Nando 5 D&A- Module 1 Rekenen met machten - inkijk methode

D&A-FINALITEIT – ANALYSE

01  Rekenen met machten

wat je al kunt

–vierkantswortels van reële getallen berekenen met en zonder ICT

–derdemachtswortels van reële getallen berekenen met en zonder ICT

–rekenen met machten met gehele exponenten –getallen vergelijken en ordenen

–getallen omzetten van de ene vorm naar de andere met behulp van ICT: decimale vorm, breuk, wortelvorm en procent

–afronden, benaderen en schatten

wat je leert in deze module

–machten met rationale exponent berekenen met en zonder ICT, in zuiver wiskundige en realistische problemen – n-de machtswortels berekenen met en zonder ICT in zuiver wiskundige en realistische problemen –het verband tussen machtsverheffing en worteltrekking

Inhoud Instap

1Vierkantswortels en derdemachtswortels

2 n-de machtswortels

3Problemen oplossen met n-de machtswortels

4Machten met een rationale exponent

5Problemen oplossen met machten met een rationale exponent

Signaaloefeningen

Differentiatietraject

Computationeel denken

Studiewijzer

in de kijker

Je zet getallen om van de ene vorm naar de andere.

wiskundetaal

–macht –grondtal

–exponent – n-de machtswortel met n ∈ \{0,1}

–machten met rationale exponenten –machtsverheffing –worteltrekking

Instap

Opdracht 1

Vul aan.

a) en zijnvierkantswortelsvan4want

= √4isdepositievevierkantswortel.

= √4isdenegatievevierkantswortel.

2 en 2 = 4.

b) en zijnvierkantswortelsvan100want 2 en 2 = 100.

= √100isdepositievevierkantswortel.

= √100isdenegatievevierkantswortel.

c) √13en √13zijnvierkantswortelsvan want .

d) √7en √7zijnvierkantswortelsvan want .

Opdracht 2

Vul aan.

a) isdederdemachtswortelvan8want 3 = 8

b) isdederdemachtswortelvan 125want 3 = 125

c) isdederdemachtswortelvan27want

d) isdederdemachtswortelvan 1want

Opdracht 3

a)Wat stel je vast in de voorgaande oefeningen?

3 = 27

3 = 1

b)Vul telkens het schema aan.

√4 = want: 2 = 4

… 2 √ … positievevierkantswortel

… 3

3 √8 = want: 3 = 8

1 Vierkantswortels en derdemachtswortels

1.1 Vierkantswortel van een positief reëel getal

Als we de waarde van x willen berekenen in deze evenredigheid stellen we vast dat er twee oplossingen zijn.

Er zijn twee reële getallen waarvan het kwadraat 16 is: namelijk 4 en -4.

√16isde positievevierkantswortel uit16.

√16isde negatievevierkantswortel uit16.

definitie in woorden

16

= 4of x = 4

b is een vierkantswortel van een positief reëel getal a als en slechts als het kwadraat van b gelijk is aan a

In symbolen beperken we de definitie:

definitiein symbolen

∀ a, b ∈ + : √a = b ⇔ b2 = a

Bij het rekenen met vierkantswortels benader je het resultaat vaak met een decimale vorm. Er zijn drie decimale vormen:

2,25 = 1,5

2,25 = 1,5

eindig

oneindig met repeterend deel (= periode)

oneindig niet repeterend

1 9 = 1 3 = 0,333…

1 9 = 1 3 = 0,333…

(de periode is 3)

√2 = 1,414213562373…

√2 = 1,414213562373…

√2 = 1,414213562373…

Oneindig decimale vormen rond je vaak af tot de gewenste nauwkeurigheid. Hiervoor pas je de afrondingsregels toe.

Voorbeelden

• Weronden √2afop6decimalenendoendatalsvolgt:

Neemhet7e decimalecijfer.

→ Isditcijfergroterdanofgelijkaan5,danrondjehet6e decimalecijferafnaarboven.

→ Isditcijferkleinerdan5,dankapjededecimalevormafnahet6e decimalecijfer.

√2 = 1,414213 5 62373…

√2 ≈ 1,414214

• Weronden √2afop3decimalenendoendatalsvolgt:

Neemhet4e decimalecijfer.

→ Isditcijfergroterdanofgelijkaan5,danrondjehet3e decimalecijferafnaarboven.

→ Isditcijferkleinerdan5,dankapjededecimalevormafnahet3e decimalecijfer.

√2 = 1,414 2 13562373…

√2 ≈ 1,414

In praktische problemen is het vaak zinvol om een decimale vorm af te ronden. Let op: in wetenschapsvakken gelden de regels van de beduidende cijfers . De nauwkeurigheid van je eindresultaat wordt bepaald door de nauwkeurigheid van je metingen, je benadering van natuurconstanten, …

Voorbeeld

De snelheid van een tsunami daalt in ondiep water terwijl de hoogte van de golf toeneemt. Je kan de snelheid v van de golf in m/s benaderen met de formule v = 9,81 d met d de diepte in meter.

Wat is de snelheid van een tsunami bij een diepte van 1500 m?

Berekening:

v = 9,81 d

v = 9,81 1500

≈ 121

Desnelheidvandegolfisongeveer121m/s. Wekunnenditomzettennaarkm/h.

121m/s = 121 ⋅ 3600m/h

= 121 3600 1000 km/h

≈ 436km/h

Merk op

In wetenschappelijke vraagstukken houden we bij het afronden rekening met het aantal beduidende cijfers. Het resultaat van een vermenigvuldiging of deling krijgt evenveel beduidende cijfers als de factor met het kleinste aantal beduidende cijfers.

9,81 → 3 beduidende cijfers (9, 8 en 1)

1500 → 4 beduidende cijfers (1, 5, 0 en 0)

Het kleinste aantal beduidende cijfers in de eerste berekening van voorbeeld 1 is 3 (9,81). Bij het afronden houden we dus rekening met een aantal beduidende cijfers van 3 (121):

v = 9,81 ⋅ 1500

≈ 121

1.2Derdemachtswortel van een reëel getal

x -3 -2 -1012 ?

x3 -27 -8 -1018 27

Om in de tabel terug te keren naar x bereken je de derdemachtswortel.

definitie in woorden

b is de derdemachtswortel van een reëel getal a als en slechts als de derde macht van b gelijk is aan a in symbolen

∀ a, b ∈ : 3 √a = b ⇔ b3 = a

Het symbool Hetsymbool 3 √ lezenweals dederdemachtswortelvan… lezen we als 'de derdemachtswortel van …'.

