VBTL 5 D&A - Leerwerkboek Analyse - inkijk methode

LEERWERKBOEK

Analyse D&A-finaliteit

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

CARTOONS

Dave Vanroye

Hoe gebruik je VBTL?

uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt. Wiskunde kent veel links met andere vakken We tonen zo’n link in een paarsgekleurd kadertje.

Dit boek bevat vijf hoofdstukken. Elk hoofdstuk is opgebouwd

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur. Een sterretje duidt op een extra uitdaging. Achteraan in dit boek vind je de oplossingen

ICT is een ideaal hulpmiddel. Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.

Wat moet je kennen en kunnen?

Op het einde van elk hoofdstuk zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets. Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen.

In dit boek snijden we een thema aan dat je zeker nog herkent van vorig jaar: functies. We breiden nu de eerstegraadsfuncties uit naar de reële functies. Een functie die we bijvoorbeeld zullen onderzoeken, is de exponentiële functie, die we in talloze alledaagse situaties tegenkomen, van de intrest op een spaarboekje tot de schimmel op etenswaren. Een (bos)brand is er ook een voorbeeld van: die gaat steeds sneller uitbreiden als de brandweerlui of blusvliegtuigen niet tussenbeide komen.

Ook machten en n-demachtswortels komen in dit boek aan bod: we frissen je kennis op en breiden die uit. Tot slot maak je kennis met enkele nieuwe begrippen, zoals logaritmen, gemiddelde verandering en het differentiequotiënt.

Inhoud

Exponentiële

5

Gemiddelde verandering en differentiequotiënt

Machten 2

Machten en wortels zijn begrippen die al lang gebruikt worden. Het waren de Babyloniërs die voor het eerst √2en √3 √2en √3 benaderden. Jij maakte er kennis mee in je eerste jaar middelbaar onderwijs.

Minder gebruikte synoniemen voor vierkantswortel zijn tweedemachtswortel en kwadraatswortel. Voor een derdemachtswortel werd vroeger dan weer wel eens kubiekwortel of teerlingwortel gebruikt. Vind je de link naar de betekenis van die woorden? Een blokje kaas als aperitief helpt je wellicht op weg …

Machten

2.1 Machten met een

getal als exponent

1Het begrip macht

natuurlijk

35 is een macht waarbij we 3 het grondtal noemen en 5 de exponent

2Gelijksoortige machten

42 en 43 zijn gelijksoortige machten omdat ze hetzelfde grondtal hebben.

(

3)2 en (

3)3 zijn ook gelijksoortige machten.

Maar 23 en 53 zijn geen gelijksoortige machten omdat hun grondtallen niet gelijk zijn: 2 ≠ 5.

Machten

De term ‘macht’ vindt zijn oorsprong in de Latijnse taal (potentia), maar zou eigenlijk fout vertaald geweest zijn uit het Grieks. Daar werd de Griekse term ‘vermenigvuldiging’ gebruikt, niet onlogisch. Machten werden in het prille begin van de wiskunde sowieso vooral gebruikt om oppervlaktes te berekenen (tweede macht) en volumes (derde machten).

In de loop van de geschiedenis zijn er al verschillende manieren geweest om een macht te noteren en al evenveel manieren om pakweg een tweede of derde macht te omschrijven. De schrijfwijze an, zoals we die nu kennen, werd door de Fransman Descartes in 1637 systematisch gebruikt met natuurlijke getallen als exponenten; de Engelsman Thomas Harriot zou dit wel kort daarvoor voor het eerst gebruikt hebben. De negatieve gehele exponenten en rationale exponenten werden in 1656 ingevoerd door John Wallis via zijn belangrijkste werk Arithmetica Infinitorum en ze werden verder bestudeerd door Isaac Newton. Net als enkele andere wiskundigen vond Newton het trouwens niet nodig om een exponent te gebruiken bij een tweede macht, ax² noteerde hij dus liever als axx.

