Sinus Forkurs Oppgavesamling (2022)

Oldervoll | Svorstøl | Jacobsen

Sinus

FORKURS OPPGAVESAMLING

Foto og grafikk: Omslagsfoto: Unsplash/Philip Myrtorp Bildet er fargemanipulert. s. 176: GettyImages/zaricm

© Cappelen Damm AS, Oslo 2022 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Grafisk formgiver: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops Redaktør: Bjørn-Terje Smestad Sats: HAVE A BOOK, Polen 2022 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2022 Utgave nr. 4 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-75303-0 www.cdu.no sinus.cdu.no

Forord Sinus Forkurs er et matematikkverk for ettårig forkurs for ingeniørutdanning og maritim høgskoleutdanning utviklet etter planene fra 2021. Verket består av to bøker, Sinus Forkurs Grunnbok og Sinus Forkurs Oppgavesamling, i tillegg til et tilhørende nettsted.

Om grunnboka Matematikk er både et teorifag og et ferdighetsfag. Sinus Forkurs Grunnbok inneholder de matematiske teoriene, ofte sammen med eksempler fra dagliglivet og fra andre fag. Boka gir en grundig innføring i tradisjonell matematikk, der bevisene har en sentral stilling. Studentene får god trening i analytiske metoder. Studentene lærer å behandle grafer digitalt ved hjelp av GeoGebra 6. De får også opplæring i å bruke en enkel kalkulator. Studentene skal lære å bruke programmering i matematikk. Boka inneholder en del eksempler der vi bruker programmeringsspråket Python. På nettsidene til boka finner vi et gratis kurs med den grunnleggende opplæringen i Python.

Der finner vi også læringsmålene innen programmering.

Når studentene skal i gang med et nytt tema, inneholder boka ofte utforskende opplegg der studentene skal finne ut egenskaper og regler før stoffet blir behandlet i boka. Men teorien er skrevet slik at det likevel er mulig å lese den uten å gjøre de utforskende oppleggene. Utforskoppleggene er best egnet som gruppearbeid, men de kan også gjøres enkeltvis.

I teoridelen er det en del diskusjonsoppgaver der studentene får trening i å kommunisere matematikk.

Oppgavestoffet i teoriboka er plassert inne i delkapitlene slik at studentene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Hvert kapittel avsluttes med et sammendrag av viktige regler og metoder i kapitlet. Bak i boka finner vi fasit og et stikkordregister. Det er viktig at studentene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de er usikre på ord og uttrykk.

3

s

Om oppgavesamlingen Denne boka, Sinus Forkurs Oppgavesamling, er ei egen oppgavebok som hører til grunnboka. Den inneholder både enkle repetisjonsoppgaver og treningsoppgaver i tillegg til mer krevende oppgaver. Den følger grunnboka kapittel for kapittel. Oppgavestoffet er delt i to deler, Øv mer og Blandede oppgaver. Oppgavene i Øv mer er ordnet etter delkapitler som i grunnboka.

I delen Blandede oppgaver er ikke oppgavene ordnet etter delkapitler. Her må studenten finne fram til riktig stoff på egen hånd og må ofte kombinere stoff fra flere delkapitler og kapitler. I Blandede oppgaver finner vi også tidligere eksamensoppgaver i faget.

Om nettstedet Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cdu.no. Her finner vi blant annet et introduksjonskurs i pythonprogrammering, nyttig tilleggsstoff og løsninger av oppgavene i grunnboka. På nettstedet legger vi ut eventuelle feil i fasit eller i andre deler av bøkene.

Kontakt oss I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha melding om feil eller ønsker om forandringer. Ta kontakt på sinus@cappelendamm.no. Vi ønsker studentene lykke til i arbeidet med faget.

Tore Oldervoll – Otto Svorstøl – Robin Bjørnetun Jacobsen

s

4

Innhold 1

Tall og variabler

2

Likninger og ulikheter

3

Linjer og grafer

4

Faktorisering

5

Polynomer og rasjonale uttrykk

6

Grenseverdier og derivasjon

7

Funksjonsdrøfting

8

Logaritmer og eksponentialfunksjoner

9

Trigonometri og geometri

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

10

Trigonometriske likninger

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

11

Trigonometriske funksjoner

12

Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

13

Skalarprodukt og parameterframstilling

14

Vektorer i rommet

15

Følger og rekker

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

16

Integralregning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

17

Integrasjonsmetoder

Fasit

............................................................

6

....................................................

16

............................................................

29

...............................................................

42

.......................................

52

...........................................

64

.........................................................

76

..............................

92

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

5

s

1

Tall og variabler ØV MER

Oppgave 1.115

1.1 TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.110

Sett inn symbolet eller i de tomme rutene.

a) 9 b) π c) –3

Oppgave 1.111

Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. a) 1 ^ 2, 1, 0, 1, 2` b) 3, 5

^ 3, S, 3, 5`

Oppgave 1.112

Skriv mengdene på listeform. a) Mengden av de hele tallene som er større enn –3 og mindre enn 4. b) Mengden av de positive partallene som er større enn 4 og mindre enn 10. c) Mengden av de positive hele tallene som går opp i 18.

Oppgave 1.113

Regn ut både med og uten kalkulator. b) 5 7 32 a) 2 3 3 4 c) 4 5 2 4

3

d) 4 2 9

Oppgave 1.114

Regn ut både med og uten kalkulator. b) 5 3 4 a) 3 4 5 d) 4 12 : 6 2 3 c) 6 5 4 3 2

s

6

1 | TALL OG VARIABLER

Regn ut uten kalkulator. a) 2 3 2 3 4 2 2 3 b) 3 2 5 5 2 1 2 4 5 c) 2 3 4 6 2 1 d) 4 3 1 7 2 3 2 4 Oppgave 1.116

Regn ut både med og uten kalkulator. a) 6 22 b) 32 2 32 c) 2 3 2 52 d) 32 3 23 Oppgave 1.117

Med ett addisjonstegn, ett subtraksjonstegn, ett multiplikasjonstegn og én parentes skal du sette sammen tallene 3, 4, 5 og 6 slik at verdien av talluttrykket blir a) 9 b) 14 c) 11 1.2 BRØKREGNING

Oppgave 1.120

Forkort brøkene både uten og med kalkulator.

8 19 b) a) 64 38 c)

42 63

d)

28 77

Oppgave 1.121

Forkort brøkene både uten og med kalkulator.

112 116 150 a) b) c) 224 348 600

Oppgave 1.122

Skriv brøkene med 18 som nevner.

1 5 2 b) c) a) 9 6 3 Oppgave 1.123

Regn ut uten kalkulator.

3 4 2 2 3 1 a) b) 5 5 5 5 5 10 2 2 5 1 c) 3 d) 3 3 3 6 Regn ut uten kalkulator.

25 32 3 15 a)

b) : 16 50 7 28 4 5 4 c)

d) : 6 15 16 9 Regn ut både uten og med kalkulator.

2· 1 4 5 § a) 2 b) ¨ 4 ¸ 3¹ 7 7 21 © 2 §1 7 · c) 3 ¨ ¸ 5 © 2 30 ¹ Oppgave 1.126

Regn ut både uten og med kalkulator. a)

b)

1 2

c)

Oppgave 1.127

Regn ut uten kalkulator.

1 2 1

1 2 b) 4 3 a) 1 1 2 3

c)

1 5

3 6 2 5

3 12

12

d)

1 2

5 25 1 3

10 5

Trekk sammen. a) 2 x 3x 5 y 3 y 4 x b) 2a 3b 3a 2b a c) 5x 2 y 3x 4 y d) 6a 2b 5a 3b Oppgave 1.131

Oppgave 1.132

Oppgave 1.125

1 2 2 3

Oppgave 1.130

Trekk sammen. a) 3 1 x 2 x 1 b) 4 2 x 3 3x 2 c) a 2 b b a 3 d) ab 1 2b 2a b2 b

Oppgave 1.124

2

1.3 BOKSTAVREGNING OG PARENTESER

2 5 3 10

Trekk sammen. a) 5x 3 y 2 x 4 y 2 x b) 4a 2b 3c 2a 2b 2c c) 2 x 2 y 3 2 x 3 y 4 y d) 4 2a b 2 3a 3b Oppgave 1.133

Regn ut. a) 3 a 2 a 1 a a 3 b) x 2 5 x 1 2 x x 2 x 3 x Oppgave 1.134

Multipliser ut og trekk sammen. a) 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 b) 2 x 2 x 2 c) 3 x 2 x 3 5 x 1 x 2 d) 2 x 1 x 1 x 2 Oppgave 1.135

Multipliser ut og trekk sammen.

2 a) a 3b a 3 3 1 b) a 2b 5a 10b 5 3§1 ·§ 4 · c) ¨ a b ¸ ¨ a b ¸ 4©3 ¹© 3 ¹

7

s

Oppgave 1.136

Oppgave 1.143

I denne oppgaven er bare tallene 2, 3 og 4 brukt.

Finn x, y og z når

Trekk sammen.

2 a 5 a 25 a) 5a 5 a b 2 2b 1 1 2 b)

b 3b 3 b

x x y z x z

21

Oppgave 1.137

Finn faktorer som kan stå i de åpne rutene. y x

y x

x2 y2

1.4 RASJONALE UTTRYKK

Oppgave 1.140

Skriv så enkelt som mulig.

2a 1 12a 3 a) a

2 4 2a 2a 1 3a 5

b) 5 7 35 x 2x 3 x c)

24 12 8 7 x 1 2x 2

d) 3x 2 3 Oppgave 1.141

Trekk sammen.

1 2 3 a) 2 x 4x 2 x 3 b) x 2 2x 4 2 1 c) x 3x 6 Oppgave 1.142

Trekk sammen.

3 4 1 a) 5 5x x y y 1 y 2 b)

4 3 6 2 z 4 z

21 z c)

7 z 7z

s

8

1 | TALL OG VARIABLER

Oppgave 1.144

Regn ut.

4x2 6 y3 a)

2 y 2x 5a 15a b) : 2b 6b2 1 1 2b 3 c)

3a 2b 6ab d)

2 § 3x 2 x · ¸ ¨ 6¹ x© 4

Oppgave 1.145

Regn ut.

3a 2b 12 2x 3 8x 2 y a)

b) : 2 4 9ab 5 y 10 1 x 2 4 c) 2

x x 2x y § 10 15 5 ·

d) ¨ 2 ¸ 5© y y 2y ¹ Oppgave 1.146

Regn ut.

1 2

a) 2 x 3x 3 3

x 2x

2 1

b) 5x x 3 1

10 x 2 x

Oppgave 1.147

Regn ut de brudne brøkene.

3 1 9 1

b) x 2 x 2 a) 4 x 5 1 3 4

4 2x x 2

1.5 POTENSER

1.6 FLERE POTENSREGLER

Oppgave 1.150

Oppgave 1.160

Regn ut. a) 24

b) 2

Regn ut og skriv svarene enklest mulig.

4

c) 24

Oppgave 1.151

Regn ut.

3

a) 2 2

c) 25 b) 3 2 33 d) 4 3

4

c) 50 5

Regn ut.

5

a) 2 2 2

7

42 c) 2 2 3 4 5

4

b)

32 34 0

3 34 26 2 3 d) 1 2 2 2

6y

1

2 2 33

§ 4 · d) ¨ ¸ © 5x ¹

2

2

Regn ut og skriv svaret som en brøk.

2 2 §2· §2· a) ¨ ¸ ¨ ¸ ©3¹ ©5¹ 2

3

40 23 4 1 4 2 24

§ y2 · § x · b) ¨ 2 ¸ ¨ ¸ ©y ¹ © x ¹ 2 4 2 §1· §1· §1· 2 c) 2 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ©2¹ ©2¹ ©4¹ Oppgave 1.164

1 n

b) a 2n a

a 2

Oppgave 1.156

Regn ut. a) 7 7

Hvilke to forskjellige positive hele tall x og y er slik at yx

2

Oppgave 1.163

3

xy

d) 2 32

3

Sorter tallene i stigende rekkefølge.

1 2 0 3 3 2 §2· §2· §2· § 2· §5·

5 ¨© 5 ¸¹ ¨© 5 ¸¹ ¨© 5 ¸¹ ¨© 5 ¸¹ ¨© 2 ¸¹

Oppgave 1.155

Regn ut. a 3 a 5 a) 3 2 a a

3

xy 2

Oppgave 1.162

52 26 54 b) 2 4 4 2 5 2

b)

2

2

3y2

§ 2x · c) ¨ ¸ © 3 ¹

Oppgave 1.154

Regn ut.

33 2 2 3 4 a) 2 1 3 2

b) xy

Regn ut og skriv svaret som en brøk.

3 2 §2· §3· a) ¨ ¸ b) ¨ ¸ ©5¹ ©5¹

Oppgave 1.153

Regn ut.

23 33 25 a) 32 28

3

Oppgave 1.161

Oppgave 1.152 4

2

a) 2 x 3x

c)

2a

2

1

2

b)

23 a 2

2 2 a 3

3b2 b 1

2 3

2

2

9

s

Oppgave 1.165

Oppgave 1.171

Skriv så enkelt som mulig. a)

a

3

2

a

3

0

a 5 a 1 3

2

3 2 3 c) 3 4 9 1

2x x

b)

2

2

2x

Regn ut uten hjelpemiddel. Skriv svaret på standardform. a) 2, 5 104 3 1012 b) 8, 5 10 2 4 108

2

c) 3, 2 10 2 4 10 6

Oppgave 1.166

d)

Skriv så enkelt som mulig. a)

3

a2 a2 b b

3

2

3 1 a 1 b

b)

a

1

2

6 a b

3

Oppgave 1.172 2

Oppgave 1.167

Skriv på standardform. a) Lysfarten: 300 000 000 m/s b) Elektronmassen:

Skriv så enkelt som mulig.

3

x 2 y x 1 y 2 2x y 3

2

Oppgave 1.168

Regn ut og skriv svaret som et desimaltall eller et helt tall.

3

2

b) 3 102 2 10 3 c)

d)

4 102

1

23

2 2 32 102

2 2

2

2 1

2

33 10

2 10

0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg

c) Lengden av et lysår: 9 460 000 000 000 000 m d) Elementærladningen: 0,000 000 000 000 000 000 160 C (C = coulomb)

1

a) 2 10 2 3 104

8, 4 10 9 2,1 10 3

0

Oppgave 1.173

a) Skriv størrelsene på standardform med SI-enheter (m, kg, s).

1) 0,0000076 mm 2) 3589 tonn 3) 8 timer 45 min 26 s b) Regn ut og skriv svaret på standardform med SI-enheter.

1) 450 tonn 275 km 2) 25 mg 58 940 km/s 3) 95 10 12 g 15 mm/s 2 Oppgave 1.174

1.7 TALL PÅ STANDARDFORM

Oppgave 1.170

Hvilke tall er like store av 3, 4 106 34 000 000 0, 34 108 34 105

s

10

1 | TALL OG VARIABLER

Regn ut med kalkulator. Skriv svaret på standardform.

1, 234 0, 003456 a) 0, 000003421 b)

123489, 7 345698, 8 0, 8 6941, 9

c) 2, 3 105 6, 9 107 5, 9 109 d) 1, 7 10 4 4, 4 10 8 6, 0 103

Oppgave 1.175 24

I et glass vann (180 g) er det 6 10 vannmolekyler.

Hvor stor er massen til et vannmolekyl?

Skriv svaret på standardform.

Oppgave 1.176

En bakterie har lengden 2 10 5 mm.

Hvor mange bakterier er det plass til langs en fingernegl med bredden 1 cm?

Skriv svaret på standardform.

Oppgave 1.177

a) Et atom har radien 10 7 mm.

Hvor mange slike atomer går det ved siden av hverandre på 1 m?

Skriv svaret på standardform. b) Kjernen i atomet har radien 10 11 mm.

Finn forholdet mellom radien i atomet og radien i kjernen.

1.8 KVADRATRØTTER OG RØTTER AV HØYERE ORDEN

Oppgave 1.180

Regn ut uten hjelpemiddel.

1 9 a) b) 4 25 81 169

c)

75 3

d)

Oppgave 1.181

Bruk regneregler for kvadratrøtter til å vise at a) 8 2 2 b)

72

6 2

c)

27

3 3

d)

200

10 2

Oppgave 1.182

Regn ut uten kalkulator.

Oppgave 1.178

a)

4

16

b) 3 125

a) Regn ut hvor mange timer det er i 1 århundre. Vi ser bort fra skuddår.

Skriv svaret på standardform. b) 1 mikroårhundre er 1 10 4 år.

Regn ut om én undervisningstime på 60 minutter er mer eller mindre enn ett mikroårhundre.

c)

5

32

d)

3

1

e)

5

f)

6

1012

Oppgave 1.179

Solradien er r = 698 000 000 m, og solmassen er M = 2 1030 kg. a) Bruk formelen for volumet av ei kule V

4 3 Sr 3

til å regne ut volumet av sola i kubikkmeter. b) Bruk formelen M T V til å finne gjennomsnittstettheten T av sola.

32

Oppgave 1.183

Bruk kalkulator og regn ut. a)

4

2, 36

b) 5 12, 6

c)

5

32, 9

d)

7

345

Oppgave 1.184

Regn ut uten kalkulator. a)

3

c)

4

a

3

0, 0001

b)

3

8 103

d)

3

0, 64 108

Oppgave 1.185

Regn ut uten kalkulator. a)

3

27 + 2

2

2

2

b) 3 3 5 4 16 c)

2

4

2 3 3

3

11

s

Oppgave 1.186

Forenkle uttrykket så mye som mulig. § a2 · ¨ ¸ ©b ¹

2

§b a · ¨ 3 ¸ ¨ a ¸ © ¹

1.9 POTENSER MED EN BRØK SOM EKSPONENT

Oppgave 1.190

2

a) Regn ut uten kalkulator.

1

1) 27 3

Oppgave 1.187

4)

3

26 3

4

6

Overflatearealet O av ei kule med radius r er O 4 Sr 2. Ei kule har overflatearealet 50,24 cm2.

Regn ut radien r.

b) Kontroller utregningene ved å bruke kalkulator.

Oppgave 1.188

Regn ut uten kalkulator.

Utstrålingstettheten M fra et himmellegeme er et mål for hvor mye energi som stråler ut fra 1 m2 av himmellegemet per sekund. Dersom vi måler overflatetemperaturen T i kelvin (K), har vi M

§1· c) ¨ ¸ ©8¹

b) 32

1 6 3 5

1 § · 2 16 § · ¨ d) ¨ ¸ ¸ ¨¨ © 81 ¹ ¸¸ © ¹

1 3

1 2

1

4

273 t

a)

5

§ 1 ·2 b) ¨ ¸ ©2¹

35

d) 10

3 5

e)

13

8

c)

13

2, 5

f) 7

2 3

5

Oppgave 1.193 7

2

a) For sola er M 6, 42 10 W/m .

Finn overflatetemperaturen på sola målt i 1) kelvin 2) celsiusgrader b) For jorda uten atmosfære er M 235 W/m 2 .

Finn overflatetemperaturen på jorda uten atmosfære målt i 1) kelvin 2) celsiusgrader c) Drøft svaret i punkt b2.

Hva kan grunnen være til at overflatetemperaturen på jorda er høyere enn dette svaret?

12

a) 16

3 2

1 6

Bruk kalkulator og regn ut.

2

der k 5, 67 10 W/ m K .

Sammenhengen mellom temperaturen T i kelvin og temperaturen t i celsiusgrader er gitt ved T

Oppgave 1.191

Oppgave 1.192

k T4 8

s

3) 125

2)

2 3

1 | TALL OG VARIABLER

Regn ut uten kalkulator.

2

1

1

a) 2 2 2 3 2 6 1

c)

1

52 52 5

b)

1 3

1

d)

2 3

3 33 63 23 2 2

1 4

1 5 12

Oppgave 1.194

Skriv så enkelt som mulig når a > 0.

3 a 4 a 6 a 12 a a) a b)

a 4 a 3 6 a 12 a a3

Oppgave 1.195

BLANDEDE OPPGAVER

Skriv så enkelt som mulig uten å bruke kalkulator. a) 12 27 48 b) 18 32 2 6 54 24

c)

Oppgave 1.200

Regn ut. a) 3 14 8 32 5 6 b) 3 a 2 b 1 2 a 2 2b 3

Oppgave 1.196

Oppgave 1.201

Løs oppgaven uten bruk av kalkulator. a) Regn ut og skriv svaret som en brøk.

52 5 3 1) 5 2) 20 2 1 2 2 2 3 b) Regn ut.

2 4 2 2) 1) 2 3 2 6 2 2 c) Vis at

Regn ut.

3· 4 § a) ¨ 2 ¸ 8 ¹ 13 ©

5 20 45 80 10 5 d) Regn ut.

2 3

1 2

1

1

1) 7 7

1 3

77

1 3

1

2) 3 2 9 4 12 2 Oppgave 1.197

Meteoroider er små legemer som kretser rundt sola. Temperaturen på meteoroidene, som måles i enheten kelvin (K), er avhengig av avstanden til sola. Avstanden x til sola er målt med avstanden mellom jorda og sola som enhet (astronomisk enhet, AE).

Sammenhengen mellom T og x er gitt ved formelen T

276 x

1 2

a) Finn temperaturen på en meteoroide når avstanden til sola er 4 AE. b) Finn avstanden fra sola til en meteoroide når temperaturen er 92 K.

b)

1§ 1 1· · 1§ 1¸ ¨ 2 ¸ 3 ¨© 2 2 5¹ © ¹

Oppgave 1.202

Regn ut.

7· 4 § a) ¨ 2 ¸ 8¹ 9 © 1§1 1· · 1§ b) ¨ 1 ¸ ¨ 2 ¸ 2©3 3¹ ¹ 5© 2a 5 2a 1 9 d) 3 c) 1 2a 2 1 a

9 3 6 Oppgave 1.203

Regn ut. a) 2 5 2 23 52 8 6 1§ 1 · · §1 b) 2 ¨ 1 ¸ 3 ¨ 2 ¸ 2© x ©x ¹ ¹ a 1 c) 2 1 2a

6 3 Oppgave 1.204

Skriv så enkelt som mulig. a 1 § 11a · a) a ¨ 2a ¸ 2 3© 4 ¹ b)

b b 2 2b 3

2 4 3 13

s

Oppgave 1.205

Oppgave 1.210

Skriv så enkelt som mulig. x 1 3x 4 3x 2 a)

3 9 6 y 2 1 2 y b)

y 3 2y

Lysfarten er 3, 00 108 m/s. Avstanden fra månen til jorda er 384 400 km. a) Hvor lang tid bruker lys på å komme fra månen til jorda? b) Avstanden fra sola til jorda er 149 600 000 km.

Hvor lang tid bruker lyset på å komme fra sola til jorda? Oppgi svaret i minutter og sekunder.

Oppgave 1.206

Skriv så enkelt som mulig.

2 1 1 · 1 2 4 § x a) 16 ¨ ¸ x 4 © 4x ¹ b)

8

8

x2

2

Oppgave 1.211

x

Vi har en liten kopperfilspon og finner ut at den veier 0,016 mg. Et kopperatom veier 1, 06 10 22 g.

Hvor mange kopperatomer er det i den lille sponen?

3

x 8 8 x

Oppgave 1.207

Regn ut. a) 6 23 22 3 32 1 §1 1 1· b) 2 ¨ ¸ ©2 3 4¹ 2 c) x 5 x 1 2 x x 2 x 3 x Oppgave 1.208

Hver av de to diagonalene på figuren har den samme summen som kolonnen i midten.

Hvilket uttrykk skal det stå i rute A, og hvilket uttrykk skal det stå i rute B? A

2x – 7

B

3(y – x)

Oppgave 1.212

a) Regn ut.

2

1) 34 3 2

4(x – y + 2)

2)

2, 78 1012 7, 72 105 39 000

c) Skriv så enkelt som mulig.

1 3

1) x x

2

2 3

2)

2y – x

Regn ut uten kalkulator. a) 4 5 7 3 4 b) 3 4 22 6 2 4

14

y5 5 y 3

y5 Oppgave 1.213

Oppgave 1.209

s

a3

b) Skriv på standardform.

1) 0, 0000056 0, 0007

a) Regn ut. x – 2y

2a 2 2

2)

1 | TALL OG VARIABLER

30 1) 3 3 2 3 3

2

2)

4a 8 2a 1 3

2a 2

b) Regn ut.

1)

4

16 4

1 2

2

2)

2 3 2 6

2

1 2

Oppgave 1.214

Oppgave 1.220

a) Regn ut.

2 25 2 3 3 § 2· 2) 2 x

1) ¨x¸ 22 © ¹ b) Skriv på standardform og regn ut.

Forenkle uttrykket så mye som mulig.

1

1)

3

33

2)

2 5 1 student nr. 2 har gjort 3

22 3 2 2

studenten har gjort av arbeidet, mens

1 6

Oppgave 1.215

Gjør uttrykket så enkelt som mulig.

3 2

6 y 3 x3 Oppgave 1.216

Forenkle uttrykket så mye som mulig. § 2x 2 · ¨ ¸ © y ¹

2

§ x· ¨ 2 ¸ ¨y ¸ © ¹

4

Oppgave 1.217

Regn ut. a) 2 x

§x· ¨ ¸ ©3¹

3

av jobben.

Hvor stor del av inntekten skal den tredje studenten ha?

Oppgave 1.222

2 x 4 y 3 y 3

1

3

b)

2a a 5 24 2a

3

Oppgave 1.218

Tove plukket 20 000 brunsnegler i hagen sin i løpet av sommersesongen.

Gå ut fra at hver brunsnegle i gjennomsnitt er 8 cm lang. Anta at Tove legger alle sneglene på rekke. a) Hvor lang blir rekka med snegler?

Det sies at hver brunsnegle kan få et avkom på 400 snegler hver sesong. b) Hvor mange brunsnegler har da Tove spart hagen sin for ved å plukke de sneglene hun gjorde? Skriv svaret på standardform.

Oppgave 1.223 (Eksamen 2019)

Bestem x og y ut av likningen

Regn ut uten kalkulator.

1 2

3 16 8

Gjør uttrykket så enkelt som mulig.

6x 3 y

1

3

a 2 b 2 a 2

1 3

Oppgave 1.219 3

2

2 x 2 y 3 x

2

Tre studenter har gjort et arbeid sammen.

De skal dele inntekten av arbeidet etter hvor mye hver enkelt har gjort. Den ene

c) Regn ut.

2

· ¸¸ ¹

Oppgave 1.221

25 000 000 0, 000036 0, 0000003

1 2

4

§ x2 · § x x ¨ ¸ ¨¨ 3 ©y ¹ © y

a b2

ax b y

1 2

Oppgave 1.224 (Eksamen 2020)

Skriv så enkelt som mulig.

5 a

1

5

a2 5a

2

1 3

1

a5 3

15

s

2

Likninger og ulikheter

ØV MER

Oppgave 2.114

2.1 LIKNINGER

Oppgave 2.110

Løs likningene uten hjelpemiddel og sett prøve på svaret. a) 0,3x 1,7x 3,6 0,2x b) 1,5x 0,2 1,3x 0,6 c) 0,6 2 0,2x 0,3 0,1x 2,5 Oppgave 2.111

Løs likningene uten hjelpemiddel.

2 1 a) t 7 t 0 3 2 §1 · b) 2 ¨ t ¸ 2t ©2 ¹ 4 · § c) 2 ¨ 1 s ¸ s 5 ¹ ©

1 3 7 5

Oppgave 2.115

Eli-Trine gir leksehjelp hver torsdag.

En måned ga hun leksehjelp fire ganger, og summen av datoene for de fire torsdagene var 58.

Finn datoen for den siste søndagen denne måneden.

Oppgave 2.116

1 3

Oppgave 2.112

Kjeld har ei flaske som rommer L.

Løs likningene uten hjelpemiddel. a) 2x 2 3 1 x 5 x 1 3 1 b) t t 3 2 2 6 1 3 c) s 1 1 s 0 5 10

Flaska er fylt med vann. Kjeld heller

d)

2 § 1· s ¨s ¸ 3 © 3¹

1 § 1· 1 ¨s ¸ 2 © 2¹ 3

Oppgave 2.113

Løs likningene uten hjelpemiddel.

1 1 1 a) x 1 1 x = x + x 1 2 3 6 b) 1

s

I et studium kunne studentene velge mellom tre prosjektoppgaver: oppgave A, oppgave B og oppgave C. Halvparten av studentene valgte oppgave A, en femtedel valgte oppgave B, og resten av studentene valgte oppgave C. Det var 9 studenter som valgte prosjektoppgave C. Hvor mange studenter var det på dette studiet?

16

x 1§1 · 1§ x · ¨ 3x ¸ = ¨ 1 ¸ 2 3©2 ¹ 2© 2 ¹

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

3 4

1

ut noe av det slik at det er igjen L vann 5 i flaska.

Hvor mye vann blir helt ut?

Oppgave 2.117

En stein veier 3 kg pluss halvparten av vekten sin.

Hvor mye veier steinen?

Oppgave 2.118

Da Martin døde, etterlot han halvparten av formuen sin til Martine. 4000 kr gikk til undulaten, og halvparten av resten skulle hesten ha. Halvparten av resten fikk hunden. De resterende 6000 kr gikk til et veldedig formål.

Hvor stor var formuen til Martin?

Oppgave 2.119

Lars, Gurine og Ola er hyttenaboer, og en dag henter de vann fra en felles tank.

Det er x liter vann i tanken. a) Lars tar halvparten av vannet pluss en halv liter. x 1 Forklar at Lars tar §¨ ·¸ liter vann, ©2 2¹ §x 1· og at det er igjen ¨ ¸ liter vann. ©2 2¹

b) Gurine tar halvparten av det vannet som nå er igjen, pluss en halv liter.

1

Forklar at Gurine tar §¨ ·¸ liter 4 4 x

©

¹ x 3 vann, og at det er igjen §¨ ·¸ liter ©4 4¹

vann. c) Ola tar halvparten av det vannet som nå er igjen, pluss en halv liter. x 1 Forklar at Ola tar §¨ ·¸ liter vann. ©8

8¹

d) Etter at alle tre har tatt det vannet de skal ha, er det 4 liter vann igjen i tanken.

Forklar at §x 1· §x 1· §x 1· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ©2 2¹ © 4 4¹ ©8 8¹ Bestem x.

x 4

2.2 TO LINEÆRE LIKNINGER MED TO UKJENTE

Oppgave 2.120

Løs likningssettene både ved innsettingsmetoden og addisjonsmetoden. a) x y 5 b) 2x 3y 21 2x 3y 5 3x 2y 1 c) 6x 2y 11 d) 6x 3y 8 x 2 0 2x 3y 4 Oppgave 2.121

Løs likningssettene ved regning. b) 4 x y 2 a) 2 x 5 y 1 x 4 y 7 x 2 y 4 1 3 1 x c) y d) y x 2 2 2 2 3 y 2 x 1 y x 4 2 Oppgave 2.122

Løs likningssettene ved regning. a) 2x 3y 5 3x y 2 b) 3s 4t 2 2s 3t 7 1 1 11 c) x y 3 5 15 1 2 13 x y 4 3 12 Oppgave 2.123

Kari og Ola er til sammen 62 år. Om to år er Ola akkurat dobbelt så gammel som Kari.

Hvor gamle er de i dag?

Oppgave 2.124

2 kg epler og 3 kg appelsiner koster til sammen 111 kr. 3 kg epler og 1 kg appelsiner koster til sammen 93 kr.

Hvor mye koster 1 kg epler, og hvor mye koster 1 kg appelsiner?

17

s

Oppgave 2.125

Oppgave 2.129

En studentkantine har en varmdrikkautomat for te og kaffe. En kopp te koster 12 kr, og en kopp kaffe koster 15 kr.

En dag var det solgt i alt 58 kopper te og kaffe, og det var akkurat 774 kr på automaten.

Hvor mange kopper te og hvor mange kopper kaffe var det solgt den dagen?

a) En kjemiker har to syreoppløsninger.

I den ene er 80 % av volumet syre, og i den andre er 50 % av volumet syre.

Hun trenger 50 L oppløsning med 74 % syre.

Hvor mye av hver oppløsning må hun da bruke? b) I en messinglegering er 70 % av vekta kopper og 30 % av vekta sink.

I en annen messinglegering er det 40 % kopper og 60 % sink. En mekaniker trenger 300 g av en legering med 60 % kopper og 40 % sink.

Hvor mange gram av hver legering må han da få smeltet og blandet?

Oppgave 2.126

Gudbrand I. Lia har katter og høner. Til sammen har dyrene 12 hoder og 30 bein.

Hvor mange katter og hvor mange høner har Gudbrand?

Oppgave 2.127

Finn Skogen selger ved. En dag har en kunde betalt i alt 420 kr for 4 sekker bjørkeved og 2 sekker granved. En annen kunde har betalt i alt 405 kr for 3 sekker bjørkeved og 3 sekker granved.

Hvor mye koster 1 sekk med bjørkeved og 1 sekk med granved til sammen?

Oppgave 2.128

s

Vibeke og Viktor bor 150 km fra hverandre. De skal møtes et sted på veien mellom der de bor. Vibeke regner med at hun kan kjøre hele strekningen på 3 timer med skuteren sin. Hun kjører hjemmefra kl. 12.00. Viktor trenger 5 timer på å kjøre 150 km. Han kjører hjemmefra kl. 13.00.

