Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Enhver bruk av hele eller deler av utgivelsen som input eller som treningskorpus i generative modeller som kan skape tekst, bilder, film, lyd eller annet innhold og uttrykk, er ikke tillatt uten særskilt avtale med rettighetshaverne.
Bruk av utgivelsens materiale i strid med lov eller avtale kan føre til inndragning, erstatningsansvar og straff i form av bøter eller fengsel.
Omslagsdesign: Cappelen Damm
Sats: Have a Book, Polen Trykk og innbinding: Merkur Grafisk AS
Papiret i Cappelen Damms bøker er hentet fra bærekraftig skogsvirke. Ingen av forlagets produkter bidrar til avskoging eller forringelse av skog. Cappelen Damm arbeider for å redusere miljøbelastningen fra våre bøker så mye som mulig.
Les mer om Cappelen Damms miljøarbeid ved å scanne QR-koden:
www.cda.no
akademisk@cappelendamm.no
Om boken
Dette er en kort lærebok som tar for seg helt grunnleggende tema innen matematikk. Boken passer for alle som
• går eller skal starte på videregående skole
• går eller skal starte på høyskole/universitet
• ønsker å friske opp kunnskapene sine i matematikk
Vår erfaring er at mange elever og studenter trenger å repetere tema som:
Kapittel1Tallmengderogoperasjoner
Kapittel2Grunnleggendealgebra
Kapittel3Brøkogprosent
Kapittel4Potenser
Kapittel5Kvadratrot
Kapittel6Algebraiskeligninger
Kapittel7Faktoriseringavpolynomer
Kapittel8Ulikheter
VedleggALogikk
VedleggBMengdelære
Dersom kunnskapen og forståelsen av disse temaene er på plass, vil det være en stor fordel både for elever på videregående skole og studenter ved høyskole/universitet.
Visualiseringer
Boken er utstyrt med mange visualiseringer og figurer. Innholdet vil i en del tilfeller presenteres visuelt slik at den strukturelle og logiske oppbygningen kommer tydeligere frem. Hvert kapittel avsluttes også med en komplett visuell oppsummering av det aktuelle kapittelet.
Grunntallog eksponent
Figur 1 Deler av oppsummeringen av potenser – temaet i kapittel 4.
Kommentarer
Gjennom hele boken legger vi inn en del kommentarer – indikert med symbolet K :
K
Dette er en kommentar.
QR-koder
I tillegg er boken utstyrt med:
• QR-koder til quizer
• QR-koder til eksterne videoer
Quiz
Korte testoppgaver for å aktivisere studenten før han/hun går videre i pensum. QR-koden peker til en interaktiv versjon av quizen. Hver quiz har sin egen QR-kode.
QUIZ 2.4
Den kommutative lov for addisjon og multiplikasjon
a) Hva er den kommutative lov for 3 + 10?
䖣 10 + 3
䖣 10 3
b) Hva er den kommutative lov for (−3) ∙ 10?
䖣 10 ∙ ( 3)
䖣 ( 10) ∙ 3
Dersom du vil løse quizene på en PC, må du gå til nettadressen https://akademiskapp.cdu.no/courses/chapters/no/93. Her finner du alle quizene i boka.
Eksterne videoer
Boken inneholder linker til eksterne videoer på nettet, typisk YouTube, som ikke er laget av forfatterne. Dette for å få andre perspektiv og vinklinger på relevante tema enn det læreboken gir. Disse eksterne videoene finnes helt til slutt i hvert kapittel.
? 8:59
VIDEO
Har du lyst til å se en god video med oversikt over forskjellige typer tall? [1]
De 57 eksterne videoene er håndplukket med tanke på at de skal være korte, ha høy faglig og pedagogisk kvalitet og være relevante. Det finnes mange gode matematikkvideoer på internett, men det er en stor jobb å filtrere og velge ut de videoene som oppfyller de nevnte kriteriene.
Formelsamling
Som nevnt under «Oppbygning» ovenfor, avsluttes hvert kapittel med en visuell oppsummering av hele kapittelet. Dette inkluderer formler, se f.eks. figur 4.
Helt til slutt i boken er det en samling av oppsummeringene fra alle kapitlene. Dette fungerer som en utvidet formelsamling – utvidet fordi oppsummeringene inneholder litt mer enn kun formlene. 2 3 grunntall eksponent = 2 · 2 · 2
Grunntallog eksponent
an = am+n
n = 1 an am an = am a n = am n (am )n = amn (ab)n = an bn a b n = an bn
= a10n
Figur 4 Deler av oppsummeringen av potenser – temaet i kapittel 4.
Innhold
I Teori
II Vedlegg
I Teori
1 Tallmengder og operasjoner 21
1.1 Introduksjon
1.2 Operasjoner – to typer
1.3 Naturlige tall
1.4 Hele tall
1.5 Rasjonale tall
1.6 Reelle tall
1.7 Regnerekkefølge – operatorpresedens
1.8 Oppsummering – kapittel 1
2 Grunnleggende algebra 45
2.1 Introduksjon
2.2 Symbolikk
2.3 Algebraiske uttrykk
2.4 Indeksnotasjon
2.5 Kontekst
2.6 Ligninger
2.7 Enhetstall
2.8 Inverser
2.9 Den kommutative lov
2.10 Den assosiative lov
2.11 Den distributive lov – «pilmetoden»
2.12 Oppsummering – kapittel 2
3 Brøk og prosent 73
3.1 Introduksjon
3.2 Brøk
3.3 Prosent
3.4 Oppsummering – kapittel 3
4 Potenser 101
4.1 Introduksjon
4.2 Potenser
4.3 Standardform
4.4 Oppsummering – kapittel 4
5 Kvadratrot 113
5.1 Introduksjon
5.2 Kvadratrot
5.3 Generalisert kvadratrot
5.4 Kvadratrot kan skrives som potens
5.5 Potenser med irrasjonal eksponent
5.6 Oppsummering – kapittel 5
6 Algebraiske ligninger 135
6.1 Introduksjon
6.2 Ligninger og geometriske objekter
6.3 Koordinatsystemer
6.4 Ligninger og geometri
6.5 Løsningsmengden L
6.6 Klassifisering
6.7 Transformasjoner
6.8 To føringsmåter
6.9 Lineære ligninger (1. gradsligninger)
6.10 Kvadratiske ligninger (2. gradsligninger)
6.11 Oppsummering – kapittel 6
7 Faktorisering av polynomer 181
7.1 Introduksjon
7.2 Faktorisering
7.3 Fundamentalsetningen for aritmetikk
7.4 Fundamentalsetningen for algebra
7.5 Oppsummering – kapittel 7
8 Ulikheter 199
8.1 Introduksjon
8.2 Ordningsrelasjon
8.3 Numeriske ulikheter
8.4 Algebraiske ulikheter
8.5 Oppsummering – kapittel 8
1.1 Introduksjon
En tallmengde i matematikken er en samling av tall som deler bestemte egenskaper eller følger visse regler.
I vedlegg B er temaet mengdelære. Les det først dersom du ikke har hørt om mengder eller mengdelære før.
Tallmengdene kan være enten endelige eller uendelige
Husk at symbolet K står for «kommentar».
1.2 Operasjoner – to typer
Vi skiller mellom
• grunnleggende operasjoner
– addisjon
– multiplikasjon
• avledede operasjoner
– subtraksjon
– divisjon
I noen eksempler nedenfor skal vi se at avledede operasjoner er basert på grunnleggende operasjoner.
K K K
En grunnleggende operasjon er mer fundamental enn avledede operasjoner.
De naturlige tallene er den mest grunnleggende tallmengden. De kalles også telletallene, siden de er tallene som brukes til opptelling:
1, 2, 3, 4, … (1.1)
Mengden av disse tallene skrives:
= {1, 2, 3, 4, …} (1.2)
Figur1.2:Naturligetall. Figur 1.2 Naturlige tall.
De naturlige tallene omfatter ikke tallet 0 i denne læreboken. Dette er mer en konvensjon enn et faktum.
En fundamental egenskap ved naturlige tall er at ethvert naturlig tall har en etterfølger som er et naturlig tall. Altså, samme hvor stort tall vi tenker på, kan vi alltid finne et større ved å legge til én.