3Eigenschappen

aProduct van gelijksoortige machten

Volg onderstaande redeneringen. We leiden hier een eerste rekenregel af.

Rekenregel 1: product van gelijksoortige machten

Om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen:

– behoud je het grondtal;

– tel je de exponenten op.

bQuotiënt van gelijksoortige machten

Volg onderstaande redeneringen. We leiden hier de tweede rekenregel af.

Rekenregel 2: quotiënt van gelijksoortige machten

Om machten met hetzelfde grondtal door elkaar te delen:

– behoud je het grondtal; – trek je de exponenten van elkaar af.

In symbolen:

cMacht van een macht

Volg onderstaande redeneringen. We leiden hier de derde rekenregel af.

Rekenregel

3: macht van een macht

Om een macht tot een macht te verheffen:

– behoud je het grondtal;

– vermenigvuldig je de exponenten.

In symbolen:

dMacht van een product

Volg onderstaande redeneringen. We leiden hier een volgende rekenregel af.

eMacht van een quotiënt

Rekenregel 5: macht van een quotiënt Om

te verheffen, verhef je deeltal en deler tot die macht.

2.2 Machten met een geheel getal als exponent 1Inleiding

3 = 1 2 5

Gevolg: De breuk wordt omgedraaid. De exponent verandert van teken.

Er geldt dus ook:

1 2 2 = 22 = 4

4 5 3 = 5 4 3 = 53 43 = 125 64

a b c

2 = c ab 2 = c 2 a 2 b 2

macht met een negatieve exponent

a b n = b a

3 = 1 23 53 3

= 53 23 = 5 2

n met a, b ∈ R0 en n ∈ N

2Eigenschappen

aProduct

van gelijksoortige machten 10 3 · 102 = 1 103 · 102 = 102 103 = ✚✚ 10 ✚✚ 10 ✚✚ 10 · ✚✚ 10 · 10 = 1 101 = 10 1 = 10 3+2 a 3 a 2 = a 3 1 a 2 = a 3 a 2 = ✚ a ✚ a a ✚ a · ✚ a = a 1 = a 3+( 2)

Rekenregel 1: product van gelijksoortige machten a n ·

a p

bQuotiënt van

machten

dMacht van een product

3a 4 2 = 1 3a 4 2 = 1 32 a 8 = 3 2 · a 8

Besluit:

Rekenregel 4: macht van een product

( a b)n = a n b n met a, b ∈ R0 en n, p ∈ Z

eMacht van een quotiënt

6a 2 b 3

3 = b 3 6a 2

3 = b 9 63 a 6 = 6 3 a 6 b 9

Let steeds goed op waarop de exponent zal inwerken. evenmacht

3 4

2 =+ 32 42 = 9 16 resultaatispositief

Deexponent2moetinwerkenopalleswattussenhaakjesstaat.

1 2 2 = 12 22 = 1 4 resultaatisnegatief

Deexponent2werktinopalleswattussenhaakjesstaat,dusnietophetmintekenvoordehaakjes.

2 3 3 = 23 33 = 8 27

Onevenmacht.Hetresultaatisnegatief.

( 3)2 = 9 9

Besluit:

Rekenregel 5: macht van een quotiënt ( a : b)n = a n : b n a b n = a n b n met a, b ∈ R0 en n, p ∈ Z

3Samenvatting

• Je kent de definitie van machten.

a n = a a ... a met a ∈ R en n ∈

a 1 = a met a ∈ R

a 0 = 1 met a ∈ R 0

• Je weet dat gelijksoortige machten machten zijn met hetzelfde grondtal.

• Je kent de rekenregels voor het rekenen met machten (in woorden en symbolen).

product van gelijksoortige machten

quotiënt van gelijksoortige machten

Om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen:

behoud je het grondtal;

tel je de exponenten op.

Om machten met hetzelfde grondtal door elkaar te delen:

behoud je het grondtal;

trek je de exponenten van elkaar af.