Voorbeelden

3 √8 = 2want23 = 8

3 √125 = 5want53 = 125

Merk op

3 √ 27 = 3want ( 3)3 = 27

3 √ 1 = 1want ( 1)3 = 1

• Je kunt van elk reëel getal één derdemachtswortel bepalen.

• De derdemachtswortel van een positief reëel getal is positief. De derdemachtswortel van een negatief reëel getal is negatief.

• Bij vraagstukken zal je soms jouw eindresultaat moeten afronden op een bepaalde nauwkeurigheid.

3 √20 = 2,7144176… ≈ 2,71

Voorbeeld

Een kubusvormig vat heeft een inhoud van 600 liter.

Hoe lang is de ribbe van dit vat?

V = z3

600l = z3

600dm3 = z3

3 600dm3 = z z ≈ 8,43dm

1

= 1 dm3

Een vierkante pop-it fidget toy bevat 256 bolletjes. Hoeveel bolletjes heeft één zijde?

Je koopt 4 sets van 1000 magnetische balletjes.

a)Hoeveel balletjes bevat 1 ribbe van de grootst mogelijke kubus die je met deze 4 sets kan maken? Rond zinvol af!

b)Hoeveel sets moet je bijkopen om een kubus te kunnen maken met een ribbe van 20 balletjes?

Bereken uit het hoofd.

2 n -de machtswortels

2.1 Begrippen

2 is de vijfdemachtswortel van 32 want 25 = 32.

Bij de machtswortel 5 √32 is 5 de wortelexponent en 32 het grondtal.

We moeten een onderscheid maken bij de n-de machtswortels waarbij n even is en waarbij n oneven is.

√100 = 10 → positievevierkantswortel

√100 = 10 → negatievevierkantswortel

even wortelexponent oneven wortelexponent

Vierkantswortel of tweedemachtswortel ( n = 2)

10 en -10 zijn vierkantswortels van 100 want

102 = 100 en ( -10) 2 = 100

Notatie:

√100 = 10 → positievevierkantswortel

√100 = 10 → negatievevierkantswortel

Vierdemachtswortel ( n = 4)

Derdemachtswortel ( n = 3)

5 is de derdemachtswortel van 125 want

4 √81 = 3 → positievevierdemachtswortel

53 = 125

√100 = 10 → positievevierkantswortel

4 √81 = 3 → negatievevierdemachtswortel

√100 = 10 → negatievevierkantswortel

Notatie:

3 √125 = 5

4 √81 = 3 → positievevierdemachtswortel

4 √81 = 3 → negatievevierdemachtswortel

Vijfdemachtswortel ( n = 5)

5 √ 32 = 2

4 √81 = 3 → positievevierdemachtswortel

√100 = 10 → positievevierkantswortel

3 en -3 zijn vierdemachtswortels van 81 want

34 = 81 en ( -3) 4 = 81

-2 is de vijfdemachtswortel van -32 want

√100 = 10 → negatievevierkantswortel

4 √81 = 3 → negatievevierdemachtswortel

Notatie:

3 √125 = 5

4 √81 = 3 → positievevierdemachtswortel

4 √81 = 3 → negatievevierdemachtswortel

5 √ 32 = 2

3 √125 = 5

Vaststellingen

( -2) 5 = -32

3 √125 = 5

Notatie:

5 √ 32 = 2

• Bij een n-de machtswortel is n een natuurlijk getal verschillend van 0 en 1 (n ∈ \{0,1}).

• Een tweedemachtswortel noemen we ook wel een vierkantswortel: 2 √4 = √4

5 √ 32 = 2

• Als n oneven is, kun je van elk reëel getal een n-de machtswortel bepalen. Is het grondtal een negatief reëel getal, dan is de n-de machtswortel van dat getal ook negatief. Is het grondtal een positief reëel getal, dan is de n-de machtswortel van dat getal ook positief.

• Als n even is, kun je enkel een n-de machtswortel bepalen van een positief reëel getal. Er is van dat positief reëel getal zowel een positieve en een negatieve n-de machtswortel.

Merk op

De zesdemachtswortel van -64 is niet gedefinieerd. Het grondtal moet immers positief zijn. Er bestaat geen reëel getal b zodat b6 = 64of 6 √ 64 ∉

definitiein woorden

Een n-de machtswortel uit een gegeven reëel getal a, is elk reëel getal b waarvan de n-de macht gelijk is aan dat reëel getal a

In symbolen beperken we de definitie: definitiein symbolen

∀ a, b ∈ + : n √a = b ⇔ bn = a

2.2Binomiaalvergelijkingen

Een vergelijking van de vorm xn = a met onbekende x ∈ enmacht n ∈ 0 en a ∈ , noemen we een binomiaalvergelijking

Je hebt al geleerd dat de vergelijking x2 = 9 twee verschillende oplossingen heeft: 3 en -3

In symbolen noteer je:

x1 = √9en x2 = √9

= 3 = 3

De oplossingenverzameling is V = {−3;3}

Je kunt de oplossingen eenvoudig controleren:

• 32 = 9

• ( -3) 2 = 9

Met ICT lees je de oplossingen van deze vergelijking af als snijpunten van de grafiek van f(x)= x2 en g(x)= 9

We bekijken nog twee andere voorbeelden voor n > 2.

Voorbeeld 1: n is even

x4 = 625 heeft twee verschillende oplossingen: de vierdemachtswortel van 625 en het tegengestelde van de vierdemachtswortel van 625.

In symbolen noteer je:

x1 = 4 √625

en

= 5

x2 = 4 √625

= 5

De oplossingenverzameling is V = {−5;5}

Controle:

• 54 = 625

• ( -5) 4 = 625

Met ICT lees je de oplossingen van deze vergelijking af als snijpunten van de grafiek van f(x)= x4 en g(x)= 625

Merk op

De vergelijking x4 = -625 heeft geen oplossingen, want een even macht van x is altijd positief. We kunnen geen n-de machtswortel trekken van een negatief getal als n even is.

y f(x)= x4

Dit zie je ook grafisch: x

g(x)= 625

Voorbeeld 2: n is oneven

x5 = 243 heeft één oplossing: de vijfdemachtswortel van 243.

In symbolen noteer je:

x = 5 √243 = 3

De oplossingenverzameling is V = {3}

Controle:

35 = 243

Met ICT lezen we de oplossingen van deze vergelijking af als snijpunten van de grafiek van f(x)= x5 en g(x)= 243

•

Merk op

De vergelijking x5 = -243 heeft als oplossing x = -3. We kunnen een n-de machtswortel trekken van een negatief getal als n oneven is. Je kunt hierboven de grafiek tekenen van h( x) = -243 en je zal zien dat er 1 snijpunt is met de grafiek van f.

