Forord
Formelsamlingen for matematikkfaget 1T er et praktisk oppslagsverk for både elever og lærere. Her finner du formler, tabeller, forklaringer og eksempler som gir god støtte i det daglige skolearbeidet og til eksamen.
Formelsamlingen er designet slik at den skal være lett å navigere i, med stikkordsliste bakerst i boka og en innholdsfortegnelse øverst i høyre hjørne på hvert oppslag. Vi anbefaler likevel at du bruker den jevnlig og blir godt kjent med innholdet. Da finner du raskere det du trenger.
Det er også satt av plass til å skrive egne notater.
Lykke til med faget. Vi håper formelsamlingen vil være til hjelp.
Hilsen redaktørene,
Ingrid Ertzgaard Bjørn-Terje Smestad
Innhold
1 Tall, mønstre og bevis
4 Geometri
2
Algebra
5 Trigonometri
3 Funksjoner og modellering
6 Programmering
Tall, mønstre og bevis 1
1.1 Tallsystem og mengder
Plassverdisystemer
Tallmengder
Lister og intervaller
1.2 Symboler og tegn
Matematiske symboler
Det greske alfabetet
1.3 Måleenheter
Prefikser
Vanlige måleenheter
Areal- og volummål
Omgjøring mellom størrelser
1.4 Grunnleggende regning
Aritmetikk og regneregler
Potenser og potensregler
Standardform
Røtter
1.5 Brøk og prosent
Brøk og regneregler
Prosent og promille
Prosentpoeng og prosentvis forskjell
Vekstfaktor og prosentvis endring
1.6 Mønstre og bevis
Tallfølger og figurtall
Rekursive formler
Sammensatte figurtall
Bevis
1.3 Måleenheter
Prefikser
n nano 10–9 milliarddel h hekto 102 hundre
μ mikro 10–6 milliondel k kilo 103 tusen
m milli 10–3 tusendel M mega 106 million
c centi 10–2 hundredel G giga 109 milliard
d desi 10–1 tidel T tera 1012 billion
Vanlige måleenheter
Masse (vekt)
kg kilogram, standardenhet for masse
Strekning (lengde)
600 g = 0,6 kg
m meter, standardenhet for strekning 176 cm = 1,76 m mil mil, 1 mil = 10 km = 10 000 m 8000 m = 8 km = 0,8 mil
Tid
s sekund, standardenhet for tid 120 s = 2 min min minutt, 1 min = 60 s 2 min og 24 s = (120 + 24) s = 144 s h time (hour), 1 time = 60 min = 3600 s 1 time og 45 min = (60 + 45) min = 105 min
Fart (hastighet)
m/s meter per sekund 10 m/s = 36 km/h km/h kilometer per time, 3,6 km/h = 1 m/s 72 km/h = 72 000 m/3600 s = 20 m/s
Temperatur
K kelvin, standardenhet for temperatur –273 °C = 0 K
°C celsiusgrader 0 °C = 273 K
°F fahrenheitgrader
Elektrisitet
V volt, måleenhet for spenning
A ampere, måleenhet for strøm
Ω ohm, måleenhet for resistans (motstand) W watt, J/s, måleenhet for effekt, 1 W = 1 VA
Energi
J joule
230 V ⋅ 7 A = 1610 W
kWh kilowattime, 1 kWh = 3 600 000 J 1000 W i 1 time = 1 kWh
kcal kilokalori, 1 kcal = 4184 J
Prefikser
Vanlige måleenheter
Areal- og volummål Omgjøring mellom størrelser
Areal- og volummål
Areal (flatemål)
m2 kvadratmeter
cm2 kvadratcentimeter
km2 kvadratkilometer
Volum (hulmål)
m3 kubikkmeter
cm3 kubikkcentimeter
L liter, 1 L = 1 dm3
Omgjøring mellom ulike størrelser Mellom m/s og km/h m/s · 3,6 : 3,6 km/h
4 m/s = 4 3,6 km/h
90 km/h = 90 : 3,6 m/s = 14,4 km/h = 25 m/s
m2 til km2
m2 = 1500 : 1 000 000 km2 = 1500 : ( 1000 . 1000 ) km2 1,5 . 103 = 1,5 10-3 km2 = 0,0015 km2
Eksempel: Regning med tid
I en gymtime krysser en elev målstreken på 3000 meter etter 12 minutter og 30 sekunder.
