Forord
Matematikk oppfattes som vanskelig for mange studenter. Og en del studenter mangler grunnleggende matematikkunnskaper fra videregående skole. Mange universitet og høyskoler arrangerer derfor forkurs i matematikk for kommende studenter som ønsker ekstra faglig påfyll med grunnleggende tema innen matematikk før studiene starter.
Denne korte læreboken, Grunnleggende matematikk, er ikke bare ment for å brukes i forkurs, men også som et oppslagverk for grunnleggende tema innen matematikk som ofte forutsettes kjent og dermed ikke gås gjennom i detalj når studiene starter. Studenter som har matematikk som en direkte eller indirekte del av sine studier, kan derfor ha nytte av boken gjennom hele studietiden.
Til denne teoriboken hører det også en oppgavebok, Grunnleggende matematikk – oppgaver og løsninger. Vi valgte å separere teori og oppgaver for å unngå at boken blir for tykk. I matematikk må man løse mange oppgaver for å forstå teorien. Derfor anbefaler vi å ha begge bøkene.
1:01
BårdInge Pettersen
VIDEO
Har du lyst til å se en video med en kort hilsen fra forfatterne?
Molde, mars 2025
Per Kristian Rekdal
13:15 – 14:00 teori
14:15 – 15:00 teori
15:15 – 16:00 teori
09:15 – 10:00 gjennomgang oppgaver
10:15 – 11:00 gjennomgang oppgaver
11:15 – 12:00 gjennomgang oppgaver
Dag 3 – Pause –
13:15 – 14:00 teori
14:15 – 15:00 teori
15:15 – 16:00 teori
09:15 – 10:00 gjennomgang oppgaver
10:15 – 11:00 gjennomgang oppgaver
11:15 – 12:00 gjennomgang oppgaver
Dag 4 – Pause –
13:15 – 14:00 teori
14:15 – 15:00 teori
15:15 – 16:00 teori
09:15 – 10:00 gjennomgang oppgaver
10:15 – 11:00 gjennomgang oppgaver
11:15 – 12:00 gjennomgang oppgaver
Dag 5 – Pause –
13:15 – 14:00 oppsummering teori
14:15 – 15:00 gjennomgang oppgaver
15:15 – 16:00 gjennomgang oppgaver
Kap. 4 – Potenser
Kap. 5 – Kvadratrot
Kap. 4 – Potenser
Kap. 5 – Kvadratrot
Kap. 6 – Algebraiske ligninger
Kap. 6 – Algebraiske ligninger
Kap. 7 – Faktorisering av polynomer
Kap. 8 – Ulikheter
Kap. 7 – Faktorisering av polynomer
Kap. 8 – Ulikheter blandet læring
Vedlegg A Logikk og Vedlegg B Mengdelære kan eventuelt tas som selvstudium.
Oppbygning
Istartenavhvertkapittel Tilsluttihvertkapittel
Oppramsingavhvamanskallæreidet aktuellekapittelet:
•overordnedemål
•kunnskapsmål(teori)
•ferdighetsmål(praksis)
Visuelloppsummeringavhelekapittelet
Visualiseringer
Boken er utstyrt med mange visualiseringer og figurer. Innholdet vil i en del tilfeller presenteres visuelt slik at den strukturelle og logiske oppbygningen kommer tydeligere frem. Hvert kapittel avsluttes også med en komplett visuell oppsummering av det aktuelle kapittelet.
Grunntallog eksponent
Figur 1 Deler av oppsummeringen av potenser – temaet i kapittel 4.
Kommentarer
Gjennom hele boken legger vi inn en del kommentarer – indikert med symbolet K :
K
Dette er en kommentar.
QR-koder
I tillegg er boken utstyrt med:
• QR-koder til quizer
• QR-koder til eksterne videoer
Kunstig intelligens – ChatGPT
Vi oppfordrer også studentene til å bruke kunstig intelligens (KI) som hjelpemiddel til å løse oppgaver i matematikk. Boken har skjermbilder av ChatGPT som demonstrerer hvordan oppgaver kan implementeres.
Figur 3 er et eksempel på dette.
Figur 3 ChatGPT – slå sammen brøker.
Som for GeoGebra, må man ha kunnskap og ferdigheter i matematikk for å
• kunne implementere spørsmålet på en hensiktsmessig måte i ChatGPT
• kunne styre språkmodellen på rett vei dersom den misforstår
• avsløre feil
• forstå hvilke typer problemer KI egner seg for
Dersom man greier å styre GeoGebra og KI, har man verktøy som gjør man i stand til å løse mer komplekse problem på en effektiv måte.
Formelsamling
Som nevnt under «Oppbygning» ovenfor, avsluttes hvert kapittel med en visuell oppsummering av hele kapittelet. Dette inkluderer formler, se f.eks. figur 4.
Helt til slutt i boken er det en samling av oppsummeringene fra alle kapitlene. Dette fungerer som en utvidet formelsamling – utvidet fordi oppsummeringene inneholder litt mer enn kun formlene. 2 3 grunntall eksponent = 2 · 2 · 2
Grunntallog eksponent
an = am+n
n = 1 an am an = am a n = am n (am )n = amn (ab)n = an bn a b n = an bn
= a10n
Figur 4 Deler av oppsummeringen av potenser – temaet i kapittel 4.
Innhold
I Teori
II Vedlegg
I Teori
1 Tallmengder og operasjoner 21
1.1 Introduksjon
1.2 Operasjoner – to typer
1.3 Naturlige tall
1.4 Hele tall
1.5 Rasjonale tall
1.6 Reelle tall
1.7 Regnerekkefølge – operatorpresedens
1.8 Oppsummering – kapittel 1
2 Grunnleggende algebra 45
2.1 Introduksjon
2.2 Symbolikk
2.3 Algebraiske uttrykk
2.4 Indeksnotasjon
2.5 Kontekst
2.6 Ligninger
2.7 Enhetstall
2.8 Inverser
2.9 Den kommutative lov
2.10 Den assosiative lov
2.11 Den distributive lov – «pilmetoden»
2.12 Oppsummering – kapittel 2
3 Brøk og prosent 73
3.1 Introduksjon
3.2 Brøk
3.3 Prosent
3.4 Oppsummering – kapittel 3
4 Potenser 101
4.1 Introduksjon
4.2 Potenser
4.3 Standardform
4.4 Oppsummering – kapittel 4
5 Kvadratrot 113
5.1 Introduksjon
5.2 Kvadratrot
5.3 Generalisert kvadratrot
5.4 Kvadratrot kan skrives som potens
5.5 Potenser med irrasjonal eksponent
5.6 Oppsummering – kapittel 5
6 Algebraiske ligninger 135
6.1 Introduksjon
6.2 Ligninger og geometriske objekter
6.3 Koordinatsystemer
6.4 Ligninger og geometri
6.5 Løsningsmengden L
6.6 Klassifisering
6.7 Transformasjoner
6.8 To føringsmåter
6.9 Lineære ligninger (1. gradsligninger)
6.10 Kvadratiske ligninger (2. gradsligninger)
6.11 Oppsummering – kapittel 6
7 Faktorisering av polynomer 181
7.1 Introduksjon
7.2 Faktorisering
7.3 Fundamentalsetningen for aritmetikk
7.4 Fundamentalsetningen for algebra
7.5 Oppsummering – kapittel 7
8 Ulikheter 199
8.1 Introduksjon
8.2 Ordningsrelasjon
8.3 Numeriske ulikheter
8.4 Algebraiske ulikheter
8.5 Oppsummering – kapittel 8
1.1 Introduksjon
En tallmengde i matematikken er en samling av tall som deler bestemte egenskaper eller følger visse regler.
I vedlegg B er temaet mengdelære. Les det først dersom du ikke har hørt om mengder eller mengdelære før.
Tallmengdene kan være enten endelige eller uendelige
Husk at symbolet K står for «kommentar».
1.2 Operasjoner – to typer
Vi skiller mellom
• grunnleggende operasjoner
– addisjon
– multiplikasjon
• avledede operasjoner
– subtraksjon
– divisjon
I noen eksempler nedenfor skal vi se at avledede operasjoner er basert på grunnleggende operasjoner.
K K K
En grunnleggende operasjon er mer fundamental enn avledede operasjoner.
Grunnleggende operasjoner + · Avledede operasjoner – / Operasjoner
Addisjon Multiplikasjon Subtraksjon Divisjon
Figur 1.1 Operasjoner – to typer.
1.3 Naturlige tall
De naturlige tallene er den mest grunnleggende tallmengden. De kalles også telletallene, siden de er tallene som brukes til opptelling:
1, 2, 3, 4, … (1.1)
Mengden av disse tallene skrives:
= {1, 2, 3, 4, …} (1.2)
Figur1.2:Naturligetall. Figur 1.2 Naturlige tall.
De naturlige tallene omfatter ikke tallet 0 i denne læreboken. Dette er mer en konvensjon enn et faktum.
En fundamental egenskap ved naturlige tall er at ethvert naturlig tall har en etterfølger som er et naturlig tall. Altså, samme hvor stort tall vi tenker på, kan vi alltid finne et større ved å legge til én.
Det er uendelig mange naturlige tall.
1.3.1 Addisjon
Grunnleggende operasjoner Avledede operasjoner Operasjoner + /
Addisjon Multiplikasjon Subtraksjon Divisjon
Figur 1.3 Operasjoner – addisjon.