Besluit

• De vergelijking xn = a heeft 2 tegengestelde oplossingen als n ∈ \{0,1} even is en a ∈ + : de n-de machtswortel van a en het tegengestelde van de n-de machtswortel van a. De oplossingenverzameling is V = n √a, n √a .

• De vergelijking xn = a heeft 1 oplossing als n ∈ \{0,1} oneven is en a ∈ : de n-de machtswortel van a. De oplossingenverzameling is V = n √a

Bereken

a) 4 √256 =

Bereken met ICT. Rond af op 2 decimalen.

a) 3 0,3 =

b) 8 √ 16 =

c) 6 √13 =

Los de volgende binomiaalvergelijkingen op.

a) x4 = 12

d) 7 340,4825447 =

e) 9 √ 7 =

f) 5 2 9 =

c) x8 = -1

b) x5 = 32

Zijn deze uitspraken juist of fout? Verklaar.

a) 5 √32 = 2want ( 2)5 = 32

b)De oplossingen van x4 = 16 zijn x1 = -2 en x2 = 2.

c)De derdemachtswortel van -27 is 3.

d) x7 = 2187

3 Problemen oplossen met n -de machtswortels

3.1 Loonsverhoging

Je toekomstige werkgever biedt je een contract aan met een loonsverhoging van 10% per 5 jaar. Hoeveel % is dat per jaar?

Stap 1: Verkennen

jaarloonformule

0€ 15001500

5€ 16501500 · 1,1

10€ 18151500 · 1,12

15……

n · 5 …1500 · 1,1

Vermeerderen met 10% is vermenigvuldigen met factor 1,10

€ 1500 … … … …

Stap 2: Oplossen

A5 = 1,1

A = 5 1,1

A ≈ 1,019

Stap 3: Antwoord

Vermenigvuldigen met factor 1,019 is vermeerderen met 1,9%. Per jaar krijg je een loonsopslag van ongeveer 1,9%.

3.2Verhoudingen in de muziek

octaafafstand tussen 2 tonen A

Een octaaf is het interval tussen twee tonen waarvoor de frequentie van de tweede toon precies het dubbele is van die van de eerste. De frequenties van de 2 tonen A verhouden zich als 1 : 2. Deze verhouding noemen we de frequentieverhouding.

Op een pianoklavier bestaat een octaaf uit 12 toetsen: 7 witte en 5 zwarte.

De frequentieverhouding tussen 2 opeenvolgende toetsen is hier steeds gelijk. Er zijn 3 opeenvolgingen mogelijk: wit-zwart, zwart-wit en wit-wit. Dat betekent bijvoorbeeld dat de verhouding van de frequenties van de tonen B en C dezelfde is als die van E en F , maar ook van A en A#.

Wat is de frequentieverhouding ( p) tussen de tonen B en C, tussen de tonen A en B en tussen de tonen A en D?

Stap 1: Verkennen · 2

frequentie 1e toon

A = 27,5 Hz

Stap 2: Oplossen

Uit het schema lezen we het volgende af:

• p12 = 2 ⇕ p = 12 √2

• De frequentieverhouding tussen 2 opeenvolgende tonen C B = p = 12 √2

• De frequentieverhouding B A = p2

= 12 √2 2

≈ 1,12246

• De frequentieverhouding D A = p5

= 12 √2 5

≈ 1,33484

Stap 3: Antwoord

De frequentieverhouding tussen …

• B en C is ongeveer 1,05946.

• A en B is ongeveer 1,12246.

• A en D is ongeveer 1,33484.

≈ 1,05946

frequentie 2e toon

A = 55 Hz

3.3Beschadiging van het wegdek

Auto’s en vrachtwagens beschadigen het wegdek: spoorvorming, barsten …

Hoe zwaarder het voertuig, hoe groter de beschadiging. Elk voertuig heeft een aantal assen. Een auto heeft er 2, de vrachtwagen in volgend voorbeeld heeft er 5. Elke as heeft een aslast. Dat is de massa op de wielen van deze as.

Om verschillende voertuigen met een verschillende massa en aantal assen met elkaar te vergelijken, gaan we de aslast gebruiken.

Op de figuur bovenaan verdelen we 40 ton evenredig over de 5 assen. Elke as draagt 8 ton. Dat noemen we de standaard aslast. We gaan andere voertuigen hiermee vergelijken.

We berekenen nu hoeveel keer (N) een standaard aslast van 8 ton langs hetzelfde punt moet passeren om evenveel schade aan te richten als een aslast van W ton met de formule:

N = W 8 4

Dit beschreven model is slechts een vereenvoudigde weergave van de werkelijkheid.

a)Wat is de aslast W voor een vrachtwagen van 44 ton met 5 assen?

We verdelen de massa (44 ton) evenredig over de 5 assen.

Elke as draagt 8,8 ton. De aslast is dus 8,8 ton.

b)Hoeveel keer moet een standaard aslast langs hetzelfde punt passeren zodat ze evenveel schade veroorzaakt als een aslast W van 8,8 ton?

N = 8,8 8 4

≈ 1,46

Een standaard aslast zou ongeveer 1,46 keer hetzelfde punt moeten passeren om evenveel schade te veroorzaken als een aslast van 8,8 ton.

c)Voor een geladen vrachtwagen met 5 assen is N = 2. Een standaard aslast moet dus 2 keer hetzelfde punt passeren om evenveel schade te veroorzaken als de aslast van deze vrachtwagen. Wat is de massa (m) van deze vrachtwagen?

2 = W 8 4

⇕

W = 8 4 √2 ≈ 9,5137

m = 5 ⋅ 9,5137 (wantdevrachtwagenheeft5assen)

≈ 48

De massa van deze vrachtwagen is ongeveer 48 ton.

d)Voor een auto is N = 3,16 · 10 -5. Wat is de massa ( m) van deze auto?

3,16 10 5 = W 8 4

W = 8 ⋅ 4 3,16 ⋅ 10 5 ≈ 0,59981

m = 2 0,59981 (wanteenautoheeft2assen)

≈ 1,2

De massa van deze auto is ongeveer 1,2 ton.

9

Een belegging groeit met 6% per jaar. Wat is de procentuele groei per week?

10

11

Een gitaar heeft 6 snaren. In een normale stemming is de snaarfrequentie van de dikste snaar E vier keer lager dan de frequentie van de dunste snaar E. De frequentieverhouding tussen 2 opeenvolgende snaren is steeds gelijk.

Vul de ontbrekende frequenties aan. Rond telkens af op 2 decimalen.

