VBTL 5/6 D-gevorderde wiskunde - Module Groepentheorie - inkijk methode

Module groepentheorie

Groepentheorie

De groepentheorie werd als onderdeel van de wiskunde ontwikkeld in de vroege 19e eeuw door het meest ongelukkige en meest onbegrepen wiskundige genie aller tijden, de jonge fransman Evariste Galois (1811 – 1832). Tot zijn 12 jaar kreeg Evariste thuis les van zijn moeder, daarna stuurden zijn ouders hem naar het prestigieuze ‘collège royal de Louis Le Grand’ in Parijs. Hij bleek een opmerkelijk talent voor wiskunde te bezitten, maar door de totale onverschilligheid van zijn opvoeders werd hij zeer opstandig en gesloten.

In 1829 studeerde hij af in de wiskunde en publiceerde zijn eerste artikel over kettingbreuken in een wiskundig tijdschrift. In 1830 publiceerde hij nog drie artikels, het waren de laatste publicaties tijdens zijn

leven. Een jaar later werd hij gearresteerd na een politieke demonstratie, maar in de gevangenis werkte hij verder aan zijn wiskundig werk.

Op 31 mei 1832 stierf hij in een pistoolduel. Hij was nog geen 21. De omstandigheden rond de dood van Galois zijn nooit opgehelderd. In elk geval heeft hij de nacht voor het duel een revolutionaire theorie op papier gezet: de Galoistheorie. Hij kwam met een methode om vast te stellen wanneer van een algebraïsche vergelijking de wortels konden worden bepaald en hij stelde vast dat de aard van de groep waartoe de vergelijking behoort een beslissende factor is voor de oplossing. Daarmee startte hij de studie van de moderne groepentheorie. Ook buiten de wiskunde wordt de groepentheorie gebruikt : in de scheikunde, de kwantumfysica, de waarschijnlijkheidsrekening en de kristallografie. Zelfs de magische kubus van de Hongaar Ernö Rubik is een voorbeeld van de toepassing van groepen in de praktijk.

Evariste Galois

1 Definities en eigenschappen

1 Definities

Inleidend voorbeeld :

Je kunt rekenen met complexe getallen en je kent de eigenschappen van de bewerking optellen in C.

• ∀ z 1, z 2 ∈ C : z 1 + z 2 ∈ C

De optelling in C is intern (of inwendig en overal gedefinieerd).

• ∀ z 1, z 2, z 3 ∈ C : ( z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + ( z 2 + z 3) De optelling in C is associatief.

• ∃ 0 ∈ C, ∀ z 1 ∈ C : z 1 + 0 = z 1 = 0 + z 1

• ∀ z 1 ∈ C, ∃ ! ( –z 1) ∈ C : z 1 + ( –z 1) = 0 = –z 1 + z 1

Hieruit volgt dat C,+ een groep is.

Er geldt ook :

• ∀ z 1, z 2 ∈ C : z 1 + z 2 = z 2 + z 1

Hieruit volgt dat C,+ een commutatieve of abelse groep is.

De optelling in C heeft 0 als neutraal element.

Elk complex getal heeft een symmetrisch (invers) element voor de optelling.

De optelling in C is commutatief.

De groep G,* groep

Een groep is een niet-ledige verzameling G waarop een bewerking * gedefinieerd is die voldoet aan volgende eigenschappen:

• De bewerking is intern

∀ a , b ∈ G : a * b ∈ G

• De bewerking is associatief .

∀ a , b , c ∈ G : a * ( b * c ) = ( a * b ) * c = a * b * c

• Het bestaan van een neutraal element.

∃ e ∈ G, ∀ a ∈ G : a * e = a = e * a

• Elk element van de verzameling heeft een invers element in de verzameling.

∀ a ∈ G, ∃ a –1 ∈ G : a * a –1 = e = a –1 * a

abelse groep

Een groep G,* noemen we abels of commutatief als a * b = b * a voor alle elementen a , b ∈ G.

Voorbeelden:

1 De verzameling Z voorzien van de bewerking optellen, is een abelse groep. Er geldt immers :

• ∀ a , b ∈ Z : a + b ∈ Z

• ∀ a , b , c ∈ Z : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = a + b + c

• ∃ 0 ∈ Z, ∀ a ∈ Z : a + 0 = a = 0 + a

• ∀ a ∈ Z, ∃ –a ∈ Z : a + ( –a ) = 0 = ( –a ) + a

• ∀ a , b ∈ Z : a + b = b + a

Notatie: Z,+ is een abelse groep.

2 Gegeven is een eindige verzameling G = { 1, a , a 2 , a 3} waarop een bewerking * gedefinieerd is zoals in deze tabel.

Taak : ga na of G,* een abelse groep is.

* 1 a a 2 a 3

1 1 a a 2 a 3

a a a 2 a 3 1

a 2 a 2 a 3 1 a

a 3 a 3 1 a a 2

3 De eindige verzameling G = { 1, –1} voorzien van de vermenigvuldiging voldoet aan de definitie van een abelse groep.

1 –1

1 1 –1

–1 –1 1 Notatie: G, is een abelse groep.

4 Dit voorbeeld uit de meetkunde illustreren we met de ruit ABCD. De verzameling G = { 1p, sO, sx , sy } bevat de identieke transformatie 1p, de spiegeling om de oorsprong sO en de spiegelingen om de beide assen sx en sy . Die verzameling G voorzien van de samenstelling voldoet aan de definitie van een groep. Notatie : G,° is een groep

5 Tegenvoorbeelden : Z, – en Z, zijn geen groepen. Verklaar.

Cayley-tabel (1854)

Een vierkante tabel waarin de resultaten van de bewerkingen tussen de elementen van de verzameling wordt weergegeven, noemen we een Cayley-tabel, genoemd naar de Engelse wiskundige Arthur Cayley (1821 – 1859).

2 Uniciteit van het neutraal element

Voorbeelden :

• In de groep Z,+ is 0 het neutraal element. Dit getal 0 is uniek.

• In de groep Q0, is 1 het neutraal element. Dit getal 1 is uniek.

uniciteit van het neutraal element

De groep G,* bevat juist één neutraal element e

Gegeven : De groep G,*

Te bewijzen : G bevat juist één neutraal element e

Bewijs : Veronderstel dat G twee neutrale elementen e en f bevat, dus : ∀ a ∈ G : a * e = a = e * a ( 1) en

∀ a ∈ G : a * f = a = f * a ( 2)

Vervang in ( 1) a door f en in ( 2) a door e , dan krijgen we : f * e = f = e * f en

e * f = e = f * e

Hieruit volgt : f = e

Besluit: elke groep heeft dus juist één neutraal element.

3 Uniciteit van de inverse van een element

Voorbeelden :

• In de groep Z,+ is –5 het inverse element van 5. Elk geheel getal heeft exact één invers element voor de optelling.

• In de groep Q0, is 1 7 het inverse element van 7.

Elk strikt rationaal getal heeft exact één invers element voor de vermenigvuldiging.

uniciteit van het invers element van een element

In de groep G,* heeft elk element juist één invers element.

Gegeven : De groep G,*

Te bewijzen : Elk element van G heeft juist één invers element

Bewijs : Veronderstel dat a ∈ G twee inversen a 1 –1 en a 2 –1 heeft, m.a.w.

a * a 1 –1 = e = a 1 –1 * a en

a * a 2 –1 = e = a 2 –1 * a

zodat

a 2 –1 * ( a * a 1 –1) = a 2 –1 * e = a 2 –1 en

a 2 –1 * ( a * a 1 –1) = ( a 2 –1 * a ) * a 1 –1 = e * a 1 –1 = a 1 –1

Hieruit volgt : a 2 –1 = a 1 –1

Besluit: elk element van een groep heeft juist één invers element.

4 Eigenschappen

Voorbeeld :

• In de groep R2×2 , is de getransponeerde van het product van twee matrices gelijk aan het product van de getransponeerde van de factoren in omgekeerde volgorde.

In symbolen : ∀ A , B ∈ R2×2 : ( A B )T = B T A T

eigenschap 1

In de groep G,* geldt : ∀ a , b ∈ G : ( a * b )–1 = b –1 * a –1

Gegeven : Een groep G,*

Te bewijzen : ∀ a , b ∈ G : ( a * b )–1 = b –1 * a –1

Bewijs : ( a * b ) * (b –1 * a –1) = a * (( b * b –1) * a –1)

= a * ( e * a –1)

= a * a –1

= e

Analoog tonen we aan dat ( b –1 * a –1) * ( a * b ) = e en dus ( a * b )–1 = b –1 * a –1

Voorbeelden :

• In de groep Z,+ is het inverse element van het inverse element van 5 opnieuw 5.

• In de groep Q0, is het inverse element van het inverse element van 7 opnieuw 7.

eigenschap 2

In de groep G,* geldt : ∀ a ∈ G : ( a –1)–1 = a

Gegeven : Een groep G,*

Te bewijzen : ∀ a ∈ G : ( a –1)–1 = a

Bewijs : Omdat a –1 * ( a –1)–1 = e = ( a –1)–1 * a –1 en a –1 * a = e = a * a –1 volgt het gestelde uit de uniciteit van het inverse element van een element.

Dus: ∀ a ∈ G : ( a –1)–1 = a

eigenschap 3 : de vereenvoudigingswetten

In de groep G,* geldt :

∀ a , b , c ∈ G : b * a = c * a ⟺ b = c

∀ a , b , c ∈ G : a * b = a * c ⟺ b = c

Gegeven : Een groep G,*

Te bewijzen : ∀ a , b , c ∈ G : b * a = c * a ⟺ b = c

∀ a , b , c ∈ G : a * b = a * c ⟺ b = c

Bewijs : Veronderstel b * a = c * a , dan

( b * a ) * a 1 =( c * a ) * a 1

b * (a * a 1 )= c * (a * a 1 )

b * e = c * e

b = c

eigenschap 4

In elke groep G,* geldt : a * x = b ⟺ x = a –1 * b (1)

en y * a = b ⟺ y = b * a –1 (2)

We bewijzen (1)

Gegeven : Een groep G,* met a , b ∈ G en een onbekende x

Te bewijzen : a * x = b ⟺ x = a –1 * b

Bewijs : Als x bestaat, dan is

a * x = b

eig3 inG,* heeftelkelementeeninverselement

a 1 * (a * x )= a 1 * b

G,* isassociatief

(a 1 * a ) * x = a 1 * b

G,* heeft e alsneutraalelement

e * x = a 1 * b

x = a 1 * b

Deze oplossing is uniek.

Taak : toon analoog aan dat de vergelijking y * a = b als enige oplossing y = b * a –1 heeft.

5 Rekenen in groepen

Voorbeeld 1 : Los op in Z,+

x + 3 = 5

Voorbeeld 2 : Los op in C,+

z = ( 3 + 2i ) + ( –8 + 4i )

x + 3 = 5 in Z, + heeftelkelementzijntegengesteldealsinverselement

x + 3 +( 3)= 5 +( 3)

Z, + isintern

x + 0 = 2

in Z, + isnulhetneutraalelement

x = 2

z =(3 + 2i )+( 8 + 4i )

C, + isassociatief

z = 3 + 2i 8 + 4i

C, + iscommutatief

z = 3 8 + 2i + 4i

C, + isassociatief

z =(3 8)+(2i + 4i )

C, + isintern

z = 5 + 6i

Voorbeeld 3 : Los op in G,*, m.a.w. bepaal de waarde van x .

a * x * b = c * a * b

Voorbeeld 4 : Los op in de abelse groep G,*

a * x * b = c * a * b

a * x * b = c * a * b vereenvoudigingswet

a * x = c * a

a 1 * a * x = a 1 * c * a inG,* heeftelkelementeeninverselement

e * x = a 1 * c * a

G,* heeft e alsneutraalelement

x = a 1 * c * a

a * x * b = c * a * b vereenvoudigingswet

a * x = c * a

a 1 * a * x = a 1 * c * a

inG,* heeftelkelementeeninverselement G,* iscommutatief

e * x = a 1 * a * c

inG,* heeftelkelementeeninverselement x = e * c

inG,* is e hetneutraalelement

x = c

Voorbeeld 5 : Machtsverheffing in G,*

a 2 = a * a

a 3 = a * a * a

a n = a * a * * a n keer

(n ∈ N0 )

a n = (a n ) 1 = a 1 n met a ∈ G

6 Samenvatting

• Je kent de definitie van een groep.

Een groep is een niet-ledige verzameling G waarop een bewerking * gedefinieerd is die voldoet aan volgende eigenschappen:

– De bewerking is intern.

∀ a , b ∈ G : a * b ∈ G

– De bewerking is associatief.

∀ a , b , c ∈ G : a * ( b * c ) = ( a * b ) *c = a * b * c

– Het bestaan van een neutraal element.

∃ e ∈ G, ∀ a ∈ G : a * e = a = e * a

– Elk element van de verzameling heeft een invers element in de verzameling.

∀ a ∈ G, ∃ a –1 ∈ G : a * a –1 = e = a –1 * a

• Je kent de definitie van een abelse groep (of commutatieve groep).

Een groep G,* noemen we abels of commutatief als a * b = b * a voor alle elementen a , b ∈ G.

• Je weet dat een groep één neutraal element bevat dat uniek is.

• Je weet dat in een groep elk element precies één invers element heeft.

• Je kent de eigenschappen van groepen.

In de groep G,* geldt :

∀ a , b ∈ G : ( a * b )–1 = b –1 * a –1

∀ a ∈ G : ( a –1)–1 = a

∀ a , b , c ∈ G : b * a = c * a ⟺ b = c

∀ a , b , c ∈ G : a * b = a * c ⟺ b = c

∀ a , b ∈ G : a * x = b ⟺ x = a –1 * b

∀ a , b ∈ G : y * a = b ⟺ y = b * a –1

• Je kunt rekenen in groepen.

2 3

7 Oefeningen

Ga na of volgende verzamelingen voorzien van de gegeven bewerking een groep vormen of niet.

a N,+

b Z, ⋅

c Q0,⋅

d R,+

e C, ⋅

a Vormt de verzameling R2×2 van de ( 2×2)-matrices voorzien van de optelling een groep ? Verklaar je antwoord.

b Vormt de verzameling van de ( 2×2)-diagonaalmatrices voorzien van de optelling een groep ?

c Vormt de verzameling van de ( 2×2)-scheefsymmetrische matrices voorzien van de optelling een groep ?

d Vormt de verzameling van de reguliere (inverteerbare) ( 2×2)-matrices voorzien van de vermenigvuldiging een groep ? Zo ja, is die groep abels ?

Deoptellingvantweevectoren u (a , b ) en v ( c , d ) inhetvlakdefinieerdenweals:

u (a , b )+ v ( c , d )=(u + v )(a + c , b + d )

Vormtdeverzamelingvanvectoreninhetvlakvoorzienvandeoptellingeengroep?Verklaarjeantwoord.

4 5 6 7

Ganadatdeverzameling R [ x ] vanveeltermenmetreëlecoëfficiëntenvoorzienvandeoptellingeengroep vormen.

GegevenisdeverzamelingG = a n | n ∈ Z

Gevraagd : Vormt G,⋅ een groep ? Verklaar je antwoord.

GegevenisdeverzamelingG = cos α sin α sin α cos α

a Vormt G, een groep ? Verklaar je antwoord.

b Is die groep abels ?

In de groep G,* is a * b = e met a , b ∈ G.

Leid hieruit af dat : a –1 = b en b –1 = a

9 10 11

Gegeven is de verzameling G = { p , q , r , s , t } voorzien van een bewerking * zoals gedefinieerd in deze Cayleytabel.

a Ga na dat G,* een groep is.

b Is die groep abels ?

c Wat is het neutraal element van die groep ?

d Bepaal de inverse van q en r

* p q r s t

p p q r s t

q q r s t p

r r s t p q

s s t p q r

t t p q r s

Gegeven is de verzameling G = { f , g , h , i , j , k } voorzien van een bewerking * zoals gedefinieerd in deze Cayleytabel.

a Ga na dat G,* een groep is.

b Is die groep abels ?

c Wat is het neutraal element van die groep ?

d Bepaal de inverse van f en k

Los op in G als je weet dat G,* een groep is.

a a * b 1 * x * c 1 = c * a 1 1

b a * x * b 1 1 = b

c x * a * x 1 * b = x * c * b

d x * a * x 1 * b = x 1 * c 1

e x * a 1 * b 1 = c 1 * b 1 * a 1 * c 1

Los op in G als je weet dat G,* een abelse groep is.

a a 1 * x * b 1 * c = b * c 1 1 * a

b a * b 1 * x * c 1 1 = x * a 1 * x * c

c a * a * b 1 * x 1 * c 1 = b * b * c * b 1

d x * a * x 1 * b * x = x 1 * a * x 1 * b 1

e a * x 1 * b * x 1 1 1 = a * b * x

* f g h i j k

f k f j g i h

g f g h i j k

h j h g k f i i g i k j h f

j i j f h k g

k h k i f g j

2 Modulorekenen

1 Definities

a modulo n

a modulo n

De modulo van een deling tussen een geheel getal a en een natuurlijk getal n ( ⩾ 1) is gelijk aan de (positieve) rest na deling van a door n .

Notatie : a mod n

Voorbeelden :

• 17 modulo 5 is 2, want 17 gedeeld door 5 geeft als quotiënt 3 en rest 2.

Notatie : 17 mod 5 = 2

• 37 modulo 6 is 1, want 37 gedeeld door 6 geeft als quotiënt 6 en rest 1.

• 20 modulo 4 is 0, want 20 gedeeld door 4 geeft als quotiënt 5 en rest 0.

• –20 modulo 9 is 7, want –20 = ( –3) ⋅ 9 + 7 .

Algemeen :

a modulo n is r als de rest na deling van a door n ( ⩾ 1) gelijk is aan r a mod n = r ⟺ a = q n + r met 0 ⩽ r < n

Modulair congruent

modulair congruent

Twee gehele getallen noemen we modulair congruent modulo n als ze dezelfde rest hebben na deling door n

Voorbeelden :

• 40, 54 en 75 zijn modulair congruent modulo 7 want 40 mod 7 = 54 mod 7 = 75 mod 7 = 5.

Notatie : 40 ≡ 54 ≡ 75 ( mod 7)

• 35, 68, 90 en –53 zijn modulair congruent modulo 11 want 35 mod 11 = 68 mod 11 = 90 mod 11 = –53 mod 11 = 2.

Algemeen :

a en b zijn modulair congruent modulo n ⟺ a mod n = b mod n

Notatie : a ≡ b ( mod n )

Restklassen

restklasse

Een restklasse modulo n is de verzameling gehele getallen die bij deling door n dezelfde rest opleveren. Getallen in eenzelfde restklasse zijn dus modulair congruent modulo n

in symbolen:

a = { b ∈ Z, b ≡ a (mod n )}

De verzameling van de restklassen modulo n noteren we als Zn

Zn = {0, 1, 2,..., n 1}

Voorbeeld :

Voor n = 4 bestaan er vier verschillende restklassen modulo 4, namelijk :

0 = ..., 8, 4,0,4,8,12,...

1 = ..., 7, 3,1,5,9,13,...

2 = ..., 6, 2,2,6,10,14,...

3 = ..., 5, 1,3,7,11,15,...

Z4 = 0, 1, 2, 3

2 Modulair rekenen

Voorbeeld 1 : Bereken 11 14 + 153 – 17 ( mod 6)

Oplossing 1 :

11 14 + 153 – 17 ( mod 6)

= 154 + 3375 – 17 ( mod 6)

= 3512 ( mod 6)

= 2

Oplossing 2 :

11 14 + 153 – 17 ( mod 6)

= 5 ⋅ 2 + 33 + 1 ( mod 6)

= 10 + 9 + 1 ( mod 6)

= 20 ( mod 6)

= 2

Voorbeeld 2 : Bepaal het kleinste natuurlijk getal x dat voldoet aan : 5x + 9 = 6 ( mod 8)

Oplossing :

5 x + 9 = 6 (mod8)

5 x + 1 = 6 (mod8)

5 x = 5 (mod8)

x = 1

Voorbeeld 3 : Bepaal het kleinste natuurlijk getal x dat voldoet aan : 3x + 7 = 5 ( mod 13)

Oplossing :

3 x + 7 = 5 (mod13)

3 x = 2 (mod13)

3 x = 2 + 2 · 13 (mod13)

3 x = 24 (mod13)

x = 8

3 Toepassing 1 : Belgische rekeningnummers

Een Belgisch rekeningnummer (Belgian Bank Account Number of BBAN) bestaat uit 12 cijfers, verdeeld in drie groepen gescheiden door liggende streepjes : een groep van 3 cijfers, een groep van 7 cijfers en een groep van 2 cijfers. Bijvoorbeeld : 780-5463207-83.

• Een eerste blok van drie cijfers dat informatie geeft over de bank.

• Een blok van zeven cijfers, het eigenlijke rekeningnummer bij die bank.

• Een laatste blok met twee controlecijfers. Die twee cijfers vormen het getal dat de rest is (modulo) bij deling door 97 van het getal dat gevormd wordt door de 10 voorafgaande cijfers. Indien de rest 0 is, wordt 97 als controlegetal gebruikt.

Ga na dat 7805463207 mod 97 = 83 .

Een International Bank Account Number (IBAN) wordt gebruikt om internationale transacties tussen rekeningen en banken gelegen in verschillende landen vlotter te laten verlopen.

• Het IBAN telt maximaal 34 alfanumerieke tekens en heeft een vaste lengte per land.

• Het IBAN bestaat uit een landcode (twee letters), een controlegetal (twee cijfers) en een nationaal rekeningnummer.

Voorbeeld :

Zo wordt 780-5463207-83 → BE?? 7805 4632 0783

Het controlegetal wordt verkregen door het rekeningnummer te nemen ;

er de landcode achter te plaatsen ;

alle letters te vervangen door hun positie in het Romeinse alfabet, met als basispositie het begincijfer 9 (d.w.z. beginnen bij 10 met A = 10, B = 11, …, Z = 35) ;

twee nullen toe te voegen aan het einde ;

dan de rest te nemen van de deling van het zo bekomen getal door 97 ;

(1) 780546320783

(2) 780546320783BE

(3) 7805463207831114

(4) 780546320783111400

(5) 780546320783111400 mod 97 = 84

die rest van 98 af te trekken om het controlegetal te krijgen. (6) 98 – 84 = 14

Conclusie : 780-5463207-83 → BE14 7805 4632 0783

4 Toepassing 2 : de Chinese reststelling

Probleemstelling :

Wanneer een Chinese boer zijn eieren ’s morgens op de markt in rijen van 3 legt, heeft hij 1 ei over.

Legt hij dezelfde eieren in rijen van 5 heeft hij er 2 over en legt hij ze in rijen van 7 heeft hij er 3 over.

Hoeveel eieren heeft de boer minstens ?

Oplossing :

De oplossing van dit Chinese raadsel kunnen we herschrijven als volgt :  



x ≡ 2 ( mod5)

x ≡ 3 ( mod7)

 x ≡ 1 ( mod3)

Uit x ≡ 1 ( mod 3) volgt dat x = 3y + 1, invullen in de tweede vergelijking geeft :

3y + 1 ≡ 2 ( mod 5)

Van beide zijden 1 aftrekken en met 2 vermenigvuldigen geeft :

3 y + 1 ≡ 2 (mod5)

3 y ≡ 1 (mod5)

6 y ≡ 2 (mod5)

y ≡ 2 (mod5)

Zodat y = 5z + 2 en dus x = 3y + 1 = 3( 5z + 2) + 1 = 15z + 7.

We vullen dit in in de derde vergelijking :

15 z + 7 ≡ 3 (mod7)

15 z ≡ 3 (mod7)

z ≡ 3 (mod7)

M.a.w. z = 7u + 3 en dus x = 15( 7u + 3) + 7 = 105u + 52.

De kleinste gehele waarde die hieraan voldoet is 52.

Antwoord :

De boer had minstens 52 eieren.

5 Rekenen met restklassen

Voorbeeld 1 :

Gegeven:Derestklassenmodulo6en a ∈ 4, b ∈ 5

a ∈ 4 =⇒ a = 6p + 4 (p ∈ Z )

b ∈ 5 =⇒ b = 6q + 5 (q ∈ Z )

a + b = 6p + 4 + 6q + 5

= 6(p + q )+ 9

= 6(p + q + 1)+ 3

=⇒ a + b ∈ 3

a · b =(6p + 4) · (6q + 5)

= 6p (6q + 5)+ 4 6q + 20

= 6(6pq + 5p + 4q )+ 20

= 6(6pq + 5p + 4q + 3)+ 2

=⇒ a b ∈ 2

We kunnen de optelling en vermenigvuldiging in de verzameling Z6 definiëren aan de hand van twee Cayleytabellen.

Merk op dat de verzameling Z6 voorzien van de optelling een abelse groep vormt. 0 is het neutraal element, en elk element heeft zijn inverse element. Zo is het inverse element van 3, 3 zelf en het inverse element van 2 is 4

De verzameling Z6 voorzien van de vermenigvuldiging vormt geen groep. We hebben wel een neutraal element, namelijk 1 maar op 1 en 5 na heeft geen enkel element een invers element.

Voorbeeld 2 :

Gegeven : De verzameling Z7 en de Cayleytabel voor de vermenigvuldiging

Merk op dat de verzameling G = Z7 \ { 0} voorzien van de vermenigvuldiging een abelse groep vormt met neutraal element 1

6 Samenvatting

• Je kent de definitie van a modulo n

De modulo van een deling tussen een geheel getal a en een natuurlijk getal n ( ⩾ 1) is gelijk aan de (positieve) rest na deling van a door n

Notatie : a mod n

a mod n = r ⟺ a = q n + r met 0 ⩽ r < n

• Je weet wanneer twee getallen modulair congruent zijn.

Twee gehele getallen noemen we modulair congruent modulo n als ze dezelfde rest hebben na deling door n

Notatie : a ≡ b ( mod n )

• Je kent de betekenis van restklassen.

Een restklasse modulo n is de verzameling gehele getallen die bij deling door n dezelfde rest opleveren.

Getallen in eenzelfde restklasse zijn dus modulair congruent modulo n in symbolen:

a = { b ∈ Z, b ≡ a (mod n )}

• Je weet dat de verzameling van de restklassen modulo n genoteerd wordt als Zn . Zn = {0, 1, 2,..., n 1}

• Je kunt rekenen met restklassen.

7 Oefeningen

Bewijs volgende eigenschap : a en b zijn modulair congruent modulo n als en slechts als n | ( a – b )

Bewijs volgende eigenschap :

Stel dat a 1 ≡ a 2 ( mod n ) en b 1 ≡ b 2 ( mod n ), dan geldt :

• a 1 + b 1 ≡ a 2 + b 2 ( mod n )

• a 1b 1 ≡ a 2b 2 ( mod n )

Voor een priemgetal p geldt :

• ( a + b )p ≡ a p + b p ( mod p )

• a p ≡ a ( mod p ) kleine stelling van Fermat

• ( p – 1)! ≡ –1 ( mod p ) stelling van Wilson

Ga deze stellingen na voor p ∈ { 2, 3, 5, 7}

Bereken :

a 12 + 7 8 – 9 ( mod 11)

b 3 ( 7 + 4 ( 8 + 9) – 5) ( mod 7)

c 4 12 + 13 28 –7 6 ( mod 19)

d 3 ( 4 – 6) + 8 ( 12 + 25) + 162 ( mod 14)

e [ 44 ( 57 – 13)2 + 52 ( 8 + 11)]2 ( mod 23)

f 99 999 999 – 12 345 678 ( mod 67)

Bepaal het kleinste natuurlijk getal x dat voldoet aan :

a 4x + 5 = 4 ( mod 7)

b 5x + 7 = 3 ( mod 11)

c 6x + 1 = 7 ( mod 9)

d 3x + 8 = 7 ( mod 7)

e 7x + 5 = 2 ( mod 11)

Vervolledig volgende rekeningnummers.

a 860-0112905-……

b 833-4819287-……

c 780-55815……-25

d 001-42820……-92

e BE……0635 2439 6583

f BE……0834 6892 15……

g BE……8602 7…48 …667

h BE……7994 …43… 7436

Bepaal het kleinste natuurlijk getal x dat voldoet aan (Chinese reststelling) :

a 

x ≡ 4 ( mod11)

x ≡ 8 ( mod12)

b







x ≡ 3 ( mod6)

x ≡ 4 ( mod7)

x ≡ 5 ( mod8)

c



x ≡ 1 ( mod7)

x ≡ 0 ( mod9)

x ≡ 6 ( mod11)

a Stel voor Z9 de Cayleytabel op voor de optelling.

e









d 

x ≡ 1 ( mod4)

x ≡ 5 ( mod6)

x ≡ 8 ( mod9)

x ≡ 1 ( mod5)

x ≡ 2 ( mod9)

x ≡ 5 ( mod12)



 





x ≡ 7 ( mod14)

b Ga na dat Z9,+ een abelse groep is en bepaal voor elk element zijn inverse element.

Toon aan dat zn,+ een abelse groep is.

Voor een priemgetal p geldt :

De verzameling G = Zp \ { 0} voorzien van de vermenigvuldiging is een abelse groep met neutraal element 1 Ga dit na voor p = 5 en p = 11 .

3 Eindige en cyclische groepen

1 Eindige groepen

Een eindige groep is een groep G,* waarbij G een eindig aantal elementen heeft. Dit aantal elementen wordt de orde van de groep genoemd.

Notatie : ord( G)

De orde van een element a ( ∈ G) is het kleinste positieve gehele getal m zodat a m = e (het neutraal element).

Notatie : ord( a ) = m

eigenschap

∀ a ∈ G : ord( a ) | ord( G)

2 Voorbeelden

Voorbeeld 1 :

Gegeven is de eindige groep G,* van orde 4 waarbij de bewerking * gedefinieerd door de Cayleytabel :

* e b c d

e e b c d

b b d e c

c c e d b d d c b e

ord( b ) = 4 want :

b * b = d

b * b * b = d * b = c

b * b * b * b = c * b = e ord( c ) = 4 want :

c * c = d

c * c * c = d * c = b

c * c * c * c = b * c = e

ord( d ) = 2 want : d * d = e

Voorbeeld 2 :

Gegeven is de verzameling G = { 0000, 0101, 1010, 1111} bestaande uit vier binaire getallen. We voorzien die verzameling van een optelling waarbij :

Dan vormt G,+ een eindige groep van orde 4 en is de orde van elk element 2.

Voorbeeld 3 : moduloklassen

Zn,+ is een eindige groep van orde n .

G, met G = Zp \ { 0} en p priem is een eindige groep van orde p – 1 .

Voorbeeld 4 : viergroep van Klein

De viergroep van Klein is een eindige groep van orde 4 die voldoet aan volgende Cayleytabel.

*

ord( a ) = ord( b ) = ord( ab ) = 2

Nog een voorbeeld van een viergroep van Klein : zie voorbeeld 4 op pagina 4 en oefening 4 op pagina 24.

3 Cyclische groepen

cyclische groepen

Cyclische groepen zijn groepen die kunnen worden voortgebracht door één enkel element g (de voortbrenger). Elk element uit de groep kan dus geschreven worden als een macht of een veelvoud van g

Is de cyclische groep G, eindig van orde n , dan geldt : g n = e .

∀ a ∈ G, ∃ p ∈ N: a = g p

Is de cyclische groep G,+ eindig van orde n , dan geldt : n ⋅ g = e

∀ a ∈ G, ∃ p ∈ N: a = p g

Cyclische groepen zijn steeds abels.

Immers :

∀ a , b ∈ G: a * b = g p * g q = g p +q = g q * g p = b * a

Voorbeeld 1 : G, * is een eindige cyclische groep van orde 4

Voorbeeld 2 : Zn,+ is een eindige cyclische groep van orde n

Voor n = 5 krijgen we:

4 De vergelijking zn = 1 (z ∈ c)

De oplossingen van de vergelijking z n = 1 ( z ∈ C) voorzien van de vermenigvuldiging vormen een cyclische groep van orde n

Voorbeeld 1 : n = 4

Voorbeeld 2 : n = 6

5 Oefeningen

Bepaal de orde van elk element in de groep Z6, +

Bepaal de orde van elk element in de groep G,⋅ met G = Z5 \ { 0}

Ga na dat de vermenigvuldiging van de oneven gehele getallen modulo 8 de structuur heeft van de viergroep van Klein.

Beschouw de verzameling G bestaande uit volgende vier spiegelingen in het vlak :

1p : de identieke transformatie

sx : de spiegeling om de x -as

sy : de spiegeling om de y -as sO : de spiegeling om de oorsprong

Ga na dat G voorzien van de bewerking samenstellen een viergroep van Klein vormt.

◦ 1p sx sy sO

1p

sx

sy

sO

Gegeven :

• De verzameling G met volgende binaire getallen : G = { 00000, 01010, 10001, 11011, 11111}

• De optelling waarbij :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0

Gevraagd :

Ga na of G,+ een groep vormt.

8 9

Gegeven :

• De verzameling G met volgende binaire getallen :

G = { 0000000, 1101000, 0110100, 0011010, 0001101, 1000110, 0100011, 1010001, 1111111, 0010111, 1001011, 1100101, 1110010, 0111001, 1011100, 0101110}

• De optelling waarbij :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0

Gevraagd :

Ga na of G,+ een groep vormt.

Deze verzameling binaire getallen staat bekend onder de benaming Fanocode en wordt o.a. gebruikt in de codeer- en decodeertheorie.

Gegeven :

• De verzameling G met onder andere volgende binaire getallen :

G = { 000000, 111111, 011000, 001100}

• De optelling waarbij:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0

Gevraagd :

Welke binaire getallen moet je toevoegen aan de verzameling G, zodat G voorzien van de optelling een groep vormt ?

Bepaal de oplossingen in C van de vergelijking z 3 = 1, stel die oplossingen grafisch voor in het complexe vlak en geef de Cayleytabel van de bijbehorende cyclische groep.

a Bepaal de oplossingen in C van de vergelijking z 8 = 1, stel die oplossingen grafisch voor in het complexe vlak en geef de Cayleytabel van de bijbehorende cyclische groep.

b Watishetinverseelementvan √2 2 + √2 2 i ?

4 Dihedrale groepen

1 Definitie

dihedrale groep

Een dihedrale groep is de symmetriegroep van een regelmatige n -hoek. Dit is de verzameling van alle transformaties in het vlak die de regelmatige n -hoek op zichzelf afbeelden, uitgerust met de samenstelling van transformaties.

Notatie : Dn,◦

Derotatieovereenhoek360 ◦ /n stellenwevoordoor r .Danzijnallerotatiesvandevorm

rk = r ◦ r ◦ ... ◦ r k maal

met1 k n 1.

Deidentieketransformatiekanbeschouwdwordenalseenrotatieover0 ◦ .

Alsweeenvandespiegelingenvoorstellendoor s ,danzijndeanderespiegelingendesamenstellingvan diespiegelingeneenrotatie,dusvandevorm srk = rk ◦ s .

Dus:Dn = {1, r , r2 ,..., rn 1 , s , sr , sr2 ,..., srn 1 }

2 Voorbeelden

De dihedrale groep D4,°

Merk op dat r ◦ s ≠ s ◦ r , zo is r ◦ s = sr en s ◦ r = sr 3.

De bijbehorende Cayleytabel wordt :

Uit de Cayleytabel blijkt duidelijk dat die groep niet abels is.

De dihedrale groep D6,°

D6 D6 D6 D6 D6 D6 6D 6 D D6 6 D D6 D6

1 2 3 4

3 Oefeningen

Bereken in de dihedrale groep D4,◦ :

a r 2 ◦ sr 3

b ( r ◦ s) ◦ sr

c s ◦ ( r 3 ◦ sr 2)

d ( sr 3 ◦ s) ◦ ( r ◦ s )

Los op in de dihedrale groep D4,◦ :

a r 2 ◦ x = s

b x ◦ sr 3 = r

c r ◦ s ◦ x ◦ sr = r 2

d sr 2 ◦ r 3 ◦ x ◦ s = 1

Vul de Cayleytabel van de dihedrale groep D6,◦ aan.

a ◦ b

a

1 r r 2 r 3 r 4 r 5 s sr sr 2 sr 3 sr 4 sr 5

Wat is in de dihedrale groep D6,◦ de inverse van …

a r 2

b r 5

c s d sr 3

b

Bereken in de dihedrale groep D6,◦ :

a r 3 ◦ r3

b ( sr 2 ◦ sr 4) ◦ s

c s ◦ ( r 2 ◦ sr 2)

d ( sr ◦ sr ) ◦ ( sr 5 ◦ s )

6 7 8 9

Los op in de dihedrale groep D6,◦ :

a r 2 ◦ x ◦ r2 = r 4

b sr 3 ◦ x ◦ sr 2 = r

c s –1 ◦ r ◦ x ◦ sr = 1

d r 4 ◦ x –1 ◦ s = ( sr ◦ r 5)–1

Teken de 6 gevallen van de dihedrale groep D3,◦ en stel de bijbehorende Cayleytabel op.

Teken de 16 gevallen van de dihedrale groep D8,◦ en stel de bijbehorende Cayleytabel op.

Wat is in de dihedrale groep D8,◦ de inverse van …

a r

b r 6

c sr 2

d sr 7

Bereken in de dihedrale groep D8,◦ :

a r 7 ◦ ( r 6 ◦ r 5)

b ( sr 2 ◦ sr 3) ◦ sr 4

c ( r 2 ◦ sr 2) ◦ ( sr 2 ◦ r 2)

d ( s ◦ r 7) ◦ ( sr 7 ◦ r )

Wat moet je kennen en kunnen ?

Trefwoordenregister

A

D

E

G

Oplossingen

1 Definities en eigenschappen (blz. 10)

8 b ja

c p

d q –1 = t , r –1 = s

9 b ja

c g

d f –1 = i , k –1 = j

10 a b

b a – 1

c c – 1 * a

d c * a – 1 * b

e e

11 a a 2

b b – 1

c e

d b – 2

e e

2 Modulorekenen (blz. 18)

4 a 4

b 0

c 16

d 0

e 3

f 30

6 a 860–0112905–76

b 833–4819287–03

c 780–5581586–25

d 001–4282081–92

e BE14 0635 2439 6583

f BE55 0834 6892 1544

g BE93 8602 7348 0667

h BE46 7994 1438 7436

7 a 92

b 165

c 666

d 197

e 2261

5 a 5 (mod 7)

b 8 (mod 11)

c 1 (mod 9)

d 2 (mod 7)

e 9 (mod 11)

3 Eindige en cycliche groepen (blz. 24)

1 orde (0)= 1;orde (1)= 6; orde (2)= 3;orde (3)= 2; orde (4)= 3;orde (5)= 6

2 orde (1)= 1;orde (2)= 4; orde (3)= 4;orde (4)= 1

8 1, 1 2 + √3 2 i , 1 2 √3 2 i

9 a 1, √2 2 + √2 2 i , i , √2 2 + √2 2 i , 1, √2 2 √2 2 i , i , √2 2 √2 2 i

b √2 2 √2 2 i

4 Dihedrale groepen (blz. 28)

1 a sr

b 1

c r 3

d s

2 a sr 2

b s c r 2 d r 3

4 a r 4

r c s d sr 3

5 a 1 b sr 4 c r 2

6 a 1 b 1 c r 4

r 2

a r 7

r 2

Cartoons Dave Vanroye

Eerste druk 2023 - SO 2023/493 - Bestelnummer 94 505 0361

ISBN 978 90 4864 743 9 - KB D/2023/0147/224 - NUR 126/128/129 - Thema YPMF

Foto’s Adobe stock, fotostock die Keure en auteurs - Lay-out en druk die Keure Verantwoordelijke uitgever N.V. die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge

Die Keure

9 789048 647439

Auteurs Philip Bogaert, Filip Geeurickx, Marc Muylaert, Roger Van Nieuwenhuyze en Erik Willockx

wil het milieu beschermen. Daarom kiezen wij bewust voor papier dat het keurmerk van de Forest Stewardship Council® (FSC®) draagt. Dit product is gemaakt van materiaal afkomstig uit goed beheerde, FSC®-gecertificeerde bossen en andere gecontroleerde bronnen.