EstadodeMultipletesenÁtomos Enelcasodelátomodecarbono,cuyaconfiguraciónelectrónicaes 1
,loselectrones
2 sonsubcapasllenasynocontribuyenalmomentumangulaorbital.Losorbitales p sontresy, porlotanto,lacantidadtotaldeelectronesaserdescritosenestosorbitalesesseis (ml = 1, 0, 1)
y
Alacondiciónorbitaldebeincorporarselasopcionesdespin (ms = αoβ).Enconsecuencia,para estosdoselectroneshayseisposibilidadesorbitalesydosdespin.Eltotaldeopcionesparadescribir aestosdoselectrones p delátomodecarbonoseresuelvecontandolasconfiguracionesqueresulten delacombinatoriaparaseisopcionesorbitales (ml) ydosdespin (ms) .Acadaunadeestas configuracionesselesdenominamicroestado.
Acontinuaciónseexplicitanlos15microestadosdelCarbono
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina1
S2 2 S2 2 p2
1 S2
2 S
N = 6 2 = 6| 2|(6 2)| =15
ML = e i=1 ml yMS = e i=1 ms Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 1
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina2 ml ML Ms ↑↓−− +20 ↑↑− +1+1 ↑↓− +10 ↑−↑ 0+1 ↑−↓ 00 ↓↑− +10 ↓↓− +1 1 ↓−↑ 00 ↓−↓ 0 1 −↑↓− 00 −↑↑−1+1 −↑↓−10 −↓↑−10 −↓↓−1 1 −−↑↓−20 Lafunciónvariacionalesdeltipo Ψ= 15 i=1 ciAi Ai esundeterminatedeSlaterque,paraestecaso, correspondealosmicroestados(15)deloselectrones2p delCarbono.Laenergíadelsistemaserá laqueresultedelasraícesdeldeterminantesecular Hij ESij =0 i =1, 2, 3..,15 j =1, 2, 3..,15 Laresolucióndeldeterminatesecular(15x15)escomplejo.Sesimplificasuresoluciónapartirdel TeoremaVIIparalosOperadoresHermíticos“DosoperadoresHermíticos PyQ queconmutan, Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 2
P, convalorespropios
essiemprenulasalvoque
poseanelmismovalor propio
.Enestecasolasintegralessonentrefuncionesdeterminantales. SihayunoperadorsencilloqueconmuteconeloperadorHamiltoniano(H)sefacilitalaresolución deldeterminanteasí,sepuedenconstruirlasfuncionespropiasdeloperadorsencilloyreformular lafunciónvariacionalenestemismabase.
Lasintegralesnonulasseránsóloaquellasentrefuncionesiguales(operacionalmentelasdiagonal principaldeldeterminantesecular).Losoperadoresmomentunangularorbitalymomentunde spincumplenconlacondicióndeconmutarconeloperadorHamiltoniano.
sóloserán
entrelasfuncionespolielectrónicas Ai yAj queposeanlosmismos valorespropiosparaloscuatrosoperadoresdemomentunangularorbitalydespin.
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina3 y ψi coni =1...n eselconjuntodefuncionespropiasde
pi coni = 1...n,entonces laintegral ψ∗ i Qψj dτ
ψi yψj
p y,esoessi ψi = ψj
[L2,Lz]=0[s2,sz]=0 L2 = L2 x + L2 y + L2 z = L+L + L2 z Lz s2 = s2 x + s2 y + s2 z = s+s + s2 z sz [H,L2]=[H,Lz]=[H,s2]=[H,sz]=0 Parasistemasconmásdeunapartículasetiene: LZ T = i Lz (i) SZ T = i sz (i) L2 T =(L+L )T + L2 zT LzT s2 T =(s+s )T + s2 zT szT Siseconstruyenelconjuntodefuncionespropiassimultáneasde L2 T ,LzT ,S2 T ySz T
distintadecerolasintegrales Hij
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Construccióndelasfuncionespropiasdelosoperadoresmomentunangularorbitaly despintotales
SeaBunafunciónpropiadeestoscuatrooperadores,entoncesomitiendo
L,M
sonlosnúmeroscuánticosquerepresentanlasfuncionespropiasdeloscuatrosoperadoresdemomentunangularparaunsistemapolielectrónico.