E A D G B E

Niet iedereen is het eens met de vuistregel uit hoofdstuk 3.3. Om tot deze regel te komen, werden immers heel wat veronderstellingen gemaakt: de toestand en onderhoud van het wegdek, verdeling van de massa over de assen, de rijstijl …

Er zijn varianten van de vuistregel gangbaar. Een alternatieve formulering is de volgende:

N = W 8 5

Voor een geladen vrachtwagen met 5 assen is N = 1,7. Een standaard aslast moet dus 1,7 keer hetzelfde punt passeren om evenveel schade te veroorzaken als de aslast van deze vrachtwagen. Wat is de massa m van deze vrachtwagen als je rekening houdt met de alternatieve formulering?

82,40 Hz

329,6 Hz

4 Machten met een rationale exponent

4.1 Machten met een rationale exponent

We kennen onder andere de definitie van een vierkantswortel van een positief reëel getal en de definitie van een derdemachtswortel van een positief reëel getal. Hierdoor kunnen we een aantal wortels snel uitrekenen zonder ICT.

Voorbeelden

72 = 7 3 143 = 14

Je kent ook de rekenregel om de macht van een macht te berekenen.

Voorbeelden

34 2 = 38 52 3 = 56

Met deze kennis kan je onderstaande opgaves zonder ICT berekenen.

38 = 34 2 = 34 = 3 8 2

3 56 = 3 52 3 = 52 = 5 6 3

macht waarbij de exponent een breuk is (een rationaal getal) We stellen vast dat de exponent van het grondtal onder de wortel in de teller staat en de wortelexponent in de noemer

definitie n am = a m n met n ∈ \{0,1} , m ∈ en a ∈ +

4.2Rekenregels voor machten met een rationale exponent

Je kent de eigenschappen van machten met gehele exponenten al. Deze rekenregels gelden ook voor machten met rationale exponenten. Je hebt ze onbewust al toegepast in de vraagstukken. Hieronder zie je een aantal voorbeelden waar deze rekenregels worden toegepast bij machten met rationale exponenten.

rekenregelin woorden

Om machten met eenzelfde grondtal te vermenigvuldigen, behoud je het grondtal en tel je de exponenten bij elkaar op. in symbolen am · an = am + n

rekenregelin woorden

Om machten met eenzelfde grondtal te delen, behoud je het grondtal en trek je de exponenten van elkaar af.

in symbolen am an = am n

rekenregelin woorden

Om een macht van een macht te bepalen, behoud je het grondtal en vermenigvuldig je de exponenten met elkaar.

rekenregelin woorden

Om een product tot een macht te verheffen, verhef je elke factor van dat product tot die macht.

in symbolen

(ab)m = am bm

Voorbeelden

(5b) 1 9 = 5

(64a)

rekenregelin woorden

b

Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je de teller en de noemer tot die macht.

in symbolen

a b m = am bm

Voorbeelden

rekenregelin woorden

Om het minteken van een negatieve exponent weg te werken, keer je het grondtal om.

in symbolen

a m = 1 am

4.3 Oplossen van vergelijkingen van de vorm n x m = a met x > 0

Voorbeeld 1

Losop: 3 x5 = 4 met x > 0

algebraïsch grafisch

3 x5 = 4

⇕ omzettennaareenmachtmetrationaleexponent

x 5 3 = 4

⇕ wegwerkenvandeexponentinLLdoor:a)keerdemachtom b)verhefLLenRL totdiemacht

Voorbeeld 2

algebraïsch grafisch

Losop: x 4 √x = 2 met x > 0

x 4 √x = 2

⇕ vermenigvuldigingvanmachtenmethetzelfdegrondtal

x1+ 1 4 = 2

x 5 4 = 2

⇕ wegwerkenvandeexponentinLL

x 5 4 4 5 = 2 4

x = 5 √16 ≈ 1,741

V = 5 √16

Met ICT kan je deze vergelijkingen ook oplossen. Op de grafiek van de functie stellen de snijpunten met de x-as de oplossingenverzameling voor.

Bereken de getallen in de linkerkolom op 3 decimalen nauwkeurig en verbind vervolgens de overeenkomstige uitdrukkingen. 5

13

Zet om naar een macht met een positieve exponent in breukvorm.

a) 7 32 = d)40,1 =

b) 9 73 = e)2,10,6 =

c) 4 36 = f) 3 3

14

Zet om naar een n-de machtswortel.

a)0,20,75 = d)3 0,32 = b)70,3 = e) 2 3

c)30,32 = f) 1 81 0,25 =

Pas de rekenregels toe en werk uit.

Pas de rekenregels toe en vereenvoudig indien mogelijk.

5 Problemen oplossen met machten met een rationale exponent

Voorbeeld 1

In de zevenkamp bereken je de punten voor een worp van x meter bij het speerwerpen als volgt:

a)Descore S = 15,9803 25 (x 3,8)26

b)Rond S afnaarondertotop1geheel.Datgeeftjehetaantalpunten P.

Noor Vidts gooide op de Olympische Spelen in Tokyo 41,80 meter.

S = 15,9803 25 (41,8 3,8)26 ≈ 702,36

P = 702

Ze kreeg voor dit nummer 702 punten.

Voorbeeld 2

Voor de 100 m horden kreeg Noor 1099 punten. De score voor dit loopnummer bereken je als volgt:

S = 9,23076 200»(26,7 x)367 met x detijdinseconden.

Haartijdopditloopnummerwasdus:

DetijdvanNooropde100mhordenwas13,17seconden.

Het SAR-model (Species-Area Relationship) toont hoe het aantal verschillende diersoorten in een natuurgebied verandert als de oppervlakte van dat gebied verandert:

z

S = 100 A A0

met hierin:

• S de verandering van diversiteit in %;

• A de oppervlakte van het gebied;

• A0 de oppervlakte van het gebied in de beginsituatie;

• z een constante tussen 0,1 en 0,5

Voor S = 90% zeggen we dat 90% van het oorspronkelijke aantal diersoorten overblijft door het verkleinen van het oppervlak van het gebied.

a)Bij een grote bosbrand gaat 20% van een natuurgebied verloren. Wat is de impact op de biodiversiteit van de diersoorten in dat gebied? Neem z = 1 4

b)Welke kritische bedenkingen maak je bij deze formule?

c)Een stadsbestuur wil een natuurdomein van 165 hectare uitbaten voor ecotoerisme, maar wil ook dat S > 97%. Mag er 15 hectare bebouwd worden met speeltuinen, bungalows, winkels … ? Neem z = 3 10

Signaaloefeningen

1

Vul aan.