Eleven løper 500 meter til med samme jevne fart. Hvor lang tid bruker eleven på 3500 m?
Vi gjør om tiden eleven bruker på 3000 meter til sekunder:
12 min + 30 s = (12 . 60 + 30) s = 750 s
Så finner vi tiden per 500 meter. Siden 3000 m : 500 m = 6, deler vi tiden på 6:
12 min 30 s + 2 min 5 s = 125 s = 2 min 5 s 750 s 6
Vi legger dette til tiden for 3000 meter:
= 14 min og 35 s
1.6 Mønstre og bevis
Tallfølger og figurtall
En tallfølge er en serie med tall som følger et bestemt mønster. Når tallfølgen kan illustreres med figurer, kan vi kalle det figurtall.
Kvadrattallene, S n
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, …
Formel for tall nummer n: S n = n2
Rektangeltallene, R n
2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, …
Formel for tall nummer n: () 1 n Rnn = ⋅+
Trekanttallene, T n
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, …
Formel for tall nummer n: () 2 1 2 n n n T Rn⋅+ ==
Kubikktallene, C n
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, …
Formel for tall nummer n: C n = n3
Rekursive formler
En rekursiv formel bruker foregående ledd for å uttrykke neste ledd. Programmering kan være nyttig dersom vi ønsker å utforske tallfølger med en rekursiv sammenheng.
Trekanttallene, T n 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …
Fibonacci-tallene, F n 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
Sammensatte figurtall
Rekursiv formel: =+ 1 nn TTn
Rekursiv formel: 12nnn FFF =+
Ofte får vi bruk for å dele opp figurer i mindre deler slik at vi gjenkjenner mønsteret hver del danner.
Vi kan dele opp figurene til høyre slik:
1. En kvadratisk del som består av n2 sirkler. Markert med gul.
2. En del som består av 2n sirkler. Markert med blå.
3. Én sirkel. Markert med en lilla sirkel nederst i figurene.
Formelen for tall nummer n er derfor: F n = n2 + 2n + 1
Tallfølger og figurtall
Rekursive formler
Sammensatte figurtall Bevis
Bevis
Et matematisk bevis begrunner at en påstand er sann. Når vi skriver bevis, bruker vi definisjoner, kjente regler og logiske resonnementer. For å bevise en påstand må vi vise at påstanden gjelder for alle tilfeller. For å motbevise en påstand er det nok med ett eksempel som viser at påstanden er feil.
Direkte bevis
For å bevise at påstand P medfører påstand Q, antar vi først at P stemmer. Deretter bruker vi påstand P til å vise at Q må stemme.
P ⇒ Q
Indirekte bevis
Et indirekte bevis kalles også et kontrapositivt bevis.
Når vi utfører et indirekte bevis, viser vi at hvis konklusjonen Q er usann, må også forutsetningen P være usann.
ikke Q ⇒ ikke P
Bevis ved motsigelse
Når vi fører et bevis ved motsigelse, antar vi at påstanden er usann, og viser at dette fører til en motsigelse.
Påstand: Hvis a og b er to etterfølgende heltall, er a + b et oddetall.
Bevis: Siden a og b er etterfølgende heltall, må b = a + 1. Dermed er a + b = a + (a + 1) = 2a + 1
Siden a er et heltall, er 2a + 1 et oddetall.
Påstand: Hvis n2 er et partall, så er n et partall.
Bevis: Vi bruker et indirekte bevis og viser derfor i stedet at "Hvis n er et oddetall, så er n2 et oddetall".
La n være et oddetall slik at n = 2k + 1, der k er et heltall. Da er n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1
Siden r er et heltall, må n2 = 2r + 1, være et oddetall. r
Påstand: Det finnes uendelig mange primtall.
Bevis: Vi antar det motsatte, at det finnes et endelig antall primtall, og at p1, p2, ..., pn er listen over alle primtallene. La så P = p1 p2 · ... · pn + 1
Nå er ikke tallet P delelig med noen av de n primtallene. Da må også P være et primtall. Antakelsen er dermed feil, og det finnes uendelig mange primtall.