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina4
: L2 T B = L (L +1) B Lz T B = ML B S2 T B = S (S +1) B Sz T B = MS B
L,S,MS
Considéreselasiguientefuncióndeterminantalgeneral: A = ϕ (l1,ml1,ms1) ϕ (l2,ml2,ms2) ...ϕ (li,mli,msi) Cuando Lz operaunalafunción ψl.ml resulta ml ψl.ml.Porloquesi Lzoperasobrecadaelemento componentede A resulta: Lz1 ϕ (l1,ml1,ms1) ϕ (l2,ml2,ms2) ...ϕ (li,mli,msi)= ml1 ϕ (l1,ml1,ms1) ϕ (l2,ml2,ms2) ...ϕ (li,mli,msi) Lz2 ϕ (l1,ml1,ms1) ϕ (l2,ml2,ms2) ...ϕ (li,mli,msi)= ml2 ϕ (l1,ml1,ms1) ϕ (l2,ml2,ms2) ...ϕ (li,mli,msi), yasísucesivamenteporloqueelresultadototales Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 4
Delamismamanera
esfunciónpropiade L
A esfunciónpropiade S
convalorpropio
convalorpropio M
Paraelcasodelosoperadores L2 y S2 lasituaciónnoesdirecta,pueslafuncióndeterminantalpodríaseronoserfunciónpropiadeestosoperadoresyaque L
T =(L+L )T + L2 z
L
S2
S
T ,porlotantodependerádelresultadodelaoperación (L+L )T y (S+S
T respectivamente.Esposibleconstruircombinacioneslinealesentrelosdiferentesdeterminantes Ai queseanfuncionespropiasdelosoperadores L2 y S2 .Aestascombinacioneslinealesselesdenomina,demanerageneral, B y,ensuconstrucción,hayquetenerlassiguientesconsideraciones:
L
T y S
T
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina5 LzT ϕ (l1,ml1,ms1) ϕ (l2,ml2,ms2) ...ϕ (li,mli,msi)= %=(ml1 + ml2 + ...mli) i mli = ML ϕ (l1,ml1,ms1) ϕ (l2,ml2,ms2) ...ϕ (li,mli,msi) Enconsecuencia LzT A = MLA.Entonces, A
zT
ML = i mli
SzT A = MS A.Así,
zT
S = i msi .
2
T
ZT y S2 T =(S+S )T +
zT
Z
)
1.-Cualquierfuncióndeterminantalessiemprefunciónpropiade
z
z
convalorpropio ML = i mli y MS = i msi . 2.-Lasfuncionesdeterminantales (Ai) nosiempresonfuncionespropiasdelosoperadores L2 T y S2 T por loquesedebeconstruircombinacioneslinealesdeellos: B = i Ai 3.-Losvaloreposiblesde L y S paraunsistemade k partículasserán: a)sitodoslos li soniguales,elvalormáximode L esla i li y,elmenorvalor,iguala 0 L = i li , i li 1, i li 2,...0.Ejemplotreselectrones p (l =1) Mayorvalorde L =1+1+1=3 Menorvalorde L =0 Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 5
Valoresde L =3, 2
1
b)silos li nosonigualesodiferentedeceroelvalormáximode L esla i li y,elmenorvalor
i mayor li menores .Ejemplounelectrón f (l =3) ydoselectrones p (l =1)
Mayorvalorde L =3+2=5
Menorvalorde L
Valoresde L =5
(1+1)=1
4
3
2
1
Paraelcasodelosvaloresde S,elvalormáximoes 1 2 k yelvalormínimoserá 0 enelcasodeun númeropardeelectroneso 1 2 enelcasodeunnúmeroimpardeelectrones..
4.-Cadafunción B (multiplete) seexpresaentérminodecuatronúmeroscuánticos L,ML,S,MS .