… 2

a) √121 = want:

2

b) 3 √8 = want:

… 2

…

>>> Verder oefenen: D1 t.e.m. D10

Hoeveel natuurlijke getallen kleiner dan 100 000 zijn zowel een volkomen kwadraat als een derdemacht?

3

Reken exact uit of geef een benadering op 3 decimalen nauwkeurig.

a) 3,14 =

b) 1 49 =

c) √29 =

d) 3 27 343 =

e) 3 √9 =

>>> Verder oefenen: D1 t.e.m. D10

>>> Verder oefenen: D1 t.e.m. D10

4

Bereken zonder ICT.

a) 3 √216 =

b) 3 √ 125 =

d) 4 √ 256 =

e) 5 √ 32 =

c) 4 34 = f) 3 √343 =

5

Bereken met ICT. Rond af op 2 decimalen.

a) 3 1,573 =

d) 5 40,56 =

b) 6 √256 = e) 3 √ 5 =

c) 4 3 17 =

6

Los de volgende binomiaalvergelijkingen op.

f) 9 3 4 =

a) x4 = 3 c) x4 = -2

>>> Verder oefenen: D11 t.e.m. D15

b) x5 = 3 d) x5 = -2

>>> Verder oefenen: D11 t.e.m. D15

>>> Verder oefenen: D11 t.e.m. D15

9

Een viersnarige basgitaar staat een octaaf lager dan een zessnarige gitaar. De frequentieverhouding tussen 2 opeenvolgende snaren is steeds gelijk. Wat zijn de ontbrekende frequenties? Vul aan.

Bereken met ICT. Rond af op 4 decimalen.

a)3

Herschrijf tot een uitdrukking zonder rationale exponent.

Schrijf in de vorm axb.

De massa van een vis neemt toe als hij groeit. Het verband tussen de massa m en de lengte l is m = a ⋅ lb

Voor de meeste vissoorten ligt de exponent b dicht bij 3. De coëfficiënt a hangt af van de soort. Soorten waarvoor b > 3 hebben de neiging om relatief dikker te worden of meer omtrek te krijgen naarmate de vis langer wordt. Soorten waarvoor b < 3 hebben de neiging om gestroomlijnder te zijn.

Voor forelbaarsen geldt: mf = 10–5,528 ⋅ l3,273

Voor kwabalen geldt: mk = 10−4,868 ⋅ l2,898 met l in mm en m in g.

a)Bereken de massa van een forelbaars en een kwabaal met een lengte van 40 cm. Rond af op 2 decimalen.

b)Noteer de formule voor mk met machtswortels.

c)Bereken de lengte van een kwabaal met een massa van 1200 g. Rond af op 2 decimalen.

d)Is de vis op de foto een kwabaal of een forelbaars? Bepaal op basis van je vorig antwoord.

e)Wat gebeurt er met de massa mk van een kwabaal als de lengte l verdrievoudigt? En als je de lengte halveert?

f) Schrijf de lengte l van een forelbaars in functie van zijn massa mf door gebruik te maken van de rekenregels. Rond indien nodig af op 3 decimalen.

Vierkantswortels

Differentiatietraject

1 2

Plaats onderstaande vierkantswortels en derdemachtswortels op de getallenas. Gebruik ICT.

Bepaal het volume van een kubusvormige verpakking met een zijde van 62 cm.

3

Bepaal de middelevenredigen tussen 12 en 27.

Tussen welke twee opeenvolgende gehele getallen ligt de gegeven vierkantswortel?

a) 3,14

b) √29

c) √71

In een ruit is de grote diagonaal vier keer zo lang als de kleine.

a)Bepaal de afmetingen van de diagonalen als de oppervlakte van de ruit 400 cm2 is.

b)Bepaal de omtrek van deze ruit.

Het volume van een bol is 70 cm3. Kan Toos de bol door de opening van de vormenstoof duwen als je weet dat de opening de vorm heeft van een vierkant met zijde 5 cm?

Matthias wil een cilindervormige regenwaterput plaatsen met een volume van 15000 l. De hoogte van de put is 1,8 meter. Het volume van zo’n put kan je berekenen met de formule Vput = πr 2h waarbij V het volume is in m3, r de straal in m en h de hoogte in m.

Ruben wil betonnen bollen maken voor in de tuin. Hij koopt een zak van 25 kg beton. Hiermee maak je volgens de fabrikant 13 liter beton. Wat is de maximale diameter van de bol die Ruben kan maken met 1 zak beton?

Geef je antwoord op 1 cm nauwkeurig.

Vbol = 4 3 πr3

Voor de uitrusting van haar bakkerij wil Marion halve bollen kopen. Ze zal hier vaak mee werken en wil graag de massa van zo'n bol inschatten. De dikte is 0,5 cm. RVS heeft een massa van 7930 kg/m3. De halve bol heeft een hoogte van 9 cm. Benader de massa van deze halve bol op 1 g nauwkeurig.

We benaderen zeepbellen met bollen.

Het volume van een zeepbel: Vbel = 4 3 πr3

De oppervlakte van een zeepbel: Abel = 4πr2

a)Schrijf het volume van een zeepbel in functie van haar oppervlakte.

b) Vbel ≈ 0,09402 ⋅ Abel ⋅ Abel

Wat is het volume van een zeepbel met een oppervlakte van 2 m²?

c)Bepaal de constante factor 0,09402 op 7 decimalen nauwkeurig.

Voor een megatruck met 7 assen is N = 0,77.

Wat is de massa van zo’n vrachtwagen als je weet dat N = W 8 4 met W = aslast (= massa per as)? Geef je antwoord op 1 ton nauwkeurig.

De derde wet van Kepler geeft het verband tussen de gemiddelde afstand van een planeet tot de zon en de omlooptijd van die planeet om de zon. De Aarde heeft een omlooptijd van 1 jaar of 365 dagen. Mercurius heeft een omlooptijd van 88 dagen.

DederdewetvanKeplersteltdat: r = 3   T2 Gm 4π2 methierin:

• r degemiddeldeafstandvandeplaneettotdezoninm;

• T deomlooptijdvandeplaneetomdezonins;

• m demassavandezon: m = 1,99 ⋅ 1030 kg;

• G degravitatieconstante: G = 6,67 ⋅ 10 11 Nm2 kg2

Watisdegemiddeldeafstandvandeaardetotdezon?

In een natuurgebied stijgt het aantal ooievaars per 3 jaar met 15%. Op 1 juni 2022 werden er 60 ooievaars geteld.

a)Hoeveel ooievaars zullen er, volgens de voorspellingen, in dit natuurgebied zijn op 1 juni 2028?

b)Hoeveel ooievaars zullen er, volgens de voorspellingen, in dit natuurgebied zijn op 1 juni 2024?

Bekijk de informatie in oefening 17. Wat is de omlooptijd van Mars om de zon? Neem 2,2794 ⋅ 1011 m als gemiddelde afstand van Mars tot de zon.

planeetomloop om de zon

Mercurius88 dagen

Venus225 dagen

Aarde365,25636 dagen

Mars… dagen

Jupiter4332,71 dagen

Saturnus10757,73 dagen

Uranus30687,15 dagen

Neptunus60190 dagen

Pluto90593 dagen

Je gaat op zoek naar een nieuwe wagen. Ook tweedehandswagens zijn een optie. Let op, in Vlaanderen betaal je BIV (= Belasting op Inverkeersstelling). Hier hou je best rekening mee bij je aankoop.

Deze belasting bereken je met de formule BIV = Å co2 + x 246 6 4500 + cã LC voor inschrijvingen vanaf 01/01/2016 van voertuigen met een datum 1e verkeerststelling van vóór 2021. De parameters worden als volgt gedefinieerd:

• CO2 = CO2 -uitstootin g km vanhetwerkvoertuig

• x = CO2 -correctieinfunctievandetechnologischeevolutie; x = 0 gCO2 km enwordtjaarlijksverhoogd met4,5 gCO2 km vanafhetjaar2013(in2020bijvoorbeeldbedroegdit36 gCO2 km )

• c = constante(luchtcomponent)infunctievandeeuronormenbrandstofsoort, vermeldinonderstaandetabel

• LC = leeftijdscorrectievoortweedehandswagens

• Deminimale BIV bedraagt e 50,38in2022.

Ouderdom voertuig op basis van eerste inschrijving (zie inschrijvingsbewijs)

Waarde LC in %

Minder dan 12 volle maanden 100

Van 12 volle maanden tot en met 23 volle maanden90

Van 24 volle maanden tot en met 35 volle maanden80

Van 36 volle maanden tot en met 47 volle maanden 70

Van 48 volle maanden tot en met 59 volle maanden60

Van 60 volle maanden tot en met 71 volle maanden50

Van 72 volle maanden tot en met 83 volle maanden40

Van 84 volle maanden tot en met 95 volle maanden30

Van 96 volle maanden tot en met 107 volle maanden20

Meer dan 107 volle maanden 10

Je wilt op 14/10/2022 de wagen kopen met deze specificaties:

Datum eerste inschrijving: 07/02/2018

Euronorm: 6

Brandstof: Diesel

Motorvermogen: 65,00 kW

CO2-uitstoot: 152 g/km

a)Hoeveel BIV betaal je?

b)Voor welke CO2-uitstoot betaal je in 2022 voor een wagen met dezelfde ouderdom en vermogen € 350 BIV?

De wet voor welzijn op het werk vraagt werkgevers dat ze het risico op een arbeidsongeval in kaart brengen en terugdringen tot een aanvaardbaar niveau. In een bedrijf waar werknemers zware arbeid verrichten, brengt men soms de energetische belasting voor een werknemer in kaart. Dat is het risico op vermoeidheid: een groot risico betekent een grote kans op een arbeidsongeval.

Hoe zwaarder het werk, hoe hoger de intensiteit en hoe minder lang je het kan volhouden. De intensiteit van het werk kan je meten met een hartslagmeter. Je hartslag wordt via een berekening omgezet naar een natuurlijk getal I tussen 0 en 100 dat de energetische belasting van het werk voorstelt. Het getal I wordt berekend met de formule:

I = Å HSw HSr HSm HSr ã ⋅ 100 met hierin

• HSw = de gemiddelde hartslag gemeten over de hele werkperiode;

• HSr = de laagst gemeten hartslag na 10 minuten zitten;

• HSm = 220 - leeftijd.

Onderzoek stelt de volgende grenzen voor I:

I Omschrijving

I ⩽ 25 licht werk

25 < I < 35 halfzwaar werk

I ⩾ 35 zwaar werk

De volhoudduur in uur van een werktaak kan je berekenen met de formule V = 26,12 ⋅ cI met c de constante en I de intensiteit van de taak.

Je collega is 28 jaar oud en heeft bij het uitvoeren van zijn werktaak een gemiddelde hartslag van 99 en een laagst gemeten hartslag na 10 minuten zitten van 68. Hij kan die taak 8 uur volhouden. Bereken hoelang je volgens deze formules een werktaak kunt volhouden met een intensiteit van 41.

Met een recursieformule bereken je een volgende benadering uit een vorige. Ga met een programma (bv. Python) na hoe efficiënt de volgende recursieformule is.

Stap 1:Noteer de te berekenen n-de machtswortel.

4 √13met

n = 4en

x = 13

Stap 2:Geef een eerste benadering van deze wortel door te schatten. S stelt de schatting voor. 24 = 8 < 13 < 81 = 34

S = 2

Stap 3:Bereken een nieuwe benadering en herhaal tot de gewenste nauwkeurigheid is bereikt.

Snieuw = n 1 n Soud + x n Sn 1 oud

voor S = 2krijgenwedan:

Snieuw = 3 4 ⋅ 2 + 13 4 ⋅ 23 = 61 32 = 1,90625

Bepaal zonder ICT.

Bereken in elke cel de macht van de gegeven natuurconstante. Geef je antwoord in wetenschappelijke notatie en voeg de gepaste eenheid toe.

Vereenvoudig door gebruik te maken van de rekenregels voor machten met rationale exponenten.

Omcirkel het enige juiste antwoord.

a)32

Bepaal zonder ICT. Geef je antwoord zonder negatieve of rationale exponenten.

Vereenvoudig. Geef je antwoord zonder negatieve of rationale exponenten.

32 33 34

Los exact op voor x ∈ + .

a) x 5 7 = 3 c) 9 x2 = 24 38

b) 8 x3 = 5 d) 4 x3 = 49

c)13 d) 31

Los exact op voor x ∈ +

a) 5 x2 7 = 4 c) 4 7 x5 = 12

b) 9 x4 + 9 = 17 d) 81 3 x4 = 128

e) 5 x2 = 3

f) x 1 4 = 1 4

e) 5 3 x7 9 = 14

f) 7 4 x3 + 2 = 15

Vereenvoudig. Geef je antwoord zonder negatieve of rationale exponenten.

a) Å 4a b2 ã 2 3 c) Ç 7 √a 5 √b 3 √c2 å 4 3

b) Å 1 2 a 5 √bã 1 4 d) Ç a2 b 3 5 4 √c 29 å 5 6

Voor welke waarde van n is n √2 ⋅ 2n √2 = √2 ?

