunde zijn gaan noemen. Als we in het vlak denken en daarin punten en nemen, dan leerden we dat de afstand tussen twee punten voldoet aan .

We herkennen hier de stelling van Pythagoras in. De kortste weg tussen twee punten loopt langs een rechte. De punten op eenzelfde vaste afstand van de oorsprong vormen een cirkel. Onze intuitie zegt bovendien dat, vanwaar en wanneer wij ook meten, twee punten steeds op dezelfde afstand van elkaar liggen.

Beeld je even in dat we dit beeld drastisch omgooien, en afspreken dat we “afstand” in het vlak anders zullen berekenen, en nog wel als

waar we nu noteren voor dat begrip. Het klinkt op zijn minst eigenaardig. Bedenk echter even een situatie waar enkel de -coördinaat staat voor een plaatsbepaling en waar de -coördinaat staat voor de tijd, . Aangezien we tijd meten in seconden en posities in meters, lijkt het wel of we appelen en peren aan het optellen zijn. Om dat te vermijden noteren we voor de coordinaat met de lichtsnelheid, zodat ook uitgedrukt wordt in meters. Waarom juist de lichtsnelheid wordt zo meteen duidelijk. De formule voor “afstand" is nu:

Deze aanpak danken we aan Hermann Minkowski (18641909), één van de leraren van Albert Einstein. We kunnen als het ware spreken van een Minkowski-afstand.

Dat ruimte en tijd met elkaar verbonden zijn is nu net wat Albert Einstein ons met zijn relativiteitstheorie leerde. En bovendien geldt daarbij dat de lichtsnelheid, genoteerd, gemeten vanuit welk standpunt dan ook, constant is (300 000 km/s). De volgende figuur toont een eenvoudig ruimtetijddiagram. De tijd wordt uitgedrukt in jaren, de afstand in lichtjaren. Een punt in

het ruimtetijddiagram, zoals , stelt een gebeurtenis voor, die plaats vindt op een bepaalde plaats en een bepaald tijdstip, gezien vanuit de observator die zich in de oorsprong bevindt. De bissectrices (blauwe lijnen) tonen het traject van een lichtstraal die van de observator vertrekt. De rode lijn toont het traject van een raket die bij de observator vertrekt en aan constante snelheid vliegt in de positieve x-richting.

Het gekleurde gebied toont voor de observator de waarneembare toekomst ; een gebeurtenis, zoals , is voor de observator in de oorsprong immers niet zichtbaar omdat het beeld met een snelheid groter dan de lichtsnelheid zou moeten reizen. Met andere woorden het gekleurde gebied is de verzameling van alle punten die in de toekomst ligt van de oorsprong en heeft per definitie een negatieve “Minkowski afstand”.4 De gebieden met positieve afstand kunnen niet beïnvloed worden door een gebeurtenis op de oorsprong.

In de bovenstaande figuren hadden we maar één coördinaat om de positie te beschrijven. In werkelijkheid hebben we er drie nodig. Samen met de tijdsvariabele wordt het ruimtetijddiagram van de kosmos dan vierdimensionaal, en dus moeilijker voorstelbaar. Houden we het nog heel even bij twee coördinaten om de positie van een gebeurtenis te beschrijven, dan ziet een ruimtetijddiagram er als volgt uit.

Hier is de Minkowski-afstand gegeven door

De binnenkant van de blauwe kegel is de verzameling van alle punten in de ruimte-tijd die kunnen beïnvloed worden door de waarnemer in de oorsprong op . De rand van de kegel is gevormd door lichtstralen die vanuit die waarnemer op vertrekken. Deze kegel noemt met de lichtkegel.

Het subtiele aan de relativiteitstheorie is dat ruimte en tijd niet hetzelfde zijn voor waarnemers met verschillende snelheid. Ook dat is een lang verhaal dat we hier niet kunnen uitleggen wegens gebrek aan, jawel, ruimte en tijd. Maar het komt erop neer dat ruimtelijke afstanden voor een waarnemer die sneller beweegt kleiner kunnen zijn en ook tijd kan trager of sneller verlopen afhankelijk van je snelheid. Dus je kan je vragen stellen bij voorgaande discussie en de absolute waarheid van de tekening. Echter blijkt het zo dat, ondanks de verschillen in wat verschillende waarnemers tijd en afstand noemen, de “Minkowski afstand” iets is waar ze het altijd over eens zijn. Die is dezelfde voor alle waarnemers. Aangezien de rand van de lichtkegel gevormd wordt door alle punten met Minkowski afstand nul, is deze absoluut. Dit komt natuurlijk mooi overeen met het feit dat de lichtsnelheid dezelfde is voor alle bewegende waarnemers en dus is de rand van de kegel die gevormd

4 Eigenlijk is het de afstand kwadraat die negatief is .

wordt door trajecten van licht in de ruimte-tijd een absoluut begrip.

3 KROMMING VAN DE RUIMTE-TIJD EN ZWARTE GATEN Nu we weten dat ruimte en tijd, dank zij de relativiteitstheorie, onverbrekelijk met elkaar verbonden zijn, wordt het aannemelijk dat ook zwaartekracht hiervan zal afhangen. Maar hoe komt de zwaartekracht hier nu juist aan te pas? Volgens de algemene relativiteitstheorie is zwaartekracht niets anders dan de kromming van onze ruimte-tijd. Deze kromming is vooral in de tijdsrichting en minder in de ruimtelijke richting, tenzij we naar zwarte gaten gaan kijken, dan wordt ook de ruimtelijke kromming groot. Wat kromming van de ruimte-tijd wil zeggen leggen we zo meteen uit, maar een gevolg dat belangrijk is voor ons begrip van een zwart gat is dat die kromming de lichtkegels kan doen buigen en kantelen. Laten we eerst nadenken over de kromming van ruimte, zonder tijd. In de niet-gekromde 3-dimensionale -ruimte berekenen we afstanden met behulp van de Pythagoras formule . In wat volgt gaan we, voor de eenvoud ons telkens beperken tot 2 dimensies. Professionele fysici en wiskundigen noteren het afstandsbegrip aan de hand van de zogenaamde differentiaalnotatie. In het klassieke, Euclidische, geval schrijft men dan voor de afstand in het vlak. Voor de lezer die niet vertrouwd is met die notatie, volstaat het te denken aan willekeurig kleine afstanden5, zoals , die we dan noteren als .

Als er cirkel- of bolsymmetrie is, wordt vaak gebruik gemaakt van poolcoördinaten (in het vlak) of bolcoördinaten (in de ruimte). Wanneer overgestapt wordt naar poolcoördinaten voor het vlak, dit wil zeggen , dan wordt de afstandsformule omgevormd tot . Onthou dat de afstand van het punt in het vlak is tot de oorsprong ( =“radius”). In een gekromde ruimte kan de afstandsformule er bijvoorbeeld als volgt uit zien:

5 Ook infinitesimale afstanden genoemd. (3.1)

met een of andere functie van . Indien die functie groot of klein wordt, kan je dat zien als een uitrekking of een inkrimping van de ruimte, en dus beschrijft dit kromming. Een essentieel kenmerk van een kromme ruimte is dat de kortste weg tussen 2 punten geen rechte lijn meer is, maar een meer algemene kromme lijn. Beschouw bijvoorbeeld het onderstaande gekromde oppervlak.

Het is duidelijk dat de kortste weg tussen A en B de kuil vermijdt en daarom krijgen we een kromme lijn.

Wat is nu het verband met zwarte gaten en zwaartekracht? Wel, de relativiteitstheorie vertelt ons dat objecten bewegen volgens de kortste weg in de ruimte-tijd tenzij er een externe kracht op inwerkt. Maar let op, zwaartekracht is geen externe kracht in de relativiteitstheorie. En toch beinvloedt het de baan van objecten, denk maar aan een planeet of een vallende bal. Dat komt omdat de relativiteitstheorie bepaalt dat alle objecten met massa en energie tot kromming van de ruimte-tijd leiden. Hoe de ruimte-tijd zich kromt wordt beschreven door de zogeheten Einstein vergelijking, die we hier niet behandelen.