4.2 Todimensjonale figurer
Mangekanter
Nedenfor finner du formler for arealet A og omkretsen o til noen geometriske figurer.
Trekant
⋅ = 2 Agho = a + b + c
Likesidet trekant = 2 3 4 Aso = 3s
Kvadrat
A = s2 o = 4s
Rektangel
A = g ⋅ ho = 2g + 2h
Parallellogram
A = a ⋅ ho = 2a + 2b
Rombe
A = sho = 4s
Trapes ⋅= + 2 Aabh
Drage = 2 Aab
Sammensatte figurer
Når vi skal beregne arealet eller omkretsen til figurer hvor vi ikke kjenner en formel direkte, deler vi opp figuren i kjente former og summerer.
Sirkel og ellipse
Sirkel
A = π r 2 o = 2πr = πdd = 2r
Sirkelsektor ° = ⋅π 2 360 v Ar
Ellipse
A = π ⋅ a ⋅ b
Ring (annulus)
A = π(R2 - r 2)
Pytagoras’ setning
For en rettvinklet trekant med kateter a og b og hypotenus c er a2 + b2 = c2. Tre heltall (a, b, c) som oppfyller pytagorassetningen, kalles for et pytagoreisktrippel Eksempler er (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25) og (8, 15, 17).
Thales’ setning
En trekant er alltid rettvinklet dersom to av hjørnene danner diameteren i en sirkel, og det siste hjørnet er på sirkelperiferien.
Målestokk
målestokk = gjenskapt størrelse : original størrelse
Forstørret målestokk
En maur er i virkeligheten rundt 1 cm lang. På tegningen er mauren 3 cm lang.
Mangekanter Sirkel og ellipse Pytagora’ setning Thales’ setning
målestokk = 3 : 1
Forminsket målestokk
En racerbil er i virkeligheten rundt 2,5 m lang. På tegningen er bilen 5 cm lang.
målestokk = 5 : 250 = 1 : 50
5.3 Enhetssirkelen
Enhetssirkelen
I enhetssirkelen er sentrum i origo og radiusen lik 1.
Vinkel i grunnstilling
Når toppunktet er i origo og det høyre vinkelbeinet ligger langs den positive x-aksen, sier vi at vinkelen er i grunnstilling. Videre sier vi at vinkelen er positiv når den går mot klokka, og negativ når den går med klokka.
I figuren er vinkel u i grunnstilling og positiv.
Bestemme cosinus og sinus av en vinkel
Et punkt P på enhetssirkelen har x-koordinaten cos(u) og y-koordinaten sin(u).
Vi kan bruke dette til å bestemme cosinus og sinus av en vinkel. Merk at sinus og cosinus alltid har verdier fra og med -1 til og med 1.
Nyttige sammenhenger
For en vilkårlig vinkel u gjelder følgende sammenhenger:
• sin(180° - u) = sin(u)
• cos(180° - u) = -cos(u)
Sinus- og cosinusverdiene forblir uendret når vi endrer vinkelen med 360° et helt antall ganger. Det gir sammenhengene:
• ±°⋅=)sin() sin(360unu
• ±°⋅= cos )cos() (360 unu
Her er n et naturlig tall.
Enhetsformelen
Ved å kombinere pytagorassetningen med en rettvinklet trekant i enhetssirkelen, får vi enhetsformelen:
cos2(u) + sin2(u) = 1
Dette er en nyttig identitet som vi ofte bruker når vi regner med sinus og cosinus. Merk at () = 2 2 sin()sin() uu , og () = 2 2 cos()cos() uu .
Enhetssirkelen Enhetsformelen
Eksakte
trigonometriske
verdier
Eksempel: Enhetssirkelen og enhetsformelen
a)Bruk enhetssirkelen og bestem cos(30º) og sin(30º).
b)Bruk enhetssirkelen og bestem cos(120º) og sin(120º).
c)Du får oppgitt at cos2(120º) = .