5.-Segúnelvalorde L lafunciónB (multiplete) tomaunnombreparticular.Así,
L
funcionescorrespondientesa ML
L,L 1
2S +1 funcionescorrespondientesa MS = S,S 1,S 2
2
8.-Cadamultipleteincluyeunsuperindicequerepresentalamultiplicidaddespin (2S +1) de dichoestado.
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina6
,
, 0
l
=3
,
,
,
,
Lnombre 0 S 1 P 2 D 3 F 4 G 5 H 6.-Paracada
existen 2L +1
=
,L
,... L 7.-ParacadaSexisten
,... S
Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 6
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina7 Ejemplo:paraelmultipletedescritoporlosnúmerocuánticos L,ML,S,MS ⇓⇓⇓⇓ 2, 1, 1, 1 =⇒ L =2 2S +1=3 =⇒ Multiplete 3D Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 7
tienenelmismovalorde
.Enconsecuencialosvaloresde
posiblesson L
.Entonces,estaconfiguraciónpresentatresmultipletes:
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina8 Estadosmultipletesparalaconfiguración np2 EsteeslacasodelátomodeCarbono.Estoselectrones p
l =1 y ml = 1, 0, 1.Porello LT = 2 i=1 li =1+1=2
L
=2, 1, 0 y losvalorespara ML ,son 2, 1, 0, 1, 2
L =2 ⇒ D L =1 ⇒ P L =0 ⇒ S Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 8
ml1 ml2 ML MS
A1 = | 1 1 | 20
A2 = | 10 | 11
A3 = | 1 0 | 10
A4 = | 10 | 10
A5 = | 1 0 | 1 1
A6 = | 1 1 | 01
A7 = | 1 1 | 00
A8 = | 1 1 | 00
A9 = | 0 0 | 00
A10 = | 1 1 | 0 1
A11 = | 0 1 |−11
A12 = | 0 1 |−10
A13 = | 0 1 |−10
A14 = | 0 1 |−11
A15 = |−1 1 |−20
L
,L2
microestadosocombinacioneslinealesdemicroestadossonfuncionespropiasde L2
2
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina9 Tabla1.- Microestadosparalaconfiguración np2
Cadaunodelos15micoestadosesfunciónpropiade
zT
zT ,SzT ,S2 zT .Sedebeprobarcuales
T yS
T 1.-Para A1 L2 T A1 = (L+L )T + L2 zT LzT A1 LzT A1 = LzT 1 1 =2 A1 L2 zT A1 =4 A1 (L+L ) A1 = L+ (L A1) Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 9
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina10 Elresultadodeaplicar L+ yL sobreunafunción Yl,m es: L Yl,m = (l + m)(l m +1) Yl,m 1 L+Yl,m = (l m)(l + m +1) Yl,m+1. Entonces (L+L ) A1 = L+ (L A1)=(L+L ) 1 1 = L+ L 1 1 L+ L 1 1 = L+ (1+1)(1 1+1) 0 1 + (1+1)(1 1+1) 1 0 L+ L 1 1 = L+ √2 0 1 + 1 0 L+ √2 0 1 + 1 0 = √2 (1 0)(1+0+1) 1 1 + (1 0)(1+0+1) 1 1 L+ √2 0 1 + 1 0 = √2 √2 1 1 + √2 1 1 =4 1 1 porloque L+ L 1 1 =4 1 1 =4 A1. Enconsecuencia L2 T A1 = (L+L )T + L2 zT LzT A1 =4 A1 +4 A1 2 A1 =6 A1 Elmicroestado A1 = 1 1 esfunciónpropiade L2 T convalorpropio6 pero L2 B = L (L +1) B =⇒ L (L +1)=6 ∴ L =2 entonceselmicroestado A1 = 1 1 esun mutipletedetipo D Seaplicapara S2 T ySZ T elmismoprocedimiento.Estosoperadoresafectanalacomponentedespin. SzT A1 = SzT 1 1 = 1 2 1 2 1 1 =0 1 1 =0 A1 S2 zT A1 = SzT (SzT A1)=0 A1 Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 10
losmismosnúmeroscuánticoorbitalesydespin.SecontraponealPrincipiodeExclusióndePauli.
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina11 Porlotanto,A1 esfunci´ onpropiadeSzT ydeS2 zT convalorpropiocero Elresultadodeaplicar S+ yS sobreunafunción Yls,ms es: S Yls,ms = (ls + ms)(ls ms +1) Yls,ms 1 S+Yls,ms = (ls ms)(ls + ms +1) Yls,ms+1 S A1 = S 1 1 = 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 1 1 = 1 1 S A1 = S 1 1 = 1 1 estaconfiguraciónnoespermitida,puesrepresentaadoselectronescon
Entonces S A1 = S 1 1 =0 y,enconsecuencia, S+ S A1 =0.Luego S2A1 = S (S +1)= 0=⇒ S =0 y,comoM =2S +1, M =1. Elmicroestado A1 = 1 1 eselmultiplete 1D (2, 2, 0, 0) 2.-Para A2 L2 T A2 = (L+L )T + L2 zT LzT A2 LzT A2 = LzT 10 = A2 L2 zT (LZT A2)= A2 (L+L ) A2 = L+ (L A2) Entonces (L+L ) A2 = L+ (L A2)=(L+L ) 10 = L+ L 10 L+ L 10 = L+ (1+1)(1 1+1) 00 + (1 0)(1+0+1) 1 1 Configuración 00 noespermitidapuesrepresentaadoselectronesconlosmismosnúmeroscuántico orbitalesydespin.SecontraponealPrincipiodeExclusióndePauli. L A2 = L 10 = √2 1 1 Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 11
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina12 L+ √2 1 1 = √2 (1+1)(1 1+1) 10 L+ √2 1 1 = √2 √2 10 =2 10 =2A2 porloque L+L A2 =2 10 =2A2. Enconsecuencia L2 T A2 = (L+L )T + L2 zT LzT A2 =2 A2 + A2 A2 =2 A2 Elmicroestado A2 = 10 esfunciónpropiade L2 T convalorpropio2 pero L2 B = L (L +1) B =⇒ L (L +1)=2 ∴ L =1 entonceselmicroestado A2 = 10 esun mutipletedetipo P Seaplicapara S2 T ySZ T elmismoprocedimiento.Estosoperadoresafectanalacomponentede spin. SzT A2 = SzT 10 = 1 2 + 1 2 10 + 1 2 + 1 2 10 = 10 = A2 S2 zT A2 = SzT (SzT A2)= A2 Porlotanto,A2 esfunci´ onpropiadeSzT ydeS2 zT convalorpropiouno Elresultadodeaplicar S+ yS sobreunafunción Yls,ms es: S A2 = S 10 = 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 10 + 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 1 0 S A2 = S 10 = 10 + 1 0 S+ S A2 = S+ 10 + 1 0 = 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 10 + 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 10 = 2 10 =2A2. Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 12
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina13 Luego S2A2 =2A2 + A2 A2 =2A2 =⇒ S (S +1)=2=⇒ S =1 y,comoM =2S +1, S =3 Elmicroestado A2 = 10 eselmultiplete 3P (1, 1, 1, 1) 3.-Para A3 A3 = 1 0 L2 T A3 = (L+L )T + L2 zT LzT A3 LzT A3 = LzT 1 0 =1 1 0 +0 1 0 = A3 L2 zT (LZT A3)= A3 Entonces (L+L ) A3 = L+ (L A3)=(L+L ) 1 0 = L+ L 1 0 L+ L 1 0 = L+ (1+1)(1 1+1) 0 0 + (1 0)(1+0+1) 1 1 L+ L 1 0 = L+ √2 0 0 + √2 1 1 L+ √2 0 0 + √2 1 1 = √2 (1+0)(1 0+1) 1 0 + ... + (1 0)(1+0+1) 0 1 + (1+1)(1 1+1) 1 0 L+ √2 0 0 + √2 1 1 = √2 √2 1 0 + √2 0 1 + √2 1 0 L+ √2 0 0 + √2 1 1 =4 1 0 +2 0 1 Como 1 0 A3 y 0 1 = 10 A4 entonces: Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 13
linealentreestosmicroestadosparaobtenerelmultipleterespectivoque,enestecaso,seráaquella
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina14 L+ √2 0 0 + √2 1 1 =4 A3 2 A4 Enconsecuencia L2 T A3 = (L+L )T + L2 zT LzT A3 =4 A3 2 A4 + A3 A3 L2 T A3=4 A3 2 A4 Enestecasolosmicroestados A3 yA4 estánmezcladosyseránecesarioencontrarlacombinación
combinaciónlinealaencontrar.Paraelloseplantealosiguiente: L2 (aA3 + bA4)= k (aA3 + bA4) L2 (aA3) 4 aA3 2 aA4 + L2 (bA4) 4 bA4 2 bA3 = k (aA3 + bA4) 4 aA3 2 aA4 +4 bA4 2 bA3 = kaA3 + kbA4 4 aA3 2 aA4 +4 bA4 2 bA3 kaA3 kbA4 =0 Loqueseordenadelasiguienteforma 4 aA3 kaA3 2 bA3 =0 2 aA4 +4 bA4 kbA4 =0 (4 a ka) A3 2 bA3 =0 2 aA4 +(4 b kb ) A4 =0 4 k 2 24 k a b A3 A4 = 0 0 4 k 2 24 k =0=⇒ k2 8k +12=0 ∴ k1 =6 yk2 =2 Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 14
a)para
2
esunmultipletetipo
b)para
2
esunmultiplete
multipletetipoD
convalorpropio
convalorpropio
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina15
k1 =6 ⇒ L (L +1)=6 ∴ L =2
(4 6) a 2b =0
a +(4 6) b =0 =⇒ a = b ∴ 1 √2 (A3 A4) . Estacombinaciónlinealesfunciónpropiadeloperador L2
2,y
D
k2 =2 ⇒ L (L +1)=2 ∴ L =1 multipleteP (4 2) a 2b =0
a +(4 2) b =0 =⇒ a = b ∴ 1 √2 (A3 + A4) . Estacombinaciónlinealesfunciónpropiadeloperador L2
1,y
P Respectodeloperadormomentundespin (S2 T ySz T ) seaplicaunprocedimientoequivalente (i) Primerosobre 1 √2 (A3 A4).Desarrollandoporparte: SzT A3 = SzT 1 0 = 1 2 1 0 1 2 1 0 =0 S2 zT A3 = SzT (SzT A3)=0 Porlotanto,A3 esfunci´ onpropiadeSzT ydeS2 zT convalorpropiocero Elresultadodeaplicar S+ yS sobre A3 es: Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 15
S
S
S
Luego
Seaplicaelmismoprocedimientopara
S
S
Porlotanto,A
Elresultadodeaplicar
S
S
Luego
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina16
A3 = S 1 0 = 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 1 0 + 1 2 1 2 1 2 + 1 2 +1 10
A3 = S 10 = 1 0
+ (S A3)= S+ 1 0 = 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 1 0 + 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 10 = 1 0 + 10
S2A3 = S+ S + S2 zT SzT A3 = 1 0 + 10 +0 0= A3 + A4
A4
zT A4 = SzT 10 = 1 2 10 + 1 2 10 =0
2 zT A4 = SzT (SzT A4)=0
4 esfunci´ onpropiadeSzT ydeS2 zT convalorpropiocero
S+ yS sobre A4 es: S A4 = S 10 = 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 1 0
A4 = S 10 = 1 0
+ (S A4)= S+ 1 0 = 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 1 0 + 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 10 = 1 0 + 10 .
S2A4 = S+ S + S2 zT SzT A3 = 1 0 + 10 +0 0= A3 + A4 Endefinitiva Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 16
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina17 S2 1 √2 (A3 A4)= S+ S + S2 zT SzT 1 √2 (A3 A4)= 1 √2 [(A3 + A4) (A3 + A4)]=0 Porlotanto, 1 √2 (A3 A4) esfunci´ onpropiadeS2,SzT ydeS2 zT convalorpropiocero Sisetienepresenteque S2B = S (S +1)=0,entonces S =0 yM =2S +1=1 Finalmente 1 √2 (A3 A4) eselmultiplete 1D(2, 1, 0, 0) (ii) Ahorasobre 1 √2 (A3 + A4).Desarrollandoporparte: SzT A3 = SzT 1 0 = 1 2 1 0 1 2 1 0 =0 S2 zT A3 = SzT (SzT A3)=0 Porlotanto,A3 esfunci´ onpropiadeSzT ydeS2 zT convalorpropiocero Elresultadodeaplicar S+ yS sobre A3 es: S A3 = S 1 0 = 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 1 0 + 1 2 1 2 1 2 + 1 2 +1 10 S A3 = S 10 = 1 0 S+ (S A3)= S+ 1 0 = 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 1 0 + 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 10 = 1 0 + 10 Luego S2A3 = S+ S + S2 zT SzT A3 = 1 0 + 10 +0 0= A3 + A4 Seaplicaelmismoprocedimientopara A4 Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 17
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina18 SzT A4 = SzT 10 = 1 2 10 + 1 2 10 =0 S2 zT A4 = SzT (SzT A4)=0 Porlotanto,A4 esfunci´ onpropiadeSzT ydeS2 zT convalorpropiocero Elresultadodeaplicar S+ yS sobre A4 es: S A4 = S 10 = 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 1 0 S A4 = S 10 = 1 0 S+ (S A4)= S+ 1 0 = 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 1 0 + 1 2 + 1 2 1 2 1 2 +1 10 = 1 0 + 10 Luego S2A4 = S+ S + S2 zT SzT A3 = 1 0 + 10 +0 0= A3 + A4 Endefinitiva S2 1 √2 (A3 + A4)= S+ S + S2 zT SzT 1 √2 (A3 + A4)= 1 √2 [(A3 + A4)+(A3 + A4)]=2(A3 + A4)= 0 Porlotanto, 1 √2 (A3 + A4) esfunci´ onpropiadeS2,SzT ydeS2 zT convalorpropiodos Sisetienepresenteque S2B = S (S +1)=2,entonces S =1 yM =2S +1=3 Finalmente 1 √2 (A3 + A4) eselmultiplete 3P (1, 1, 1, 0) AlexaminarlaTabla1seconstataquelosmicroestados A3 yA4 tienenlosmismosvaloresde ML yMS yresultanmezcladosantelaaccióndeloperador L2 T .Lamismasituaciónsecumplepara Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 18
.Enestoscasosseránecesarioencontrarlascombinaciones linealesentrelosmicroestadosconigualesvaloresde
,funcionespropiasdeloscuatros operadoresmomentunangularorbitalydespin
.Estascombinacioneslinealesdan origenalosrespectivosmultipletes.
TeoríadelEnlaceQuímicoII Pagina19 losmicroestado A7 ,A8,A9 y A12,A13
ML yMS
L2 T ,LzT ,S2 T ySzT
Enresumenyparalaconfiguración np2 losmultipletesson: Multiplete LML SMS 1S 1 3 (A7 A8 A9) 0000 3P A2 1 111 3P 1 √2 (A3 + A4) 1110 3P A5 111 1 3P A6 1011 3P 1 √2 (A7 + A8) 1010 3P A10 101 1 3P A11 1 111 3P 1 √2 (A12 + A13) 1 110 3P A14 1 11 1 1D A1 2200 1D 1 √2 (A3 A4) 2100 1D 1 √6 (A7 A8 +2A3)2000 1D 1 √2 (A12 A13) 2 100 1D A15 2 200 Prof.CarlosHernándezT.email:carlos.hernandez@umce.cl DepartamentodeQuímica,FacultaddeCienciasBásicas,UniversidadMetropolitanadeCienciasdelaEducación 19