Om een macht tot een macht te verheffen:

behoud je het grondtal;

vermenigvuldig je de exponenten.

4Oefeningen

Werk uit met behulp van de rekenregels.

Werk uit met behulp van de rekenregels.

Werk uit. Zorg ervoor dat in je antwoord enkel positieve exponenten staan.

Werk uit. Zorg ervoor dat in je antwoord enkel positieve exponenten staan.

Op expeditie naar het noorden van Scandinavië ?

Alvast geen slecht idee. Als je echt bijna in het meest noordelijke punt van Noorwegen, Zweden of Finland (je mag zelf kiezen) bent, passeer je de poolcirkel. Boven die magische grens gaat de zon in de zomer gedurende zestig dagen niet onder! Je ziet dan ’snachts de middernachtzon (zie foto). De plaatselijke bevolking moet in de winter wel een even lange poolnacht doormaken! Ter plaatse kun je kennismaken met een ijskathedraal, een ijshotel, het noorderlichtmuseum, prehistorische rotstekeningen (zelfs tot 8000 jaar oud) en in één dorpje vind je nog een attractie: de enige echte …

Om te weten te komen over wie of wat we het hier hebben, los je elke oefening op.

Zoek de letter die bij het antwoord staat en vorm hiermee het antwoord. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.

2.3 Vierkantswortels in 1Begrippen

vierkantswortel

in woorden:

Een vierkantswortel van een reëel getal is elk reëel getal waarvan het kwadraat gelijk is aan het gegeven getal.

in symbolen:

b iseenvierkantswortelvan a ⇐⇒ b 2 = a met a , b ∈ R

Omdat a = b 2, is a ⩾ 0. Enkel positieve getallen kunnen dus een vierkantswortel hebben.

Nul heeft juist één vierkantswortel, namelijk 0.

De definitie kunnen we dus als volgt herschrijven :

b = √a ⇐⇒ b 2 = a met a , b ∈ R +

Opmerkingen:

• √16 = 4 is de positieve vierkantswortel van 16, het resultaat is dus positief.

• √ 16bestaatniet, √ 16 / ∈ R .

Er bestaat geen enkel reëel getal waarvan het kwadraat –16 is.

• Met behulp van ICT kunnen we vierkantswortels benaderen.

√7 = 2,64575...

√123 = 11,09053...

• √2en √7 zijn irrationale getallen.

Dergelijke getallen kunnen niet in breukvorm genoteerd worden.

• Ook de lengten van lijnstukken kunnen irrationaal zijn:

2Grafische interpretatie

Hier zie je duidelijk dat 4 twee vierkantswortels heeft, nl. 2 en –2, want: 22 = 4 = (

2)2

Merk ook op dat een negatief getal geen vierkantswortel heeft.

Vierkantswortels

Vierkantswortels werden al heel lang geleden onder de ene of de andere vorm gebruikt. De Babylonische wiskunde kende benaderende waarden voor getallen die we nu schrijven als √2 en √3

Aan Aristoteles (384 – 322 v.Chr.) wordt toegeschreven dat hij als eerste aangetoond zou hebben dat √2 geen rationaal getal is. Euclides (365 – 300 v.Chr.) komt bij de behandeling van de stelling van Pythagoras en van de regelmatige veelhoeken en veelvlakken op een aantal irrationale uitdrukkingen terecht. Archimedes (287– 212 v.Chr.) kon langs meetkundige weg vierkantswortels van niet-volkomen kwadraten benaderen. De oorsprong van het woord wortel, dat zowel voor een met wortelteken geschreven getal als voor de oplossing van een algebraïsche vergelijking met één onbekende gebruikt wordt, dient gezocht te worden bij de Arabieren. Al-Chwarizmi (780 – 850) gebruikt hiervoor in 830 voor het eerst een woord dat wortel (van een plant) betekent. Hij vermeldt ook de formules a√b = √a 2 b en √a √b = √a b

Ons wortelteken, een vervorming van de letter r (van radix), vinden we in 1525 bij Christoff Rudolff. Hij gebruikte de volgende symbolen: V voor 2 √2 , VV voor 3 √2 enz.