Hvor langt ligger møtestedet fra der Vibeke bor?

18

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

2.3 FORMLER

Oppgave 2.130

Tenk deg at du kjører bil med farten 20 m/s. Mobiltelefonen ringer, og du er ukonsentrert i ett sekund. a) Finn farten i kilometer per time. b) Hvor langt ruller bilen mens du er ukonsentrert?

Oppgave 2.131

For bølger med frekvensen f og bølgelengden λ er bølgefarten v gitt ved v f λ Menneskeøret er normalt i stand til å oppfatte svingninger mellom ca. 20 Hz og 20 000 Hz som lyd. Vi setter lydfarten til 340 m/s. a) Hva er den korteste bølgelengden øret kan oppfatte? b) Hva er den lengste bølgelengden øret kan oppfatte?

Oppgave 2.132

Oppgave 2.134

Lydfarten i luft er 340 m/s. Du ser et lyn, og 7,0 sekunder seinere hører du tordenskrallet. a) Finn lydfarten i kilometer per time. b) Hvor langt unna er lynnedslaget?

Den kinetiske energien E til et legeme med massen m og farten v er gitt ved 1 mv 2 . formelen E

Oppgave 2.135

Oppgave 2.133

Ved å finne brystmålet og kroppslengden til en hest kan vi med god tilnærming regne ut hvor tung hesten er. Dersom kroppslengden er k centimeter og brystmålet er b centimeter, finner vi vekta v i kilogram ved hjelp av formelen v

2

Finn v uttrykt ved E og m.

b2 k 11 880

Ola kjører på en motorvei i 78 km/h.

Kari kjører i 90 km/h på den samme veien. Ved et målepunkt er hun akkurat 12 km bak Ola. a) 1) Hvor mange kilometer kjører Kari i minuttet?

2) Hvor mange kilometer kjører Ola i minuttet? b) Hvor lang tid går det før Kari tar igjen Ola? Hvor langt fra målepunktet er de da?

Oppgave 2.136

Brystmål

Kropps lengde

a) En hest har brystmålet 180 cm og kroppslengden 160 cm.

Finn vekta. b) 1) Finn en formel for k uttrykt ved v og b.

2) En hest veier 475 kg og har brystmålet 185 cm.

Finn kroppslengden. c) 1) Finn en formel for b uttrykt ved v og k.

2) En hest veier 452 kg og har kroppslengden 162 cm.

Finn brystmålet.

En bil starter fra ro og har konstant akselerasjon. Farten er 10 m/s etter 4,0 s. a) Hvor stor er akselerasjonen? b) Hvor langt kjører bilen på de første 4,0 s? c) Hvor langt kjører bilen på de neste 4,0 s? Gå ut fra at akselerasjonen er konstant. d) Hvor stor fart har bilen 8,0 s etter at den startet? Gi svaret i kilometer per time.

Oppgave 2.137

En av bevegelseslikningene i fysikk er v 2 v02 2as. a) Bruk formelen til å finne en formel for akselerasjonen a uttrykt med v, v0 og s. b) En bil øker farten jevnt fra v0 = 18 m/s til v = 25 m/s på en strekning på s = 50 m.

Finn akselerasjonen.

19

s

Oppgave 2.138

Oppgave 2.141

Vi har gitt disse to formlene for rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon:

Sammenhengen mellom temperatur målt i fahrenheitgrader F og i celsiusgrader C er gitt ved

v v0 at 1 s v0t at 2 2 Bruk de to formlene ovenfor og vis at den tilbakelagte strekningen s er gitt ved formelen v0 v s t 2 Oppgave 2.139

Effekten P til en vindturbin er gitt ved P 0,0003 v3 A der v er vindstyrken målt i meter per sekund, og A er arealet i kvadratmeter av sirkelen rotorbladene lager når de roterer. a) Finn en formel for effekten uttrykt ved lengden r i meter av rotorbladene på vindturbinen. b) Gå ut fra at vindstyrken dobles.

Hvor mange ganger større blir effekten da? c) Finn en formel for arealet A uttrykt ved P og v.

F

9 C 32 5

Lag et program som regner om fra celsiusgrader til fahrenheitgrader.

Programmet skal skrive svaret med 1 desimal.

Oppgave 2.142

Vi har gitt denne sammenhengen: 1 knop 1 nautisk mil/time = 1,852 km/h Lag et program som regner om en gitt fart fra knop til kilometer per time og fra knop til meter per sekund.

Programmet skal skrive svarene med 1 desimal.

Oppgave 2.143

Volumet av ei kule med radius r er gitt ved V

4 3 Sr 3

Lag et program i Python som regner ut volumet av ei kule. Svaret skal skrives med 2 desimaler.

2.4 FORMLER I PYTHON

s

Oppgave 2.140

Oppgave 2.144

Lag et program i Python som kan regne ut regnestykkene. a) 12 6 3 (Skriv svaret som et heltall.)

6 b) 12 (Skriv svaret som et heltall.)

3 12 6 (Skriv svaret med 3 desimaler.) c) 3 8 d) 5 6 8 43 (Skriv svaret som et heltall.)

Formelen for volumet av ei kjegle er

20

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

V

Sr 2 h 3

der V er volumet, r er radien og h er høyden.

Lag et program i Python som regner ut høyden i kjegla når volumet er gitt.

Svaret skal skrives med 2 desimaler.

Oppgave 2.145

Oppgave 2.154

Hvis vi en slipper en stein fra h meter over bakken, er sammenhengen mellom h og falltiden t i sekunder før steinen treffer bakken 1 h g t 2 2 Her er g 9,8 m/s2 tyngdeakselerasjonskonstanten. a) Lag et program i Python som regner ut høyden når falltiden er gitt. b) Lag et program i Python som regner ut falltiden når høyden er gitt. c) Vi slipper en stein fra to forskjellige høyder. Fra den ene høyden er falltiden det dobbelte av falltiden fra den andre.

Bruk programmene du har lagd til å finne sammenhengen mellom høydene steinene ble sluppet fra.

Løs ulikhetene. z + 4 2z + 1 a) > +1 3 3 7x + 4 x 3 3x d2 + b) 4 2 8 y 4 7 5 2y + > c) 3 6 2 3 5t 1 + t d) > 2 5 3

2.5 LINEÆRE ULIKHETER

Oppgave 2.150

Løs ulikhetene. a) 5x 4 ! 2 x 2 b) 3 2 x 3 x c) x 3 2 3 2 x 5 2 x Oppgave 2.151

Løs ulikhetene. a) 2 x 1 3 1 x x 3 b) 3 2 x 1 5 x ! 1 x 3 Oppgave 2.152

Løs ulikhetene. a) 2 2 x d 2 x 5 b) 3x 8 t 4 2 x 3 c) x 2 1 x d x 4 Oppgave 2.153

Løs ulikhetene. a) 2 x 1 3 x 1 ! 3x 5 b)

5x 3 1 3x

!x 4 2

Oppgave 2.155

Løs ulikhetene.

1 x a) x 2 t 1 4 2 1 1 5 b) x 1 x 2 d 2 3 6 2 2x x 1 c)

0 4 3 d)

2 x 1 3 4

t

5 4x 3

Oppgave 2.156

Per har 28 600 kr på konto og tar ut 740 kr hver måned. Anne har 13 240 kr på konto og setter inn 540 kr hver måned. Vi ser bort fra renter.

Når har Anne mer penger enn Per på kontoen?

Oppgave 2.157

Det renner vann fra to kraner ned i hver sin beholder. I den første beholderen er det 20 liter vann, og det kommer 8 liter vann per minutt fra kranen. I den andre beholderen er det 50 liter vann, og det kommer 5 liter vann per minutt fra denne kranen.

Når er det mest vann i den første beholderen?

21

s

2.6 TALLINJER OG INTERVALL

2.7 MENGDELÆRE

Oppgave 2.160

Oppgave 2.170

Skriv disse intervallene med matematiske symboler, og tegn dem inn på tallinjer. a) Alle tall større enn eller lik 0 og mindre enn 5 b) Alle tall større enn –1 c) Alle tall mindre enn eller lik 2 d) Alle tall større enn –3 og mindre enn 2

Vi har gitt disse mengdene:

Oppgave 2.161

Skriv disse intervallene med matematiske symboler og tegn dem inn på tallinjer. a) Alle tall x mindre enn 0 b) Alle tall x større enn –3 og mindre enn eller lik 3 c) Alle tall x større enn eller lik –1 d) Alle tall x større enn 2 og mindre enn 3 Oppgave 2.162

Marker disse intervallene på ei tallinje. b) 〈 3, 4 ] a) [2, 5〉

B C

^0, 1, 3, 5, 7` ^2, 3, 4, 5, 6` ^4, 5, 6, 7, 8, 9`

a) Finn A B og A B . b) Finn A B C og A B C .

Oppgave 2.171

Vi har gitt disse mengdene: A B C

^x, y, z , u, v` ^x, z , u, v, w` ^ y, p, q`

a) Finn A B og A C . b) Finn A B og B C .

Oppgave 2.172

Marker disse intervallene på ei tallinje. a) [2, o〉 b) 〈 3, 0]

La A ^0, 1, 2, 3, 4, 5`, B ^3, 4, 5, 6` og C ^3, 5, 7` med grunnmengden S ^0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9`. a) Finn A B , B C , A B og B C . b) Finn A \ B, B \ A, A \ C og C \ A. c) Finn A og B.

c) 〈m, 2]

Oppgave 2.173

c) 〈 2, 2〉

d) 〈0, 1〉

Oppgave 2.163

d) 〈0, 1]

Vi har gitt disse mengdene:

Oppgave 2.164

Sett inn enten eller i de tomme rutene. 〈1, 2〉 a) 2 b)

2

〈1, 2〉 〈m, 3〉

1 d) 1000

1 0, 10

f) S

22

A B C

c) 3

e) 3,14

s

A

[ S, 5〉

D

〈3,14, o〉

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

^0, 1, 2, 3, 4` ^ 2, 1, 0, 1, 2, 3` ^ 2, 0, 2, 4, 6, 8`

a) Finn A B , A B , A C , B C , A \ B og B \ A. b) Finn A B C og A B C . c) Finn A B A C . d) Finn A B A C .

Oppgave 2.174

Oppgave 2.179

Vi har gitt disse mengdene:

Tegn av venndiagrammet og fargelegg deretter mengdene.

A C

^0, 2, 4`, B ^1, 3, 5`, ^0, 1, 2`, D ^3, 4, 5`

A

B

Undersøk om noen av mengdene er disjunkte.

Oppgave 2.175

C

Vi har gitt disse mengdene der G er grunnmengden:

^1, 2, 3, 4, 5` A B ^2, 3, 4, 5` B ^1, 3, 5`

G

B\A

^2`

a) b) c) d)

A B C ( A B) C A B C ( A \ B) C

2.8 DOBLE ULIKHETER

Oppgave 2.180

Finn A. Oppgave 2.176

Skriv enklere. a) 〈 4, 7〉 \ [ 5, 2〉 b) 〈m, 2〉 [0, 3〉 c) 〈 4, 4 ] [ 4, o〉 d) [0, o〉 \ 〈 1, 1〉 Oppgave 2.177

La A [ 2, 1〉, B 〈m, 5〉 og C [1, o〉. a) Finn A C og B C . b) Finn B C og A C . c) Finn \ \ B og \ \ C. Oppgave 2.178

Bruk symboler og skriv et uttrykk for den blå delen av venndiagrammet.

Løs de doble ulikhetene. a) 19 x 4 32 b) 8 2 x 4 2 c) 5 1 x 6 d) 5 d 8 3x d 11 Oppgave 2.181

Løs ulikhetene. a) x 2 x 2 x 3 b) 2 x 1 2 x x 4 c) y 3 y 6 2 y 8 d) 2 x 1 5x 3 3x 4 Oppgave 2.182

Løs ulikheten. x 3 2 x 3 d 1 x 2 Oppgave 2.183

Løs ulikheten.

A

B

3x 1 d 7 x d 9 2 x

23

s

BLANDEDE OPPGAVER

Løs likningssettet ved regning.

Oppgave 2.200

Løs likningene ved regning.

1 x a) 1 x 2 4 2 1 1 5 b) x 1 x 2 2 3 6 1§ 1· 1§ 1· c) ¨ x ¸ ¨ x ¸ 3© 2¹ 2© 3¹

1§1 · ¨ x 3¸ 3© 2 ¹

Oppgave 2.201

En student begynner å lese ei bok.

1 Første dagen leser hun av alle sidene i 8

boka. Den neste dagen leser hun dobbelt så mange sider som den første.

Den tredje dagen leser hun 25 sider, og da er det igjen 110 sider.

Hvor mange sider er boka på?

Oppgave 2.202

x 3y 1 0 2x y 5 0 Oppgave 2.206

a) Løs likningssettet ved regning. y 2x 4 y x 5 b) Hans kjøper 3,0 kg pærer og 1,0 kg bananer og betaler 84 kr. I den samme forretningen kjøper Grete 2,0 kg pærer og 3,5 kg bananer. For dette betaler hun 124 kr.

Finn prisen på ett kilogram pærer og prisen på ett kilogram bananer i denne forretningen.

Oppgave 2.207

I en brøk er nevneren 6 større enn telleren.

Hvis vi legger 8 til nevneren, blir 1 verdien av brøken .

3 barn og 2 voksne betaler til sammen 168 kr for bussbilletter. En voksenbillett koster dobbelt så mye som en barnebillett.

Hvor mye koster en barnebillett, og hvor mye koster en voksenbillett?

Hvilken brøk er dette?

Oppgave 2.208

Oppgave 2.203

Ekstra lett lettmelk inneholder 0,7 % fett.

Lettmelk inneholder 1,5 % fett. Helmelk inneholder 3,9 % fett. En dag er kjøleskapet til Eldbjørg tomt for lettmelk, men hun har både ekstra lett lettmelk og helmelk. Hun bestemmer seg for å lage 1L lettmelk ved å blande ekstra lett lettmelk med helmelk. Eldbjørg setter opp dette likningssettet:

3

Marita har en kurv med jordbær. Først spiser hun halvparten av bærene, og så tar hun to til. Deretter spiser søsteren halvparten av resten og så to bær til. Slik fortsetter det med de to brødrene hennes. Til slutt ligger det bare ett bær igjen i kurven.

Hvor mange jordbær var det i kurven fra begynnelsen av?

Oppgave 2.204

Løs ulikheten.

1· 1· § § 4 x 5 ¨ x ¸ t 2 ¨ x ¸ 6¹ 3¹ © ©

s

Oppgave 2.205

24

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

x y 1 0,007x 0,039y 0,015 1 a) Forklar hva hver av likningene beskriver. b) Løs likningssettet.

Hvor mye melk av hver sort må Eldbjørg blande?

Oppgave 2.209

Oppgave 2.213

Pelle Pirat har tre sekker med mynter, A, B og C, som han ønsker å veie. Vekta hans viser bare vekter på over 100 kg.

Sekk A og B veier til sammen 124 kg.

Sekk A og C veier til sammen 118 kg.

Sekk B og C veier til sammen 130 kg.

Hvor mye veier hver av sekkene?

Jorda går i bane rundt sola med farten v.

Vi kan regne ut denne farten ved å bruke formelen

Oppgave 2.210

Det står 115 stoler i aulaen på Trestokken skole. Noen stoler har 3 bein, mens andre har 4 bein. Under en forestilling 1 3

1 4

var av de trebeinte stolene og av de firbeinte stolene ledige.

I alt var det da 573 bein i aulaen, medregnet både stolbeina og menneskebeina.

Hvor mange mennesker satt da i aulaen?

Oppgave 2.211

Arealet av et trapes er gitt ved formelen A

a b h 2

Uttrykk h ved hjelp av A, a og b.

Oppgave 2.212

En naturfaglærer holder en ball som hun så slipper. Ballen faller fritt uten luftmotstand. Etter t sekunder har ballen falt h meter. Vi kan finne høyden ved formelen h

1 g t2 2

der g er tyngdeakselerasjonen.

Finn t uttrykt ved hjelp av h og g.

v

J M R

der J er en konstant, M er solmassen og R er avstanden mellom sola og jorda.

Finn et uttrykk for M. Oppgave 2.214

Vi kan regne ut omløpstida T rundt jorda for en satellitt som går rundt jorda i en sirkel med radius R. Formelen vi bruker, er gitt ved T

2SR

R J M

der J er en konstant og M er jordmassen.

Finn et uttrykk for R. Oppgave 2.215

Pytagorassetningen sier at en trekant med sidelengder a, b og c, der c er den lengste siden, er rettvinklet hvis og bare hvis a 2 b2 c 2.

Lag et program som skriver ut lengden c av hypotenusen når vi kjenner lengdene a og b av katetene.

Oppgave 2.216

Ohms lov gir sammenhengen mellom spenningen U, motstanden R og strømmen I i en elektrisk krets: U R I a) Lag et program som regner ut strømmen I når vi kjenner U og R. For effekten P i kretsen har vi denne sammenhengen: P U I. b) Lag en formel for P uttrykt ved U og R, og bruk formelen til å lage et program som regner ut effekten P når vi kjenner U og R. 25

s

Oppgave 2.217

Oppgave 2.220

Diameteren i en kuleformet vanndråpe er 2,1 mm. Etter t sekunder har fordampingen gjort at diameteren d målt i millimeter er

To av likningene for bevegelse med konstant akselerasjon er:

d 2,1 0,01 t a) Finn diameteren etter 60 s. b) Finn en formel for t uttrykt ved d. c) Hvor lang tid tar det for vanndråpen å fordampe helt?

Oppgave 2.218

Vi fyller varm drikke på ei tekanne.

Kanna holder dårlig på varmen, og etter x minutter er temperaturen T i celsiusgrader i kanna T 90 1,6x a) Hva er temperaturen i den varme drikken til å begynne med? b) Hva er temperaturen i kanna etter 20 minutter? c) Når er temperaturen i kanna 42 qC? d) Finn en formel for x uttrykt ved T. e) Når er temperaturen i kanna 66 qC? Oppgave 2.219

I denne oppgaven ser vi bort fra renter. a) Kjersti har spart 6000 kr og fortsetter å spare 600 kr hver måned.

1) Hvor mye har hun spart etter 9 måneder?

2) Finn en formel for beløpet S i kroner som hun har spart etter x måneder. b) Frank har 16 800 kr og bruker 700 kr hver måned.

1) Hvor mye har han igjen etter 9 måneder?

2) Finn en formel for beløpet B i kroner som han har igjen etter x måneder.

s

26

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

v v0 at v0 v t s 2 Sett uttrykket for v fra den første likningen inn i den andre likningen og utled bevegelseslikningen 1 s v0t at 2 2 Oppgave 2.221

Effekten P til en vindturbin er gitt ved P 0,0003 v 3 A der v er vindstyrken målt i meter per sekund, og A er arealet i kvadratmeter av sirkelen rotorbladene lager når de roterer.

Gå ut fra at turbinen går i 300 døgn på ett år, og at vindstyrken hele tida er 5 m/s.

Lengden på rotorbladene er 58,5 m.

I et eksempel på side 59 i grunnboka regnet vi ut at dette gir en energi på 2 901 600 kWh. 1 liter tørr, god ved kan gi energi som tilsvarer 1,3 kWh. a) Hvor mange liter ved tilsvarer energien vi får fra vindturbinen? b) En vedstabel på 4 m × 1 m × 60 cm kaller vi en favn ved.

Hvor mange favner ved tilsvarer energien som vindturbinen da gir? c) Hvor mange sekker ved på 60 L tilsvarer denne energien? d) Svar på denne oppgaven ved bare å studere formelen for effekten.

Hva skjer med effekten til vindturbinen hvis vindstyrken dobles samtidig som lengden på rotorbladene halveres?

Oppgave 2.222

Oppgave 2.225

Løsningen av ulikheten

Den amerikanske astronomen Edwin Hubble målte farten v til en del galakser og avstanden r fra oss til galaksene. Han oppdaget at andre galakser beveger seg raskere bort fra oss jo lenger unna de er.

Dette beskrives i Hubbles lov gitt ved

3 x ! 3x a er x 1.

Finn tallet a.

Oppgave 2.223

Løs likningssettet ved regning. x 2y 2 x 4y 8 Oppgave 2.224

Sammenhengen mellom radien r i en satellittbane og omløpstida T for satellitten er gitt ved r3 T2

k 4 S2

der k er en konstant. For jorda er k 3,98 1014 m3/s2.

v H r der H blir kalt hubblekonstanten.

Hvis vi forutsetter at ekspansjonsfarten har vært konstant, gir likningen r v t oss tida t for hvor lenge universets ekspansjon har vart.

Sett H 23

km/s million lysår

a) Vis at 1 lysår 9,46 1012 km. b) Vis at 1 t H c) Regn ut universets alder. Gi svaret i milliarder år.

Oppgave 2.226

a) 1) Finn r uttrykt ved T. 2) En satellitt bruker akkurat 86 400 s (24 h) på én runde rundt jorda over ekvator (synkronbanen).

Hvor høyt over ekvator ligger denne banen når jordradien er 6,37 106 m? b) 1) Finn T uttrykt ved r.

2) En satellitt går i en sirkelbane rundt jorda. Radien i sirkelbanen er 3,82 108 m.

Finn omløpstida.

Hvilken satellitt kan det være?

Løs ulikhetene. a) x 2 2 x 1 x b) 2 2 x x 1 3x 1 Oppgave 2.227

Løs ulikhetene.

1 1 1§ 1 · a) x 2 x 1 ¨ 4x ¸ 2 3 3© 2 ¹ 1 1 1 1 b) x 1 d x 1 x 2 6 3 2 Oppgave 2.228

Løs ulikhetene.

2 1 1 1 a) x ! x 2 3 5 2 30 b) 3x 5 2 x 1 4 x 3 27

s

Oppgave 2.229

Oppgave 2.234

Sett inn symbolet eller i de tomme rutene.

1 3, 3 1 , 0, 3 1 , 3 a) 3 b) 2 2, 2 1 , 20 , 22

Bruk symboler og beskriv det fargelagte området av venndiagrammet.

^ ^

`

`

A

B

Oppgave 2.230

La A [0, 5], B [3, 6〉 og C 〈 1, 2〉. a) Finn A B, A C og B C. b) Finn A B, A C og B C.

Oppgave 2.235

Oppgave 2.231

Vi har gitt disse mengdene der A er grunnmengden: A ^0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10` B ^3, 4, 5, 6, 7, 8` C ^1, 3, 5, 7, 9` a) Finn A \ B og A \ C. b) Finn B C. c) Finn B C og B C. Oppgave 2.232

Vis med et venndiagram at A B C

A B A C

Oppgave 2.233

Bruk et venndiagram til å forklare at A B

Oppgave 2.236

Telefonabonnement A koster 400 kr i måneden uansett databruk.

Telefonabonnement B koster 200 kr per GB data.

Telefonabonnement C koster 150 kr i måneden i tillegg til 100 kr per GB data.

Ved hvilken databruk er abonnement B verken det billigste eller dyreste abonnementet?

Oppgave 2.237 (Eksamen 2019)

B

x 2 2x 1 d x 7 Oppgave 2.238 (Eksamen 2020)

Løs likningen ved regning.

2 4 x 3 5

C

s

28

A B

Løs den doble ulikheten

Bruk symboler og beskriv det fargelagte området av venndiagrammet.

A

C

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

1 1 x 9 3 5

3

Linjer og grafer

ØV MER 3.1 RETTE LINJER

Oppgave 3.114

Finn stigningstallet og konstantleddet for linjene.

Oppgave 3.110

Lag tabell og tegn de rette linjene i det samme koordinatsystemet. a) y 3x b) y 3x 4 c) y 3x 1 d) y 3x 3 Hvordan går linjene i forhold til hverandre?

y 5 4 3 a)

1 –5 –4 –3 –2 –1

Oppgave 3.111

Lag tabell og tegn de tre rette linjene i det samme koordinatsystemet. a) y x 2 b) y 2x 5 c) y x 4 Hvilket punkt går alle tre linjene gjennom?

Oppgave 3.113

Bruk stigningstallet og konstantleddet til å tegne linjene. a) y 2 x 6 b) y 2 x 4 1 5 7 x 1 d) y x c) y 4 2 2

–1

x 1

2

3

4

5

–2 –3

c)

b) –4 –5

Oppgave 3.115

a) Tegn de to linjene y x 3

Oppgave 3.112

Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet.

1 a) y x 1 b) y 3x 6 2 3 5 1 c) y x d) y x 4 2 2 4

2

og y 2x 3 i det samme koordinatsystemet. b) Bestem likningen for ei ny linje som er parallell med x-aksen slik at arealet av området som er avgrenset av de tre linjene, blir 12. Oppgaven har to løsninger.

29

s

3.2 Å FINNE LIKNINGEN FOR EI LINJE

Oppgave 3.124

Oppgave 3.120

Finn likningen for linjene gjennom de to punktene uten bruk av hjelpemiddel.

Tegn deretter linjene og kontroller at likningen stemmer. a) 1, 1 og 3, 5 b) –3, 2 og 0, 1 c) 3, –4 og –3, 5 1· §1 1· § d) ¨ , ¸ og ¨ 2, ¸ 3¹ ©2 3¹ ©

Finn likningene for linjene grafisk. y 5 4 3 c)

2 1 –3 –2 –1

x 1

–1

2

3

4

5

6

7

Oppgave 3.125

–2 b)

Løs oppgaven uten hjelpemiddel. a) Ei rett linje går gjennom punktene 1, 4 og 3, 0 .

Finn likningen for linja. b) Ei rett linje går gjennom punktet 2, 1 og har stigningstallet 4.

Finn likningen for linja. c) Ei rett linje skjærer x-aksen i punktet 2, 0 og y-aksen i punktet 0, 2 .

Finn likningen for linja.

–3 a)

–4 –5

Oppgave 3.121

Finn likningene for linjene grafisk. y 5 4 3 2 1

a) b) x

Ei rett linje går gjennom punktene 0, 2 og 4, 0 .

Finn likningen for linja grafisk.

Løs oppgaven uten hjelpemiddel. a) Ei rett linje går gjennom punktene 2, 3 og 4, 9 .

Finn likningen for linja. b) Ei rett linje går gjennom punktet 1, 3 og har stigningstallet –3.

Finn likningen for linja. c) Ei annen linje er parallell med linja i oppgave b og skjærer x-aksen i x 2.

Finn likningen for linja.

Oppgave 3.123

Oppgave 3.127

Regn ut stigningstallet til den rette linja som går gjennom disse punktene: b) 0, 3 og 3, 6 a) –5, 1 og 1, –5 c) 6, 3 og 4, 1 d) 7, 2 og –3, 7

Likningen for ei linje er gitt ved

–4 –3 –2 –1–1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

–2 –3 –4 –5

c)

Oppgave 3.122

s

Oppgave 3.126

30

3 | LINJER OG GRAFER

y 2x 4 Finn likningen for ei annen linje som har konstantledd 4 og er parallell med den første linja.

Oppgave 3.128

Oppgave 3.132

a) Hvilke to av punktene på figuren nedenfor må du velge for at den rette linja gjennom punktene du velger, skal få størst mulig konstantledd?

Punktene skal ikke ha samme x-koordinat. b) Hva blir stigningstallet til denne linja? c) Hva blir konstantleddet til linja? d) Hvilke to punkter må du velge for at linja gjennom de to punktene skal få minst mulig konstantledd? e) Hva blir stigningstallet til linja? f) Hva blir konstantleddet til linja?

Geir, Guri og Guro er på tur. På campingplassen der de bor, koster det 60 kr per time å leie en robåt. I tillegg må de betale 25 kr per person for å leie redningsvest. a) Forklar at for t timer må de betale y kroner i leie, der y 60t 75. b) Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye de må betale i leie for inntil 8 timer.

y U V W Æ Ø

5 4

P Q R S

3

K L

T

M N O

2

F

1

A B C D E

G H I

J x

1

2

3

4

5

3.3 DIGITAL GRAFTEGNING

Oppgave 3.130

Tegn linjene digitalt. a) y 5x 4 b) y x 3 1 c) y 3,8x 2,5 d) y x 5 5 Oppgave 3.131

En familie leier ei hytte til 950 kr per døgn. I tillegg må de betale 350 kr for vask av hytta. Etter x døgn må de betale y kr, og beløpet er gitt ved y 950x 350 Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye de må betale for å leie hytta fra ett døgn og ei uke fram i tid.

Oppgave 3.133

a) Cecilie er på kanotur. Først padler hun en halv time med farten 3 km/h.

Forklar at etter t minutter har Cecilie padlet y kilometer, der y 0,05t. b) Så øker Cecilie farten, slik at hun den neste timen har farten 6 km/h.

Sett opp en formel som viser hvor mange kilometer y hun nå padler på t minutter. c) Tegn digitalt en kurve som viser hvor mange kilometer y Cecilie har padlet etter t minutter fra hun begynte på kanoturen.

Oppgave 3.134

Ingvild liker å spille minigolf, og i fritidsklubben Kølla har de dette tilbudet: • 30 kr per enkeltspill per person • Klippekort, 12 spill for 240 kr a) Finn en formel som viser hvor mye Ingvild må betale for x spill når hun ikke kjøper klippekort. b) Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye Ingvild må betale for inntil 12 spill når hun ikke har klippekort. c) Tegn digitalt en kurve som viser den billigste løsningen for Ingvild for inntil 12 spill.

31

s

3.4 GRAFISK LØSNING

Oppgave 3.144

Oppgave 3.140

Simen skal ta bilsertifikat. Kjøreskolen Tut og kjør tar 600 kr per time, og i tillegg må Simen betale 14 000 kr for trafikalt grunnkurs, førstehjelpskurs, glattkjøring osv. a) Finn en formel som viser hvor store de totale utgiftene y i kroner blir når Simen har x kjøretimer. b) Tegn linja i oppgave a digitalt når x er mellom 0 og 40. c) Simen håper at han skal klare seg med 15 kjøretimer.

Finn av linja i oppgave b hvor mye Simen regner med at førerkortet vil koste. d) Det viste seg at utgiftene til førerkort kom på 30 800 kr.

Bruk grafen til å finne ut hvor mange kjøretimer Simen hadde.

Løs likningene grafisk både med og uten hjelpemiddel.

1 a) x 3 x 7 3 1 2 b) x 4 x 2 3 3 Oppgave 3.141

Løs likningssettene grafisk både med og uten digitalt hjelpemiddel. a) 2x 5y 1 b) 4x y 2 x 2y 4 x 4y 7 Oppgave 3.142

Løs likningssettet x 5y 23 x y 1 a) ved regning b) grafisk uten digitalt hjelpemiddel c) grafisk med digitalt hjelpemiddel Oppgave 3.143

Bensintanken på bilen til Lise tar 60 liter. Ved langkjøring forbrenner motoren 0,75 liter per mil. Lise fyller tanken helt full og legger ut på en lang biltur. a) Forklar at etter x mil er det y liter bensin igjen på tanken, der y 60 0,75x b) Tegn linja i oppgave a digitalt. c) Bruk grafen til å finne ut hvor mange liter bensin det er igjen etter 50 mil. d) Bruk grafen til å finne ut hvor mange mil Lise har kjørt når det er igjen 30 liter bensin.

s

32

3 | LINJER OG GRAFER

Oppgave 3.145

Hans har 24 000 kr og bruker 1200 kr hver måned. Grete har 8000 kr og sparer 800 kr hver måned. a) Hvor mye har Hans igjen av pengene sine etter x måneder?

Hvor mye penger har Grete etter x måneder? b) Finn grafisk når Hans og Grete har like mye penger.

Hvor mye har de da?

Oppgave 3.146

Oppgave 3.148

Ola kjører på en motorvei i 78 km/h.

Kari kjører i 90 km/h på den samme veien. Ved et målepunkt er hun akkurat 12 km bak Ola. a) 1) Hvor mange kilometer kjører Kari i minuttet?

2) Hvor mange kilometer kjører Ola i minuttet? b) Forklar at t minutter etter at Kari har passert målepunktet, har de kjørt s km fra målepunktet, der

En familie skal på langtur med bilen.

De fyller tanken helt full før kjøreturen begynner. Etter x mil er det igjen B liter bensin, der

Kari: s 1,5t Ola: s 12 1,3t c) Finn grafisk uten digitalt hjelpemiddel når Kari tar igjen Ola. Hvor langt fra målepunktet er de da?

B 60 0,8x a) Hvor mange liter rommer bensintanken? b) Tegn ei linje digitalt som gir sammenhengen mellom x og B når x er mellom 0 og 75. c) Finn grafisk hvor mange liter bensin det er igjen etter 20 mil. d) Finn grafisk og ved regning hvor langt familien har kjørt når tanken er halvfull. e) Hvor mange mil kan de kjøre før de seinest må fylle tanken igjen?

3.5 GRAFISK LØSNING AV ULIKHETER

Oppgave 3.150 Oppgave 3.147

Petter selger abonnementer til mobiltelefoner. Han kan nå velge mellom to ulike lønnstilbud: I) ei fast månedslønn på 16 000 kr pluss 25 kr for hvert nytt abonnement han selger II) ei fast månedslønn på 14 000 kr pluss 50 kr for hvert nytt abonnement han selger a) Sett opp formler for månedslønna y i kroner når Petter selger x abonnementer. b) Finn grafisk hvor mange abonnementer han må selge for at lønnstilbudene skal være like gode.

Hva er lønna da?

Løs ulikhetene grafisk. a) 2 x 4 ! x 2 b) 3x 6 x 4 c) 2 2 x d 2 x 10 d) 2(x 1) d 3(x 4) Oppgave 3.151

I en kopp kaffe er temperaturen 68 qC. Etter t minutter er temperaturen T målt i celsiusgrader i koppen T 68 3,6t a) Når er temperaturen i koppen mer enn 50 qC? b) Når er temperaturen i koppen mindre enn 32 qC?

33

s

Oppgave 3.152

Oppgave 3.162

Løs de doble ulikhetene grafisk. a) 8 2 x 4 2 b) 5 1 x 6 c) 5 d 8 3x d 11

Grafen til funksjonen f er tegnet nedenfor. D f ª¬ 1, 5º¼. y 4 3

Oppgave 3.153

2

Løs ulikhetene grafisk. a) x 2 x 2 x 3 b) 2 x 1 2 x x 4 c) y 3 y 6 2 y 8

1 –1

2

3

4

5

–2 –4

Oppgave 3.160

f

–5

Regn ut f (2), f (0) og f ( 2) når a) f (x ) 2 x 2 4 x 1 1 2 b) f (x ) x x 1 2 x c) f ( x ) x 1 Oppgave 3.161

Grafen til funksjonen f er tegnet nedenfor. D f ª¬ 5, 3º¼ . y 12

f

10 8

a) Bruk grafen til å finne 1) f (0) 2) f( 1) b) Løs grafisk likningen f (x) 3 c) Finn verdimengden til f.

Oppgave 3.163

Finn konstanten b når f (2) g (3). a) f (x) 2x b g (x) 3x 5 b) f (x) x 2 bx g (x) bx 2 x 6

6

Oppgave 3.164

4

Bensintanken på bilen til Terje rommer 60 liter. Han fyller tanken helt full. Bilen bruker 0,50 liter bensin per mil. Etter at Terje har kjørt x mil, er antallet liter bensin som er igjen på tanken

2 –5 –4 –3 –2 –1 –2

x 1

2

3

–4

a) Bruk grafen til å finne 1) f (0) 2) f (2) b) Løs likningen f (x ) 0. c) Finn verdimengden til f.

34

1

–3

3.6 FUNKSJONSBEGREPET

s

–1

x

3 | LINJER OG GRAFER

B (x) 60 0,50x a) Tegn uten digitalt hjelpemiddel grafen til B. b) Finn definisjonsmengden til funksjonen. c) Finn verdimengden. d) Er antallet liter bensin på tanken en funksjon av antallet kjørte mil?

Oppgave 3.165

Oppgave 3.167

Ei avis kommer ut en gang i måneden.

Salgstallet S (x) i måned nummer x i 2022 var gitt ved

Er noen av kurvene grafer til funksjoner? a) b) y y x

S (x) 10 x2 10x Avisa ble bare gitt ut i perioden fra og med januar til og med juni. a) Finn salgstallene i hver av månedene. b) Hva er definisjonsmengden til S? c) Finn verdimengden til S. d) Er salgstallet en funksjon av hvilken måned vi er i?

Oppgave 3.166

Er noen av kurvene grafer til funksjoner? y a)

x

Oppgave 3.168

Lorena er en kreativ lærer som har laget en funksjonsmaskin. Maskinen fungerer slik at hun kan justere funksjonsuttrykket f (x) slik hun ønsker. Deretter velger elevene noen x-verdier som maskinen setter inn i funksjonsuttrykket og regner ut funksjonsverdien til. x

1 x –6

–4

–2

2

4

6

f(x)

–1

b)

Dersom Lorena stiller inn maskinen slik at

y 6

f ( x ) 3x 1

4 2

x

–6 –4 –2 –2

2

4

6

–4 –6

c)

y 6 4 2 –6 –4 –2 –2 –4

x 2

4

6

og en elev velger x-verdien 5, regner maskinen ut at f (5) 3 5 1 14.

Nedenfor er det vist noen tabeller med valgte x-verdier og de tilsvarende funksjonsverdiene som maskinen har regnet ut.

Finn i hvert av tilfellene det funksjonsuttrykket som maskinen er innstilt på.

Fins det flere løsninger av oppgavene? a) x 0 1 3 7 f(x) 0 4 12 28 b)

x f(x)

0 3

1 5

4 35

5 53

35

s

3.7 ANDREGRADSFUNKSJONER

Oppgave 3.174

Oppgave 3.170

Funksjonen f er gitt ved 2

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x 2 x 1. x f (x)

–4 –3 –2 –1

0

1

9

1

4

1

2

a) Kontroller de utregnede funksjonsverdiene i tabellen. b) Fyll ut tabellen. c) Tegn grafen til f.

Oppgave 3.171

Funksjonen f er gitt ved f (x) x 2 2x 3 a) Tegn grafen til f uten bruk av hjelpemidler. Velg x > 5, 4@ når du tegner grafen. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn ekstremalpunktet til f. d) Finn verdimengden Vf .

Oppgave 3.172

Funksjonen g er gitt ved g (x) x 2 4x 5 a) Tegn grafen til g uten bruk av hjelpemidler. Velg x > 2, 6@. b) Finn nullpunktene til g. c) Finn ekstremalpunktet til g. d) Finn verdimengden Vg. Oppgave 3.173

Funksjonen f er gitt ved f (x) x 2 4x 12 a) b) c) d)

s

36

Tegn digitalt grafen til f.

Finn nullpunktene til f.

Finn ekstremalpunktet til f.

Finn verdimengden Vf .

3 | LINJER OG GRAFER

f (x ) ax 2 4 x 5 der a er en konstant. a) Sett a = 1.

1) Tegn grafen til f.

2) Finn nullpunktene til f.

3) Finn bunnpunktet på grafen til f.

4) Finn verdimengden til f. b) Sett a = –1.

1) Tegn grafen til f.

2) Finn toppunktet på grafen til f.

3) Finn verdimengden til f. c) La a ha forskjellige verdier og tegn hver gang grafen til f.

Hvilket fortegn må konstanten a ha for at grafen til f skal ha 1) et bunnpunkt 2) et toppunkt Oppgave 3.175

En funksjon f er gitt ved f (x ) x 2 ax 8 der a er en konstant. a) Sett a 2.

1) Tegn grafen til f.

2) Finn nullpunktene til f.

3) Finn bunnpunktet på grafen til f.

4) Finn verdimengden til f. b) Sett a = –2.

1) Tegn grafen til f.

2) Finn nullpunktene til f.

3) Finn bunnpunktet på grafen til f.

4) Finn verdimengden til f. c) La a ha ulike verdier og tegn hver gang grafen til f.

Finn ut hvordan bunnpunktet forskyver seg med ulike verdier av a.

Oppgave 3.176

BLANDEDE OPPGAVER

Funksjonen f er gitt ved f (x) x 3 6x 2, Df ¢ 7, 2²

Oppgave 3.200

Finn likningen for linjene på figuren.

Finn nullpunktene, ekstremalpunktene og verdimengden til f.

y 5 4

Oppgave 3.177

I en vannrakett benytter vi oss av Newtons tredje lov, som sier at kraft og motkraft er like store, men motsatt rettet. En enkel utgave av en slik rakett er ei tom plastflaske på 1,5 L som vi fyller ca. halvfull med vann. Så setter vi i en gummipropp som vi kan pumpe luft gjennom.

Når lufttrykket over vannet er høyt nok, presser lufta ut proppen og skyver vannet ut av flaska. Kraften som skyver ut vannet, har retning nedover, og motkraften får flaska til å fare oppover med stor fart.

I et forsøk med en mer avansert vannrakett ble høyden som raketten nådde, målt til 534 m over bakken. I denne oppgaven ser vi bort fra luftmotstand og velger positiv retning oppover.

Vi bruker formelen v 2 v02 2 a s , der v er farten til raketten i høyden s over bakken, v0 er startfarten og a er tyngdeakselerasjonen, som er 9,8 m/s2. a) Hva er v idet raketten når sitt høyeste punkt? b) Bruk formelen ovenfor til å regne ut startfarten v0 målt i m/s. Rund av til nærmeste hele tall. c) Hva blir startfarten målt i km/h? d) Forklar at den maksimale høyden over bakken er en funksjon av startfarten v0. e) Finn en formel for den maksimale høyden s, uttrykt ved v0.

3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

–1

x 1

2 3

4 5

–2 –3 –4 –5

Oppgave 3.201

Lucy har lagd et program for å lage tabeller med funksjonsverdier: 1

print(" x | y")

2 3 4 5

for x in range(-5, 5): y = 2*x + 1 print(f"{x} | {y}")

6

a) Skriv av programmet og kjør det.

Kan du forklare hvordan programmet fungerer? b) Tilpass programmet slik at det skriver ut en verditabell for linja med likning y

1 3 x 2 2

for x-verdiene 3, 2, }, 6, 7.

Oppgave 3.202

Ei rett linje har stigningstall 3. Linja 1 skjærer x-aksen for x .

3

Bestem likningen for linja.

37

s

Oppgave 3.203

Oppgave 3.208

a) Ei rett linje går gjennom punktene 1, 3 og 1, 1 .

Finn likningen for linja. b) Vis at linja går gjennom punktet 4, 2 . c) Undersøk om linja går gjennom punktet 3, 6 .

Ei rett linje l går gjennom punktene C 3, 4 og D 7, 2 Gjør beregninger og avgjør om linja l er parallell med linjestykket AB.

Oppgave 3.204

a) Ei rett linje går gjennom punktene 0, 3 og 1, 1 .

Finn likningen for linja. b) Ei rett linje går gjennom punktet 2, 3 og har stigningstallet 2.

Finn likningen for linja. c) Ei rett linje er parallell med ei annen linje gitt ved 4x 2y 3. Linja går dessuten gjennom punktet 1, 1 .

Finn likningen for linja.

y 2

–1

3x y 2 x 3 y

7 7

Løs likningssettet både grafisk og ved regning.

Oppgave 3.206

2x 2

A

7

2x y 5 4x y 7

a) Tegn de to linjene y 3x 5 og 1 y x 5 i samme koordinat3

b) c)

d)

Oppgave 3.207

f)

3 | LINJER OG GRAFER

6

Oppgave 3.210

e)

38

5

1 2x 4 3 x 3

Løs likningssettet grafisk både med og uten digitalt hjelpemiddel.

s

4

b) Løs likningen grafisk.

1) grafisk 2) ved regning

3x 2 y 2 2x y 8

2 3

a) Løs likningssystemet både grafisk og ved regning.

Løs likningen 1 5 x 4 2

–1

x 1

Oppgave 3.209

Oppgave 3.205

Vi har gitt likningssettet

B

1

g)

system. Bruk samme enhet på aksene.

Hvor stor er vinkelen mellom linjene?

Endre på konstantleddet til en av linjene. Endrer vinkelen mellom linjene seg?

Endre på stigningstallet til en av linjene? Endrer vinkelen mellom linjene seg?

Regn ut produktet av stigningstallet til de to linjene i oppgave a.

Kan du finne likningen for ei linje som står vinkelrett på linja y 2x 4? Hva er produktet av stigningstallet til de to linjene nå?

Undersøk om sammenhengen du har funnet også gjelder for andre linjer.

Oppgave 3.211

Oppgave 3.213

På en komfyr står det en kjele med vann. Temperaturen i vannet er 16 qC. Vannet i kjelen får en jevn tilførsel av varme, og etter t minutter er temperaturen T målt i celsiusgrader i vannet

Kinesiske skostørrelser er annerledes enn de norske skostørrelsene.

Sammenhengen er gitt ved uttrykket

T 16 4,2t a) Hva er temperaturen etter 7,5 minutter? b) Tegn ei linje som viser sammenhengen mellom T og t.

Velg t mellom 0 og 20. c) Finn grafisk og ved regning når temperaturen i vannet er 79 qC. d) Finn en formel for t uttrykt ved T. e) Hvor lenge går det før vannet koker?

Oppgave 3.212

Berit fyller varm te med temperaturen 92 qC på ei tekanne, mens Lars samtidig fyller varm kaffe med temperaturen 86 qC på ei kaffekanne. Temperaturen i tekanna synker med 1,2 grader per minutt, mens temperaturen i kaffekanna synker med 0,8 grader per minutt. a) Hva er temperaturen T i tekanna etter x minutter? b) Hva er temperaturen K i kaffekanna etter x minutter? c) 1) Tegn ei rett linje som viser sammenhengen mellom T og x når x er mellom 0 og 30.

2) Tegn i det samme koordinatsystemet ei rett linje som viser sammenhengen mellom K og x. d) Finn grafisk og ved regning når temperaturen er den samme i tekanna og i kaffekanna.

y (x 20) 0, 5 21, 5 der y er skolengden i centimeter, og x er den kinesiske skostørrelsen. a) Tegn digitalt en graf som viser sammenhengen ovenfor. b) Bruk grafen til å finne skolengden på et par sko som har kinesisk skostørrelse 38. c) Bruk grafen til å finne den kinesiske skostørrelsen når skolengden er 28 cm.

Vi har sammenhengen y (x 32) 0, 66 21, 75 der y er skolengden i centimeter, og x er den norske skostørrelsen. d) Hvilken kinesisk skostørrelse tilsvarer norsk skostørrelse 43?

Oppgave 3.214

En festkomite skal arrangere studentfest.

De regner med at det vil koste 19 200 kr å arrangere festen. Inngangsbilletten koster 150 kr. a) Forklar at hvis det kommer x studenter, vil komiteen få et overskudd på O(x) kroner, der O(x) 150x 19 200 b) Hvor mange studenter må minst komme på festen for at de skal få dekket utgiftene? c) Komiteen fikk et overskudd på over 10 000 kr.

Sett opp en ulikhet og finn hvor mange studenter som minst kom på festen.

39

s

Oppgave 3.215

Oppgave 3.218

En dag var temperaturen i Bergen 14 qC. I Oslo var temperaturen 20 qC på det samme tidspunktet. I Bergen steg temperaturen med 0,8 qC per time, mens den sank med 0,4 qC per time i Oslo.

Sett opp en ulikhet som kan gi oss svar på hvor lenge det var varmest i Oslo.

Løs deretter ulikheten grafisk, og tolk svaret.

Funksjonen f er gitt ved

Oppgave 3.216

Oppgave 3.219

En meteorolog fulgte med på temperaturutviklingen ved en målestasjon, og hun kom en dag fram til at mellom klokken 08.00 og kl. 18.00 fulgte temperaturen modellen

En stein blir kastet opp i lufta med utgangsfarten 10 m/s fra et punkt som er 5 m over bakken. Høyden målt i meter målt over bakken er da gitt ved

T(x) 0,32x 2 8x 50, x >8, 18@ T(x) er temperaturen målt i celsiusgrader x timer etter midnatt. a) Når på dagen var temperaturen 0 qC? b) Når på dagen var temperaturen høyest? Hvor høy var den da?

Oppgave 3.217

Grafen til funksjonen f er tegnet nedenfor. y 5 4

1

x 1

2

3

–2 –3

Bruk grafen til å finne a) 1) f (0) 2) f (2) b) nullpunktene til f c) bunnpunktet til f

s

40

h (t) 5t 2 10t 5 der t er tida målt i sekunder fra kastøyeblikket. a) Tegn grafen til h i et koordinatsystem. Velg t >0, 2,5@. b) Hvor høyt kommer steinen? c) Hvor lang tid bruker steinen opp til det høyeste punktet i banen? d) Finn ved regning hvor lang tid steinen bruker fra kastøyeblikket til den treffer bakken.

Minimumstemperaturen i vinterhalvåret følger ofte modellen

2

–1

a) Tegn grafen til f uten bruk av hjelpemidler. Velg x > 8, 2@ når du tegner grafen. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn ekstremalpunktet til f. d) Finn verdimengden V.

Oppgave 3.220

f

3

–5 –4 –3 –2 –1

f (x ) x 2 6x 7

3 | LINJER OG GRAFER

T (x )

4 2 16 x x 4, x >0, 22@ 25 5

T (x) er temperaturen målt i celsiusgrader x uker etter uka midt i november. a) Tegn grafen til T digitalt. b) Når har vi lavest minimumstemperatur?

Hva er temperaturen da? c) Kan modellen også gjelde for uke nr. 30 (i midten av juni)?

Oppgave 3.221

Oppgave 3.222

Strømforbruket i kilowattimer (kWh) i måned nr. x kunne for familien Strøm i 2019 beskrives med funksjonen

Snødybden på Stølebu x dager ut i mars var f (x) centimeter, der

f (x) 87x 2 1217x 5300 der x >1, 12@.

I denne oppgaven er funksjonen definert i intervallet >1, 12@, men det er verdiene av f (x) for heltallige x som gir strømforbruket. a) Tegn digitalt grafen til f. b) Hvor stort var strømforbruket i april, og hvor stort var strømforbruket i oktober? c) I hvilken måned var strømforbruket lavest? Hvor stort var forbruket da?

f (x) 0,4x 2 12x 150, x >0, 20@ Snødybden i Revefaret x dager ut i mars var g (x) centimeter, der g (x) 0,16x 2 1,45x 40, x >0, 20@ a) Bruk graftegner og tegn grafen til f og grafen til g i det samme koordinatsystemet. b) Finn når snødybden på Stølebu var på det laveste. c) På hvilket tidspunkt var forskjellen mellom snødybden på de to stedene minst mulig?

Hvor stor var forskjellen da?

Familien Strøm har en kjellerleilighet som de leier ut. Strømutgiftene i kilowattimer (kWh) for kjellerleiligheten i måned nr. x i 2019 kunne beskrives med funksjonen g (x) 53x 2 736x 3460 der x >1, 12@. d) Hvor stor forskjell var det i strømforbruket i mai for familien Strøm og leieboerne? e) Vis at det samlede strømforbruket i kilowattimer (kWh) er gitt ved t (x) 140x 2 1953x 8760 der x >1, 12@. f) I hvilken måned var det totale strømforbruket lavest? Og hvor stort var det da?

41

s

4

Faktorisering ØV MER

Oppgave 4.115

4.1 KVADRATSETNINGENE

Oppgave 4.110

Bruk kvadratsetningene og regn ut.

2 a) x 8 b) x 9 x 9

Oppgave 4.116

2

c) x 5

d) 3x 1 3x 1 Oppgave 4.111

Bruk kvadratsetningene og regn ut.

2 a) 3x 2 b) 4 y 2

2

d) t 3 3 t Oppgave 4.112

Bruk kvadratsetningene og regn ut.

2 a) x 4 x 4 x 4 2

b) x 2 x 2

2

2

c) t 1 t 1 t 1 t 1 d) 3 t 1 t 1 3 t 2

2

Oppgave 4.113

Regn ut uten å bruke hjelpemiddel.

5 2 a) 5 2 b)

3 2

3 2

c)

11 6

11 6

d)

25 9

16 1

Oppgave 4.114

Bruk konjugatsetningen og regn ut. a) 31 29 b) 48 52

s

42

Vi kan bruke kvadratsetningene i hoderegning.

Hvordan kan vi bruke kvadratsetninger for å regne ut disse oppgavene i hodet? a) 532 b) 38 42 Det fins et triks for hvordan vi enkelt kan kvadrere tall som ender på 5.

Trikset er slik: Hvis vi skal regne ut 652 kan vi regne ut

c) 4a 2 2 4a

2

Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 27 33 b) 192 c) 16 24 d) 222

4 | FAK TORISERING

6 6 1

6 7 42

Vi setter så 25 bak dette svaret. Da får vi at 652 4225. c) Regn ut 35 35 med dette trikset.

Kontroller svaret med kalkulator. d) Hvordan kan vi forklare dette regnetrikset med kvadratsetninger?

Oppgave 4.117

a) Hvordan kan vi lage et geometrisk bevis for 2

a b a b

2

4ab

b) Kan vi bruke dette til å lage regneregler som gjør bestemte regneoppgaver lettere å løse i hodet?

4.2 FAKTORISERING

Oppgave 4.132

Oppgave 4.120

Faktoriser uttrykkene. b) x 2 y y 2 x a) 6 x 2 3x d) 27a 3b2 54a 2b3 c) 2t 2 8t 3

Finn tallet b slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. a) x 2 bx 25 b) 4 y 2 2by 9

Oppgave 4.121

4.4 RASJONALE UTTRYKK

Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. b) 3xyz 15xz a) 8 x 2 16 d) 2 x 4 z 2 3x 2 z 3 c) 6a 2 35b Oppgave 4.122

Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. b) 2 x 2 8 a) a 2 b2 2 2 d) 100 81x 2 y 4 c) 25x 36 y Oppgave 4.123

Oppgave 4.140

Faktoriser og forkort.

2x 4 3x 2 3 a) b) 3x 2 6 x x2 x Oppgave 4.141

En student har forenklet et rasjonalt uttrykk på denne måten: 3a 4 3a 4

12a 3a 3 12a ( 3a 4) ( 3a 4) 4

3

Faktoriser uttrykkene.

2 a) x 2 4 2

b) y 1 9 2

c) a 3 a 2 2

12a 36a 3a 4 12a 16 12a 27 a 12 27a 1 12a a

2

d) 3x y 2 x y

2

Oppgave 4.124

Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. b) x 2 16 a) x 2 16 1 16 c) 8a 3 32a d) x 2 4 9 4.3 HELTALLSMETODEN

Oppgave 4.130

Faktoriser uttrykkene ved å bruke heltallsmetoden. Kontroller faktoriseringen ved regning. b) x 2 3x 10 a) x 2 2 x 3 c) x 2 12 x 36 d) y 2 14 y 49 Oppgave 4.131

Finn tallet c slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. b) x 2 26 x c a) x 2 22 x c c) 9 y 2 30 y c d) 4a 2 28a c

Finn eventuelle feil studenten har gjort.

Oppgave 4.142

Forkort om mulig brøkene.

3x 2 3 5x 5 b) a) 6x 6 (x 1)2 c)

x2 9 x 2 9x

d)

x3 4x2 4x x 2 2x

Oppgave 4.143

Finn fellesnevneren og trekk sammen.

2 1 3 1 b)

a) x x 1 x 1 2 1 1 3 1

d)

c) x 2 x 2 a 3 2a

43

s

Oppgave 4.144

Oppgave 4.148

Regn ut. x 1 4 a)

2 x2 1 x2 4 9x b) 2 3 x 2x 2 3 3 c)

x x 1 x x 1 x 2 2

2 d) x 1 x 1 x 1

Regn ut. x 1 4 x 12 a)

4 3x 3

Oppgave 4.145

a) Vis at x 2 12x 36 er et fullstendig kvadrat. b) Forkort brøkene.

2 x 12 x 2 36 2) 2 1) 2 x 12 x 36 x 12 x 36 Oppgave 4.146

a) Bruk heltallsmetoden til å faktorisere x 2 5x 4 b) Finn fellesnevneren og trekk sammen. x 2x 6x

x 1 x 4 x 2 5 x 4 Oppgave 4.147

a) Vis at x2 4x 3

18 y 2 x 2 2 x

x 6y

c)

a 3 4a 2 36

3a 9 3a 9

d)

3x 2 3 2(x 2)2

4 x 8 9x 9

4.5 ANDREGRADSLIKNINGER

Oppgave 4.150

Løs likningene ved regning. b) 3x 2 12 x 0 a) x 2 6 x 0 2 d) x 2 2 x 3 0 c) 5x 25x Oppgave 4.151

Løs likningene ved regning. a) x 2 x 16 x b) 9 x 2 1 0 c) 3x 2 11x x 2 5x 8 Oppgave 4.152

Løs likningene. a) x 2 3x 10 0 b) x 2 6 x 7 0 c) 3x 2 9 x 8 2 x 2 x 7

x 1 x 3

Oppgave 4.153

x 2 x 3

Lag en andregradslikning der løsningene blir a) x 1, x 2 b) x 0, x 6 c) Begge løsningene er x 3.

og x 2 5x 6

b)

b) Forenkle uttrykket.

4x 2 · x 3 § 5x 1 ¨ x 2 4 x 3 x 2 5x 6 ¸ x 4 © ¹

Oppgave 4.154

Vi har gitt likningen x 2 kx 4 0 Likningen har bare én løsning.

Bestem k.

s

44

4 | FAK TORISERING

Oppgave 4.155

Oppgave 4.165

Løs likningene ved regning. a) x 3 25x 0 b) x 3 x 2 12 x 0 c) x 4 5x 2 36 d) x 5 6 x 3 7 x 0

En dag var temperaturen ved en målestasjon gitt ved

4.6 ANDREGRADSFORMELEN

Oppgave 4.160

Løs andregradslikningene og sett prøve på svaret. a) x 2 2 x 8 0 b) x 2 7 x 12 0 c) x 2 5x 150 0 d) x 2 26 x 25 0 e) x 2 7 x 10 0 f) x 2 4 x 21 0 Oppgave 4.161

Funksjonen f er gitt ved f (x) 2x 2 7x 3

T (x ) 0, 3x 2 8 x 50 der T(x) er temperaturen målt i celsiusgrader x timer etter midnatt.

Temperaturen var 5,2 qC da meteorolog Tempe gikk på jobb.

Hvor mye var klokka da?

Oppgave 4.166

Vi har gitt andregradslikningen x 2 2x c 0 der c er et ukjent tall. a) Finn antallet løsninger for ulike verdier av c ved regning. b) Kontroller svaret i oppgave a i GeoGebra.

Bestem nullpunktene til f både ved regning og digitalt.

Oppgave 4.167

Oppgave 4.162

Vi har gitt andregradslikningen

Finn fire positive tall som følger etter hverandre og som er slik at produktet av det første og det fjerde tallet er lik 208.

Oppgave 4.163

Harepus har lagd en rektangulær kakedeig der arealet er 1728 cm2.

Lengden er 12 cm lengre enn bredden.

Finn lengden og bredden av deigen.

Oppgave 4.164

Revefar har lagd 24 store kvadratiske kaker og 54 små kvadratiske kaker.

De store kakene er 2 cm lengre enn de minste. Kakedeigen har arealet 2526 cm2.

Finn lengden av sidene i de store og i de små kakene.

ax 2 4 x 1 0 der a er et ukjent tall forskjellig fra 0. a) Finn antallet løsninger grafisk for ulike verdier av a ved regning. b) Kontroller svaret i oppgave a i GeoGebra.

Oppgave 4.168

Løs likningene med Python. a) 2x 2 5x 3 0 b) 2x 2 6x 8 0 c) 6x 2 1 x d) 9x 2 12x 4

45

s

4.7 IKKE-LINEÆRE LIKNINGSSETT

4.8 NULLPUNKTSFAKTORISERING

Oppgave 4.170

Oppgave 4.180

Løs likningssettene. a) x2 y 4 y 2x 1 b) x2 y2 1 y x 1 c) x y 1 x2 y 3 d) x2 y 3x 3x y 8

Faktoriser uttrykkene ved hjelp av nullpunktene.

Kontroller faktoriseringen ved hjelp av heltallsmetoden. b) x 2 6 x 8 a) x 2 3x 2 d) x 2 7 x 10 c) x 2 2 x 3

Oppgave 4.171

Løs likningssettene. a) x y 12 y 1 x 1 b) x 2 y 1 y 2 x 1 Oppgave 4.172

Geir og Atle er tvillinger, og de har en bror som heter Oddvar. Til sammen er de tre brødrene 120 år. Multipliser alderen til tvillingene med hverandre.

Tallet du da får, er 1400 større enn alderen til Oddvar.

Finn alderen til de tre brødrene.

Oppgave 4.173

To kvadrater har til sammen arealet 410.

Når vi legger sammen omkretsene av de to kvadratene, får vi 104.

Finn sidene i de to kvadratene.

Oppgave 4.181

Faktoriser uttrykkene ved hjelp av nullpunktene. b) 2 x 2 3x 2 a) 2 x 2 2 x 12 x 1 d) x 2 c) 3x 2 9 x 12 4 8 Oppgave 4.182

Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. b) 3x 2 6 x 6 a) 2 x 2 2 x 12 2 d) 2 x 2 3x 2 c) 5t 20 Oppgave 4.183

Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. b) x 2 4 x 5 a) 9 x 2 3x 2 4 4 c) t 2 t d) s 3 6s 2 7 s 3 9 Oppgave 4.184

Finn minst to andregradsuttrykk som har disse nullpunktene. a) x 2 og x 9 b) x 4 og x 5 Oppgave 4.185

Trekk sammen uten og med hjelpemiddel. x 2 2 2 a) x 1 x 2 x 1 b)

s

46

4 | FAK TORISERING

x 2x 2 2 2x 4 x 4 x 4

Oppgave 4.186

Oppgave 4.194

a) Faktoriser uttrykket både uten og med hjelpemiddel.

Kristin vokser, og høyden hennes i centimeter er gitt ved

x 2 2x 8 b) Trekk sammen. Løs oppgaven både uten og med hjelpemiddel. x 2x 6x

2 x 2 x 4 x 2x 8 4.9 ANDREGRADSULIKHETER

Oppgave 4.190

f (x) 0,15x 2 6x 50, x [0, 16] der x er alderen regnet i år.

Hvor gammel var Kristin da hun målte mellom 100 cm og 135 cm?

Oppgave 4.195

Vi har gitt andregradslikningen 5x 2 bx 5 0

Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer, og kontroller løsningen grafisk. a) 2 x 2 4 x 0 b) x 1 2 x ! 0 c) x 2 7 x 6 0 d) 4 x 2 4 x 3 ! 0

der b er et ukjent tall. a) Finn antallet løsninger grafisk for ulike verdier av b ved regning. b) Kontroller svaret i oppgave a i GeoGebra.

Oppgave 4.191

Sett opp en andregradsulikhet som har løsningen 3 d x d 2.

Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) x 2 2 x ! 15 b) x 2 11x 10 0 c) 2 x 2 3x ! 1 d) 6 x 2 7 x 3 0 e) x 2 5x 15 ! 2 x 3 Oppgave 4.192

Løs ulikhetene digitalt. a) x 2 4 x 12 t 0 b) x 2 x 6 d 0 c) 2 x 2 4 x 30 ! 0 d) 5x 2 4 x 1 x 2 3x 4

Oppgave 4.196

BLANDEDE OPPGAVER Oppgave 4.200

Trekk sammen. Bruk kvadratsetningene.

2 2 a) x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 2 b) x 2y x 2y 4x 2y 1 Oppgave 4.201

Skriv så enkelt som mulig. Bruk kvadratsetningene.

2 2 a) 3 a 1 4 a 2 7 a 1 a 1 2

Oppgave 4.193

Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) x 2 7 x 8 0 b) 4 x x 2 0 c) 10 x 2 ! 1

2

b) 3a 2 2 a 3 a 3 6 a 1 16 Oppgave 4.202

Skriv så enkelt som mulig. Bruk konjugatsetningen.

5 3

5 3

2

47

s

Oppgave 4.203

Oppgave 4.207

Bruk konjugatsetningen og regn ut. a) 51 49 b) 68 72

Faktoriser uttrykket x 2 x 42 Oppgave 4.208

Oppgave 4.204

Bruk konjugatsetningen til å regne ut

Bestem tallene a og b når x a x b x 2 x 12

712 412 71 41

Oppgave 4.209

Oppgave 4.205

Undersøk om

Bruk kvadratet nedenfor til å utlede den første kvadratsetningen.

x 2 8x 16 er et fullstendig kvadrat.

b

Oppgave 4.210

Skriv så enkelt som mulig. Vis utregning. a

a

b

(x 2)2 8 x x 2 Oppgave 4.211

Oppgave 4.206

På figuren er et stort kvadrat med sider c delt opp i fire like store rettvinklede trekanter med kateter a og b, og et kvadrat med sider b a

Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig.

3 24 2 x 4 x 16 Oppgave 4.212

Skriv så enkelt som mulig. Vis utregning.

b– a

3x 2 3 x 2 2x 1

a a

b

a) Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig. Vis utregning.

c

Arealet av det store kvadratet er lik arealet av de fire trekantene pluss arealet av det lille kvadratet.

Bruk dette til å vise pytagorassetningen 2

2

a b c

s

48

Oppgave 4.213

2

4 | FAK TORISERING

4 5 18 2 x

x 6 6x b) Sett inn x 1 i uttrykket i oppgave a og regn ut. Sett deretter inn x 1 i svaret du fikk i oppgave a og regn ut.

Kommenter svarene du får.

Oppgave 4.214

Oppgave 4.219

Oda og Pål skal forenkle uttrykket

a) Løs likningen

1 a 1

a 2a De løste oppgaven slik: 2 1 a 1 2 a 1 3 a

Oda: 2 a 2a 2a 2a 2a 1 2a(a 1) Pål:

2 (a 1) 1 a a 2a a) Både Oda og Pål løste oppgaven feil.

Forklar hvilke feil de gjør. b) Løs oppgaven uten og med digitalt hjelpemiddel.

Oppgave 4.215

Vi lar a og b være to positive hele tall der a ! b.

Hvilket av disse rasjonale uttrykkene er da størst? a 2 b2 a 2 b2 eller a b a b Oppgave 4.216

a) Løs andregradslikningen 2x 2 6x 8 b) Løs ulikheten 2x 2 6x 8 Oppgave 4.217

Undersøk om en rettvinklet trekant kan ha lengder med sider x, x 1 og x 2.

Hvor lange er i så fall sidene da?

Oppgave 4.218

x 2 4x 12 b) Faktoriser og forkort brøken 2x 4 x 4 x 12 2

c) Faktoriser og forkort brøken x 2 6x 7 x2 x Oppgave 4.220

a) Løs likningen x 2 10x 25 0 b) Faktoriser og forkort brøken. x 2 10 x 25 x 2 5x c) Faktoriser og forkort brøken.

4x 6 2x 9x 9 2

Oppgave 4.221

En park har form som et rektangel med bredde 30 m og lengde 40 m. Det skal lages to gangstier i parken med samme bredde x slik figuren viser. Gangstiene krysser hverandre og har et samlet areal på 325 m2.

Finn bredden x av gangstiene. x

30 m x

x

Vis at summen av løsningene av likningen x 2 2x 15 er 2, og at produktet av løsningene er 15.

x 40 m

49

s

Oppgave 4.222

Oppgave 4.229

Løs likningen

Grafen til funksjonen f (x ) ax 2 bx c skjærer y-aksen i 6. Funksjonsuttrykket til f har dessuten en konstant faktor og to lineære faktorer med disse fortegnslinjene:

x3 x x 6

0

Oppgave 4.223

Løs likningene. a) x 4 2 x 2 15 0 b) x 4 3x 2 4 0 c) x 4 10 x 2 9 0

–3 –2 –1

Oppgave 4.224

a) Løs ulikheten f (x ) 0. b) Bestem konstantene a, b og c. c) Løs ulikheten f (x ) ! 8.

0

2

Finn når ballen befinner seg mer enn 2,0 m over utgangspunktet.

Oppgave 4.226

4

5

x

2 x 2 4 x 6 d 0

x 2 k 1 x 4k 0 der k er et tall, har bare én løsning.

Vis at k da er gitt ved k 2 14k 1 0 Oppgave 4.231

ax 2 12x 4 0, der a z 0 a) Finn antallet løsninger ved regning. b) Løs likningen for den verdien for a som gir nøyaktig én løsning.

Oppgave 4.227

a) Vis ved regning at 2x 1 x 2

Likningen

Vi har gitt andregradslikningen

Løs ulikheten ved å bruke fortegnslinjer.

2 x 2 3x 2

b) Løs ulikheten 2x 2 3x 2 d 0 ved å bruke fortegnslinjer.

Oppgave 4.232

Vi har gitt andregradslikningen x2 8x c 0, der c er et ukjent tall. a) Finn antallet løsninger ved regning. b) Løs likningen for den verdien for c som gir nøyaktig én løsning.

Oppgave 4.228

Oppgave 4.233

Sett opp en ulikhet som har løsning

Løs likningssettet.

x 4 eller x ! 1

50

3

Oppgave 4.230

Vi kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekunder har ballen høyden h (i meter over utgangspunktet) gitt ved

s

2

0

Oppgave 4.225

h 10t 4, 9t

1

0

Løs likningen x 2 x 2 36 x 2

0

4 | FAK TORISERING

x y 1 2x 2 3y 2 5

Oppgave 4.234

Oppgave 4.239

Løs likningssettene. b) x 2 y 4 a) x 3 y 7 2 x y 7 x2 4x 4 0

Vi har gitt andregradslikningen

Oppgave 4.235

For hvilke verdier av b har likningen ingen løsninger, én løsning og to løsninger?

Løs likningssettet. x y 4 x y 3

3x 2 bx 3 0

Oppgave 4.240

Løs ulikheten

Oppgave 4.236

a) Løs likningssettet ved regning. x y 12 x y 8

9x t

1 x

Oppgave 4.241

b) Sidene i rektanglet nedenfor har lengdene x og y. y x

Arealet av rektanglet er 12 cm2, og omkretsen er 16 cm.

Finn lengden av sidene.

Et tog passerer en stasjon med farten v0 målt i m/s. Toget øker farten og kjører med konstant akselerasjon 2 m/s2. Etter en tid t målt i sekunder har toget kjørt 75 m, og farten er 20 m/s. a) Forklar at v0 og t må passe i likningene v0 2t v0t t

2

20 75

b) Bestem v0 og t.

Oppgave 4.237

Oppgave 4.242 (Eksamen 2020)

a) Skriv så enkelt som mulig.

Regn ut

2 4 2 x 1 x 1 b) Løs likningssystemet.

x 2 y 4 2x y 1

Oppgave 4.238

5t 2 45 t 2 : t 3 3t 2 6t Oppgave 4.243 (Eksamen 2020)

Løs likningssettet ved regning. h 40 0 h 10t 5t 2

Lag et ikke-lineært likningssett der løsningen er x 1 og y 3.

Løs deretter likningssettet ved regning.

51

s

FASIT 1 1.110 a) 1.111 a)

1.124 a) 1

b)

c) c)

b)

1.125 7 a) 3

1.112 a) ^ 2, 1, 0, 1, 2, 3` b) ^6, 8` c) ^1, 2, 3, 6, 9, 18` 1.113 a) 18 c) 12 1.114 a) 17 c) 32

1.126 a) 4 1.127 9 a) 10 6 c) 13

b) 80 d) −4 b) 17 d) 5

1.115 a) 10 c) 23

b) 16 d) 0

1.116 a) 24 c) 56

b) 9 d) 33

1.130 a) 3x 2y c) 2x 6y

1 2 4 d) 11 1 b) 3

1.122 2 a) 18

b)

c)

7 3

252

2 3

c)

6 5

b)

3 4

c)

4 3

b) 11 d)

6 25

b) 6a 5b d) a 5b

1.132 a) 5x 7y c) 8x y

b) 2a 4b 5c d) 2a 2b

1.133 a) 2a2 3

b) 5

1.134 a) 4x 2 c) 8 2x2

b) 2x2 8 d) 2x3 4x2 2x 4

b)

1.121 1 a) 2

1.123 a) 1

b)

1.131 a) 5 5x b) 11x 14 c) 2a 2ab 3b d) 3ab

1.117 a) F.eks. 3 5 4 6 b) F.eks. 4 5 3 6 c) F.eks. 5 4 3 6 1.120 1 a) 8 2 c) 3

1 12

1.140 12a 1 a) 4 1 c) 4

4 5 2 d) 27

b)

15 18

1 10 13 d) 6

b)

1 c) 4 c)

12 18

1.141 2x 5 a) 4x 20 x c) 6x 1.142 3x 1 a) 5x z 1 c) z 1.143 2a a) 5

21a 10 35 x 1 d) 6 b)

b)

7 x2 2x

b)

5y 8 12

b)

4b 1 3b

1.144 a) 6xy 2 a 1 c) 2ab

b) b 9x 2 d) 6

1.145 a a) b 1 x2 c) x2

x 2 y2 4 5y d) 2y

1.146 7 a) 9 1.147 15 4 x a) 5x 30

b)

b) 3

b) 2

1.135 2 a) a 2 2a 2ab 6b 3 b) a 2 4b2 1 3 3 c) a 2 ab b2 3 4 4

1.150 a) 16 c) 16 1.151 a) 27 128

b) 22 4

1.136 x 4, y 2, z 3

c) 5

d) 3 1

1.137 y og x

1.152 a) 4 1 c) 2

b) 16

b) 9 d) 4

1 3

1.153 a) 3

b) 25

1.154 3 a) 2 1.155 1 a) a 1.156 2 og 4

b) 2

b) a

n 1

1.160 4 a) 27x y c) 24

9 d) 64

1.161 8 a) 125 3 c) 2x

25 9 16 d) 25x 2

b) xy 4

b)

1.162 3 3 § 2· §5· 2

, ¨ 5 ¸ ¨ 2 ¸ , 5, © ¹ © ¹ §2· ¨5¸ © ¹

0

1

§2· §2· ,¨ ¸ ,¨ ¸ ©5¹ ©5¹

1.163 25 a) 9

2

1.170 3,4 106 og 34 105 34 000 000 og 0,34 108

1.183 a) 1,24 c) 2,01

b) 1,66 d) 2,30

1.171 a) 7,5 1016 c) 1,28 10 7

1.184 a) a c) 0,1

b) 20 d) 400

b) 3,4 107 d) 4,0 10 6

1.172 a) 3 108 m/s b) 9,11 10 31 kg c) 9,46 1015 m d) 1,6 10 19 C 1.173 a) 1) 7,6 10 9 m 2) 3,589 106 kg 3) 3,153 104 s b) 1) 1,238 1011 kgm 2) 1,474 103 kgm/s 3) 1,425 10 15 kgm/s2 1.174 a) 1,2 103 c) 9,4 1022

b) 7,7 106 d) 4,5 10 8

1.188 a) 1) 5801 K 2) 5528 qC b) 1) 254 K 2) 19 qC 1.190 a) 1) 3 3) 25

1.192 a) 3 c) 1,12 e) 1,22

1.177 a) 5 109 b) 10 000

1.164 1 a) 7 c) 2a9

b) 9b

1.165 a) 1 c) 12

1.178 a) 876 000 timer 8,76 105 timer b) Én undervisningstime er mer enn ett mikroårhundre.

1 mikroårhundre er 0,876 timer.

b)

4 x2

b)

2a 3 b5

c) 40

2) 4 4) 16 b) 4 3 d) 2 b) 0,71 d) 0,25 f) 656,14

1.193

1.167 x5 4 y5 1.168 a) 7200 c) 0,01

1.187 2,00 cm

c) 2 1.176 5 105

b) 37

1.186 a3 b4

1.191 a) 2

1.175 3 10 23 g

y10 b) 5 x

1.166 a7 a) 3 b

1.185 a) 7 c) 20

b) 0,36 d) 8,1

1.179 a) 1,42 1027 m3 b) 1,4 103 kg/m3 1.180 1 a) 2 9 c) 13 1.182 a) 2 c) 2 e) 2

b)

3 5

d) 5

b) 5 d) 1 f) 100

4

a) 2 3 c) 1

b) 3 d) 2

1.194 a) 3 a

b)

a

1.195 a) 3 3 c) 2 6

b) 0

1.196 1 a) 1) 25

2)

b) 1) 2 2) 4 8 d) 1) 6 719 2) 4 3

5 8

73 6 7

253

1.197 a) 138 K

1.213

b) 9 AE

1.200 a) 9 b) a2 b 3 1.201 1 a) 2 1.202 1 a) 2 7 c) 15 1.203 a) 2 c)

b)

2 3 24 d) 7

b)

b)

3a 6 1 4a

1.204 a a) 4 1.205 9x 4 a) 18

11 15

b)

b)

1.207 a) 0 c) 5

b)

11b 18 12 7 y 18 6y x 8

2.116 1 L 20 2.117 6 kg 2.118 56 000 kr

b) 4a

1.218 24

3

2.119 d) x 39

1 3

2.120 a) x 2 og y 3 b) x 3 og y 5

1 3 2

x y

1 3

c) x 2 og y

1.221 4 15

11 12

1.223 x 1, y

b) 17

3 2

1.224 a 5

2)

1 a

b) 1) 3,92 10 9 2) 5,50 1013 c) 1) x 2) 1

2.111 a) t 3 c) s 1

2

2

og y

5 3

2.123 Kari er 20 år, og Ola er 42 år.

2 2.110 a) x 2 c) x 5

1

1

2.121 a) x 2 og y 1 b) x 1 og y 2 c) x 1 og y 1 5 d) x 1 og y 2 2.122 a) x 1 og y 1 b) s 2 og t 1 c) x 1 og y 2

1.222 a) 1,6 km b) 8,0 106

1.211 1,5 1017

4 9

2.115 Den 28. i måneden

1.215 y4 x5

x 2 y

b) x

2.114 30 studenter

d) x

1.210 a) 1,28 s b) 8 min 19 s

254

2.113 a) x 2

1.220 x5 y 2

3

1.208 Rute A: 7x 6y 1 Rute B: 5x 2y 1

1.212 a) 1) 9

2) 1

1.216 y10 4x2

3 2x

b) t 6 1 d) s 2

c) s 1

1.214 a) 1) 1 2) 2x5 b) 3 109 c) 1) 3 81 2) 2

1.219 b)

2.112 a) x 1

2) a

1.217 a) 24x2

1.206 1 a) 16

1.209 a) 15

1 a) 1) 3 b) 1) 4

b) x 4

b) t

1 6

2.124 1 kg epler: 24 kr 1 kg appelsiner: 21 kr 2.125 Te: 32 kopper Kaffe: 26 kopper

2.126 3 katter og 9 høner 2.127 135 kr (1 sekk bjørkeved: 75 kr 1 sekk granved: 60 kr) 2.128 112,5 km 2.129 a) 40 L av 80 %-oppløsningen og 10 L av 50 %-oppløsningen b) 200 g av den første legeringen og 100 g av den andre 2.130 a) 72 km/h

b) 20 m

2.139 a) P 0, 0003 v 3 S r 2 b) 8 ganger større P c) A 0, 0003v 3 2.150 3 a) x ! 2 b) x !

2 13 c) x 2 2.151 a) x 2 b) x ! 0

b) 17 m

2.153 a) x 0 b) x 1

2.132 a) 1224 km/h

b) 2380 m

2.154 a) z 0

2.133 a) 436 kg 11 880 v b2 2) 165 cm

b) 1) k

11 880 v k 2) 182 cm

c) 1) b

2.134 2E v m

2.136 a) 2,5 m/s2 c) 60 m 2.137

v 2 v02 2s b) 3,0 m/s2

a) a

b) 20 m d) 72 km/h

^x, y, z, u, v, w` ^x, y, z, u, v, p, q` ^x, z, u, v`

^0, 1, 2, 4`, C \ A ^7` ^6, 7, 8, 9`, B ^0, 1, 2, 7, 8, 9`

A\C c) A

2.173 a) A B 4 3 17 d) t 10 b) x d

c) y ! 2 2.155 a) x t 8

b) x d 4

c) x ! 1

d) x d

7 2

2.156 Etter ett år (12 måneder) 2.157 Når det har gått mer enn 10 minutter.

2.135 a) 1) 1,5 km 2) 1,3 km b) 1 time, 90 km

2.171 a) A B A C b) A B B C

2.172 a) A B ^3, 4, 5`, B C ^3, 5`, A B ^0, 1, 2, 3, 4, 5, 6`, B C ^3, 4, 5, 6, 7` b) A \ B ^0, 1, 2` , B \ A ^6`,

2.152 a) x t 3 b) x t 6 c) x t 1

2.131 a) 1,7 cm

2.170 a) A B ^0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7` A B ^3, 5` b) A B C ^0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9` A B C ^5`

A B A C

^0,1, 2, 3`, ^ 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4`, ^0, 2, 4`,

^ 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8`, ^4`, B \ A ^ 2, 1` b) ( A B) C ^ 2, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8`, ( A B) C ^ 2, 0, 2, 4` c) ( A B) ( A C ) ^0,1, 2, 3, 4` d) ( A B) ( A C ) ^0, 2` B C A\B

2.174 A og B, C og D. 2.175 A ^3, 4, 5`

2.160 a) ª¬0 , 5

b) 1, o

c) m,2º¼

d) 3, 2

2.161 a) m,0

b) 3, 3º¼

c) ª¬ 1, o

d) 2, 3

2.164 a) c) e)

2.177 a) A C [ 2, o² , B C \ b) B C [1, 5² , A C c) \ \ B [5, o² , \ \ C ¢m, 1²

b) d) f)

2.178 A\B

2.176 a) [2, 7² c) ^4`

b) ¢m, 3² d) [1, o²

255

2.179 a) A

B

2.206 a) x 3 og y 2 b) Pærer: 20 kr per kg Bananer: 24 kr per kg

C b) A

B

C c) A

2.205 x 2 og y 1

B

2.207 Barnebillett: 24 kr Voksenbillett: 48 kr 2.208 b) x 0,75, y 0,25, 0,75 L lettmelk og 0,25 L helmelk 2.209 A: 56 kg, B: 68 kg, C: 62 kg

C d) A

B

2.210 82 personer 2.211 2A a b

2.180 a) 15 x 28 c) 5 x 6 2.181 a) 2 x 1 c) 3 y 2

b) 2 x 1 d) 1 d x d 1 b) 1 x 1 2 1 d) x 3 2

2.182 2dx 4 2.183 x d2 2.200 a) x 8 c) x 2 2.201 216 sider 2.202 7 13 2.203 76 jordbær 2.204 3 2

xt

256

2.212 2h t g

2.214 J T 2 M R 3 4 S2 b) P

b) x 4

2.218 a) 90 qC c) Etter 30 min e) Etter 15 min

2.224

k T 2 4S2 2) Ca. 36 000 km (35 850 km)

a) 1) r

3

4 S2 r 3 k 2) 2 351 437 s = 27,2 døgn, månen

b) 1) T

2.227 a) x ! 1

b) 3 x d 6

2.228 a) x ! 5

b) 2 x 4

2.229 a) b)

U2 R

2.217 a) 1,5 mm 2,1 d b) t 0, 01 c) 3,5 min

2.223 x 4 og y 1

2.226 a) Ingen løsning b) x ! 1

2.213 v2 R M J

2.216

2.222 a 1

2.225 c) Ca. 13 milliarder år 4,113 1017 s

h C

2.221 a) 2 232 000 L b) 930 favner c) 37 200 d) Effekten dobles.

210 100d

b) 58 qC 90 T d) x 1, 6

2.219 a) 1) 11 400 kr 2) S 6000 600x b) 1) 10 500 kr 2) B 16 800 700x

2.230 a) A B ª¬3, 5º¼ A C ª¬0, 2

B C b) A B ª¬0, 6 A C 1, 5º¼ B C 2.231 a) A \ B

1, 2 ª¬3, 6

^0, 1, 2, 3, 9, 10` ^0, 2, 4, 6, 8, 10` b) B C ^0, 2, 10` c) B C ^0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10` B C ^1, 9` A\C

2.233 A B C

3.124 a) y 2 x 1

2.234 A B C

c) y x

3 2

2.236 Abonnement B er hverken det billigste eller det dyreste når databruken er mellom 1,5 GB og 2 GB. 2.237 1 x d 8 2.238 x 4

1 2

d) y

3.110 Linjene er parallelle.

3.111 1, 3

c) 44 L e) 75 mil

3.126 a) y 3x 3 b) y 3x c) y 3x 6

3.150 a) x ! 2 c) x t 2

b) x ! 1 d) x d 2

3.127 y 2x 4

3.151 a) Før 5 min b) Etter 10 min

b) y 4x 7

3.133 b) y 0,10t

3.114 a) Stigningstall 1, konstantledd 3 b) Stigningstall 2, konstantledd 2 c) Stigningstall 2, konstantledd 4

3.140 a) x 6

b) x 2

3.141 a) x 2 og y 1 b) x 1 og y 2

3.120 a) y 2 x

3.142 x 3 og y 4 3.143 c) 22,5 liter

1 x 4

b) y

c) x 2

3.145 a) Hans: 24 000 1200x Grete: 8000 800x b) Etter 8 måneder, 14 400 kr

3.122 1 y x 2 2

3.123 a) 1 c) 1

d) 40 mil

3.144 a) y 600x 14 000 c) 23 000 kr d) 28 timer

3.121 a) y 3

b) 1 1 d) 2

b) 5 x 6

3.153 a) 2 x 1 c) 3 y 2

b) 1 x 1

c) f (2)

3.115 b) y 3, y 5

c) y

3.152 a) 2 x 1 c) 1 d x d 1

3.160 a) f (2) 1, f (0) 1, f ( 2) 17 b) f (2) 1, f (0) 1, f ( 2) 5

3.134 a) y 30x

1 x 2 2 1 x 3 3

3.147 a) I) y 25x 16 000 II) y 50x 14 000 b) 80, 18 000 kr 3.148 a) 60 L d) 37,5 km

3.125 a) y x 3 c) y x 2

3.128 a) Du må velge punktene E og Æ. b) Stigningstallet blir 4. c) Konstantleddet blir 21. d) Du må velge punktene D og Ø. e) Stigningstallet blir 4. f) Konstantleddet blir 15.

3

b) y

1 3 1

3

b) y x 1

3.146 a) 1) 1,5 km 2) 1,3 km b) Etter 1 time, 90 km

2 , 3

f (0) 0, f ( 2) 2

3.161 a) 1) f (0) 3 2) f (2) 5 b) x 3 eller x 1 c) V f ª¬ 4,12¼º 3.162 a) 1) f (0) 0 2) f ( 1) 5 b) x 1 eller x 3 c) V f ª¬ 5, 4 º¼ 3.163 a) b 0

b) b 1

3.164 b) DB ª¬0, 120 º¼ c) VB ª¬0, 60 º¼ d) Ja 3.165 a) 0, 20, 60, 120, 200, 300 b) DS ^1, 2, 3, 4, 5, 6` c) VS d) Ja

^0, 20, 60, 120, 200, 300` 257

3.166 a) Funksjon b) Ikke funksjon c) Funksjon 3.167 a) Ikke funksjon b) Funksjon 3.168 a) f (x ) 4 x b) f (x ) 2 x 2 3 3.170 b) f ( 3) 4, f ( 1) 0 og f (2) 9 3.171 b) x 3 og x 1 c) Bunnpunkt: 1, 4 d) V f ª¬ 4, 21º¼ 3.172 b) x 1 og x 5 c) Toppunkt: 2, 9 d) Vg m, 9º¼ 3.173 b) x 2 og x 6 c) Bunnpunkt: 2, 16 d) V f ª¬ 16, o 3.174 a) 2) x 5 og x 1 3) 2, 9 4) ª¬ 9, o b) 2) 2, 1 3) m, 1º¼ c) 1) a ! 0 2) a 0 3.175 a) 2) x 4 og x 2 3) 1, 9 4) b) 2) 3)

ª¬ 9, o x 2 og x 4 1, 9

4) ª¬ 9, o 3.176 Nullpunkter: x 0, x 6 Toppunkt: 4, 32 Bunnpunkt: 0, 0 Verdimengde: V f 49, 32

258

3.177 a) 0 m/s b) 102 m/s c) 367 km/h v02 v02 e) s 2 9, 8 19, 6 3.200 y x 3, y

3.214 b) 128 studenter c) 195 studenter 3.215 20 0, 4 x ! 14 0, 8 x , x 5, etter 5 timer er det varmest i Bergen.

3 x 2 2

3.202 y 3x 1 3.203 a) y x 2 c) Linja går ikke gjennom punktet 3, 6).

3.204 a) y 2x 3 c) y 2x 3

b) y 2x 7

3.205 x 2 og y 1

3.208 Er parallell

c) Nei e) 1

3.213 b) 30,5 cm c) Skostørrelse 33 d) Skostørrelse 35

c) 1 s

3.221 b) 1824 kWh, 1830 kWh c) I juli (måned nr. 7), 1044 kWh d) 285 kWh f) I juli, 1949 kWh

3.209 a) x 1 og y 3 b) x 3

3.212 a) T 92 1,2x b) K 86 0,8x d) Etter 15 min

3.218 b) x 7 og x 1 c) Bunnpunkt: 3, 16 d) V f ª¬ 16, o

3.220 b) Begynnelsen av februar (uke nr. 10), 12 qC c) T(30) 52 qC, lite sannsynlig

3.207 x 2 og y 4

3.211 a) 47,5 qC T 16 d) t 4, 2

3.217 a) 1) f (0) 1, 5 2) f (2) 2, 5 b) x 3 og x 1 c) Bunnpunkt: 1, 2

3.219 b) 10 m d) 2,4 s

3.206 x 2

3.210 b) 90q d) Ja f) 1

3.216 a) Kl. 12.30 x 12,5 b) Kl. 12.30, 0 qC

3.222 b) 15. mars c) 12. mars, 29 cm

c) 15 min

4

e) 20 min

4.110 a) x2 16x 64 b) x2 81 c) x2 10x 25 d) 9x2 1 4.111 a) 9x2 12x 4 b) 16y 2 16y 4 c) 16a2 16a 4 d) 9 t 2

4.112 a) 8x 32 c) 3t 2 1

b) 8x d) 12t 15

4.131 a) c 129 c) c 25

4.113 a) 1 c) 5

b) 1 d) 40

4.132 a) b 10 eller b 10 b) b 6 eller b 6

4.114 a) 899

b) 2496

4.115 a) 891 c) 384

b) 361 d) 484

4.116 a) 2809 c) 1225

b) 1596

4.120 a) 3x 2x 1 b) xy x y c) 2t 2 8t 3 2t 2 1 4t d) 27a2b2 a 2b 4.121 a) 8 x 2 2 b) 3xz y 5 c) Kan ikke faktoriseres d) x 2z 2 2x 2 3z 4.122 a) a b a b b) 2 x2 4 2 x 2 x 2 c) Kan ikke faktoriseres d) 10 9xy 2 10 9xy 2 4.123 a) x x 4 c) 5 2a 1

b) y 4 y 2 d) 5x x 2y

4.124 a) x 4 x 4 b) Kan ikke faktoriseres c) 8a a2 4 8a a 2 a 2 4 ·§ 1 4· §1 d) ¨ x ¸ ¨ x ¸ 3 ¹© 2 3¹ ©2 4.130 a) x 1 x 3 b) x 2 x 5 c) x 6 2 d) y 7 2

4.140 2 a) 3x

b) c 169 d) c 49

b)

3x 3 x

4.141 Feil forkorting i siste utregning, skal være: 27a 12 3 9a 4 9a 4 12a 4a 3 4a 4.142 x2 1 a) 2(x 1)

5 b) x 1

c) Kan ikke forkortes d) x 2 4.143 3x 2 a) 2 x x 2x c) 2 x 4 4.144 2 a) x 1 5 c) x 4.145 2 a) x 6 2x b) 1) x 6

x 5 2x 2 5a 3 d) 2 2a 6a b)

b) 3x 6 d)

x x 1

2)

x 6 x 6

4.146 a) x 1 x 4 3x b) x 1 4.147 x 1 b) 2 x 3x 2 4.148 x 3 a) b) 3y x 1 3 4 4 4§a · c) a 1 9 3 3 ¨© 3 ¸¹ (x 1)(x 2) d) 6

4.150 a) x 0, x 6 b) x 0, x 4 c) x 0, x 5 d) x 1, x 3 4.151 a) x 4, x 4 1 1 b) x , x 3 3 c) x 1, x 4 4.152 a) x 2, x 5 b) x 1, x 7 c) x 3, x 5 4.154 k r4 4.155 a) x 5, x b) x 4, x c) x 3, x d) x 1, x

0, x 5 0, x 3 3 0, x 1

4.160 a) x 4 eller x 2 x 4: V.s. = h.s. = 0 x = 2: V.s. = h.s. = 0 b) x 3 eller x 4 x = 3: V.s. = h.s. = 0 x = 4: V.s. = h.s. = 0 c) x 10 eller x 15 x 10: V.s. = h.s. = 0 x = 15: V.s. = h.s. = 0 d) x = 25 eller x = 1 x = 25: V.s. = h.s. = 0 x = 1: V.s. = h.s. = 0 e) x = 2 eller x = 5 x = 2: V.s. = h.s. = 0 x = 5: V.s. = h.s. = 0 f) x 7 eller x 3 x 7: V.s. = h.s. = 0 x = 3: V.s. = h.s. = 0 4.161 1 x eller x 3 2 4.162 13, 14, 15, 16

259

4.163 Lengden er 48 cm, og bredden er 36 cm.

4.181 a) 2 x 3 x 2

4.164 Lengden av de store kakene er 7 cm, og lengden av de små kakene er 5 cm.

c) 3 x 1 x 4

4.165 Kl. 08.00 4.166 a) 2 løsninger: c 1 1 løsning: c 1 Ingen løsning: c ! 1 4.167 a) 2 løsninger: a 4 1 løsning: a 4 Ingen løsning: a ! 4 4.168 1 a) x eller x 3 2 b) x 4 eller x 1 1 1 c) x eller x 3 2 2 d) x 3 4.170 a) x 1 og y 3 eller x 3 og y 5 b) x 1 og y 0 c) x 1 og y 2 eller x 2 og y 1 d) x 2 og y 2 eller x 4 og y 4 4.171 a) x 4 og y 3 eller x 3 og y 4 b) x 3 og y 8 4.172 38 år, 38 år og 44 år 4.173 7 og 19 4.180 a) x 1 b) x 2 c) x 1 d) x 2

260

b) 2 x

1 2

d) x

1 2

x

2x 1 x 2

1 3

d) x eller x !

1 4

4.183 2 1 a) 9 x x 3

3

3x 2 3x 1

b) Kan ikke faktoriseres. c) t

2 3

2

d) s s 7 s 1 4.184 a) For eksempel: x2 11x 18 og 2x2 22x 36 b) For eksempel: x2 x 20 og 2x2 2x 40 4.185 3x a) 2 x 2x 1 2 x 3x 2 b) 2 2x 8x 8 4.186 a) x 2 x 4 3x b) x 4 4.190 a) 0 x 2 b) 1 x 2 c) 1 x 6 3 1 d) x eller x !

2 2 4.191 a) x 5 eller x ! 3 b) x 1 eller x ! 10 1 2

x 1 3 2

d) x

1 3

e) x 2 eller x ! 9

3 2

4.193 a) 1 x 8 b) x 0 eller x ! 4 c) 3 x 3

4.182 a) 2 x 2 x 3 b) 3 x2 2x 2 c) 5 t 2 t 2 d) 2x 1 x 2

c)

x 2 x 4 x 3 x 5

x 2

4.192 a) x d 2 eller x t 6 b) 3 d x d 2 c) x 5 eller x ! 3

4.194 Kristin var mellom 7 og 11 år (7,08 år < x < 11,09 år).

4.195 a) 2 løsninger: b 10 eller b ! 10 1 løsning: b 10 eller b 10 Ingen løsning: 10 b 10 4.200 a) 2x2 4x 2 b) 4x 4.201 a) 10a 26 b) a2 24a 4.202 4 4.203 a) 2499 b) 4896 4.204 112 4.207 x 6 x 7 4.208 a 3, b 4 eller a 4, b 3 4.209 Ja. Dette fordi x2 8x 16 x 4 4.210 x 2 4.211 3 x 4

2

4.212 3x 3 x 1 4.213 2 x a) 2x

1 når vi setter inn 2 x 1. Vi har jo bare forenklet uttrykket så svarene blir de samme når vi setter inn et bestemt tall.

b) Svaret blir

4.214 1 a b) 2a 4.215 a 2 b2 er størst. a b 4.216 a) x 1, x 4 b) x 1 eller x ! 4 4.217 Ja, når sidene har lengdene 3, 4 og 5.

4.219 a) x 2 og x 6 2 x 7 b) c) x 6 x 4.220 a) x 5 2 c) x 3

b)

x 5 x

4.221 5m 4.222 x 2, x 0, x 3 4.223 a) x 3 , x 3 b) x 2, x 2 c) x 3, x 1, x 1, x 3 4.224 x 6, x 2, x 6 4.225 0, 22 s t 1, 82 s

4.226 x d 1 eller x t 3

4.242 15t 2 45t 15t t 3

4.227 1 b) d x d 2 2

4.243 t 2 og h 40 eller t 4 og h 40

4.229 a) x 1 eller x ! 3 b) a 2, b 4 og c 6 c) Ingen løsning 4.231 a) 2 løsninger: a 9 1 løsning: a 9 Ingen løsning: a ! 9 2 b) x 3 4.232 a) 2 løsninger: c 16 1 løsning: c 16 Ingen løsning: c ! 16 b) x 4 4.233 x 2 og y 1 eller x 4 og y 3 4.234 a) x 2 og y 3 b) x 2 og y 3 4.235 x 1 og y 4 eller x 4 og y 1

5 5.110 a) 1) f (0) 4 2) f (1) 2, 5 b) x og x 2 c) Toppunkt: 1, 4,5 5.111 b) Kl. 12.30 c) Kl. 05 og kl. 20 d) Før kl. 10 og etter kl. 15 5.112 b) x og x 4 c) Bunnpunkt 3, 27 5.113 a) K(800) 102 000 I(800) 105 600 O(800) 3600 d) x 600 eller x 1400 e) x 1000, 4800 kr 5.114 a) 100 kr, 49 kr d) 40, 2560 kr

4.236 a) x 2 og y 6 eller x 6 og y 2 b) Sidene er 2 cm og 6 cm.

5.120 2 a) x 1 x 1 1 4.237 b) x 2 x 2 2 a) 25 x 1 c) x 9 x 3 b) x 1 og y 3 eller x 3 og y 5 4.239 2 løsninger: b 6 eller b ! 6 1 løsning: b r6 Ingen løsning: 6 b 6 4.240 1 1 d x 0 eller x t 3 3 4.241 b) v0 10 m/s, t 5 s

5.121 a) x2 2x c) x2 3x 2

b) x2 4 d) x2 3

5.122 2 a) x 2 2 x 3 x 1 1 b) 2 x 2 5x x 2 c) x 3 2 x 2 2 x 4 d) x 2

a x a

2 x 2

261