Kraft 2 Lærebok (LK20) utdrag by Cappelen Damm

Janne-Christine Fossum Marit Sandstad Elise Bergli Hege Reiling Dellnes Henning Vinjusveen Myhrehagen LÆREBOK I FYSIKK 2 STUDIEFORBEREDENDE UTDANNINGSPROGRAM BOKMÅL

© Cappelen Damm AS, Oslo 2022 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverkslovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. KRAFT 2 følger læreplan for Kunnskapsløftet (LK20) i programfaget fysikk 2 fra 2021, for vg3 studieforberedende utdanningsprogram. Illustrasjoner og tekniske tegninger: Maria Hammerstrøm Graﬁsk formgiver: Kristine Steen, 07 Media AS Omslagsdesign: Kristine Steen, 07 Media AS Omslagsfoto: GettyImages/georgeclerk (manipulert) Sats: Type-it AS Forlagsredaktør: Sigurd Torp Nordby Boka er satt med Concorde Roman 9,5/13,5 pt og trykt på 100 g G-print Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2022 Utgave nr. 2 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-74013-9 www.cdu.no kraft.cdu.no

Fotograﬁer: GettyImages: guvendemir s. 6, VisualCommunications s. 8, FatCamera s. 13, skynesher s. 15, schnuddel s. 26, andresr s. 31, GlobalStock s. 77, Peter Vahlersvik s. 80, gerenme s. 99, fotokostic s. 100, Delpixart s. 101 øv, franckreporter s. 101 nh, Kesu01 s. 102 øv, JMichl s. 102 nv, iso_petrov s. 107 v, Jupiterimages s. 107 h, PhotoTalk s. 110, MikeMareen s. 112, xenotar s. 125, Tomás Guardia Bencomo s. 128, m-gucci s. 137 h, KathyGould s. 142, piola666 s. 163, Crazylegs14 s. 166 v, Patrick Daxenbichler s. 166 h, yasinemir s. 168, den-belitsky s. 172, SolStock s. 181, Elen11 s. 184, alxpin s. 186 n, loraks s. 189, Fototocam s. 196, Petrovich9 (manipulert) s. 201, cheshka s. 203, malerapaso s. 204 v, Noctiluxx s. 205, Its all about the shot s. 208, GeorgiosArt s. 209, serkansenturk s. 224, FreshSplash s. 229, ineskoleva s. 238, vchal s. 246, Bulgac s. 247 n, Inok s. 256, CHIARI_VFX s. 265, dottedhippo s. 280, Stocktrek Images s. 285, Eshma s. 290, Makhbubakhon Ismatova s. 291, s. 340 øh, jimmyan s. 292, Meindert van der Haven s. 301, Artur Plawgo s. 314, Kateryna Kovarzh s. 316, RiniSlok s. 325, franckreporter s. 334, C_Candy s. 335, valiantsin suprunovich s. 337, jacoblund s. 338, ilkercelik s. 339 øh, Photos.com s. 339 nh, Design Pics s. 340 nh, Image Source s. 341 øv, Andrey Danilovich s. 341 nv, peepo s. 342 ø, adventtr s. 342 øv, peepo s. 342 nv, fokkebok s. 343 øv, arogant s. 343 øh, South_agency s. 343 nh, BelindaPretorius s. 344 øh, Jasper Chamber s. 344 2.h, shironosov s. 344 3.h, Povozniuk s. 344 nh, Pitris s. 345 øv, scanrail s. 345 mv, Valentina369 s. 345 nv. NTB: s. 115 nv, Science Photo Library s. 137 v, The Granger Collection s. 155, Science Photo Library s. 175, Science Photo Library s. 204 h, Espen Bratlie/Samfoto s. 227, Canan Asik/Shutterstock s. 228, James Wagner/Alamy Stock Photo s. 236, Tore Wuttudal/Samfoto s. 242, NASA/Goddard/University of Arizona/NYT s. 282, Science Photo Library s. 310, Science Photo Library s. 315, Gorm Kallestad s. 322, Science Photo Library s. 324, Imagine China/REX/Shutterstock editorial s. 333, Berit Roald s. 339 øv, Topfoto s. 341 øh, Science Photo Library s, 345 nh. Cappelen Damms arkiv: s. 10, s. 20, s. 23. Henning Vinjusveen Myhrehagen: s. 98. Janne-Christine Fossum: s. 143, s. 159, s. 173, s. 174, s. 169 ø, s. 198, s. 339 mh. Marit Sandstad: s. 278. Case Western Reserve University (Wikimedia, falt i det fri) s. 115 ø. NASA/ESA/STScI s.141. © Richard Megna Fundemental Photographs NYC s. 179. Tusenfryd s. 247 ø. NASA/Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory/Southwest Research Institute/Alex Parker s. 257. ALMA (ESO/NAOJ/NRAO), F. O. Alves et al. s. 259. NASA/ESA/STScI/UCLA s. 267 øv. ESA/Hubble & NASA s. 267 øh. NASA/UMass/D.Wang et al. (røntgen) og NASA/STScI (IR) s. 271. LIGO/T. Pyle s. 272. The Virgo collaboration/CCO 1.0 s. 274. Benjamin Couprie/Institut International de Physique de Solvay (Wikimedia, falt i det fri) s. 275. NASA/JPLCaltech s. 283. NASA/JPL/Space Science Institute s. 284. NASA/SDO/AIA s. 286. ESA/Hubble & NASA s. 287. IQOQI/Vienna s. 317.

Forord I fysikk 1 fikk du et første innblikk i hva fagfeltet fysikk dreier seg om: Gjennom observasjoner, eksperimenter, programmering og bruk av matematiske modeller prøver vi å beskrive alt i naturen og universet rundt oss. I dag gir fysikken svar på mange spørsmål om verden vi lever i. Kompetanse i fysikk er essensielt for å ta tak i mange dagsaktuelle utfordringer. I fysikk 1 lærte du blant annet om hvor viktig fysikk er for å forstå hva som påvirker klimaet på jorda. I fysikk 2 vil du lære mer om elektriske og magnetiske felt og om de teknologiske anvendelsene av disse. I tillegg skal du lære mer om krefter og energi slik at du kan beskrive og forutsi bevegelsen til små og store legemer. Vi tar også for oss den moderne fysikken, som omhandler relativitetsteori og kvantefysikk. Fysikk er et levende fagfelt hvor nye oppdagelser stadig bringer oss nærmere svarene på universets store mysterier. Fysikk er også viktig for å kunne utvikle et bærekraftig samfunn med nye løsninger på de utfordringene verden står overfor. I denne boka legger vi stor vekt på at du skal tenke og gjøre fysikk fra første stund. Vi utfordrer deg til å stille spørsmål og vurdere observasjonene dine for å finne et mønster eller et system. Matematikk er språket vi bruker for å utrykke fysikk. Ved hjelp av matematikk kan vi enklere se sammenhenger mellom fenomener og lage modeller som beskriver og forutsier observasjoner. Programmering hjelper oss å se mønstre og simulere mer komplekse systemer og behandle større mengder data.

Lov Definisjon Aktivitet

KRAFT 2 er en alt-i-ett-bok med teori, forsøk og oppgaver. Hvert kapittel begynner med en aktivitet eller en tenkepause som skal hjelpe deg å sette ord på de sentrale begrepene i faget. I teorien finner du en kombinasjon av undringsaktiviteter, forklaringer, eksempel, tenkepauser og programmeringskode. Hensikten er å bygge forklaringene opp rundt noe du har observert eller lurt på. Definisjoner og lover er tydelig markert for å gi deg god oversikt, viktige nøkkelord er skrevet i margen, og hvert kapittel har et sammendrag til slutt. Oppgavedelen består av innlæringsoppgaver, programmeringsoppgaver, muntlige oppgaver og blandede oppgaver.

Tenkepause Programmering

På bokas nettsider, kraft.cdu.no, finner du løsningsforslag, interaktive oppgaver, repetisjonsoppgaver, videoer, fordypningsstoff, tips til bruk av digitale verktøy og arbeidsmåter i fysikk, all programmeringskode som er brukt i boka, og mye mer. Vi har eget innhold for lærere som krever betalt lisens. Her finnes blant annet lærerveiledninger til hvert kapittel, tips til undervisningsøkter, kapittelprøver, forslag til årsplan og ekstra oppgaver. En stor takk til konsulenter, tegner og andre som har bidratt til boka. En spesiell takk til redaktøren vår, Sigurd Torp Nordby, som har hatt en stødig hånd på hele prosessen i arbeidet med denne boka. Lykke til med fysikk 2! Juni 2022 Janne-Christine Fossum, Marit Sandstad, Elise Bergli, Hege Reiling Dellnes, Henning Vinjusveen Myhrehagen

Forord

INNHOLD 4

DEN SPESIELLE RELATIVITETSTEORIEN 110

4.1

Referansesystemer .................................... 111

Usikkerhet i beregnede resultater ....

4.2

Treghetssystemer ved lav fart ............ 113

Sammendrag .................................................

4.3

Einsteins postulater ................................... 115

Forsøk ................................................................

4.4

Tidsdilatasjon ................................................ 116

Kapitteloppgaver .........................................

4.5

Samtidighet .................................................... 121

4.6

Lengdekontraksjon ..................................... 123

4.7

Relativistisk bevegelsesmengde

TENKE OG GJØRE FYSIKK 6

1.1

Måleusikkerhet og systematiske feil

1.2

Usikkerhet i målinger ...............................

1.3

KREFTER OG BEVEGELSE 26

2.1

Bevegelse i én dimensjon .......................

Sammendrag ....................................................... 129

2.2

Fart og posisjon som integral...............

Kapitteloppgaver ............................................... 130

2.3

Krefter i to dimensjoner ..........................

2.4

Fall i to dimensjoner ..................................

2.5

Arbeid og energi ..........................................

Sammendrag .................................................

Forsøk ................................................................

Kapitteloppgaver .........................................

og energi .......................................................... 126

ELEKTRISKE FELT OG KREFTER

5.1

Elektriske ladninger................................... 143

5.2

Elektriske felt................................................. 146

5.3

Homogent elektrisk felt ........................... 151

142

Sammendrag ................................................. 157

SIRKELBEVEGELSE

Forsøk ................................................................ 158

3.1

Sentripetalakselerasjon...........................

Kapitteloppgaver ......................................... 160

3.2

Å kjøre i en sving .........................................

3.3

Vertikal sirkelbevegelse ..........................

Sammendrag .................................................

Forsøk ................................................................

Kapitteloppgaver .........................................

MAGNETISKE FELT OG KREFTER

6.1

Magnetiske felt ............................................. 173

6.2

Magnetiske krefter på elektriske

172

ladninger ......................................................... 175 6.3

Magnetiske krefter på strømledere .. 186

6.4

Elektromagnet............................................... 190 Sammendrag ................................................. 193 Forsøk ............................................................... 194 Kapitteloppgaver ......................................... 195

INNHOLD

208

10 UTFORSKE OG VURDERE MED FYSIKK 334

og strøm ........................................................... 209

Bakgrunnsstoff og kildekritikk............. 336

Rektangulær ledersløyfe –

Vurdering ......................................................... 337

et spesialtilfelle ............................................ 217

Referanser....................................................... 338

INDUKSJON

7.1

Indusert elektromotorisk spenning

7.2

7.3

Energiproduksjon ........................................ 221

7.4

Induksjon i hverdagen .............................. 228

Fasit .................................................................... 346

Sammendrag ................................................. 230

Stikkord............................................................. 370

Forsøk ................................................................ 231 Kapitteloppgaver ......................................... 232

GRAVITASJON

246

8.1

Newtons gravitasjonsteori ..................... 247

8.2

Gravitasjonsfelt ............................................ 250

8.3

Energibevaring i gravitasjonsfeltet... 254

8.4

Systemer med mange legemer ........... 259

8.5

Einsteins generelle relativitetsteori ... 261

8.6

Gravitasjonsbølger og forskningssamarbeid ................................ 272 Sammendrag ................................................. 276 Forsøk ................................................................ 277 Kapitteloppgaver ......................................... 279

KVANTEFYSIKK

292

9.1

Lys – bølge eller partikkel? ................... 294

9.2

Dobbeltspalteeksperimentet – bølge og partikkel ..................................................... 301

9.3

Kvanteobjekter – bølger og partikler på samme tid ................................................. 304

9.4

Konsekvenser av kvantetilstander ... 311 Sammendrag ................................................. 318 Forsøk ................................................................ 319 Kapitteloppgaver ......................................... 322 INNHOLD

1 6

TENKE OG GJØRE FYSIKK KOMPETANSEMÅL: ɸ planlegge, gjennomføre og videreutvikle forsøk, og analysere data og beregne usikkerhet for å vurdere gyldigheten av funn

Kapittel 1 Tenke og gjøre fysikk

AKTIVITET ɸ

Finn fram en linjal og et skyvelære. Mål bredden på pulten din med linjalen og diameteren til blyanten din med skyvelæret. Hvor nøyaktig kan du foreta målingene? Sett at du bytter måleverktøy, altså at du måler pulten med skyvelæret og blyanten med linjalen. Hvilke utfordringer vil du støte på da?