4 1
Bruk dette til bestemme sin2(60º).
a) For å bestemme cos(30o) og sin(30)o leser vi av henholdsvis x- og y-koordinatene til punktet ved 30o på enhetssirkelen:
b) For å bestemme cos(120o) og sin(120)o bruker vi enhetssirkelen og sammenhengen cos(180o - u) = -cos(u) og sin(180o - u) = sin(u):
sin(120o) = sin(180 - 60o) = sin(60o) =
cos(30o) = 3 2 3 2 og sin(30o) = 1 2
c) Siden sin(120o) = sin(180o - 120o) = sin(60o) og sin2(120o) = (sin (120o))2 = (sin (60o))2 = sin2(60o), kan vi bruke enhetsformelen til å bestemme sin2(60o). Vi setter inn cos2(120o) = og sin2(120o) = sin2(60o) i enhetsformelen. Det gir:
1 = cos2(120o) + sin2(60o) sin2(60o) = 1 - cos2(120o) = 1 -
cos(120o) = cos(180 - 60o) = -cos(60o) = - 1 2 1 4
3 4 =
Programmering 6
6.1 Grunnleggende programmering
Grunnleggende kommandoer
Feilmeldinger
Importering av bibliotek
Variabler
6.2 Betingelser og funksjoner
Betingelsesoperatorer
If-setninger
Algoritmer
Funksjoner
6.3 Løkker
While-løkker
For-løkker
Programmering med figurtall
6.4 Matematiske funksjoner
Grunnleggende regneoperasjoner
Matematiske funksjoner
Trigonometriske funksjoner
6.5 Numerisk likningsløsning
Halveringsmetoden
Newton-Raphson-metoden
6.5 Numerisk likningsløsning
Halveringsmetoden
Metoden går ut på å finne nullpunktet til en funksjon f i et intervall som stadig halveres, gitt at funksjonsverdien endrer fortegn i intervallet.
1. Skriv om likningen slik at den er på formen f(x) = 0.
2. Bestem et intervall , ab slik at f(a) og f(b) har ulikt fortegn. f må være kontinuerlig i intervallet.
3. Finn midtverdien i intervallet slik: + = 2 m ab x
4. Gjenta steg 2 og 3, men endre intervallet slik:
• Hvis f(a) og f(xm) har ulikt fortegn, fortsetter vi med intervallet , m ax
• Hvis f(xm) og f(b) har ulikt fortegn, fortsetter vi med intervallet , m xb
5. Fortsett til toleranseverdien er nådd.
)
f(x1)
f(x2)
f(x3) f
f(b)
Eksempel:
Halveringsmetoden
Du får vite at funksjonen f(x) = x2 + x – 20 har et nullpunkt i intervallet [0, 10].
Bruk halveringsmetoden til å finne dette nullpunktet til f
1 def f(x):
2 return x**2 + x - 20 3
4 a = 0
5 b = 10 6
7 while (b-a) > 0.01: # holder på til intervallet er mindre enn/lik 0,01
8 xm = (a+b)/2
9
10 if f(xm) == 0:
11 print("Nullpunktet: x =", xm)
12 break # stopper while-løkken hvis xm er nullpunktet
13 elif f(a) * f(xm) < 0: # sjekker om f(a) og f(xm) har ulikt fortegn
14 b = xm # endrer sluttverdien i intervallet
15 else:
16 a = xm # endrer startverdien i intervallet
17 print("x =", round(xm, 3), "er en tilnærmet verdi for nullpunktet.")
x = 3.994 er en tilnærmet verdi for nullpunktet.
Halveringsmetoden
Newton-Raphson-metoden
Metoden går ut på å finne nullpunktet til tangenten i et punkt og bruke x-verdien til nullpunktet til å komme nærmere løsningen. Algoritmen er som følger:
1. Skriv om likningen slik at den er på formen f(x) = 0.
2. Velg en startverdi x0 som du tror er i nærheten av en løsning. En metode kan være å lete i et intervall [a, b] og sjekke om f(a) og f(b) har motsatt fortegn. Da må grafen til f skjære x-aksen i intervallet.
1 def f(x):
2 return x**2 + x - 20 3
3. Bruke den iterative formelen
4 a = 0
5 b = 10
7 while (b-a) > 0.01: # holder på til intervallet er mindre enn/lik 0,01
8 xm = (a+b)/2 9
+ =− 1 () '() nn n fn x fx xx til å finne en bedre tilnærming til løsningen, der f ’(xn) er den deriverte av f(x) i xn. Formelen finner nullpunktet til tangenten i punktet (xn, f(xn)). Start med å sette inn x0 for xn.
10 if f(xm) == 0:
4. Gjenta steg 3 med den nye x-verdien (xn + 1) helt til du synes f(xn) er «nært nok» 0.
11 print("Nullpunktet: x =", xm)
12 break # stopper while-løkken hvis xm er nullpunktet
5. Hvis f(x) har flere nullpunkter, finn dem ved å gjenta hele prosessen på nytt ved å gjette på en ny startverdi x0, som ligger nærmere det neste nullpunktet vi vil finne.
13 elif f(a) * f(xm) < 0: # sjekker om f(a) og f(xm) har ulikt fortegn
14 b = xm # endrer sluttverdien i intervallet
15 else:
16 a = xm # endrer startverdien i intervallet
17 print("x =", round(xm, 3), "er en tilnærmet verdi for nullpunktet.")
Eksempel: Newton-Raphson-metoden
Bruk Newton-Raphson-metoden til å finne en tilnærmingsverdi for 5.
For å finne en tilnærmingsverdi for 5 kan vi løse likningen x2 = 5. Siden vi skal bruke
Newton-Raphson-metoden, definerer vi funksjonen f(x) = x2 – 5 og løser likningen f(x) = 0.
1 def f(x):
2 return x**2 - 5 3
4 def df(x): 5 return 2*x 6
7 toleranse = 0.0001
8 xn = 2 # vi gjetter en startverdi
9
10 while abs(f(xn)) > toleranse: # holder på til f(xn) er nært nok 0.
9 xn = xn - f(xn)/df(xn) 10
11 print("Kvadratroten av 5 er tilnærmet lik", xn)
Kvadratroten av 5 er tilnærmet lik 2.236
Stikkordsliste
A
abc-formelen 27 addisjon 8, 12, 72 addisjonsmetoden 24 andregradsfunksjoner 38 andregradslikninger 26, 27 arealformler 50, 51, 53 arealsetningen 60 aritmetikk 12 assosiativ lov 12
B betingelser i programmering 68 bevis 17 binære tall 6 brøk 14 brøklikninger 22 bunnpunkt 35, 44
C CAS – faktorisering 26 – polynomdivisjon 28 – likninger 21, 22 – likningssett – ulikheter 31 cosinus 58 cosinussetningen 61
D
definisjonsmengde 35 direkte bevis 17 distributiv lov 12 divisjon 12, 14 divisjon av polynomer 28, 29
E
eksponent 12 eksponentialfunksjoner 39 eksponentiallikninger 22 eksponentiell modell 41 ekstremalpunkt 35, 44 enhetsformelen 62 enhetssirkelen 62 ettpunktsformelen 36
F feilmeldinger i programmering 66 fjerdegradsfunksjon 38 fibonacci-tallene 16 figurtall 16-17 – i programmering 71 flatemål 11 for-løkke 70 formlikhet 48, 49 fullstendige kvadraters metode 27 funksjoner 33 – andregradsfunksjoner 38 – begreper 34, 35 – eksponentialfunksjoner 39 – i programmering 69
– lineære funksjoner 36, 38
– polynomfunksjoner 38
– potensfunksjoner 38
rasjonale funksjoner 39
rett linje 36, 38
G
GeoGebra
funksjoner 35
geometri 54, 55 – likningssett 25
rette linjer 37
regresjon 40
ulikheter 31
vekstfart 42 geometri 47
symboler 48
begreper 48, 49
formler 50-53 – GeoGebra 54, 55 gjennomsnittlig vekstfart 42 graf 34 grunnleggende regning 12
H
heltall 6 hulmål 11
I
if-setninger 68 indirekte bevis 17 innsettingsmetoden 24 intervaller 7
– halvåpne intervaller 7 – lukkede intervaller 7 – åpne intervaller 7 irrasjonale tall 6
K
kjegle 52, 53 kommutativ lov 12 kongruens 48, 49 koordinatsystem 34 kubikktall 7, 16 kule 52 kvadrat – areal og omkrets 50
fullstendige kvadraters metode 27
kvadratmeter 11 kvadratrot 8, 13
programmering 73, 75 kvadratsetningene 23
kvadrattall 7, 16
L
likebeint trekant 48 likesidet trekant 48, 50 likninger 20 ff. likningssett 24 lineær modell 41
lineære funksjoner 36, 38 lister 7 – i programmering 66 løkker (programmering) 70
M
måleenheter 10, 11 målestokk 51 mangekanter 50 matematiske symboler 8, 9 modellering 40-41 momentan vekstfart 42, 43 motsigelse (bevis) 17 multiplikasjon 8, 12, 72
N
nabovinkler 49
NameError 66 naturlige tall 6 negative tall 12 n’te rot 13 nullpunkt 34 nullpunktsfaktorisering 26
O
oddetall 7 omkrets 50, 51 omvendt proporsjonalitet 39 overflateareal 53
P parallellogram 50 partall 7 plassverdisystemer 6 polynomdivisjon 28, 29 polynomfunksjoner 38 – som regresjonsmodell 40, 41 potens 8, 12, 13 potensfunksjoner 38 potenslikninger 22 prefikser 10 primtall 7 prisme 52, 53 produktregelen 22 promille 8 proporsjonalitet 36, 39 prosent 8, 14, 15 prosentandel 15 prosentpoeng 15 prosentvis endring 15 prosentvis forskjell 15 punkt 34 pyramide 52 pytagorassetningen 51 pytagoreisk trippel 51, 68
R
rasjonale funksjoner 39 rasjonale likninger 22 rasjonale tall 6 reelle tall 6
regresjon 40-41 rektangel 50 rekursive formler 16 rette linjer 36, 37 rettvinklet trekant 48, 51, 58 rombe 50 røtter 13
S sekant 35 sinus 58 ff sinussetningen 60 sirkel 51 sirkelsektor 51 skjæringspunkt 34, 54 standardform 13 subtraksjon 8, 12, 72 supplementvinkler 49 sylinder 52, 53 symboler 8, 9, 48 SyntaxError 74
T tallfølger 16 tallmengder 6, 7 tangent 35, 42 titallsystemet 6 toppvinkler 49 topunktsformelen 36 totallsystemet 6 trapes 50 trekanter 48 ff – areal og omkrets 34 – egenskaper 49, 51 – ulike typer 48 trigonometri 57ff – eksakte verdier 63 – setninger 60, 61 trigonometriske funksjoner 58 TypeError 66
U ulikheter 30, 31
V ValueError 66 variabel 20ff – i programmering 66, 67 vekstfaktor 15 vekstfart 42, 43 verdimengde 35 verditabell 34 vinkel 48, 49 – finne vinkler med sinus, cosinus og tangens 59 – i grunnstilling 62 vinkelsum 49 volum
– formler 52, 53 – målenhet 11
W while-løkker 70, 71
© Cappelen Damm AS, Oslo 2025
Formelsamling
Matematikk T
Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Enhver bruk av hele eller deler av utgivelsen som input eller som treningskorpus i generative modeller som kan skape tekst, bilder, film, lyd eller annet innhold og uttrykk, er ikke tillatt uten særskilt avtale med rettighetshaverne.
Bruk av utgivelsens materiale i strid med lov eller avtale kan føre til inndragning, erstatningsansvar og straff i form av bøter eller fengsel.
Design: Cappelen Damm
Redaktører: Ingrid Ertzgaard og Bjørn-Terje Smestad
Sats: Have a Book, Polen 2025
Trykk og innbinding: Merkur Grafisk AS, 2025
Utgave nr. 1
Opplag nr. 1
ISBN 978-82-02-88353-9
Papiret i Cappelen Damms bøker er hentet fra bærekraftig skogsvirke. Ingen av forlagets produkter bidrar til avskoging eller forringelse av skog. Cappelen Damm arbeider for å redusere miljøbelastningen fra våre bøker så mye som mulig.
Les mer om Cappelen Damms miljøarbeid ved å scanne QR-koden: