Grunnleggende matematikk. Oppgaver og løsninger av Pettersen og Rekdal (utdrag)

Page 1


Grunnleggende matematikk.

Oppgaver og løsninger

Forord

Matematikk oppfattes som vanskelig for mange studenter. Og en del studenter mangler grunnleggende matematikkunnskaper fra videregående skole. Mange universitet og høyskoler arrangerer derfor forkurs i matematikk for kommende studenter som ønsker ekstra faglig påfyll med grunnleggende emner innen matematikk, før studiene starter.

Denne oppgave- og løsningsboken og den tilhørende teoriboken med tittelen Grunnleggende matematikk, er ikke bare ment for å brukes i forkurs, men også som et oppslagverk for grunnleggende tema innen matematikk som ofte forutsettes kjent og dermed ikke gås gjennom i detalj når studiene starter.

1:01

VIDEO

Har du lyst å se en video med en hilsen fra forfatterne?

Molde, mars 2025

Bård-Inge Pettersen Per Kristian Rekdal

Vedlegg A Logikk og Vedlegg B Mengdelære er tema som anbefales å tas med dersom man har mer enn én uke til disposisjon. Disse vedleggene kan eventuelt tas som et selvstudium.

Symbolene i logikk samt mengdelære er tema som brukes både direkte og indirekte i matematikk. Derfor er det fint å ha et sted å kunne slå opp i. Dette er en av grunnene til at disse temaene er tatt med.

Inndeling

Dersom man ønsker å gjennomføre temaene i boken i løpet av fem dager, er følgende progresjon en mulighet:

09:15 – 10:00 info + oppstart

10:15 – 11:00 teori

11:15 – 12:00 teori

Dag 1 – Pause –

13:15 – 14:00 teori

14:15 – 15:00 teori

15:15 – 16:00 teori

09:15 – 10:00 gjennomgang oppgaver

10:15 – 11:00 gjennomgang oppgaver

11:15 – 12:00 gjennomgang oppgaver

Dag 2 – Pause –

13:15 – 14:00 teori

14:15 – 15:00 teori

15:15 – 16:00 teori

09:15 – 10:00 gjennomgang oppgaver

10:15 – 11:00 gjennomgang oppgaver

11:15 – 12:00 gjennomgang oppgaver

Dag 3 – Pause –

13:15 – 14:00 teori

14:15 – 15:00 teori

15:15 – 16:00 teori

09:15 – 10:00 gjennomgang oppgaver

10:15 – 11:00 gjennomgang oppgaver

11:15 – 12:00 gjennomgang oppgaver

Dag 4 – Pause –

13:15 – 14:00 teori

14:15 – 15:00 teori

15:15 – 16:00 teori

Kap 1 – Tallmengder og operasjoner

Kap. 2 – Grunnleggende algebra

Kap. 3 – Brøk og prosent

Kap. 1 – Tallmengder og operasjoner

Kap. 2 – Grunnleggende algebra

Kap. 3 – Brøk og prosent

Kap. 4 – Potenser

Kap. 5 – Kvadratrot

Kap. 4 – Potenser

Kap. 5 – Kvadratrot

Kap. 6 – Algebraiske ligninger

Kap. 6 – Algebraiske ligninger

Kap. 7 – Faktorisering av polynomer

Kap. 8 – Ulikheter

GeoGebra og kunstig intelligens

GeoGebra

GeoGebra er et gratis, dynamisk matematikkprogram som kombinerer geometri, algebra, kalkulus og statistikk. I denne boken er GeoGebra en del av det som skal læres. Studentene oppfordres til å bruke GeoGebra for å løse og sjekke matematiske oppgaver.

Kunnskap og ferdigheter som skal læres, er blant annet:

• Vite hva GeoGebra kan brukes til som er relevant for pensum.

• Ha ferdigheter til å kunne implementere de fleste eksemplene i denne boken i GeoGebra.

• Ha et kritisk forhold til svaret som GeoGebra gir.

Boken har skjermbilder av GeoGebra som viser hvordan oppgaver kan løses.

Figur 1 GeoGebra – slå sammen brøker.

Studentene oppfordres til å ha et kritisk blikk på svaret man får, og ikke stole blindt på GeoGebra. I eksempelet med brøk i figur 1 ser vi at brøken kan forenkles ytterligere, dvs. svaret som GeoGebra gir, er ufullstendig.

Vi ønsker at studentene skal tilegne seg kunnskaper og ferdigheter til å avsløre

• ufullstendigheter

• mangler

• feil

som kan oppstå ved bruk av GeoGebra. Det er totalt 14 skjermbilder fra GeoGebra i denne boken.

Kunstig intelligens – ChatGPT

Også kunstig intelligens oppfordres studentene til å bruke som hjelpemiddel for å løse oppgaver i matematikk. Boken har skjermbilder av ChatGPT som viser hvordan oppgaver kan implementeres. Figur 2 er et eksempel på dette.

Figur 2 ChatGPT – slå sammen brøker.

Som for GeoGebra, man må ha kunnskap og ferdigheter i matematikk for å

• kunne implementere spørsmålet på en hensiktsmessig måte i ChatGPT

• kunne styre språkmodellen på rett vei dersom den misforstår

• avsløre feil

• forstå hvilke typer problemer KI egner seg for

O-3�5Sorteringavbrøker37

O-3�6Kansellering37

O-3�7Brøkermed - og/igjen37

O-3�8Addisjonogsubtraksjonavbrøker38

O-3�9Ulikenevnere38

O-3�10Ulikenevnereigjen39

O-3�11Forkortingavbrøker39

O-3�12Forkortingavbrøkerigjen39

O-3�13Tallsomprosent40

O-3�14Prosentsomtall40

O-3�15Sko41

O-316Pærebrus41

O-3�17Jenteroggutter41

O-3�18Politiskeparti42

O-3�19Renteogprosentvistvekst43

O-3�20Temperaturogprosentvisendring43

4 Potenser 45

O-4�1Potenser45

O-4�2Potenser–multiplikasjonogaddisjon45

O-4�3Potenser–utenhjelpemidler,brukkunhodet46

O-4�4Standardform46

5 Kvadratrot 49

O-5�1Kvadratrot–teori49

O-5�2Kvadratrot–tall49

O-5�3Kvadratrot–ligning50

O-5�4Kvadratrotigjen–tall50

O-5�5Eksakt–ikkedesimalform50

O-5�6Inverseoperasjoner–tall51

O-5�7Inverseoperasjoner–bokstaver51

O-5�8Regneregler–tall52

O-5�9Regneregler–symbol52

O-5�10Kvadratrøtter–sumogdifferanse53

O-5�11Kvadratrotavproduktogbrøk–tall53

O-5�12Kvadratrotavproduktogbrøk–bokstaver53

O-5�13Kvadratrot–tall54

O-5�14Produkt–bokstaverogtall54

O-5�15Brøk–tall55

O-516Brøk–bokstaver55

6 Algebraiske ligninger 57

O-6�1Koordinatsystemer57

O-6�2Ligningeroggeometriskeobjekter57

O-6�3Algebraiskeligningerogløsningsmengden L 57

L-3�14Prosentsomtall103

L-3�15Sko103

L-3�16Pærebrus104

L-3�17Jenteroggutter104

L-3�18Politiskeparti105

L-3�19Renteogprosentvisvekst106

L-3�20Temperaturogprosentvisendring107

4 Potenser 108

L-4�1Potenser108

L-4�2Potenser–multiplikasjonogaddisjon108

L-4�3Potenser–utenhjelpemidler,brukkunhodet109

L-4�4Standardform109

5 Kvadratrot 110

L-5�1Kvadratrøtter–teori110

L-5�2Kvadratrot–tall110

L-5�3Kvadratrøtter–ligning110

L-5�4Kvadratrotigjen–tall111

L-5�5Eksakt–ikkedesimalform112

L-5�6Inverseoperasjoner–tall112

L-5�7Inverseoperasjoner–bokstaver112

L-5�8Regneregler–tall112

L-5�9Regneregler–symbol113

L-5�10Kvadratrøtter–sumogdifferens113

L-5�11Kvadratrotavproduktogbrøk–tall113

L-5�12Kvadratrotavproduktogbrøk–bokstaver113

L-5�13Kvadratrot–tall114

L-5�14Produkt–bokstaverogtall114

L-5�15Brøk–tall114

L-5�16Brøk–bokstaver114

6 Algebraiske ligninger 115

L-6�1Koordinatsystemer115

L-62Ligningeroggeometriskeobjekter115

L-6�3Algebraiskeligningerogløsningsmengden L 115

L-6�4Formelleløsningsmengder118

L-6�5Klassifiseringavalgebraiskeligninger118

L-6�6Transformasjoner–lineæreligninger119

L-6�7Transformasjonerigjen121

L-6�8Sjekkavsvar123

L-6�9Kvadratrot125

L-6�10Kvadratog2�potens126

6 Algebraiske ligninger 57

O-6.1 Koordinatsystemer

O-6.2 Ligninger og geometriske objekter

O-6.3 Algebraiske ligninger og løsningsmengden L

O-6.4 Formelle løsningsmengder

O-6.5 Klassifisering av algebraiske ligninger

O-6.6 Transformasjoner – lineære ligninger

O-6.7 Transformasjoner igjen

O-6.8 Sjekk av svar

O-6.9 Kvadratrot

O-6.10 Kvadrat og 2. potens

O-6.11 Kvadrat og test

O-6.12 To føringsmåter

O-6.13 Lineære ligninger med to variabler

O-6.14 Lineære ligningssystem

O-6.15 ABC-formelen

O-6.16 ABC-formelen

7 Faktorisering av polynomer 67

O-7.1 Fundamentalsetningen for aritmetikk

O-7.2 Fundamentalsetningen for algebra

O-7.3 Fundamentalsetningen for algebra

O-7.4 Faktorisering og nullpunkter

O-7.5 Kvadratsetningene og faktorisering

8 Ulikheter 71

O-8.1 Ulikheter – transformasjoner

O-8.2 Algebraiske ulikheter

O-8.3 Polynomulikheter

O-8.4 Ulikheter med rasjonale uttrykk

O-8.5 Ukjent x og kvadrering

O-8.6 Ulikheter med rasjonale uttrykk

O-8.7 Absoluttverdi og ligninger

O-8.8 Absoluttverdi

A Logikk 77

O-A.1 Ord → matematikk

O-A.2 Logiske utsagn og konnektiver

O-A.3 Logiske utsagn og konnektiver

O-A.4 Kvantorer – ord → matematikk

O-A.5 Kvantorer – matematikk → ord

O-A.6 Kvantorer – matematikk  ord

B Mengdelære 81

O-B.1 Konstruksjon av tallmengder

O-B.2 Konstruksjon av løsningsmengder

O-B.3 Konstruksjon av delmengder

O-B.4 Disjunkte delmengder – partisjoner

O-B.5 Mengde, løsningsmengde

Oppgave O-1.3 Teori for naturlige tall

Naturlige tall og etterfølgere

Vite hvor mange naturlige tall som finnes

Naturlige tall, etterfølger

a) Hva betyr det at ethvert naturlig tall har en etterfølger? (Én setning er nok.)

b) Hvor mange naturlige tall finnes det?

c) Produktet av to naturlige tall, hva slags type tall blir det?

Oppgave O-1.4 Hele tall

Mengdenotasjon og hele tall

Utvidelse av hele tall

Hele tall, utvidelse, mengde, notasjon

a) Hvorfor er det rimelig å si at de hele tallene  er en utvidelse av de naturlige tallene ?

b) Skriv opp de hele tallene  med mengdenotasjon.

c) Gi et eksempel på et helt tall som ikke er et naturlig tall.

Oppgave O-1.5 Hele tall og avledet operasjon

Vite hva som menes med avledet operasjon

Hele tall, addisjon, subtraksjon, avlede

a) Eksempel:

10 + ( 3) = 10 3 = 7

Bruk dette eksempelet og forklar kort hva det betyr at operasjonen subtraksjon er avledet fra addisjon.

b) Gi et lignende eksempel som lign.(O-1.1) på at subtraksjon er avledet fra addisjon.

Oppgave O-1.6 Hele tall fortegn

Multiplikasjon og fortegn ved multiplikasjon av hele tall

Fortegn, hele tall

Regn ut:

a) ( + 3)( + 7)

b) ( + 3)( 7)

c) ( 3)( + 7)

d) ( 3)( 7)

Oppgave O-1.7 Teori for rasjonale tall

Vite hvorfor man trenger å utvide tallmengdene fra hele tall når man har brøk

Vite hva en delmengde er

Kunne visualisere sammenhengene mellom rasjonale tall, hele tall og naturlige tall via Venn-diagram

Rasjonale tall, utvidelse, delmengder, Venn-diagram

a) Eksempel: 4 : 9 = 4 9 (O-1.2)

Bruk dette eksempelet til å begrunne hvorfor vi trenger en ny type tall som ikke er et naturlig tall  eller et helt tall 

b) Hva betyr det at  ⊆  ⊆ ? Én setning er nok.

c) Tegn et Venn-diagram som illustrerer

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.
Grunnleggende matematikk. Oppgaver og løsninger av Pettersen og Rekdal (utdrag) by Cappelen Damm - Issuu