Ordet fysikk kommer fra gresk og betyr «læren om naturen». I sin videste forstand kan vi si at fysikken forsøker å beskrive alt i naturen: Hva skjer, og hvordan skjer det? Denne svært ambisiøse definisjonen tilsier at fysikk ligger til grunn for alle andre fag som beskriver naturen rundt oss – kjenner vi bare fysikken godt nok, kan vi også få kunnskap om kjemi, biologi, medisin og samfunnsfag. Men i praksis er ikke dette alltid mulig eller særlig lurt. Fysikken kan fortelle oss hvordan universet utvider seg, og hvordan vi spretter på en trampoline, men det finnes også mange spørsmål som fysikken ikke kan gi oss svar på. Den kan for eksempel ikke si noe om hvorfor resultatene ble som de ble ved forrige stortingsvalg, eller fortelle oss hva som er meningen med livet, eller hvordan vi kan være en god venn. Selv når vi tar høyde for betraktningene ovenfor, er det viktig å kjenne fagets begrensninger. Fysikk handler egentlig om å gjøre målinger og lage teorier som beskriver og gjenskaper målingene, og som kan forutsi utfallet av nye målinger. Teoriene forteller ikke hvordan ting egentlig er. En teori gir bare en beskrivelse som kan forutsi målingene, og den beste teorien er den som forutsier flest målinger på den enkleste måten. I fysikk 2 skal vi blant annet lære om de store temaene i det som kalles moderne fysikk. Relativitetsteorien og kvantefysikken er teorier som mange oppfatter som rare, uforståelige og kanskje til og med litt absurde. Men en teori trenger verken å føles naturlig eller være begripelig for deg for at det skal være en god teori. Forsøk på forsøk og måling etter måling – med stadig mer nøyaktige måleinstrumenter – har vist oss at disse teoriene gir den beste beskrivelsen av naturen. Dessuten har forskere undersøkt teoriene og kommet med ideer til målinger som kan teste nettopp forskjellen mellom disse teoriene og alternative forklaringer. Slike målinger har for eksempel tilbakevist en av innvendingene mot kvantefysikken, nemlig ideen om at den iboende uskarpheten i kvantefysikk egentlig skyldes at kvantefysikken er en ufullstendig teori som skjuler en teori uten uskarphet.

1.1 Måleusikkerhet og systematiske feil I denne boka bruker vi mye plass på teori, men målinger og eksperimenter er akkurat like viktige. Det er derfor viktig at dere også bruker tid på aktiviteter og forsøk – det kan styrke forståelsen for faget. Videre er det viktig å forstå forskjellen mellom fysikk og matematikk. Matematikken, som i prinsippet bare er teori, er ekstremt anvendelig, men den eksisterer helt uavhengig av målinger og finner evige og absolutte sannheter. Fysikken er ikke slik. Målingene vi gjør, gir oss ikke en fasit, og teoriene vi bruker, gir oss ikke en endelig sannhet om hvordan naturen er. Målingene er aldri helt nøyaktige, og teoriene er bare vårt beste forsøk på å beskrive ulike naturfenomener. Fysikk handler altså først å fremst om målinger og beskrivelser av dem. Det følger måleusikkerhet med alle målinger vi gjør, og det finnes ulike metoder for å anslå måleusikkerhet. Når vi måler lengder, slik som i startaktiviteten, er det vanlig å anslå hvor nøyaktig det er mulig å lese av måleverktøyet. Du erfarte sikkert at presisjonen ble høyere med et skyvelære enn med en linjal. Likevel velger vi å bruke linjalen til å måle bredden på pulten. Skulle vi ha brukt skyvelæret til å måle bredden på pulten, måtte vi ha gjort mange målinger, og for hver måling ville vi ha fått en ny usikkerhet. Fysikk handler ikke bare om eksperimenter og teorier. Fysikk gir oss kunnskap som vi kan bruke. Vi bruker for eksempel fysikkunnskap til å få fly opp i lufta og datamaskiner til å virke. Når vi skal bruke det vi har funnet ut, er det viktig å ha kontroll over usikkerheten i teorien og målingene. Usikkerhet er viktig, og måten vi behandler usikkerhet på, kan ha etiske konsekvenser. Dersom vi har en modell for hvordan en strikk forlenges i et strikkhopp, må vi ta høyde

FIGUR 11 Hvor stor usikkerhet i strikklengden aksepterer du før du hopper utfor?

Kapittel 1 Tenke og gjøre fysikk

for usikkerheten når vi skal bestemme hvor lang strikken skal være. Hvis vi ikke gjør det, risikerer hopperen å treffe bakken før strikken drar ham eller henne opp igjen. Når forskere måler gravitasjonsbølger, måler de lengdeforskjellene mellom to like lange armer som står vinkelrett på hverandre. Disse forskjellene er mindre enn en atomkjerne. Dersom forskerne ikke har full kontroll på usikkerheten, vil det være umulig å avgjøre om det de har målt, er en gravitasjonsbølge fra en kollisjon mellom to svarte hull, eller en passerende lastebil. Det er viktig at de ikke underdriver usikkerheten og for eksempel tror at noe som egentlig skyldes støy, er en oppdagelse. Samtidig er det viktig at de ikke overdriver usikkerheten, for da risikerer de å gå glipp av virkelige oppdagelser.

gjeldende siffer

Måleusikkerhet er et mål på hvor nøyaktig du kan tallfeste en målt størrelse. Når du måler pulten med en linjal, kan du for eksempel si at pulten er 68,2 cm bred, men du kan ikke si at den er 68,2023 cm bred. Da påstår du nemlig at du kan måle bredden på pulten med en nøyaktighet på mikrometernivå. Så nøyaktig klarer vi ikke lese av linjalen. Hvor nøyaktig vi kan si noe om en målt størrelse, kan vi angi ved valg av antall gjeldende siffer. Når vi oppgir bredden på pulten til å være 68,2 cm, sier vi egentlig at den kan være mellom 68,15 cm og 68,24 cm. I fysikk 1 lagde vi noen tommelﬁngerregler for antall gjeldende siffer når vi regner: 1. Når vi multipliserer eller dividerer størrelser, skal svaret ha like mange gjeldende siffer som størrelsen med færrest gjeldende siffer. 2. Når vi subtraherer eller adderer størrelser, skal svaret ha like mange desimaler som størrelsen med færrest desimaler. 3. Antall, som i 2 elever, og andre tall, som ʌ og ½, som vi vet nøyaktig hvor store er, teller ikke med i usikkerhetsvurderingen. Når vi skal regne med verdier med måleusikkerhet, er det lurt å oppgi måleusikkerheten som en egen størrelse. Vi anslår at vi kan lese av linjalen med en nøyaktighet på 1 mm, og skriver bredden av pulten slik: b 68,2 r 0,1 cm .

systematiske feil

FIGUR 12 Figuren illustrerer forskjellen på måleusikkerhet og systematiske feil. Her symboliserer midten av blinken den reelle verdien til størrelsen vi skal måle. I blinken til venstre har vi stor måleusikkerhet, og i blinken i midten har vi liten måleusikkerhet, men gjennomsnittet av målingene treffer midt i blinken på begge. I blinken til høyre har vi derimot liten måleusikkerhet, men vi bommer på blinken og har en systematisk feil.

Systematiske feil er feil i målingene som ikke har noe med måleusikkerheten å gjøre. Vi har for eksempel en systematisk feil dersom vi måler bredden på pulten med en meterstokk som egentlig bare er 95 cm. Da vil det fortsatt være en måleusikkerhet i målingene, men i tillegg blir målingene feil i forhold til virkeligheten. Derfor er det viktig å kalibrere måleinstrumenter slik at de gir riktige opplysninger.

1.1 Måleusikkerhet og systematiske feil

Amaks Amin 'A A

68,3 cm 84,1 cm 68,1 cm 83,9 cm Amaks Amin 2

5744,03 cm2 5713,59 cm2

15,2 cm2

A r 'A 68,2 84,0 r 15,2 cm2 5728,8 r 15,2 cm2

0,573 r 0,002 m2

Metoden med å regne ut største og minste verdi av den beregnede størrelsen fungerer i de fleste tilfeller, men den kan være litt tungvint. Når den beregnede størrelsen består av multiplikasjon eller divisjon av målte størrelser, kan vi isteden bruke regelen for feilforplantning. Den viser hvordan de relative usikkerhetene i målingene forplanter seg til den beregnede størrelsen.

Feilforplantning ved multiplikasjon og divisjon a Dersom c a b eller c , der a og b er to målte størrelser med absolutt b usikkerhet 'a og 'b , finner vi den relative usikkerheten i c ved å summere den relative usikkerheten i a og b. 'c c

'a 'b a b

Regelen gjelder også dersom c består av flere faktorer. Vi legger da til et nytt ledd i usikkerheten for hver faktor. Dermed kan vi også finne usikkerheten i det beregnede arealet ved å bruke denne regelen: § 'b 'l · 'A ¨ ¸ A l ¹ © b § 0,1 cm 0,1 cm · 8 cm2 ¨ ¸ 5728,8 © 68,2 cm 84,0 cm ¹ 0,001466 0,00119 5728,8 cm2 15,2 cm2

0,00152 m2

Også denne gangen får vi A 0,573 r 0,002 m2 . Legg merke til at det er den absolutte usikkerheten som bestemmer hvor mange gjeldende siffer vi har med i det beregnede resultatet. Vi oppgir resultatet med like mange desimaler som det er i usikkerheten.

Graﬁsk utjevning I enkelte tilfeller kan det være lurt å anslå usikkerheten i et resultat ved hjelp av grafisk utjevning. Det vil si at vi anslår avviket i stigningstallet til en graf og finner måleusikkerheten til stigningstallet ut fra dette avviket.

Kapittel 1 Tenke og gjøre fysikk

EKSEMPEL 12 Sammenhengen mellom friksjonskraften R og normalkraften N er gitt som R P N , der μ er friksjonstallet. Vi trekker en kloss bortover et underlag og måler friksjonskraften. Vi gjentar forsøket fem ganger og legger på et ekstra lodd på klossen for hvert forsøk. Vi får følgende resultater: N/N R/N

10 3,05

12,5 4,02

15 4,42

17,5 5,30

20 5,65

Bestem friksjonstallet μ med usikkerhet.

Friksjonstallet er stigningstallet til regresjonslinja, og med fire siffer har vi

Løsning Vi bruker regresjonsverktøyet i GeoGebra. Vi legger måleresultatene inn i regnearket, markerer cellene med måleresultatene, høyreklikker i markeringen og velger «Lag» og «Liste med punkt». Lista og punktene vises både i algebrafeltet og i grafikkfeltet. GeoGebra gir lista navnet «l1».

0,2971

Som forventet ligger ikke målepunktene helt på linje. Det er en usikkerhet i verdien for friksjonstallet. Vi illustrerer denne usikkerheten ved å trekke en rett linje gjennom origo og målepunktet med størst stigningstall, Pmaks , og en rett linje gjennom origo og målepunktet med minst stigningstall, Pmin . 6

I modellen R P N for friksjonen vet vi at origo er et sikkert punkt: Når normalkraften er lik null, er det heller ingen friksjon. Vi ønsker derfor å gjøre en lineær regresjon med konstantleddet lik null. I GeoGebra bruker vi kommandoen

Reg(l1, {x}) 0

Her er «l1» navnet på lista med målepunktene, og «{x}» er en liste med de funksjonene vi vil utføre regresjonen med hensyn på. I vårt tilfelle består funksjonslista av bare én funksjon, og GeoGebra regner ut en funksjon på formen R(x)

a x

I1 = {A, B, C, D, E}

0.2971 x

Stigningstallet til den blå linja er den maksimale verdien for friksjonstallet, mens stigningstallet til den grønne linja er den minimale verdien. Nå kan vi regne ut usikkerheten i friksjonstallet. Vi oppgir som regel usikkerheten med ett gjeldende siffer. 'P

{(10, 3.05), (12.5, 4.02), (15, 4.42), (17.5, 5.3), (20, 5.65)} R(x) = Reg(I1, {x})

1 P Pmin 2 maks 1 0,3216 0,2825 2 0,0195 0,02

Friksjonstallet med usikkerhet blir da

P r 'P 0,2971 r 0,0195 0,30 r 0,02

1.3 Usikkerhet i beregnede resultater

SAMMENDRAG Gjeldende siffer 1. Når vi multipliserer eller dividerer størrelser, skal svaret ha like mange gjeldende siffer som størrelsen med færrest gjeldende siffer. 2. Når vi subtraherer eller adderer størrelser, skal svaret ha like mange desimaler som størrelsen med færrest desimaler. 3. Antall, som i 2 elever, og andre tall, som S og ½, som vi vet nøyaktig hvor store er, teller ikke med i usikkerhetsvurderingen. Måleusikkerhet og systematiske feil Alle målinger har usikkerhet. Måleusikkerhet handler om hvor stor nøyaktighet målingene våre har. Måleusikkerhet er en slags tilfeldige feil. Systematiske feil er feil som drar målingene våre i en bestemt retning, og som ikke har med nøyaktigheten å gjøre. For eksempel kan vi ha brukt en målestav som er litt for lang, en vekt som viser litt for lite, eller en klokke som går for fort. Målinger og usikkerhet Når vi måler samme størrelse mange ganger, kan vi bruke gjennomsnittet for å estimere verdien. Vi må også oppgi usikkerheten, og det kan vi gjøre ved hjelp av et avvik:

størrelse a

gjennomsnitt r avvik

a r 'a

Av og til er vi interessert i det relative avviket: 'a a Det finnes forskjellige mål for avvik. Når vi har 10 eller færre målinger, kan det passe å bruke halvparten av variasjonsbredden som et mål på avviket. avvik

høyeste verdi laveste verdi 2

Kapittel 1 Tenke og gjøre fysikk SAMMENDRAG

Standardavvik Dersom vi måler N verdier v1, v2 , ..., vi , ..., vN av en størrelse v og finner at gjennomsnittsverdien for målingene er v, er standardavviket

1 N ¦ v v Ni 1 i

der summen går over alle de målte verdiene. Standardavvik er ofte et godt mål på usikkerheten dersom vi har flere enn 10 målinger. Feilforplantning Ved addisjon og subtraksjon av målte størrelser finner vi usikkerheten i det beregnede resultatet ved å legge sammen de absolutte usikkerhetene til enkeltmålingene. a Dersom c a b eller c , der a og b er to målte b størrelser med absolutt usikkerhet 'a og 'b, finner vi den relative usikkerheten i c ved å summere den relative usikkerheten i a og b. 'c c

'a 'b a b

Graﬁsk utjevning Ved grafisk utjevning tilpasser vi en graf til målepunktene. Vi anslår avviket i stigningstallet til grafen og finner måleusikkerheten til stigningstallet ut fra dette avviket.

FORSØK Når du gjennomfører eksperimenter i fysikk, er det lurt å ha en egen loggbok hvor du noterer observasjoner, tanker, vurderinger og resultater underveis. I loggboka, som du skriver for deg selv, dokumenterer du resultatene dine. Venn deg til å skrive logg hver gang du gjør et forsøk. Når du skal skrive en rapport, tar du utgangspunkt i det du har skrevet i loggboka, men i rapporten skal du presentere resultatene dine for andre. Da er det viktig å tenke på hvordan du best mulig kan få fram det du har tenkt og gjort, slik at det blir tydelig for leseren. Forsøket nedenfor viser hvilke deler en rapport skal inneholde, og du kan bruke oppsettet som en mal eller et utgangspunkt når du skal skrive rapporter senere. På bokas nettsider finner du også skrivestøtteverktøy, maler for rapportskriving og en veiledning som viser hvordan du fører loggbok og skriver en rapport. Her skal vi ta for oss et enkelt eksperiment som vi skal bruke som en øvelse i å anslå måleusikkerheten i målinger og beregnede resultater. Husk at alt du trenger for å skrive en rapport, må med i loggboka. Hvis du har kommentarer til de ulike målingene og legger merke til ting ved utstyret og gjennomføringen som kan påvirke resultatene, er det lurt å skrive det også ned i loggboka.

1A Bestemme tyngdeakselerasjonen ved hjelp av en pendel Hensikten med dette forsøket er ɸ å bestemme tyngdeakselerasjonen ved hjelp av en pendel ɸ å bruke feilforplantningsreglene til å finne måleusikkerheten i et beregnet resultat

UTSTYRSLISTE • en kule • tråd • krok til å henge pendelen i • linjal • stoppeklokke

Forhåndsoppgaver Tyngdeakselerasjonen g kan bestemmes ved hjelp av en pendel. Uttrykket for g er gitt som g

4S2l T2

der l er lengden fra sentrum av kula til opphengspunktet og T er perioden, altså svingetiden, til pendelen. For å kunne beregne g må du måle l og T.

a) Hvordan kan du anslå måleusikkerheten i målingene? b) Hvordan bør du sette opp forsøket for å få minst mulig måleusikkerhet? c) Bruk feilforplantningsregelen for multiplikasjon og divisjon til å finne et uttrykk for den absolutte usikkerheten i g.

FORSØK

Framgangsmåte 1. Fest tråden i kula og heng den opp slik at kula får svinge fritt. 2. Gjennomfør nødvendige målinger og før opp resultatene på en ryddig og oversiktlig måte i loggboka. 3. Anslå usikkerheten i de målte verdiene. 4. Bruk de målte verdiene med usikkerhet til å beregne tyngdeakselerasjonen med usikkerhet. Resultater og beregninger Når du skriver en rapport, skal du presentere resultater og beregninger ryddig og oversiktlig. Tenk nøye gjennom hvordan du velger å presentere resultatene dine, slik at det blir lett for en annen leser å forstå hva du har gjort for å komme fram til dem. Du trenger ikke ta med lange utregninger, men vis til formelen du har brukt, og fortell hvilke verdier du har satt inn for å få svarene dine. I loggboka på bildet kan du se et eksempel på hvordan du kan føre resultatene.

Diskusjon I rapporten skal du ha med en diskusjonsdel. I denne delen skal du vurdere hvor gode resultatene dine er med hensyn på teori og gjennomføring. Du skal også si noe om feilkilder og hva du eventuelt kunne ha forbedret i eksperimentet. Konklusjon I konklusjonen skal du kort presentere hovedresultatet av eksperimentet, og du skal vise at du har oppnådd hensikten med forsøket. I dette forsøket vil det si at du skal oppgi resultatet for tyngdeakselerasjon med usikkerhet og gi en kort vurdering av hvor pålitelig resultatet er.

Kapittel 1 Tenke og gjøre fysikk FORSØK

? KAPITTELOPPGAVER 1.1 Måleusikkerhet og systematiske feil 1.01 Hvorfor er det viktig å tenke på feilkilder i fysikk? Gi eksempel. 1.02 Vurder påstandene nedenfor. Hvilke stemmer, og hvilke stemmer ikke? Begrunn svaret ditt eller diskuter med en medelev.

• • • • • • •

Fysikk forsøker å forklare alt. Forsøk og observasjoner er det viktigste i fysikk. Teorier er det viktigste i fysikk. Fysikkteorier er bare modeller og ikke virkeligheten. Fysikk har ingen praktisk betydning. Systematiske feil er bedre enn måleusikkerhet. Vi kan ikke gjøre målinger eller teoretiske utregninger uten feil og usikkerhet.

1.03 Forklar forskjellen på måleusikkerhet og systematiske feil. Gi eksempel.

1.2 Usikkerhet i målinger

a) Hva er gjennomsnittsfarten til vogna? b) Hva er den absolutte måleusikkerheten i forsøket? c) Hva er den relative usikkerheten i forsøket? 1.05 a) Hva er standardavvik? Beskriv med ord. b) Skriv ned formelen for standardavvik og forklar hvordan du vil gå fram for å regne ut standardavviket for hånd og med et dataprogram. c) Noen ganger snakker vi om og regner med kvadratet av standardavviket, eller variansen, V 2 . Hvorfor det, tror du? 1.06 Bruk tallene fra oppgave 1.04. a) Hva er standardavviket for måleserien? b) Hvilket avviksmål bør vi bruke for dette datasettet? Hvorfor det? 1.07 Fire fysikkelever har gjort et forsøk og funnet en verdi for tyngdeakselerasjonen. Se på resultatene de har rapportert, og vurder resultatene opp mot hverandre og den forventede verdien 9 81 m/s2. a) g (9,8 r 0,9) m/s2 b) g (9,7 r 0,2) m/s2 c) g (9,72 r 0,03) m/s2 d) g (10 r 2) m/s2

1.04

Vi måler farten til en vogn som slippes fra en fast høyde og triller ut på et flatt underlag. Vi gjentar forsøket seks ganger og får følgende verdier: Måling nr. Fart (m/s)

1,43

1,39

1,40

1,41

1,40

1,41

1.08 Fila trettisone.txt inneholder en måleserie av gjennomsnittsfarten som er målt på ulike veistrekninger med fartsgrense 30 km/h i Kristiansand. a) Bruk Python til å lese inn måleserien og beregn gjennomsnittsverdi, avvik og standardavvik. b) Oppgi måleresultatet med usikkerhet ved hjelp av de to ulike usikkerhetsestimatene. Hvilket er størst, og hvilket er minst? c) Hvilket usikkerhetsestimat passer det å bruke her? Begrunn svaret. d) Visualiser målingene i et histogram og legg inn standardavvik og avvik i diagrammet. Kommenter det du ser. Hvordan passer det med valget du gjorde i oppgave c? OPPGAVER

? 1.18 a) Forklar hva vi mener med systematiske og tilfeldige feil. Hvordan kan vi redusere betydningen av slike feil? b) Gjør rede for hvordan vi beregner avvik og standardavvik. I hvilke tilfeller kan det lønne seg å bruke det ene framfor det andre? 1.19 Sitt sammen i grupper og diskuter situasjonene nedenfor. Diskuter hva som er galt, og hvorfor. Tenk på etikk og konsekvenser. Sammenlikn gjerne de ulike situasjonene. a) En fysikkelev gidder ikke å gjøre ukas forsøk og bestemmer seg for heller å skrive rapporten ved å finne på en måleserie. b) En annen fysikkelev gjør forsøket, men får en måleserie som ikke stemmer overens med teorien. Hun går tilbake og endrer tallene sine slik at de passer med teorien. c) En tredje elev oppgir for lav usikkerhet i målingene sine og finner en verdi med høyere nøyaktighet enn noen andre i klassen. d) Elev nummer fire er redd for å underdrive usikkerheten og overdriver den veldig. Gå gjennom situasjonene i a–d igjen, men denne gangen skal dere ikke gå ut fra at det er fysikkelever som gjør forsøkene, men 1) en forsker som så publiserer resultatene av forsøket i et kjent vitenskapelig tidsskrift 2) en strikkhoppfabrikant som skal oppgi tåleevne og strekk for strikkene de produserer 3) en forsker som skal utvikle en ny metode som kan absorbere karbondioksid fra atmosfæren

Kapittel 1 Tenke og gjøre fysikk OPPGAVER

Blandede oppgaver 1.20 Se på resultatene i eksempel 1-1 på side 14. a) Gjennomsnittstiden på 60-meteren for gutter i år 2000 var 10,66 sekunder. Sammenlikn med resultatene fra eksempelet. Er dette gjennomsnittet kompatibelt med måleserien i fila? b) I tråden i treningsforumet diskuterer noen av medlemmene ulike feilkilder. Her er noen av utsagnene:

Det er en vesentlig forskjell på manuell (stoppeklokke) og elektronisk tidtaking. Ved manuell tidtaking er det mennesker som tar tiden med klokke, og tiden kommer VELDIG an på hvem som tar tiden.

På ungdomskolen springer man på asfalt, og «60-metern» er nærmere 40 meter enn 60.

På nettet sier jeg 6,8, men i virkeligheten løper jeg på 8,99.

Hva slags feilkilder diskuteres her? Er det kilder til systematiske feil eller måleusikkerhet? c) Kan du tenke deg flere feilkilder i dette datasettet?

? 1.21 Bruk fila sekstimeter.txt fra eksempel 1-1. a) Last inn målingene og regn ut gjennomsnitt, avvik, standardavvik og relativ usikkerhet for de 6, 10, 50 og 100 første tallene i måleserien og til slutt for hele serien. b) Finn den maksimale verdien i hele måleserien og plasseringen for dette tallet i måleserien. c) Gjenta oppgave a for de 5, 10, 15, 20, osv. første tallene i måleserien. Lagre verdiene for hver mengde med fem og fem flere verdier i lister og plott dem. Hva ser du? Hva skjer med de ulike avviksmålene når den største verdien fra oppgave b blir tatt inn? d) Hva tenker du om de ulike avviksmålene nå? 1.22 Se på formelen for standardavvik på side 11. Bruk måleserien i oppgave 1.04 og én eller flere andre måleserier til å teste formelen. a) Regn ut standardavvikene for måleseriene. b) Forenkle formelen slik:

V ny

1 N ¦ v v Ni 1 i

Hva får du for måleseriene? Skriv om formelen og forklar hvorfor svaret alltid blir null. c) Prøv nå med

V ny

1 N ¦ v v Ni 1 i

der vi v er absoluttverdien av forskjellen mellom hver verdi og gjennomsnittet. Hva får du nå? Hvorfor blir ikke denne formelen brukt, tror du? 1.23 Vi kan skrive gjennomsnittet som v

summen av måleverdiene antallet målinger

1 ¦v N i i

Vis at vi kan skrive om standardavviket slik:

v2 v 2

der v2 er gjennomsnittet av verdien opphøyd i andre.