Als u in uw tuin een bal schuin omhoog gooit en die valt in een boog naar beneden waar je hem terug opvangt dan was dit een gevolg van de kromming van de ruimte-tijd want de bal volgde gewoon de kortste weg. Dat klinkt moeilijk te geloven want de ruimte rondom ons lijkt mooi vlak. Iedereen die een huis

bouwt gebruikt Pythogoras’ formule om afstanden te berekenen en niet formules voor gekromde ruimtes. De essentie is echter dat we op aarde vooral de kromming van de tijd en niet de ruimte voelen. Dit wil zeggen dat de afstanden in de ruimte-tijd op aarde kunnen benaderd worden door de een formule van het type

In deze formule zie je dat voor de term , die naar de tijd verwijst, staat, terwijl de afstanden op het ruimtelijke gedeelte berekend worden zoals in de vlakke ruimte. Wat juist is komt zo meteen in aanmerking, maar laten we onmiddellijk vooruit springen naar zwarte gaten.

In de abstracte wiskunde beschrijving zijn zwarte gaten structuren waarvoor de functie van teken kan veranderen op een bepaalde afstand. De meest eenvoudige zwarte gaten hebben de volgende kromming

. (3.3)

Dus dezelfde “krommingsfunctie” staat nu, weliswaar in de noemer, bij . Als van teken verandert dan wisselen de tijd en radiale afstand van rol. De specifieke vorm van de krommingsfunctie is de volgende.

. (3.4)

Dus we zien dat op de waarde (het nulpunt van die functie ) de ruimte en tijd van rol wisselen. Deze waarde voor de straal wordt de Schwarzschild-straal genoemd; je verkrijgt deze waarde ook door in de formule voor de ontsnappingsnelheid te nemen. Aangezien je alleen vooruit in de tijd kan bewegen, wil dit zeggen dat eens je voorbij het punt komt, je sowieso in de r-richting moet bewegen, want wordt zoals tijd. In dit geval kan je berekenen dat “vooruit in de tijd” hetzelfde is als bewegen in de richting van kleinere r, zodat je naar het middelpunt van het zwarte gat wordt gezogen. Wat er op gebeurt weet niemand, omdat de relativiteitstheorie niet meer opgaat dicht bij . De kwantumtheorie van zwaartekracht neemt dan over.

4 HET NOBELPRIJSINZICHT VAN ROGER PENROSE De meest eenvoudige oplossing voor een zwart gat is volledig beschreven door de functie in formule (3.4) die verschijnt in de uitdrukking voor de afstandsfunctie in (3.3). Ook al ziet deze oplossing van de Einstein vergelijkingen er alles bij elkaar genomen eenvoudig uit, Einstein zelf dacht niet dat simpele oplossingen van zijn vergelijking binnen afzienbare tijd zouden gevonden worden. Dat was naast de volharding van een verveelde Duitse soldaat in de loopgraven gerekend. Deze soldaat, Karl Schwarzschild, vond de simpele oplossing (3.4) al enkele maanden na Einsteins publicatie in 1916. De ironie wil dat Schwarzschild in het Duits zoveel betekent als “zwart schild”, en dat is exact wat zijn zwarte gat oplossing is. Op de Schwarzschild-straal hebben we een bolvormig zwart schild dat niets meer doorlaat eens het er in valt.

De oplossing van Schwarzschild lijkt een geïdealiseerde oplossing met veel symmetrie (tijdsonafhankelijk en bolsymmetrisch). Toch, heeft deze oplossing vele toepassingen: ze beschrijft het zwaartekrachtsveld van de aarde, maar ook dat van een zwart gat. Het hangt ervan af hoe klein je r laat worden in de formule (3.4). Bijvoorbeeld, als je op aarde bent, mag r niet kleiner worden dan de aardstraal, want dan vertellen Einstein’s vergelijkingen dat je moet corrigeren vanwege de aanwezigheid van de materie op de aarde zelf (de aarde is immers niet leeg). Het verschil met een zwart gat is dat je de oplossing (3.4) gebruikt tot veel kleinere waardes, zelfs kleiner dan de Schwarzschildstraal en dan hebben we effectief met een zwart gat te maken. De Schwarzschild oplossing beschrijft echter niet de realiteit van een ster die implodeert tot een zwart gat op het einde van haar leven want dat is een dynamisch (tijdsafhankelijk) proces.

Ons huidige begrip van de relativiteitstheorie is enorm gegroeid dankzij wiskundige technieken en vooral computersimulaties. Deze laatste tonen aan dat de Schwarzschild-oplossing wel degelijk goed benaderd wordt als, na lang wachten, een imploderende ster zich comfortabel gevestigd heeft in haar nieuwe leven als zwart gat. Echter, er waren destijds redenen genoeg om te twijfelen of de oplossing van Schwarzschild effectief ook fysisch was. Misschien zou een imploderende ster nooit zulke mooie symmetrische vorm aannemen en indien zo, nooit een zwart gat vormen? Misschien was die simpele oplossing wel onstabiel ten opzichte van kleine fluctuaties die de mooie symmetrie braken? Het feit dat zwarte gaten een singulariteit in hun midden hebben (op ) en ook andere rare fenomenen toelaten, was reden genoeg om te twijfelen.

Dit is waar het wiskundige genie van Roger Penrose ten tonele komt. Met zijn publicatie geeft hij pas in 1965 uitsluitsel dat de vorming van zwarte gaten wel degelijk een onvermijdelijke gevolg is van ineenvallende materiewolken. Penrose doet dit bovendien op een zeer elegante wiskundige manier in plaats van zijn handen vuil te maken door oplossingen van de Einstein vergelijkingen te bestuderen. Het meest indrukwekkende is dat zijn abstracte mathematische aanpak het probleem oplost in minder dan twee-en-half pagina’s! Wat een contrast met de huidige aantallen pagina’s van publicaties binnen de relativiteitstheorie die gemakkelijk optellen tot 30 à 40.

Het zou ons te ver brengen om hier het bewijs van Penrose te geven. We kunnen wel een ruwe schets presenteren van zijn idee. Daarvoor keek Penrose eerst naar het geïdealiseerde geval dat wel begrepen was. Namelijk de implosie van een perfect bolsymmetrische materiewolk. Hier beneden nemen we de tekening van dit proces over vanuit de originele publicatie van Penrose. In de tekening komt tijd overeen met de verticale as. We zien een materiewolk krimpen en op een bepaald moment kleiner worden dan zijn Schwarzschild-straal, die Penrose gelijk stelde aan . Zoals het een goede wiskundige betaamt had Penrose een hekel aan lange formules en veel notatie dus koos hij in plaats van meter, seconde en kilogram, eenheden waarbij (studenten mogen dit echter niet doen). Wat Penrose opviel in dit geval is het volgende: eens de wolk kleiner is dan de Schwarzschild-straal heb je 2-dimensionale gesloten oppervlakken (bollen met een straal kleiner dan de Schwarzschild straal), met de eigenschap dat lichtstralen die eruit vertrekken altijd convergeren in de toekomst, in dit geval richting de singulariteit op . Hij noemt zulke oppervlakken “gevangen oppervlakken” (“trapped surfaces”) en argumenteert dat dit soort oppervlakken ook zullen bestaan voor krimpende wolken zonder sferische symmetrie.

De ineenstorting van een sferisch symmetrische materiewolk en de vorming van een gevangen oppervlak, aangeduid met de notatie T2 in de figuur. Deze figuur komt uit de originele publicatie van Penrose in 1965 [1].

In de tekening is een voorbeeld van een gevangen oppervlak gegeven door de zwarte cirkel. Omdat maar 2 van de 3 ruimtelijke dimensies in de tekening kunnen getoond worden komt die cirkel eigenlijk overeen met het 2-dimensionale oppervlak van een bol met straal kleiner dan . Op de tekening zie je dan kleine lichtkegels getekend, die duidelijk maken dat de lichtstralen naar binnen zijn gedraaid. De lichtkegels op grotere stralen hebben duidelijk meer opening en beschrijven lichstralen die zowel naar kleine r als naar grote r kunnen gaan. Dit lijkt zeer sterk op het begrip van de horizon van een zwart gat, maar het gaat verder want de definitie van een trapped surface is van toepassing in dynamische processen (in contrast met de tijdsonafhankelijke Schwarzschildoplossing). Het tweede (en cruciale) deel van Penrose' bewijs gaat dan verder door aan te tonen dat het bestaan van gevangen oppervlakken noodzakelijkerwijze inconsistent zijn met de afwezigheid van singulariteiten. M.a.w., de vorming van een zwart gat is onvermijdelijk.

Laat ons, om te eindigen, nog even alles op een rijtje zetten. Het intuïtieve idee van een zwart gat kan goed uitgelegd worden door gebruik te maken van de basisformules zoals uitgevonden door Newton, en op de middelbare school geleerd. Deze aanpak geeft bovendien het juiste antwoord voor de straal van een perfect bolvormig zwart gat. Daarna moeten we echter werken met de meer accurate relativiteitstheorie van Einstein. Dit bracht ons tot het concept van ruimte-tijd en lichtkegels. In deze abstracte formulering wordt zwaartekracht beschreven door een kromming van zowel ruimte als tijd en deze kromming kan de lichtkegels doen kantelen en buigen. Het is die kanteling en buiging die Penrose gebruikt om aan te tonen dat zwarte gaten een onvermijdelijk gevolg zijn van de implosies van materie in het universum, zoals na ontploffing van een ster. Dit inzicht was cruciaal omdat het aantoont dat de oplossingen voor Einstein’s vergelijkingen die zwarte gaten voorstellen wel degelijk fysisch realiseerbaar zijn en zich dus in ons universum moeten bevinden. Samen met twee andere wetenschappers die het bestaan van zwarte gaten hebben aangetoond aan de hand van concrete observaties, heeft Roger Penrose de Nobelprijs gekregen voor zijn wiskundig bewijs. REFERENTIES

1 R. Penrose, Gravitational collapse and space-time singularities, Phys. Rev. Lett. 14 (1965), 57-59 doi:10.1103/PhysRevLett.14.57

Foto: Roger Penrose / Festival della Scienza / CC by 2.0.

Sir Roger Penrose (1931 - ) is wiskundige én fysicus, emeritus professor aan de Universiteit van Oxford. Zijn wetenschappelijk werk is zowel in de wiskunde als in de kosmologie baanbrekend. Hij werd vele malen gelauwerd, allicht meest in het oog springend met de Wolf Prize for Physics in 1988 (samen met Stephen Hawking) en de Nobelprijs Fysica (gedeeld met observationele Fysici) in 2020. Zijn naam is ook onverbrekelijk verbonden aan het ontdekken van niet-periodieke betegelingen van het vlak in 1973, de zgn. Penrose-betegelingen. Dit had dan weer verband met en invloed op de ontdekking van quasi-kristallen in de Chemie. Uit erkenning voor zijn werk, werd een vloer in het nieuwe gebouw van het Mathematical Institute te Oxford, betegeld met een Penrose-patroon. En laat ons bij dit alles niet vergeten dat Penrose auteur is van verschillende boeken voor het grote publiek, waaronder “De nieuwe geest van de keizer” en “De weg naar de werkelijkheid” enkele in het Nederlands vertaalde bekende werken zijn. Roger Penrose werd in 1994 geridderd omwille van zijn grote bijdragen tot de vooruitgang van de wetenschap. Hij werd Doctor Honoris Causa, o.a. aan de KU Leuven in 2005.

OEFENING 8

In een rechthoek waarvan de breedte de helft is van de lengte, worden twee overstaande hoekpunten verbonden met een gebroken lijn zoals in de figuur. Wat is de breedte van die rechthoek?

A 9

B 10

C 11

D 12

E 13

OEFENING 9

In de figuur zie je de grafiek van een functie f . Welke van de volgende uitspraken is correct?

A

B

C

D

E Selena, Taylor en Miley hebben elk een profiel op InstaMath. In het begin van het jaar had Selena half zo veel volgers als Taylor en had Taylor 50 % meer volgers dan Miley. In de loop van het jaar steeg het aantal volgers van Selena met 10 %, het aantal volgers van Taylor met 6 % en het aantal volgers van Miley met 8 %. Welke uitspraak is waar?

OEFENING 10

A Miley kreeg er meer volgers bij dan Taylor, maar minder dan

Selena.

B Miley kreeg er meer volgers bij dan Selena, maar minder dan Taylor.

C Selena kreeg er meer volgers bij dan Taylor, maar minder dan Miley.

D Selena kreeg er meer volgers bij dan Miley, maar minder dan Taylor.

E Taylor kreeg er meer volgers bij dan Selena, maar minder dan Miley.