© VWO eerste ronde, jaargang 2014

Los op voor x ∈ + : n 3xm am = 4bn met a, b ∈ 0 en n, m ∈ 0

Als 121x + 121–x = 11 dan is 11x + 11 x = …

√11 √9 e)7

Je belegt een kapitaal van € 5000 met een gegarandeerd rendement van 2,5%. De waarde van je kapitaal na t jaar is dan gelijk aan K = 5000 ⋅ ( 1,025) t Wat is de waarde van je kapitaal …

a)na 23 maanden?

b)na 10 jaar en 6 maanden?

Bepaalde zoogdieren, zoals een edelhert, verspreiden zich over het land. Onderzoekers vonden een verband tussen de massa van zoogdieren en de maximale verspreidingsafstand:

D = 5,97 ⋅ 5 m3 met D de maximale verspreidingsafstand in km en m de massa in kg.

Informatie over de verspreiding van zoogdieren is belangrijk bij onderzoek naar de instandhouding van de soort. Deze formule geldt voor herbivoren en omnivoren, niet voor carnivoren.

a)Wat is de maximale verspreidingsafstand voor een edelhert van 100 kg? Geef je antwoord op 2 decimalen nauwkeurig.

b)Hoe groot schat je de massa van een edelhert met een maximale verspreidingsafstand van 120 km? Geef je antwoord op 2 decimalen nauwkeurig.

BSA-formules (Body Surface Area) benaderen je lichaamsoppervlakte. BSA blijkt nuttig in de geneeskunde en de fysiologie. Voor mannen blijkt een lichaamsoppervlakte van meer dan 1,9 m2 een voorspeller op slagaderverkalking. De gemiddelde lichaamsoppervlakte bij vrouwen is 1,6 m2; bij mannen 1,9 m2

Er zijn verschillende formules opgesteld voor het schatten van je lichaamsoppervlakte.

a)Schat jouw lichaamsoppervlakte met de formule van Dubois.

b)Schrijf de formule van Dubois uit met machtswortels. Wat stel je vast? Geldt dit ook voor de andere formules?

c)Bereken met de formule van Takahira de massa van een man met een BSA van 1,9 m2 en een lengte van 1,84 m. Rond af op 2 decimalen.

Om het debiet van een vrije waterloop te meten, kan je gebruik maken van een Parshall meetgoot. Je laat het water door de goot stromen en aan de hand van de waterhoogte kan je het debiet berekenen met de formule: Q = Chnf waarbij:

• Q = het debiet in m3 h dat door de meetgoot stroomt;

• C = een constante afhankelijk van het type meetgoot (zie maattabel);

• h = de waterhoogte in m;

• n = de exponent, afhankelijk van het type meetgoot (zie maattabel);

• f = 3600 de omrekeningsfactor naar m3 h

Voor de eenvoud gaan we ervan uit dat de kenmerkende maten van goten uit de oefening voldoen aan de controle-eisen.

Bron: Aquafin

a)Stel de debietformule op voor een type 10’-goot. Zet in je formule de decimale exponent om naar een machtswortel.

b)Hoeveel m3 water stroomt er door een type 10’-goot als het water 86 cm hoog staat?

c) Wat gebeurt er met het debiet als de hoogte van het water verdrievoudigt?

d)Wat is in dat geval de procentuele toename van het debiet als de hoogte verdubbelt? Werk zo lang mogelijk exact.

e)Wat is de procentuele afname van het debiet indien de hoogte met 10% vermindert? Werk zo lang mogelijk exact.

42

De mannetjeskrabben van de soort Uca pugnax hebben aan één kant een grote schaar. Ze gebruiken deze schaar om andere mannetjes te bedreigen of om er mee te vechten. Hoe groter de schaar, hoe groter de aantrekkingskracht voor de vrouwtjes.

Voor deze soort geldt: ms = 0,036 ⋅ m1,356 met ms de massa van de schaar in mg en m de massa van de krab in g.

a)Schrijf de formule voor ms uit met een machtswortel en vereenvoudig.

b)Wat gebeurt er met ms als de massa van de krab halveert?

c)Een krab is 10% zwaarder dan zijn soortgenoot. Wat is de te verwachten procentuele toename van de massa van zijn schaar? Reken uit in het algemeen.

d)De formule voor de lengte in functie van de breedte van het schild is: lp = 0,182 b1,753 s . Wat is de procentuele toename van de breedte van het schild als de lengte 70% groter wordt?

De Amerikaanse veearts en bioloog Kleiber ontdekte dat de minimale energie die een dier nodig heeft recht evenredig is met zijn massa.

Wet van Kleiber: E ∼ m 3 4

a)Hoeveel keer meer energie heeft een dier van 150 g nodig in vergelijking met een dier van 10 g?

b)Voor de mens geven deze formules een goede schatting:

Man: E = 71,2 ⋅ m 3 4

Vrouw: E = 65,8 m 3 4

Hoeveel keer meer energie heeft een man van 85 kg nodig als je hem vergelijkt met een vrouw van 72 kg?

c)Wat is de massa van een vrouw waarvoor E = 1365?

43

Schrijf een programma in Python dat een overzicht geeft van het resultaat van al de formules uit oefening 39.

-Stel deze resultaten voor op een BSA-as.

-Bereken de gemiddelde BSA.

-Geef een waarschuwing “Je BSA is te hoog” als de gemiddelde BSA ⩾ 1,6 m2 voor een vrouw en de gemiddelde BSA ⩾ 1,9 m2 voor een man.

-Geef de variatiebreedte om een idee te krijgen van de spreiding.

De bioloog Meeh ontdekte volgend verband tussen de massa m in kg en de huidoppervlakte h in dm2:

H = c m 2 3 waarbij c een constante is die uniek is voor elke diersoort.

a)Vergelijk de oppervlakte van een loden bol met zijn massa.

Enkele formules die je kan gebruiken zijn:

m = ρ V

V = 4 3 πr3

A = 4πr2

ρPb = 11,3 kg dm3 = dedichtheidvanlood

b)Druk de oppervlakte van een loden bol uit in functie van zijn massa.

c)Vergelijk jouw formule voor de loden bol met het verband van Meeh.

d)Vergelijk de huidoppervlakte van een mens van 75 kg en die van een vleermuis van 1,6 kg als je weet dat:

cmens ≈ 11,2

cvleermuis ≈ 57,5

e)Met hoeveel procent neemt je huidoppervlakte toe als je massa met 5% toeneemt?

f) Beschouw een mens van 184 cm met een massa van 75 kg. Bereken het verschil tussen de schattingen Hmens volgens Meeh en BSAmens volgens Dubois (zie oef. 39).

Op 17 februari 2022 ontstond storm Eunice ten zuidwesten van het Verenigd Koninkrijk. Daar werden windsnelheden gemeten tot 196 km/h. Op 18 en 19 februari trok Eunice over de Benelux. Een meteowebsite waarschuwde met volgende infographic.

Waarschuwingen

18-19 februari 2022

windstoten van 70-90 km/h

2 windstoten van 90-110 km/h

1 windstoten van 120-140 km/h

3

In Loppem (zone ) is een boom omgevallen, in Oudenaarde (zone ) waaide een dak volledig weg en in Borgerhout (zone ) vielen dakpannen naar beneden.

v = 0,836 B 3 2 met v de gemiddelde snelheid in m s gedurende 10 minuten op 10 meter boven de grond. B is de windkracht volgens de schaal van Beaufort.

Ga na of deze gebeurtenissen overeenstemmen met de voorspelling. Gebruik de Beaufortschaal en onderstaande tabel.

Windkracht in Bft

0windstil

1 zwak

Uitwerking boven land/bij de mens

Rook stijgt recht of bijna recht omhoog.

De windrichting is goed af te leiden uit rookpluimen.

2 zwak Wind is merkbaar in het gezicht.

3matigStof waait op, bladeren en takken van bomen zijn constant in beweging.

4matig Haar is in de war, kleding flappert, papier waait in het rond.

5vrij krachtig

Opwaaiend stof is hinderlijk voor de ogen, vuilcontainers waaien om, kleine bomen en bladeren waaien flink heen en weer.

6krachtigParaplu's zijn met moeite vast te houden, grote takken zijn in beweging.

7 hard

Het is lastig om tegen de wind in te lopen of fietsen, grote bomen zijn in beweging.

8stormachtigVoortbewegen is erg moeilijk, takken breken van de bomen af.

9storm Schoorsteenkappen en dakpannen waaien weg.

10zware storm

11 zeer zware storm

12orkaan

Er is grote schade aan gebouwen, bomen waaien om.

Er is enorme schade aan bossen.

Verwoestingen

Computationeel denken

Toepassing rekenen met machten

Je kunt voor de zevenkamp en de tienkamp de behaalde punten per onderdeel eenvoudig berekenen met de volgende formules:

Punten = Rond.af.naar.onder A * (B x)c voor baanonderdelen

Punten = Rond.af.naar.onder A * (x B)c voor veldonderdelen

A, B en C zijn parameters die per discipline verschillen. x is de gemeten tijd of afstand.

Bij de dames gelden deze parameters:

onderdeel A B Cx gemeten in … 100 m horden9,2307626,71,835seconden

hoogspringen1,84523 75 1,348centimeter

kogelstoten 56,0211 1,51,05 meter

200 m4,99087 42,5 1,81seconden

verspringen0,188807 210 4,41 centimeter

speerwerpen15,98033,81,04 meter

800 m 0,11193 2541,88seconden

Dit vraagt wel wat tijd. Hoe pak je dit aan met een tekstueel programma in een taal als Python?

STAP 1

We starten met het maken van een keuzemenu. Op die manier kunnen er later nog punten van andere disciplines worden berekend. We houden het simpel om te starten.

STAP 2

In de wiskunde noteren we math.floor() als volgt: ⌊3,14⌋ = 3; ⌊2,72⌋ = 2 of ⌊-3,14⌋ = -4

Begrijp je de code?

a)Voer het programma uit. Wat doet dit programma?

b)Markeer ongekende functies en zoek hun betekenis op.

Begrijp je de code?

Voer het programma uit. Wat doet dit programma?

STAP 3

Begrijp je de code?

a)Waarom wordt de while-structuur gebruikt?

b)Werk de code verder uit zodat je van elk onderdeel op vraag de score kunt berekenen.

c)Als je 30 seconden nodig hebt op de 100 m horden loopt het fout. Waar zit het probleem in de code en hoe kan je dit oplossen?

Studiewijzer

Differentiatietraject

Doelen

Ik kan rekenen met vierkantswortels en derdemachtswortels.

Ik kan n-de machtswortels berekenen en binomiaalvergelijkingen oplossen.

Ik kan problemen oplossen met n-de machtswortels.

Ik kan machten met rationale exponenten berekenen en kan rekenen met machten met rationale exponenten. Ik kan vergelijkingen oplossen van de vorm n xm = a met x > 0

Ik kan problemen oplossen met machten met rationale exponenten.

Doelstellingen

Ik kan rekenen met vierkantswortels en derdemachtswortels.

Hou bij wetenschappelijke vraagstukken steeds rekening met de afrondingsregels en het aantal beduidende cijfers.

verwerking: 1, 2, 3 signaal: 1, 2, 3 differentiatie: 1 t.e.m. 10

Ik kan n-de machtswortels berekenen en binomiaalvergelijkingen oplossen.

Onthou: een binomiaalvergelijking heeft twee oplossingen als n = even en slechts één oplossing als n = oneven. Maak gebruik van grafieken via ICT om de oplossingen van binomiaalvergelijkingen te controleren.

verwerking: 4, 5, 6, 7, 8 signaal: 4, 5, 6 differentiatie: 11 t.e.m. 15

Ik kan problemen oplossen met n-de machtswortels.

Maak gebruik van de rekenregels voor n-de machtswortels bij het omvormen van formules.

verwerking: 9, 10, 11 signaal : 7 differentiatie: 16 t.e.m. 22

Ik kan machten met rationale exponenten berekenen en kan rekenen met machten met rationale exponenten. Ik kan vergelijkingen oplossen van de vorm n xm = a met x > 0 .

Ga voor elke opgave na welke rekenregel(s) je kan toepassen. Volg bij vergelijkingen het stappenplan en vereenvoudig waar mogelijk.

verwerking: 12, 13, 14, 15, 16, 17 signaal: 8, 9, 10, 11, 12, 13 differentiatie: 23 t.e.m. 36

Ik kan problemen oplossen met machten met rationale exponenten.

Werk zo lang mogelijk exact. Dat lukt het best als je eerst de formule omvormt naar de onbekende en dan pas de berekening uitvoert.

verwerking: 18 signaal: 14 differentiatie: 37 t.e.m. 45

pagina in vademecum

3 2

7 2

12

17 2

24

Auteurs Björn Carreyn, Kim Houben en Dries Vrijsen

Herdruk 2023/1389 - Bestelnummer 94 606 0130 (module 01 van 07)

ISBN 978 90 4864 533 6 - KB D/2023/0147/60 - NUR 128/129 - Thema YPMF

Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure

Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge

RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge