Grunnleggende matematikk.
Oppgaver og løsninger
Forord
Matematikk oppfattes som vanskelig for mange studenter. Og en del studenter mangler grunnleggende matematikkunnskaper fra videregående skole. Mange universitet og høyskoler arrangerer derfor forkurs i matematikk for kommende studenter som ønsker ekstra faglig påfyll med grunnleggende emner innen matematikk, før studiene starter.
Denne oppgave- og løsningsboken og den tilhørende teoriboken med tittelen Grunnleggende matematikk, er ikke bare ment for å brukes i forkurs, men også som et oppslagverk for grunnleggende tema innen matematikk som ofte forutsettes kjent og dermed ikke gås gjennom i detalj når studiene starter.
1:01
VIDEO
Har du lyst å se en video med en hilsen fra forfatterne?
Molde, mars 2025
Bård-Inge Pettersen Per Kristian Rekdal
Vedlegg A Logikk og Vedlegg B Mengdelære er tema som anbefales å tas med dersom man har mer enn én uke til disposisjon. Disse vedleggene kan eventuelt tas som et selvstudium.
Symbolene i logikk samt mengdelære er tema som brukes både direkte og indirekte i matematikk. Derfor er det fint å ha et sted å kunne slå opp i. Dette er en av grunnene til at disse temaene er tatt med.
Inndeling
Dersom man ønsker å gjennomføre temaene i boken i løpet av fem dager, er følgende progresjon en mulighet:
09:15 – 10:00 info + oppstart
10:15 – 11:00 teori
11:15 – 12:00 teori
Dag 1 – Pause –
13:15 – 14:00 teori
14:15 – 15:00 teori
15:15 – 16:00 teori
09:15 – 10:00 gjennomgang oppgaver
10:15 – 11:00 gjennomgang oppgaver
11:15 – 12:00 gjennomgang oppgaver
Dag 2 – Pause –
13:15 – 14:00 teori
14:15 – 15:00 teori
15:15 – 16:00 teori
09:15 – 10:00 gjennomgang oppgaver
10:15 – 11:00 gjennomgang oppgaver
11:15 – 12:00 gjennomgang oppgaver
Dag 3 – Pause –
13:15 – 14:00 teori
14:15 – 15:00 teori
15:15 – 16:00 teori
09:15 – 10:00 gjennomgang oppgaver
10:15 – 11:00 gjennomgang oppgaver
11:15 – 12:00 gjennomgang oppgaver
Dag 4 – Pause –
13:15 – 14:00 teori
14:15 – 15:00 teori
15:15 – 16:00 teori
Kap 1 – Tallmengder og operasjoner
Kap. 2 – Grunnleggende algebra
Kap. 3 – Brøk og prosent
Kap. 1 – Tallmengder og operasjoner
Kap. 2 – Grunnleggende algebra
Kap. 3 – Brøk og prosent
Kap. 4 – Potenser
Kap. 5 – Kvadratrot
Kap. 4 – Potenser
Kap. 5 – Kvadratrot
Kap. 6 – Algebraiske ligninger
Kap. 6 – Algebraiske ligninger
Kap. 7 – Faktorisering av polynomer
Kap. 8 – Ulikheter
Kunstig intelligens – ChatGPT
Også kunstig intelligens oppfordres studentene til å bruke som hjelpemiddel for å løse oppgaver i matematikk. Boken har skjermbilder av ChatGPT som viser hvordan oppgaver kan implementeres. Figur 2 er et eksempel på dette.
Figur 2 ChatGPT – slå sammen brøker.
Som for GeoGebra, man må ha kunnskap og ferdigheter i matematikk for å
• kunne implementere spørsmålet på en hensiktsmessig måte i ChatGPT
• kunne styre språkmodellen på rett vei dersom den misforstår
• avsløre feil
• forstå hvilke typer problemer KI egner seg for
O-3�5Sorteringavbrøker37
O-3�6Kansellering37
O-3�7Brøkermed - og/igjen37
O-3�8Addisjonogsubtraksjonavbrøker38
O-3�9Ulikenevnere38
O-3�10Ulikenevnereigjen39
O-3�11Forkortingavbrøker39
O-3�12Forkortingavbrøkerigjen39
O-3�13Tallsomprosent40
O-3�14Prosentsomtall40
O-3�15Sko41
O-316Pærebrus41
O-3�17Jenteroggutter41
O-3�18Politiskeparti42
O-3�19Renteogprosentvistvekst43
O-3�20Temperaturogprosentvisendring43
4 Potenser 45
O-4�1Potenser45
O-4�2Potenser–multiplikasjonogaddisjon45
O-4�3Potenser–utenhjelpemidler,brukkunhodet46
O-4�4Standardform46
5 Kvadratrot 49
O-5�1Kvadratrot–teori49
O-5�2Kvadratrot–tall49
O-5�3Kvadratrot–ligning50
O-5�4Kvadratrotigjen–tall50
O-5�5Eksakt–ikkedesimalform50
O-5�6Inverseoperasjoner–tall51
O-5�7Inverseoperasjoner–bokstaver51
O-5�8Regneregler–tall52
O-5�9Regneregler–symbol52
O-5�10Kvadratrøtter–sumogdifferanse53
O-5�11Kvadratrotavproduktogbrøk–tall53
O-5�12Kvadratrotavproduktogbrøk–bokstaver53
O-5�13Kvadratrot–tall54
O-5�14Produkt–bokstaverogtall54
O-5�15Brøk–tall55
O-516Brøk–bokstaver55
6 Algebraiske ligninger 57
O-6�1Koordinatsystemer57
O-6�2Ligningeroggeometriskeobjekter57
O-6�3Algebraiskeligningerogløsningsmengden L 57
L-3�14Prosentsomtall103
L-3�15Sko103
L-3�16Pærebrus104
L-3�17Jenteroggutter104
L-3�18Politiskeparti105
L-3�19Renteogprosentvisvekst106
L-3�20Temperaturogprosentvisendring107
4 Potenser 108
L-4�1Potenser108
L-4�2Potenser–multiplikasjonogaddisjon108
L-4�3Potenser–utenhjelpemidler,brukkunhodet109
L-4�4Standardform109
5 Kvadratrot 110
L-5�1Kvadratrøtter–teori110
L-5�2Kvadratrot–tall110
L-5�3Kvadratrøtter–ligning110
L-5�4Kvadratrotigjen–tall111
L-5�5Eksakt–ikkedesimalform112
L-5�6Inverseoperasjoner–tall112
L-5�7Inverseoperasjoner–bokstaver112
L-5�8Regneregler–tall112
L-5�9Regneregler–symbol113
L-5�10Kvadratrøtter–sumogdifferens113
L-5�11Kvadratrotavproduktogbrøk–tall113
L-5�12Kvadratrotavproduktogbrøk–bokstaver113
L-5�13Kvadratrot–tall114
L-5�14Produkt–bokstaverogtall114
L-5�15Brøk–tall114
L-5�16Brøk–bokstaver114
6 Algebraiske ligninger 115
L-6�1Koordinatsystemer115
L-62Ligningeroggeometriskeobjekter115
L-6�3Algebraiskeligningerogløsningsmengden L 115
L-6�4Formelleløsningsmengder118
L-6�5Klassifiseringavalgebraiskeligninger118
L-6�6Transformasjoner–lineæreligninger119
L-6�7Transformasjonerigjen121
L-6�8Sjekkavsvar123
L-6�9Kvadratrot125
L-6�10Kvadratog2�potens126
6 Algebraiske ligninger 57
O-6.1 Koordinatsystemer
O-6.2 Ligninger og geometriske objekter
O-6.3 Algebraiske ligninger og løsningsmengden L
O-6.4 Formelle løsningsmengder
O-6.5 Klassifisering av algebraiske ligninger
O-6.6 Transformasjoner – lineære ligninger
O-6.7 Transformasjoner igjen
O-6.8 Sjekk av svar
O-6.9 Kvadratrot
O-6.10 Kvadrat og 2. potens
O-6.11 Kvadrat og test
O-6.12 To føringsmåter
O-6.13 Lineære ligninger med to variabler
O-6.14 Lineære ligningssystem
O-6.15 ABC-formelen
O-6.16 ABC-formelen
7 Faktorisering av polynomer 67
O-7.1 Fundamentalsetningen for aritmetikk
O-7.2 Fundamentalsetningen for algebra
O-7.3 Fundamentalsetningen for algebra
O-7.4 Faktorisering og nullpunkter
O-7.5 Kvadratsetningene og faktorisering
8 Ulikheter 71
O-8.1 Ulikheter – transformasjoner
O-8.2 Algebraiske ulikheter
O-8.3 Polynomulikheter
O-8.4 Ulikheter med rasjonale uttrykk
O-8.5 Ukjent x og kvadrering
O-8.6 Ulikheter med rasjonale uttrykk
O-8.7 Absoluttverdi og ligninger
O-8.8 Absoluttverdi
A Logikk 77
O-A.1 Ord → matematikk
O-A.2 Logiske utsagn og konnektiver
O-A.3 Logiske utsagn og konnektiver
O-A.4 Kvantorer – ord → matematikk
O-A.5 Kvantorer – matematikk → ord
O-A.6 Kvantorer – matematikk ord
B Mengdelære 81
O-B.1 Konstruksjon av tallmengder
O-B.2 Konstruksjon av løsningsmengder
O-B.3 Konstruksjon av delmengder
O-B.4 Disjunkte delmengder – partisjoner
O-B.5 Mengde, løsningsmengde
Oppgave O-1.3 Teori for naturlige tall
Naturlige tall og etterfølgere
Vite hvor mange naturlige tall som finnes
Naturlige tall, etterfølger
a) Hva betyr det at ethvert naturlig tall har en etterfølger? (Én setning er nok.)
b) Hvor mange naturlige tall finnes det?
c) Produktet av to naturlige tall, hva slags type tall blir det?
Oppgave O-1.4 Hele tall
Mengdenotasjon og hele tall
Utvidelse av hele tall
Hele tall, utvidelse, mengde, notasjon
a) Hvorfor er det rimelig å si at de hele tallene er en utvidelse av de naturlige tallene ?
b) Skriv opp de hele tallene med mengdenotasjon.
c) Gi et eksempel på et helt tall som ikke er et naturlig tall.
Oppgave O-1.5 Hele tall og avledet operasjon
Vite hva som menes med avledet operasjon
Hele tall, addisjon, subtraksjon, avlede
a) Eksempel:
10 + ( 3) = 10 3 = 7
Bruk dette eksempelet og forklar kort hva det betyr at operasjonen subtraksjon er avledet fra addisjon.
b) Gi et lignende eksempel som lign.(O-1.1) på at subtraksjon er avledet fra addisjon.
Oppgave O-1.6 Hele tall fortegn
Multiplikasjon og fortegn ved multiplikasjon av hele tall
Fortegn, hele tall
Regn ut:
a) ( + 3)( + 7)
b) ( + 3)( 7)
c) ( 3)( + 7)
d) ( 3)( 7)
Oppgave O-1.7 Teori for rasjonale tall
Vite hvorfor man trenger å utvide tallmengdene fra hele tall når man har brøk
Vite hva en delmengde er
Kunne visualisere sammenhengene mellom rasjonale tall, hele tall og naturlige tall via Venn-diagram
Rasjonale tall, utvidelse, delmengder, Venn-diagram
a) Eksempel: 4 : 9 = 4 9 (O-1.2)
Bruk dette eksempelet til å begrunne hvorfor vi trenger en ny type tall som ikke er et naturlig tall eller et helt tall
b) Hva betyr det at ⊆ ⊆ ? Én setning er nok.
c) Tegn et Venn-diagram som illustrerer