Aristoteles

3Eigenschappen van vierkantswortels

Volg

De

Het kwadraat van de positieve vierkantswortel van een positief reëel getal is steeds dat getal zelf.

De positieve vierkantswortel van een product van positieve reële getallen is gelijk aan het product van de positieve vierkantswortels van de factoren.

De positieve vierkantswortel van een quotiënt van positieve reële getallen waarvan de deler niet nul is, is gelijk aan het quotiënt van de positieve vierkantswortels van deeltal en deler.

4Vierkantswortels vereenvoudigen

Met het vereenvoudigen van vierkantswortels bedoelen we dat we het grondtal zo eenvoudig mogelijk zullen schrijven.

√

Probeer om onder het wortelteken zo veel mogelijk even machten te verkrijgen.

5Bewerkingen met vierkantswortels

We merken vooraf op dat in het resultaat de vierkantswortel steeds zo ver mogelijk wordt vereenvoudigd.

aVierkantswortels optellen en aftrekken

Vierkantswortels met hetzelfde grondtal noemen we gelijksoortige vierkantswortels.

√3en2√3zijngelijksoortigevierkantswortels.

3√2en5√3zijnnietgelijksoortigomdat2 = 3.

– Om gelijksoortige vierkantswortels op te tellen of af te trekken, passen we de distributieve eigenschap toe van het vermenigvuldigen ten opzichte van het optellen in R.

– Niet-gelijksoortige vierkantswortels kunnen we soms vereenvoudigen tot gelijksoortige vierkantswortels zodat we die vierkantswortels kunnen optellen en aftrekken.

bVierkantswortels vermenigvuldigen

Om vierkantswortels te vermenigvuldigen passen we eerst de commutatieve en de associatieve eigenschappen van de vermenigvuldiging toe en daarna de rekenregels in R

cVierkantswortels delen

dVierkantswortels tot een macht verheffen

Om een vierkantswortel tot een macht te verheffen, passen we eerst de rekenregel voor de macht van een product toe en daarna de rekenregel voor de macht van een vierkantswortel.

Voorbeelden :

5√3 3 = 53 √3 3 = 125 · 33 = 125 · 32 · 3 = 125 · 3√3

= 375√3

3 b √2 b 3 = 27 b 3 8 b 3 b 0

= 27 b 3 √4 b 2 · 2 b

= 27 b 3 2 b √2 b

= 54 b 4 √2 b

6Samenvatting

• Je kent de definitie van een vierkantswortel van een reëel getal en kent de grafische interpretatie.

Een vierkantswortel van een reëel getal is elk reëel getal waarvan het kwadraat gelijk is aan het gegeven getal.

∀a , b ∈ R : b iseenvierkantswortelvan a ⇐⇒ b 2 = a

Elk positief reëel getal a heeft in R+ precies één vierkantswortel b

∀a , b ∈ R + : b = √a ⇐⇒ b 2 = a

• Je kent de eigenschappen van vierkantswortels.

met a ∈ R+ De positieve vierkantswortel van het kwadraat van een positief reëel getal is dat getal zelf.

a 2 = a

a 2 = a

√a 2 = a

a 2 = a √a 2 = a √a · b = √a · √ b

√a 2 = a

√a b = √a √ b

met a ∈ R+ Het kwadraat van de positieve vierkantswortel van een positief reëel getal is steeds dat getal zelf.

a 2 = a √a 2 = a √a · b = √a · √ b

√a · b = √a · √ b

met a, b ∈ R+

De positieve vierkantswortel van een product van positieve reële getallen is gelijk aan het product van de positieve vierkantswortels van de factoren.

a b = √a √ b

a

b = √a √ b

b = √a √ b

a

a b = √a √ b met a ∈ R+ en b ∈ R0

De positieve vierkantswortel van een quotiënt van positieve reële getallen waarvan de deler niet nul is, is gelijk aan het quotiënt van de positieve vierkantswortels van deeltal en deler.

• Je weet hoe je een vierkantswortel vereenvoudigt.

• Je kunt volgende bewerkingen uitvoeren met vierkantswortels:

(gelijksoortige vierkantswortels) optellen en aftrekken;

vermenigvuldigen;

delen;

tot een macht verheffen.

7Oefeningen

Vereenvoudig volgende vierkantswortels.

Vereenvoudig volgende vierkantswortels. Alle letters stellen positieve reële getallen voor.

Bereken met ICT en rond af tot op 4 decimalen nauwkeurig.

Noteer in elke bouwsteen de som van de twee onderliggende bouwstenen.

2.4

Derdemachtswortel van een reëel getal

1Inleiding

We bepalen het volume van deze kubussen.

4 cm

2 cm

z kubus = 4cm

Vkubus = z z z = 43 cm3 = 64cm3

z kubus = 2cm

Vkubus = z · z · z = 23 cm3 = 8cm3

z kubus = 4cm

Vkubus = z z z = 43 cm3 = 64cm3

z kubus = 2cm

Vkubus = z · z · z = 23 cm3 = 8cm3

derdemachtswortel in woorden:

De derdemachtswortel van een reëel getal is het reëel getal waarvan de derde macht gelijk is aan het gegeven getal.

in symbolen:

2Grafische interpretatie

Hier zie je duidelijk dat elk positief getal juist één derdemachtswortel heeft.

Je ziet ook dat elk negatief getal juist één derdemachtswortel heeft.

3 Toepassingen

Toepassing 1:

Gegeven:Eenbalkheeftalsafmetingen: l = 32cm b = 8cm h = 2cm

Gevraagd:Berekendezijdevaneenkubuszodathetvolumevandekubusgelijkisaanhetvolumevande gegevenbalk.Werkop2decimalennauwkeurig.

Oplossing: Vbalk = l b h wordt: V = 32 8 2cm3 = 512cm3 Vkubus = z 3 wordt: z 3 = 512cm3

Antwoord:Dekubusheeftzijdendie8cmlangzijn.

Toepassing 2:

Gegeven:Eenbolheefteenvolumevan1m3 .

Gevraagd:Berekendestraalvandebol.Werkop0,01mnauwkeurig.

Antwoord:Destraalvandebolisongeveer0,62m.

4Oefeningen

a Bereken de lengte van de zijde van een kubus met volume 2744 cm3

b Bereken het volume van een bol met straal 10 cm. Werk tot op 0,001 cm3 nauwkeurig.

c De diameter van een voetbal is 23 cm. Bereken zijn volume. Werk tot op 0,001 cm3 nauwkeurig.

d Een bol heeft een volume van 10 cm3. Wat is zijn straal? Werk tot op 0,001 cm nauwkeurig.

e Siebe heeft van de Sint 2500 kubusvormige houten speelblokken gekregen. Hoeveel blokken bevat de grootste volledig gevulde kubus die je met die blokken kunt maken door ze op elkaar te stapelen ?

f In de leraarskamer staat een kubusvormige diepvrieskast met een volume van 512 liter. Ze willen er kubusvormige doosjes in plaatsen met een ribbe van 12 cm. Hoeveel van die doosjes kunnen in de diepvrieskast ?

g Hoeveel kubusjes met een volume van 1cm3 krijg je maximaal in een balkvormige doos met binnenafmetingen 10cm, 2cm en 2cm ?

h Een balk heeft een volume van 166,375cm3

Welke zijde heeft een kubus met hetzelfde volume ?

Een kubus heeft een volume van 274,625cm3. De ribben worden 1cm verlengd. Wat is het volume van de nieuwe kubus ?

De eerste sneeuw dit jaar was de aanleiding voor Koen en Wouter om een grote sneeuwman te maken. Verklaar telkens je antwoord en bereken op 1 mm nauwkeurig.

a Als een sneeuwbal een volume heeft van 1 m3, kunnen we dan met de bal door een tuinpoortje met een breedte van 1 m ?

b Het hoofd van de sneeuwman heeft een diameter van 35 cm. Koen wil op het hoofd van de sneeuwman een kubusvormige doos zetten met een volume van 50 dm3. Kan hij de doos als hoed gebruiken of is ze te groot ?

Het speelblad van een snookertafel heeft als afmetingen 3,57 m bij 1,78 m. De ballen hebben een volume van 75,77 cm3

Hoeveel ballen kun je maximaal op het speelblad leggen als ze op de aangegeven manier liggen?

2.5 n-demachtswortels in

1Inleiding

Elk positief getal heeft twee vierkantswortels. Een negatief getal heeft geen vierkantswortels.

Elk reëel getal heeft één derdemachtswortel.

Elk positief getal heeft twee vierdemachtswortels. Een negatief getal heeft geen vierdemachtswortels.

Voorbeelden:

4 √81 = 3want34 = 81

5

100000 = 10want ( 10)5 = 100000 4

64 isnietgedefinieerd 3

0 = 0 want03 = 0

2Definitie

n -demachtswortel

in woorden: Voor een van nul verschillend natuurlijk getal n is de n -demachtswortel van een reëel getal elk reëel getal waarvan de n -de macht gelijk is aan het gegeven getal.

in symbolen:

b is een n -demachtswortel van a ⟺ b n = a met a , b ∈ R en n ∈ N0

Voorbeelden :

4 √81 = 3want34 = 81

5 √ 32 = 2want ( 2)5 = 32

6 106 want (10)6 = 106

6 √ 64isnietgedefinieerdin R (verklaar)

3 √0 = 0want03 = 0

Bij het werken met lettervormen stellen we dat de letters positieve getallen voorstellen. De nieuwe definitie kunnen we dan beperken tot :

n -demachtswortel

Elk positief reëel getal a heeft in R+ precies één n -demachtswortel b .

n √a = b ⇐⇒ b n = a met n ∈ N0 en a , b

3Eigenschappen

Algemeen: eigenschappen van n -demachtsworteltrekking

De eerste vier eigenschappen zijn een veralgemening van de eigenschappen die gelden bij de vierkantswortel van een reëel getal.

4Benaderen, afronden en schatten

Voorbeeld 1:

Tussen welke twee opeenvolgende natuurlijke getallen ligt √130 ?

Oplossing: √121 < √130 < √144

11 < √130 < 12

√130 ∈ ]11,12[

Voorbeeld 2:

Tussen welke twee opeenvolgende natuurlijke getallen ligt 3 √185 ?

Oplossing: 3 √125 < 3 √185 < 3 √216

5 < 3 √185 < 6

3 √185 ∈ ]5,6[

Voorbeeld 3:

Aan welke afgeronde waarde is de gegeven wortelvorm gelijk?

3 √120 ≈ 5,21 A 4,93 B 6,05 C

Taak:

Zoek een getal waarvan de derde macht in de buurt ligt van 120.

3 √64 = 4en 3 √125 = 5

Het antwoord ligt dus tussen 4 en 5. Omcirkel de voorlaatste mogelijkheid.

Zoek nu zelf het antwoord op de vraag: aan welke afgeronde waarde is de gegeven wortelvorm gelijk?

5Samenvatting

• Je kent de definitie van de n-demachtswortel van een reëel getal. in woorden:

Voor een van nul verschillend natuurlijk getal n is de n -demachtswortel van een reëel getal elk reëel getal waarvan de n -de macht gelijk is aan het gegeven getal. in symbolen:

b is een n -demachtswortel van a ⟺ b n = a met a , b ∈ R en n ∈ N0

Elk positief reëel getal a heeft in R+ precies één n -demachtswortel b .

n √a = b ⇐⇒ b n = a met n ∈ N0 en a , b ∈ R +

• Je kent de eigenschappen van de worteltrekking.

met a , b ∈ R + 0 en m , n ∈ N0

• Je kunt de waarde van een n-demachtswortel benaderen door een schatting uit te voeren.

Tussen welke twee natuurlijke getallen liggen volgende uitdrukkingen?

Voor het getal a zijn drie benaderende waarden gegeven. Schat de best mogelijke uitkomst.

Tussen twee variabelen x en y is volgende waardetabel gegeven:

aAlsgegevenisdathetverbandtussen x en y uitgedruktkanwordenmetdeformule y = ax 4 , bepaaldandeevenredigheidsfactor a .

bTekenmetICTdebijbehorendegrafiek.

cBereken y als x = 6.

dBereken x als y = 1250.

In de tabel hiernaast staan voor enkele planeten in ons zonnestelsel de gemiddelde afstanden tot de zon in miljoenen km en de omlooptijd in jaren.

Volgens de derde wet van Kepler is het kwadraat van de omlooptijd van een planeet rond de zon ( t ) recht evenredig met de derde macht van de gemiddelde afstand tot de zon ( s ).

a Schrijf s in functie van t

b Bereken de afstand (in miljoenen km) van de planeet Jupiter tot de zon als je weet dat de omlooptijd 11,862 jaar is.

c Hoeveel bedraagt de afstand van Jupiter tot de zon in astronomische eenheden als je weet dat 1 A.E. = gemiddelde afstand aarde-zon = 149600000 km.

2.6 Machten met een rationaal getal als exponent

De nieuwe exponent is een rationaal getal geschreven als een breuk met als teller de exponent die bij het getal onder de wortelvorm hoort en met als noemer een natuurlijk getal verschillend van nul.

2Eigenschappen van machten met rationale exponenten

We nemen aan dat de eigenschappen voor machten met gehele exponenten blijven gelden voor machten met strikt positieve reële grondtallen en met rationale getallen als exponenten.

3Samenvatting

4Oefeningen

Schrijf met een rationale exponent.

a 5 a 2 =

b 6 a 5 =

c 3 √17 =

d √39 =

e 3 a 4 =

f 5 √2 =

g 3 x 5 =

h 4 2a 3 =

i 5 48 x 4 =

Schrijf als een n-demachtswortel. a5

Voor het getal a zijn vier mogelijke benaderende waarden gegeven. Schat de best mogelijke uitkomst.

Werk uit en schrijf zonder rationale exponenten. Alle letters stellen positieve getallen voor, verschillend van 0.

Bereken met ICT.

De Zuid-Chinese zee bevat veel prachtige vissoorten. Blijkbaar is er een verband tussen de oppervlakte van een zeegebied en het aantal verschillende vissoorten dat je er tegenkomt. In formulevorm is dat :

s ( x ) = 60 x 0,4

met s ( x ): het aantal vissoorten

x : de oppervlakte van het leefgebied in vierkante kilometer

a Teken de grafiek met ICT.

b Bereken het aantal vissoorten in gebieden met een oppervlakte van 100 vierkante kilometer.

c In een gebied komen zo’n 709 vissoorten voor. Bereken de oppervlakte van dat gebied met ICT.

De pH meet de zuurtegraad van een vloeistof. Bij een neutrale oplossing ligt de pH rond 7, bij zure oplossingen ligt dat onder 7 en bij basische oplossingen erboven. Belangrijk detail: een pH van 2 is tienmaal zuurder dan een pH van 3 (de schaal is dan ook logaritmisch, zie volgend hoofdstuk). Los elke opgave op, verzamel de letters en je krijgt een voorbeeld waar de zuurtegraad vaak gecontroleerd moet worden.

Oplossing: