20 PYTHAGORAS
DE KROMME VAN HELGE VON KOCH IN 1904 SCHREEF DE ZWEEDSE WISKUNDIGE HELGE VON KOCH EEN ARTIKEL MET DE WELLUIDENDE TITEL SUR UNE COURBE CONTINUE SANS TANGENTE OBTENUE PAR UNE CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE ÉLÉMENTAIRE. WIE WAT FRANS KENT, WEET NU WAAR HET ARTIKEL OVER GAAT; MAAR DE TITEL VERTELT NIET HET HELE VERHAAL. IN DE INLEIDING SCHREEF VON KOCH WAAROM HIJ “OP ELEMENTAIRE MEETKUNDIGE WIJZE EEN KROMME ZONDER RAAKLIJNEN” WILDE CONSTRUEREN. K . P. H A R T
In 1875 had de Duitse wiskundige Karl Weierstrass namelijk een voorbeeld gemaakt van een continue functie die in geen enkel punt differentieerbaar is. Die functie wordt gegeven door
Hierin is a een reëel getal in het open interval (0,1) en b een oneven natuurlijk getal groter dan 1; samen . voldoen a en b nog aan Zoals Von Koch opmerkte dachten de meeste wiskundigen tot dan toe dat elke kromme overal een raaklijn heeft, op misschien in een paar uitzonderlijke punten na. Immers, als je zelf een ‘willekeurige’ kromme tekent zitten er misschien wat knikken en keerpunten in, maar verder is hij meestal wel mooi glad.
een kromme maken waarvan het “intuïtief” duidelijk is dat deze geen raaklijnen heeft. En hij dacht dat hij daar in geslaagd was. Laten we maar eens kijken.
De grafiek van de functie van Weierstrass is een kromme die in geen enkel punt een raaklijn heeft, en deze haalt die oude gedachte dus grondig onderuit. Maar, schreef Von Koch, die functie van Weierstrass komt uit de analyse en je ziet eigenlijk niet goed waarom er geen raaklijnen zijn, anders dan door netjes met de definitie van de afgeleide te werken en te laten zien dat
voor geen enkele a bestaat. Hij had zich daarom afgevraagd of dit niet wat eenvoudiger kon:
DE KROMME We beginnen met een lijn, vlak.
, in het
Verdeel de lijn in drie gelijke stuk, , en , en zet op een ken: . gelijkzijdige driehoek