1.24 Bevegelsen i oppgave 1.16 forgår også i y-retning: t/s y/m

0 0,2

0,4 0,3

0,8 0,5

1,3 0,7

1,7 0,8

a) Gjenta den grafiske utjevningen for bevegelsen i y-retning for hånd eller i GeoGebra, eller utfør utjevningen med begge metodene. b) Når vi utfører lineær regresjon, prøver vi å finne linja som gir det minste standardavviket for de forventede punktene. Dette kan vi også gjøre med programmering. 1 2 3 4 5 6

def funksjon(a, b, t, y): avvik = 0 n = len(t) for i in range(n): avvik = avvik + (a*t[i] + b - y[i])**2 return 1/np.sqrt(n)*np.sqrt(avvik)

Beskriv hva denne funksjonen gjør. c) Se på grafen du lagde i oppgave a, og finn rimelige intervaller for hva stigningstallet a og konstantleddet b kan være. d) Bruk to for-løkker til å teste deg gjennom intervallene for a og b og finn verdiene for a og b med minst standardavvik. Bruk mange nok punkt, slik at du får en nøyaktighet på to siffer. e) Det finnes egne bibliotek for å gjøre denne regresjonen automatisk og veldig fort. Sjekk for eksempel ut funksjonen LinearRegression() fra sklearn.linear_model, eller prøv å søke etter andre bibliotek. Bruk biblioteket du fant, til å finne a og b. f) Plott målepunktene og linjene med Python.

Referanser [1] Fra en forelesning om vitenskapelig metode av Richard Feynman (1964). Hentet 23. februar 2022 fra https://www. youtube.com/watch?v=EYPapE-3FRw. Vår oversettelse. [2] Fra Young og Freedman (2011). University Physics with Modern Physics. (13. utg), s. 1. Pearson Education Limited. Vår oversettelse. [3] Stod opprinnelig i Albert Einstein (1956) Lettre à Maurice Solvine. Gauthier-Villars: Paris. Hentet 23. februar 2022 fra https://quotepark.com/quotes/1729983-albert-einstein-physicsis-essentially-an-intuitive-and-concrete-s/. Vår oversettelse.

OPPGAVER

2 26

KREFTER OG BEVEGELSE KOMPETANSEMÅL: ɸ utforske, beskrive og modellere bevegelse i to dimensjoner ɸ bruke numeriske metoder og programmering til å utforske og modellere fysiske fenomener ɸ gjøre rede for hvordan krefter kan forårsake krumlinjet bevegelse, og bruke dette i beregninger

Kapittel 2 Krefter og bevegelse

AKTIVITET v0

Send en ball bortover et horisontalt underlag rett mot et skråplan. Gjenta forsøket flere ganger og dytt litt hardere for hver gang slik at ballen kommer lenger og lenger oppover skråplanet. Beskriv posisjonen, farten og akselerasjonen til ballen. Tegn skisser for posisjonsgrafene, fartsgrafene og akselerasjonsgrafene.

Verden vi lever i, er tredimensjonal, og vi kan beskrive de romlige dimensjonene med aksene x, y og z, slik som i figur 2-1 til venstre. Hvis vi skal beskrive hvordan en humle flyr gjennom et klasserom, matematisk, må vi sannsynligvis bruke alle de tre aksene. En slik bevegelse kaller vi tredimensjonal. Bevegelsene vi studerte i fysikk 1, var rettlinjede, eller endimensjonale, og vi trengte bare å bruke én av aksene for å beskrive dem matematisk.

FIGUR 21 Vår verden er tredimensjonal, og for å beskrive en kompleks bevegelse trenger vi tre akser, x, y og z.

Bevegelsen til ballen i startaktiviteten var sammensatt. Først bevegde ballen seg langs underlaget og så langs skråplanet. Nå vil vi forsøke å beskrive bevegelsen ved hjelp av et todimensjonalt koordinatsystem, som vist i figur 2-2 nedenfor. Vi begynner med å ta utgangspunkt i koordinatsystemet til venstre. Når ballen beveger seg langs underlaget, ser vi at bevegelsen foregår langs x-aksen. Når ballen kommer til skråplanet, skifter bevegelsen retning. Da foregår bevegelsen både i x- og y-retningen, altså i to dimensjoner. Det er fullt mulig å beskrive den todimensjonale bevegelsen matematisk. Da må vi lage én posisjonsfunksjon for x-retningen og én for y-retningen. I koordinatsystemet til høyre ligger x-aksen langs skråplanet. I dette koordinatsystemet vil y-posisjonen til ballen være null så lenge ballen beveger seg på skråplanet, og vi trenger bare å finne én posisjonsfunksjon. Nå har vi delt den sammensatte bevegelsen opp i to deler, og i hver del kan ballens bevegelse beskrives i sitt eget koordinatsystem. Vi har valgt to koordinatsystemer som gjør det så enkelt som mulig å beskrive bevegelsen matematisk. Ved å dele opp bevegelsen og betrakte én del om gangen gjør vi det også enklere å modellere bevegelsen. Når vi beskriver sammensatte bevegelser som dette matematisk, bør vi velge koordinatsystemer som lar oss beskrive bevegelsen med så få dimensjoner som mulig.

FIGUR 22 Vi kan selv velge hvor vi skal legge koordinatsystemene. Vi plasserer dem på den måten som er mest hensiktsmessig for utregningene våre.

y x

Når vi summerer arealet av rektanglene, har vi en tilnærmingsverdi for den totale fartsendringen. Tilnærmingsverdien blir bedre jo mindre vi gjør tidsstegene. Det ser vi til høyre i figur 2-8 på forrige side, der vi har delt tidsintervallet inn i tjue rektangel. Her er mellomrommene mellom grafen og rektanglene mindre enn i figuren til venstre. Vi kan bruke samme tankegang til å finne strekningen. Da antar vi at farten er tilnærmet konstant i tidssteget dt, slik at vi kan finne posisjonen etter tidssteget med formelen s2

s1 v dt

Som vi ser i figur 2-8, blir ikke hele arealet under grafen dekket av rektanglene. Med eulermetoden kan vi med andre ord få et litt for stort eller litt for lite svar. For å få det helt nøyaktige svaret må vi la dt o 0. Det er det vi gjør når vi integrerer matematisk, men i programmering kan tidssteget aldri bli helt lik null. Likevel er tilnærmingen ofte god nok bare tidsstegene dt blir svært små. Det finnes andre tilnærminger som gir mindre feil enn eulermetoden. Du kan utforske noen av disse i oppgavedelen.

EKSEMPEL 24

Kristoffer starter bilen og akselererer bortover en horisontal og rett veistrekning. Massen til bilen G er 1500 kg. Motorskyvet F forover er konstant med verdien 1200 N. På bilen virker det også en luftmotstand L(v) kv2 i motsatt retning av farten, der k 2,29 kg/m er en konstant for bilen. Simuler bevegelsen til bilen det første minuttet av kjøreturen.

Løsning Vi definerer først variabler med startverdier og konstanter. I tillegg lager vi en liste med tidsverdier fra 0 til 60 s. Her har vi valgt å bruke n 6000 punktberegninger i løpet av dette minuttet. Det gjør at lengden av hvert tidssteg dt blir ca. 0,01 s. Vi lager også lister med n tomme plasser for å lagre posisjonen, farten og akselerasjonen vi regner ut for hvert tidssteg.

»» 36

Kapittel 2 Krefter og bevegelse

»» 1 2 3 4 5 6 7 8 9

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

Hvis vi plotter posisjonen, farten og akselerasjonen, får vi disse grafene: Posisjon

#Definerer konstanter. m = 1500 #kg k = 2.29 #kg/m F = 1200 #N

10 11 12 13 14

600 s

#Lager en liste t med n tidsverdier fra 0 til 60 s. Lengden av hvert tidssteg kaller vi dt. n = 6000 t = np.linspace(0,60,n) dt = t[1] - t[0]

800

400 200 0 0

#Lager lister for å ta vare på verdiene. s = np.zeros(n) v = np.zeros(n) a = np.zeros(n)

30 /s

Fart 20 15 / (m/s)

#Definerer startverdiene. s[0] = 0 #m v[0] = 0 #m/s

15 16 17 18 19 20 21 22

5 0 0

30 /s

Summen av de horisontale kreftene på bilen er F L

0.8

F kv2

0.7

Kraftsummen varierer med farten. For hvert lille tidssteg dt regner vi ut den nye kraften og bruker 6F Newtons 2. lov til å finne akselerasjonen a m ved dette tidssteget. Vi bruker eulermetoden til å beregne farten og posisjonen i hvert tidssteg.

Akselerasjon

0.6 a / (m/s2)

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

23 24 25 26 27 28 29

#Bruker en for-løkke til å beregne nye posisjoner med eulermetoden. for i in range(0, n-1): F_sum = F - k*v[i]**2 a[i] = F_sum / m v[i+1] = v[i] + a[i]*dt s[i+1] = s[i] + v[i]*dt

0.0

t/s

Av grafene ser vi at bilen etter hvert får en konstant fart. Akselerasjonen går mot null der luftmotstanden er like stor som motorskyvet. Da begynner strekningen å øke lineært.

2.2 Fart og posisjon som integral

EKSEMPEL 26 a) Vi bruker Newtons 1. lov i y-retningen til å finne et uttrykk for normalkraften. I den retningen er det bare to kraftkomponenter, og de to må da være like store. N

mg cos(T )

Friksjonskraften er R P N P mg cos(T ), og vi setter opp Newtons 2. lov i x-retningen:

15°

Bodil står på snøbrett. I en bakke beveger hun seg med konstant akselerasjon. Bakken danner en vinkel på 15q med horisontalplanet. Det virker en friksjonskraft mellom snøbrettet og snøen, og friksjonstallet er 0,02. a) Regn ut akselerasjonen til Bodil på snøbrettet. b) Hvordan blir uttrykket for akselerasjonen dersom Bodil kjører i en oppoverbakke med den samme hellingsvinkelen? Løsning Vi begynner med å lage en figur og tegner kreftene som virker på systemet bestående av Bodil og snøbrettet. Vi har også dekomponert gravitasjonskraften slik at vi kan sammenlikne kreftene som virker langs bakken, med hverandre, og kreftene som virker normalt på bakken, med hverandre.

g sin(T ) P cos(T ) 9,81 m/s2 sin(15q) 0,02 cos(15q) 2,34 m/s2

2,3 m/s2

b) Når Bodil beveger seg i oppoverbakke, er normalkraften den samme. Forskjellen dukker opp i Newtons 2. lov, der R endrer fortegn og peker i motsatt retning. Det gir G 6F

G max

Gx R

max

g sin(T ) P cos(T ) 9,81 m/s2 sin(15q) 0,02 cos(15q) 2,72 m/s2

2,7 m/s2

Vi har lagt inn et koordinatsystem slik at positiv x-retning er nedover langs bakken og positiv y-retning er oppover og normalt på bakken.

max

Vi kan dele på massen i alle leddene og sette tyngdeakselerasjonen utenfor en parentes som en felles faktor:

Gx R

mg sin(T ) P mg cos(T ) max

G max

mg sin(T ) P mg cos(T ) max

G 6Fx

Kapittel 2 Krefter og bevegelse

Legg merke til at denne akselerasjonen har større absoluttverdi enn den vi regnet ut da klossen bevegde seg nedover skråplanet. Det er fordi friksjonskraften og gravitasjonskraftens x-komponent nå peker i samme retning.

EKSEMPEL 27 En ryggsekk med massen 15,0 kg henger i ro i en snor som er festet i to trær. I den ene enden danner snora vinkelen 20,0q med horisontalplanet, og i den andre enden danner den vinkelen 30,0q med horisontalplanet, som vist i figuren til høyre. a) Tegn en figur som viser kreftene som virker på sekken. Gi vektorpilene lengder som viser riktig forhold mellom størrelsene. b) Finn størrelsen til kreftene.

θ1 = 20,0°

θ2 = 30,0°

15 kg

Løsning a)

θ1 = 20,0°

θ2 = 30,0°

F2y

F1y

F1x

F2x

b) Vi begynner med gravitasjonskraften, som er enklest å regne ut: G

Nå har vi to likninger med de to ukjente F1 og F2 . Vi velger å løse likningssystemet med CAS i GeoGebra. Vi har satt inn tallverdiene for vinklene og gravitasjonskraften. 1

§ F1 F2 2

15,0 kg 9,81 m/s2 147,15 N 147 N

F1x

F2 x

F1 cos(T1 )

F1 sin(20º) + F2 sin(30º) = 147.15 § F1 F2

Videre ser vi på kreftene i den horisontale retningen. Sekken henger i ro, og fra Newtons 1. lov kan vi slutte at de to horisontale komponentene må være like store: G 6Fx

F1 cos(20º) = F2 cos(30º)

F2 cos(T 2 )

Løs({$1, $2}) § ^^F1 F2 ``

Nå kan vi hente ut løsningene: F1

166,36 N 166 N

180,51 N 181 N

Det neste steget går ut på å bruke Newtons 1. lov i den vertikale retningen. Vi velger positiv retning oppover. G 6Fy

F1y F2 y G

F1 sin(T1 ) F2 sin(T 2 ) G

2.3 Krefter i to dimensjoner

3 80

Kapittel 3 Sirkelbevegelse

SIRKELBEVEGELSE KOMPETANSEMÅL: ɸ utforske, beskrive og modellere bevegelse i to dimensjoner ɸ bruke numeriske metoder og programmering til å utforske og modellere fysiske fenomener ɸ gjøre rede for hvordan krefter kan forårsake krumlinjet bevegelse, og bruke dette i beregninger

AKTIVITET ɸ

Fest en kule i en snor. Få kula til å gå i sirkelbane parallelt med bakken (kjeglependel). Observer og beskriv bevegelsen. Tegn en figur som viser hvilke krefter som virker på kula. I hvilken retning virker summen av kreftene? I hvilken retning akselererer kula?

3.1 Sentripetalakselerasjon I naturen og hverdagslivet finner vi mange eksempel på noe som beveger seg i sirkelbane eller i en tilnærmet sirkelbane. En bil som kjører en runde i en rundkjøring, en karusellvogn som beveger seg i en loop, satellitter som går rundt jorda, og sirkelbevegelsen til et elektron i et magnetfelt er noen eksempel. I aktiviteten ovenfor fikk du en kule til å bevege seg i en sirkelbane som var parallell med bakken. Da befant kula seg i den samme høyden over bakken til enhver tid. Sirkelbanen ligger i et horisontalt plan – derfor kan vi kalle banen for en horisontal sirkelbane. Ser vi bort fra friksjon og luftmotstand, var det to krefter som virket på kula: gravitasjonskraften og snordraget. Siden den vertikale posisjonen til kula var konstant, vet vi at summen av kreftene på kula i vertikal retning må ha vært null. I horisontal retning virker bare horisontalkomponenten av snordraget. Dermed var det horisontalkomponenten av snordraget som bidro til å akselerere kula. Retningen til akselerasjonen var derfor rett inn mot sentrum av sirkelbanen. Vi skal nå utlede to formler for denne akselerasjonen. FIGUR 31 Figuren viser et øyeblikksbilde av et legeme som beveger seg i en sirkelbane.

y/m

v (r cos θ, r sin θ) r θ

x/m

3.1 Sentripetalakselerasjon

4 110

DEN SPESIELLE RELATIVITETSTEORIEN KOMPETANSEMÅL: ɸ beskrive de sentrale prinsippene i den spesielle og generelle relativitetsteorien og gjøre rede for hvordan disse har endret vår forståelse av tid, rom og felt

Kapittel 4 Den spesielle relativitetsteorien

Romulus sier at han så et lyn slå ned foran i romskipet sitt før det slo ned et lyn bakerst i romskipet, mens Jorid sier at lynene slo ned foran og bak samtidig. Hva er det som skjer her? Kan du tenke deg en situasjon hvor dette er mulig?

I dette kapittelet skal vi se på hvordan fysikkens lover fungerer ved hastigheter som er mye høyere enn de vi har erfaring med fra vår egen hverdag. Det viser seg at vi må utvide lovene vi kjenner, for å ta hensyn til effekter som først blir viktige når farten er veldig høy. Disse nye, utvidede lovene har konsekvenser som du nok vil synes strider mot all fornuft – men husk at fornuften din er basert på erfaringer med lave hastigheter!

4.1 Referansesystemer For å beskrive bevegelser i rommet matematisk må vi først definere et koordinatsystem. Når vi har valgt hvor origo skal være, kan vi beskrive bevegelsen til ulike objekter i koordinatsystemet. Vanligvis oppfatter vi det som om origo ligger i ro, altså på samme sted på jorda hele tiden. Vi skriver «oppfatter» her, for hvis vi tenker etter, vet vi at jorda roterer, både rundt sin egen akse og rundt sola. Dette viser at det er fullt mulig å velge origo slik at hele koordinatsystemet beveger seg sett fra et annet koordinatsystem, for eksempel hvis vi legger et koordinatsystem med origo i sola istedenfor på jordoverflaten.

referansesystem

Generelt kaller vi et koordinatsystem der vi gjør målinger, for et referansesystem. Du har kanskje hørt uttrykket alt er relativt? Da mener vi gjerne at hvordan noe oppfattes, er avhengig av ståstedet til den som oppfatter det, og at ulike syn er likeverdige. Dersom vi ser på to ulike referansesystemer, sier vi at de beveger seg relativt til hverandre dersom det ene har fart i forhold til det andre. De to referansesystemene er likeverdige. Vi kan ikke avgjøre hvilket system som beveger seg i forhold til det andre, for hvis system A beveger seg med en fart v vekk fra system B, kan vi like gjerne se det som at system B beveger seg vekk fra system A med en fart på –v. Sagt på en annen måte: Det finnes ikke noe punkt som er i absolutt ro, og som vi kan bruke som referansepunkt. All bevegelse av objekter kan bare defineres relativt til andre objekter. Ingen målinger gjort i ett system er mer riktige enn målinger gjort i et annet system som beveger seg relativt til det første systemet.

Sett at du befinner deg inne i en togvogn uten vinduer. Kan du avgjøre om toget akselererer, beveger seg med konstant fart eller står i ro?

FIGUR 41 Kan gutten finne ut om togvogna beveger seg?

Et referansesystem kan være akselerert sett fra et annet system, det vil si at farten til det ene referansesystemet endrer retning og/eller størrelse sett fra det andre referansesystemet. Hvis vi for eksempel legger et koordinatsystem i ro på bakken, kan vi måle at togvogna akselererer i forhold til dette koordinatsystemet.

4.1 Referansesystemer

111

Vi har allerede sett at postulat nummer 1 gjelder for treghetssystemer ved lav fart. I eksempelet der vi undersøkte to slike systemer (eksempel 4-1), så vi at loven om bevaring av bevegelsesmengde gjaldt i begge treghetssystemene selv om måleverdiene for fart var ulike i de to systemene. Einsteins postulat sier at denne loven – og alle de andre lovene i fysikken – gjelder uansett hvilken hastighet referansesystemene har i forhold til hverandre. Det betyr at alle lover, som energibevaringsloven, termofysikkens lover, Newtons lover og lovene for elektriske og magnetiske felt, er gyldige i alle treghetssystemer. Det virker kanskje unødvendig å anta at det må være slik, men ved å sette dette fram som et postulat begrenser Einstein hva slags beskrivelser og formler som kan brukes for å forklare eksperimentelle resultater. Alle formler og forklaringer må være i tråd med de fysiske lovene.

4.4 Tidsdilatasjon Nå skal vi se hvordan postulat nummer 2 vil påvirke målinger av tid i treghetssystemer som beveger seg med høy fart relativt til hverandre. Vi skal gjøre et tankeeksperiment. Vi tenker oss at det er montert to speil i et gjennomsiktig romskip, ett i taket og ett i gulvet. Høyden mellom speilene kan vi kalle d0. En lysstråle sendes fram og tilbake mellom speilene, slik at vi kan måle hvor lang tid det går mellom hver gang lysstrålen treffer et speil og reflekteres.

Vi sender ut to observatører for å måle tiden. En av observatørene, Romulus, sitter inne i romskipet. Den andre observatøren, Jorid, står i ro på jorda utenfor romskipet. Så lar vi romskipet fare av gårde i en fart som nærmer seg lysfarten i vakuum, for eksempel 75 % av lysfarten.

Hvordan vil Romulus se at lysstrålen beveger seg? Hvordan beveger strålen seg sett fra Jorids ståsted? FIGUR 47 To speil i en avstand d0 fra hverandre. En lysstråle sendes fram og tilbake mellom speilene.

v = 0,75c

FIGUR 48 To observatører skal observere tiden det tar for lyset å bevege seg fra speil til speil. Romulus sitter i et romskip som farer av gårde i en fart som er 75 % av lysfarten. Jorid står i ro på jorda.

116

Kapittel 4 Den spesielle relativitetsteorien

Romulus

Jorid

La oss først undersøke hva Romulus, som sitter inne i romskipet, ser. For ham ser lyset ut til å gå rett opp og ned mellom speilene. Romulus måler tiden på en klokke inne i romskipet, altså en klokke som beveger seg i samme fart som lyskilden og speilene. Han måler at lyset beveger seg fra gulvet i romskipet og opp til taket på en tid vi kan kalle t0 . Siden lysfarten er konstant, d0 . har vi at c t0 FIGUR 49 Romulus sitter inne i romskipet. Han ser at lyset går rett opp og ned mellom speilene fordi han og speilene er i ro i forhold til hverandre.

Lyskilde

tidsdilatasjon

Romulus

Så undersøker vi hva Jorid ser. Fordi romskipet beveger seg forbi henne i stor fart, ser hun lyset bevege seg diagonalt mellom speilene. Når farten er så stor, rekker speilet i taket å flytte seg et godt stykke horisontalt i løpet av den tiden lyset bruker på å bevege seg fra speilet nede til speilet oppe. Og etter at lyset har blitt reflektert i speilet i taket, rekker speilet i gulvet å flytte seg enda lenger i horisontal retning før det blir truffet av lyset. Fra Jorids synspunkt beveger altså lyset seg i sikksakkform, ikke rett opp og ned. Det vil si at lyset beveger seg en lengre strekning, dJ , fra gulvet og opp til taket i Jorids referansesystem enn i Romulus’ system (d0 ). Her kommer Einsteins andre postulat inn: Fordi lysfarten er den samme også for Jorid, bruker lyset lengre tid i Jorids system enn d0 dJ i Romulus’ system. Hvis vi kaller tiden i Jorids system for tJ , skal jo c t0 tJ uansett. Hvis dJ er større enn d0 , må også tJ være større enn t0 for at forholdet skal bli det samme. Denne strekkingen eller forlengelsen av tiden kalles tidsdilatasjon og er altså en konsekvens av prinsippet om at lysfarten alltid er den samme i alle treghetssystemer.

v FIGUR 410 Jorid står på jorda og ser romskipet fare forbi. For henne ser det ut til at lyset beveger seg i sikksakk mellom de to speilene. Det beveger seg med andre ord lengre enn lyset slik Romulus ser det. Siden lysfarten er konstant, vil lyset bruke lengre tid på å bevege seg mellom speilene i Jorids målinger enn i Romulus’ målinger.

Jorid

4.4 Tidsdilatasjon

117

? 4.32

Jorid står i ro på jorda når Romulus farer forbi med romskipet sitt i høy fart. Romulus sitter ved en singallampe midt i romskipet. I det øyeblikket Romulus er rett over Jorid, sender lampa ut ett lyssignal forover og ett lyssignal bakover. Foran og bak i romskipet, like langt fra signallampa, er det detektorlamper som lyser når de mottar signalet. Tegn og forklar hvordan situasjonen vil se ut i referansesystemet til Romulus og Jorid. Vil detektorlampene lyse samtidig for begge to? 4.33

Vestfjell

4.6 Lengdekontraksjon 4.36 Forklar begrepet hvilelengde. 4.37 Hvilken retning må en lengde ha i forhold til den relative bevegelsen mellom to referansesystemer for at vi skal kunne observere lengdekontraksjon?

Østhorn

Jorid står i ro midt mellom Vestfjell og Østhorn når lynet slår ned samtidig på begge fjellene. a) Venke står i ro i samme treghetssystem som Jorid, men hun befinner seg like ved Vestfjell. Vil Venke se lyssignalet fra Østhorn og Vestfjell samtidig? b) Venke skal avgjøre om lynene slo ned samtidig. Hvordan kan hun ta høyde for at lynnedslagene har ulik avstand fra henne? c) Romulus kjører forbi med raketten sin i høy fart. Vil han måle at lynene slår ned samtidig hvis han tar høyde for forflytningen sin? 4.34 Hva skal til for at to observatører skal oppfatte to hendelser som samtidige? Vil to slike observatører oppfatte alle hendelser som samtidige? Du kan regne med at ingen av dem akselererer.

134

4.35 For milliarder av år siden eksploderte en stjerne som en supernova. Forrige onsdag var det solstorm på sola. En observatør på jorda oppdaget solstormen forrige onsdag og supernovaen i dag. a) Hvordan kan det ha seg? b) Unge stjerner som vår egen sol består ikke bare av hydrogen og helium, men også av grunnstoffer som har blitt dannet i andre stjerner som har eksplodert som supernovaer tidligere. Kan supernovaen som observatøren så i denne oppgaven, ha bidradd med tyngre grunnstoffer til vår egen sol? Begrunn svaret.

Kapittel 4 Den spesielle relativitetsteorien OPPGAVER

4.38

Når du skal måle en lengde, må du lese av linjalen i begge ender. Hvordan kan du gjøre disse målingene samtidig når lengden er lang? Hva skjer hvis vi måler lengden av noe som beveger seg med høy fart? 4.39 Ta for deg begrepene egentid og hvilelengde. Hva er likhetene mellom dem, og hvordan er de forskjellige? Hvordan forholder generelle målinger av tid og lengde seg til dem?

? Muntlige oppgaver

Blandede oppgaver

4.53 Forklar Michelson og Morleys eksperiment. Hva prøvde de å måle? Hva forventet de, og hva fant de? Hvorfor bryter dette funnet med klassisk fysikk? Hvordan løser den spesielle relativitetsteorien dette?

4.59 Et romskip beveger seg forbi jorda med farten 0,861c. Romskipet er 761 m langt og veier 5478 tonn. a) Romskipet observeres fra et teleskop på jorda. Hvor langt unna er romskipet sett fra jorda? b) Regn ut romskipets relativistiske energi og bevegelsesmengde. c) Romskipet observeres i 25 minutter fra teleskopet på jorda. Hvor lenge oppfatter astronautene at romskipet blir observert?

4.54 Hva er tidsdilatasjon? Når er tidsdilatasjonen stor? Når er den liten? 4.55 Hva er lengdekontraksjon? Når er lengdekontraksjonen stor? Når er den liten? 4.56 Hva er samtidighet? Hvorfor er det vanskelig å bli enig om samtidighet i den spesielle relativitetsteorien? 4.57 Hvilke postulater la Einstein til grunn for den spesielle relativitetsteorien? Hva betyr de? Hvordan skiller de seg fra postulatene i klassisk fysikk? Hvilke konsekvenser har de? 4.58 Skriv ned formlene og tegn grafer som viser hvordan uttrykkene for klassisk og relativistisk energi og bevegelsesmengde utvikler seg fra farten er 0 til lysfarten (og litt forbi for de klassiske). Hvorfor bryter de klassiske uttrykkene med den spesielle relativitetsteoriens postulater? Hvor fungerer de klassiske uttrykkene godt? Hvorfor bruker vi ikke alltid de relativistiske uttrykkene?

4.60 Haakon og Mette Marit beveger seg i forhold til hverandre. Hvilke av påstandene nedenfor kan forklares med relativistiske effekter, og hvilke må skyldes andre årsaker? Dersom en påstand kan forklares med relativistiske effekter, forklarer du hvordan Haakon og Mette Marit må bevege seg i forhold til hverandre. a) Haakon sier at klokka til Mette Marit går for sakte. b) Mette Marit sier at klokka til Haakon går for fort. c) Mette Marit sier at Haakon lyver når han sier at han er over 1,80 m høy. d) Haakon sier at Mette Marit har på seg for korte bukser. e) Mette Marit vil gi Haakon et nytt belte og viser det fram. Haakon sier at det er altfor kort til å passe til ham.

OPPGAVER

137

5 142

ELEKTRISKE FELT OG KREFTER KOMPETANSEMÅL: ɸ beskrive elektriske og magnetiske felt og gjøre rede for krefter på objekter med masse og ladning i slike felt

Kapittel 5 Elektriske felt og krefter

AKTIVITET Til denne aktiviteten trenger du to lette metallkuler og sytråd. Du trenger også en plaststav, en glasstav, en ullklut og en silkeklut. Kulene festes i sytråden og henges opp ved siden av hverandre. Utfør trinnene nedenfor og observer hva som skjer i hvert trinn. 1. Gni plaststaven med ullkluten og før den mot kulene. Staven skal ikke berøre kulene. 2. Gni plaststaven med ullkluten igjen. Denne gangen fører du staven så nær kulene at den kommer i kontakt med dem. 3. Gni glasstaven med silkekluten og før den mot kulene. Staven skal ikke berøre kulene. Hvordan kan du forklare observasjonene dine?

Observasjonene i aktiviteten kan virke forvirrende. Til å begynne med vil kanskje kulene bevege seg mot staven, men når du gjentar aktiviteten, vil de bevege seg bort fra staven, og vi kan også observere at de frastøter hverandre. Én ting er imidlertid felles for observasjonene: Når du gnir stavene med klutene og fører dem mot kulene, skjer det noe med kulene. Det må virke en kraft fra stavene på kulene.

Hvilke krefter er det som virker på kulene og løfter dem ut til siden?

Både gravitasjonskraften og snordraget virker på hver av kulene. Snordraget står hele tiden vinkelrett på bevegelsen og kan ikke løfte dem ut til siden. Gravitasjonskraften virker ikke i samme retning som bevegelsen. Vi må forklare bevegelsen til kulene med en helt annen kraft. Denne kraften må være en fjernkraft, da det bare er snora som er i kontakt med kulene.

5.1 Elektriske ladninger +

FE +

–

FIGUR 51

Like ladninger frastøter hverandre, og ulike ladninger tiltrekker hverandre.

I fysikk 1 etablerte vi begrepet elektrisk ladning, som vi heretter bare kaller ladning.

Ladning Det finnes to typer ladning: positiv og negativ. Ladninger med likt fortegn frastøter hverandre, og ulike ladninger tiltrekker hverandre. Ladning har symbolet q og enheten coulomb (C).

5.1 Elektriske ladninger

143

6 172

MAGNETISKE FELT OG KREFTER KOMPETANSEMÅL: ɸ utforske, beskrive og modellere bevegelse i to dimensjoner ɸ gjøre rede for hvordan krefter kan forårsake krumlinjet bevegelse, og bruke dette i beregninger ɸ beskrive elektriske og magnetiske felt og gjøre rede for krefter på objekter med masse og ladning i slike felt

Kapittel 6 Magnetiske felt og krefter

AKTIVITET ɸ

Skyv to stavmagneter med endene mot hverandre. Hva skjer? Snu den ene stavmagneten og prøv igjen. Hva skjer nå? Legg så den ene stavmagneten på et kompassnålbrett. Observer nålene på brettet og tegn en skisse av hvordan nålene innretter seg i forhold til stavmagneten. Hva skjer dersom du beveger magneten? Gjør det samme med en hesteskomagnet. Hvilket mønster danner nålene på brettet denne gangen? Dersom du har mulighet, kan du også sage stavmagneten i to deler. Hva skjer med mønsteret på kompassnålbrettet når du legger på en halv stavmagnet?

6.1 Magnetiske felt magnetisk nordpol magnetisk sørpol

FIGUR 61 Like magnetiske poler frastøter hverandre, mens ulike magnetiske poler tiltrekker hverandre.

Vi kan se at magneter påvirker hverandre med krefter. Kreftene kan være både tiltrekkende og frastøtende, og det er forskjell på de to endene av en magnet. Denne forskjellen kommer av at alle magneter har en nordpol og en sørpol. Dersom vi fører to like poler mot hverandre, kjenner vi at magnetene frastøter hverandre. Dersom vi fører en nordpol og en sørpol mot hverandre, kjenner vi at magnetene tiltrekker hverandre.

N N

FIGUR 62 To stavmagneter henger i hver sin snor. De tiltrekkes når ulike poler er vendt mot hverandre. De frastøtes når like poler er vendt mot hverandre.

S N

6.1 Magnetiske felt

173

7 208

Kapittel 7 Induksjon

INDUKSJON KOMPETANSEMÅL: ɸ utforske ulike måter å indusere elektromotorisk spenning og strøm, og analysere resultatene ɸ forklare hvordan induksjon kan inngå i bærekraftig energiproduksjon og vurdere anvendelser av induksjon i dagliglivet ɸ bruke numeriske metoder og programmering til å utforske og modellere fysiske fenomener

AKTIVITET ɸ

ɸ ɸ

Finn fram en spole, en stavmagnet, to ledninger og et voltmeter. Kople spolen til voltmeteret, som vist i figuren. Slipp først stavmagneten gjennom spolen med nordpolen ned og så med sørpolen ned. Hva observerer du? Gjør det samme på nytt, men denne gangen lar du det være større avstand mellom stavmagneten og spolen før du slipper magneten. Hva observerer du? Gjenta forsøket med en spole med et annet antall vindinger. Hva observerer du nå? Hold stavmagneten i ro inne i spolen. Hva observerer du nå? Er det andre endringer du kan gjøre for å påvirke utslaget på voltmeteret?

S v N V

I aktiviteten kunne du observere at vi fikk et utslag på voltmeteret når stavmagneten falt gjennom spolen. Det må bety at det settes opp en spenning i spolen når vi slipper magneten gjennom den. Dette kaller vi for indusert spenning, og disse observasjonene er grunnlaget for produksjonen av elektrisk energi.

7.1 Indusert elektromotorisk spenning og strøm

FIGUR 71 Den engelske fysikeren Michael Faraday (1791–1867) oppdaget elektromagnetisk induksjon i 1831.

Etter at Ørsted i 1820 hadde oppdaget at elektrisk strøm i en leder satte opp et magnetfelt, ble Michael Faraday (1791–1867) nysgjerrig på om det motsatte også kunne være mulig. Faraday lurte altså på om et magnetfelt kan få ladde partikler til å bevege seg og dermed produsere elektrisk strøm. Han undersøkte dette slik vi gjorde i aktiviteten ovenfor, og gjorde de samme observasjonene: Endringer i et magnetfelt kan få strøm til å gå i en spole.[1] Vi kan oppsummere observasjonene våre slik: 1. Dersom en magnet beveger seg i nærheten av en spole, settes det opp en spenning i spolen. 2. Dersom vi snur magneten, snur utslaget på voltmeteret. 3. Flere vindinger på spolen gir større utslag på voltmeteret. Hvis vi eksperimenterer med farten og styrken til magneten, vil vi også observere følgende: 4. Jo fortere magneten går gjennom spolen, desto større utslag ser vi på voltmeteret. 5. En sterkere magnet gir større utslag på voltmeteret enn en svakere magnet. Faraday formulerte en lov kalt Faradays induksjonslov med utgangspunkt i disse observasjonene. Før vi gjør oss kjent med Faradays induksjonslov, må vi etablere begrepet magnetisk fluks.

7.1 Indusert elektromotorisk spenning og strøm

209

8 246

Kapittel 8 Gravitasjon

GRAVITASJON KOMPETANSEMÅL: ɸ gjøre rede for energibevaring i gravitasjonelle sentralfelt og bruke dette til å beregne bevegelse i slike felt ɸ bruke numeriske metoder og programmering til å utforske og modellere fysiske fenomener ɸ beskrive de sentrale prinsippene i den spesielle og generelle relativitetsteorien og gjøre rede for hvordan disse har endret vår forståelse av tid, rom og felt ɸ presentere sentrale elementer i ny viten i fysikk som er et resultat av internasjonalt forskningssamarbeid, og vurdere hvordan slikt samarbeid bidrar i kunnskapsutviklingen

AKTIVITET Gå inn i en heis og ta heisen. Hvordan føles det når heisen står stille? Hvordan føles det når heisen starter opp? Når heisen er i fart? Når heisen bremser opp? Prøv å slippe noe ned på gulvet i heisen på ulike tidspunkt når heisen går. Hva skjer?

Gravitasjon er hele tiden en del av livet vårt. Enten vi tar heisen, mister blyanten på gulvet eller kjører berg-og-dal-bane, er gravitasjonen alltid til stede. Når du tar heisen og kjenner nøye etter, kjenner du kanskje at du blir presset nedover når heisen begynner å stige oppover. Når heisen bremser opp eller begynner å kjøre nedover, kjenner du deg kanskje litt lettere, som om magen beveger seg oppover. I en berg-og-dal-bane eller et oppskytningstårn kjenner vi det samme, men da er følelsen mye sterkere.

FIGUR 81 I et oppskytningstårn som SpaceShot i fornøyelsesparken Tusenfryd kan du kjenne på sterke g-krefter.

FIGUR 82 Når du kaster en ball oppover, bremser den og faller ned igjen. Ballen blir påvirket av en kraft som drar den mot jorda.

8.1 Newtons gravitasjonsteori

Når du slipper noe, enten du står på bakken, i heisen eller på et rullefortau, faller objektet til jorda, selv om det var helt i ro da du slapp det. Objektet blir akselerert, altså påvirket av en kraft som drar det mot jorda. Fra tidligere kjenner vi denne gravitasjonskraften ved jordoverflaten, og foreløpig kaller vi den FG, en kraft som virker på et objekt med massen m med størrelsen mg. Kraften virker likt på alle objekter og er altså alltid proporsjonal med massen m til objektet den virker på: FG v m FIGUR 83 Gravitasjonskraften holder månen i sirkelbane rundt jorda.

8.1 Newtons gravitasjonsteori

247

9 292

Kapittel 9 Kvantefysikk

KVANTEFYSIKK KOMPETANSEMÅL: ɸ gjøre rede for hva som skiller kvanteobjekter fra klassiske objekter, og beskrive situasjoner der kvanteeffekter observeres

AKTIVITET ɸ

Forestill deg at du kaster en terning 20 ganger. Finn på tallene du får i hvert kast, og skriv dem ned. Hvilke egenskaper ved en terning brukte du for å komme fram til resultatene? Kast en terning 20 ganger og skriv ned tallene du får i hvert kast. Du kan også bruke Pythonbiblioteket random til å generere 20 tilfeldige terningkastresultater. Diskuter prinsippene dere brukte for å finne på tall. Er det forskjell på de ekte måleseriene og de dere fant på? Samle måleseriene fra alle i klassen i to store måleserier, én for tilfeldige resultater og én for resultatene dere har funnet på. Finner dere de samme forskjellene nå? Regn ut gjennomsnittet og standardavviket for hver enkelt måleserie og for de to store måleseriene.

Både de ekte og de tenkte måleresultatene bestod bare av tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6. På terningen får vi ikke 7 eller 0, og vi får heller ikke 2,5 eller S.

FIGUR 91 Når vi kaster en terning, vil resultatet fordele seg tilfeldig fra 1 til 6.

Tenkte du at de ulike tallene ville forekomme like ofte da du forestilte deg at du kastet terningen 20 ganger? Tenkte du med andre ord på fordelingen av de ulike verdiene, sannsynlighetsfordelingen? De fleste som skal finne på tall til slike tallserier, har en tendens til å fordele tallene jevnere enn det som faktisk vil være tilfelle når terningen kastes tilfeldig. Når vi finner på tallene, velger vi sjelden samme tall mange ganger etter hverandre eller at ett eller flere tall ikke forekommer. Når vi kaster terningen, derimot, er det slett ikke uvanlig at slike ting skjer. Når vi kaster en terning mange ganger, forventer vi at gjennomsnittet av tallverdiene på kastene blir 3,5. Kanskje var det slik at gjennomsnittet for hver enkelt måleserie på 20 tall kom nærmere 3,5 for de tenkte verdiene enn for de målte? Og sannsynligvis var det slik at gjennomsnittsverdien kom nærmere 3,5 for de målte verdiene når dere la sammen alle måleseriene til én, enn de var for hver enkelt måleserie.

Tenkte du på hvordan terningen ville rulle nedover hånden din da du fant på tallene i startaktiviteten? Hvorfor? Hvorfor ikke?

kvantisert

Startaktiviteten handler ikke egentlig om kvantefysikk, men den viser oss en del ting som kan gjøre det lettere for oss å forstå kvantefysikken i dette kapittelet. Når fysikere tenker på kvantefysikk, tenker de kanskje på fenomener som minner om terningkastresultatene på atom- og molekylnivå. På samme måte som vi kan få 3 og 4 på terningen, men ikke alle verdiene imellom, har de minste bestanddelene i naturen egenskaper som bare kan ha bestemte diskrete verdier og ikke verdiene imellom. I fysikk 1 lærte du at dette gjelder både fotoners energi og energinivåene i atomer, og at vi sier at energien er kvantisert.

293

10 334

UTFORSKE OG VURDERE MED FYSIKK KOMPETANSEMÅL: ɸ utforske og analysere en selvvalgt teoretisk eller praktisk problemstilling i fysikk, og presentere viktige prinsipper, sammenhenger og konsekvenser

Kapittel 4 Spesiell relativitetsteori

Når fysikere utvikler ny kunnskap og forsøker å finne ut hvilke teorier som stemmer best med virkeligheten, er de ofte drevet av nysgjerrighet og et ønske om å utforske og forstå et bestemt naturfenomen. Det var ønsket om å forstå sammenhengen mellom ulike teorier om lys og observasjonene av lys og lysfart som fikk Albert Einstein til å utvikle den spesielle relativitetsteorien. Den klassiske fysikken, James Maxwells teori om elektromagnetisme og måleresultatene fra Michelson-Morley-eksperimentene stemte ikke overens og gjorde det nødvendig å utvikle en ny teori. Den dag i dag blir det gjort eksperimentelle forsøk for å teste relativitetsteorien i nye og mer ekstreme situasjoner. Så langt har den vist seg å stemme svært godt. Det må gjerne ny teknologisk utvikling til for at man skal oppdage nye og tidligere ukjente fenomener. For eksempel var det først da teknologien for nedkjøling av materialer ble bedre, at Heike Kamerlingh Onnes (1853–1926) kunne utforske materialegenskaper ved svært lave temperaturer. Onnes og medarbeiderne hans oppdaget fenomenene superflytende helium og superledning. Et annet eksempel er hvordan mange tusen fysikere samarbeider ved CERN og andre partikkelakseleratorer om å utvikle eksperimentelle metoder som er gode nok til å teste teorier i partikkelfysikk. Ved å gjøre målinger av partikkelkollisjoner kan de finne ut hvilke teorier som beskriver naturen best. FIGUR 101 En superleder er nedkjølt av flytende nitrogen. På grunn av den såkalte Meissner-effekten kan vi få den til å sveve under en magnet.

Fysikere, som må beherske ulike arbeidsmetoder, kan ha litt ulike utgangspunkt når de utvikler ny kunnskap. Noen jobber mest eksperimentelt, mens andre jobber mer teoretisk. Noen fysikere jobber primært med å utvikle faglige teorier og metoder og tette kunnskapshull. Dette kalles gjerne grunnforskning. Andre fysikere jobber med å løse bestemte praktiske og samfunnsmessige problemer, det vi kaller andvendt forskning. Slik forskning kan ofte være drevet av et ønske om økonomisk fortjeneste, men målet kan også være å bidra til den teknologiske utviklingen eller til forbedringer, for eksempel på helse- og miljøområdet. Grunnforskningen gir ikke nødvendigvis noen gevinst på kort sikt, men på lengre sikt kan den bidra til framskritt som den anvendte forskningen kan dra nytte av. Grunnforskning foregår derfor ofte hovedsakelig ved universiteter eller offentlige og ideelle organisasjoner. 335

FASIT

30-sone

c) Absolutt usikkerhet:

Ab aB B b B b

70 60

1 Tenke og gjøre fysikk 1.04 a) 1,41 m/s b) 0,02 m/s c) 0,014 = 1,4 % 1.06 a) 0,012 m/s b) Ved få målinger bør vi bruke avviket beregnet av halve variasjonsbredden. 1.07 a) Den riktige verdien er innenfor usikkerheten, og usikkerheten er moderat. b) Den riktige verdien er innenfor usikkerheten, og usikkerheten er liten. c) Det er liten usikkerhet, men den riktige verdien er utenfor usikkerheten. Her er det mest sannsynlig en systematisk feil. d) Den riktige verdien er innenfor usikkerheten, men usikkerheten er stor. Konklusjonen er at elevene i gruppe b har fått de beste resultatene. 1.08 a) Gjennomsnitt: 27,9 km/h Avvik: 17,5 km/h Standardavvik: 6,4 km/h b) (28 r 18) km/h (28 r 6) km/h c) Her er det mange målinger, så antakelig vil standardavviket gi en bedre beskrivelse av hva som er den mest vanlige usikkerheten.

Relativ usikkerhet:

50 40

b B

aB2

B2 b2

A B2 b2

Når b2 B2 , går formelen mot

10 0

30 35 Fart / (km/h)

Histogrammet viser at de fleste målingene ligger mindre enn ett standardavvik fra gjennomsnittet. Den største usikkerheten beskriver derimot bedre de mer ekstreme målingene. 1.09 a) (76,8 r 1,2) km b) (32,1 r 2,4) km c) (70,7 r 4,8) m2 d) (8,9 r 1,0) m/s

1.16 c) x(t) 11 , t 0,32 Avvik: 0,047 Standardavvik: 0,0303 1.20 a) Ja. 1.22 a) 0,0125 m/s c) 0,01 m/s

2.01 a) 76 km/h og 21 m/s b) 40 km/h og 11 m/s

b) 0,20 J 'm 'v 2 0,078 m v

7,8 %

1.13 a) g 9,9 r 3,8 m/s2 b) Han bør redusere usikkerheten i T, det senker usikkerheten til 3,0. Reduserer han usikkerheten i r gir det 3,1, mens reduksjon i T gir 3,3.

2.02 a(t) vc(t)

scc(t)

2.03 a) Sann 2.04

b) Usann v / (km/h)

40 20

t/h

–20

1.14 a) (10,6 r 0,8) m/s2 b) 'EP 'm 'g 'h EP m g h

b) 0

2 Krefter og bevegelse

1.11 a) 8 0,01 m 0,08 m b) 70 ± 1 m2 1.12 a) 5 % c) 'EK EK

a b A B

–40 –60

0,16 16 %

og 0,03 J c) (0,17 r 0,03) J

2.05 a) 5

a / (m/s2)

1.15 a) Absolutt usikkerhet: Ab aB

a b Relativ usikkerhet: A B

2 0

t/s 0 10 20 30 40 50 60

b) 2,0 km 346

FASIT

2.06 a) Akselerasjonen er 9,8 m/s2 , startfarten er 5,2 m/s, og startposisjonen er 1,8 m fra et valgt nullpunkt. Det er et loddrett kast. b) –6,6 m/s. Fortegnet forteller at farten har motsatt retning av startfarten. 2.07 B, arealet er størst. 2.08 a) 25 m/s b) v(t) t 2 og s(t) c) 42 m e) 417 m

1 3 t 3 d) 2,5 m/s2

2.09 a) 9,0 m. Det er ingen akselerasjon. b) 9,4 m. Det er konstant akselerasjon lik 0,75 m/s2 . c) 7,0 m. Det er økende akselerasjon. 2.10 a) 6,7 m/s

b) 4,0 m

2.11 a) 15,6 m b) s(t) t 2 , s(4) 16 m c) Kortere tidssteg gir et mer nøyaktig svar. 2.12 a) s(t)

3 2 t 2t , 32 m b) 32 m 2

2.15 a) Tyngdekraften virker rett nedover, normalkraften fra underlaget virker oppover normalt på underlaget, og friksjonskraften virker oppover skråplanet. b) 1,0 N og 5,8 N c) 1,0 N, P 0,18 d) 0, realistisk. e) 5,9 N, P f, ikke realistisk.

2.17 b) a g sin(T ), der T er vinkelen mellom skråplan og horisontalt underlag. 2.18 a) 4,2 m/s2 b) Den vil være den samme. c) 13 m/s d) Den øker når massen øker, og minker når massen minker. 2.19 a) Etter 0,27 s, 15 cm. c) Klossen snur fortere og kommer ikke like langt opp skråplanet. 2.20 11 kg/m 2.21 a) 14 m/s2 c) 7,5 m/s2

b) 1,2

2.22 a) 0,33 N c) 0,6

b) 1,2 m/s2

2.29 Gravitasjonskraft på 9,8 kN, snordrag 13 kN og luftmotstand 9,1 kN. 2.30 a) 8,7 m/s og 5,0 m/s b) 10 m/s og 9,7 m/s c) 9,9 m/s og 9,0 m/s d) 5,0 m/s og 53q 2.31 d) Dette avhenger av hvilken modell vi bruker for luftmotstand. Grafene i oppgave a og b ville hatt et toppunkt som ligger lavere, og grafen i oppgave c ville ikke lenger vært en rett linje. 2.32 G , 4,9 t 2 º m a) s(t) ª1,2 t, 11 ¬ ¼ G v(t) >1,2, 9,8 t @ m/s G a(t) >0, 9,8@ m/s2 c) 0,57 m

d) 4,8 m/s

2.34 a) 0,76 s b) 0,40 m, 1,6 m G c) v(0,7555 s) >0,80 m/s, 7,4 m/s @ , 2.23 7,5 m/s, 84q c) For at snordragene skal bli like store. d) 0,60 m d) 16 N 2.24 a) Gravitasjonskraften virker loddrett nedover. De to snordragene virker langs tauene på hver side. b) 0,61 kN nedover, 0,58 kN langs snora mot venstre og 0,47 kN mot høyre. 2.25 8,4 MN og 4,1 MN

2.36 a) 5,1 m b) Ballen lander 17 m unna utgangspunktet, men den kan jo trille ned i hullet etter at den har landet. 2.37 a) 67 cm

2.26 a) 3,7 kN 2.27 b) G

2.35 Ballene treffer gulvet samtidig.

2.38 a) v0 x 0,44 N, S

2.28 a) 0,15 kN

0,45 N, F = 0,094 N

b) 0,37 kN

b) x

b) 22 cm

v0 cos(D ) , 2 v0 sin(2D )

v0 y

v0 sin(D )

g c) 42q eller 48q d) 1,2 s eller 1,3 s

FASIT

347

STIKKORD A

absolutt usikkerhet 12 absoluttverdi 40 akselerasjon 28 - gjennomsnitts- 28 - momentan 29 - sentripetal- 81 ff, 84 akselerasjonsfunksjon 29 akselerasjonsvektor 52 amplitude 295 antiderivasjon 33 anvendt forskning 335 arbeid 57 arealvektor 210 avvik 10

CERN 125 Compton, Arthur Holly 298 comptonbølgelengde 299 comptonspredning 298, 299 comptonstøt 298, 299 corioliseffekten 112 cosinus 40 coulomb 143 Coulomb, Charles Augustin de 144 Coulombs lov 144

B bakgrunnsstoff 336 banefart 82 Bell, John Stewart 309 bevaring av mekanisk energi 54, 254 bevegelse 26 ff - sammensatt 27 ff - endimensjonal 28 ff - todimensjonal 27, 38 ff, 45 ff - sirkel 80 ff bevegelseslikninger 31 - utledning 38 bevegelsesmengde - foton 300 - klassisk 114 - relativistisk 126 ff B-felt 174 binærstjernesystem 259 Biot-Savarts lov 190 blåforskyvning, gravitasjonell 268 Bohr, Niels 308, 310 bosoner 313 brønn 311 bølge 294, 295 bølgeformelen 295 bølgefunksjon 304 bølgelengde 295 - de Broglie- 306 bølge-partikkel-dualitet

370

STIKKORD

D de Broglie-bølgelengde 306 de Broglie, Louis 306 dekomponering 39, 46 derivasjon 29, 47, 83 detektor 302 determinisme 294, 308 dilatasjon 119, 266 dobbeltspalteeksperimentet 301 ff dossering 88 dualitet, bølge-partikkel303 dverg, hvit 314

E eddystrømmer 343 effekt 226 egentid 118 Ehrenhaft, Felix 155 Einstein, Albert 115, 261, 297, 308, 310 ekvivalensprinsippet 262 elastisk fjær 54 ff elastisk pendel 339 elektrisk effekt 226 elektrisk felt 142 ff, 146 elektrisk kraft 142 ff, 144 elektrisk ladning 143 elektrisk potensiell energi 170, 171 elektromagnet 190 elektromagnetisk bølge 294 elektromagnetisk spekter 295 elektromotor 189 elektromotorisk spenning 212

elektronsky 307 elektronvolt 164 ems 212 EM-spekteret 295 endimensjonal bevegelse 28ff endelig brønn 311, 312 energi 54 - elektrisk 170, 171 - fjær 59 - foton- 297 - gravitasjon 254 - mekanisk 54 - potensiell 57, 255 - relativistisk 126, 127 energibevaring i gravitasjonsfeltet 254, 255 energi–masse-loven 126 energiproduksjon 221 eter 115 etikk 8 ff eulermetoden 35

F Faraday, Michael 209 Faradays induksjonslov 212 - ved kontinuerlig fluksendring 221 fart 28 - bane- 82 - gjennomsnitts- 28 - momentan- 29 fartsfunksjon 29 fartsvektor 51 fartsvelger 182 feil 9 feilforplantning 15, 16 felt - elektrisk 142 ff, 146 - gravitasjons- 250, 251 - homogent 151 - magnetisk 172 ff, 174 - punktladning 146 - sentral- 146 fermioner 313 fjærkraft 54 ff fjærpendel 54, 61 fjærstivhet 55 flerlegemesystem 259

fluks 210 flukstetthet (magnetfelt) 174, 210 Foucaults pendel 339 forflytning 28, 51 forskning 335 forskningssamarbeid 275 fotoelektrisk effekt 295 ff, 297 foton 297 - energi 297 - bevegelsesmengde 300 frekvens 295 - vinkel- 82 friksjon 17, 87, 341 - på skråplan 64 friksjonstall 17 fysikk 7

G galakser 340 galileiformelen 113 Galilei, Galileo 113 generator 221 generell relativitetsteori 261 ff geostasjonær satellitt 256 gjeldende siffer 9 gjennomsnitt 10 gjennomsnittsfart 28 glidefriksjon 87 GPS 266 graf - posisjons- 29 - farts- 29 grafisk utjevning 16, 17 gravitasjon 246 ff gravitasjonell lysavbøyning 267 gravitasjonell potensiell energi 254, 255 gravitasjonell rødforskyvning 268 gravitasjonell tidsdilatasjon 266 gravitasjonsbølger 272 gravitasjonsfelt 250 - energibevaring 254, 255 - homogent 251 - sentralt 251, 254

gravitasjonslinsing 267 gravitasjonslov, Newtons 248 gravitasjonsteori - Newtons 247 ff - Einsteins 261 ff grensefrekvens 296, 297 grunnforskning 335

H halvleder 314 Heisenberg, Werner 306, 308 Heisenbergs uskarphetsrelasjoner 306 hendelse 118 histogram 14 homogent felt 151 Hookes lov 55 horisontal sirkelbevegelse 81 ff horisontalt kast 49 hverdagsfysikk 228, 341 hvileenergi 126 hvilefriksjon 87 hvilelengde 123 hvit dverg 314 høyrehåndsregel - arealvektor 213 - ladd partikkel i magnetfelt 176 - magnetfelt rundt strømførende leder 190 - magnetfelt rundt strømførende spole 192 - strømførende leder i magnetfelt 187

I identiske partikler 312 idrettsfysikk 341 induksjon 208 ff - i hverdagen 228 - platetopp 228 - trådløs lading 229 induksjonsloven 212 integrasjon 32 ff intensitet 295 interferensmønster 301 ff internasjonalt forskningssamarbeid 275

kartesiske koordinater 93 kast 45 ff - horisontalt 49 - med luftmotstand 53 - skrått 45 ff kastemaskin 341 kausalitet 316 kjeglependel 85 kildekritikk 336 kinetisk energi, relativistisk 127 kollaps 308 kondensator 151 kontraksjon 125 koordinatsystem - kartesisk 93 - polar 93 - referansesystem 111 - tredimensjonalt 27 - treghetssystem 112 kraftverk 224, 237, 343 krefter 26 ff - elektriske 142 ff, 144 - magnetiske 172ff, 175 ff - to dimensjoner 38 kryssprodukt 175, 176 kvantefysikk 292 ff kvanteobjekter 304 ff kvantepartikler 303, 304 ff kvantetilstand 314 kvantisert 293, 297, 311 københavnertolkningen 308

magnetfelt 172 ff, 174 - homogent 174 - rektangulær ledersløyfe 217 ff - stavmagnet 173, 174 - strømførende leder 190 magnetisk fluks 210 magnetisk pol 173, 175 magnetiske krefter 172 ff - på elektriske ladninger 175 ff - på strømledere 186 ff magnetresonanstomografi 344 mangelegemesystem 259 mange-verden-tolkningen 309 massespektrometer 180 Maxwell, James Clerk 294 medisin 344 Michelson, Albert. A. 115, 137 Michelson-Morleyeksperimentet 115, 137 Millikan, Robert Andrew 155 momentanfart 28 Morley, Edward W. 115, 137 MR 344 myon 120 mørk materie 340 målekollaps 308 måleusikkerhet 8 ff måling 8 - i kvantefysikk 302 ff, 308 ff

oljedråpeforsøk 155, 166 omløpstid 82 Onnes, Heike Kamerlingh optikk 345 orbital 307, 313

L ladning 143 ledningsbånd 314 ledersløyfe i magnetfelt 217 ff lengdekontraksjon 123 ff Lenz’ lov 215 LHC 125 LIGO 273 linsing 267 loggbok 10, 19, 155 lokal virkelighet 308 loop 94 ff lorentzfaktoren 119 luftmotstand 36, 53 lysavbøyning 267 løsrivingsenergi 297

N Newtons gravitasjonslov 248 Newtons lover 39 nordlys 184 nordpol, magnetisk 173, 175 normalfordeling 11 numerisk beregning 35 nøytronstjerne 314

P parabel 45 partikkel 303 - identiske 312 pendel - bevegelser 339 - fjær- 54, 61, 339 - Foucaults 339 - kjegle- 85 - plan- 89 - reelle 339 - resonans- 339 periode 82 plagiat 338 planpendel 89 ff platekondensator 151 Podolskij, Boris 308 pol, magnetisk 173, 175 polarisering 316, 345 polarkoordinater 93 posisjon 28 posisjonsfunksjon 29 postulater - spesiell relativitetsteori 115 potensiell energi 57 - elektrisk 170, 171 - fjær 59 - gravitasjonell 254, 255 presisjon 8 problemstilling 336 punktladning 244, 246

R radianer 82 rapport 19, 338 reelle pendelbevegelser 339 referanser 338 referansesystem 111 rektangulær ledersløyfe 217 ff relativ usikkerhet 12 relativistisk bevegelsesmengde 126 relativistisk energi 126, 127

STIKKORD

371

relativitetsteori - generell 261 - postulater 115 - spesiell 110 ff resonanspendel 339 RMS - avvik 11 - spenning 223 romreiser 342 Rosen, Nathan 308 rødforskyvning, gravitasjonell 268 røntgen 344

S sammenfiltring 315 sammensatt bevegelse 27 ff samtidighet 121 ff sannsynlighetsfordeling 293, 304 ff, 308 satellitt - geostasjonær 256 schrödingerlikningen 304 Schrödingers katt 309 Schwarzschild-radien 269 sentralfelt 146 - elektrisk 146 - gravitasjon 250, 251 sentripetalakselerasjon 81 ff, 84 sinus 40 sirkelbevegelse 80 ff - horisontal 81 ff - vertikal 89 ff skjulte variabler 308 skråplan 38 ff skrått kast 45 - med luftmotstand 53 solceller 345 solstormer 345 spekter, elektromagnetisk 295 spenning 151 - RMS 223 spesiell relativitetsteori 110 ff - postulater 115 spinn 312, 313

372

STIKKORD

spiralbevegelse 184 spole 192, 212 - primær- 226 - sekundær- 226 standardavvik 11 standardmodellen 340 stavmagnet 173 ff std 11 strømhuske 188 stråleterapi 344 størrelse 10 superposisjon 304, 305 superledning 335 svart hull 269 ff, 340 sving 86 ff - horisontal 88 - dossert 88, 89 systematiske feil 9 systemer, mange legemer 259 sørpol, magnetisk 173, 175

T tangens 40 tangent 29 teltronrør 158 tesla 174 tidrom 264 tidsdilatasjon 116 ff - gravitasjonell 266 todimensjonal bevegelse 27, 38 ff, 45 ff transformator 225 ff transformatorlikningen 226 transformatorstasjon 227 tredimensjonal bevegelse 27 trefaset spenning 227 treghetssystem 112 - høy fart 115 ff - lav fart 113 trigonometri 40 trådløs lading 229 tunnelering 311, 312 tvillingparadokset 139, 265 tyngdeakselerasjonen - med planpendel 19 - med kjeglependel 22

U uavhengighetsprinsippet for vektorer 39 ff, 45 uendelig brønn 311 ultralyd 344 universet 340 unnslipningsfart 258 usikkerhet 8 ff - absolutt 12 - feilforplantning 15, 16 - grafisk utjevning 16, 17 - relativ 12 uskarphet 305 ff uskarphetsrelasjonene 306

V valensbånd 314 vannkraftverk 224, 237 variasjonsbredde 10 vekselstrøm 221 ff vektorer 39 ff vektorprodukt 176, 177 vertikal sirkelbevegelse 89 ff vindmøller 343 vinkelfart 82 VIRGO 274 virkelighet, lokal 308

W weber 210

Y Young, Thomas 301

Ø Ørsted, Hans Christian 190

Å ångstrøm 167